海南省(天一大联考)2019-2020学年高三年级第二次模拟考试数学试题

0.0490
16
0.0470
0.0520
0.0580
0.0600
0.0630
18
0.0590
0.0650
0.0720
0.0760
0.0790
20
0.0720
0.0800
0.0880
0.0920
0.0970
22
0.0860
0.0960
0.1060
0.1110
0.1160
24
0.1020
0.1140
0.1250
f
(x) =
x3 ， a
=
f
log2
3 4
，
b
=
f
log4
4 5
，
c
=
f
log2
2 3
，则
a
，
b
，
c
的大小关系为
（）
A. c < b < a
B. a < b < c
C. c < a < b
D. a < c < b
8.已知双曲线
C
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1( a
> 0,b
> 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，点 M
B. 10 个季度中，汽车产能利用率的中位数为 78.75% C. 2018 年 4 个季度的汽车产能利用率的平均数为 79.9%
D. 与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是 2019 年第 4 季度
10.对于
2x
−
1 x2
6
的展开式，下列说法正确的是（

因为 在 上单调递增
所以 ，所以 .故选：C
【点睛】本题主要考查了利用幂函数的单调性比较大小，属于中档题.
8.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 为 的右支上一点，且 ， ，则双曲线 的离心率的最小值为（）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【分析】
设 ， ， ，由 ，得出 ，由双曲线的定义以及离心率公式得出 ，最后余弦函数的性质得出双曲线 的离心率的最小值.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
由题意可得阴影部分表示 ，求出集合 后计算 可得答案.
【详解】解：由题意可得阴影部分表示 ,
【详解】设 ， ，
因为 ，且 ，所以 ，则
所以
所以 .
因为 ，所以当 时， 取得最大值
所以 ，所以双曲线 的离心率的最小值为 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质和离心率，涉及了三角函数的性质，属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
4.已知向量 ， ， ，则实数 的值为（）
A. 1B. C. D. -1
【答案】C
【分析】求出向量 的坐标，由 ，根据向量数量积的坐标表示，即求实数 的值.
【详解】 .
，
解得 .故选： .
【点睛】本题考查向量的坐标运算及数量积的坐标表示，属于基础题.

天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第三次模拟考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|60A x x x =--<，{}2|4B x x =…，则A B =I （ ） A ．()2,3B ．(2,3]C ． [2,3)D ．[2,3]2.已知复数z 满足()121 i z i -=+，则z =（ ）ABCD3.函数3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．2x π=C ．23x π=D ．56x π=4.已知函数，(2),0,()2,0x k x x f x k x +⎧=⎨+>⎩„，则“1k <”是“()f x 单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺。

问日织几何？”其意思为：“有一女子很会织布，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织布5尺。

问：每天分别织多少布？”则上述问题中，该女子第3天织布的尺数为（ ） A ．2031B ．1031C ．516D ．156.函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．7.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：由表格可得y 关于x 的二次回归方程为$26y x a =+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（ ） A ．5B ．4C ．1D ．08.已知双曲线22221(0,0)x y a b ba -=>>的左、右焦点分别为1(-, 0)F c ，2(, 0)(0)F c c >，点P 在双曲线上，且2PF 垂直于x 轴。

再将 1 上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,

得到曲线 2 的解析式为 = cos2 ⋅ 2 = cos .
故选：B.
【分析】由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可得出答案.
5.【答案】 A
【考点】一元二次不等式的解法
5
【解析】【解答】原不等式等价于 2 + 1 > 3 + 5 ≥ 0 ，解得 − 3 ≤ < −1 或 > 4 .
（1）若 = 30∘ ， = 75∘ ， √3 + √2 = 5 ，求 , 的长；
（2）若 + > 90∘ ，求证： < .
19.如图（1），在平面五边形 中，已知四边形 为正方形， 为正三角形.沿着 将
四边形 折起得到四棱锥 − ，使得平面 ⊥ 平面 ，设 在线段 上且满
“ 1 = 2 ”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
4.将函数 = sin2 的图象向左平移

4
C. 充要条件
个单位长度后得到曲线 1 ，再将 1 上所有点的横坐标伸长到
原来的 2 倍得到曲线 2 ，则 2 的解析式为（
A. = sin
B. = cos
1
1
5
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
海南省天一大联考 2020 届高三数学第一次模拟考试试卷
一、单选题
1.已知集合 = { ∈ ∗ |0 ≤ < 2} ，则集合 的子集的个数为（
A. 2
B. 3
1−
2.1+2 +
A.
6−2

天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第三次模拟考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|60A x x x =--<，{}2|4B x x =…，则A B =I （ ） A ．()2,3B ．(2,3]C ． [2,3)D ．[2,3]2.已知复数z 满足()121 i z i -=+，则z =（ ）ABCD3.函数3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．2x π=C ．23x π=D ．56x π=4.已知函数，(2),0,()2,0x k x x f x k x +⎧=⎨+>⎩„，则“1k <”是“()f x 单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺。

问日织几何？”其意思为：“有一女子很会织布，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织布5尺。

问：每天分别织多少布？”则上述问题中，该女子第3天织布的尺数为（ ） A ．2031B ．1031C ．516D ．156.函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．7.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：由表格可得y 关于x 的二次回归方程为$26y x a =+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（ ） A ．5B ．4C ．1D ．08.已知双曲线22221(0,0)x y a b ba -=>>的左、右焦点分别为1(-, 0)F c ，2(, 0)(0)F c c >，点P 在双曲线上，且2PF 垂直于x 轴。

天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第三次模拟考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．本题考查不等式的解法和集合的运算．A= j 川－2<x<3f,B ＝问Ix 运－2或x�2f ,AnB= [2,3).1.【答案］【命题意图］【解析】2.【答案】【命题意图】cB本题考查复数的概念和基本运算．由l -2i=z (l ＋明z ＝�＝＼＼=m口）＝－÷去i ，所以l z l 计才f ＋（去f ＝于【解析】3.【答案］【命题意图］D 本题考查三角函数的图象与性质．令2x －旦＝何＋主（kEZ），得x＝缸＋旦，取k=l，得x＝�.2 3D本题考查函数的单调性和充分必要条件的判断若f(x ）单调递增，则k>O且k (O +2）运20刊，解得O<k�l，因为“k<l ”与“O<h三1”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立．5.【答案】【命题意图】【解析］4.【答案］【命题意图】【解析】 A本题考查等比数列的概念和性质．α( 1 -25)设第n天织布的尺数为吼，则j a n f 是公比为2的等比数列．所以α1＋向＋…＋α＝ 1 1 L. 5 1 -2 【解析】? 20 得α＝一，所以向＝α1×2:l ＝一．1 31’� 1 316.【答案】【命题意图】c本题考查函数的图象．数函故数函奇为z g 数函2一山e 一＋q h －ea 2一山z g mm川2一山M g 令【解析］J(x ）是偶函数，排除A,B；当0<x ＜τ时，s i n x >0,e x > 1，所以g(x)>OJ(x) >0，故选c .7.【答案】【命题意图】A本题考查回归分析的应用．设t =x 2，则t ＝上（1 + 4 + 9 + 16 + 25) = 11，户上（2+ 17 +36 +93 + 142) =58，α＝58 -6×11=-8,5【解析］所以y =6x 2 -8.x =4，得e 4=y 4 -y 4 =93 -6×42+8=5. 本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系．一1一8.【答案】【命题意图】B3 IPF2I 3［解析］根据题意知IF1F2I＝纭，直线PF，的斜率为4，则tanLPF1F2＝面孟1=4，则有IPF2I =2c，则｜I 2 5PF, I= ,j I P F2 I 2 + I F J2 I二c则2a= I PF, I一IPF2I二c，则双曲线的离心率e二二2.又因为L.PF1F2的·y 2’。

