(湘教版)高中数学选修2-2(全册)课堂练习汇总

(湘教版)高中数学选修2 -2 (全册)同步练习汇总第4章导数及其应用4．1导数概念4．1.1问题探索- -求自由落体的瞬时速度一、根底达标1．设物体的运动方程s＝f(t) ,在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时,其中时间的增量d() A．d>0 B．d<0C．d＝0 D．d≠0答案 D2．一物体运动的方程是s＝2t2 ,那么从2 s到(2＋d) s这段时间内位移的增量为() A．8 B．8＋2dC．8d＋2d2D．4d＋2d2答案 C解析Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2.3．一物体的运动方程为s＝3＋t2 ,那么在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为() A．4.11 B．4.01 C．4.0答案 D解析v＝错误!＝4.1.4．一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程为s＝18t2 ,那么t＝2时,此木块水平方向的瞬时速度为()A．2 B．1 C.12 D.14答案 C解析ΔsΔt＝18(2＋Δt)2－18×22Δt＝12＋18Δt→12(Δt→0)．5．质点运动规律s＝2t2＋1 ,那么从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间的变化率为________．答案4＋2d解析v＝2(1＋d)2＋1－2×12－11＋d－1＝4＋2d.6．某个物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝－t2＋1.(1)t＝2到t＝2.1；(2)t ＝2到t ＝2.01； (3)t ＝2到t ＝2.001.那么三个时间段内的平均速度分别为________ ,________ ,________ ,估计该物体在t ＝2时的瞬时速度为________． 答案 －4.1 m/s －4.01 m/s －4.001 m/s －4 m/s7．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时 ,需在2 s 内完成刹车 ,其位移 (单位：m)关于时间(单位：s)的函数为： s (t )＝－3t 3＋t 2＋20 ,求：(1)开始刹车后1 s 内的平均速度； (2)刹车1 s 到2 s 之间的平均速度； (3)刹车1 s 时的瞬时速度． 解 (1)刹车后1 s 内平均速度v 1＝s (1)－s (0)1－0＝(－3×13＋12＋20)－201＝－2(m/s)．(2)刹车后1 s 到2 s 内的平均速度为： v 2＝s (2)－s (1)2－1＝(－3×23＋22＋20)－(－3×13＋12＋20)1＝－18(m/s)．(3)从t ＝1 s 到t ＝(1＋d )s 内平均速度为： v 3＝s (1＋d )－s (1)d＝－3(1＋d )3＋(1＋d )2＋20－(－3×13＋12＋20)d＝－7d －8d 2－3d 3d ＝－7－8d －3d 2→－7(m/s)(d →0)即t ＝1 s 时的瞬时速度为－7 m/s. 二、能力提升8．质点M 的运动方程为s ＝2t 2－2 ,那么在时间段[2,2＋Δt ]内的平均速度为( )A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt答案 A解析 Δs Δt ＝2(2＋Δt )2－2－(2×22－2)Δt＝8＋2Δt .9．自由落体运动的物体下降的距离h 和时间t 的关系式为h ＝12gt 2 ,那么从t ＝0到t ＝1时间段内的平均速度为________ ,在t ＝1到t ＝1＋Δt 时间段内的平均速度为________ ,在t ＝1时刻的瞬时速度为________． 答案 12g g ＋12g Δt g 解析 12g ×12－12g ×021－0＝12g .12g (1＋Δt )2－12g ×12Δt ＝g ＋12g Δt . 当Δt →0时 ,g ＋12g Δt →g .10．自由落体运动的物体下降距离h 和时间t 的关系式为h ＝12gt 2,t ＝2时的瞬时速度为19.6 ,那么g ＝________. 答案解析 12g (2＋Δt )2－12g ×22Δt ＝2g ＋12g Δt . 当Δt →0时 ,2g ＋12g Δt →2g . ∴2g ＝19.6 ,g ＝9.8.11．求函数s ＝2t 2＋t 在区间[2,2＋d ]内的平均速度． 解 ∵Δs ＝2(2＋d )2＋(2＋d )－(2×22＋2)＝9d ＋2d 2 , ∴平均速度为Δsd ＝9＋2d .12．甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图①、②所示．问：(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快?(2)甲、乙二人百米赛跑,快到终点时,谁跑得快(设Δs为s的增量)?解(1)由题图①在(0 ,t]时间段内,甲、乙跑过的路程s甲<s乙,故有s甲t<s乙t即在任一时间段(0 ,t]内,甲的平均速度小于乙的平均速度,所以乙比甲跑得快．(2)由题图②知,在终点附近[t－d,t)时间段内,路程增量Δs乙>Δs甲,所以Δs乙d>Δs甲d即快到终点时,乙的平均速度大于甲的平均速度,所以乙比甲跑得快．三、探究与创新13．质量为10 kg的物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律做直线运动,求运动开始后4秒时物体的动能．解s(Δt＋4)－s(4)Δt＝3(Δt＋4)2＋(Δt＋4)＋4－(3×42＋4＋4)Δt＝3Δt＋25 , 当Δt→0时,3Δt＋25→25.即4秒时刻的瞬时速度为25.∴物质的动能为12m v2＝12×10×252＝3 125(J)4．问题探索- -求作抛物线的切线一、根底达标1．曲线y＝2x2上一点A(1,2) ,那么A处的切线斜率等于() A．2 B．4C．6＋6d＋2d2D．6答案 B2．曲线y＝12x2－2上的一点P(1 ,－32) ,那么过点P的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°答案 B3．如果曲线y＝2x2＋x＋10的一条切线与直线y＝5x＋3平行,那么切点坐标为() A．(－1 ,－8) B．(1,13)C．(1,12)或(－1,8) D．(1,7)或(－1 ,－1)答案 B4．曲线y＝x－2在点P(3,1)处的切线斜率为()A．－12B．0 C.12D．1答案 C解析(3＋Δx)－2－3－2Δx＝Δx＋1－1Δx＝1Δx＋1＋1.当Δx→0时,1Δx＋1＋1→12.5．假设曲线y＝x2＋1在曲线上某点处的斜率为2 ,那么曲线上该切点的坐标为________．答案(1,2)6．曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________．答案2x－y＋1＝0解析(1＋Δx)2＋2－(12＋2)Δx＝Δx＋2 ,当Δx→0时,Δx＋2→2.所以曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线斜率为2 ,其方程为y－3＝2(x－1)．即为2x－y＋1＝0.7．抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行,求点P的坐标及切线方程．解设点P(x0 ,y0) ,f(x0＋d)－f(x0)d＝(x0＋d)2－x20d＝d＋2x0 ,d→0时,d＋2x0→2x0.抛物线在点P处的切线的斜率为2x0 ,由于切线平行于2x－y＋4＝0 ,∴2x0＝2 ,x0＝1 , 即P点坐标为(1,1) ,切线方程为y－1＝2(x－1) ,即为2x－y－1＝0.二、能力提升8．曲线y＝－1x在点(1 ,－1)处的切线方程为()A．y＝x－2 B．y＝xC．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案 A解析－1Δx＋1－(－11)Δx＝1－1Δx＋1Δx＝1Δx＋1,当Δx→0时,1Δx＋1→1.曲线y＝－1x在点(1 ,－1)处的切线的斜率为1 ,切线方程为y＋1＝1×(x－1) ,即y＝x－2.9．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率为________．答案7解析f(2＋Δx)－f(2)Δx＝(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(22＋3×2)Δx＝Δx＋7 ,当Δx→0时,Δx＋7→7 ,所以,f(x)在A处的切线的斜率为7.10．曲线f(x)＝x2＋3x在点A处的切线的斜率为7 ,那么A点坐标为________．答案(2,10)解析设A点坐标为(x0 ,x20＋3x0) ,那么f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)2＋3(x0＋Δx)－(x20＋3x0)Δx＝Δx＋(2x0＋3) ,当Δx→0时,Δx＋(2x0＋3)→2x0＋3 ,∴2x0＋3＝7 ,∴x0＝2.x20＋3x0＝10.A点坐标为(2,10)．11．抛物线y＝x2＋1 ,求过点P(0,0)的曲线的切线方程．解设抛物线过点P的切线的切点为Q(x0 ,x20＋1)．那么(x0＋Δx)2＋1－(x20＋1)Δx＝Δx＋2x0.Δx→0时,Δx＋2x0→2x0.∴x20＋1－0x0－0＝2x0 ,∴x0＝1或x0＝－1.即切点为(1,2)或(－1,2)．所以,过P(0,0)的切线方程为y＝2x或y＝－2x.即2x－y＝0或2x＋y＝0.三、探究与创新12．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切,求切点的坐标及a的值．解设切点A(x0 ,y0) ,(x0＋d)3－(x0＋d)2＋1－(x30－x20＋1)d＝3x20d＋3x0d2＋d3－2x0d－d2d＝3x 20－2x 0＋(3x 0－1)d ＋d 2→3x 20－2x 0(d →0)． 故曲线上点A 处切线斜率为3x 20－2x 0 ,∴3x 20－2x 0＝1 ,∴x 0＝1或x 0＝－13 ,代入C的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1 y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－13 y 0＝2327代入直线l ,当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝1时 ,a ＝0(舍去) ,当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－13 y 0＝2327时 ,a ＝3227 ,即切点坐标为(－13 ,2327) ,a ＝3227.4． 导数的概念和几何意义一、根底达标1．设f ′(x 0)＝0 ,那么曲线y ＝f (x )在点(x 0 ,f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交答案 B2．函数y ＝f (x )的图象如图 ,那么f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A．f′(x A)>f′(x B) B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定答案 B解析分别作出A、B两点的切线,由题图可知k B>k A ,即f′(x B)>f′(x A)．3．曲线y＝2x2上一点A(2,8) ,那么在点A处的切线斜率为() A．4 B．16 C．8 D．2解析在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数,由导数定义可求y′＝4x ,∴f′(2)＝8.答案 C4．函数f(x)在x＝1处的导数为3 ,那么f(x)的解析式可能为() A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1答案 A解析分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.5．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________ ,该切线方程为____________．答案33x－y＋1＝0解析Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2 ,故y′|x＝1＝limd→0Δy d＝limd→0(3＋d)＝3.∴切线的方程为y－4＝3(x－1) ,即3x－y＋1＝0.6．假设曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3 ,那么这条切线方程为____________．答案4x－y－5＝0解析∵f′(x)＝f(x＋d)－f(x)d＝(x＋d)2－1－(x2－1)d＝2xd＋d2d＝(2x＋d)＝2x.设切点坐标为(x0,y0) ,那么由题意知f′(x0)＝4 ,即2x0＝4 ,∴x0＝2 ,代入曲线方程得y0y－3＝4(x－2) ,即4x－y－5＝0.7．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．解∵f′(3)＝f(3＋d)－f(3)d＝(3＋d)3－33d＝(d2＋9d＋27)＝27 ,∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3) , 即27x－y－54＝0.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0) ,(0 ,－54)．∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12×2×54＝54.二、能力提升8．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为() A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5 D．y＝2x答案 A解析－(Δx＋1)3＋3(Δx＋1)2－(－13＋3×12)Δx＝－Δx2＋3.Δx→0时,－Δx2＋3→3.∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3. 所以切线方程为y－2＝3(x－1) ,即y＝3x－1.9．函数y＝f(x)图象在M(1 ,f(1))处的切线方程为y＝12x＋2 ,那么f(1)＋f′(1)＝________. 答案 3解析 由切点在切线上． ∴f (1)＝12×1＋2＝52.切线的斜率f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝3.10．假设曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0 ,b )处的切线方程为x －y ＋1＝0 ,那么a ,b 的值分别为________ ,________. 答案 1 1解析 ∵点(0 ,b )在切线x －y ＋1＝0上 , ∴－b ＋1＝0 ,b ＝1.又f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝Δx 2＋a Δx ＋b －b Δx ＝a ＋Δx ,∴f ′(0)＝a ＝1.11．曲线y ＝x 3＋1 ,求过点P (1,2)的曲线的切线方程． 解 设切点为A (x 0 ,y 0) ,那么y 0＝x 30＋1.(x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx ＝Δx 3＋3x 20Δx ＋3x 0Δx2Δx ＝Δx 2＋3x 0Δx ＋3x 20.∴f ′(x 0)＝3x 20 ,切线的斜率为k ＝3x 20.点(1,2)在切线上 ,∴2－(x 30＋1)＝3x 20(1－x 0)．∴x 0＝1或x 0＝－12. 当x 0＝1时 ,切线方程为3x －y －1＝0 , 当x 0＝－12时 ,切线方程为3x －4y ＋5＝0.所以 ,所求切线方程为3x －y －1＝0或3x －4y ＋5＝0. 12．求抛物线y ＝x 2的过点P (52 ,6)的切线方程． 解 由得 ,Δyd ＝2x ＋d , ∴当d →0时 ,2x ＋d →2x , 即y ′＝2x ,设此切线过抛物线上的点(x 0 ,x 20) , 又因为此切线过点(52 ,6)和点(x 0 ,x 20) ,其斜率应满足x20－6x0－52＝2x0 ,由此x0应满足x20－5x0＋6＝0.解得x0＝2或3.即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4) ,(3,9)．所以切线方程分别为y－4＝4(x－2) ,y－9＝6(x－3)．化简得4x－y－4＝0,6x－y－9＝0 ,此即是所求的切线方程．三、探究与创新13．求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．解设切点为P(a ,b) ,函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3 ,得a＝－1 ,代入y＝x3＋3x2－5得,b＝－3 ,即P(－1 ,－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1) ,即3x＋y＋6＝0.4．导数的运算法那么一、根底达标1．设y＝－2e x sin x ,那么y′等于() A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)答案 D解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．2．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数为0时,那么x0＝() A．a B．±a C．－a D．a2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2 ,由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直 ,那么a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2 答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1, ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2 ,即a ＝－2.4．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ,那么当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2 ,－8)B ．(－1 ,－1)或(1,1)C ．(2,8)D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 －18 答案 B解析 y ′＝3x 2 ,∵k ＝3 ,∴3x 2＝3 ,∴x ＝±1 , 那么P 点坐标为(－1 ,－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2 ,曲线y ＝g (x )在点(1 ,g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1 ,那么曲线y ＝f (x )在点(1 ,f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x , f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．f (x )＝13x 3＋3xf ′(0) ,那么f ′(1)＝________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数 ,所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0) , 令x ＝0 ,那么f ′(0)＝0 , ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求以下函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋ 3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3 , ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x , ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4 0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22 答案B 解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2,故y ′|x ＝π4＝12 ,∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4 0处的切线的斜率为12. 