高中数学4.5.3利用坐标计算数量积同步练习湘教版2

4．5.3利用坐标计算数量积设u＝(x1，y1)，v＝(x2，y2)，则(1)u·v＝x1x2＋y1y2.(2)|u|＝x21＋y21.(3)(u)v＝u·v|v|＝x1x2＋y1y2x22＋y22.(4)cos〈u，v〉＝u·v|u||v|＝x1x2＋y1y2(x21＋y21)(x22＋y22).(5)u⊥v⇔u·v＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.1. a＝(1,0)，b＝(0，－1)，则a·b＝__________.[提示]02．若a＝(2,3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x＝________.[提示]1 63．若a＝(3,4)，b＝(5,12)，求a与b夹角的余弦值．[提示]63 654．已知a＝(0,1)，b＝(1,1)，且(a＋λb)⊥a，求实数λ.[提示]－15．若a＝(1,2)，b＝(0,1)，求|3a－b|.[提示]34[例1](1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.[思路点拨](1)利用a与b共线设出a＝(λ，2λ)，根据a·b＝10建立方程组可求λ.(2)利用坐标运算求．[边听边记](1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a ·c )·b ＝0·b ＝0.1．已知2a ＋b ＝(－4,3)，a －2b ＝(3,4)，求a·b 的值． 解：由已知可得，4a ＋2b ＝(－8,6)．∴(4a ＋2b )＋(a －2b )＝(－8,6)＋(3,4)＝(－5,10)． 即5a ＝(－5,10)， ∴a ＝(－1,2)．从而b ＝(2a ＋b )－2a ＝(－4,3)－(－2,4)＝(－2，－1)． ∴a·b ＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0.[例2] 已知a ＝(1,1)(1)ka －b 与a ＋b 共线； (2)ka －b 与a ＋b 的夹角为120°.[思路点拨] (1)求出ka －b 与a ＋b 的坐标，利用向量共线的坐标表示建立方程可 求k 的值．(2)利用夹角公式建立k 的方程可求． [边听边记] ∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)， ka －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2)． a ＋b ＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．(1)∵ka －b 与a ＋b 共线，∴k ＋2－(－k )＝0. ∴k ＝－1.(2)∵|ka －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝12＋(－1)2＝ 2.(ka －b ) ·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1) ＝k －k －2＝－2，而ka －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∴cos 120°＝(ka －b )·(a ＋b )|ka －b ||a ＋b |，即－12＝－22·k 2＋(k ＋2)2，化简，整理得k 2＋2k －2＝0， 解得k ＝－1±3.2．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角． 解：设a 与b 的夹角为θ， (1)因为a 与b 的夹角为直角， 所以a ·b ＝0， 所以1＋2λ＝0， 所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角， 所以cos θ＜0且cos θ≠－1， 即a ·b ＜0且a 与b 不反向． 由a ·b ＜0得1＋2λ＜0， 故λ＜－12，由a 与b 不反方向得1＋2λ＝－5·λ2＋1，无解． 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12.[例3] 在△ABC 中，AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 的值．[思路点拨] 本题条件中没有明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论，讨论时要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性．[边听边记] 当A ＝90°时，AB ―→·AC ―→＝0， ∴2×1＋3×k ＝0， ∴k ＝－23；当B ＝90°时，AB ―→·BC ―→＝0，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)， ∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0，∴k ＝113；当C ＝90°时，AC ―→·BC ―→＝0， ∴－1＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132. 综上所述，k ＝－23或113或3±132.3．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：由题设知AB ―→＝(8，－4)，AC ―→＝(2,4)，BC ―→＝(－6,8)， ∴AB ―→·AC ―→＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB ―→⊥AC ―→. ∴∠BAC ＝90°， 故△ABC 是直角三角形． 答案：A1．已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，则x 等于( ) A ．3 B ．1 C ．－1D ．－3解析：∵a ⊥b ，a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)， ∴3x ＋1×(－3)＝0，∴x ＝1.答案：B2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为 π6，则m ＝( )A ．2 3B ． 3C ．0D ．－ 3解析：根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意．答案：B3．已知向量a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665D ．－1665解析：设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)， 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665.答案：C4．若向量OA ―→＝(1，－3)，|OA ―→|＝|OB ―→|，OA ―→·OB ―→＝0，则|AB ―→|＝________. 解析：设B (x ，y )，由|OA ―→|＝|OB ―→|， 可得10＝x 2＋y 2， ① OA ―→·OB ―→＝x －3y ＝0， ②由①②得x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1， 所以B (3,1)或B (－3，－1)，故AB ―→＝(2,4)或AB ―→＝(－4,2)，|AB ―→|＝2 5. 答案：2 55．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 解析：由题意得|a |＝210，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝210×10×12＝10.