数学期望和方差

求E(X).
解:
E ( X ) xf ( x)dx


x(1 x)dx x(1 x)dx
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1
0
注:由于f(x)是偶函数，由定理1.1也知 E(X)=0.
第四章
数学期望和方差
注意：不是所有的随机变量都有数学期望. 例如：Cauchy分布的密度函数为
对称， f ( x ) f ( x ), 则E ( X ) .
g( x ) ( x ) f ( x ) x f ( x ) g( x ).
E ( X ) x f ( x )dx ( x ) f ( x )dx
1 q q 2 q n1
1 q n 1 (1 p ) n 1 q p
第四章
数学期望和方差
定义1.2
设 X 为连续型随机变量, 其密度函数为f(x) ， 若积分
xf ( x)dx
绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X ).
故 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)= p.
第四章
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(2) 二项分布
X的取值为0,1,…,n. 且 P(X=k)= Cnk pk (1-p)n-k, k= 0, 1, …, n.
E ( X ) kCnk p k (1 p) nk
k 0 n
n
n! k nk k p (1 p ) k 1 k!( n k )! n (n 1)! np p k 1 (1 p ) ( n1)( k 1) k 1 ( k 1)!( n k )!
k 1 q p, k 1,2,, n 1; P{X k} n 1 q , k n.
其中q 1 p，于是
E( X )

k 1
n 1
kq k 1 p nqn 1
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E( X )
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k 1 k 1 n 1
8 50
12
9
7 50
10
15 50
12
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
D k P( X k ) kpk 10.14
k 8 k 8
称之为这 5 个数字的加权平均,数学期望的 概念源于此.
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数学期望的定义
定义1.1 设离散型随机变量X 的概率分布为
P ( X xk ) p k ,
若无穷级数
k 1,2,
xk p k
k 1

绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X ).
E ( X ) xk pk
k 1

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数学期望和方差
常见离散型随机变量的数学期望
(1)0－1分布
这时 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p.
第四章
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本 章 内 容
随机变量的平均取值 —— 数学 期望 随机变量取值平均偏离平均值的 情况 —— 方差 描述两个随机变量之间的某种关 系的数 —— 协方差与相关系数
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§4.1 数学期望
引例:测量 50 个圆柱形零件直径(见下表)
尺寸（cm） 数量（个）





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推论
ab (1)若X ~ U (a , b ), 则E ( X ) . 2
( 2)若X ~ N ( , 2 ), 则E ( X ) .
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例2
设X 的概率密度为： 1 x, 1 x 0 f ( x ) 1 x, 0 x 1 0, 其他
注:在第三个等号中利用了等式
这可以由等式
两边同时对x求导数得到.
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例1
对产品进行抽样，只要发现废品就认为 这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n 件仍未发现废品则认为这批产品合格. 假设产 品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平 均需抽查的件数.
第四章
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解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X 的可能取值为1,2,…,n，且
np Cnk1 p k (1 p) ( n1)k np
k 0
n1
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(3)泊松分布
X的可能取值为0,1,2,…，且
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(4)几何分布
X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= qk-1 p, k= 1,2,…. p+q=1.
第四章
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证明 令g ( x ) x f ( x ).
g(x)是奇函数.
t f ( t )dt g ( t )dt .

( x ) f ( x )dx (令t x )


( x ) f ( x )dx f ( x )dx
E ( X ) xf ( x)dx


注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
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常见连续型分布的数学期望 (5)指数分布E()
随机变量X的密度为：
第四章
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定理1 设X的数学期望有限, 概率密度f (x) 关于
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
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换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
n 1
kq k 1 (1 q) nqn 1
kq k 1

k 1
n 1
kq k nqn 1
(1 2q 3q 2 (n 1)q n 2 ) ( q 2q 2 (n 2)q n 2 (n 1)q n 1 ) nqn 1