北师大版七年级数学上思想方法专题：线段与角计算中的思想方法.docx

思想方法专题：线段与角的计算中的思想方法——明确解题思路，体会便捷通道◆类型一方程思想在线段或角的计算中的应用1.一个角的度数比它的余角的度数大20°，则这个角的度数是（）A.20°B.35°C.45°D.55°2.已知P为线段AB上一点，且AP＝25AB，M是AB的中点，若PM＝2cm，则AB的长为（）A.10cmB.16cmC.20cmD.3cm3.如图，A、O、B三点在一条直线上，∠AOC＝2∠COD，OE平分∠BOD，∠COE ＝77°，则∠COD的度数是（）A.52°B.26°C.13°D.38.5°第3题图第4题图4.如图，M、N为线段AB上两点，且AM∶MB＝1∶3，AN∶NB＝5∶7.若MN＝2，则AB的长为.5.如图，AB和CD相交于点O，∠DOE＝90°，若∠BOE＝12∠AOC.（1）指出与∠BOD相等的角，并说明理由；（2）求∠BOD，∠AOD的度数.6.如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为－1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x.（1）PA＝，PB＝（用含x的式子表示）；（2）在数轴上是否存在点P，使PA＋PB＝5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.◆类型二分类讨论思想在线段或角的计算中的应用7.（2016－2017·萧山区校级期末）已知∠AOB＝60°，作射线OC，使∠AOC 等于40°，OD是∠BOC的平分线，那么∠BOD的度数是（）A.100°B.100°或20°C.50°D.50°或10°8.（2016－2017·郾城区期末）把一根绳子对折成一条线段AB，点P是AB上一点，从P处把绳子剪断.已知AP＝12PB，若剪断后的各段绳子中最长的一段为40cm，则绳子的原长为.【易错8①】9.已知点A，B，C在同一条直线上，且AC＝5，BC＝3，M，N分别是AC，BC 的中点.【易错8①】（1）画出符合题意的图形；（2）依据（1）的图形，求线段MN的长.10.已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，试求∠COF的度数.◆类型三整体思想及从特殊到一般的思想11.如图，线段上的点依次增加，请你填写图中相应的线段数：（1）请猜想：当线段AB上有6个、10个点时（含A，B两点），分别会有几条线段？（2）当线段AB上有n（n为正整数，且n≥2）个点（含A，B两点）呢？12.已知∠ABC＝∠DBE，射线BD在∠ABC的内部，按要求完成下列各小题.尝试探究：如图①，已知∠ABC＝90°，当BD是∠ABC的平分线时，∠ABE ＋∠DBC＝°；初步应用：如图②，已知∠ABC＝90°，若BD不是∠ABC的平分线，求∠ABE ＋∠DBC的度数；拓展提升：如图③，若∠ABC＝45°时，试判断∠ABE与∠DBC之间的数量关系，并说明理由.13.（2016－2017·秦皇岛期末）如图所示，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点.（1）若AC＝8cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC－CB＝b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由.参考答案与解析1．D 2.C 3.B 4.125．解：(1)∠AOC，同角的补角相等．(2)设∠BOD＝x，由(1)知∠AOC＝∠BOD＝x，则∠BOE＝12∠AOC＝12x.∵∠DOE＝90°，∴∠DOE ＝∠BOE ＋∠BOD ＝12x ＋x ＝90°，解得x ＝60°，即∠BOD ＝60°，∴∠AOD ＝180°－∠BOD ＝180°－60°＝120°.6．解：(1)|x ＋1| |x －3|(2)分三种情况：①当点P 在点A 、B 之间时，PA ＋PB ＝4(舍去)；②当点P 在点B 右侧时，PA ＝x ＋1，PB ＝x －3，则(x ＋1)＋(x －3)＝5，解得x ＝3.5；③当点P 在点A 左侧时，PA ＝－x －1，PB ＝3－x ，则(－x －1)＋(3－x )＝5，解得x ＝－1.5.综上所述，在数轴上存在点P ，使PA ＋PB ＝5，此时x 的值为3.5或－1.5.7．