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必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（此公理可以用来判断直线是否在平面内）。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面； （它们给出了确定一个平面的依据）。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（这条公共直线即为两个平面的交线）。
符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈ 且。
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
2．空间中直线与直线之间的位置关系（1）位置关系：两条直线⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
（3）两条异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）。
（易知：夹角范围090θ<≤︒）（4）等角定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
3．空间中直线与平面之间的位置关系直线l 与平面α//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点4．空间中平面与平面之间的位置关系平面α与平面β//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线5．直线与平面平行的判定及其性质定理定理 定理内容 符号表示直线与平面 平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行ααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ 平面与平面平行的判定 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行βαααββ//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂P b a b a b a 直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==βγαγβα（1）线面平行的其它判定方法 ①定义：直线与平面无公共点；②若两个平面平行，则在其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面； 符号语言：αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂； （2）面面平行的其它判定方法 ①定义：两个平面无公共点；②垂直于同一条直线的两个平面平行；符号语言：βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ； ③平行于同一个平面的两个平面平行；符号语言：βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫； ④如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行；符号语言：βαβα//,,////⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫==⊂⊂B d b A c a d b c a dc b a ;6．直线与平面所成的角（1）直线与平面垂直：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作l α⊥。
直线与平面平行第1页共6页直线与平面的位置关系知识点：1．直线与平面的位置关系；2．直线与平面平行的判定定理与性质定理； 3．线面平行的应用； 教学过程：1．直线与平面的位置关系；（1）直线在平面上：l α⊂---直线与平面有无数个交点；（2）直线在平面外：①l P α= ---直线与平面相交，只有一个交点；②//l α---直线与平面平行，没有交点；2．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行； （线线平行⇒线面平行） 已知：,,//a b a a b α⊄⊂ 求证：//a α 证明：（反证法）说明：用符号表示为：////a b a a a b αα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭例1.（1）直线α//,//111l l l ，则2l 与面α的位置关系是 ；（2）下列说法中正确的是 ①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则α//l ；②若直线l 在平面α外，则α//l；直线与平面平行第2页共6页BDFEAml βα③若α⊂221,//l l l ，则α//l ；④若α⊂221,//l l l ，则l 平行于α内无数条直线；(3).下列命题不正确的是 ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ；②若直线α//l，则l 与平面α内任意一条直线平行；③若两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也和这个平面平行； ④若一条直线l 和平面α内的一条直线m 平行，则α//l；例2.如图，已知,E F 分别是三棱锥A B C D -的侧棱,AB AD 的中点. 求证：//E F 平面BC D ．例3．在正方体ABCD D C B A -1111中，O 为底面A B C D 的中心。
求证：111//OC AB D .例4．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；已知：//l α，l β⊂，m αβ= ，求证：//l m ． （线面平行⇒线线平行）----线面平行的性质定理；说明：用符号表示为：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒ 。
高中数学知识点总结立体几何中的直线与平面的位置关系之直线与平面的交点直线与平面的交点是立体几何中的重要概念，对于理解空间几何关系和解题都至关重要。
本文将对高中数学中直线与平面的交点进行总结，包括直线与平面的位置关系以及求解交点的方法。
一、直线与平面的位置关系在立体几何中，直线与平面的位置关系主要有三种情况：直线与平面相交、直线与平面平行、直线在平面内。
1. 直线与平面相交当一条直线与平面有且只有一个交点时，称直线与平面相交。
在空间中，直线可以与平面相交于一个点，这个点即为直线与平面的交点。
2. 直线与平面平行当一条直线与平面没有交点，且它在平面上的任意一点都不在这个平面上时，称直线与平面平行。
平行的直线与平面始终保持等距离，它们的平行关系可以通过直线上的两点确定，或者通过直线的方向向量与平面的法向量是否垂直来判断。
3. 直线在平面内当一条直线完全位于一个平面内时，称直线在平面内。
直线在平面内时，它的任意两点都在这个平面上。
二、求解直线与平面的交点求解直线与平面的交点是解决空间几何问题的关键步骤。
下面介绍两种常见的求解方法：代入法和向量法。
1. 代入法代入法是利用直线的参数方程和平面的一般方程，将直线方程中的参数代入平面方程，从而求解交点的方法。
一般步骤如下：（1）将直线的参数方程表示为直线上一点的坐标；（2）将直线上一点的坐标代入平面的一般方程，得到一个关于参数的方程；（3）解这个关于参数的方程，求得参数的值；（4）将参数的值代入直线的参数方程，求得交点的坐标。
2. 向量法向量法利用直线的方向向量和平面的法向量，通过向量的数量积和线面垂直的性质来求解交点。
一般步骤如下：（1）将直线的方向向量表示为坐标形式；（2）将平面的法向量表示为坐标形式；（3）求出直线的方向向量与平面的法向量的数量积；（4）若数量积为零，则直线与平面平行或重合，无交点；（5）若数量积不为零，则设直线与平面的交点坐标为(x, y, z)，列方程求解。
高中数学解析几何知识点归纳总结
1. 直线与平面的位置关系
- 直线与平面的交点可以有三种情况：交于一点、平行或重合。
- 直线与平面的夹角可以分为三种情况：直线在平面内、直线
与平面垂直或直线在平面外。
- 两个平面的位置关系可以分为三种情况：相交于一直线、平
行或重合。
2. 平面的方程
- 平面的方程有两种形式：点法式和一般式。
- 点法式方程：通过平面上一点和法向量来确定平面方程。
- 一般式方程：由平面的法向量和一个常数项确定平面方程。
3. 直线的方程
- 直线的方程也有两种形式：点向式和一般式。
- 点向式方程：通过直线上一点和方向向量来确定直线方程。
- 一般式方程：由直线的法向量和一个常数项确定直线方程。
4. 平面和直线的距离
- 平面和直线的距离可以使用点到平面的距离公式或点到直线
的距离公式。
5. 直线与直线的位置关系
- 直线与直线的位置关系可以分为三种情况：相交于一点、平
行或重合。
6. 空间中的球面与圆
- 空间中的球面方程与二维平面上的圆方程类似。
- 空间中的球面与圆的方程可以通过中心点和半径来确定。
7. 二次曲线
- 二次曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
- 二次曲线的方程可以通过焦点、直径等要素来确定。
以上是高中数学解析几何的一些主要知识点。
通过研究和掌握
这些知识，你将能够更好地理解和应用解析几何的相关概念和方法。