9．点P 在曲线y ＝4e x ＋1上 ,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角 ,那么α的取值范围是( )A ．[0 ,π4) B ．[π4 ,π2) C ．(π2 ,3π4] D ．[3π4 ,π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e xe 2x ＋2e x＋1 ,设t ＝e x ∈(0 ,＋∞) ,那么y ′ ＝－4tt 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2,∵t ＋1t ≥2 ,∴y ′∈[－1,0) ,α∈[3π4 ,π)． 10．(2021·江西)设函数f (x )在(0 ,＋∞)内可导 ,且f (e x )＝x ＋e x ,那么f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ,那么x ＝ln t ,所以函数为f (t )＝ln t ＋t ,即f (x )＝ln x ＋x ,所以f ′(x )＝1x ＋1 ,即f ′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上 ,可令切点坐标为(x 0 ,x 30)．由题意 ,所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20 ,即x 30x 0－2＝3x 20 ,解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时 ,得切点坐标是(0,0) ,斜率k ＝0 ,那么所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时 ,得切点坐标是(3,27) ,斜率k ＝27 , 那么所求直线方程是y －27＝27(x －3) , 即27x －y －54＝0.综上 ,所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．曲线f (x )＝x 3－3x ,过点A (0,16)作曲线f (x )的切线 ,求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0 ,y 0) ,那么由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3 ,∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16 , 又切点(x 0 ,y 0)在切线上 , ∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16 ,即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16 ,解得x 0＝－2 ,∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ,曲线y ＝f (x )在点(2 ,f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值 ,并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时 ,y ＝12 ,∴f (2)＝12 ,①又f ′(x )＝a ＋bx 2 , ∴f ′(2)＝74 ,②由① ,②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12 a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0 ,y 0)为曲线上任一点 ,由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0 ,y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0) ,即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0,从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 －6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0 ,从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0 ,y 0)处的切线与直线x ＝0 ,y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0 ,y ＝x 所围成的三角形的面积为定值 ,此定值为6.4．2 导数的运算4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表一、根底达标1．以下结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2 ,那么y ′＝12；②y ＝1x 2 ,那么y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ,那么y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ,那么y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数 ,所以y ′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4 ,那么点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 2或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 －2C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 －2D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 －2 答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4 ,x ＝±12 ,应选B. 3．f (x )＝x a ,假设f ′(－1)＝－4 ,那么a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5 答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1 ,f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4 ,a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定 答案 B解析∵f ′(x )＝3x 2 ,设切点为(x 0 ,y 0) ,那么3x 20＝1 ,得x 0＝±33 ,即在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33 39和点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33 －39处有斜率为1的切线． 5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________． 答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2 ,∴y ′|x ＝3＝－1 , ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0. 6．假设曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18 ,那么a ＝________. 答案 64 解析∴曲线在点处的切线斜率,∴切线方程为．令x ＝0得；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·＝18 ,∴a ＝64.7．求以下函数的导数：(1) y ＝7x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x . 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫7x 3′＝＝377x 4.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ,∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x , ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线 ,那么实数k 的值为( )A.1e B ．－1e C ．－e D ．e 答案 D解析y ′＝e x,设切点为(x 0 ,y 0) ,那么⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0 y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0 ,∴x 0＝1 ,∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4 ,那么a ＝______. 答案 1解析 y ′＝1x ,∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1 ,∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点 ,那么点P 到直线y ＝x 的最|小距离为________． 答案 22解析 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0 ,y 0) ,该切点即为与y ＝x 距离最|近的点 ,如图．那么在点(x 0 ,y 0)处的切线斜率为1 ,即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ,∴e x 0＝1 ,得x 0＝0 ,代入y ＝e x ,得y 0＝1 ,即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．f (x )＝cos x ,g (x )＝x ,求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ,g (x )＝x ,∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ,g ′(x )＝x ′＝1 , 由f ′(x )＋g ′(x )≤0 ,得－sin x ＋1≤0 , 即sin x ≥1 ,但sin x ∈[－1,1] , ∴sin x ＝1 ,∴x ＝2k π＋π2 ,k ∈Z .12．抛物线y ＝x 2 ,直线x －y －2＝0 ,求抛物线上的点到直线的最|短距离． 解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线 ,对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最|短,设切点坐标为(x0 ,x20) ,那么y′|x＝x＝2x0＝1 ,所以x0＝12,所以切点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1214,切点到直线x－y－2＝0的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728,所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最|短距离为728.三、探究与创新13．设f0(x)＝sin x ,f1(x)＝f′0(x) ,f2(x)＝f′1(x) ,… ,f n＋1(x)＝f′n(x) ,n∈N ,试求f2 014(x)．解f1(x)＝(sin x)′＝cos x ,f2(x)＝(cos x)′＝－sin x ,f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x ,f4(x)＝(－cos x)′＝sin x ,f5(x)＝(sin x)′＝f1(x) ,f6(x)＝f2(x) ,… ,f n＋4(x)＝f n(x) ,可知周期为4 ,∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.4.3导数在研究函数中的应用4．3.1利用导数研究函数的单调性一、根底达标1．命题甲：对任意x∈(a ,b) ,有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a ,b)内是单调递增的,那么甲是乙的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的,但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1) ,故甲是乙的充分不必要条件,选A.2．函数y＝12x2－ln x的单调减区间是()A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞ ,－1) C．(－∞ ,1) D．(－∞ ,＋∞)答案 A解析∵y＝12x2－ln x的定义域为(0 ,＋∞) ,∴y′＝x－1x,令y′<0 ,即x－1x<0 ,解得：0<x<1或x<－1.又∵x>0 ,∴0<x<1 ,应选A.3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c ,其中a ,b ,c为实数,当a2－3b＜0时,f(x)是() A．增函数B．减函数C．常函数D．既不是增函数也不是减函数答案 A解析求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b ,导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)＜0 ,所以f′(x)＞0恒成立,故f(x)是增函数．4．以下函数中,在(0 ,＋∞)内为增函数的是() A．y＝sin x B．y＝x e2C．y＝x3－x D．y＝ln x－x答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0 ,＋∞)上既有增又有减 ,故排除A ；对于函数y ＝x e 2 ,因e 2为大于零的常数 ,不用求导就知y ＝x e 2在(0 ,＋∞)内为增函数； 对于C ,y ′＝3x 2－1＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33 ,故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞ －33 ,⎝ ⎛⎭⎪⎫33 ＋∞上为增函数 , 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33 33上为减函数；对于D ,y ′＝1x －1 (x ＞0)． 故函数在(1 ,＋∞)上为减函数 , 在(0,1)上为增函数．应选B.5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32 3内可导 ,其图象如下图 ,记y ＝f (x )的导函数为y＝f ′(x ) ,那么不等式f ′(x )≤0的解集为________．答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 1∪[2,3)6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________． 答案 (－∞ ,－1) 解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2,令f ′(x )＜0得x ＜－1或12＜x ＜2 ,注意到函数定义域为(－∞ ,－1)∪(2 ,＋∞) ,故递减区间为(－∞ ,－1)．7．函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调递减区间为(－5,5) ,求函数y ＝f (x )的递增区间． 解 f ′(x )＝3x 2＋a .∵(－5,5)是函数y ＝f (x )的单调递减区间 ,那么－5,5是方程3x 2＋a ＝0的根 ,∴af′(x)＝3x2－75 ,令f′(x)＞0 ,那么3x2－75＞0 ,解得x＞5或x＜－5 ,∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞ ,－5)和(5 ,＋∞)．二、能力提升8．如果函数f(x)的图象如图,那么导函数y＝f′(x)的图象可能是()答案 A解析由f(x)与f′(x)关系可选A.9．设f(x) ,g(x)在[a ,b]上可导,且f′(x)＞g′(x) ,那么当a＜x＜b时,有() A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)答案 C解析∵f′(x)－g′(x)＞0 ,∴(f(x)－g(x))′＞0 ,∴f (x )－g (x )在[a ,b ]上是增函数 , ∴当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a ) , ∴f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )．10．(2021·大纲版)假设函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＋∞是增函数 ,那么a 的取值范围是________． 答案 [3 ,＋∞)解析 因为f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＋∞上是增函数 ,故f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＋∞上恒成立 , 即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＋∞上恒成立． 令h (x )＝1x 2－2x ,那么h ′(x )＝－2x 3－2 , 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＋∞时 ,h ′(x )＜0 ,那么h (x )为减函数 , 所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3 ,所以a ≥3.11．求以下函数的单调区间： (1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.解 (1)函数的定义域为(0 ,＋∞) ,y ′＝1－1x , 由y ′＞0 ,得x ＞1；由y ′＜0 ,得0＜x ＜1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1 ,＋∞) ,单调减区间为(0,1)． (2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32 ＋∞.∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2 ,∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.当y ′＞0 ,即－32＜x ＜－1或x ＞－12时 , 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增； 当y ′＜0 ,即－1＜x ＜－12时 , 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32 －1 ,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 ＋∞ ,单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1 －12. 12．