D 8.60或1209．解：(1)如图，点B 在线段AC 上，如图，点B 在线段AC 的延长线上．(2)当点B 在线段AC 上时，∵AC ＝5，BC ＝3，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC ＝12AC ＝12×5＝52，NC ＝12BC ＝12×3＝32，∴MN ＝MC －NC ＝52－32＝1；当点B 在线段AC 的延长线上时，∵AC ＝5，BC ＝3，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，得MC ＝12AC ＝12×5＝52，NC ＝12BC ＝12×3＝32，由线段的和差，得MN ＝MC ＋NC ＝52＋32＝4.10．解：分以下情况：如图①，OD 在∠AOB 的外部．∵OE 平分∠AOB ，∠AOE ＝30°，∠BOD ＝20°，∴∠AOD ＝30°＋30°＋20°＝80°.∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD ＝∠AOD ＝80°.∵OF 平分∠BOC ，∴∠COF ＝(80°＋20°)÷2＝50°.如图②，OD 在∠AOB 内部．∵OE 平分∠AOB ，∠AOE ＝30°，∠BOD ＝20°，∴∠AOD ＝30°＋30°－20°＝40°.∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD ＝∠AOD ＝40°.∵OF 平分∠BOC ，∴∠COF ＝(40°－20°)÷2＝10°.综上所述，∠COF 的度数为50°或10°.11．解：6 10(1)线段上有6个点时，有15条线段；线段上有10个点时，有45条线段．(2)12n (n －1)条．12．解：尝试探究：180 解析：因为∠ABC ＝90°，BD 平分∠ABC ，所以∠DBC ＝45°，因为∠DBE ＝∠ABC ＝90°，∠DBC ＋∠CBE ＝∠DBE ，所以∠CBE ＝45°.所以∠ABE ＋∠DBC ＝∠ABC ＋∠CBE ＋∠DBC ＝90°＋45°＋45°＝180°.初步应用：因为∠DBE ＝∠ABC ＝90°，所以∠ABE ＋∠DBC ＝∠ABC ＋∠CBE ＋∠DBC ＝∠ABC ＋∠DBE ＝180°.拓展提升：∠ABE ＋∠DBC ＝90°.理由如下： 因为∠DBE ＝∠ABC ＝45°，所以∠ABE ＋∠DBC ＝∠ABC ＋∠CBE ＋∠DBC ＝∠ABC ＋∠DBE ＝90°.13．解：(1)∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC ＝12AC ＝12×8cm ＝4cm ，NC ＝12BC ＝12×6cm ＝3cm ，∴MN ＝MC ＋NC ＝4cm ＋3cm ＝7cm.(2)MN ＝12a cm.理由如下：∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC ＝12AC ，NC＝12BC ，∴MN ＝MC ＋NC ＝12AC ＋12BC ＝12AB ＝12a cm. (3)画图略. ∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC ＝12AC ，NC ＝12BC ，∴MN ＝MC－NC ＝12AC －12BC ＝12(AC －BC )＝12b cm.。

第03讲思想方法专题：线段与角计算中的思想方法(4类热点题型讲练)目录【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】 (1)【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】 (3)【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】 (9)【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】 (13)【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】OP 平分BOC ∠，AOB ∠12AOP AOB BOC ∴∠=∠-∠当如图所示时：OP 平分BOC ∠，AOB ∠12AOP AOB BOC ∴∠=∠+∠故答案为：70︒或90︒.