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结立体几何知识点总结1.直线在平面内的判定1利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内;则这条直线在平面内.2若两个平面互相垂直;则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;即若α⊥β;A∈α;AB⊥β;则ABα.3过一点和一条已知直线垂直的所有直线;都在过此点而垂直于已知直线的平面内;即若A∈a;a⊥b;A∈α;b⊥α;则aα.4过平面外一点和该平面平行的直线;都在过此点而与该平面平行的平面内;即若Pα;P∈β;β∥α;P∈a;a∥α;则aβ.5如果一条直线与一个平面平行;那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内;即若a∥α;A∈α;A∈b;b∥a;则bα.2.存在性和唯一性定理1过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；2过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；3过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；4与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；5过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；6过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；7过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；8过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质1点在平面上的射影自一点向平面引垂线;垂足叫做这点在这个平面上的射影;点的射影还是点.2直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线;过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.3图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时;射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时;射影仍是一个图形.4射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：i射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长；ii相等的斜线段的射影相等;较长的斜线段的射影也较长；iii垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行;并且方向相同;则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行;则这两组直线所成的锐角或直角相等.异面直线所成的角1定义：a、b是两条异面直线;经过空间任意一点O;分别引直线a′∥a;b′∥b;则a′和b′所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角.2取值范围：0°＜θ≤90°.3求解方法①根据定义;通过平移;找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形;求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角1定义和平面所成的角有三种：i垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角;叫做这条直线和这个平面所成的角.ii垂线与平面所成的角直线垂直于平面;则它们所成的角是直角.iii一条直线和平面平行;或在平面内;则它们所成的角是0°的角.2取值范围0°≤θ≤90°3求解方法①作出斜线在平面上的射影;找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形;求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角;是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角;亦可说;斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角1半平面直线把平面分成两个部分;每一部分都叫做半平面.2二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱;这两个平面叫做二面角的面;即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交;则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量;通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°3二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点;分别在两个面内作垂直于棱的射线;这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图;∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：i二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面;即AB⊥平面PCD.ii从二面角的平面角的一边上任意一点异于角的顶点作另一面的垂线;垂足必在平面角的另一边或其反向延长线上.iii二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直;即平面PCD⊥α;平面PCD⊥β.③找或作二面角的平面角的主要方法.i定义法ii垂面法iii三垂线法Ⅳ根据特殊图形的性质4求二面角大小的常见方法①先找或作出二面角的平面角θ;再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积;S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积;α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离点到平面的距离1定义面外一点引一个平面的垂线;这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.2求点面距离常用的方法：1直接利用定义求①找到或作出表示距离的线段；②抓住线段所求距离所在三角形解之.2利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上;则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点;和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h;求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4转化法将点到平面的距离转化为平行直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离1定义一条直线和一个平面平行;这条直线上任意一点到平面的距离;叫做这条直线和平面的距离.2求线面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离;然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面;把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离1定义个平行平面同时垂直的直线;叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分;叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.2求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离;再转化为线线平行距离;最后转化为点线面距离;通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离1定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度;叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.2求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件;找出或作出两条异面直线的公垂线段;再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。
点线面的位置关系知识点在几何学中，点、线和面是三个基本的几何概念，它们之间存在着一系列的位置关系。
这些位置关系的理解对于解决几何问题以及应用几何知识有着重要的意义。
本文将介绍点线面的位置关系的几个重要知识点。
一、点与直线的位置关系1. 在直线上：当一个点恰好位于一条直线上时，我们可以说这个点在直线上。
例如，点A在直线AB上。
2. 在直线的两侧：如果一个点既不在直线上，也不在直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的两侧。
例如，点C在直线AB的两侧。
3. 在直线的延长线上：如果一个点不在直线上，但位于直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的延长线上。
例如，点D在直线AB的延长线上。
4. 平行于直线：如果一条直线与给定直线没有任何交点，我们可以说这条直线平行于给定直线。
例如，直线CD平行于直线AB。
二、点与平面的位置关系1. 在平面上：当一个点位于一个平面内部时，我们可以说这个点在平面上。
例如，点A在平面P上。
2. 不在平面上：如果一个点既不在平面上，也不在平面的延长线上，我们可以说这个点不在平面上。
例如，点B不在平面P上。
3. 在平面的延长线上：如果一个点不在平面上，但位于平面的延长线上，我们可以说这个点在平面的延长线上。
例如，点C在平面P的延长线上。
4. 垂直于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都垂直，我们可以说这条直线垂直于给定平面。
例如，直线EF垂直于平面P。
三、直线与平面的位置关系1. 相交于一点：当一条直线与平面有且仅有一个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一点。
例如，直线L与平面P相交于点A。
2. 平行于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都平行，我们可以说这条直线平行于给定平面。
例如，直线M平行于平面P。
3. 包含于平面：当一条直线上的所有点都位于给定平面上时，我们可以说这条直线被包含于给定平面中。
例如，直线N被包含于平面P 中。
