人教版七年级(数学)下册思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法

1相交线与平行线中的数学思想在“相交线与平行线”这一章里，包含着很多数学思想方法，大家注意到了吗？下面举例进行说明．一、方程思想几何中常有一些求线段的长度或求角的大小的问题，对于这一类问题，我们可以借助题中的已知量与未知量之间的关系，想办法建立方程进行求解．例1 如图1，已知FC //AB //DE ，∠α：∠D ：∠B =2：3：4，求∠α，∠D ，∠B 的大小．分析：由已知∠α：∠D ：∠B =2：3：4，可以分别设∠α ， ∠D ，∠B 为2x °，3x °，4x °，再利用已知条件列出方程进行求解．解：二、转化思想在几何推理中，已知条件和要求的结论之间常常需要转化．转化条件、转化问题是常用的推理形式，必要时还要添加辅助线进行转化．例2 如图，一条公路GA 修到湖边时，要拐弯绕湖而过．第一次拐弯形成的角是∠A ，且∠A ＝120°；第二次拐弯形成的角是∠ABC ，且∠ABC =150°；第三次拐弯形成的角是∠C ，这时的道路CD 恰好和第一次拐弯之前的道路GA 平行．你知道∠C 是多少度吗？分析：解答此题需要借助辅助线把这三个角联系起来．既然题目中有平行关系，那么我们就要想办法把平行线和角联系起来．练习：1、如图，已知AB ∥CD ，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，若∠1＝64°，则∠3＝______度。

2、如图A 、B 、C 三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D ，试说明BD ∥CE2BDBDEB图4BEF3、小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB ∥CD ，∠BAE =30°，∠AED =70°。

小明发现工人师傅只是量出∠BAE =30°，∠AED =70°后，又量了∠EDC =40°，就说AB 与CD 肯定是平行的。

聪明的你知道什么原因吗？三、分类讨论思想在几何题中，有些题目未给出图形，这时我们就要结合题意画出图形，再解决问题。

人教版七年级下册相交线与平行线中的思想方法——明白解题思想，体会便捷渠道◆类型一方程思想1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE 把∠BOD分红两局部，且∠BOE∶∠EOD＝1∶2，那么∠AOE的度数为()A．180° B．160° C．140° D．120°第1题图第2题图2．(2021·无棣县期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠EOD＝4∶1，那么∠AOF的度数为________．3．如图，FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠α，∠D，∠B的度数．4．(2021·启东市期末)如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC.(1)假定∠DBC＝30°，求∠A的度数；(2)假定点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中能否存在与∠DFB相等的角？假定存在，请写出这个角，并说明理由；假定不存在，请说明理由．◆类型二分类讨论思想5．假定∠α与∠β的两边区分平行，∠α比∠β的3倍少36°，那么∠α的度数是()A．18° B．126°C．18°或126° D．以上都不对6．(2021·玄武区期末)在直线MN上取一点P，过点P作射线P A、PB.假定P A⊥PB，当∠MP A＝40°，那么∠NPB的度数是________________．7．(2021·江干区一模)一副直角三角尺按如图①所示方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边相互平行．如图②，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，那么∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其他一切能够契合条件的度数为___________________________________________________ _____________________．8．