最优化：二次规划

目录1．最优化的概念与分类 (2)2. 最优化问题的求解方法 (3)2.1线性规划求解 (3)2.1.1线性规划模型 (3)2.1.2线性规划求解方法 (3)2.1.3 线性规划算法未来研究方向 (3)2.2非线性规划求解 (4)2.2.1一维搜索 (4)2.2.2无约束法 (4)2.2.3约束法 (4)2.2.4凸规划 (5)2.2.5二次规划 (5)2.2.6非线性规划算法未来研究方向 (5)2.3组合规划求解方法 (5)2.3.1 整数规划 (5)2.3.2 网络流规划 (7)2.4多目标规划求解方法 (7)2.4.1 基于一个单目标问题的方法 (7)2.4.2 基于多个单目标问题的方法 (8)2.4.3多目标规划未来的研究方向 (8)2.5动态规划算法 (8)2.5.1 逆推解法 (8)2.5.2 顺推解法 (9)2.5.3 动态规划算法的优点及研究方向 (9)2.6 全局优化算法 (9)2.6.1 外逼近与割平面算法 (9)2.6.2 凹性割方法 (9)2.6.3 分支定界法 (9)2.6.4 全局优化的研究方向 (9)2.7随机规划 (9)2.7.1 期望值算法 (10)2.7.2 机会约束算法 (10)2.7.3 相关机会规划算法 (10)2.7.4 智能优化 (10)2.8 最优化软件介绍 (11)3 最优化算法在电力系统中的应用及发展趋势 (12)3.1 电力系统的安全经济调度问题 (12)3.1.1电力系统的安全经济调度问题的介绍 (12)3.1.2电力系统的安全经济调度问题优化算法的发展趋势 (12)2. 最优化问题的求解方法 最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种优化问题的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。

最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。

最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。

习题二包括题目： P36页 5（1）（4）5（4）习题三包括题目：P61页 1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1) 1(1)(2)的解如下3题的解如下5,6题14题解如下14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T-处的牛顿方向。

解：已知 (1)(4,6)T x=-，由题意得121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +++-----⎛⎫∇= ⎪+++-----⎝⎭∴ (1)1344()56g f x -⎛⎫=∇=⎪⎝⎭21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------⎛⎫∇= ⎪+--------+--⎝⎭∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --⎛⎫=∇=⎪-⎝⎭(1)11/8007/400()7/4001/200G x --⎛⎫= ⎪--⎝⎭∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -⎛⎫=-=⎪-⎝⎭15（1）解如下15. 用DFP 方法求下列问题的极小点（1）22121212min 353x x x x x x ++++解：取 (0)(1,1)T x=，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法相同2112352()156x x f x x x ++⎛⎫∇= ⎪++⎝⎭， (0)(1,1)T x =，(0)10()12f x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭(1)0.07800.2936x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， (1)1.3760() 1.1516f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第二次迭代(1)(0)1 1.07801.2936x x δ-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭， (1)(0)18.6240()()13.1516f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪-⎝⎭0110111011101T T T TH H H H H γγδδδγγγ=+- 其中，111011126.3096,247.3380T T TH δγγγγγ===111.1621 1.39451.3945 1.6734Tδδ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 01101174.3734113.4194113.4194172.9646T TH H γγγγ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以10.74350.40560.40560.3643H -⎛⎫= ⎪-⎝⎭(1)(1)1 1.4901()0.9776dH f x -⎛⎫=-∇= ⎪⎝⎭令 (2)(1)(1)1xx d α=+ ， 利用 (1)(1)()0df x d d αα+=，求得 10.5727α=-所以 (2)(1)(1)0.77540.57270.8535xx d⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)0.2833()0.244f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第三次迭代(2)(1)20.85340.5599x x δ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)(1)2 1.0927()()0.9076f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪⎝⎭22 1.4407T δγ=- ， 212 1.9922T H γγ=220.72830.47780.47780.3135T δδ-⎛⎫=⎪-⎝⎭1221 1.39360.91350.91350.5988T H H γγ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭所以22122121222120.46150.38460.38460.1539T T T TH H H H H δδγγδγγγ-⎛⎫=+-= ⎪-⎝⎭(2)(2)20.2246()0.1465d H f x ⎛⎫=-∇= ⎪-⎝⎭令 (3)(2)(2)2xxdα=+ ， 利用(2)(2)()0df x d d αα+=，求得 21α=所以 (3)(2)(2)11x x d ⎛⎫=+=⎪-⎝⎭， 因为 (3)()0f x ∇=，于是停止 (3)(1,1)T x =-即为最优解。

二次规划问题9.2.4 二次规划问题9.2.4.1 基本数学原理如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这种规划为二次规划。

其数学模型为：其中，H, A,和Aeq为矩阵,f, b, beq, lb, ub,和x为向量。

9.2.4.2 相关函数介绍quadprog函数功能：求解二次规划问题。

语法：x = quadprog(H,f,A,b)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval] = quadprog(...)[x,fval,exitflag] = quadprog(...)[x,fval,exitflag,output] = quadprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...)描述：x = quadprog(H,f,A,b) 返回向量x，最小化函数1/2*x'*H*x + f'*x ，其约束条件为A*x <= b。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件Aeq*x = beq。

x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub)定义设计变量的下界lb和上界ub，使得lb <= x <= ub。

x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0)同上，并设置初值x0。

x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options)根据options参数指定的优化参数进行最小化。

[x,fval] = quadprog(...)返回解x处的目标函数值fval = 0.5*x'*H*x + f'*x。

2013-2014（1）专业课程实践论文题目：二次规划一、算法理论二次规划是非线性优化中的一种特殊情形,它的目标函数是二次实函数，约束函数都是线性函数。

由于二次规划比较简单，便于求解(仅次于线性规划)， 并且一些非线性优化问题可以转化为求解一系列的二次规划问题，因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视，成为求解非线性优化的一个重要途径。

二次规划的算法较多，本论文仅介绍求解一般约束凸二次规划的有效集方法。

考虑一般二次规划 1min 2.. 0,{1,,} 0,{1,,}T T T i i Ti i x Hx c x s t a x b i E l a x b i I l m ⎧+⎪⎪⎪-=∈=⎨⎪-≥∈=+⎪⎪⎩有效集方法的最大难点是事先一般不知道有效集()*x S ，因此只有想办法构造一个集合序列去逼近它。

即从初始点0x 出发，计算有效集()0x S ，解对应的等式约束子问题。

重复这一做法，得到有效集序列(){}k x S ， ,1,0=k ，使之()()*x S x S k →，以获得原问题的最优解。

我们分六步来介绍有效集方法的算法原理和实施步骤。

第一步 选定初始值。

给定初始可行点n R x ∈0，令0=k 。

第二步 求解子问题。

确定相应的有效集()k k x I E S =，求解子问()1min 2..0,T Tk k T i kq d d Hd g d s t a d i S ⎧=+⎪⎨⎪=∈⎩ 得到极小点k d 和拉格朗日乘子向量k λ。

若0≠k d 转入步三；否则转步二。

第三步检验终止准则。

计算拉格朗日乘子k k k g B =λ 其中()()k i k k kk k k k S i a A H A AT H A B c Hx g ∈==+=---,,,111，令()(){}i k t k λλmin =。

若()0≥t k λ，则k x 是全局极小点，停算。

否则若()0<t k λ，则令{}t S S k k \=，转步一。