4. 相交于一条线：当一条直线与平面有无穷多个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一条线。
初中数学知识归纳直线与平面的位置关系与判定直线与平面是数学中常见的几何概念，在初中数学中也是重要的知识点之一。
了解直线与平面的位置关系以及判定方法，对于解决几何问题具有重要的意义。
本文将对初中数学中关于直线与平面的位置关系与判定进行归纳总结，帮助读者加深对这一知识点的理解。
一、直线与平面的基本概念在开始讨论直线与平面的位置关系与判定之前，我们首先需要了解直线与平面的基本概念。
1. 直线：直线是由无数个点按照同一方向延伸而成的。
直线没有宽度和厚度，只有长度。
直线可以用两个不同于的点确定，也可以用一个点和一个方向向量确定。
2. 平面：平面是由无数个点组成的，平面上的任意两点可以确定一条直线。
平面有无穷无尽的长度和宽度，但没有厚度。
平面可以用三个不共线的点确定，也可以用一个点和两个不在同一条直线上的方向向量确定。
二、直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系主要有以下几种情况。
1. 直线在平面上：当一条直线上的所有点都在一个平面上时，我们可以说这条直线在该平面上。
我们可以用直线与平面的交点来判定直线是否在平面上。
2. 直线与平面相交：如果一条直线与一个平面有一个交点，则称这条直线与平面相交。
当一条直线与一个平面相交时，我们可以通过直线和平面的方程来求解交点的坐标。
3. 直线与平面平行：如果一条直线与一个平面不存在交点，并且直线上的任意一点到平面的垂直距离都相等，则称这条直线与平面平行。
我们可以通过直线和平面的方程来判定直线与平面是否平行。
4. 直线在平面上延伸：当一条直线上的部分点在平面上，而其他点在平面的同一侧时，我们可以说这条直线在平面上延伸。
三、直线与平面的判定方法在解决实际问题时，我们需要根据已知条件判定直线与平面的位置关系。
下面是几种常见的直线与平面的判定方法。
1. 直线与平面的相交判定：当已知一条直线和一个平面的方程时，我们可以将直线的方程代入平面的方程，然后求解方程组。
如果方程组有唯一解，即交点存在，则直线与平面相交；如果方程组无解，则直线与平面平行。
直线与平面的位置关系知识点总结直线与平面之间的位置关系是几何学中重要的内容之一，涉及到直线与平面的相交、平行以及垂直等相关概念与性质。
本文将对这些知识点进行总结，以帮助读者更好地理解并应用于实际问题。
一、直线与平面的相交关系1. 直线与平面相交的基本条件是直线不在平面内，即直线与平面不能共面。
2. 直线与平面相交有三种情况：a. 直线与平面相交于一点，此时直线称为平面的切线，而平面称为直线的切平面。
b. 直线与平面相交于一条直线，此时直线与平面互相交于一个点，该直线称为平面的截线，平面也称为直线的截面。
c. 直线与平面相交于无穷多个点，此时称为直线与平面的交。
3. 根据欧氏几何的公理，一条直线与平面交于一点后，该直线在平面上的每一点都与该平面有且只有一个交点。
二、直线与平面的平行关系1. 直线与平面平行的基本条件是直线与平面不相交，即两者没有任何公共点。
2. 直线与平面平行有以下情况：a. 直线与平面在空间中没有交点，此时称直线与平面平行。
b. 直线在平面上，但不在平面内，此时称直线与平面平行。
3. 欧氏几何的公理表明，两条直线分别与同一个平面平行，则这两条直线之间平行。
三、直线与平面的垂直关系1. 直线与平面垂直的基本条件是直线上的任意一条线段与平面上的任意一条线段互相垂直。
2. 直线与平面垂直有以下情况：a. 直线与平面相交，并且直线上的每一条线段都与平面上的每一条线段垂直，则称直线与平面垂直。
b. 直线在平面内，但不在平面上。
此时，直线与平面射线是互相垂直的。
3. 欧氏几何的公理表明，直线与平面垂直，则平面上的任意一条线段与直线上的任意一条线段皆垂直。
四、其他相关知识点1. 平面同时和一条直线的两个点重合，则称该直线在平面上。
2. 平面同时和一条直线的一个点重合，则称该直线在平面内。
3. 平面绕着一条直线旋转，可以得到一组平行于原平面的平面，这个过程叫做平面的旋转。
总结：直线与平面的位置关系包括相交、平行和垂直等几种情况。
线与平面的关系知识点总结1. 线与平面的位置关系线与平面的位置关系是指直线和平面之间的相对位置。
根据位置关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线在平面内当一条直线完全位于一个平面内时，我们称这条直线在平面内。
这时，直线的任意一点都在平面内，直线与平面重合。
（2）直线与平面相交当一条直线和一个平面相交于一点，但不在平面内时，我们称这条直线与平面相交。
这时，直线穿过平面，但不在平面内部。
（3）直线与平面平行当一条直线与一个平面相交，但与平面的交点无穷多，且直线与平面的方向相同时，我们称这条直线与平面平行。
这时，直线和平面永远不会相交。
（4）直线与平面垂直当一条直线与一个平面相交，且直线与平面的夹角为90°时，我们称这条直线与平面垂直。
这时，直线和平面的交点在平面内，直线和平面互相垂直。
2. 线与平面的相交关系线与平面的相交关系是指直线和平面之间的交点个数和位置关系。
根据相交关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线与平面相交于一点当一条直线与一个平面相交于一个点时，我们称这条直线与平面相交于一点。
这时，直线通过平面上的一个点。
（2）直线与平面相交于一条直线当一条直线与一个平面相交于一条直线时，我们称这条直线与平面相交于一条直线。
这时，直线穿过平面，但不在平面内部。
（3）直线与平面相交于多个点当一条直线与一个平面相交于多个点时，我们称这条直线与平面相交于多个点。
这时，直线穿过平面，且在平面上有多个交点。
3. 线与平面的垂直关系线与平面的垂直关系是指直线和平面之间的夹角关系。
当直线和平面互相垂直时，它们之间的夹角为90°，即直线与平面相互垂直。
根据垂直关系的不同，线与平面可以分为以下几种情况：（1）直线与平面垂直当一条直线与一个平面相交，且直线与平面的夹角为90°时，我们称这条直线与平面垂直。
这时，直线和平面互相垂直。
（2）平面与平面垂直当两个平面的法向量互相垂直时，我们称这两个平面互相垂直。
一、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=A a||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）判定文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则直线和平面平行（定义）平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形条件a与α无交点结论a∥αb∥α※判定定理的证明知识点二、直线与平面平行的性质性质文字描述一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行．图形条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b结论a∩α＝∅a∥b线面平行，则线线平行特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。
图形条件α∩β＝∅a，b⊂βa∩b＝Pa∥αb∥αl⊥αl⊥β结论α∥βα∥βα∥β性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形条件α∥ββ∩γ＝bα∩γ＝a α∥β a⊂β结论a∥b a∥α二、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 判定语言描述 如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直，记作l ⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形条件b 为平面α内的任一直线，而l 对这一直线总有l ⊥αl ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α 结论l ⊥α l ⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）性质语言描述 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上ⅱ. 线在面内 ⅲ.与棱垂直Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：00180θ<<.定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形结果α∩β=l α-l-β=90o α⊥β“任何”“随意”“无数”等字眼知识点五、平面和平面垂直的性质面面垂直线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直）例题1.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是A. EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）A.a⊄α,b⊂α,a∥b B .b⊂α,a∥bC. b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cD. b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD3下列命题正确的是（ D F ）A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,b⊄α，那么b∥α4在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行5已知m 、n 为两条不同的直线，a 、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．,,m n αα⊂⊂m ∥β，n ∥β⇒a ∥βB ．a ∥β，,m n αβ⊂⊂⇒m ∥nC ．m ⊥a,m ⊥n ⇒n ∥aD ．n ∥m,n ⊥a ⇒m ⊥a 6.下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点 求证：E F ‖平面BCD8题图 9题图9.如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60 ， ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;(2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.课堂练习A 组3.m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β； ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.4.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2,E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