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2) ,且在点M (－1 ,f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2) ,知d ＝2 , ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2 ,f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1 ,f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0 , 知－6－f (－1)＋7＝0 ,即f (－1)＝1 ,f ′(－1)＝6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6 －1＋b －c ＋2＝1 即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3 b －c ＝0 解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6xf ′(x )＞0 , 得x ＜1－2或x ＞1＋2； 令f ′(x )＜0 ,得1－2＜x ＜1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞ ,1－2)和(1＋ 2 ,＋∞) ,单调递减区间为(1－ 2 ,1＋2)． 三、探究与创新13．函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R ,m≠0) ,函数y＝f(x)的图象在点(2 ,f(2))处的切线与x轴平行．(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间．解(1)由条件得f′(x)＝3mx2＋2nx ,又f′(2)＝0 ,∴3m＋n＝0 ,故n＝－3m.(2)∵n＝－3m ,∴f(x)＝mx3－3mx2 ,∴f′(x)＝3mx2－6mx.令f′(x)＞0 ,即3mx2－6mx＞0 ,当m＞0时,解得x＜0或x＞2 ,那么函数f(x)的单调增区间是(－∞,0)和(2 ,＋∞)；当m＜0时,解得0＜x＜2 ,那么函数f(x)的单调增区间是(0,2)．综上,当m＞0时,函数f(x)的单调增区间是(－∞ ,0)和(2 ,＋∞)；当m＜0时,函数f(x)的单调增区间是(0,2).4.3.2函数的极大值和极小值一、根底达标y＝f(x)的定义域为(a,b) ,y＝f′(x)的图象如图,那么函数y＝f(x)在开区间(a ,b)内取得极小值的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析当满足f′(x)＝0的点,左侧f′(x)＜0 ,右侧f′(x)＞0时,该点为极小值点,观察题图,只有一个极小值点．2． "函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是 "函数y＝f(x)在这点取得极值〞的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析对于f(x)＝x3 ,f′(x)＝3x2 ,f′(0)＝0 ,不能推出f(x)在x＝0处取极值,反之成立．应选B.3．假设a＞0 ,b＞0 ,且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值,那么ab的最|大值等于() A．2 B．3 C．6 D．9答案 D解析f′(x)＝12x2－2ax－2b ,∵f(x)在x＝1处有极值,∴f′(1)＝12－2a－2b＝0 ,∴a＋b＝6.又a＞0 ,b＞0 ,∴a＋b≥2ab,∴2ab≤6 ,∴ab≤9 ,当且仅当a＝b＝3时等号成立,∴ab的最|大值为9.4．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有() A．极大值5 ,极小值－27B．极大值5 ,极小值－11C．极大值5 ,无极小值D．极小值－27 ,无极大值答案 C解析由y′＝3x2－6x－9＝0 ,得x＝－1或x＝3 ,当x＜－1或x＞3时,y′＞0 ,当－1＜x＜3时,y′x＝－1时,函数有极大值5；x取不到3 ,故无极小值．5．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值,那么实数a的取值范围是________．答案(－∞ ,－1)∪(2 ,＋∞)解析∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2) ,令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0 ,即x2＋2ax＋a ＋2＝0 ,∵函数f(x)有极大值和极小值,∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根 ,即Δ＝4a 2－4a －8＞0 ,解得a ＞2或a ＜－1.6．假设函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值 ,那么实数a 的取值范围是________． 答案 (1,4)解析 y ′＝3x 2－3a ,当a ≤0时 ,y ′≥0 ,函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数 ,不合题意 ,舍去；当a ＞0时 ,y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ,不难分析 ,当 1＜a ＜2 ,即1＜a ＜4时 ,函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值． 7．求函数f (x )＝x 2e －x 的极值． 解 函数的定义域为R , f ′(x )＝2x e －x＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′ ＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x , 令f ′(x )＝0 ,得x ＝0或x ＝2.当x 变化时 ,f ′(x ) ,f (x )的变化情况如下表： x (－∞ ,0) 0 (0,2) 2 (2 ,＋∞) f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )4e －2当x ＝2时 ,函数有极大值 ,且为f (2)＝4e －2. 二、能力提升8．函数f (x ) ,x ∈R ,且在x ＝1处 ,f (x )存在极小值 ,那么( )A ．当x ∈(－∞ ,1)时 ,f ′(x )＞0；当x ∈(1 ,＋∞)时 ,f ′(x )＜0B ．当x ∈(－∞ ,1)时 ,f ′(x )＞0；当x ∈(1 ,＋∞)时 ,f ′(x )＞0C ．当x ∈(－∞ ,1)时 ,f ′(x )＜0；当x ∈(1 ,＋∞)时 ,f ′(x )＞0D ．当x ∈(－∞ ,1)时 ,f ′(x )＜0；当x ∈(1 ,＋∞)时 ,f ′(x )＜0 答案 C解析 ∵f (x )在x ＝1处存在极小值 , ∴x ＜1时 ,f ′(x )＜0 ,x ＞1时 ,f ′(x )＞0.9．(2021·福建)设函数f (x )的定义域为R ,x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点 ,以下结论一定正确的选项是( )A ．∀x ∈R ,f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 答案 D解析 x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点 ,并不是最|大值点．故A 错；f (－x )相当于f (x )关于y 轴的对称图象的函数 ,故－x 0应是f (－x )的极大值点 ,B 错；－f (x )相当于f (x )关于x 轴的对称图象的函数 ,故x 0应是－f (x )的极小值点．跟－x 0没有关系 ,C 错；－f (－x )相当于f (x )关于坐标原点的对称图象的函数．故D 正确．y ＝f (x )的导函数的图象如下图 ,给出以下判断： ①函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3 －12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时 ,函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时 ,函数y ＝f (x )有极大值． 那么上述判断正确的选项是________．(填序号) 答案 ③解析 函数的单调性由导数的符号确定 ,当x ∈(－∞ ,－2)时 ,f ′(x )＜0 ,所以f (x )在(－∞ ,－2)上为减函数 ,同理f (x )在(2,4)上为减函数 ,在(－2,2)上是增函数 ,在(4 ,＋∞)上为增函数 ,所以可排除①和② ,可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增 ,右侧递减 ,所以当x ＝2时 ,函数有极大值；而在x ＝ －12的左右两侧 ,函数的导数都是正数 ,故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数 ,所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.11．f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数 ,且m ＞0)有极大值－52 ,求m 的值． 解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m ) , 令f ′(x )＝0 ,那么x ＝－m 或x ＝23m . 当x 变化时 ,f ′(x ) ,f (x )的变化情况如下表：x (－∞ ,－m ) －m⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－m 23m 23m ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23m ＋∞ f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52 ,∴m ＝1. 12．设a 为实数 ,函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时 ,曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点 ? 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0 ,那么x ＝－13或x ＝1.当x 变化时 ,f ′(x ) ,f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －13 －13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 1 1 (1 ,＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ,极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1 , 由此可知 ,x 取足够大的正数时 ,有f (x )＞0 , x 取足够小的负数时 ,有f (x )＜0 ,所以曲线y ＝f (x )与x 轴至|少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ,f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点 ,∴f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0 , 即527＋a ＜0或a －1＞0 ,∴a ＜－527或a ＞1 ,∴当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －527∪(1 ,＋∞)时 ,曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． 三、探究与创新13．(2021·新课标Ⅱ)函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点 ,求m ,并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时 ,证明f (x )＞0. (1)解 f ′(x )＝e x －1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0 ,所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1) ,定义域为(－1 ,＋∞) , f ′(x )＝e x －1x ＋1. 函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1 ,＋∞)单调递增 ,且f ′(0)＝0 ,因此当 x ∈(－1,0)时 ,f ′(x )＜0；当x ∈(0 ,＋∞)时 ,f ′(x )＞0. 所以f (x )在(－1,0)单调递减 ,在(0 ,＋∞)单调递增． (2)证明 当m ≤2 ,x ∈(－m ,＋∞)时 ,ln(x ＋m )≤ ln(x ＋2) ,故只需证明当m ＝2时 ,f (x )＞0. 当m ＝2时 , 函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2 ,＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0 ,f′(0)＞0 ,故f′(x)＝0在(－2 ,＋∞)有唯一实根x0 , 且x0∈(－1,0)．当x∈(－2 ,x0)时,f′(x)＜0；当x∈(x0 ,＋∞)时,f′(x)＞0 ,从而当x＝x0时,f(x)取得最|小值．由f′(x0)＝0得e x0＝1x0＋2,ln(x0＋2)＝－x0 ,故f(x)≥f(x0)＝1x0＋2＋x0＝(x0＋1)2x0＋2＞0.综上,当m≤2时,f(x)＞0.4.3.3三次函数的性质：单调区间和极值一、根底达标1．函数y＝f(x)在[a ,b]上() A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最|大值C．最|大值一定是极大值D．最|大值一定大于极小值答案 D解析由函数的最|值与极值的概念可知,y＝f(x)在[a,b]上的最|大值一定大于极小值．2．函数y＝x e－x ,x∈[0,4]的最|大值是()A．0 B.1e C.4e4 D.2e2答案 B解析y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x) ,令y′＝0 ,∴x＝1 ,∴f(0)＝0 ,f(4)＝4e4,f(1)＝e－1＝1e,∴f(1)为最|大值,应选B.3．函数y＝ln xx的最|大值为()A．e－1B．e C．e2 D.10 3答案 A解析令y′＝(ln x)′x－ln x·x′x2＝1－ln xx2＝0.(x＞0)解得xx>e时,y′<0；当0＜x<e时,y′＞0.y极大值＝f(e)＝1e,在定义域(0 ,＋∞)内只有一个极值,所以y max＝1 e.4．函数y＝4xx2＋1在定义域内() A．有最|大值2 ,无最|小值B．无最|大值,有最|小值－2 C．有最|大值2 ,最|小值－2 D．无最|值答案 C解析令y′＝4(x2＋1)－4x·2x(x2＋1)2＝－4x2＋4(x2＋1)2＝0 ,得xx变化时,y′ ,y随x的变化如下表：x (－∞ ,－1)－1(－1,1)1(1 ,＋∞) y′－0＋0－y 极小值极大值最|大值2.5．函数f(x)＝e x－2x＋a有零点,那么a的取值范围是________．答案(－∞ ,2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点 ,即方程e x －2x ＋a ＝0有实根 ,即函数 g (x )＝2x －e x ,y ＝a 有交点 ,而g ′(x )＝2－e x ,易知函数g (x )＝2x －e x 在 (－∞ ,ln 2)上递增 ,在(ln 2 ,＋∞)上递减 ,因而g (x )＝2x －e x 的值域为 (－∞ ,2ln 2－2] ,所以要使函数g (x )＝2x －e x ,y ＝a 有交点 ,只需 a ≤2ln 2－2即可．6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上的最|大值是________． 答案π6＋ 3 解析 y ′＝1－2sin x ＝0 ,x ＝π6 ,比拟0 ,π6 ,π2处的函数值 ,得y max ＝π6＋ 3. 7．函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最|小值－37 ,求a 的值及f (x )在 [－2,2]上的最|大值．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2) , 令f ′(x )＝0 ,得x ＝0或x ＝2 ,当x 变化时 ,f ′(x ) ,f (x )的变化情况如下表：x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 f ′(x ) ＋0 － 0 f (x )－40＋a极大值a－8＋amin 当x ＝0时 ,f (x )的最|大值为3. 二、能力提升8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2 ,g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ,N ,那么当|MN |到达最|小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22 答案 D解析 由题意画出函数图象如下图 ,由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y′＝2t－1t＝2t2－1t＝2⎝⎛⎭⎪⎫t＋22⎝⎛⎭⎪⎫t－22t.当0＜t＜22时,y′＜0 ,可知y在⎝⎛⎭⎪⎫22上单调递减；当t＞22时,y′＞0 ,可知y在⎝⎛⎭⎪⎫22＋∞上单调递增．故当t＝22时,|MN|有最|小值．9．(2021·湖北重点中学检测)函数f(x)＝x3－tx2＋3x,假设对于任意的a∈[1,2] ,b ∈(2,3] ,函数f(x)在区间[a ,b]上单调递减,那么实数t的取值范围是() A．(－∞ ,3] B．(－∞ ,5] C．[3 ,＋∞) D．[5 ,＋∞)答案 D解析∵f(x)＝x3－tx2＋3x,∴f′(x)＝3x2－2tx＋3 ,由于函数f(x)在(a,b)上单调递减,那么有f′(x)≤0在[a ,b]上恒成立,即不等式3x2－2tx＋3≤0在[a,b]上恒成立,即有t≥32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x在[a,b]上恒成立,而函数y＝32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x在[1,3]上单调递增,由于a∈[1,2] ,b∈(2,3] ,当b＝3时,函数y＝32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x取得最|大值,即y max＝32⎝⎛⎭⎪⎫3＋13＝5 ,所以t≥5 ,应选D.10．如果函数f(x)＝x3－32x2＋a在[－1,1]上的最|大值是2 ,那么f(x)在[－1,1]上的最|小值是________．答案－1 2解析f′(x)＝3x2－3x ,令f′(x)＝0得x＝0 ,或x＝1.∵f(0)＝a ,f(－1)＝－52＋a ,f(1)＝－12＋a ,∴f(x)max＝a＝2.∴f (x )min ＝－52＋a ＝－12.11．函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ,b ,c ∈R )．(1)假设函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值 ,试求a ,b 的值； (2)在(1)的条件下 ,当x ∈[－2,6]时 ,f (x )＜2|c |恒成立 ,求c 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ,∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值 , ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3,∴⎩⎨⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ,f ′(x )＝3x 2－6x －9 ,令f ′(x )＝0 ,得x ＝－1或x ＝3. 