“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,62.已知0,0m n >>，且3m n +=，则21m n +++的最大值为（）A.8B.23C.22D.572+3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.17502π9B.1750π9C.17502π3D.17502π5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A .4- B.2- C.3D.57.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.58.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x xy =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a b c cc >∈R ，则a b >C.若a b >，则22a b >D.函数2sin sin y x x=+的最小值为2210.如图，有一列曲线012,,, P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559nn S =-⋅11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+=D.当3a <时，()f x 有唯一的零点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan232θθ=-=）14.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N.（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,2,5PA AB BC AD CD =====.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值.18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫==⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U=，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.已知0,0mn >>，且3m n +=，则21m n +++的最大值为（）A.8B.23C.22D.572+【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值.【详解】由0,0mn >>，3m n +=，得6(2)(1)2(2)(1)m n m n =+++≥++，当且仅当213m n +=+=，即1,2m n ==时取等号，因此221(21)62(2)(1)23m n m n m n +++=+++=+++≤，所以21m n +++的最大值为23.故选：B3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 奇偶性排除两个选项，再利用0x >时，函数值的正负判断即可.【详解】函数)()(e e x x f x x -=-的定义域为R ，()()(e )e x x f x x f x -=-=--，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AC ；当0x >时，0e e 1x x -<<<，则()0f x <，排除D ，选项B 符合题意.故选：B4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.2π9B.1750π9C.2π3D.17502π【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积.【详解】半径为30，圆心角为120 的扇形围成圆锥的底面圆半径r ，则2π2π303r =⋅，解得10r =，该圆锥的高h=2211ππ10π333V r h ==⋅⋅=，截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径0r，则02π2π153r =⋅，解得05r =，该圆锥的高0h==2200011ππ5π333V r h ==⋅⋅=，所以该圆台的体积为0π27π31π33VV -=-=.故选：C5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由321a a a >>可得10,01a q <<<或10,1a q >>，由{}n S 递增得出0n a >恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，由321a a a >>，得1112a a a q q >>，则10,01a q <<<或10,1a q >>，由数列{}n S 为递增数列，得110n n n a S S ++=->，即N n *∀∈，10n a q >，因此10,0a q >>，所以“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的既不充分也不必要条件.故选：D6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A.4- B.2- C.3 D.5【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，分段探讨函数()f x 的单调性，进而求出最小值.【详解】当2x <-时，函数()21x f x =-在(,2)-∞-上单调递增，31()4f x -<<-；当2x ≤-时，函数2()2f x x =-在[2,0]-上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，()(0)2f x f ≥=-，所以当0x =时，min ()2f x =-.故选：B7.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式求出2a ，4a ，再根据124,,a a a 成等比数列，可求k 的值.【详解】因为点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，所以11n n a a kn ++=+⇒11n n kn a a +=+-，所以11a =，211k ka a =+-=，32211a k k a =+-=+，43312k k a a =+-=，因为124,,a a a 成等比数列，所以212k k =⨯⇒2k =或0k =（舍去）.故选：A8.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x x y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 及442x xy =+的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得.【详解】依题意，由()1(1)f x f x =--，得()(1)1f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于点11(,)22对称，令4()42xxg x =+，则114444()(1)1424242424x x x x x x x g x g x --+-=+=+=++++⋅，因此函数()y g x =的图象关于点11(,)22对称，显然函数()y f x =与()y g x =的图象对称中心相同，则函数()y f x =与()y g x =的图象的交点关于点11(,22对称，不妨令点(,)i i x y 与20262026(,)(1,2,3,,2025)i i x y i --= 关于点11(,)22对称，则202620261,1i i i i x x y y --+=+=，20262026()()2i i i i x y x y --+++=，所以202512(202520252)i i i x y =+=⨯=∑.故选：C 【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a bc c c>∈R ，则a b >C.若ab >，则22a b > D.函数2sin sin y x x=+的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B 根据不等式性质即可判断；对C ，利用指数函数单调性即可判断；对D 举反例即可.【详解】对A ，当0c=时，22ac bc =，故A 错误；对B ，当22a b c c >，则20c >，则a b >，故B 正确；对C ，根据指数函数2x y =在R 上单调递增，且a b >，则22a b >，故C 正确；对D ，当sin 1x =-时，2sin 3sin y x x=+=-<D 错误.故选：BC.10.如图，有一列曲线012,,,P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线kP 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128 B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559n n S =-⋅【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定信息，归纳可得n P 的边数判断AC ；依次计算归纳得n P 所围图形的面积判断BD.【详解】依题意，令0P 图形的边长为a ，2314a =，边数是3；根据图形规律，1P 图形边长为3a，边数为0P 边数的4倍，即34⨯；2P 图形边长为23a，边数为234⨯；依此类推，n P 图形边长为3n a ，边数为34n ⨯，C 正确；3P 的边数为334192⨯=，A 错误；由图形规律知曲线n P 所围图形的面积n S 等于曲线1n P -所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，而每一个边增加的小等边三角形面积为23()43n a ⨯，则1213(34)()43n nn n a SS --=+⨯⨯，整理得1114()39n n n S S ---=⨯，数列1{}nn S S --是等比数列，1P 图形的面积213413()433a S =+⨯⨯=，121321144[1(]4183499()433559()9()()1n n n n n S S S S S S S S ---=+⨯-=+-+--⨯++=- ，D 正确；2831640558127S =-⨯=，B 正确.故选：BCD 11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a=时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+= D.当3a <时，()f x 有唯一的零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A ，根据三次函数的性质判断B ，根据导数的意义求切线判断C ，利用极值点的符号判断D.【详解】对A ：设()3g x x ax =-，则函数()g x 为奇函数，图象关于原点()0,0对称，将()3g x x ax =-的图象向上平移2个单位，得函数()32f x x ax =-+的图象，故函数()f x 的图象关于点()0,2对称，A 正确；对B ：由三次函数的性质可知，函数()f x 要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B 错误；对C ：当1a=时，()32f x x x =-+，()231f x x '=-.由()2f x '=⇒2312x -=⇒1x =或1x =-.若1x =，则2y =，所以()f x 在1x =处的切线方程为：即2y x =；若1x =-，则2y =，所以()f x 在1x =-处的切线方程为：()221y x -=+即240x y -+=.故C 正确；对D ：因为()23f x x a '=-，若0a ≤，则()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数()f x 只有一个零点；若0a >，由()0f x '<⇒3333x -<<，由()0f x '>⇒33x <-或33x >.所以函数()f x 在3,3⎛-∞-⎝⎭和3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数()f x 只有1个零点，须有03f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭（因为()02f =，所以03f ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭不成立），即3332033a ⎛⎫-⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⇒3a <，得0<<3a .综上可知：当3a <时，函数()f x 有唯一的零点，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.【答案】{0,2}【解析】【分析】用列举法表示集合A ，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.【详解】依题意，{1,2}A =，{|(2)(1)0}B x ax x =--=，显然B ≠∅，由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，得BA ，当0a=时，{1}B =，符合题意，当0a ≠时，方程2(2)20ax a x -++=的根为1和2a，显然22a ≠，否则B A =，不符合题意，因此21a=，解得2a =，此时{1}B =，符合题意，所以实数a 的所有取值组成的集合是{0,2}.故答案为：{0,2}13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan 232θθ=-=）【答案】924【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】依题意，由10928GPIIPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，得10928GHI θ'∠=≈ ，在菱形PGHI 中，连接G I 并取其中点O，连接OH ，则2224tan2GOOH GO GI θ===，由正六边形ABCDEF 的边长1BC =，得2sin 603AC AB == ，由蜂巢结构特征知，AG CI =，又,AG CI都垂直于平面ABCDEF ，则//AG CI ，于是四边形ACIG 是平行四边形，有=3GI AC =，则26=44OH GI =，因此一个菱形的面积为1632223244GHISGI OH =⋅⋅=⨯=，所以上顶的面积为3292344⨯=.