空间中直线与平面之间的位置关系文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]空间中直线与平面之间的位置关系知识点一 直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。
2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．(3)直线与平面位置关系的图形画法：①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。
例1、下列命题中正确的命题的个数为 。
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。
变式1、下列说法中正确的是 。
①直线l平行于平面α内无数条直线，则lααααbα⊂答案：B⊂bαα⊂变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B 相交，直线CD 与直线A′B 异面，所以A 、B 都不正确；平面ABCD内不存在与a 平行的直线，所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α,以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.变式2、若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a 平行的直线分析：∵直线a ⊄α,∴a ∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A.知识点二 直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、 直线和平而平行的定义如杲一条亶线和一个平而没有公共点，那么这条直线和这个平而平行。
2、 直线与平面位置关系的分类(1) 直线与平而位昼关系可归纳为(玄线和平面平行①按公共点个数分类:直线和平面不平行「直线在平面内②按是否在平面内分类［直线不在平面内 (2) 在直线和平面的位宜关系中，亶线和平面平行，直线和平面相交统称亶线在平而外，我们用记号"U Q 来表示all a 和dp|a = A 这两种情形•⑶宜线与平而位蜀关系的图形画法：① 画直线a 在平而a 内时，裘示亶线a 的直线段只能在表示平而a 的平行四边形内，而 不能有部分在这个平行四边形之外，这爱因为这个用来丧示平面的平行四边形的四周应曼无 限延伸而没有边界的，闵而这条直线不可能有某部分在某外；② 在画宜线a 与平而&相交时，表示直线；1的线段必须有部分在表示平而a 的平行四边 形之外，这样吒能与丧示亶线在平面內区分开来，又具有较强的立体感；③ 画亶线与平面平行时，晟克观的画法是用来裘示熨线的线在用来表示平而的平行四边形之 外，且与某一边平行。
例1、下列命題中正确的命•題的个数为 ______ o① 如果一条直线与一平而平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如栗一 条亶线与一平面相交，那么这条直线与平而內的无數条宜线垂直；③过平而外一点有且只有 一条宜线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平而的距离相等，则这条克线平行于这个 平面。
炎式1、下列说法中正确的是 ______ O① 直线/平行于平面a 內无數条直线，则〃/a ；② 若宜线Q 在平面a 外，则a//a ；③ 若直线a//b,直线bua,则a//a ；宜线和平面相交 宜线在平面内宜线和平面相交直线和平面平行④若直线a//b,直线bug 那么直线2就平行于平面a內的无數条宜线。
变式2、下列命题中正确的个数是（）①若直线1上有无数个点不在平而a内，则l//a②若直线1与平而a平行，则1与平而a内的任蕙一条直线都平行③如杲两条平行直线中的一条与一个平而平行，那么另一条也与这个平而平行④若直线1与平而Ot平行，则1与平而0C内的任意一条直线都没有公共点A.OB.lC.2D.3分析：如图2,图2我们借助长方体模型，AA,所在直线有无数点在平面ABCD外，但AA,所在直线与平面ABCP相交，所以命题①不正确；A IB I所在直线平行于平面ABCD, 显然不平行于BD,所以命題②不正确；所在直线平行于平面ABCP,但直线ABU平面ABCP.所以命题③不正确；1与平面0C平行，则1与a无公共点,1与平面«內所有直线都没有公共点，所以命题④正确. 卷案:B萸式3、若直线1上有两个点到平而oc的距离相等，讨论直线1与平而oc的位置关系.0 3解：直线1与平而oc的位亘关系有两种悄况（如图3）,直线与平而平行或賣线与平而相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面工內，讨论另一条直线与平而oc的位置关系.用符号语言表示为：若arib=A,bC：a,R>] aCZa或aAa=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平而oc内，讨论另一条直线与平面oc的位虽关系.用符号语言表示为：若a与b异而则b//工或bAa=A.例3、若直线狄不平行于平而oc,且 y 则下列结论成立的是() A.a 内的所有直线与n 异而 B.oc 內的宜线与久都相交例如直线X B 与平而ABCD 相交，恵线AB 、CD 在平而ABCP 内，直线AB 与直线？/ B 相交，賣线CD 与直线工B 异面，所以A. B 都不正确；平面ABCP 內不存在与a 平行的 直线，所以应选D ・ 变式1.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平而oc 的距离相等，且Aga,以下三个命题： ①AABC 中至少有一条边平行于oc;②AABC 中至多有两边平行于oc ；③ZLABC 中只可能有一条边与oo 相交.其中真命题畏 _______________ .其中真命题是①.萸式2、若賣线aCa,则下列结论中成立的个数是( (1) 00内的所有直线与a 异面 ⑵a 內的賣线与a 都相交 內不存在与次平行的直线A.OB.lC.2D.3分析：丁 直线 a (Za,/.a // a 或 ap|a=A.如图9,显然⑴⑵⑶(4)都有反例，所以应选A.咎案：A.知识点二直线与平面平行1、直线与平面平行的判定龙理：如杲平而外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平而平行。
空间几何中的平面与直线的位置关系知识点在空间几何中，平面与直线是两个基础的几何要素，它们的位置关系是研究空间几何的重要内容之一。
本文将介绍平面与直线的一些常见位置关系知识点。
一、平面与直线的相交关系1. 平面与直线相交于一点：当一个直线与一个平面有且只有一个交点时，我们称这条直线与该平面相交于一点。
例如，直线AB与平面P 相交于点C。
2. 平面与直线相交于多点：当一个直线与一个平面有多个交点时，我们称这条直线与该平面相交于多点。
例如，直线AB与平面P相交于点C、点D。
3. 平面与直线相交于无穷点：当一个直线与一个平面相交于无穷多个点时，我们称这条直线与该平面相交于无穷点。
例如，直线AB与平面P相交于无穷多个点。
二、平面与直线的平行关系1. 平面与直线平行：当一个直线与一个平面没有交点且在平面内的任意一点作该直线的垂线都在该平面上时，我们称这条直线与该平面平行。
例如，直线AB与平面P平行。
2. 平面与平面平行：当两个平面内分别取一条平行线，且这两条平行线在两个平面上的对应点连线都平行于这两个平面的交线时，我们称这两个平面平行。
例如，平面P与平面Q平行。
三、平面与直线的垂直关系1. 平面与直线垂直：当一个直线在一个平面内的任意一点作该平面的垂线时，该直线与该平面垂直。
例如，直线AB与平面P垂直。
2. 平面与平面垂直：当两个平面交于一条直线，且这条直线在两个平面内的任意一点作两个平面的垂线时，我们称这两个平面垂直。
例如，平面P与平面Q垂直。
四、平面与直线的倾斜关系1. 平面与直线倾斜：当一个直线与一个平面既不平行也不垂直时，我们称这条直线与该平面倾斜。
例如，直线AB与平面P倾斜。
总结：在空间几何中，平面与直线的位置关系可分为相交关系、平行关系、垂直关系和倾斜关系。
准确理解和掌握这些位置关系是解决空间几何问题的基础，通过合理运用这些知识点，我们能够更好地分析和计算平面与直线之间的关系，进而应用于实际问题的解决中。
空间中的平行关系一、基本知识点（Ⅰ）直线与平面平行 1．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:a αØ，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: a A α= ，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: //a α．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⇒Ø．3. 直线与平面平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。
4 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l m αβαβ=⇒ Ø．（Ⅱ）平面与平面平行1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．2．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．3．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：a β⊂，b β⊂，a b P = ，//a α，//b α//βα⇒． 平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''==⇒ 刎刎．4. 证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。