当x 变化时 ,f ′(x ) ,f (x )随x 的变化如下表：x (－∞ ,－1)－1 (－1,3) 3 (3 ,＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值c ＋5极小值 c －27∴当x ∈[－2,6]时 ,f (x )的最|大值为c ＋54 , 要使f (x )＜2|c |恒成立 ,只要c ＋54＜2|c |即可 , 当c ≥0时 ,c ＋54＜2c ,∴c ＞54； 当c ＜0时 ,c ＋54＜－2c ,∴c ＜－18.∴c ∈(－∞ ,－18)∪(54 ,＋∞) ,此即为参数c 的取值范围． 12．函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)假设f (x )在区间[－2,2]上的最|大值为20 ,求它在该区间上的最|小值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0 ,解得x＜－1或x＞3 ,∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞ ,－1) ,(3 ,＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a ,f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a ,∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20 ,∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1,3)上f′(x)＞0 ,∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2 ,－1]上单调递减,∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最|大值和最|小值,∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7 ,即f(x)最|小值为－7.三、探究与创新13．(2021·新课标Ⅰ)函数f(x)＝x2＋ax＋b,g(x)＝e x(cx＋d) ,假设曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2) ,且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a ,b ,c ,d的值；(2)假设x≥－2时,f(x)≤kg(x) ,求k的取值范围．解(1)由得f(0)＝2 ,g(0)＝2 ,f′(0)＝4 ,g′(0)＝4 ,而f′(x)＝2x＋a ,g′(x)＝e x(cx＋d＋c) ,∴a＝4 ,b＝2 ,c＝2 ,d＝2.(2)由(1)知,f(x)＝x2＋4x＋2 ,g(x)＝2e x(x＋1) ,设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2) ,F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．有题设可得F(0)≥0 ,即k≥1 ,令F′(x)＝0得,x1＝－ln k ,x2＝－2 ,①假设1≤k＜e2 ,那么－2＜x1≤0 ,∴当x∈(－2 ,x1)时,F′(x)＜0 ,当x∈(x1 ,＋∞)时,F′(x)＞0 ,即F(x)在(－2 ,x1)单调递减,在(x1 ,＋∞)单调递增,故F(x)在x＝x1取最|小值F(x1) ,而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.∴当≥－2时,F(x)≥0 ,即f(x)≤kg(x)恒成立．②假设k＝e2 ,那么F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e2) ,∴当x ≥－2时 ,F ′(x )≥0 ,∴F (x )在(－2 ,＋∞)单调递增 ,而F (－2)＝0 ,∴当x ≥－2时 ,F (x )≥0 ,即f (x )≤kg (x )恒成立 ,③假设k ＞e 2 ,那么F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0 ,∴当x ≥－2时 ,f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上所述 ,k 的取值范围为[1 ,e 2].4.4 生活中的优化问题举例一、根底达标1．方底无盖水箱的容积为256 ,那么最|省材料时 ,它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8 答案 A解析 设底面边长为x ,高为h , 那么V (x )＝x 2·h ＝256 ,∴h ＝256x 2 ,∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ,∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0 ,解得x ＝8 ,∴h ＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务 ,经预算 ,存款量与存款利率的平方成正比 ,比例系数为k (k >0)．贷款的利率为0.0486 ,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ,x ∈(0,0.0486) ,假设使银行获得最|大收益 ,那么x 的取值为( )A ．0.016 2B ．0.032 4C ．0.024 3D ．0.048 6 答案 B。

1．虚数单位i(1)i 2＝－1(即－1的平方根是±i)．(2)实数可以与i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．(3)i 的幂具有周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N ＋)，则有i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n＋3＝0(n ∈N ＋)． 2．复数的分类复数a ＋b i(a ，b ∈R)⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)3．共轭复数设复数z 的共轭复数为z ，则 (1)z ·z ＝|z |2＝|z |2；(2)z 为实数⇔z ＝z ；z 为纯虚数⇔z ＝－z . 4．复数相等的条件复数相等的充要条件为a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0(a ，b ∈R)．5．复数的运算(1)加法和减法运算：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R)．(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．复数的概念[例1] 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时， (1)z ∈R ？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？[解] (1)∵一个复数是实数的充要条件是虚部为0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)＝0， ②由②得x ＝4，经验证满足①式． ∴当x ＝4时，z ∈R.(2)∵一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)≠0，x －3>0.解得⎩⎨⎧x >3＋212或x <3－212，x >3且x ≠4，即3＋212<x <4或x >4. ∴当3＋212<x <4或x >4时，z 为虚数．(3)∵一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2－3x －3)＝0，log 2(x －3)≠0，x －3>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1或x ＝4，x >3且x ≠4.无解．∴复数z 不可能是纯虚数．解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要注意某些函数的定义域．1．若复数z ＝a ＋2i1＋i＋(2－i)为纯虚数，求实数a .解：∵z ＝a ＋2i 1＋i ＋(2－i)＝(a ＋2i )(1－i )2＋(2－i)＝(a ＋2)＋(2－a )i2＋(2－i)＝a ＋62－a 2i 为纯虚数，∴a ＋62＝0，即a ＝－6. 2．已知z ＝x －i 1－i(x >0)，且复数ω＝z (z ＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－32，求ω·ω.解：ω＝z (z ＋i)＝x －i 1－i ⎝⎛⎭⎪⎫x －i 1－i ＋i ＝x －i 1－i ·x ＋11－i＝x ＋12＋x 2＋x 2i.根据题意x ＋12－x 2＋x 2＝－32，得x 2－1＝3.∵x >0，∴x ＝2，∴ω＝32＋3i.∴ω·ω＝⎝⎛⎭⎫32＋3i ⎝⎛⎭⎫32－3i ＝454.复数的四则运算[例2] 计算： (1)(2＋2i )4(1－3i )5； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[解] (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i )＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4＝－41＋3i＝－1＋3i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i 2＝－1.3．计算1－i (1＋i )2＋1＋i(1－i )2.解：1－i(1＋i )2＋1＋i(1－i )2＝1－i 2i－1＋i 2i ＝－2i2i ＝－1.4．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，求z ·z ＋z . 解：∵z ＝1－2i ，∴z ＝1＋2i.∴z ·z ＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋(1－2i)＝5＋1－2i ＝6－2i.复数问题实数化[例3] 设存在复数z 同时满足下列条件： (1)复数z 在复平面内对应的点位于第二象限； (2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R)．试求a 的取值范围． [解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＝x －y i. 由(1)，知x ＜0，y ＞0. 又z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R)， 故(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ， 即(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝8＋a i.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a . 消去x ，整理，得4(y －1)2＝36－a 2， ∵y ＞0，∴4(y －1)2≥0. ∴36－a 2≥0.∴－6≤a ≤6.又2x ＝a ，而x ＜0，∴a ＜0.∴－6≤a ＜0. ∴a 的取值范围为[－6,0)．复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，依据是复数相等的充要条件．5．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝z ，求实数a ，b 的值． 解：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i. (1)|z |＝12＋12＝ 2.(2)z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b ＝a ＋b ＋(a ＋2)i ， ∵z ＝1－i ，∴a ＋b ＋(a ＋2)i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1， ∴a ＝－3，b ＝4.复数的几何意义[例4] 已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， z 2－i ＝x ＋y i 2－i ＝15(x ＋y i)(2＋i) ＝15(2x －y )＋15(2y ＋x )i. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝0，15(2y ＋x )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0.∴2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)和复平面上的点P (a ，b )一一对应，和向量OP ―→一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键．6．已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图， 因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x ＝－3，y ＝4(舍去)， 故z ＝－5.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．把复数z 的共轭复数记作z －，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z －＝( ) A ．3－i B ．3＋i C ．1＋3iD ．3解析：(1＋z )·z －＝(2＋i)(1－i)＝3－i. 答案：A2．(全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2解析：因为z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.答案：C3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i ＋i －i 2＝4－2i. 在复平面内对应的点为(4，－2)，位于第四象限． 答案：D4．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于( ) A ．2i B ．i C ．－iD ．－2i解析：设z ＝b i(b ≠0)，则z ＋21－i ＝2＋b i 1－i＝(2＋b i )(1＋i )2＝(2－b )＋(2＋b )i2.∵z ＋21－i是实数，∴2＋b ＝0. ∴b ＝－2，∴z ＝－2i. 答案：D5．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－iD ．1＋i解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：D6．已知复数z 1＝2＋a i(a ∈R)，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则|z 1|＝( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 解析：由于z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝2－2a ＋(4＋a )i 5为纯虚数，则a ＝1，则|z 1|＝5，故选D. 答案：D7．若z 1＝(2x －1)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R)互为共轭复数，则z 1对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由z 1，z 2互为共轭复数，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝3x ，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以z 1＝(2x －1)＋y i ＝－3－i.由复数的几何意义知z 1对应的点在第三象限． 答案：C8．(全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R. 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，对于p 1，∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，∴b ＝0，∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题； 对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)， 则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ， ∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题． 答案：B9．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－2解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ， 所以z 2＋z －2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0. 故z 2＋z －2的虚部为0. 答案：A 10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i1＋i ＝3－i.答案：A11．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝ |z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：设复数z 与复平面内的点Z 相对应，由△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3及|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|可知点Z 到△ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z 即为△ABC 的外心．答案：A12．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根， 则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ， 解得b ＝－2，c ＝3. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC ―→＝2OA ―→＋OB ―→，则a ＝________，b ＝________.解析：∵OC ―→＝2OA ―→＋OB ―→∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝4＋a ，－4＝6＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.答案：－3 －1014．若复数z 满足方程z i ＝i －1，则z ＝________. 解析：∵z i ＝i －1，∴z ＝i －1i ＝(i －1)(－i)＝1＋i.∴z ＝1－i. 答案：1－i15．i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________.解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＋i 6＝i 1009＋i6＝i 4×252＋1＋i 4＋2＝i ＋i 2＝－1＋i.答案：－1＋i16．设z 1是复数，z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是1，则z 2的虚部是________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 1＝a －b i ，∴z 2＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i.由已知得a －b ＝1.∴z 2的虚部为－1.答案：－1三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2.求：(1)z 1·z 2；(2)z 1z 2. 