如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D 点，P是线段CD上的一个动点．当P在直线CD上运动时，请你探求∠1，∠2，∠3之间的关系．◆类型三(转化思想)应用平移停止转化求图形的周长或面积9．如图，直角三角形ABC的周长为100，在其外部有6个小直角三角形，那么6个小直角三角形的周长之和为________．第9题图10．(2021·惠山区期中)如图，直径为2cm的圆O1平移3cm到圆O2的位置，那么图中阴影局部的面积为________cm2.第10题图11．(2021·嘉祥县期末)如图，边长为8cm的正方形ABCD 先向上平移4cm，再向右平移2cm，失掉正方形A′B′C′D′，此时阴影局部的面积为________．12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC沿AB方向向右平移失掉三角形DEF.假定AE＝8cm，DB＝2cm.(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；(2)求四边形AEFC的周长．◆类型四从特殊到普通的思想13．(2021·蔡甸区月考)如图①，三条直线两两相交，且不共点，那么图中同旁内角有________对；如图②，四条直线两两相交，任三条直线不经过同一点，那么图中的同旁内角有________对．14．(2021·楚雄州期末)如图，AB∥CD，试处置以下效果：(1)∠1＋∠2＝________；(2)∠1＋∠2＋∠3＝________；(3)∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；(4)试探求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝____________．15．(2021·丛台区期末)如图，AB∥CD，∠ABE与∠CDE 两个角的平分线相交于点F.(1)如图①，假定∠E＝80°，求∠BFD的度数；(2)如图②，∠ABM＝13∠ABF，∠CDM＝13∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；(3)假定∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠CDF，设∠E＝m°，直接用含有n，m°的代数式表示∠M＝________．。

中小学教学设计、习题、试卷第五章订交线与平行线学科修养 ?思想方法一、转变与化归思想【思想解读】转变思想是把一种待解决的问题经过某种转变，归类到已经解决的问题中去. 转变思想在解数学题时，所给条件常常不可以直策应用，此时需要将所给条件进行转变，在解题中常常用到，它包含未知向已知的转变，陌生向熟习的转变，复杂向简单的转变，抽象向详细的转变；数与形的转变等.【应用链接】在证明线的地点关系或相关角度计算时，常利用平行线的性质把没相关系的角转变为对顶角或邻补角之间的关系进行办理，反之把拥有对顶角或邻补角关系转变为在同一个“三线八角” 图形构造中进行办理 .【典例 1】(2016 ·金华中考 ) 如图，已知 AB∥ CD， BC∥ DE.若∠ A=20°，∠ C=120°，则∠ AED的度数是 ________.【自主解答】如图，延伸AE交 BC于点 F，由于 AB∥ CD，∠ C=120°，因此∠ B=60°，又由于BC∥ DE，因此∠ AED=∠ AFC=∠ B+∠A=60° +20° =80°.答案： 80°【变式训练】(2017 ·同安区期中) 如图，已知∠1+∠ 2=180°，∠ B=∠ 3，你能判断∠C与∠ AED的大小关系吗？并说明原因.【分析】∠ C 与∠ AED相等，原由于：∵∠ 1+∠ 2=180° ( 已知 ) ，∠1+∠ DFE=180° ( 邻补角定义 ) ，∴∠ 2=∠ DFE(同角的补角相等 ) ，∴ AB∥ EF(内错角相等，两直线平行 ) ，∴∠3=∠ ADE(两直线平行，内错角相等 ) ，又∠ B=∠3(已知 ) ，∴∠ B=∠ ADE(等量代换 ) ，∴DE∥ BC(同位角相等，两直线平行 ) ，∴∠ C=∠ AED(两直线平行，同位角相等 ).二、分类议论思想【思想解读】分类议论思想是一种常有的数学思想方法. 详细来说，就是把包含多种可能状况的问题，按照某一标准分红若干类，而后对每一类分别进行解决.【应用链接】在几何问题中，波及到图形之间的地点关系不准时，需要应用分状况议论问题的方法.【典例 2】如图， AD∥ BC，当点 P 在射线 OM上运动时 ( 点 P 与点 A， B， O三点不重合 ) ，∠ ADP=∠ α，∠BCP=∠ β，求∠ CPD与∠α，∠β之间有何数目关系？