故答案为：92414.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】①.1e-②.[]0,2【解析】【分析】空1，直接求导利用()f x 的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可.【详解】由题可知()ln f x x x =定义域为()0,∞+()ln 1f x x ='-显然，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′<0，()f x 单调递减；当1,+e x ∞⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′>0，()f x 单调递增；所以()f x 的最小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；由题可知，()()22ln g x x af x x ax x=-=-所以()2ln g x x a x a =--'由题可知()2ln 0g x x a x a '=--≥恒成立，当0a <，显然当0x →时，()g x ∞'→-，故不成立；当0a=时，()2g x x '=，因为∈0,+∞，所以()20g x x '=>，故成立；当0a >时，由2ln 0x a x a --≥恒成立，得21ln xax +≥恒成立，即max 21ln x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭不妨令()1ln x h x x +=，所以()2ln xh x x -='所以显然当∈0,1时，ℎ′>0，ℎ单调递增；当()1,+x ∞∈时，ℎ′<0，ℎ单调递减；所以()()max 11h x h ==，即2102a a ≥⇒<≤综上所述：[]0,2a ∈故答案为：1e-；0,2【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N .（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.【答案】（1）20242026a a <（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小.（2）先根据统计得到111111n n n a a a +=---，再求n S 进行判断即可.【小问1详解】因为211n n n a a a +=-+⇒()2212110n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，所以1n n a a +≥.若1n n a a +=，则211n n n n a a a a +=-+=⇒1n a =，这与12a =矛盾.所以1n n a a +>.故20242026a a <.【小问2详解】由211n n n a a a +=-+⇒()2111n nn n n a a a a a +-=-=-，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----⇒111111n n n a a a +=---.所以11111111nnn i i i i i S a a a ==+⎛⎫==- ⎪--⎝⎭∑∑1111111111n n a a a ++=-=----.由（1）可知：12n a +>，所以1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）(1,0)(1,)-+∞ 【解析】【分析】（1）对()()f x f x -=-两边同时求导即可证明；（2）构造函数2()()ex f x h x =，求导得到其单调性即可得到()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，再根据其为奇函数即可得到答案.【小问1详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=，所以()y f x '=为偶函数.【小问2详解】因为当0x >时，()2()f x f x '->，所以()2()f x f x '>.构造函数2()()e x f x h x =，则2()2()()e xf x f x h x '-'=，所以当0x >时，()0,()h x h x >'在(0,)+∞上单调递增，又因为(1)0f =，所以(1)0,()h h x =在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，又因为2e 0x>，所以()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0,()f f x =在(,1)∞--上小于零，在(1,0)-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,2,5PA AB BC AD CD =====.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC与平面PAD 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）首先证明AC BD ⊥，再利用线面垂直的性质得PA BD ⊥，最后线面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】记AC BD O = ，如图.因为,AB BC AD CD ==，BD BD =，所以ABD CBD ≅ ，所以ADOCDO ∠=∠，由等腰三角形三线合一知90AOD COD ︒∠=∠=，即AC BD ⊥，又PA ⊥底面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为AC PA A ⋂=，且AC ⊂平面,PAC PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .【小问2详解】取PC 的中点M，连接OM ，则//OM PA ，所以OM ⊥平面ABCD ，所以,,OC OD OM 三条直线两两互相垂直，以,,OC OD OM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，由题意及（1）知1,2OAOD ==，则(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,2)A B C D P ---，所以(1,2,2),(1,2,0),(1,1,2),(1,1,0)PD AD PB BC =-==--=，设平面PAD 的法向量为()111,,m x y z =，同理设平面PBC的法向量为()222,,n x y z =，则2222220n PB x y z n BC x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取(1,1,1)n =- .所以15cos ,553m n m n m n ⋅===-⋅⨯，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值为155，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值为105.【点睛】18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).【答案】（1）答案见解析；（2）（i ）(1)ln(1)11k kty x k t t t =++----；（ii ）不经过.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再按0k <和0k >分类求出()f x 的单调区间.（2）（i ）由（1）结合导数的几何意义求出切线l 的方程；（ii ）令2x =，求出y 的值并判断与2的大小.【小问1详解】函数()ln(1)f x x k x =+-的定义域为(1,)+∞，求导得(1)()111kx k f x x x --'=+=--，当0k <时，11k ->，由()0f x '<，得11x k <<-；由()0f x '>，得1x k >-，函数()f x 在(1,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增，当0k>时，11k -<，则恒有()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当0k <时，函数()f x 的单调递减区间是(1,1)k -，单调递增区间是(1,)k -+∞；当0k>时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无递减区间.【小问2详解】（i ）由（1）知，()11kf t t '=+-，而()ln(1)f t t k t =+-，则直线l 的方程为ln(1)](1))1[(y kt k t x t t +--=+--，即(1ln(1)11k kt y x k t t t =++----.（ii ）由（i ）知，直线l 的方程为(1)ln(1)11kkt y x k t t t =++----，当2x =时，22(1)ln(1)2[ln(1)]111k ktt y k t k t t t t -=++--=++----，令21()ln(1)1ln(1)11t g t t t t t -=+-=-+---，而2t >，求导得22112()0(1)1(1)t g t t t t -'=-+=>---，函数()g t 在(2,)+∞上单调递增，因此()(2)0g t g >=，即2t ∀>，()0g t ≠，而0k ≠，于是22[ln(1)]21tk t t -++-≠-，所以直线l 不经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？【答案】（1）0（2）40（3）证明见解析（4）()013BTX =【解析】【分析】（1）先写出12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，再计算得22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，最后相加即可；（2）分{1,2,3,4}B ⊆和{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈以及{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈讨论即可；（3）分若1121x x ≠和1121x x =两大类讨论即可；（4）直接代入计算得11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，21336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可得到答案.【小问1详解】因为021,{2,5}34X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，0X 经过2M 变换后得到数阵12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1X 经过5M变换后得到数阵22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以()021340B T X =-+-+=.【小问2详解】若{1,2,3,4}B ⊆，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况；若{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈，则32134X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，可得()010,4B T X =-种情况；若{}123,,B n n n =，从{1,4}和{2,3}中各取出一个元素a ，b ，12min{,},max{,},{5,6}n a b n a b n ==∈，则32134X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()010,8BT X =种情况；若{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况.综上，所有()0BT X 取值的和为404(10)8104040⨯+⨯-+⨯+⨯=.【小问3详解】若1121x x ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x且不含21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②含有21x 且不含11x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；③同时含有11x和21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；④不含11x也不含21x 的子集共421-个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均仍为1121,x x .若1121x x =，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x的子集共52个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②不含11x的子集共521-个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；综上，经过变换后，所有k X 的第一列数的和为()()()112111211121(88881616)(88871615)2x x x x x x +++++--+++++++=--同理，经过变换后所有k X 的第二列数的和为()12222x x --.所以所有()0BT X 取值的和为()112112222x x x x ----，又因为11122122,,,{1,2,3,4,5,6}x x x x ∈，所以所有()0B T X 取值的和不超过8-.【小问4详解】如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，0X 经过2M 变换后得到数阵11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，1X 经过5M 变换后得到数阵21336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，则（1）中()013B T X =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用分类讨论的思想，分1121x x ≠和1121x x =讨论即可.。