利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。
（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。
初中数学知识点直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系是初中数学中的一项重要内容，它涉及到了数学几何的基本概念和定理。
在二维几何中，直线和平面是两个基本几何要素，它们的相互关系对于解题和应用问题有着重要的指导作用。
下面我们将详细论述直线与平面的位置关系，从而帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、直线在平面上的位置关系1. 直线与平面相交于一点。
当一条直线与平面相交于一个点时，这条直线与平面的位置关系被称为相交关系。
在数学几何中，我们学过的射线和线段都可以看作是直线的一种特殊情况。
当射线或线段与平面相交于一个端点时，它们与平面的位置关系也可以称为相交关系。
2. 直线与平面平行。
当一条直线与平面上的所有点之间没有交点时，这条直线与平面的位置关系被称为平行关系。
在平面几何中，两条直线平行的判定方法有很多，比如使用平行线的性质、使用直线的斜率等等。
平行关系是直线与平面的一种重要的位置关系，在解题中经常会遇到。
3. 直线包含在平面内。
当一条直线上的所有点都在平面内时，这条直线与平面的位置关系被称为包含关系。
简单来说，包含关系就是直线完全位于平面内部，没有任何部分超出平面。
二、直线与平面的交点个数直线与平面的相交关系不仅仅可以是一个点，有时也可能是多个点。
下面我们讨论几种常见的情况：1. 直线与平面相交于一点。
当一条直线只与平面相交于一个点时，这种情况是最简单也是最常见的。
在解题中，我们可以使用点线距离公式等方法来判断该直线与平面的位置关系。
2. 直线与平面相交于一条线段或射线。
当一条直线与平面相交于一条线段或射线时，我们需要关注这段线段或射线的起点和终点，以及与平面的交点个数。
在解题中，我们常常使用线段与平面的交点个数来回答问题。
3. 直线与平面相交于多个点。
当一条直线与平面相交于多个点时，这种情况比较特殊。
在解题中，我们需要利用线段与平面的交点个数、曲线与平面的交点个数等多种方法来判断直线与平面的位置关系。
直线与平面的位置关系知识点归纳-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANP · αL βDCBA α 第二章 直线与平面的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈LB ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；L A ·α C ·B· A · α 共面直线=>a ∥c2③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线'a∥a, 'b∥b,我们把'a与'b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。
（注意：异面直线所成的角不大于90 ）。
—空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α.直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a∥αa∥b平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：a βb βa∩b = P β∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
—直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：a∥αa β a∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：α∥βα∩γ= a a∥bβ∩γ= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
Lpα2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 l βBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
—直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图基础练习一选择题1.若直线a、b都和平面α平行,则直线a、b的位置关系是().A.相交B.平行C.异面D.以上三者都有可能【解析】可以画出直线a、b的三种位置关系的图形.【答案】D2.给出下列结论:①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,b⊂α,则a∥α;④若直线a∥b,b⊂α,则直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中结论正确的个数为().A .1 B. 2 C. 3 D. 4【解析】①直线l还可能在平面α内,所以①错误;②直线a还可能与平面α相交,所以②错误;③直线a还可能在平面α内,所以③错误;④平面α内,与直线b平行的直线都与直线a平行,所以④正确.【答案】A3.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有().对对对对【解析】根据异面直线的定义可知共3对,分别为AP与BC,CP与AB,BP与AC.【答案】C4.过一点与已知直线垂直的直线有().A.一条B.两条C.无数条D.无法确定【解析】过一点与已知直线垂直的直线有无数条,包括相交垂直和异面垂直.【答案】C5.在两个平面内分别取一条直线,若这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数().A.有限个B.无限个C.没有D.没有或无限个【解析】两平面相交或者平行,因此这两个平面没有公共点或有无限个公共点.【答案】D6.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面().A.平行B.相交C.平行或重合D.平行或相交【解析】若三点在平面的同侧,则两平面平行;若三点在平面的异侧,则两平面相交.【答案】D7.下列说法中,正确的个数是().①平行于同一平面的两条直线平行.②直线a平行于平面α内的一条直线b,那么直线a∥平面α.③若两平行直线中的一条与平面α相交,那么另一条也与平面α相交.④直线a与平面α内的无数条直线相交,那么直线a在平面α内.【解析】只有③正确.【答案】B,b是两条直线,α是一个平面,给出下列三个命题:①如果a∥b,b⊂α,那么a∥α;②如果a∥α,b∥α,那么a∥b;③如果a∥b,a∥α,那么b∥α.其中真命题有().个个个个【解析】①中,a有可能在平面α内,故①不正确;平行于同一个平面的两条直线不一定平行,故②不正确;③中,b有可能在平面α内,故③不正确.综上可知,选A.【答案】A9.平面α,β满足α∥β,直线a⊂α,下列四个命题中:①a与β内的所有直线平行;②a与β内的无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不相交;④a与β无公共点.其中正确命题的个数是().【解析】因为α∥β,直线a⊂α,所以a与β内的直线平行或异面,由此可知①错,其他均正确.【答案】C10.已知A、B、C、D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H,则四边形EFGH是().A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】A11.若平面α外的直线a与平面α所成的角为θ,则θ的取值范围是().A.(0,)B.[0,)C.(0,]D.[0,]【解析】当a∥α时,θ=0;当a⊥α时,θ=;a和α斜交时,θ的取值范围是(0,),综上,θ的取值范围是[0,].【答案】D为△ABC所在平面外的一点,且PA、PB、PC两两垂直,则下列命题:①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.其中正确的个数是().【解析】∵PA⊥PB,PA⊥PC,∴PA⊥平面PBC,∴PA⊥BC,即①正确,同理可证得②③正确.【答案】D13.室内有一根直尺,无论怎么样放置,在地面上总有这样的直线,它与直尺所在的直线().A.异面B.相交C.平行D.垂直【答案】D14.若平面α、β互相垂直,则().A.α中的任意一条直线都垂直于βB.α中有且只有一条直线垂直于βC.平行于α的直线垂直于βD.α内垂直于交线的直线必垂直于β【答案】D15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为().A. B. C. D.【解析】利用三棱锥A1-AB1D1的体积变换:=,则×2×4=×6×h,解得h=.【答案】C16.点P是等腰三角形ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,PA=8,在△ABC中,底边BC=6,AB=5,则P到BC的距离为().【解析】作AD⊥BC于D,连接PD,易证PD⊥BC,故PD的长即为P到BC的距离,易求得AD=4,PD=4.【答案】A17.已知m,n表示两条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,给出下列三个命题:(1)⇒m∥n;(2)⇒n∥α;(3)⇒m⊥n.其中推理正确的个数为().【解析】若则m∥n,即命题(1)正确;若则n∥α或n⊂α,即命题(2)不正确;若则m⊥n,即命题(3)正确.故选C.【答案】C18.如图,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是().A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC【解析】∵D∈l,l⊄平面β,∴D∈平面β.∵D∈AB,AB⊄平面ABC,∴D∈平面ABC,∴D在平面ABC与平面β的交线上.∵C∈平面ABC,且C∈平面β,∴C在平面β与平面ABC的交线上,∴平面ABC∩平面β=CD.【答案】C二填空题1.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,且EF=5,又AD=6,BC=8,则AD与BC所成角的大小为.