内切球和外接球例题 This manuscript was revised on November 28, 2020
高考数学中的内切球和外接球问
题
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
______________ .27π.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为
24，则该球的体积为
______________.
.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个
顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球
的表面积为 .14π.
例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. C.
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 32π
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱
的体积为9
8，底面周长为３，则这个球
的体积为 .
解设正六棱柱的底面边长为x，
高为h
，则有
2
63,1
,
2
9
6,
8
x
x
x h
h
=
⎧⎧
=
⎪⎪
∴
⎨⎨
=
⎪⎪=
⎩
⎩
∴正六棱柱的底面圆的半径
1
2
r=
，球心
到底面的距离2
d=
.
∴外接球的半径
1
R==.
4
3
V
π
∴=
球
.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 （2008年福建高考题）若三棱
锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是
_______________.9π
解据题意可知，该三棱锥的三条
侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补
的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有
(
)
222
2
29
R=++=
.∴2
9
4
R=
.故其外接球的表面积
2
49
S R
ππ
==.
小结一般地，若一个三棱锥的三
条侧棱两两垂直，且其长度分别为
a b c
、、，则就可以将这个三棱锥补成
一个长方体，于是长方体的体对角线的
长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R
，则有2R=.
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【例题】：在四面体
中，共
顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为
，若该四面体的四个顶点在一
个球面上，求这个球的表面积。
解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为
的长即：
所以
球的
表面积为
例 6.一个四面体的所有棱长都为
2，四个顶点在同一球面上，则此球
的表面积为（ ）
A. 3π
B. 4π
C.
33π D. 6π
解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体A BDE -满足条件，即
AB=AD=AE=BD=DE 2BE ==可求得正方体的棱长为1，体对角线为
33此球的表面积便可求得，故选A. 例7．在等腰梯形ABCD 中，
AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的
中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、
EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.
A. 4327
B. 6
2 C. 6 D. 6
解析： 因为AE=EB=DC=1，
0DAB=CBE=DEA=60∠∠∠，所以
AE=EB=BC=DC=DE=CE=1AD =，即三棱锥P-DCE 为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C.
例8 .已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，
DA=AB=BC=3O 的体积等
于 .
解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于
DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，联想长方
体中的相应线段关系，构造长方体，又因为DA=AB=BC=3方体，所以CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O 的体
积等于92π
.
2、构造长方体
例9.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，
若6,AB =，则球的体积是 .
解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，OB=OC=4为半径，要求B 、C 两点间的球面距离，只要求出BOC ∠即可，在Rt ABC ∆中，求出=4BC ，所以
0C=60BO ∠，故B 、C 两点间的球面距离
是43π.
三.多面体几何性质法
例1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
解 设正四棱柱的底面边长为x ，
外接球的半径为R ，则有
2416x =，解得2x =.
∴
2R R ==∴= .∴
这个球的表面积是
2
424R ππ=.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线
的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例11.正四棱锥S ABCD -的底面边
，点
S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .
解 设正四棱锥的底面中心为
1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得
1OO ABCD ⊥平面.
又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在
1SO 所在的直线上.
∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆
中，由
2SA SC AC ===，得
222SA SC AC +=.∴
ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .∴1
2AC
=是
外接圆的半径，也是外接球的半径.故
43V π
=
球.
五 .确定球心位置法
例11.在矩形ABCD 中，
4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折
成一个直二面角B AC D --，则四面体
ABCD 的外接球的体积为
C
D A
S
O 1图3
