信号与系统 尺度变换证明

第一章信号与系统的基本概念一、信号的定义①广义地说，信号就是随时间和空间变化的某种物理量或物理现象.②在通信工程中，一般将语言、文字、图像、数据等统称为消息，在消息中包含着一定的信息③信号是消息的载体，是消息的表现形式，是通信的客观对象，而消息则是信号的内容④应当注意，信号与函数在概念的内涵与外延上是有区别的。

信号一般是时间变量t的函数，但函数并不一定都是信号，信号是实际的物理量或物理现象，而函数则可能只是一种抽象的数学定义。

二、信号的分类(1) 确定信号与随机信号。

按信号随时间变化的规律来分，信号可分为确定信号与随机信号。

实际传输的信号几乎都是随机信号。

因为若传输的是确定信号，则对接收者来说，就不可能由它得知任何新的信息，从而失去了传送消息的本意。

但是，在一定条件下，随机信号也会表现出某种确定性，例如在一个较长的时间内随时间变化的规律比较确定，即可近似地看成是确定信号。

随机信号是统计无线电理论研究的对象。

本书中只研究确定信号。

(2)连续时间信号与离散时间信号。

按自变量t取值的连续与否来分，信号有连续时间信号与离散时间信号之分，分别简称为连续信号与离散信号。

(3)周期信号与非周期信号。

设信号f(t)，t∈R，若存在一个常数T，使得f(t-nT)=f(t) n∈Z (1-1)则称f(t)是以T为周期的周期信号。

从此定义看出，周期信号有三个特点：1) 周期信号必须在时间上是无始无终的，即自变量时间t的定义域为t∈R。

2) 随时间变化的规律必须具有周期性，其周期为T。

3) 在各周期内信号的波形完全一样。

(4) 正弦信号与非正弦信号。

(5) 功率信号与能量信号。

三、信号的相关名词1. 有时限信号与无时限信号若在有限时间区间(t1＜t＜t2)内信号f(t)存在，而在此时间区间以外，信号f(t)=0，则此信号即为有时限信号，简称时限信号，否则即为无时限信号。

2. 有始信号与有终信号设t1为实常数。

若t＜t1时f(t)=0， t＞t1时f(t)≠0，则f(t)即为有始信号，其起始时刻为t1。

信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。

（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f j i dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。

如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。

《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、 周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。

（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。

2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量：2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑⎰∞∞-=t t f E d )(2def（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。

例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )3、典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+tt4、信号的基本运算 1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化 a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c)尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。

正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。

信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。

第一章 信号与系统 1、信号的分类①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。

③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：)0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00a t t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δy (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性)T[{0},{a x 1(0) +b x 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f (t - t d )] = y f (t - t d)(时不变性质)直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。

信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。

第一章信号与系统1、信号的分类①连续信号和离散信号②周期信号和非周期信号连续周期信号f(t)满足f(t) = f(t + mT)，离散周期信号f(k)满足f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。

③能量信号和功率信号④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - ×÷）2.1信号的（+ - ×÷）2.2信号的时间变换运算（反转、平移和尺度变换）3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f(t) δ(t) = f(0) δ(t) ， f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a)例：3.2序列δ(k)和ε(k)f(k)δ(k) = f(0)δ(k) f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质T [af (·)] = a T [ f (·)](齐次性)T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：y (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t) + f 2(t) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性))0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n ft t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d dd )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t aa at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00at t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δT[{0},{ax 1(0) +bx 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f(t - t d )] = y f (t - t d )(时不变性质) 直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。