答案：106．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0， 即x 2－2x －3＝0， 解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上，|a －b |＝2或2 5.通过这节课的学习，你学会了用数量积的坐标运算解决哪些问题？可以解决垂直问题．由两个向量垂直的条件可知，a ⊥b ，则a ·b ＝0，反之，如果a ·b ＝0，则a ⊥b .设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，由数量积坐标运算公式可得，如果a ⊥b ，则a 1b 1＋a 2b 2＝0，反之，如果a 1b 1＋a 2b 2＝0，则a ⊥b .可以解决长度和距离问题． (1)向量的长度公式由于a ＝(a 1，a 2)，则|a |2＝a 2＝a ·a ＝(a 1，a 2)·(a 1，a 2)＝a 21＋a 22，因此，|a |＝a 21＋a 22.得向量的长度公式为：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22.用语言描述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)平面内两点间的距离公式∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．由向量的长度公式可得|AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.这就是A ，B 两点间的距离公式．可以解决夹角问题．已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，由a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2，|a |＝a 21＋a 22，|b |＝b 21＋b 22，又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22 b 21＋b 22 ，即两个向量a ，b 的夹角的余弦为cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.一、选择题1．已知向量a ＝(－1，x )，b ＝(1，x )，若2b －a 与a 垂直，则|a |＝( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．4解析：由题意，得2b －a ＝2(1，x )－(－1，x )＝(3，x )． ∵(2b －a )⊥a ，∴－1×3＋x 2＝0，即x 2＝3. ∴|a |＝(－1)2＋3＝2. 答案：C2．设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝12C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b解析：∵|a |＝2≠|b |＝2，故A 错；a·b ＝2≠12，故B 错；∵2×1－0×1＝1，故C 错；∵(a －b )·b ＝1×1＋(－1)×1＝0，∴(a －b )⊥b ，故选D.答案：D3．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫32，12B ．⎝⎛⎭⎫12，32 C.⎝⎛⎭⎫14，334 D ．(1,0)解析：设b ＝(x ，y )，其中y ≠0，则a ·b ＝3x ＋y ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，y ≠0，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32，即b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.答案：B4．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则n 2的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，得2a －b ＝(3，n )， 若2a －b 与b 垂直，则(2a －b )·b ＝0，则有－3＋n 2＝0， 解得n 2＝3，故选C. 答案：C 二、填空题5．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |＝1，则|a ＋b |＝________.解析：∵|a |＝|b |＝|a －b |＝1，∴|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1，即a ·b ＝12，∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2·12＋1＝3.故|a ＋b |＝ 3.答案： 36．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ―→·BD ―→＝________. 解析：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则|a |＝|b |＝2，a ⊥b ，BD ―→＝b －a ，AE ―→＝b ＋12a .∴AE ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·(b －a )＝b 2－12a 2－12a ·b ＝4－2＝2. 答案：2 三、解答题7．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 的两对角线所成的锐角的 余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB ―→＝(1,1)，AD ―→＝(－3,3)． 又AB ―→·AD ―→＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB ―→⊥AD ―→，即AB ⊥AD .(2)∵AB ―→⊥AD ―→，四边形ABCD 为矩形， ∴AB ―→＝DC ―→.设C 点坐标为(x ，y )，则AB ―→＝(1,1)，DC ―→＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴点C 的坐标为(0,5)．由于AC ―→＝(－2,4)，BD ―→＝(－4,2)，∴AC ―→·BD ―→＝8＋8＝16， |AC ―→|＝25，|BD ―→|＝2 5. 设AC ―→与BD ―→的夹角为θ， 则cos θ＝AC ―→·BD ―→| AC ―→|·|BD ―→|＝1620＝45，∴矩形ABCD 的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.8．已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t的最小值．解：∵a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32， ∴a ·b ＝3×12－1×32＝0.∵|a |＝(3)2＋(－1)2＝2， |b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， 又x ⊥y ，∴[a ＋(t 2－3)b ]·(－ka ＋tb )＝0， 即－k a 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －t 2k ＋3k )a ·b ＝0. ∴k ＝t 3－3t 4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.故当t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74.。

