天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第一次模拟考试数学试题(解析版)

绝密★启用前2020届天一大联考海南省高三年级第一次模拟考试数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}*02A x N x =∈≤<，则集合A 的子集的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8答案：A根据已知条件，求出{}1A =，再根据子集的含义得出答案. 解：{}{}*021A x N x =∈≤<=，则集合A 的子集的个数为2.故选：A. 点评：本题考查集合的子集个数，需要学生理解N *和子集的含义，属于基础概念的考查.2．162125i ii --+=+（ ） A ．135i - B ．135i --C ．1i +D ．1i -答案：D根据复数的除法运算，化简即可. 解：()()11216262136211255555i i i i i i i i i --------+=+=+=-+. 故选：D. 点评：本题考查复数的除法运算，属于简单题.3．祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两几何体的体积相等.设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为12,V V ，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为12,S S ，则“12S S =恒成立”是“12V V =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可． 解：根据祖暅原理，由“12S S =恒成立”可得到“12V V =”，反之不一定. 解：由祖暅原理知，若1S ，2S 总相等，则1V ，2V 相等成立，即充分性成立， 若1V ，2V 相等，则只需要底面积和高相等即可，则1S ，2S 不一定相等，即必要性不成立，即“12S S =恒成立”是“12V V =”的充分不必要条件. 故选：A. 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解决本题的关键．考查学生的推理能力．4．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为（ ） A ．sin y x = B ．cos y x =C ．sin 4y x =D ．cos 4y x =答案：B由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可得出答案. 解：将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后, 得到曲线1C ，1C 的解析式为sin 2cos 24y x x π⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍, 得到曲线2C 的解析式为cos 2cos 2xy x =⋅=. 故选：B. 点评：本题考查三角函数图像的平移伸缩，结合应用诱导公式化简，属于简单题. 5．不等式()()11222135x x +>+的解集为（ ）A ．()5,14,3⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭UB ．()1,4-C ．()4,+∞D ．()(),14,-∞-+∞U答案：A利用幂函数12y x =的定义域{}0x x >和单调递增，列式，解不等式即可得出解集. 解：原不等式等价于21350x x +>+≥，解得513x -≤<-或4x >. 即解集为：()5,14,3⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：A. 点评：本题考查幂函数12y x =的定义域和单调性的应用，以及一元二次不等式的解法，同时考查知识点间的转化运用.6．已知,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，给出以下四个命题： ①若//a α，//b β，//a b ，则//αβ；②若//a α，//b β，//αβ，则//a b ；③若a α⊥，b β⊥，a b ⊥r r ，则αβ⊥；④若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥r r.其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．③答案：B根据线面和面面平行垂直的性质分别进行判断即可． 解：解：①若//a α，b β//，//a b ，则αβ⊥或者//αβ，也有可能是相交的；故①错误， ②若//a α，b β//，//αβ，则//a b 或者异面，也有可能相交；故②错误， ③若a α⊥，b β⊥，a b ⊥r r，则αβ⊥；故③正确，④若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥r r，故④正确， 故选：B. 点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线平行和垂直以及面面平行和垂直的性质和判断，结合相应的定理是解决本题的关键． 7．函数421y x x =-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A观察选项中的图象，代入特殊值0x =时，1y =，排除C ，根据换元求二次函数最值和对称轴，即可得出正确选项. 解：当0x =时，1y =，排除C ， 令20x t =≥，2314y t t =-+≥， 当且仅当12t =，即2122x =>时，34y =，排除BD 选项. 故选：A. 点评：本题考查函数图象的识别，一般通过代入特殊值、值域、奇偶性、单调性以及零点个数等来排除.8．如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的（ ）A ．最小长度为8B ．最小长度为2C ．最大长度为8D ．最大长度为答案：B设,BC a =CD b =，得到4ab =，所求的篱笆长度为2a b +，根据基本不等式，得到最小值. 