请说明原因 .【自主解答】分三种状况进行议论：①当点 P 在 A， B 两点之间运动时，∠CPD=∠ α+∠ β .原因以下：如图(1) ，过点 P 作 PE∥ AD交 CD于点 E.∵AD∥ BC，∴ AD∥ PE∥ BC，∴∠ α =∠ DPE，∠β=∠ CPE，∴∠ CPD=∠DPE+∠ CPE=∠ α +∠β .②当点 P 在 BA延伸线上时，∠CPD=∠ β - ∠ α .原因以下：如图(2) ，过点 P 作 PE∥ AD交 CD于点 E.同①可知∠α =∠ DPE，∠β =∠CPE，∴∠ CPD=∠β - ∠ α .③当点 P 在 AB延伸线上时，∠CPD=∠ α - ∠ β .原因以下：如图(3) ，过点 P 作 PE∥ AD交 CD于点 E.同②可知∠α =∠ DPE，∠β =∠CPE，∴∠ CPD=∠α - ∠ β .上，将图中的△COD绕点 O 按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第________秒时，边CD恰巧与边AB平行 .【分析】①两三角形在点O的同侧时，如图1，设 CD与 OB订交于点E，∵AB∥ CD，∴∠ CEO=∠B=40°，∵∠ C=60°，∠ COD=90°，∴∠ D=90°-60 ° =30°，∴∠ DOE=∠CEO-∠ D=40° -30 ° =10°，∴旋转角∠ AOD=∠ AOB+∠ DOE=90° +10° =100°.∵每秒旋转10°，∴时间为100°÷ 10° =10( 秒).②两三角形在点O的异侧时，如图2，延伸 BO与 CD订交于点E，∵AB∥ CD，∴∠ CEO=∠B=40°，∵∠ C=60°，∠ COD=90°，∴∠ D=90°-60 ° =30°，∴∠ DOE=∠CEO-∠ D=40° -30 ° =10°，∴旋转角为270° +10° =280°，∵每秒旋转10°，∴时间为280°÷ 10° =28( 秒) ，综上所述，在第10 或 28 秒时，边CD恰巧与边 AB平行 .答案： 10 或 28三、方程思想【思想解读】方程思想，是从问题的数目关系下手，运用数学语言将问题中的条件转变为数学模型( 方程、不等式、或方程与不等式的混淆组) ，将问题中的已知量和未知量之间的数目关系经过适合设元成立起方程 ( 组 ) ，而后经过解方程( 组) 或不等式 ( 组 ) 来使问题获解的思想方式.【应用链接】在应用垂直、角均分线或角度之间的比值进行角度的计算时，常用方程的思想，建立方程解决问题 .【典例 3】(2017 ·浦东新区期中 ) 如图，直线 AB，CD订交于点O，OE均分∠ BOC，FO⊥ CD于点 O，若∠ BOD∶∠EOB=2∶ 3，求∠ AOF的度数 .【自主解答】设∠BOD=2x，∠ EOB=3x，∵OE均分∠ BOC，∴∠ COE=∠EOB=3x，则 3x+3x+2x=180 °，解得： x=22.5 °，∴∠BOD=45°，∴∠AOC=∠BOD=45°.∵FO⊥ CD，∴∠ AOF=90° - ∠ AOC=90° -45 ° =45° .。

要重视数学思想——七年级下“相交线与平行线”中的思想方
法
老师的话：
1.本章体现的主要方法有：基本图形(添加辅助线)法、分离图形法．
2．几种主要的数学思想：方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等．
一、基本图形(添加辅助线)法
1．如图，已知AB∥CD，探讨图中∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系，并请你说明成立的理由．
二、分离图形法
2．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？
三、方程思想
3．如图，由点O引出六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且AO⊥OB，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，若∠EOF＝170°，求∠COD的度数．
四、转化思想
4．如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明：BE⊥DE.
五、数形结合思想
5．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＋∠BMN＝180°.试说明：AB∥CD，MP∥NQ.
