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高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为____43π__________.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为
1,2,3，则此球的表面积为 .
解析：体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π.
例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ）
.
A.
16π B. 20π C. 24π D. 32π
解析：长、宽、高分别为2，2，4
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该
六棱柱的体积为9
8，底面周长为３，则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,384x x x h h =⎧⎧
=⎪⎪
∴⎨⎨
=⨯
⎪⎪=⎩⎩．
∴正六棱柱的底面圆的半径
1
2r =
，球心到底面的距离
32d =
.∴外接球的半径221R r d =+=.
43V π
∴=
球.
小结 本题是运用公式2
2
2
R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______9π________. 解 把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
则有
()
()()()
2
2
2
2
23339
R =
++=.∴
29
4R =
.故表面积249S R ππ==.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有
2222R a b c =++.
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
例 6 .
一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ A ）
A.
3π B. 4π C. 33π D. 6π
解析：联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体满足条件，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3
例7（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0
DAB=60∠，E 为AB 的中点，将
ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为
（C ）.
A. 4327π
B. 62π
C. 68π
D. 6
24π
解析：（如图3）
AE=EB=BC=DC=DE=CE=1AD =，即三棱锥P-DCE 为正四面体，至此，这与例6就完全相同了
例8 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，
DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于 .
解析：DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解
出CD=3.故球O 的体积等于9
2π
.（如图4）
2、构造长方体
例9.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若
6,AC=213,AD=8AB =，则球的体积是 .
解析：构造下面的长方体，于是AD 为球的直径（如图5）
三.寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，
则此球的体积为 .
解 球心O 必在1SO 所在的直线上.
∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是
外接球的半
径.
在ASC ∆中，由22SA SC AC ==
=，，得
222SA SC AC +=.
∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .
∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故
43V π
=
球. 五 .确定球心位置法
例5 在矩形ABCD 中，
4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折
成一
C D
A
B S
O 1图3
C A
O D
B
图4
A B E
D C D
C
E
P
图3
D
A
C
B
O
图4
A
C
B
D
O 图5