解：设,BC a =CD b =，因为矩形的面积为4，所以4ab =， 所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为422a b a a +=+≥= 当且仅当42,a a=即a =. 故选：B. 点评：本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题. 9．若133log 80a =，b =，2log 102c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<答案：C通过对数的运算进行化简以及对数单调性，得出23a <<，根据指数函数单调性得出2b <，利用公式logaMa M =，得出10c =，即可比较出,,abc 的大小.解： 因为133380log log 803a ==，3332780812log log log 3333=<<=， 所以23a <<，122b =<=，2log 102103c ==>.即：b a c >>. 故选：C. 点评：本题考查指数函数和对数函数的单调性，还利用对数函数的运算公式进行数据比较大小，属于知识点的转化应用.10．如图为函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，,,P R S 为图象与x 轴的三个交点，Q 为函数图象在y 轴右侧部分上的第一个最大值点，则()()QP QR QR QS +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r的值为（ ）A ．2π-B ．4π+C ．22π-D ．24π+答案：D根据题意，由函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可得出顶点和最高最低点坐标，求出相应向量坐标，利用向量的数量积，即可求出答案. 解：设PR 的中点为A ，RS 的中点为B ，则5,112Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,03A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，17,012B π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()()()()224QP QR QR QS QA QB QA QB +⋅+=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.()24,1,144πππ⎛⎫=-⋅-=+ ⎪⎝⎭故选：D. 点评：本题考查向量的数量积，通过利用三角函数的性质以及向量的坐标和数量积公式. 11．已知1a >，若存在[)1,x ∈+∞，使不等式()3ln 1ln ax a x a <+成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()2,+∞答案：C由题意，利用分离参数法求出31xa x >+，求函数31x x +的最小值，即可求得a 的取值范围. 解：因为1a >，所以()()3ln 1ln 3ln 1ln ax a x a x a a x a <+⇔<+.即：()3311xx a x a x <+⇔>+ 因为存在[)1,x ∈+∞使不等式()3ln 1ln ax a x a <+成立， 所以min min 3333112x a x x ⎛⎫⎛⎫>=-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 即：a 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：C. 点评：本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围，通过分离参数法，将不等式恒成立问题转化成求函数最值问题，属于中等题目.12．已知函数()()22,0,32,0,x bx c x f x f x x ⎧++≤⎪=⎨⎪->⎩()21g x x =-.若()()13f f -=-，()02f =，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦在(],2n -∞()n N ∈上的零点之和为（ ）A ．22n +B ．221n n +-C ．2231n n ++D ．241n n ++答案：B由()()13f f -=-，()02f =，求出分段函数的解析式，得出函数的周期性为2，将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点转化为()23g x k =-的零点，即可求出零点之和. 解：因为()()13f f -=-，()02f =，所以2,432,bc ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得83b =，2c =，所以()()2282,0,332,0.x x x f x f x x ⎧++≤⎪=⎨⎪->⎩所以()f x 在()2,-+∞上是周期为2的函数，()f x 在R 上的所有零点为()23k k N -∈，所以()y f g x ⎡⎤=⎣⎦在(],2n -∞()n N ∈上的所有零点为()23g x k =-()k N ∈的零点且2x n ≤，所以()2123x k k N -=-∈且2x n ≤，解得1=-x k （021k n ≤≤+且k ∈N ），所以函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦在(],2n -∞()n N ∈上的零点之和为()()22212212n n n n +-+=+-.故选：B. 点评：本题考查复合函数的零点问题，还涉及分段函数的解析式、周期性等，同时考查学生的转化和理解能力.二、填空题 13．函数()()21x f x x e =-的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为______.答案：()454πo求导，求出()01f '=，即可得出切线斜率，根据斜率和倾斜角关系，即可得出答案. 解：由题意得()()()22121xxxf x e x e x e '=+-=+，所以()01f '=，所以函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线的斜率为1，倾斜角为4π. 故答案为：()454πo. 