分类讨论思想
6．如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点，当P在线段CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．。

人教版七年级数学上册思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法——明确解题思想，体会便捷渠道◆类型一方程思想1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为()A．180°B．160°C．140°D．120°第1题图第2题图2．(2017·无棣县期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠EOD＝4∶1，则∠AOF的度数为________．3．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠α，∠D，∠B的度数．4．(2017·启东市期末)如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC.(1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数；(2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．◆类型二分类讨论思想5．若∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是() A．18°B．126°C．18°或126°D．以上都不对6．(2017·玄武区期末)在直线MN上取一点P，过点P作射线P A、PB.若P A⊥PB，当∠MP A ＝40°，则∠NPB的度数是________________．7．(2017·江干区一模)一副直角三角尺按如图①所示方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图②，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其他所有可能符合条件的度数为________________________________________________________________________．8．如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点．当P在直线CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．◆类型三(转化思想)利用平移进行转化求图形的周长或面积9．如图，直角三角形ABC的周长为100，在其内部有6个小直角三角形，则6个小直角三角形的周长之和为________．第9题图10．(2017·惠山区期中)如图，直径为2cm的圆O1平移3cm到圆O2的位置，则图中阴影部分的面积为________cm2.第10题图11．(2017·嘉祥县期末)如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为________．12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC 沿AB方向向右平移得到三角形DEF.若AE＝8cm，DB＝2cm.(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；(2)求四边形AEFC的周长．◆类型四从特殊到一般的思想13．(2017·蔡甸区月考)如图①，三条直线两两相交，且不共点，则图中同旁内角有________对；如图②，四条直线两两相交，任三条直线不经过同一点，则图中的同旁内角有________对．14．(2017·楚雄州期末)如图，已知AB∥CD，试解决下列问题：(1)∠1＋∠2＝________；(2)∠1＋∠2＋∠3＝________；(3)∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；(4)试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n ＝____________． 15．(2017·丛台区期末)如图，AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 两个角的平分线相交于点F .(1)如图①，若∠E ＝80°，求∠BFD 的度数；(2)如图②，∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，写出∠M 与∠E 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n ∠CDF ，设∠E ＝m °，直接用含有n ，m °的代数式表示∠M ＝________．参考答案与解析1．B 2.120°3．解：设∠α＝2x °，则∠D ＝3x °，∠B ＝4x °.∵FC ∥AB ∥DE ，∴∠2＋∠B ＝180°，∠1＋∠D ＝180°，∴∠2＝180°－∠B ＝180°－4x °，∠1＝180°－∠D ＝180°－3x °.又∵∠1＋∠2＋∠α＝180°，∴(180－3x )＋(180－4x )＋2x ＝180，解得x ＝36，∴∠α＝2x °＝72°，∠D ＝3x °＝108°，∠B ＝4x °＝144°.4．解：(1)∵BD 平分∠EBC ，∠DBC ＝30°，∴∠EBC ＝2∠DBC ＝60°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠EBC ＝120°.∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠ABC ＝180°，∴∠A ＝60°.(2)存在∠DFB ＝∠DBF .设∠DBC ＝x °，则∠EBC ＝2x °，∠ABC ＝2∠EBC ＝4x °.∵7∠DBC －2∠ABF ＝180°，∴7x °－2∠ABF ＝180°，∴∠ABF ＝⎝⎛⎭⎫72x －90°，∴∠CBF ＝∠ABC －∠ABF ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋90°，∠DBF ＝∠CBF －∠DBC ＝⎝⎛⎭⎫90－12x °.∵AD ∥BC ，∴∠DFB ＋∠CBF ＝180°，∴∠DFB ＝⎝⎛⎭⎫90－12x °，∴∠DFB ＝∠DBF . 5．C 解析：∵∠α与∠β的两边分别平行，∴∠α与∠β相等或互补．设∠α＝x °，∵∠α比∠β的3倍少36°，∴若∠α与∠β相等，则x ＝3x －36，解得x ＝18.若∠α与∠β互补，则x ＝3(180－x )－36，解得x ＝126，∴∠α的度数是18°或126°.故选C.6．50°或130° 解析：分两种情况：(1)如图①，∵P A ⊥PB ，∠MP A ＝40°，∴∠NPB ＝180°－90°－40°＝50°；(2)如图②，∵P A ⊥PB ，∠MP A ＝40°，∴∠MPB ＝50°，∴∠NPB ＝180°－50°＝130°.综上所述，∠NPB 的度数是50°或130°.7．45°，60°，105°或135° 解析：分以下四种情况：(1)AC ∥DE ，如图①，此时点B 在AE 上，∴∠BAD ＝45°；(2)AB ∥DE ，如图②，∴∠EAB ＝∠E ＝90°，∴∠BAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝135°；(3)BC ∥AD ，如图③，∴∠BAD ＝∠B ＝60°；(4)BC ∥AE ，如图④，∴∠BAE ＝∠B ＝60°，∴∠BAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝105°.综上所述，∠BAD 其他所有可能符合条件的度数为45°，60°，105°，135°.8．解：分以下三种情况：(1)当点P 在线段CD 上运动时，如图①.过点P 向左作PE ∥l .∵l 1∥l 2，∴PE ∥l 2.∴∠APE ＝∠1，∠BPE ＝∠3，∴∠2＝∠APE ＋∠BPE ＝∠1＋∠3.(2)当点P 在l 1上方运动时，如图②，过点P 向左作PF ∥l 2.∵l 2∥l 1，∴PF ∥l 1.∴∠FPB ＝∠3，∠FP A ＝∠1，∴∠2＝∠FPB －∠FP A ＝∠3－∠1.(3)当点P 在l 2下方运动时，如图③，过点P 向左作PM ∥l 2.∵l 1∥l 2，∴PM ∥l 1，∴∠APM ＝∠1，∠BPM ＝∠3，∴∠2＝∠APM －∠BPM ＝∠1－∠3.9．100 10.6 11.24cm 212．解：(1)∵三角形ABC 沿AB 方向向右平移得到三角形DEF ，∴AD ＝BE ＝CF ，EF ＝BC ＝3cm.∵AE ＝8cm ，DB ＝2cm ，∴AD ＝BE ＝CF ＝8－22＝3(cm)．(2)四边形AEFC 的周长为AE ＋EF ＋CF ＋AC ＝8＋3＋3＋4＝18(cm)． 13．6 24 14．(1)180° (2)360° (3)540° 解析：过点E ，F 向右作EG ，FH 平行于AB .∵AB ∥CD ，∴AB ∥EG ∥FH ∥CD ，∴∠1＋∠AEG ＝180°，∠GEF ＋∠EFH ＝180°，∠HFC ＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.(4)180°(n －1) 解析：易知有n 个角，需作(n －2)条辅助线，运用(n －1)次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n 个角的和是180°(n －1)．15．解：(1)如图，过点E 向左作EG ∥AB ，过点F 向右作FH ∥AB .∵AB ∥CD ，∴EG ∥AB ∥FH ∥CD ，∴∠ABF ＝∠BFH ，∠CDF ＝∠DFH ，∠ABE ＋∠BEG ＝180°，∠GED ＋∠CDE ＝180°，∴∠ABE ＋∠BEG ＋∠GED ＋∠CDE ＝360°.∵∠BEG ＋∠DEG ＝∠BED ＝80°，∴∠ABE ＋∠CDE ＝280°.∵∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于F ，∴∠ABF ＝12∠ABE ，∠CDF ＝12∠CDE ，∴∠ABF ＋∠CDF ＝12(∠ABE ＋∠CDE )＝140°，∴∠BFD ＝∠BFH ＋∠DFH ＝∠ABF ＋∠CDF ＝140°.(2)∵∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∴∠ABF ＝3∠ABM ，∠CDF ＝3∠CDM .∵∠ABE 与∠CDE 两个角的平分线相交于点F ，∴∠ABE ＝6∠ABM ，∠CDE ＝6∠CDM ，由(1)知∠ABE ＋∠E ＋∠CDE ＝360°，∴6∠ABM ＋6∠CDM ＋∠E ＝360°.过点M 向右作MN ∥AB ，易证∠M ＝∠ABM ＋∠CDM ，∴6∠M ＋∠E ＝360°.(3)360°－m °2n解析：由(2)可得，2n ∠ABM ＋2n ∠CDM ＋∠E ＝360°，∠M ＝∠ABM ＋∠CDM ，∴∠M ＝360°－m °2n .故答案为360°－m °2n.习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。