海南省天一大联考2020届高三数学第一次模拟考试试卷一、单选题1.已知集合A={x∈N∗|0≤x<2}，则集合A的子集的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 82.1−i 1+2i +6−2i5=（）A. 1−3i5 B. −1−3i5C. 1+iD. 1−i3.祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两几何体的体积相等.设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为V1,V2，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1,S2，则“ S1=S2恒成立”是“ V1=V2”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位长度后得到曲线C1，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为（）A. y=sinxB. y=cosxC. y=sin4xD. y=cos4x5.不等式(x2+1)12>(3x+5)12的解集为（）A. [−53,−1)∪(4,+∞) B. (−1,4) C. (4,+∞) D. (−∞,−1)∪(4,+∞)6.已知a,b是不同的直线，α,β是不同的平面，给出以下四个命题：①若a//α，b//β，a//b，则α//β；②若a//α，b//β，α//β，则a//b；③若a⊥α，b⊥β，a⃗⊥b⃗⃗，则α⊥β；④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⃗⊥b⃗⃗.其中真命题的序号是（）A. ①②B. ③④C. ②③D. ③7.函数y=x4−x2+1的图象大致为（）A. B.C. D.8.如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的（ ）A. 最小长度为8B. 最小长度为 4√2C. 最大长度为8D. 最大长度为 4√2 9.若 a =log 13380 ， b =2√22 ， c =2log 210 ，则 a,b,c 的大小关系为（ ）A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. c <a <b10.如图为函数 y =sin(2x −π3) 的图象， P,R,S 为图象与 x 轴的三个交点， Q 为函数图象在 y 轴右侧部分上的第一个最大值点，则 (QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 的值为（ ）A. π−2B. π+4C. π2−2D. π2+411.已知 a >1 ，若存在 x ∈[1,+∞) ，使不等式 3xlna <(x +1)lna a 成立，则 a 的取值范围是（ ） A. (1,+∞) B. (54,+∞) C. (32,+∞) D. (2,+∞)12.已知函数 f(x)={23x 2+bx +c,x ≤0,f(x −2),x >0,g(x)=2x −1 .若 f(−1)=f(−3) ， f(0)=2 ，则函数 y =f[g(x)] 在 (−∞,2n](n ∈N) 上的零点之和为（ ）A. 2n +2B. 2n 2+n −1C. 2n 2+3n +1D. n 2+4n +1二、填空题13.函数f(x)=(2x−1)e x的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为________.14.已知向量a=(1,x)，b=(2x,4).若a∥b，则|x|的值为________.15.在四棱锥A1−ABCD中，若BC=2BA=2AD=2DC=4，A1A⊥平面ABCD，A1A=4，则该四棱锥的外接球的体积为________.16.顶角为36∘的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观.如图所示，ΔABC是黄金三角形，AB=AC，作∠ABC的平分线交AC于点D，易知ΔBCD也是黄金三角形.若BC=1，则AB=________；借助黄金三角形可计算sin234∘=________.三、解答题(a n−1).17.已知S n是数列{a n}的前n项和，且S n=32（1）求{a n}的通项公式；，求数列{b n}的前n项和T n.（2）设b n=1log3a n log3a n+118.在平面四边形ABCD中，已知AD//BC，∠CBD=∠BDC=α，∠ACD=β.（1）若α=30∘，β=75∘，√3AC+√2CD=5，求AC,CD的长；（2）若α+β>90∘，求证：AB<AD.19.如图（1），在平面五边形EADCB中，已知四边形ABCD为正方形，ΔEAB为正三角形.沿着AB将四边形ABCD折起得到四棱锥E−ABCD，使得平面ABCD⊥平面EAB，设F在线段AD上且满足DF=2AF，G在线段CF上且满足FG=CG，O为ΔECD的重心，如图（2）.（1）求证：GO//平面ABE；（2）求直线CF与平面BCE所成角的正弦值.20.某大型企业生产的某批产品细分为10个等级，为了了解这批产品的等级分布情况，从仓库存放的100000件产品中随机抽取1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行打分：1级或2级产品打100分；3级或4级产品打90分；5级、6级、7级或8级产品打70分；其余产品打60分.现在有如下检测统计表：规定：打分不低于90分的为优良级.（1）①试估计该企业库存的100000件产品为优良级的概率；②请估计该企业库存的100000件产品的平均得分.（2）从该企业库存的100000件产品中随机抽取4件，请估计这4件产品的打分之和为350分的概率.21.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4.（1）求抛物线C的方程；（2）若过A(m,0)(m>4)的直线与圆D:(x−2)2+y2=4切于B点，与抛物线C交于P,Q点，证明：|PQ|>8√2.22.设函数f(x)=e x cosx，g(x)=e2x−2ax.（1）当x∈[0,π3]时，求f(x)的值域；（2）当x∈[0,+∞)时，不等式g(x)≥f′(x)e2x恒成立（f′(x)是f(x)的导函数），求实数a的取值范围.答案解析一、单选题1.【答案】A【考点】子集与真子集【解析】【解答】A={x∈N∗|0≤x<2}={1}，则集合A的子集的个数为2.故选：A.【分析】根据已知条件，求出A={1}，再根据子集的含义得出答案.2.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】1−i1+2i +6−2i5=(1−i)(1−2i)5+6−2i5=−1−3i5+6−2i5=1−i.故选：D.【分析】根据复数的除法运算，化简即可.3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】根据祖暅原理，由“ S1=S2恒成立”可得到“ V1=V2”，反之不一定.解：由祖暅原理知，若S1，S2总相等，则V1，V2相等成立，即充分性成立，若V1，V2相等，则只需要底面积和高相等即可，则S1，S2不一定相等，即必要性不成立，即“ S1=S2恒成立”是“ V1=V2”的充分不必要条件.故选：A.【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可．4.【答案】B【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位长度后,得到曲线C1，C1的解析式为y=sin[2(x+π4)]=cos2x，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到曲线C2的解析式为y=cos2⋅x2=cosx.故选：B.【分析】由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可得出答案.5.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法【解析】【解答】原不等式等价于x2+1>3x+5≥0，解得−53≤x<−1或x>4.即解集为：[−53,−1)∪(4,+∞)故选：A.【分析】利用幂函数y=x12的定义域{x|x>0}和单调递增，列式，解不等式即可得出解集.6.【答案】B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定【解析】【解答】解：①若a//α，b//β，a//b，则α⊥β或者α//β，也有可能是相交的；故①错误，②若a//α，b//β，α//β，则a//b或者异面，也有可能相交；故②错误，③若a⊥α，b⊥β，a⃗⊥b⃗⃗，则α⊥β；故③正确，④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⃗⊥b⃗⃗，故④正确，故选：B.【分析】根据线面和面面平行垂直的性质分别进行判断即可．7.【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】当x=0时，y=1，排除C，令x2=t≥0，y=t2−t+1≥34，当且仅当t=12，即|x|=√22>12时，y=34，排除BD选项.故选：A.【分析】观察选项中的图象，代入特殊值x=0时，y=1，排除C，根据换元求二次函数最值和对称轴，即可得出正确选项.8.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】设BC=a,CD=b，因为矩形的面积为4，所以ab=4，所以围成矩形 ABCD 所需要的篱笆长度为 2a +b =2a +4a ≥2√2a ⋅4a =4√2 ， 当且仅当 2a =4a , 即 a =√2 时，等号成立. 故选：B.【分析】设 BC =a,CD =b ，得到 ab =4 ，所求的篱笆长度为 2a +b ，根据基本不等式，得到最小值.9.【答案】 C【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】因为 a =log 13380=log 3803 ，2=log 3273<log 3803<log 3813=3 ，所以 2<a <3 ， b =2√22<21=2 ， c =2log 210=10>3 . 即： b >a >c . 故选：C.【分析】通过对数的运算进行化简以及对数单调性，得出 2<a <3 ，根据指数函数单调性得出 b <2 ，利用公式 a log a M =M ，得出 c =10 ，即可比较出 a,b,c 的大小. 10.【答案】 D【考点】数量积的坐标表达式【解析】【解答】设 PR 的中点为 A ， RS 的中点为 B ，则 Q(5π12,1) ， A(2π3,0) ， B(17π12,0) ， 所以 (QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(2QA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(2QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=4QA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . =4(π4,−1)⋅(π,−1)=π2+4故选：D.【分析】根据题意，由函数 y =sin(2x −π3) 的图象，可得出顶点和最高最低点坐标，求出相应向量坐标，利用向量的数量积，即可求出答案. 11.【答案】 C【考点】函数的最值及其几何意义【解析】【解答】因为 a >1 ，所以 3xlna <(x +1)lna a ⇔3xlna <a(x +1)lna . 即： 3x <a(x +1)⇔a >3xx+1因为存在 x ∈[1,+∞) 使不等式 3xlna <(x +1)lna a 成立， 所以 a >(3xx+1)min =(3−3x+1)min =32 . 即： a 的取值范围是 (32,+∞) . 故选：C.【分析】由题意，利用分离参数法求出 a >3xx+1 ，求函数 3xx+1 的最小值，即可求得 a 的取值范围.12.【答案】 B【考点】函数的周期性，函数的零点【解析】【解答】因为 f(−1)=f(−3) ， f(0)=2 ，所以 {−b43=−2,c =2,解得 b =83 ， c =2 ，所以 f(x)={23x 2+83x +2,x ≤0,f(x −2),x >0.所以 f(x) 在 (−2,+∞) 上是周期为 2 的函数， f(x) 在 R 上的所有零点为 2k −3(k ∈N) ，所以 y =f[g(x)] 在 (−∞,2n](n ∈N) 上的所有零点为 g(x)=2k −3(k ∈N) 的零点且 x ≤2n ， 所以 2x −1=2k −3(k ∈N) 且 x ≤2n ，解得 x =k −1 （ 0≤k ≤2n +1 且 k ∈N ）， 所以函数 y =f[g(x)] 在 (−∞,2n](n ∈N) 上的零点之和为(2n+2)(−1+2n)2=2n 2+n −1 .故选：B.【分析】由 f(−1)=f(−3) ， f(0)=2 ，求出分段函数的解析式，得出函数的周期性为2，将函数 y =f[g(x)] 的零点转化为 g(x)=2k −3 的零点，即可求出零点之和. 二、填空题 13.【答案】π4(45∘)【考点】导数的几何意义，直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】由题意得 f ′(x)=2e x +(2x −1)e x =(2x +1)e x ，所以 f ′(0)=1 ， 所以函数 f(x) 的图象在 (0,f(0)) 处的切线的斜率为 1 ，倾斜角为 π4 . 