解：z 2＝15－5i (2＋i )2＝1－3i. (1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝1110＋310i. 18．(本小题满分12分)已知z 1＝(x ＋y )＋(x 2－xy －2y )i ，z 2＝(2x －y )－(y －xy )i ，问x ，y 取什么实数值时，(1)z 1，z 2都是实数；(2)z 1，z 2互为共轭复数．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－xy －2y ＝0，y －xy ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝13. 所以当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝13时，z 1，z 2都是实数． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ，x 2－xy －2y ＝y －xy ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝34，所以当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝34时，z 1，z 2互为共轭复数． 19．(本小题满分12分)已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i.(1)求复数z ；(2)若复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵(1＋2i)z ＝4＋3i ，∴z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5＝2－i ，∴z ＝2＋i. (2)由(1)知z ＝2＋i ，则(z ＋a i)2＝(2＋i ＋a i)2＝[2＋(a ＋1)i]2＝4－(a ＋1)2＋4(a ＋1)i ， ∵复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－(a ＋1)2>0，4(a ＋1)>0，解得－1<a <1， 即实数a 的取值范围为(－1,1)．20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝i(1－i)3.(1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解：(1)z 1＝i(1－i)3＝i(1－i)2(1－i)＝2－2i ，∴|z 1|＝22＋(－2)2＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知 |z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆半径)＝22＋1.21．(本小题满分12分)设z 为复数z 的共轭复数，满足|z －z |＝2 3.(1)若z 为纯虚数，求z .(2)若z －z 2为实数，求|z |.解：(1)设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z ＝－b i ，因为|z －z |＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ， 因为|z －z |＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3， 因为z －z 2＝a ＋b i －(a －b i)2＝a －a 2＋b 2＋(b ＋2ab )i. z －z 2为实数， 所以b ＋2ab ＝0. 因为|b |＝3，所以a ＝－12， 所以|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋(±3)2＝132. 22．(本小题满分12分)已知z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1. (1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；(2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数． 解：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，且b ≠0)．(1)z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i. 因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1， 所以z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12， 即z 1的实部的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i. 因为a ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，b ≠0，所以ω为纯虚数．。

1．甲工厂八年来某产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示，现有四种说法： ①前三年该产品产量增长速度越来越快；②前三年该产品产量增长速度越来越慢；③第三年后该产品停止生产；④第三年后该产品产量保持不变．其中说法正确的有( )．A ．①④B ．②C ．①③D ．②③2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为( )．A ．2033B ．100C ．20D ．2033．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( )．A ．3VB ．32VC ．34VD ．23V4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x ＞400， 则总利润最大时，每年生产的产量是( )．A ．100B ．150C ．200D ．3005．用总长14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5m ，那么高为__________ 时容器的容积最大，最大容积为__________．6．某厂生产某种商品x 单位的利润是L (x )＝500＋x －0.001x 2，生产__________单位这种商品时利润最大，最大利润是__________．7．做一个无盖的圆柱形水桶，若需容积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为__________．8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，要使航行1海里所需的费用最少轮船的速度为________，航行1海里所需的费用总和最少为________．参考答案1．B2．A 如图，设底面半径为r ，高为h ，则有r 20＝sin θ，h 20＝cos θ，∴V (θ)＝πr 2·h ＝8 000πsin 2θcos θ.∴V ′(θ)＝16 000πsin θcos 2θ－8 000πsin 3θ.令V ′(θ)＝0，解得tan θ＝2，得唯一极值点．∴cos θ＝33.∴h ＝2033.3．C 设底面边长为x ，则表面积S ＝32x 2＋43Vx (x ＞0)，S ′＝3x 2(x 3－4V )，令S ′＝0，得唯一极值点x ＝34V .4．D 设总利润为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.当x ∈(400，＋∞)时，y ′＝－100≠0，此时y 无最值．当x ∈0,400]时，y ′＝－x ＋300.令y ′＝0，得x ＝300.由y ′在x ＝300处由正变负，故y 在x ＝300处有唯一极值点．又f (0)＜0，f (400)＜0，∴f (300)为最大值．5．1.2 m 1.8 m 3 设容器底面短边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5) m ，高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝3.2－2x .由3.2－2x ＞0和x ＞0，得0＜x ＜1.6.设容器的容积为y m 3，则有y ＝x (0.5＋x )·(3.2－2x )＝－2x 3＋2. 2x 2＋1.6x (0＜x ＜1.6)． ∴y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令y ′＝0，有－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(不合题意，舍去)． 当x ＝1时，y 取最大值，y 最大＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m 3)，这时高为3.2－2×1＝1.2(m)． ∴当高为1.2 m 时，容器的容积最大为1.8 m 3.6．500 750 L ′(x )＝1－0.002x .令L ′(x )＝0，得x ＝500，此时L (500)＝750.由已知，L (x )在其定义域0，＋∞)上只有一个极值点，所以生产500单位这种商品时利润最大，最大利润为750.7．3 设底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π.∴l ＝27R 2.要使用料最省，只需使圆柱的表面积最小． ∴S 表＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R， S ′表＝2πR －54πR 2＝0，∴R ＝3.∵S 表有唯一极值点，故当R ＝3时，S 表最小． 8．20海里/时 7.2元 设速度为每小时v 海里时燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系，得p ＝k ·v 3，其中k 为比例常数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006.于是有p ＝0.006v 3.又设当船的速度为每小时v 海里时，航行1海里所需的总费用为q 元，那么因每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而航行1海里所需时间为1v 小时．所以，航行1海里的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)． 令q ′＝0，解得v ＝20.又当v ＜20时，q ′＜0；当v ＞20时，q ′＞0，所以当v ＝20时，q 取得最小值，即当速度为20海里/时，航行1海里所需费用的总和最少为q ＝0.006v 2＋96v ＝0.006×202＋9620＝7.2(元)．。

1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝错误!（a≠1,n∈N＋）,验证n＝1时等式的左边为( )．A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a32．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n(n－3）条时,第一步验证n等于（)．A．1 B．2 C．3 D．03．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假设n＝2k＋1时正确,再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k时正确,再推n＝k＋1时正确D．假设n≤k（k≥1）,再推n＝k＋2时正确4．用数学归纳法证明“1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜n(n∈N＋且n ＞1)”时,由n＝k(k＞1）时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（)．A．2k－1B．2k－1 C．2k D．2k＋15．设f（x)是定义在正整数集上的函数，且f(x）满足：“当f （k）≥k2成立时，总可推出f(k＋1）≥（k＋1)2成立．”那么，下列命题总成立的是（)．A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k2成立B．若f（5）≥25成立，则当k≤5时，均有f（k)≥k2成立C．若f(7）＜49成立，则当k≥8时，均有f（k）＜k2成立D．若f（4）＝25成立,则当k≥4时，均有f（k)≥k2成立6．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中,当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________．7．将正△ABC分割成n2（n≥2,n∈N＋)个全等的小正三角形(图甲，图乙分别给出了n＝2，3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时），都分别依次成等差数列．若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f（n)，则有f（2)＝2,f（3）＝__________,…,f（n)＝__________.甲乙8．证明tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan（n－1)α·tan nα＝错误!－n（n≥2，n∈N＋)．9．某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍代的木材量为b，设a n为n年后该地区森林木材存量．（1)求a n的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于错误!a，如果b＝错误!a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2≈0.30）参考答案1．C 当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.2．C 在凸n边形中，边数最少的是三角形．3．B4．C 增加的项数为（2k＋1－1）－（2k－1）＝2k＋1－2k＝2k。

模块综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则 z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：z 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i2，对应点⎝⎛⎭⎫32，－12在第四象限． 答案：D2．已知f (x )＝x (2 018＋ln x )，f ′(x 0)＝2 019，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：由题意可知f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ·1x ＝2 019＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 019，得ln x 0＝0，解得x 0＝1. 答案：B3．若⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( ) A ．0 B ．1C ．0或1D ．以上都不对解析：取F (x )＝x 2－x 3，则F ′(x )＝2x －3x 2. ∴⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝F (k )－F (0)＝k 2－k 3＝0， ∴k ＝1或k ＝0(舍去)． 答案：B4．曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，又∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.答案：C5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3解析：因为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 答案：A6.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ―→⊥AB ―→时，其离心离为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， 所以FB ―→＝(c ，b )，AB ―→＝(－a ，b )．又因为FB ―→⊥AB ―→，所以FB ―→·AB ―→＝b 2－ac ＝0， 所以c 2－a 2－ac ＝0， 即e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．答案：A7．用数学归纳法证明“S n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>1(n ∈N ＋)”时，S 1等于( ) A.12B.12＋13C.12＋13＋14D ．以上答案均不正确解析：当n ＝1时，S 1＝11＋1＋11＋2＋13＋1＝12＋13＋14.答案：C8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：由图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 答案：B9．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”． 其中类比结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①②正确，③错误． 答案：C10．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2 (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )(e x )′(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增， 当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f (x 1)e x 1＜f (x 2)e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)． 答案：A11．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( ) A ．x 1>x 2 B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 21<x 22解析：因为f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －x －1e －x ＝f (x )， 所以f (x )为偶函数． 由f (x 1)<f (x 2)， 得f (|x 1|)<f (|x 2|)．(*)又f ′(x )＝e x －1e x ＋x ⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＝e 2x (x ＋1)＋x －1e x ， 当x ≥0时，e 2x (x ＋1)＋x －1≥e 0＝1>0， 所以f ′(x )≥0，所以f (x )在[)0，＋∞上为增函数，由(*)式得|x 1|<|x 2|，即x 21<x 22.答案：D12．直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3B ．2C.324D.32解析：当y ＝a 时，2(x ＋1)＝a ，所以x ＝a 2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t ，则t ＋ln t ＝a ， |AB |＝⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1. 设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0； 当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0， 所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上) 13．复数z 满足(1＋i)z ＝|3－i|，则z －＝________. 解析：∵(1＋i)z ＝|3－i|＝2， ∴z ＝21＋i ＝2(1－i )2＝1－i ，∴z －＝1＋i.