必修一第1章集合与函数1.1集合1.1.1 集合的含义和表示习题11.1.2 集合的包含关系习题21。

1.3 集合的交与并习题31。

2 函数的概念与性质1。

2。

1 对应、映射与函数习题4阅读与思考计算机编程语言中的函数1。

2。

2 表示函数的方法习题5数学实验用计算机做函数图象和列函数表1.2。

3 从图象看函数的性质习题61。

2。

4 从解析式看函数的性质习题71。

2.5 函数的定义域和值域习题81。

2.6 分段函数习题91.2。

7 二次函数的图象与性质——增减性和最值习题101.2.8 二次函数的图象与性质——对称性习题11数学实验用计算机研究二次函数的图象小结与复习复习题一第2章指数函数、对数函数和幂函数问题探索射线在介质中的衰减阅读与思考放射性元素的衰变2.1 指数函数2.1。

1 指数概念的推广习题12.1.2 指数函数的图象与性质习题2阅读与思考指数爆炸和指数衰减2。

2 对数函数2.2。

1 对数的概念与运算律习题32。

2.2 换底公式习题4阅读与思考对数小史2.2。

3 对数函数的图像与性质习题52.3 幂函数2。

3。

1 幂函数的概念习题62。

3.2 幂函数的图像与性质习题72.4 函数与方程2。

4.1 方程的根与函数的零点2.4。

2 计算函数零点的二分法数学实验用二分法就方程的近似解2.5 函数模型及其应用2。

5.1 几种函数增长快慢的比较习题102.5.2 形形色色的函数模型习题11小结与复习复习题二数学文化 函数概念小史多知道一点 用计算机给区域填色(集合)表示函数的其他方法(函数)用概念解决问题（换底公式）负数有时也有有理指数幂（幂函数）必修二第3章 三角函数数学建模 怎样度量平面上的转动3.1 弧度制与任意角3。

1。

1 角的概念的推广3.1.2 弧度制习题1问题探索 用方向与距离表示点的位置3.2 任意角的三角函数3。

2.1 任意角三角函数的定义3。

2。

2 同角三角函数之间的关系3。

利用坐标计算数量积【教学目标】1．灵活运用向量数量积的坐标运算公式，夹角余弦的坐标表达式；2．体会公式中体现的数形结合的思想【教学重难点】重点：向量数量积的坐标运算与度量公式难点：灵活运用公式解决有关问题【教学过程】一、知识链接1．两向量数量积定义：a b =r r g ____________________________________________2．向量数量积的性质：_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________知识重现 1．已知5b =r ，a r 在b r 方向上的正射影的数量是3，则a b =r r g _______________2．在ABC V 中，5,5,120BA AC BAC ==∠=︒u u u r u u u r ，则BA AC =u u u r u u u r g ________________二、知识点梳理1．数量积的坐标表达式a b =r r g ______________________________________2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：（1）a b ⊥⇔r r _________________________________________。

（2）与向量12(,)b b b =r 垂直的向量可以写成_____________________________________。

3．向量的长度、距离和夹角公式推导 向量的长度公式a =r ________________________ 距离公式：AB =u u u r ___________________________________两向量夹角余弦公式的坐标表达式：cos ,a b =r r ___________________________________三、自学检测 1．已知(4,5),(4,3),a b ==-r r 则a b =r r g ______________，a =r _________，b =r ________，cos ,a b =r r _____________________2．已知(3,5),(5,3),a b ==-r r 则,a b =r r _______________________3．判断下面各对向量是否垂直（1）(3,2),(4,6)a b =-=r r（2）(3,5),(5,3)a b ==r r四、课内探究探究一：推导向量内积的坐标运算公式 建立正交基底12{,}e e u r u u r ，已知1212(,),(,)a a a b b b ==r r ，则a b =r r g ____________________________________________=____________________________________________，因为____________________________________________，所以得到：用语言描述为：____________________________________________。

4.5 利用坐标计算数量积 - 湘教版必修2教案一、教学目标1.了解数量积的概念；2.理解坐标系及其在数量积中的应用；3.学会利用坐标计算数量积；4.能够解决和实际问题相关的数量积计算问题。