故答案为： π4(45∘) .【分析】求导，求出 f ′(0)=1 ，即可得出切线斜率，根据斜率和倾斜角关系，即可得出答案. 14.【答案】√2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】因为 a ∥b ，所以 1×4−x ⋅2x =0 ，所以 |x|=√2 . 故答案为： √2 .【分析】由两向量共线的公式： x 1y 2−x 2y 1=0 ，代数即可求出结果. 15.【答案】64√2π3 【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】由已知可得四边形 ABCD 为一个等腰梯形. 将四棱锥 A 1−ABCD 补成一个正六棱柱 A 1B 1E 1F 1G 1D 1−ABEFCD ，四棱锥 A 1−ABCD 的外接球即为正六棱柱 A 1B 1E 1F 1C 1D 1−ABEFCD 的外接球为， 设正六棱柱的上下底面的中心分别为 O 1,O 2 ，则 O 1O 2 的中点为外接球的球心 O ， 因为 BC =4 ， O 1O 2=A 1A =4 ， 所以外接球的半径 OB =√(BC2)2+(O 1O 22)2=2√2 ，所以该四棱锥的外接球的体积为 4π3×OB 3=64√2π3.故答案为：64√2π3.【分析】通过补形法，将四棱锥 A 1−ABCD 的外接球，转化成正六棱柱 A 1B 1E 1F 1C 1D 1−ABEFCD 的外接球，利用 OB 2=(BC2)2+(O 1O 22)2，求出球的半径，即可求出四棱锥的外接球的体积.16.【答案】√5+12；−√5+14【考点】相似三角形的性质，运用诱导公式化简求值，余弦定理【解析】【解答】由题可得 ∠A =∠ABD =∠DBC =36∘ ， ∠C =∠BDC =72∘ ， 所以 ΔABC~ΔBCD ，得 ABBC =BCCD ，且 AD =BD =BC =1 . 设 AB =AC =x ，则 CD =x −1 ，所以 x1=1x−1 ，可解得 x =√5+12.因为 sin234∘=sin(180∘+54∘)=−sin54∘=−cos36∘ . 在 ΔABC 中，根据余弦定理可得 cos36∘=x 2+x 2−12x 2=√5+14，所以 sin234∘=−√5+14.故答案为： √5+12； −√5+14.【分析】根据题意，得出 ΔABC~ΔBCD ，求出 AB =AC =√5+12，再利用两角和与差公式以及余弦定理求出 cos36∘ ，利用诱导公式，即可求出 sin234∘ . 三、解答题17.【答案】 （1）解：因为 S n =32(a n −1) ， 所以 S n+1=32(a n+1−1) .相减得 S n+1−S n =32(a n+1−a n ) ， 所以 a n+1=32(a n+1−a n ) ， 所以 a n+1=3a n .又 S 1=a 1=32(a 1−1) ，解得 a 1=3 ，所以 {a n } 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列，所以 a n =a 1⋅3n−1=3n ， 即 {a n } 的通项公式为 a n =3n .（2）解：由（1）可得 b n =1log3a n log 3a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1 .所以T n=b1+b2+...+b n=(11−12)+(12−13)+...+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1.【考点】等比数列的通项公式，数列的求和，数列递推式【解析】【分析】（1）根据S n=32(a n−1)，再利用递推公式S n+1−S n=a n+1，证出{a n}为等比数列，且可得出首项和公差，即可求出通项公式；（2）利用对数的运算化简，得出b n=1n(n+1)，再根据裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n.18.【答案】（1）解：由已知得∠CBD=∠BDC=30∘，∠ACD=75∘，所以∠ACB=45∘.因为AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD=30∘，∠DAC=∠BCA=45∘.所以∠ADC=60∘.在ΔACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，所以ACsin60∘=CDsin45∘，所以AC=√62CD.又√3AC+√2CD=5，所以AC=√3，CD=√2.（2）解：在ΔACB中，由余弦定理得AB=√AC2+BC2−2AC×BCcos∠ACB.在ΔACD中，由余弦定理得AD=√AC2+DC2−2AC×DCcos∠ACD=√AC2+BC2−2AC×BCcos∠ACD.因为α+β>90∘，∠ACB=180∘−2α−β，所以∠ACB−∠ACD=(180∘−2α−β)−β=180∘−2(α+β)<0，即∠ACB<∠ACD.又0∘<∠ACB<180∘，0∘<∠ACD<180∘，所以cos∠ACB>cos∠ACD，所以AB<AD.【考点】正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）根据题意，得出∠ACB=45∘，∠ADC=60∘，再利用正弦定理求得AC=√62CD，结合已知条件，即可求出AC,CD的长；（2）利用余弦定理以及三角形的内角和，得出∠ACB<∠ACD，通过判断三角形中边角关系，即可得出结论.19.【答案】（1）证明：如图，取 CD 的中点 P ， AB 的中点 H ，连接 PH,PE,HE . 由已知易得 P,G,H 三点共线， P,O,E 三点共线. 因为 DF =2AF ， FG =CG ，所以 PG =DF 2=DA 3=PH 3.又 O 为 ΔECD 的重心，所以 PO =PE 3，所以 OG ∥HE .因为 OG ⊄ 平面 ABE ， HE ⊂ 平面 ABE ， 所以 OG ∥ 平面 ABE .（2）解：在 ΔEAB 中，因为 H 为 AB 的中点，所以 EH ⊥AB .因为平面 ABCD ⊥ 平面 EAB ，平面 ABCD ∩ 平面 EAB =AB ， EH ⊂ 平面 EAB ， 所以 EH ⊥ 平面 ABCD . 由（1）得， PH ⊥AB .所以 HE,HB,HP 两两垂直，如图，分别以射线 HB,HP,HE 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 H −xyz . 设 OB =1 ，因为 PG =PH 3， PO =PE3，所以 OG =HE 3，所以 HE =3 ， AB =2√3 . 所以 C(√3,2√3,0) ， F(−√3,2√33,0) ， B(√3,0,0) ， E(0,0,3) .所以 CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2√3,−4√33,0) ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2√3,0) ， BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√3,0,3) . 设平面 BCE 的法向量为 n⃗⃗=(a,b,c) ，则 {BC ⋅n =0,BE ⋅n =0,所以 {b =0,3c −√3a =0. 令 c =1 ，则 a =√3 ，所以可取 n ⃗⃗=(√3,0,1) .设直线 CF 与平面 BCE 所成的角为 α ，则 sinα=|n⃗⃗⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗||CF⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3×√3|+(−4√33)=3√3926.【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（1）取 CD 的中点 P ， AB 的中点 H ，连接 PH,PE,HE ，可知 P,G,H 三点共线， P,O,E 三点共线.，因而可得 O 为 ΔECD 的重心，再利用线面平行的判定，及可证出；（2）根据条件，通过面面垂直的性质，证出 EH ⊥ 平面 ABCD ，建立空间直角坐标系，标点，求 CF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及平面 BCE 的法向量为 n⃗⃗ ，通过利用空间向量法求出线面角. 20.【答案】 （1）解：在 1000 件产品中，设任意 1 件产品打分为 100 分、 90 分、 70 分、 60 分， 分别记为事件 A,B,C,D ，由统计表可得，P(A)=10+901000=110 ， P(B)=100+2001000=310 ， P(C)=200+100+100+1001000=12 ， P(D)=70+301000=110 .①估计该企业库存的 100000 件产品为优良级的概率为P(A +B)=P(A)+P(B)=25 .②估计该企业库存的 100000 件产品的平均得分为100×110+90×310+70×12+60×110=78 (分).（2）解：因为 350=2×100+90+60=100+2×90+70 ，所以从该企业库存的 100000 件产品随机抽取 4 件，估计这 4 件产品的打分之和为 350 分的概率为 C 42×(110)2×C 21×310×110+C 41×110×C 32×(310)2×12=36625 . 【考点】众数、中位数、平均数，古典概型及其概率计算公式，概率的应用【解析】【分析】（1）根据统计表，分别求出在 1000 件产品中，分别求出打分为 100 分、 90 分、 70 分、 60 分对应的概率，则优良级的概率即为 100 分、 90 分对应的概率之和；（2）利用平均数公式 x̅=x 1p 1+x 2p 2+⋯x n p n ，即可估计出 100000 件产品的平均得分；（3）由题可知， 4 件产品的打分之和为 350 分，即为 2×100+90+60=350 或者 100+2×90+70=350 ，再根据二项分布以及分类加法原则，求出概率.21.【答案】 （1）解：由已知可得 2+p 2=4 ，解得 p =4 .所以抛物线 C 的方程为 y 2=8x .（2）解：设直线 AB 的方程为 x =ty +m ，因为直线 AB 与圆 D 相切，所以 √1+t 2=2 ，即 t 2=m 2−4m4 .将 x =ty +m 与 y 2=8x 联立消去 x 得 y 2−8ty −8m =0 ，所以 y P +y Q =8t ， y P y Q =−8m .因为 |y P −y Q |=√(8t)2−4(−8m)=4√m 2−2m ，所以 |PQ|=√1+t 2⋅|y P −y Q |=|m−2|2⋅4√m 2−2m =2√m(m −2)3 .因为m>4，g(m)=m(m−2)3单调递增，所以m(m−2)3>4×(4−2)3=32，所以|PQ|>8√2.【考点】直线与圆的位置关系，抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（1）通过抛物线的性质，列式求出p，即可得出抛物线C的方程；（2）根据题意，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的AB的距离，联立方程，写出韦达定理，再利用弦长公式求出|PQ|，再通过新函数的单调性，证明出|PQ|>8√2.22.【答案】（1）解：由题可得f′(x)=e x cosx−e x sinx=e x(cosx−sinx).令f′(x)=e x(cosx−sinx)=0，得x=π4∈[0,π3].当x∈(0,π4)时，f′(x)>0，当x∈(π4,π3)时，f′(x)<0，所以f(x)max=f(π4)=√22eπ4，f(x)min=min{f(0),f(π3)}.因为f(π3)=eπ32>e332=e2>1=f(0)，所以f(x)min=1，所以f(x)的值域为[1,√22eπ4].（2）解：由g(x)≥f′(x)e2x 得e2x−2ax≥cosx−sinxe x，即sinx−cosxe x+e2x−2ax≥0.设ℎ(x)=sinx−cosxe x +e2x−2ax，则ℎ′(x)=2cosxe+2e2x−2a.设φ(x)=ℎ′(x)，则φ′(x)=4e3x−2√2sin(x+π4 )e x.当x∈[0,+∞)时，4e3x≥4，2√2sin(x+π4≤2√2)，所以φ′(x)>0.所以φ(x)即ℎ′(x)在[0,+∞)上单调递增，则ℎ′(x)≥ℎ′(0)=4−2a.若a≤2，则ℎ′(x)≥ℎ′(0)=4−2a≥0，所以ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增.所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0恒成立，符合题意.若a>2，则ℎ′(0)=4−2a<0，必存在正实数x0，满足：当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，此时ℎ(x)<ℎ(0)=0，不符合题意. 综上所述，a的取值范围是(−∞,2].【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）求导，令f′(x)=0，求出极值点x=π4∈[0,π3]，利用导数求出函数f(x)的单调性，即可得出[0,π3]内的最值，即可得出值域；（2）根据题意，构造新函数，将不等式g(x)≥f′(x)e的恒成立问题，转化为在x∈[0,+∞)内ℎ(x)=sinx−cosxe x+e2x−2ax≥0的恒成立问题，求导ℎ′(x)，再二次求导，通过单调性求出最值，即可求出参数a的取值范围.。