【解析】取AC中点G,连接EG,FG,在△EFG中,EG∥BC,EG=BC=4,FG∥AD,FG=AD=3,又知EF=5,∴∠EGF=90°,∴AD与BC所成角为90°.【答案】90°2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线.(1)∠DBC的两边与的两边分别对应平行且方向相同;(2)∠DBC的两边与的两边分别对应平行且方向相反.【解析】(1)B1D1∥BD,B1C1∥BC,并且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同.(2)D1B1∥BD,D1A1∥BC,并且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别对应平行且方向相反.【答案】(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A13.若a⊂α,b⊂β,则a与b的位置关系是.【解析】可能异面,也可能存在平面γ,使a⊂γ,且b⊂γ,即a与b仍可以在同一平面内.【答案】平行、相交或异面4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC、C1D1的中点,则EF与平面BB1D1D的位置关系是.【解析】如图,取D1B1的中点O,连接OF,OB.∵OF B1C1,BE B1C1,∴OF BE,∴四边形OFEB为平行四边形,∴EF∥BO.∵EF⊄平面BB1D1D,BO⊂平面BB1D1D,∴EF∥平面BB1D1D.【答案】平行5.平面α∥平面β,△ABC和△A'B'C'分别在平面α和平面β内,若对应顶点的连线共点,则这两个三角形.【解析】由于对应顶点的连线共点,则AB与A'B'共面,由面与面平行的性质知AB∥A'B',同理AC∥A'C',BC∥B'C',故两个三角形相似.【答案】相似6.过平面外一点作该平面的垂线有条;垂面有个;平行线有条;平行平面有个.【答案】一无数无数一7.已知AH⊥Rt△HEF所在的平面,且HE⊥EF,连接AE、AF,则图中直角三角形的个数是.【解析】易知△AHE,△AHF,△HEF为直角三角形,又因为EF⊥HE,EF⊥AH,所以EF⊥平面AEH,所以EF⊥AE,即△AEF也是直角三角形.综上所述,图中直角三角形个数为4.【答案】48.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线C1D与平面B1CD所成的角为.【解析】连接C1B交B1C于点O,根据直线C1B⊥平面B1CD,可得直线C1D与平面B1CD所成的角为∠ODC1,在Rt△ODC1中,根据DC1=2OC1,可得∠ODC1=30°,因此直线C1D与平面B1CD所成的角为30°.【答案】30°9.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为2,求侧面与底面所成的二面角.【解析】易求得底面边长为2,高为3,tan θ=,所以θ=60°.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于.【解析】由EF∥平面AB1C,可知EF∥AC,所以EF=AC=×2=.强化练习一选择题1．下列命题中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个[答案]C[解析]②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．2．设直线l、m，平面α、β，下列条件能得出α∥β的是()A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m[答案]C[解析]排除法，A可举反例，如图(1)，B可举反例如图(2)，其中l与m都平行于a，D可举反例，如图(3)，故选C.3．(08·福建理)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()[答案]D[解析]取B1D1中点O，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵A1B1＝B1C1＝2，∴C1O⊥B1D1，又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D，∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角，在Rt△BOC1中，C1O＝2，BC1＝BC2＋CC21＝5，∴sin∠OBC1＝10 5.4．(09·四川文)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA ＝2AB，则下列结论正确的是()A ．PB ⊥ADB ．平面PAB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45° [答案] D[解析] 设AB 长为1，由PA ＝2AB 得PA ＝2， 又ABCDEF 是正六边形，所以AD 长也为2， 又PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AD ， 所以△PAD 为直角三角形． ∵PA ＝AD ，∴∠PDA ＝45°，∴PD 与平面ABC 所成的角为45°，故选D.5．(09·湖北文)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠ACC 1＝60°，∠BCC 1＝45°，侧棱CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于( )[答案] A[解析] 作C 1O ⊥底面ABC 于O ， 作OM ⊥CB 于M ，连C 1M . 作ON ⊥AC 于N ，连C 1N .易知ON ⊥AC ，OM ⊥BC ，又∠ACB ＝Rt ∠，∴ONCM 为矩形，OC ＝MN ， 在Rt △CNC 1中，∠C 1CN ＝60°，CC 1＝1，∴CN ＝12，在Rt △C 1MC 中，∠C 1CM ＝45°，CC 1＝1，∴CM ＝22. ∴NM ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝32，∴OC ＝32， 在Rt △C 1OC 中，C 1O ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12， ∴三棱柱高为12.6．(09·宁夏海南文)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝22，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等[答案] D[解析] 由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得，B 1B ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥B 1B ， 又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥面BDD 1B 1，BE ⊂面BDD 1B 1， ∴AC ⊥BE ，故A 正确．由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得，B 1D 1∥BD ， B 1D 1⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴B 1D 1∥平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD ，∴B 正确． ∵A 到平面BDD 1B 1的距离d ＝22， ∴V A －BEF ＝13S △BEF ·d ＝13·12S △BB 1D 1·d ＝112.∴三棱锥A －BEF 的体积为定值，故C 正确．因E 、F 是线段B 1D 1上两个动点，且EF ＝22，在E ，F 移动时，A 到EF 的距离与B 到EF 的距离不相等 ∴△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等，故D 错．7．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] B[解析] 连结AB 1，易知AB 1∥EF ，连结B 1C 交BC 1于点G ，取AC 的中点H ，则GH ∥AB 1∥EF .设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，在△GHC 中，易知GH ＝12AB 1＝22a ，BG ＝22a ，HB ＝22a ，故两直线所成的角为∠HGB ＝60°.[点评] 除可用上述将EF 平移到GH 方法外还可以在平面BCC 1B 1内过F 作FD ∥BC 1交B 1C 1于D ，考虑在△EFD 内求解等．如果再补上一个三棱柱成正方体则结论就更明显了．8．在空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则对角线AC 与BD 的位置关系为( )A ．相交但不垂直B ．垂直但不相交C ．不相交也不垂直D ．无法判断 [答案] B[解析] 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长交DC 于N ，连DO 并延长交BC 于M ，连CO 并延长交BD 于H ， ∵BC ⊥AO ，BC ⊥AD∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DM ，同理 BN ⊥CD ，∴O 为△BDC 的垂心，∴CH ⊥BD 又AO ⊥BD ，∴BD ⊥平面AOC ， ∴BD ⊥AC .9．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( )[答案] C[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥AO ，∴∠A 1OA 为二面角的平面角． tan ∠A 1OA ＝A 1AAO ＝2，∴选C.10．在二面角α－l －β中，A ∈α，AB ⊥平面β于B ，BC ⊥平面α于C ，若AB ＝6，BC ＝3，则二面角α－l －β的平面角的大小为( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°[答案] D[解析]如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.11．(2010·重庆文，9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点()A．