二、教学重点1.坐标系的建立；2.坐标系中向量的表示；3.数量积的计算。

三、教学难点1.坐标系的建立及其在数量积中的应用；2.复杂向量在坐标系中的表示。

四、教学过程1. 引入教师通过引入向量描述实际问题，让学生理解向量的本质。

引入之后，教师可以根据学生的认知水平，缩短或延长这个环节。

2. 坐标系有关坐标系的知识，在此不再赘述。

但在此需要提醒学生注意坐标系的建立方式。

在建立坐标系的时候，教师应该让学生记住以原点为起点，且x轴和y轴互相垂直为好。

3. 向量在坐标系中的表示教师让学生根据坐标系在平面上表示向量，并计算向量的模长。

在向量表示的过程中，教师需要强调向量各分量的通式。

4. 数量积教师讲解数量积的计算方法和公式，并通过实例让学生理解数量积的本质。

在计算数量积时，教师应提醒学生注意符号和分量的顺序。

5. 利用坐标计算数量积让学生通过练习，掌握利用坐标计算数量积的技巧。

在设计题目时，可以适当的加入一些实际应用的问题，以帮助学生理解与记忆。

6. 小结讲解本节的重点和难点，在回顾本节所学的知识点。

例如：坐标系的建立、向量在坐标系中的表示和数量积的计算等。

五、教学方法1.讲授法；2.演示法；3.理解法；4.讨论法。

六、教学评价1.能使用坐标系表示向量，并计算向量模长；2.能够计算两个向量之间的数量积；3.能够根据实际问题，利用坐标计算向量之间的数量积。

七、板书设计1.坐标系的建立；2.向量在坐标系中的表示；3.数量积的计算。

八、教学反思本节课的内容相对简单，适合小学期时阶段教学。

但难点在于教师需要把握好坐标系的建立，以及向量在坐标系中的表示。

对于部分学生，在计算数量积时，容易把向量分量的顺序混淆。

因此，教师在讲解的时候，需要统一同学们的口头和笔头习惯。

利⽤坐标计算数量积利⽤坐标计算数量积各位评委⽼师，你们好 !我是8号考⽣，今天我说课的题⽬是《利⽤坐标计算数量积》，下⾯我将从教材分析、教法与学法分析、教学过程与教学评价四⽅⾯对本节课的设计与理解进⾏说明。

(第⼀部分) 教材分析教材分析主要体现在以下三⽅⾯：1、教材的地位与作⽤本节课是湘教版《数学》必修第四章第5.3节的内容，它是在前⾯学习了两向量数量积计算的基础上学习的，同时为后⾯学习向量的综合应⽤奠定了知识基础，所以本节课在教材中起到承上启下的作⽤。

在⾼考中，向量知识是必考的内容，特别是数量积计算的应⽤，往往与三⾓形问题，圆锥曲线问题相结合，在⼤题中出现，因此利⽤坐标计算数量积作为研究向量的基础就显得⼗分重要。

2、教学⽬标根据本节的内容特点、课标要求以及学⽣的实际⽔平，我将本节课的教学⽬标定位为：(1)知识⽬标：理解并掌握利⽤坐标计算数量积，求模，求夹⾓，并会利⽤两向量垂直的条件求解(2)能⼒⽬标：培养学⽣观察、分析、归纳、推理的⾃学能⼒，为学⽣可持续发展打下基础。

(3)情感⽬标：通过以利⽤坐标计算数量积的学习，激发学⽣的学习兴趣；培养学⽣主动探索、勇于发现的求知精神；养成细⼼观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

3、教学重点与难点根据已确定的教学⽬标，我把本节课的教学重点定为:教学重点：掌握利⽤坐标计算数量积，求模，求夹⾓，两向量垂直条件的应⽤；教学难点：利⽤坐标计算数量积，求模，求夹⾓公式的推导，两向量垂直条件的推导以及应⽤；(第⼆部分) 教法与学法分析1.教法分析基于本节课的内容特点，我主要采⽤以下⼏种教学⽅法：1）.直观演⽰法2）.集体讨论法3）.活动探究法4）.讲练结合法并充分利⽤现代技术教学⼿段，使学⽣主动参与数学实践活动，在教师的指导下发现问题、分析问题和解决问题。

2.学法分析学⽣作为教学活动中的主体，在学习过程中学⽣的参与度和参与状态将会影响教学效果，因此在学法的选择上，我主要采⽤以下⼏种：1）.⾃主探究法2）.合作交流法3）.观察发现法4）.归纳总结法(第三部分) 教学过程本节课的教学过程由以下⼏个教学环节构成：1、复习导⼊：教师利⽤多媒体课件跟学⽣简单回顾向量的线性组合，向量的坐标表⽰的相关知识，为本节课的公式推导奠定了知识基础。