海南省天一大联考2020届高三数学第一次模拟考试试卷一、单选题1.已知集合A={x∈N∗|0≤x<2}，则集合A的子集的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 82.1−i 1+2i +6−2i5=（）A. 1−3i5 B. −1−3i5C. 1+iD. 1−i3.祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两几何体的体积相等.设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为V1,V2，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1,S2，则“ S1=S2恒成立”是“ V1=V2”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位长度后得到曲线C1，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为（）A. y=sinxB. y=cosxC. y=sin4xD. y=cos4x5.不等式(x2+1)12>(3x+5)12的解集为（）A. [−53,−1)∪(4,+∞) B. (−1,4) C. (4,+∞) D. (−∞,−1)∪(4,+∞)6.已知a,b是不同的直线，α,β是不同的平面，给出以下四个命题：①若a//α，b//β，a//b，则α//β；②若a//α，b//β，α//β，则a//b；③若a⊥α，b⊥β，a⃗⊥b⃗⃗，则α⊥β；④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⃗⊥b⃗⃗.其中真命题的序号是（）A. ①②B. ③④C. ②③D. ③7.函数y=x4−x2+1的图象大致为（）A. B.C. D.8.如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的（ ）A. 最小长度为8B. 最小长度为 4√2C. 最大长度为8D. 最大长度为 4√2 9.若 a =log 13380 ， b =2√22 ， c =2log 210 ，则 a,b,c 的大小关系为（ ）A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. c <a <b10.如图为函数 y =sin(2x −π3) 的图象， P,R,S 为图象与 x 轴的三个交点， Q 为函数图象在 y 轴右侧部分上的第一个最大值点，则 (QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 的值为（ ）A. π−2B. π+4C. π2−2D. π2+411.已知 a >1 ，若存在 x ∈[1,+∞) ，使不等式 3xlna <(x +1)lna a 成立，则 a 的取值范围是（ ） A. (1,+∞) B. (54,+∞) C. (32,+∞) D. (2,+∞)12.已知函数 f(x)={23x 2+bx +c,x ≤0,f(x −2),x >0,g(x)=2x −1 .若 f(−1)=f(−3) ， f(0)=2 ，则函数 y =f[g(x)] 在 (−∞,2n](n ∈N) 上的零点之和为（ ）A. 2n +2B. 2n 2+n −1C. 2n 2+3n +1D. n 2+4n +1二、填空题13.函数f(x)=(2x−1)e x的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为________.14.已知向量a=(1,x)，b=(2x,4).若a∥b，则|x|的值为________.15.在四棱锥A1−ABCD中，若BC=2BA=2AD=2DC=4，A1A⊥平面ABCD，A1A=4，则该四棱锥的外接球的体积为________.16.顶角为36∘的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观.如图所示，ΔABC是黄金三角形，AB=AC，作∠ABC的平分线交AC于点D，易知ΔBCD也是黄金三角形.若BC=1，则AB=________；借助黄金三角形可计算sin234∘=________.三、解答题(a n−1).17.已知S n是数列{a n}的前n项和，且S n=32（1）求{a n}的通项公式；，求数列{b n}的前n项和T n.（2）设b n=1log3a n log3a n+118.在平面四边形ABCD中，已知AD//BC，∠CBD=∠BDC=α，∠ACD=β.（1）若α=30∘，β=75∘，√3AC+√2CD=5，求AC,CD的长；（2）若α+β>90∘，求证：AB<AD.19.如图（1），在平面五边形EADCB中，已知四边形ABCD为正方形，ΔEAB为正三角形.沿着AB将四边形ABCD折起得到四棱锥E−ABCD，使得平面ABCD⊥平面EAB，设F在线段AD上且满足DF=2AF，G在线段CF上且满足FG=CG，O为ΔECD的重心，如图（2）.（1）求证：GO//平面ABE；（2）求直线CF与平面BCE所成角的正弦值.20.某大型企业生产的某批产品细分为10个等级，为了了解这批产品的等级分布情况，从仓库存放的100000件产品中随机抽取1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行打分：1级或2级产品打100分；3级或4级产品打90分；5级、6级、7级或8级产品打70分；其余产品打60分.现在有如下检测统计表：规定：打分不低于90分的为优良级.（1）①试估计该企业库存的100000件产品为优良级的概率；②请估计该企业库存的100000件产品的平均得分.（2）从该企业库存的100000件产品中随机抽取4件，请估计这4件产品的打分之和为350分的概率.21.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4.（1）求抛物线C的方程；（2）若过A(m,0)(m>4)的直线与圆D:(x−2)2+y2=4切于B点，与抛物线C交于P,Q点，证明：|PQ|>8√2.22.设函数f(x)=e x cosx，g(x)=e2x−2ax.（1）当x∈[0,π3]时，求f(x)的值域；（2）当x∈[0,+∞)时，不等式g(x)≥f′(x)e2x恒成立（f′(x)是f(x)的导函数），求实数a的取值范围.答案解析一、单选题1.【答案】A【考点】子集与真子集【解析】【解答】A={x∈N∗|0≤x<2}={1}，则集合A的子集的个数为2.故选：A.【分析】根据已知条件，求出A={1}，再根据子集的含义得出答案.2.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】1−i1+2i +6−2i5=(1−i)(1−2i)5+6−2i5=−1−3i5+6−2i5=1−i.故选：D.【分析】根据复数的除法运算，化简即可.3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】根据祖暅原理，由“ S1=S2恒成立”可得到“ V1=V2”，反之不一定.解：由祖暅原理知，若S1，S2总相等，则V1，V2相等成立，即充分性成立，若V1，V2相等，则只需要底面积和高相等即可，则S1，S2不一定相等，即必要性不成立，即“ S1=S2恒成立”是“ V1=V2”的充分不必要条件.故选：A.【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可．4.【答案】B【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位长度后,得到曲线C1，C1的解析式为y=sin[2(x+π4)]=cos2x，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到曲线C2的解析式为y=cos2⋅x2=cosx.故选：B.【分析】由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可得出答案.5.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法【解析】【解答】原不等式等价于x2+1>3x+5≥0，解得−53≤x<−1或x>4.即解集为：[−53,−1)∪(4,+∞)故选：A.【分析】利用幂函数y=x12的定义域{x|x>0}和单调递增，列式，解不等式即可得出解集.6.【答案】B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定【解析】【解答】解：①若a//α，b//β，a//b，则α⊥β或者α//β，也有可能是相交的；故①错误，②若a//α，b//β，α//β，则a//b或者异面，也有可能相交；故②错误，③若a⊥α，b⊥β，a⃗⊥b⃗⃗，则α⊥β；故③正确，④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⃗⊥b⃗⃗，故④正确，故选：B.【分析】根据线面和面面平行垂直的性质分别进行判断即可．7.【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】当x=0时，y=1，排除C，令x2=t≥0，y=t2−t+1≥34，当且仅当t=12，即|x|=√22>12时，y=34，排除BD选项.故选：A.【分析】观察选项中的图象，代入特殊值x=0时，y=1，排除C，根据换元求二次函数最值和对称轴，即可得出正确选项.8.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】设BC=a,CD=b，因为矩形的面积为4，所以ab=4，所以围成矩形 ABCD 所需要的篱笆长度为 2a +b =2a +4a ≥2√2a ⋅4a =4√2 ， 当且仅当 2a =4a , 即 a =√2 时，等号成立. 故选：B.【分析】设 BC =a,CD =b ，得到 ab =4 ，所求的篱笆长度为 2a +b ，根据基本不等式，得到最小值.9.【答案】 C【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】因为 a =log 13380=log 3803 ，2=log 3273<log 3803<log 3813=3 ，所以 2<a <3 ， b =2√22<21=2 ， c =2log 210=10>3 . 即： b >a >c . 故选：C.【分析】通过对数的运算进行化简以及对数单调性，得出 2<a <3 ，根据指数函数单调性得出 b <2 ，利用公式 a log a M =M ，得出 c =10 ，即可比较出 a,b,c 的大小. 10.【答案】 D【考点】数量积的坐标表达式【解析】【解答】设 PR 的中点为 A ， RS 的中点为 B ，则 Q(5π12,1) ， A(2π3,0) ， B(17π12,0) ， 所以 (QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(2QA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(2QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=4QA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . =4(π4,−1)⋅(π,−1)=π2+4故选：D.【分析】根据题意，由函数 y =sin(2x −π3) 的图象，可得出顶点和最高最低点坐标，求出相应向量坐标，利用向量的数量积，即可求出答案. 11.【答案】 C【考点】函数的最值及其几何意义【解析】【解答】因为 a >1 ，所以 3xlna <(x +1)lna a ⇔3xlna <a(x +1)lna . 即： 3x <a(x +1)⇔a >3xx+1因为存在 x ∈[1,+∞) 使不等式 3xlna <(x +1)lna a 成立， 所以 a >(3xx+1)min =(3−3x+1)min =32 . 即： a 的取值范围是 (32,+∞) . 故选：C.【分析】由题意，利用分离参数法求出 a >3xx+1 ，求函数 3xx+1 的最小值，即可求得 a 的取值范围.12.【答案】 B【考点】函数的周期性，函数的零点【解析】【解答】因为 f(−1)=f(−3) ， f(0)=2 ，所以 {−b43=−2,c =2,解得 b =83 ， c =2 ，所以 f(x)={23x 2+83x +2,x ≤0,f(x −2),x >0.所以 f(x) 在 (−2,+∞) 上是周期为 2 的函数， f(x) 在 R 上的所有零点为 2k −3(k ∈N) ，所以 y =f[g(x)] 在 (−∞,2n](n ∈N) 上的所有零点为 g(x)=2k −3(k ∈N) 的零点且 x ≤2n ， 所以 2x −1=2k −3(k ∈N) 且 x ≤2n ，解得 x =k −1 （ 0≤k ≤2n +1 且 k ∈N ）， 所以函数 y =f[g(x)] 在 (−∞,2n](n ∈N) 上的零点之和为(2n+2)(−1+2n)2=2n 2+n −1 .故选：B.【分析】由 f(−1)=f(−3) ， f(0)=2 ，求出分段函数的解析式，得出函数的周期性为2，将函数 y =f[g(x)] 的零点转化为 g(x)=2k −3 的零点，即可求出零点之和. 二、填空题 13.【答案】π4(45∘)【考点】导数的几何意义，直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】由题意得 f ′(x)=2e x +(2x −1)e x =(2x +1)e x ，所以 f ′(0)=1 ， 所以函数 f(x) 的图象在 (0,f(0)) 处的切线的斜率为 1 ，倾斜角为 π4 . 