答案：1＋i14．观察下列式子： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74，…， 则可归纳出____________________________． 解析：根据三个式子的规律特点进行归纳可知， 1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1(n ∈N ＋)． 答案：1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1(n ∈N ＋)15．一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，则此汽车在这1 min 行驶的路程为______ m.解析：由速度－时间曲线易知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ， t ∈[0，10]，30， t ∈[10，40]，－1.5t ＋90， t ∈[40，60]，由变速直线运动的路程公式可得s ＝⎠⎛0103t d t ＋⎠⎛104030d t ＋⎠⎛4060(－1.5t ＋90)d t ＝1 350 (m)． 答案：1 35016．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 018个梯形数为a 2 018，则 a 2 018＝________.解析：5＝2＋3＝a 1, 9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3， …，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 018＝2＋3＋4＋…＋2 020＝12×2 019×2 022＝2 019×1 011.答案：2 019×1 011三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i.(1)若复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z 1； (2)若实数a ，b 满足z 2＋az ＋b ＝1－i ，求z 2＝a ＋b i 的共轭复数．解：由已知得复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5＋5i5＝1＋i.(1) 复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称， (2) 则它们实部互为相反数，虚部相等， 所以z 1＝－1＋i.(2)因为z 2＋az ＋b ＝1－i ，所以(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， 整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，因为a ，b ∈R ，所以a ＋b ＝1，且2＋a ＝－1， 解得a ＝－3，b ＝4，所以复数z 2＝－3＋4i ，所以z 2的共轭复数为－3－4i.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象经过点(1，－1)，且在x ＝1处，f (x )取得极值．求：(1)函数f (x )的解析式； (2)f (x )的单调递增区间．解：(1)由f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象过点(1，－1)，得a ＋b ＝－2. ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ， ∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，3a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x ＋1. (2)∵f ′(x )＝3x 2－3，∴由f ′(x )>0，得x >1或x <－1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的 取值范围．解：(1)由f (x )≥h (x )， 得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0； 当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增．故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e. 所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减， 当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增． 又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3， 要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点， 则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．20．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝ca n ＋c n ＋1(2n ＋1)(n ∈N ＋)，其中实数c ≠0.求{a n }的通项公式．解：a 2＝ca 1＋c 2·3＝3c 2＋c ＝(22－1)c 2＋c ， a 3＝ca 2＋c 3·5＝8c 3＋c 2＝(32－1)c 3＋c 2， a 4＝ca 3＋c 4·7＝15c 4＋c 3＝(42－1)c 4＋c 3， 猜测a n ＝(n 2－1)c n ＋c n －1，n ∈N ＋. 下面用数学归纳法证明． 当n ＝1时，等式成立．假设n ＝k 时，等式成立，即a k ＝(k 2－1)c k ＋c k －1， 则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝ca k ＋c k ＋1(2k ＋1)＝c [(k 2－1)c k ＋c k －1]＋c k ＋1(2k ＋1) ＝(k 2＋2k )c k ＋1＋c k ＝[(k ＋1)2－1]c k ＋1＋c k . 即当n ＝k ＋1时，结论成立．综上，{a n }的通项公式为a n ＝(n 2－1)cn＋c n －1(n ∈N ＋)．21．(本小题满分12分)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地，用于建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ 解：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)， 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为y ＝f (x )＝800x ＋x (x －1)2×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N ＋)．(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g (x )＝f (x )2 000x ×10 000＝5(10x 2＋790x ＋9 000)x ＝50⎝⎛⎭⎫x ＋900x ＋79， 则g ′(x )＝50⎝⎛⎭⎫1－900x 2， 由g ′(x )＝0及x ∈N ＋得，x ＝30. 易知当x ＝30时，g (x )取得最小值.所以要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为30层． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ·ln x ，g (x )＝ax 3－12x －23e .(1)求f (x )的单调递增区间和最小值；(2)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点处存在公共切线，求实数a 的值． 解：(1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e ，∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减， ∴f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. (2)∵f ′(x )＝ln x ＋1，g ′(x )＝3ax 2－12，设公切点的横坐标为x 0，则与f (x )的图象相切的直线方程为y ＝(ln x 0＋1)x －x 0， 与g (x )的图象相切的直线方程为y ＝⎝⎛⎭⎫3ax 20－12x －2ax 30－23e， ∴⎩⎨⎧ln x 0＋1＝3ax 20－12，－x 0＝－2ax 3－23e，解得x 0ln x 0＝－1e ，由(1)知x 0＝1e ，∴a ＝e 26.。

5．3复数的四则运算[读教材·填要点]复数的四则运算一般地，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，有 (1)加法：z 1＋z 2＝a ＋c ＋(b ＋d )i. (2)减法：z 1－z 2＝a －c ＋(b －d )i.(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．[小问题·大思维]1．若复数z 1，z 2满足z 1－z 2>0，能否认为z 1>z 2? 提示：不能．如2＋i －i>0，但2＋i 与i 不能比较大小．2．复数的乘法满足我们以前学过的完全平方公式、平方差公式吗？ 提示：复数的乘法类似多项式的乘法，满足完全平方公式和平方差公式． 3．如何辨析复数除法与实数除法的关系？提示：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R)，若z 1－z 2＝ 13－2i ，求z 1，z 2.[自主解答] z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i.又∵z 1－z 2＝13－2i ，∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i. z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.对复数进行加减运算时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．1．(1)计算：⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i . (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z . 解：(1)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 因为z ＋1－3i ＝5－2i ， 所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ， 即x ＋1＝5且y －3＝－2， 解得x ＝4，y ＝1， 所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ， 所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)(5－295i)÷(7－35i)．[自主解答] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i. (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)原式＝－2＋3i 1＋2i ＝(－2＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－2＋6)＋(3＋4)i 12＋22＝45＋75i. (4)原式＝5－295i 7－35i ＝(5－295i )(7＋35i )(7－35i )(7＋35i )＝(35＋29×15)＋(155－29×75)i72＋(35)2＝470－1885i94＝5－25i.(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一样． (2)复数的除法法则难以记忆，在做题时，牢记分母“实数化”即可．2．(1)已知复数z 1＝4＋8i ，z 2＝6＋9i ，求复数(z 1－z 2)i 的实部与虚部； (2)已知z 是纯虚数，z －21＋i是实数，求z .解：(1)由题意得z 1－z 2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i －9i)＝－2－i ， 则(z 1－z 2)i ＝(－2－i)i ＝－2i －i 2＝1－2i. 于是复数(z 1－z 2)i 的实部是1，虚部是－2. (2)设纯虚数z ＝b i(b ∈R)， 则z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i2.由于z －21＋i是实数，所以b ＋2＝0，即b ＝－2，所以z ＝－2i.若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)i ＝0有实根，求纯虚数m 的值．[自主解答] 设m ＝b i(b ≠0)，x 0为一实根，代入原方程得x 20＋(1＋2i)x 0－(3b i －1)i ＝0. ∴(x 20＋x 0＋3b )＋(2x 0＋1)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3b ＝0，2x 0＋1＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－12，b ＝112.∴m ＝112i.若将“求纯虚数m ”改为“求实数m ”，如何求解？ 解：x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)i ＝0，即(x 2＋x )＋(2x －3m ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，2x －3m ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，m ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，m ＝－13. 即m ＝13或－13.复数方程问题，常借助复数相等的充要条件转化为实数问题解决．3．已知关于x 的方程x 2＋kx －i ＝0有一根是i ，求k 的值． 解：因为i 为方程x 2＋kx －i ＝0的一个根， 所以代入原方程，得i 2＋k i －i ＝0. 所以k ＝1＋i i ＝(1＋i )ii2＝1－i.计算：1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 018.[解] 法一：∵i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，∴i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0.∴1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 018＝1＋i ＋i 2＋(i 3＋i 4＋i 5＋i 6)＋(i 7＋i 8＋i 9＋i 10)＋…＋(i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＋i 2 018) ＝1＋i ＋i 2＝i.法二：1＋i ＋i 2＋…＋i 2 018 ＝1－i 2 0191－i ＝1－i 504×4＋31－i＝1－i 31－i ＝1＋i 1－i＝i.1．(6－2i)－(3i ＋1)等于( ) A ．3－3i B ．5－5i C ．7＋iD ．5＋5i解析：(6－2i)－(3i ＋1)＝(6－1)＋(－2－3)i ＝5－5i. 答案：B2．(全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.答案：D3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i )2－1－i ＝2i ＝－2i.答案：B4．若z ＝－1－i2时，求z 2 018＋z 102＝________.解析：z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i. z 2 018＋z 102＝(－i)1 009＋(－i)51 ＝(－i)1 008·(－i)＋(－i)48·(－i)3 ＝－i ＋i ＝0 答案：05．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________. 解析：由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a 2－1≠0，解得a ＝3.答案：36．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值． 解：(1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， 即a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.1．设i 为虚数单位，则5－i1＋i ＝( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i解析：5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－6i2＝2－3i.答案：C2．(山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2解析：∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝1i＋1＝1－i. ∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i. 答案：A3．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0. 答案：B4．已知z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1z 2＝( ) A ．－4＋3i B ．3＋4i C ．3－4iD ．4－3i解析：∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i ＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i. 答案：D 二、填空题5．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是________．解析：∵1－2＋i ＋11－2i ＝15(－2－i)＋15(1＋2i)＝－15＋15i ，∴虚部是15.答案：156．若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝______. 解析：∵z ＝i(2－z )，∴z ＝2i －i z ， ∴(1＋i)z ＝2i ，∴z ＝2i1＋i＝1＋i. 答案：1＋i7．(天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i 为实数，则a 的值为________．解析：由a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －15－2＋a 5i 是实数，得－2＋a5＝0，所以a ＝－2.答案：－28．若z ＝i －1是方程z 2＋az ＋b ＝0的一个根，则实数a ，b 的值分别为________，________. 解析：把z ＝i －1代入方程z 2＋az ＋b ＝0，得(－a ＋b )＋(a －2)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，a －2＝0.解得a ＝2，b ＝2. 答案：2 2 三、解答题9．复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＜0，求纯虚数a .解：z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数， ∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i ＜0. ∴⎩⎨⎧－m2＜0，m2－2＝0，∴m ＝4.∴a ＝4i.10．已知x ，y ∈R ，且x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i ，求x ，y 的值．解：∵x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i， ∴x (1－i )2＋y (1－2i )5＝5(1－3i )10.即5x (1－i)＋2y (1－2i)＝5－15i. (5x ＋2y )－(5x ＋4y )i ＝5－15i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5.。