点评：本题考查通过导数求切线的斜率，以及斜率和倾斜角关系式，属于基础题. 14．已知向量()1,a x =，()2,4b x =.若a b ∥，则x 的值为______.由两向量共线的公式：12210x y x y -=，代数即可求出结果. 解：因为a b ∥，所以1420x x ⨯-⋅=，所以x =. 点评：本题考查平面向量的共线公式，考查对公式的识记.15．在四棱锥1A ABCD -中，若2224BC BA AD DC ====，1A A ⊥平面ABCD ，14A A =，则该四棱锥的外接球的体积为______.答案：3通过补形法，将四棱锥1A ABCD -的外接球，转化成正六棱柱111111A B E FC D ABEFCD -的外接球，利用2221222O O BC OB ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出球的半径，即可求出四棱锥的外接球的体积. 解：由已知可得四边形ABCD 为一个等腰梯形.将四棱锥1A ABCD -补成一个正六棱柱111111A B E FG D ABEFCD -，四棱锥1A ABCD -的外接球即为正六棱柱111111A B E FC D ABEFCD -的外接球为， 设正六棱柱的上下底面的中心分别为12,O O ，则12O O 的中点为外接球的球心O ， 因为4BC =，1214O O A A ==，所以外接球的半径OB ==所以该四棱锥的外接球的体积为3433OB π⨯=.故答案为：3. 点评：本题考查四棱锥的外接球的体积，通过补形法以及运用球的体积公式343V R π=，还考查空间想象能力和计算能力.16．顶角为36o 的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观.如图所示，ABC ∆是黄金三角形，AB AC =，作ABC ∠的平分线交AC 于点D ，易知BCD ∆也是黄金三角形.若1BC =，则AB =______；借助黄金三角形可计算sin 234=o ______.答案：512514-根据题意，得出~ABC BCD ∆∆，求出51AB AC +==，再利用两角和与差公式以及余弦定理求出cos36o ，利用诱导公式，即可求出sin 234o . 解：由题可得36A ABD DBC ∠=∠=∠=o ，72C BDC ∠=∠=o ，所以~ABC BCD ∆∆，得AB BCBC CD=，且1AD BD BC ===. 设AB AC x ==，则1CD x =-，所以111x x =-，可解得51x +=. 因为()sin 234sin 18054sin54cos36=+=-=-oo ooo .在ABC ∆中，根据余弦定理可得222151cos362x x x +-+==o， 所以51sin 2344=-o . 故答案为：512；514-.点评：本题考查三角形相关的角的正弦值和余弦值，其中运用相似三角形和余弦定理，以及两角和与差公式和诱导公式化简.三、解答题17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()132n n S a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设3311log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）3nn a =；（2）1n nT n =+ （1）根据()132n n S a -=，再利用递推公式11n n n S S a ++-=，证出{}n a 为等比数列，且可得出首项和公差，即可求出通项公式；（2）利用对数的运算化简，得出()11n b n n =+，再根据裂项相消法求数列{}n b 的前n项和n T . 解：（1）因为()312n n S a =-， 所以()11312n n S a ++=-. 相减得()1132n n n n S S a a ++-=-，所以()1132n n n a a a ++=-，所以13n n a a +=. 又()111312S a a ==-，解得13a =， 所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以1133n nn a a -=⋅=，即{}n a 的通项公式为3nn a =.（2）由（1）可得()33111log log 1n n n b a a n n +==+111n n =-+.所以12111111......12231n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++. 点评：本题考查等比数列的通项公式和利用裂项相消法求数列前n 项和，还结合运用递推关系证明等比数列以及11n n n S S a ++-=，属于常考题型.18．在平面四边形ABCD 中，已知//AD BC ，CBD BDC α∠=∠=，ACD β∠=.（1）若30α=o ，75β=o 5+=，求,AC CD 的长； （2）若90αβ+>o，求证：AB AD <.答案：（1）AC =CD =；（2）见解析（1）根据题意，得出45ACB ∠=o ，ADC 60∠=o ，再利用正弦定理求得AC =，结合已知条件，即可求出,AC CD 的长；（2）利用余弦定理以及三角形的内角和，得出ACB ACD ∠<∠，通过判断三角形中边角关系，即可得出结论. 解：（1）由已知得30CBD BDC ∠=∠=o ，75ACD ∠=o ，所以45ACB ∠=o . 因为AD BC ∥，所以30ADB CBD ∠=∠=o ，45DAC BCA ∠=∠=o . 所以ADC 60∠=o . 在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，所以sin 60sin 45AC CD=o o，所以2AC CD =.5=，所以AC =CD =.（2）在ACB ∆中，由余弦定理得AB 在ACD ∆中，由余弦定理得AD =.因为90αβ+>o，1802ACB αβ∠=--o，所以()()180218020ACB ACD αββαβ∠-∠=---=-+<oo，即ACB ACD ∠<∠.又0180ACB <∠<o o ，0180ACD <∠<o o ，所以cos cos ACB ACD ∠>∠， 所以AB AD <. 点评：本题考查正弦定理和余弦定理的应用，通过正弦定理和余弦定理、以及三角形边和角的有关性质等，同时考查学生化归和转化思想.19．如图（1），在平面五边形EADCB 中，已知四边形ABCD 为正方形，EAB ∆为正三角形.