故答案为： π4(45∘) .【分析】求导，求出 f ′(0)=1 ，即可得出切线斜率，根据斜率和倾斜角关系，即可得出答案. 14.【答案】√2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】因为 a ∥b ，所以 1×4−x ⋅2x =0 ，所以 |x|=√2 . 故答案为： √2 .【分析】由两向量共线的公式： x 1y 2−x 2y 1=0 ，代数即可求出结果. 15.【答案】64√2π3 【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】由已知可得四边形 ABCD 为一个等腰梯形. 将四棱锥 A 1−ABCD 补成一个正六棱柱 A 1B 1E 1F 1G 1D 1−ABEFCD ，四棱锥 A 1−ABCD 的外接球即为正六棱柱 A 1B 1E 1F 1C 1D 1−ABEFCD 的外接球为， 设正六棱柱的上下底面的中心分别为 O 1,O 2 ，则 O 1O 2 的中点为外接球的球心 O ， 因为 BC =4 ， O 1O 2=A 1A =4 ， 所以外接球的半径 OB =√(BC2)2+(O 1O 22)2=2√2 ，所以该四棱锥的外接球的体积为 4π3×OB 3=64√2π3.故答案为：64√2π3.【分析】通过补形法，将四棱锥 A 1−ABCD 的外接球，转化成正六棱柱 A 1B 1E 1F 1C 1D 1−ABEFCD 的外接球，利用 OB 2=(BC2)2+(O 1O 22)2，求出球的半径，即可求出四棱锥的外接球的体积.16.【答案】√5+12；−√5+14【考点】相似三角形的性质，运用诱导公式化简求值，余弦定理【解析】【解答】由题可得 ∠A =∠ABD =∠DBC =36∘ ， ∠C =∠BDC =72∘ ， 所以 ΔABC~ΔBCD ，得 ABBC =BCCD ，且 AD =BD =BC =1 . 设 AB =AC =x ，则 CD =x −1 ，所以 x1=1x−1 ，可解得 x =√5+12.因为 sin234∘=sin(180∘+54∘)=−sin54∘=−cos36∘ . 在 ΔABC 中，根据余弦定理可得 cos36∘=x 2+x 2−12x 2=√5+14，所以 sin234∘=−√5+14.故答案为： √5+12； −√5+14.【分析】根据题意，得出 ΔABC~ΔBCD ，求出 AB =AC =√5+12，再利用两角和与差公式以及余弦定理求出 cos36∘ ，利用诱导公式，即可求出 sin234∘ . 三、解答题17.【答案】 （1）解：因为 S n =32(a n −1) ， 所以 S n+1=32(a n+1−1) .相减得 S n+1−S n =32(a n+1−a n ) ， 所以 a n+1=32(a n+1−a n ) ， 所以 a n+1=3a n .又 S 1=a 1=32(a 1−1) ，解得 a 1=3 ，所以 {a n } 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列，所以 a n =a 1⋅3n−1=3n ， 即 {a n } 的通项公式为 a n =3n .（2）解：由（1）可得 b n =1log3a n log 3a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1 .所以T n=b1+b2+...+b n=(11−12)+(12−13)+...+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1.【考点】等比数列的通项公式，数列的求和，数列递推式【解析】【分析】（1）根据S n=32(a n−1)，再利用递推公式S n+1−S n=a n+1，证出{a n}为等比数列，且可得出首项和公差，即可求出通项公式；（2）利用对数的运算化简，得出b n=1n(n+1)，再根据裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n.18.【答案】（1）解：由已知得∠CBD=∠BDC=30∘，∠ACD=75∘，所以∠ACB=45∘.因为AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD=30∘，∠DAC=∠BCA=45∘.所以∠ADC=60∘.在ΔACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，所以ACsin60∘=CDsin45∘，所以AC=√62CD.又√3AC+√2CD=5，所以AC=√3，CD=√2.（2）解：在ΔACB中，由余弦定理得AB=√AC2+BC2−2AC×BCcos∠ACB.在ΔACD中，由余弦定理得AD=√AC2+DC2−2AC×DCcos∠ACD=√AC2+BC2−2AC×BCcos∠ACD.因为α+β>90∘，∠ACB=180∘−2α−β，所以∠ACB−∠ACD=(180∘−2α−β)−β=180∘−2(α+β)<0，即∠ACB<∠ACD.又0∘<∠ACB<180∘，0∘<∠ACD<180∘，所以cos∠ACB>cos∠ACD，所以AB<AD.【考点】正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）根据题意，得出∠ACB=45∘，∠ADC=60∘，再利用正弦定理求得AC=√62CD，结合已知条件，即可求出AC,CD的长；（2）利用余弦定理以及三角形的内角和，得出∠ACB<∠ACD，通过判断三角形中边角关系，即可得出结论.19.【答案】（1）证明：如图，取 CD 的中点 P ， AB 的中点 H ，连接 PH,PE,HE . 由已知易得 P,G,H 三点共线， P,O,E 三点共线. 因为 DF =2AF ， FG =CG ，所以 PG =DF 2=DA 3=PH 3.又 O 为 ΔECD 的重心，所以 PO =PE 3，所以 OG ∥HE .因为 OG ⊄ 平面 ABE ， HE ⊂ 平面 ABE ， 所以 OG ∥ 平面 ABE .（2）解：在 ΔEAB 中，因为 H 为 AB 的中点，所以 EH ⊥AB .因为平面 ABCD ⊥ 平面 EAB ，平面 ABCD ∩ 平面 EAB =AB ， EH ⊂ 平面 EAB ， 所以 EH ⊥ 平面 ABCD . 由（1）得， PH ⊥AB .所以 HE,HB,HP 两两垂直，如图，分别以射线 HB,HP,HE 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 H −xyz . 设 OB =1 ，因为 PG =PH 3， PO =PE3，所以 OG =HE 3，所以 HE =3 ， AB =2√3 . 所以 C(√3,2√3,0) ， F(−√3,2√33,0) ， B(√3,0,0) ， E(0,0,3) .所以 CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2√3,−4√33,0) ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2√3,0) ， BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√3,0,3) . 设平面 BCE 的法向量为 n⃗⃗=(a,b,c) ，则 {BC ⋅n =0,BE ⋅n =0,所以 {b =0,3c −√3a =0. 令 c =1 ，则 a =√3 ，所以可取 n ⃗⃗=(√3,0,1) .设直线 CF 与平面 BCE 所成的角为 α ，则 sinα=|n⃗⃗⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗||CF⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3×√3|+(−4√33)=3√3926.【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（1）取 CD 的中点 P ， AB 的中点 H ，连接 PH,PE,HE ，可知 P,G,H 三点共线， P,O,E 三点共线.，因而可得 O 为 ΔECD 的重心，再利用线面平行的判定，及可证出；（2）根据条件，通过面面垂直的性质，证出 EH ⊥ 平面 ABCD ，建立空间直角坐标系，标点，求 CF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及平面 BCE 的法向量为 n⃗⃗ ，通过利用空间向量法求出线面角. 20.【答案】 （1）解：在 1000 件产品中，设任意 1 件产品打分为 100 分、 90 分、 70 分、 60 分， 分别记为事件 A,B,C,D ，由统计表可得，P(A)=10+901000=110 ， P(B)=100+2001000=310 ， P(C)=200+100+100+1001000=12 ， P(D)=70+301000=110 .①估计该企业库存的 100000 件产品为优良级的概率为P(A +B)=P(A)+P(B)=25 .②估计该企业库存的 100000 件产品的平均得分为100×110+90×310+70×12+60×110=78 (分).（2）解：因为 350=2×100+90+60=100+2×90+70 ，所以从该企业库存的 100000 件产品随机抽取 4 件，估计这 4 件产品的打分之和为 350 分的概率为 C 42×(110)2×C 21×310×110+C 41×110×C 32×(310)2×12=36625 . 【考点】众数、中位数、平均数，古典概型及其概率计算公式，概率的应用【解析】【分析】（1）根据统计表，分别求出在 1000 件产品中，分别求出打分为 100 分、 90 分、 70 分、 60 分对应的概率，则优良级的概率即为 100 分、 90 分对应的概率之和；（2）利用平均数公式 x̅=x 1p 1+x 2p 2+⋯x n p n ，即可估计出 100000 件产品的平均得分；（3）由题可知， 4 件产品的打分之和为 350 分，即为 2×100+90+60=350 或者 100+2×90+70=350 ，再根据二项分布以及分类加法原则，求出概率.21.【答案】 （1）解：由已知可得 2+p 2=4 ，解得 p =4 .所以抛物线 C 的方程为 y 2=8x .（2）解：设直线 AB 的方程为 x =ty +m ，因为直线 AB 与圆 D 相切，所以 √1+t 2=2 ，即 t 2=m 2−4m4 .将 x =ty +m 与 y 2=8x 联立消去 x 得 y 2−8ty −8m =0 ，所以 y P +y Q =8t ， y P y Q =−8m .因为 |y P −y Q |=√(8t)2−4(−8m)=4√m 2−2m ，所以 |PQ|=√1+t 2⋅|y P −y Q |=|m−2|2⋅4√m 2−2m =2√m(m −2)3 .因为m>4，g(m)=m(m−2)3单调递增，所以m(m−2)3>4×(4−2)3=32，所以|PQ|>8√2.【考点】直线与圆的位置关系，抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（1）通过抛物线的性质，列式求出p，即可得出抛物线C的方程；（2）根据题意，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的AB的距离，联立方程，写出韦达定理，再利用弦长公式求出|PQ|，再通过新函数的单调性，证明出|PQ|>8√2.22.【答案】（1）解：由题可得f′(x)=e x cosx−e x sinx=e x(cosx−sinx).令f′(x)=e x(cosx−sinx)=0，得x=π4∈[0,π3].当x∈(0,π4)时，f′(x)>0，当x∈(π4,π3)时，f′(x)<0，所以f(x)max=f(π4)=√22eπ4，f(x)min=min{f(0),f(π3)}.因为f(π3)=eπ32>e332=e2>1=f(0)，所以f(x)min=1，所以f(x)的值域为[1,√22eπ4].（2）解：由g(x)≥f′(x)e2x 得e2x−2ax≥cosx−sinxe x，即sinx−cosxe x+e2x−2ax≥0.设ℎ(x)=sinx−cosxe x +e2x−2ax，则ℎ′(x)=2cosxe+2e2x−2a.设φ(x)=ℎ′(x)，则φ′(x)=4e3x−2√2sin(x+π4 )e x.当x∈[0,+∞)时，4e3x≥4，2√2sin(x+π4≤2√2)，所以φ′(x)>0.所以φ(x)即ℎ′(x)在[0,+∞)上单调递增，则ℎ′(x)≥ℎ′(0)=4−2a.若a≤2，则ℎ′(x)≥ℎ′(0)=4−2a≥0，所以ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增.所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0恒成立，符合题意.若a>2，则ℎ′(0)=4−2a<0，必存在正实数x0，满足：当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，此时ℎ(x)<ℎ(0)=0，不符合题意. 综上所述，a的取值范围是(−∞,2].【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）求导，令f′(x)=0，求出极值点x=π4∈[0,π3]，利用导数求出函数f(x)的单调性，即可得出[0,π3]内的最值，即可得出值域；（2）根据题意，构造新函数，将不等式g(x)≥f′(x)e的恒成立问题，转化为在x∈[0,+∞)内ℎ(x)=sinx−cosxe x+e2x−2ax≥0的恒成立问题，求导ℎ′(x)，再二次求导，通过单调性求出最值，即可求出参数a的取值范围.。