1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用?（)．①结论相反的判断,即反设②原命题的条件③公理、定理、定义④原结论A．②④B．①③④C．①②③D．②③④2．用反证法证明命题“若a,b∈N，ab可以被7整除,则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）．A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除3．有下列叙述：①“a＞b"的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有( )．A．0个B．1个C．2个D．3个4．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲,丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．"丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )．A．甲B．乙C．丙D．丁5．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于( ）．A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!6．用反证法证明:当m为任何实数时,关于x的方程x2－5x＋m ＝0与2x2＋x＋6－m＝0至少有一个方程有实数根．7．已知函数f（x）＝a x＋错误!(a＞1)．用反证法证明方程f(x）＝0没有负数根．8．如图所示，在△ABC中，AB＞AC,AD为BC边上的高线,AM 是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．9．如图，已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a。

求证:b与c是异面直线．参考答案1．C2．B “至少有一个”的否定是“一个也没有”．3．B ①不正确，应为a≤b。

②正确．③不正确，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④不正确，应为三角形的内角中有2个或2个以上的钝角．4．C 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．5．A 假设a,b，c都小于x,即a＜x，b＜x,c＜x.∴a＋b＋c＜3x.∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1。

第6章 推理与证明6．1 合情推理和演绎推理6．1.1 归 纳1．关于归纳推理下列说法正确的是( )A ．归纳推理是一般到一般的推理B ．归纳推理是一般到特殊的推理C ．归纳推理的结论一定是正确的D ．归纳推理的结论不一定正确答案 D2．由2＋13＋1＞23，1＋35＋3＞15，3＋0.57＋0.5＞37，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是( ) A.c ＋b a ＋b >c a B.1＋1n ＋1>1nC ．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则b ＋c a ＋c ＞b aD ．若a ＞b ＞0，c ＞0，则b ＋c a ＋c ＞b a答案 D3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于________．答案 324．观察下列不等式：|2＋3|≤|2|＋|3|，|(－3)＋5|≤|－3|＋|5|，|－2－3|≤|－2|＋|－3|，|4＋4|≤|4|＋|4|，归纳出一般结论为______________________(x ，y ∈R )．答案 |x ＋y |≤|x |＋|y |解析 观察易发现：两个实数和的绝对值不大于这两个数的绝对值的和，即|x＋y|≤|x|＋|y|.1．归纳推理的前提和结论不具有必然性联系，前提正确，其结论不一定正确．结论的正确性还需要理论证明或实践检验．2．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，因此，由归纳推理得出的结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论不一定真实，因此它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.。

1．导数的几何意义导数的几何意义通常是指曲线的切线斜率；导数的物理意义通常是指物体运动的瞬时速度．2．函数的单调性与导数(1)在某个区间内，若f′(x)>0(或f′(x)<0)，则函数f(x)在此区间内为增(或减)函数．(2)利用导数证明函数在某区间上的单调性的关键是设法证明f′(x)>0或f′(x)<0恒成立；利用导数讨论函数的单调区间，则要解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)若f(x)为增(或减)函数，则应有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．在已知函数的单调性，利用导数求解相关参数时，要特别关注f′(x)＝0，即f(x)为常数的情况．3．导数与函数的极值、最值(1)函数的极值是一个局部概念，极大值与极小值之间无确定的大小关系，并且函数的极值个数不是确定的，也可能没有极值．而函数的最值表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上函数值的比较．(2)可导函数的极值点必是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．从而知x0是极值点的充分条件是在x＝x0的两侧导数值异号．(3)一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．求最值的关键是比较极值与端点处的函数值的大小．若定义域内只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点．4．定积分与微积分基本定理利用微积分基本定理计算定积分，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．导数的几何意义[例1]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为 k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16.整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)， 则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1. 解得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)，于是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．1．(天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)， 令x ＝0，得y ＝1. 答案：12．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞).导数与函数的单调性[例2] (全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x ，讨论f (x )的单调性． [解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x . 若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减．(1)利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0 的解集．(2)已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是解决一个恒成立问题．3．证明：不等式ln x >2(x －1)x ＋1，其中x >1.证明：设f (x )＝ln x －2(x －1)x ＋1(x >1)，则f ′(x )＝1x －4(x ＋1)2. ∵x >1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(1，＋∞)内为单调增函数． 又∵f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )>f (1)＝0， 即ln x －2(x －1)x ＋1>0，∴ln x >2(x －1)x ＋1.4．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1，所以f (x )的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0,1)． (2)由g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x ，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x 2.若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数， 则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x 2＋ax ≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x )＝2x －2x 2，则φ′(x )＝－2x2－4x .当x ∈[1，＋∞)时，φ′(x )＝－2x 2－4x <0，∴φ(x )＝2x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数．∴φ(x )max ＝φ(1)＝0.∴a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞).导数与函数的极值、最值及恒成立问题[例3] 已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x ＞0)，当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )不存在最小值； 当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 且0＜x ＜－a 时，f ′(x )＜0， x ＞－a 时，f ′(x )＞0.∴x ＝－a 时，f (x )取极小值也是最小值， f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e.(2)g (x )＜x 2，即ln x －a ＜x 2，即a ＞ln x －x 2，故g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，也就是a ＞ln x －x 2在(0，e]上恒成立． 设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x ，由h ′(x )＝0及0＜x ≤e ，得x ＝22. 当0＜x ＜22时，h ′(x )＞0，当22＜x ≤e 时，h ′(x )＜0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上为增函数，在⎝⎛⎦⎤22，e 上为减函数，所以当x ＝22时，h (x )取得最大值为h ⎝⎛⎭⎫22＝ln 22－12.所以g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立时， a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫ln22－12，＋∞.一般地，若已知函数f (x )在某区间上的不等式恒成立，求函数表达式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数转化为求函数的最值或函数值域的端点问题，然后根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参数法，数形结合法)进行求解．5．(北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. 6．设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．解：∵f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)， ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c . 又f (3)＝9＋8c >f (1)，f (0)＝8c ＜f (1)， ∴x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . ∵对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2恒成立， ∴9＋8c <c 2，即c <－1或c >9.∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).导数与不等式[例4] 已知函数f (x )＝x 2e x －1－13x 3－x 2.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．[解] (1)f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)， 由f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1. 当－2<x <0或x >1时，f ′(x )>0；当x <－2或0<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)和(0,1)上单调递减． (2)f (x )－g (x )＝x 2e x －1－x 3＝x 2(e x －1－x )． 因为对任意实数x 总有x 2≥0， 所以设h (x )＝e x －1－x .则h ′(x )＝e x －1－1，由h ′(x )＝0，得x ＝1，当x <1时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(－∞，1)上单调递减， 因此当x <1时，h (x )>h (1)＝0.当x >1时，h ′(x )>0，即函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增， 因此当x >1时，h (x )>h (1)＝0. 当x ＝1时，h (1)＝0.所以对任意实数x 都有h (x )≥0，即f (x )－g (x )≥0， 故对任意实数x ，恒有f (x )≥g (x )．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．7．已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1.(1)若存在x ∈(0，＋∞)使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； (2)求证：当x ＞1时，在(1)的条件下，12x 2＋ax －a ＞x ln x ＋12成立．解：(1)原题即为存在x >0使得ln x －x ＋a ＋1≥0， ∴a ≥－ln x ＋x －1， 令g (x )＝－ln x ＋x －1， 则g ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝1.∵当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0.故a的取值范围是[0，＋∞)．(2)证明：原不等式可化为12＋ax－x ln x－a－12＞0(x＞1，a≥0)．2x令G(x)＝12＋ax－x ln x－a－12，则G(1)＝0.2x由(1)可知x－ln x－1＞0，则G′(x)＝x＋a－ln x－1≥x－ln x－1＞0，∴G(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴G(x)>G(1)＝0成立，∴12＋ax－x ln x－a－12＞0成立，2x即12＋ax－a>x ln x＋12成立．2x导数的实际应用[例5]如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园P Q CN，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积．[解]以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(4,2)．设抛物线方程为y2＝2px.∵点D在抛物线上，∴22＝8p.解得p＝12.∴抛物线方程为：y 2＝x (0≤x ≤4)． 设P (y 2，y )(0≤y ≤2)是曲线MD 上任一点， 则|P Q |＝2＋y ，|PN |＝4－y 2. ∴矩形游乐园面积为S ＝|P Q |×|PN |＝(2＋y )(4－y 2)＝8－y 3－2y 2＋4y . 求导得：S ′＝－3y 2－4y ＋4，令S ′＝0， 得3y 2＋4y －4＝0，解得y ＝23或y ＝－2(舍)．当y ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，S ′>0，函数为增函数； 当y ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，S ′<0，函数为减函数． ∴当y ＝23时，S 有最大值．得|P Q |＝2＋y ＝2＋23＝83，|PN |＝4－y 2＝4－⎝⎛⎭⎫232＝329.∴游乐园的最大面积为S max ＝83×329＝25627(km 2)．(1)解决实际问题中的最值问题，若列出的解析式是三次或更高次的函数，常考虑用导数求解； (2)在实际问题中，f ′(x )＝0常常仅有一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．8．某工厂某种产品的年产量为1 000x 吨，其中x ∈[20,100]，需要投入的成本为C (x )(单位：万元)，当x ∈[20,80]时，C (x )＝12x 2－30x ＋500；当x ∈(80,100]时，C (x )＝20 000x .若每吨商品售价为ln xx万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(单位：万元)关于x 的函数关系式； (2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L (x )＝1 000ln x －C (x )＝⎩⎨⎧1 000ln x －⎝⎛⎭⎫12x 2－30x ＋500，x ∈[20，80]，1 000ln x －20 000x，x ∈(80，100].(2)当x ∈[20,80]时，L ′(x )＝－(x －50)(x ＋20)x，由L ′(x )≥0，得20≤x ≤50；由L ′(x )≤0，得50≤x ≤80， ∴L (x )在[20,50]上单调递增，在[50,80]上单调递减， ∴当x ＝50时，L (x )max ＝1 000ln 50－250；当x ∈(80,100]时，L (x )＝1 000ln x －20 000x 单调递增，∴L (x )max ＝1 000ln 100 －2 000.∵1 000ln 50－250－(1 000ln 100－2 000)＝1 750－1 000ln 2>1 750－1 000>0， ∴当x ＝50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50－250)万元.定积分的应用[例6] 求正弦曲线y ＝sin x 与余弦曲线y ＝cos x 在x ＝－3π4到x ＝5π4之间围成的图形的面积．[解] 如图，画出y ＝sin x 与y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤－3π4，5π4上的图象， 它们共产生三个交点，分别为⎝⎛⎭⎫－3π4，－22，⎝⎛⎭⎫π4，22，⎝⎛⎭⎫5π4，－22.