【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，利用分类讨论解决问题是解题的关键．18AOB ∠=︒ ，AOC ∠54AOC ∴∠=︒，BOC AOC AOB ∴∠=∠-∠=②如图，当OB 在AOC ∠18AOB ∠=︒ ，AOC ∠54AOC ∴∠=︒，BOC AOC AOB ∴∠=∠+∠=综上可知，BOC ∠的度数为故答案为：36︒或72︒．∵80AOB ∠=︒，OC 平分∴12AOC BOC AOB ∠=∠=∠∵射线OM 与OC 所形成的角度是∴10COM ∠=︒，∴AOM AOC COM ∠=∠-∠如图2，∵80AOB ∠=︒，OC 平分∴12AOC BOC ∠=∠=∠∵射线OM 与OC 所形成的角度是∴10COM ∠=︒，∴AOM AOC COM ∠=∠+∠综上可知AOM ∠的度数是当23AOC AOB ∠=∠时，如图：∵40AOC ∠=︒，23AOC AOB ∠=∠，∴60AOB ∠=︒，故答案为：20︒或10︒．【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条．4．（2023秋·黑龙江大庆·六年级统考开学考试）如图，长方形纸片CB 上，连接PM ，PN ．将A 落在直线PM 上的点A '处，得折痕【答案】75︒或105︒【分析】分两种情形：如图折变换的性质可知EPN ∠∵30MPN ∠=︒，∴180DPN APM ∠+∠=︒-由翻折变换的性质可知∴11502EPN FPM ∠+∠=⨯∴EPF MPN EPN ∠=∠+∠当点N 在点M 的下方时，设则180150x y MPN +=︒-∠=由翻折变换的性质可知12DPE ∠=【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】①若4AC BC ==，则线段MN 的长度是，=，∵点M、N分别是线段AC，BC的中点，AC a BC ∵点M、N分别是线段AC，BC的中点，（2）设AB a=，C是线段AB上任意一点（不与点①如图2，当M，N分别是AC，BC的中点时，②如图3，若M，N分别是AC，BC的三等分点，即【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知：如图，OC 在AOB ∠的内部，OM 平分()180AOB AOB ON ∠︒∠<，平分BOC ∠．(1)当9060AOC BOC ∠=∠=︒︒，时，MON ∠=___________︒；(2)当8060AOC BOC ∠︒∠=︒=，时，MON ∠=___________︒；(3)当8050AOC BOC ∠︒∠=︒=，时，MON ∠=___________︒；(4)猜想：不论AOC ∠和BOC ∠的度数是多少，MON ∠的度数总等于________的度数的一半．【答案】(1)45(2)40(3)40(1)如图1，若40AOM ∠=︒，求CON ∠的度数；(2)在图1中，若AOM α∠=，直接写出CON ∠的度数（用含(3)将图1中的直角三角板OMN 绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，数．【答案】(1)20°(2)1α∠=CON（2）因为O 为直线AB 上一点，且AOM α∠=，MON ∠=所以180BOM α∠=︒-，90BON α∠=︒-因为射线OC 平分MOB∠所以119022BOC BOM α∠=∠=-°因为C O N B O C B O N∠=∠-∠(1)一个角的平分线(2)如图2，若MPN ∠新知）．(3)如图3，若∠的结果）．【答案】(1)是(2)30°，20°或40(3)12α或13α或【分析】（1）根据答；(2)根据“巧分线”(3)根据“巧分线【详解】（1）解：如图∴2AOB AOC ∠=∠∴根据巧分线定义可得故答案为：是．（2）解：如图3：②当22NPQ ∠∠=③当32MPQ ∠∠=【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解题的关键．3．