只有1个B．恰有3个C．恰有4个D．有无穷多个[答案]D[解析]过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直线都成45°角直线上所有点到两条直线的距离都相等，故选D.12．ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E为CD的中点，则∠AED的大小为()A．45°B．30°C．60°D．90°[答案]D[解析]设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD∵E、F分别为CD、BD的中点，∴EF∥BC，∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故选D.13．已知l⊂β，m⊥α，有下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m; ②α⊥β⇒l∥m；③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的命题是( ) A ．②与④ B ．③与④ C ．①与②D ．①③[答案] D [解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αα∥β⇒m ⊥βl ⊂β⇒m ⊥l ，∴①正确否定A 、B ，⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫又m ⊥α l ∥m ⇒l ⊥αl ⊂β⇒β⊥α，∴③正确否定C ，故选D. 14．已知三棱锥S －ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC ＝2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π[答案] D[解析] 此三棱锥的高为球的半径，ABC 所在大圆面积为πr 2，三棱锥的底面易知为等腰直角三角形．腰长为2r ，所以三棱锥底面面积为12(2r )2＝r 2，V 球V 锥＝43πr 313r 3＝4π，∴球体积与三棱锥体积之比为4π，故选D.15．在空间四边形ABCD 中，AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，且△BCD 是锐角三角形，那么必有( )A ．平面ABD ⊥平面ADCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCDD．平面ABC⊥平面BCD[答案]C16．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；③若m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l.其中正确命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③[答案]C[解析]由直线与平面垂直的判定定理知，①正确；对于②，若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行，也可能是异面直线，故②不正确；对于③，满足题设的平面α、β有可能平行或相交，也有可能垂直，故③是错误的；由面面垂直的判定定理知，④是正确的；对于⑤，m与l可能平行，也可能是异面直线，故⑤是错误的．故正确的命题是①、④.17．若a、b表示直线，α表示平面，①a⊥α，a⊥b，则b∥α；②a∥α，a⊥b，则b⊥α；③a∥α，b⊥α，则b⊥a；④a⊥α，b⊂α，则b⊥a.上述命题中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．②③④[答案]C[解析]①b∥α或b⊂α②b⊥α或b∥α或b⊂α③、④正确，∴选C.18．已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下面四个命题中，正确的是()⇒α∥β⇒l⊥β⇒m∥n⇒α∥β[答案]D[解析]对于A，α与β可以平行，也可以相交；对于B，l与β可以垂直，也可以斜交或平行；对于C，m与n可以平行，可以相交，也可以异面．19．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．可能存在也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在[答案]B[解析]当a⊥b时，有且只有一个．当a与b不垂直时，不存在．20．(08·安徽)已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n[答案]D21．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案]A[解析]∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C.又∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB1C.又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C.故选A.22．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A．平行B．垂直C．斜交D．不能确定[答案]B[解析]设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥α，直线l⊥a，l⊥b.过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.23．设有直线m、n与平面α、β，则在下面命题中，正确的是()A．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βB．若m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊂β，则α⊥β[答案]C[解析]对于C，由m∥n，n⊥β得m⊥β.又m⊂α，可得α⊥β.∴应选C.24．如图已知平面CBD⊥平面ABD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定[答案]B[解析]过A作AE⊥DB，则AE⊥平面DBC，∴AE⊥BC，又DA⊥平面ABC，∴DA⊥BC，又DA∩AE＝A，∴BC⊥平面DAB，∴BC⊥AB，∴△ABC为直角三角形．25．(2010·北京理，8)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P ，Q 分别在棱AD 、CD 上，若EF ＝1，A 1E ＝x ，DQ ＝y ，DP ＝z (x ，y ，z 大于零)，则四面体PEFQ 的体积( )A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关 [答案] D[解析] 这道题目延续了北京高考近年8,14,20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，△EFQ 的面积永远不变，为矩形A 1B 1CD 面积的14，而当P 点变化(即z 变化)时，它到平面A 1B 1CD 的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．26．在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝8，B ＝30°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，P ′是AB 边上动点，则PP ′的最小值为( )A ．2C ．27[答案] C[解析] 作CP ′⊥AB ，垂足为P ′，则易知PP ′⊥AB ，∴PP ′为所求最小值．在Rt △ABC 中，由AB ＝8，∠B ＝30°得， P ′C ＝23， 又PC ⊥平面ABC ， ∴PC ⊥P ′C ，∵PC ＝4，∴PP ′＝27.27．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l⊥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③[答案]D28．(2010·山东文，4)在空间，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行[答案]D[解析]当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内的平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内的平行投影可平行，故A错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与平面BCC1B1及平面CDD1C1都平行，但平面BCC1B1与平面CDD1C1相交，故B错；同样，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD1C1都与平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C错；由线面垂直的性质定理知D正确．29．对于直线m、n和平面α、β、γ，下列命题中，正确命题的个数为()①若m∥α，n⊥m，则n⊥α②若m⊥α，n⊥m，则n∥α③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ④若m⊥α，m⊂β，则α⊥βA．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]①②③错，④正确．30．(09·广东文)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是()A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④[答案] D31．(09·浙江文)设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( ) A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂β B ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂β C ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β D ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β [答案] C[解析] l ⊥α，α⊥β⇒l ∥β或l ⊂β，A 错； l ∥α，α∥β⇒l ∥β或l ⊂β，B 错； l ⊥α，α∥β⇒l ⊥β，C 正确；若l ∥α，α⊥β，则l 与β位置关系不确定，D 错．