在⎝⎛⎭⎫－3π4，π4上，cos x >sin x ，在⎝⎛⎭⎫π4，5π4上，sin x >cos x . ∴面积S ＝⎠⎛－3π4π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎛π45π4(sin x －cos x )d x＝2⎠⎛π45π4(sin x －cos x )d x .取F (x )＝－(sin x ＋cos x )，∴S ＝2⎣⎡⎦⎤F ⎝⎛⎭⎫5π4－F ⎝⎛⎭⎫π4＝4 2.不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标．9．曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝⎛⎭⎫12，0，求过点P 的切线l 与C 围成的图形的面积． 解：设切点A (x 0，y 0)， 则y ′＝6x 20－6x 0－2，切线l ：y －[2x 30－3x 20－2x 0＋1]＝(6x 20－6x 0－2)(x －x 0)过P ⎝⎛⎭⎫12，0， ∴－[2x 30－3x 20－2x 0＋1]＝[6x 20－6x 0－2]·⎣⎡⎦⎤12－x 0. 即x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0. ∴x 0＝0，y 0＝1，A (0,1)．∴切线l 的方程为y －1＝－2(x －0)． ∴2x ＋y －1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，y ＝1－2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2，∴B ⎝⎛⎭⎫32，－2. ∴S ＝⎠⎜⎛32(3x 2－2x 3)d x ＝2732.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( ) A ．y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4解析：∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′ ＝(sin 2x )′－(cos 2x )′ ＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′ ＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，故选A. 答案：A2．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝1x 0，∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y 0＝1，则x 0＝e ， ∴k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝1e .答案：C3．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]解析：∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x ，当0＜x ≤1时，f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减． 答案：A4．已知函数f (x )＝x ln x ，若f (x )在x 0处的函数值与导数值之和等于1，则x 0的值等于( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．不存在解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1， 于是有x 0ln x 0＋ln x 0＋1＝1， 解得x 0＝1或x 0＝－1(舍去)．答案：A5.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是()解析：由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.答案：D6．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174D ．22＋12解析：由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x 2＝0得x ＝1，且x ∈(0,1)时f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时f ′(x )＞0， ∴x ＝1时f (x )最小，最小值为f (1)＝3. 答案：B7．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B.1 C.32D. 3解析：结合函数图象可得所求的面积是定积分⎠⎛－π3π3cos x d x ，取F (x )＝sin x ，则F ′(x )＝cos x . ∴⎠⎛－π3π3cos x d x ＝F ⎝⎛⎭⎫π3－F ⎝⎛⎭⎫－π3＝ 3. 答案：D8．设函数f (x )＝e x (sin x －cos x )(0≤x ≤2 019π)，则函数f (x )的各极小值之和为( ) A ．－e 2π(1－e 2 019π)1－e 2πB ．－e 2π(1－e 2 019π)1－e πC ．－1－e 2 020π1－e 2πD ．－e 2π(1－e 2 018π)1－e 2π解析：∵f ′(x )＝2e x sin x ，∴当x ∈(2k π＋π，2k π＋2π)(k ∈Z)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈(2k π＋2π，2k π＋3π)(k ∈Z)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 故当x ＝2k π＋2π(k ∈Z)时，f (x )取极小值， 其极小值为f (2k π＋2π)＝－e 2k π＋2π(k ∈Z)， 又0≤x ≤2 019π，∴f (x )的各极小值之和S ＝－e 2π－e 4π－…－e 2 018π＝－e 2π(1－e 2 018π)1－e 2π.答案：D9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：∵f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴在x ＝－2附近的左侧f ′(x )＜0，当x ＜－2时，xf ′(x )＞0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )＞0，当－2＜x ＜0时，xf ′(x )＜0.答案：C10．函数f (x )＝⎠⎛0xt (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值，也无最小值解析：函数f (x )＝13x 3－2x 2，所以f ′(x )＝x 2－4x ，所以f (x )在[－1,0]上单调递增，在[0,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，进而可得f (x )在[－1,5]上既有最大值又有最小值．答案：B11.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．则不等式f (x )<1的解集是( )A ．(－3,0)B ．(－3,5)C ．(0,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3,5)． 答案：B12．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫e 28，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤0，e28 C.⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞D.⎝⎛⎦⎤0，e 24 解析：根据题意，函数y ＝ax 2与函数y ＝e x 的图象在(0，＋∞)上有公共点， 令ax 2＝e x ，得a ＝e xx2. 设f (x )＝e xx 2，则f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4，由f ′(x )＝0，得x ＝2，当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx 2在区间(0,2)上是减函数，当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx2在区间(2，＋∞)上是增函数，所以当x ＝2时， 函数f (x )＝e x x 2在(0，＋∞)上有最小值f (2)＝e 24，所以a ≥e 24.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 解析：f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)． 又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]14．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________． 解析：∵y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，∴三角形面积为S △＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12 log 2e.答案：12log 2e15．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________． 解析：设曲线上一点的横坐标为x 0(x 0＞0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x 0，根据题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0＞0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝ 2.答案： 216．当x ∈[－1,2]时，x 3－x 2－x ＜m 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：记f (x )＝x 3－x 2－x ，∴f ′(x )＝3x 2－2x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫－13＝527，f (2)＝2，f (1)＝f (－1)＝－1， ∴当x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝2，∴m ＞2. 答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R)，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解：(1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，所以g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )， 从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0.解得x ＝－2(舍去)或x ＝2， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.18．(本小题满分12分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．解：由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2，① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0.② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x . 取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝f (x )．∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c .∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，当x ∈[－1,2]时，则f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围； (3)若f (x )在x ＝1处取得极值，证明：对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤72.解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b .令f ′(x )＝0，由Δ>0得1－12b >0，即b <112.∴b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，112. (2)∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，∴3－1＋b ＝0，得b ＝－2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝1，可以计算得到f (x )max ＝2＋c ， 所以2＋c <c 2，解得c >2或c <－1.即c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(3)可以计算得到f (x )max ＝2＋c ，f (x )min ＝－32＋c .∴对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2＋c －⎝⎛⎭⎫－32＋c ＝72. 20．(本小题满分12分)已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x . (1)若对任意x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求实数c 的取值范围；(2)若对任意x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数c 的取值范围． 解：(1)由f (x )≤g (x )恒成立得 c ≥(－2x 3＋3x 2＋12x )max .令F (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x (x ∈[－3,3])， ∴F ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12. 又∵x ∈[－3,3]，∴当x ∈[－1,2]，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； 当x ∈[－3，－1)和(2,3]，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 又∵F (2)＝20，F (－3)＝45. ∴F (x )max ＝F (－3)＝45，∴c ≥45.即实数c 的取值范围为[45，＋∞)． (2)∵x 1∈[－3,3]， ∴f (x 1)max ＝f (－3)＝147－c .∵g (x )＝2x 3＋4x 2－40x ，∴g ′(x )＝6x 2＋8x －40. ∵x ∈[－3,3]，∴当x ∈[－3,2]时，g ′(x )≤0，g (x )单调递减； x ∈(2,3]时，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 又∵x 2∈[－3,3]， ∴g (x 2)min ＝g (2)＝－48.又∵f (x 1)≤g (x 2)，∴147－c ≤－48，即c ≥195.∴f (x 1)max ≤g (x 2)min 成立时，c 的取值范围为[195，＋∞)．21．(本小题满分12分)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6＜x ＜11)，年销量为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润． 解：(1)设5858－u ＝k ⎝⎛⎭⎫x －2142， ∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎫10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2⎝⎛⎭⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6＜x ＜11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9， 显然，当x ∈(6,9)时，y ′＞0， 当x ∈(9,11)时，y ′＜0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．22．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2－b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝－43，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a －b ＝0，8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，∴f (x )＝13x 3－4x ＋4. (2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 283－43 因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时， f (x )有极小值－43， 所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示． 若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，∴－43<k <283. ∴实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－43，283.。

1．设i为虚数单位,则错误!＝( ）．A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i2．复数1－2＋i＋错误!的虚部是( )．A．错误!i B．错误!C．－错误!i D．－错误!3．复数i3(1＋i)2等于（)．A．2 B．－2C．2i D．－2i4．已知a是实数，错误!是纯虚数,则a等于( ）．A．1 B．－1C．错误!D．－错误!5．若3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则q等于（）．A．26 B．13C．6 D．56．(6＋6i）＋(3－i）－(5－3i)＝__________.7．错误!＋错误!＝______.8．已知x,y∈R，且错误!＋错误!＝错误!，则x＋y的值是__________．9．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋k i＝0有实根,求这个实根以及实数k的值．10．是否存在同时满足下列两个条件的复数z：(1）z＋错误!∈R，且1〈z＋错误!≤6；（2)z的实部和虚部都是整数？如果存在,求出复数z；如果不存在，请说明理由．参考答案1．C 错误!＝错误!＝错误!＝2－3i.2．B ∵1－2＋i＋错误!＝错误!(－2－i)＋错误!(1＋2i)＝－错误!＋错误!i，∴虚部为错误!.3．A i3(1＋i)2＝－i×2i＝－2i2＝2.4．A ∵错误!＝错误!＝错误!－错误!i是纯虚数，∴错误!＝0,且错误!≠0,解得a＝1.5．A 由题意，得方程的另一根为3－2i，则错误!＝（3＋2i）(3－2i)＝13。

所以q＝26。

6．4＋8i (6＋6i)＋（3－i)－(5－3i)＝（6＋3－5）＋（6－1＋3)i＝4＋8i.7．错误!原式＝错误!＝错误!.8．4 错误!＋错误!＝错误!可化为错误!＋错误!＝错误!，5x(1－i)＋2y(1－2i）＝5－15i，（5x＋2y)－（5x＋4y)i＝5－15i，∴错误!∴错误!∴x＋y＝－1＋5＝4.9．解：设x＝x0是方程的实根,代入方程并整理得（x错误!＋kx0＋2）＋(2x0＋k）i＝0。