东北大学2013年大学物理下课件机械振动

机械振动与机械波 光的干涉 波动光学 光的衍射
光的偏振
本学期讲授内容 热 学 气体动理论
热力学基础
热辐射与黑体辐射 量子物理 光电效应与康普顿效应 玻尔理论
量子力学基础
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第九章 振动
振动有各种不同的形式: 机械振动 电磁振动
广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某 一数值附近反复变化。 如心跳等
因此定义: (1) ( t +)是 t 时刻的相位(或称位相)
★利用初始条件确定 已知: t=0时位移为x0 速度为v0. 则求A,
利用:
则有:
x0 A cos v0 A sin v0 1 tan ( ) x0
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☆相位差
m1 O m2
A1 A2
x1 A1 cos(t 1 )
振动分类:
受迫振动 无阻尼自由振动
无阻尼自由谐振动
(简谐振动)
自由振动
阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动
7
§9-1,2,3,4 简谐振动
一. 简谐振动(Simple harmonic)的特征
1.弹簧振子
m
f kx ma
k 2 令 m
即
动力学及运动学规律 则有
k a x m
d x dt
52
3 一质点沿x轴做简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s， 当t=0时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正方向运动， 求: (1)振动方程(2)t=0.5s时，质点的位置、速度、加速度 (3)质点在x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，再回到平 衡位置所需最短时间。
已知两同方向同频率的简谐振动的运动方程分别为：
x1 0.05 cos(10t 0.75 ) x2 0.06 cos(10t 0.25 )
求:(1)合振动的振幅和初相(2)若有另一同方向同频率的简谐 振动 x3 0.07 cos(10t ) 则 为多少时，x1+x3的振幅最大？ 又 为多少时,x2+x3的振幅最小？ 二 同方向不同频率的简谐振动的合成
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3.两种特殊情况
(1)若两分振动同相
2 1=2k (k=0,1,2,…)
则合振幅 A=A1+A2 ,两分振动相互加强 (2)若两分振动反相
2 1=(2k+1) (k=0,1,2,…)
两分振动相互减弱
则合振幅 A=|A1-A2|,
如 A1=A2 , 则 A=0
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例题：page41 (9-28)
对于单摆:
T 2
m k
g 2 l
T 2
l g
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3.相位
因有:
x A cos(t ) v A sin( t ) 可见: t+是决定t 时刻 状态的物理量 a A 2 cos(t )
(2) 是t =0时刻的相位 ——初相
x2 A2 cos(t 2 )
x
2 1
当 2 1 2kπ 两振动步调相同,称同相 当 2 1 (2k 1) π 两振动步调相反,称反相
x
x1 x2
同相
T
o
- A2 - A1
t
A1 x A2
x1
x2
反相
o
- A2 - A1
cost ( A1 cos1 A2 cos 2 ) sin t ( A1 sin 1 A2 sin 2 )
由图示可得到
x
A cos A1 cos 1 A2 cos 2 A sin A1 sin 1 A2 sin 2
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因此
x A cost cos A sin t sin
可依据上述特征证明一些 实验是否为简谐振动 例如：竖直自由弹簧振子；浮子等
11
二 描述简谐振动的特征量
1. 振幅 A 表示物体在振动过程中偏离平衡位置
的最大位移。其大小与初始条件有关 利用
x A cos(t )
v A sin( t )
当t=0时 则有
x0 A cos
2

2 3 5 6 5 t 2 12
o
因此,振动方程为
5 2 x 10 cos( t )cm 12 3
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练 习
利用旋转矢量法确定下述各种t=0情况下的初相
(1)
( 2)
A x0 , v0 0 2 A x0 , v0 0 2
2 x0 A, v0 0 2
32
= 0
= /4
P
·Q
.
= /2
= 3/4
=
= 5/4
= 3/2
= 7/4
33
四.垂直方向不同频率简谐振动的合成
两分振动频率相差很小 = ( 2- 1) t + ( 2 - 1) 可看作两频率相等而 2- 1随ｔ缓慢变化 合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化 两振动的频率成整数比时， 其合成轨迹称为李萨如图形 y
3
16
2 图象法
x
m o x
A
o
A
t
根据已知曲线可以直观地了解 到各个时刻质点的振动状态.
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旋转矢量
3.旋转矢量法
t=t

t=0 A
t+
t=t

o x x = A cos( t + )
·
x

t=0
t+
如:一振子在t =0时
o

x
x
A x0 ; v0 0 2
则利用旋转矢量法,有:
能0.02J,求(1)振幅;(2)动能恰等于势能时的位移? (3)经过
平衡位置时物体的速度? 练2：一弹簧振子沿x轴作谐振动，已知振动物体最大位移为 xm=0.4m时，最大恢复力为Fm=0.8N ；最大速度为
vm=0.8πm/s；又知t=0时的初位移为+0.2m，且初速度与所选
x轴方向相反。求:(1)振动能量(2)振动方程
2
m cos( t )
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谐振动特征总结:
(1).回复力或回复力矩 (2).加速度或角加速度
f kx
或M k '
a 2 x 或 2 (3).运动方程 x A cos( t ) 或 0 cos(t )
v A sin( t ) a A 2 cos(t )
则得 : 0 cos(t )
9
3.复摆（物理摆） 任意形状、小角度、无摩擦、自由摆动
M m glsin m gl
d J J 2 dt
2
转动正向
O*
d 2 mgl J 2 dt
令

d 2 2 0 dt 2
*C
mgl J
*该方法在解决位相问 题上具有明显优势.
O
得初相为: 5 或 3 3
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又如:一谐振子振动图线 如图所示,求振动方程.
解 由图可知: t =0s 时 x0=-5 v0<0
t =2s 时 x=0 v0>0
x(cm) o
-5
-10
利用旋转矢量法,可确定相应时刻旋 转矢量对应位置,如图所示.可知: t(s)
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练3:有一轻弹簧,当其下端挂一物体时,伸长量为9.8×10-2m。 若使物体上下振动,且规定向下为正方向。则(1)t=0时,物体 在平衡位置上方8.0×10-2m处，由静止开始向下运动，求运 动方程；(2)t=0时,物体在平衡位置处并以0.60m.s-1速度向 上运动,求运动方程。
x 8.0 102 cos(10t ) x 6.0 10 2 cos(10t ) 2
T
t
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三.谐振动描述方法
1.数学表达式法(解析法):
x A cos(t )
由已知表达式可以得出任意时刻的振动状态 如一质点按 x 10 cos(t ) 规律作简谐振动, 3 求2s时刻振动速度及振动加速度.
解 振动速度 v 10 sin( 2 ) 10 3 3 振动加速度 a 10 2 cos( 2 ) 5 2
A x0 (
2
v0 A sin
)2
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v0

2 周期T： 指完成一次全振动所需要的时间
频率v： 指单位时间内所发生的全振动的次数
圆频率： 指2秒内所发生的全振动的次数.
1 二者大小只与系统结构有关,根据定义应有: T
2
k 2 对于弹簧振子: m
A1
x y=32
2=0, 1= /4
-A2
o
A2
x
- A1
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本章测验题
1 利用旋转矢量法确定下述各种t=0情况下的初相。
(1) x0 A , v0 0 2 2 x0 A, v0 0 2 ( 2) x0 A , v0 0 2
(3)
(4)
x0
3 A, v0 0 2
A cos(t )
可见,两个同方向同频率简谐振 动的合成结果仍为简谐振动
其频率仍为
其合成振幅及合振动初相满足下列关系
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
1. 分振动
x1=Acos( 1 t+ 1) x2=Acos( 2t+ 2)
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2.合振动情况