（2023秋·河南安阳90,COD OM ∠=︒平分(1)如图1，当50AOC ∠=︒时，DOM ∠=__________；(2)如图2，当110AOC ∠=︒时，DOM ∠=__________；(3)如图3，当()150180AOC ∠αα=︒<<︒时，求DOM ∠的度数，借助图3计算；(4)由（1），（2），（3）问可知，当()0180AOC ββ∠=︒<<︒时，请直接写出无需说明理由）（2）解：如图2，∵AOC ∠∴40BOC ∠=︒，∵OM 平分BOC ∠，∴1202COM BOC ∠=∠=︒（3）解：∵(AOC ∠α=∴150BOC α∠=-︒，∵OM 平分BOC ∠，∴1122COM BOC ∠=∠=（4）解：当060β︒<<︒时，如图∵AOC β∠=，150AOB ∠=∴150BOC β∠=︒-，∵OM 平分BOC ∠，∴1752COM BOC ∠=∠=︒当60150β︒<<︒时，如图2，∵AOC β∠=，150AOB ∠=︒，∴150BOC β∠=︒-，∵OM 平分BOC ∠，∴117522COM BOC β∠=∠=︒-，。

线段和角的学习中注意类比思维的培养类比是数学的学习中，一种常用的思维方法．类比思想是指，在两个或多个问题中，能够抓住问题的共点，用同一种方法，或同一种思维形式去解决这些题．这样，就会使所学的知识形成体系，达到事半功倍的效果．在线段和角的学习中就有很多的问题，可以用类比的思维去思考．现举例如下：一、 数线段和数角的类比问题1：如图1：直线ι上有5个点，则图中共有多少条线段？问题2：如图2：从点O 发出5条射线，则图中有几个角？（指小于180°的角）分析：线段和角的构成有类似之处，线段有两端点，角有两个边． 找线段的时候主要找准两个端点，找角的时候主要找准角的两条边．解：以A 1为一个端点的线段有4条，同样以A 2 、A 3、A 4、A 5为一个端点的线段均有4条，但每一条线段都重复了一次，如：线段A 1A 2和线段A 2A 1为同一条线段．故有254⨯=10条．问题2中，同样可以先数以OA 为一边的角有4个．再数以OB 、OC 、OD 、OE 为一边的角均有4个．每个角也数重了一次，如：∠AOB 和∠BOA..所以有254⨯=10个． 二、 线段的中点和角的平分线的类比 我们先看一下线段的中点和角的平分线的概念． 如图3：如果C 是线段AB 的中点，则有： AC=BC=21AB （或AB=2AC=2BC ）． 图4：如果OC 是∠AOB 的平分线，则有：∠AOC=∠COB=21∠AOB （或∠AOB=2∠AOC=2∠COB ）．线段的中点和角的平分线的概念从图形的结构，和数量关系都很相似，那么在题目中涉及这两方面的知识我们就可以用同一种思路去解决．问题3：如图5：C 为线段AB 上任意一点，点D 、E 分别为AC 、BD 的中点．若AB=a 则DE 的长度为多少？ A1 A2 A3 A4 A5 图1 EO A B CD 图2 B C图3 O AB C图4A D BCE 图5解：DE=DC+CE=21AC+21CB=21（AC+CB ）= 21AB=21a 问题4：如图6：过直线AB 上任意一点O ，做射线OC ． 射线OD 、OE 分别平分∠AOC 和∠COB ，求∠DOE ． 解：∠DOE=∠DOC+∠COE=21∠AOC+21∠COB =21（∠AOC+∠COB ）= 21∠AOB=90°． 三、 分类讨论的类比问题5：在直线ι上取点A 、B ，使AB=10厘米，再取点C ，使AC=2厘米，M 、N 分别是AB 、AC 中点，求MN 的长．问题6：已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 和OC ，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC 的度数．分析：这两道题都没有给出具体的图形，在问题5中无法判断点C 的位置，点C 可以在线段AB 上,也可以在线段BA 的延长线上．在问题6中射线OC 可以在∠AOB 的内部，也可以在∠AOB 的外部．所以这两题都需要分类讨论．解：问题5当点C 在线段AB 上时，如图7,MN=AM －AN=21AB －21AC= 21×10－21×2=5－1=4（厘米）． 当点C 在线段BA 的延长线上时，如图8，MN=AM+AN= 21AB+ 21AC=5+1=6（厘米）．所以，MN 的长为4厘米或6厘米． 解：问题6当射线OC 在∠AOB 的内部时，∠AOC=∠AOB －∠BOC=60°－20°=40° 当射线OC 在∠AOB 的外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+20°=80°四、 比较大小可类比线段和角有相类似的比较方法，如“度量法”和“叠合法”．类比的思维会经常用到，是一种重要的思维形式．希望大家在以后的学习中，有更多的体会．OA CD E图6 图7图8。