A． B． C． D．
2．已知 ，复数 ， 在复平面内对应的点重合，则（）
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．设 ， ， 是空间中三条不同的直线，已知 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．圆周率 是无理数，小数部分无限不循环，毫无规律，但数学家们发现 可以用一列有规律的数相加得到： .若将上式看作数列 的各项求和，则 的通项公式可以是（）
【详解】
依题知 ，解得 .
故选：A
【点睛】
此题考查复数概念的辨析，根据两个复数相等，利用实部与实部相等，虚部与虚部相等求解方程组.
3．B
【解析】
【分析】
根据空间中直线位置关系判断两个条件的推出关系即可得解.
【详解】
由 且 不一定推出 ，故不满足充分性；
由 且 一定推出 ，故满足必要性.
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
A． B． C． D．
评卷人
得分
二、多选题
9．某地区一周的最低气温随时间变化的图象如图所示，根据图中的信息，下列有关该地区这一周最低气温的判断，正确的有（）
A．前六天一直保持上升趋势B．相邻两天的差最大为3
C．众数为0D．最大值与最小值的差为7
10．下列选项中描述的多面体，一定存在外接球的有（）
A．侧面都是矩形的三棱柱B．上、下底面是正方形的四棱柱
16．小李在游乐场玩掷沙包击落玩偶的游戏.假设他第一次掷沙包击中玩偶的概率为0.4，第二次掷沙包击中玩偶的概率为0.7，而玩偶被击中一次就落地的概率为0.5，被击中两次必然落地.若小李至多掷两次沙包，则他能将玩偶击落的概率为______.
17．在① ，② 的外接圆半径 ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ， 的面积 ，且______.求边 .（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）