32．a 、b 为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题： ①a ∥α且a ∥b ⇒b ∥α； ②a ⊥α且a ⊥b ⇒b ∥α； ③a ⊥α且a ⊥b ⇒b ⊥α； ④a ⊥β且α⊥β⇒a ∥α. 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] A [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ∥b ⇒b ∥α或b ⊂α； ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α或b ⊂α；⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥βα⊥β⇒a ∥α或a ⊂α.33．如图，BC 是Rt △ABC 的斜边，AP ⊥平面ABC ，PD ⊥BC 于D ，则图中共有________个直角三角形( )A ．8B ．7C ．6D ．5[答案] A[解析] △PAC ，△PAD ，△PAB ，△PDC ，△PDB ，△CDA ，△BDA ，△CAB 共8个． 34．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3[答案] A[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4， ∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB A ′B ′＝2 1.35．已知a 、b 、c 是直线，α、β是平面，下列条件中，能得出直线a ⊥平面α的是( )A ．a ⊥c ，a ⊥b ，其中b ⊂α，c ⊂αB ．a ⊥b ，b ∥αC ．α⊥β，a ∥βD ．a ∥b ，b ⊥α [答案] D[解析] A 中缺b 与c 相交的条件；如图(1)，可知b ∥α，a ⊥b 时，a 与α可平行、可相交，相交时也可垂直，故B 错；如图(2)是一个正方体，满足α⊥β，直线a 可以是AC ，也可以是AB ，故C 错．36．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不．成立．．的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC[答案]C[解析]∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.∴BC∥平面PDF，故A正确．又∵P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC.∴PO⊥DF.又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确．又∵PO⊂面PAE，PO⊥平面ABC，∴面PAE⊥面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.二填空题1．如图，AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，AC＝3，PA＝4，AB＝5，则直线PB与平面PAC所成角的正弦值为________．[答案]441 41[解析]∵PA⊥平面ABC∴PA⊥BC，又BC⊥AC∴BC⊥平面PAC，∴∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角．在Rt△PAB中，PA＝4，AB＝5，∴PB＝41，在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，∴BC＝4，∴sin ∠BPC ＝BC PB ＝44141.2．▱ABCD 的对角线交点为O ，点P 在▱ABCD 所在平面外，且PA ＝PC ，PD ＝PB ，则PO 与平面ABCD 的位置关系是________．[答案] 垂直[解析] ∵PA ＝PC ，O 是AC 的中点，∴PO ⊥AC . 同理可得PO ⊥BD .∵AC ∩BD ＝O ， ∴PO ⊥平面ABCD .3．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离是________．[答案] 135[解析] 因为AB ＝3，BC ＝4，所以BD ＝5，过A 作AE ⊥BD ，连接PE ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BD ，∵PA ∩AE ＝A ，∴BD ⊥平面PAE ，∴PE ⊥BD ， 在△ABD 中，AE ＝125，所以PE ＝12＋⎝⎛⎭⎫1252＝135.4．(2010·湖南文，13)如图中的三个直角三角形是一个体积20cm 3的几何体的三视图，则h ＝______ cm.[答案] 4[解析] 该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×5×6×h ＝20，∴h ＝4 cm.5．(09·全国Ⅰ文)已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．[答案] 16π[解析] 设球的半径为R ，截面圆的半径为r ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＝3π⎝⎛⎭⎫R 22＋r 2＝R 2解得R ＝2，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π.6．如图，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AB ＝a .(1)二面角A －PD －C 的度数为________； (2)二面角B －PA －D 的度数为________； (3)二面角B －PA －C 的度数为________； (4)二面角B －PC －D 的度数为________． [答案] 90°；90°；45°；120° [解析] (1)PA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥CD又ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ， 又CD ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ， ∴二面角A －PD －C 为90°.(2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥PA ，AD ⊥PA ∴∠BAD 为二面角B －AP －D 的平面角 又∠BAD ＝90°，∴二面角B －AP －D 为90° (3)PA ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥PA ，AC ⊥PA ∴∠BAC 为二面角B －PA －C 的平面角 又ABCD 为正方形，∴∠BAC ＝45° 即二面角B －PA －C 为45° (4)作BE ⊥PC 于E ，连DE则由△PBC ≌△PDC 知∠BPE ＝∠DPE从而△PBE ≌△PDE∴∠DEP ＝∠BEP ＝90°，且BE ＝DE ∴∠BED 为二面角B －PC －D 的平面角 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，又AB ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ， ∴BE ＝PB ·BC PC ＝63a ，BD ＝2a∴取BD 中点O ，则sin ∠BEO ＝BO BE ＝32， ∴∠BEO ＝60°，∴∠BED ＝120° ∴二面角B －PC －D 的度数为120°.7．已知二面角α－AB －β为120°，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AB ＝AC ＝BD ＝a ，则(1)CD 的长为________；(2)CD 与AB 所成的角为________． [答案] (1)2a (2)60°[解析] 在平面β内，作AD ′綊BD ，连DD ′，则DD ′綊AB(1)∵AC ⊥AB ，D ′A ⊥AB ，∴∠D ′AC 为二面角α－AB －β的平面角 即∠D ′AC ＝120°∵AB ＝AC ＝BD ＝a ，∴CD ′＝3a又AB ⊥平面ACD ′，DD ′∥AB ，∴DD ′⊥平面ACD ′ ∴DD ′⊥D ′C ，又DD ′＝a ∴CD ＝DD ′2＋D ′C 2＝2a (2)∵DD ′∥AB∴∠D ′DC 为异面直线CD 与AB 所成的角 在Rt △DD ′C 中，DD ′＝a ，CD ＝2a∴∠D ′DC ＝60°，即CD 与AB 所成的角为60°.8．已知边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，E 是PA 的中点，则E 到平面PBC 的距离为________．[答案]3 4a[解析]如图，设AC交BD于O，连EO，∵E、O分别为PA、AC的中点，∴EO∥PC，又EO⊄面PBC，PC⊂面PBC，∴EO∥平面PBC，于是EO上任一点到平面PBC的距离都相等，则O点到平面PBC的距离即为所求．在平面ABCD内过O作OG⊥BC于G，∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥OG，∴OG⊥平面PBC.∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴OG＝3a2sin∠OBC＝3a2×sin30°＝34a.即E到面PBC距离为3 4a.9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为__________．[答案]2 4[解析](1)转化为点A1到平面ABC1D1的距离，连A1D交AD1于O1点，可证A1O1⊥平面ABC1D1，∴A1到平面ABC1D1距离A1O1＝2 2，从而O到平面ABC1D1距离为2 4.(2)转化为直线到平面的距离，过O作直线EF∥A1B1交A1D1于E，交B1C1于F，过E作EE1⊥AD1，可证EE1⊥平面ABC1D1从而得解．。