思想方法专题：线段与角计算中的思想方法——明确解题思路，体会便捷通道◆类型一分类讨论思想在线段或角的计算中的应用【方法14】1．已知∠AOB＝90°，OC是它的一条三等分线，则∠AOC等于()A．30°或60°B．45°或60°C．30°D．45°2．已知点A、B、C在同一条直线上，且AC＝5cm，BC＝3cm，M、N分别是AC、BC 的中点．(1)画出符合题意的图形；(2)依据(1)的图形，求线段MN的长．3．★已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，试求∠COF的度数．◆类型二整体思想及从特殊到一般的思想4．如图，线段上的点依次增加，请你填写图中相应的线段数：(1)请猜想：当线段AB上有6个、10个点时(含A，B两点)，分别有几条线段？(2)当线段AB上有n(n为正整数且n≥2)个点(含A，B两点)呢？5．★已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.【方法13】(1)如图①，若∠AOC ＝30°，求∠DOE 的度数；(2)在图①中，若∠AOC ＝α，直接写出∠DOE 的度数(用含α的代数式表示)；(3)将图①中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．参考答案与解析1．A2．解：(1)点B 在线段AC 上，如图①所示；点B 在线段AC 的延长线上，如图②所示．(2)当点B 在线段AC 上时，由AC ＝5cm ，BC ＝3cm ，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，得MC ＝12AC ＝12×5＝52(cm)，NC ＝12BC ＝12×3＝32(cm)．由线段的和差，得MN ＝MC －NC ＝52－32＝1(cm)； 当点B 在线段AC 的延长线上时，同理可得MC ＝52cm ，NC ＝32cm.由线段的和差，得MN ＝MC ＋NC ＝52＋32＝4(cm)． 综上所述，线段MN 的长为1cm 或4cm.3．解：如图①，∵OE 平分∠AOB ，∠AOE ＝30°，∠BOD ＝20°，∴∠AOD ＝30°＋30°＋20°＝80°.∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD ＝∠AOD ＝80°.∵OF 平分∠BOC ，∴∠COF ＝(80°＋20°)÷2＝50°；如图②，∵OE 平分∠AOB ，∠AOE ＝30°，∠BOD ＝20°，∴∠AOD ＝30°＋30°－20°＝40°.∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD ＝∠AOD ＝40°.∵OF 平分∠BOC ，∴∠COF ＝(40°－20°)÷2＝10°.综上所述，∠COF 的度数为50°或10°.4．解：6 10(1)15条、45条． (2)12n (n －1)条． 5．解：(1)∵∠COD 是直角，∠AOC ＝30°，∴∠BOD ＝180°－90°－30°＝60°，∠COB＝180°－30°＝150°.∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOE ＝12∠BOC ＝75°，∴∠DOE ＝∠BOE －∠BOD ＝75°－60°＝15°.(2)∠DOE ＝12α. 解析：∵∠COD 是直角，∠AOC ＝α，∴∠BOD ＝180°－∠90°－α＝90°－α，∠COB ＝180°－α.∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOE ＝12∠BOC ＝90°－12α，∴∠DOE ＝∠BOE －∠BOD ＝90°－12α－(90°－α)＝12α. (3)∠AOC ＝2∠DOE .理由如下：∵∠BOC ＝180°－∠AOC ，OE 平分∠BOC ，∴∠COE ＝12∠BOC ＝12(180°－∠AOC )＝90°－12∠AOC .∵∠COD 是直角，∴∠DOE ＝∠COD －∠COE ＝90°－⎝⎛⎭⎫90°－12∠AOC ＝12∠AOC ，即∠AOC ＝2∠DOE .成功名言警句：2、对我来说，不学习，毋宁死。