沿着AB 将四边形ABCD 折起得到四棱锥E ABCD -，使得平面ABCD ⊥平面EAB ，设F 在线段AD 上且满足2DF AF =，G 在线段CF 上且满足FG CG =，O 为ECD ∆的重心，如图（2）.（1）求证：//GO 平面ABE ；（2）求直线CF 与平面BCE 所成角的正弦值. 答案：（1）见解析；（2）33926（1）取CD 的中点P ，AB 的中点H ，连接,,PH PE HE ，可知,,P G H 三点共线，,,P O E 三点共线.，因而可得O 为ECD ∆的重心，再利用线面平行的判定，及可证出；（2）根据条件，通过面面垂直的性质，证出EH ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，标点，求CF uuu r 及平面BCE 的法向量为n r，通过利用空间向量法求出线面角. 解：（1）如图，取CD 的中点P ，AB 的中点H ，连接,,PH PE HE . 由已知易得,,P G H 三点共线，,,P O E 三点共线. 因为2DF AF =，FG CG =，所以233DF DA PHPG ===. 又O 为ECD ∆的重心，所以3PE PO =， 所以OG HE P .因为OG ⊄平面ABE ，HE ⊂平面ABE ， 所以OG ∥平面ABE .（2）在EAB ∆中，因为H 为AB 的中点，所以EH AB ⊥.因为平面ABCD ⊥平面EAB ，平面ABCD I 平面EAB AB =，EH ⊂平面EAB ， 所以EH ⊥平面ABCD . 由（1）得，PH AB ⊥.所以,,HE HB HP 两两垂直，如图，分别以射线,,HB HP HE 的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系H xyz -. 设1OB =，因为3PH PG =，3PE PO =，所以3HEOG =， 所以3HE =，23AB =所以)3,23,0C，233,3F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)3,0,0B，()0,0,3E .所以4323,3CF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,23,0BC =u u ur ，()3,0,3BE =-u u u r .设平面BCE 的法向量为(),,n a b c =r ，则0,0,BC n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v 所以0,330.b c a =⎧⎪⎨=⎪⎩令1c =，则3a =()3,0,1n =r .设直线CF 与平面BCE 所成的角为α，则()()2222233339sin 264313233n CFn CFα-⨯⋅===⎛⎫+⨯-+- ⎪⎝⎭r u u u r r u u u r .点评：本题主要考查线面平行的判定和通过向量法求线面夹角，还涉及三点共线、重心、面面垂直的性质等知识点相结合，同时考查空间思维能力和想象能力.20．某大型企业生产的某批产品细分为10个等级，为了了解这批产品的等级分布情况，从仓库存放的100000件产品中随机抽取1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行打分：1级或2级产品打100分；3级或4级产品打90分；5级、6级、7级或8级产品打70分；其余产品打60分.现在有如下检测统计表：规定：打分不低于90分的为优良级.（1）①试估计该企业库存的100000件产品为优良级的概率； ②请估计该企业库存的100000件产品的平均得分.（2）从该企业库存的100000件产品中随机抽取4件，请估计这4件产品的打分之和为350分的概率.答案：（1）①25，②78；（2）36625（1）根据统计表，分别求出在1000件产品中，分别求出打分为100分、90分、70分、60分对应的概率，则优良级的概率即为100分、90分对应的概率之和；（2）利用平均数公式1122n n x x p x p x p =++L ，即可估计出100000件产品的平均得分；（3）由题可知，4件产品的打分之和为350分，即为21009060350⨯++=或者10029070350+⨯+=，再根据二项分布以及分类加法原则，求出概率.解：解：在1000件产品中，设任意1件产品打分为100分、90分、70分、60分， 分别记为事件,,,A B C D ，由统计表可得，()10901100010P A +==，()1002003100010P B +==，()200100100100110002P C +++==，()70301100010P D +==.（1）①估计该企业库存的100000件产品为优良级的概率为()()()25P A B P A P B +=+=.②估计该企业库存的100000件产品的平均得分为1311100907060781010210⨯+⨯+⨯+⨯=(分). （2）因为3502100906010029070=⨯++=+⨯+，所以从该企业库存的100000件产品随机抽取4件，估计这4件产品的打分之和为350分的概率为22211242431311313610101010102625C C C C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点评：本题考查通过频率分布表求频率和平均数，其中还运用二项分布以及分类加法原则，属于基础题.21．已知抛物线()2:20C y px p =>上横坐标为2的点到焦点的距离为4.（1）求抛物线C 的方程；（2）若过(),0A m ()4m >的直线与圆()22:24D x y -+=切于B 点，与抛物线C 交于,P Q点，证明：PQ >. 答案：（1）28y x =；（2）见解析（1）通过抛物线的性质，列式求出p ，即可得出抛物线C 的方程；（2）根据题意，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的AB 的距离，联立方程，写出韦达定理，再利用弦长公式求出PQ，再通过新函数的单调性，证明出PQ >.解：（1）由已知可得242p+=，解得4p =. 所以抛物线C 的方程为28y x =.（2）设直线AB 的方程为x ty m =+，因为直线AB 与圆D 相切，2=，即2244m mt -=. 将x ty m =+与28y x =联立消去x 得2880y ty m --=，所以8P Q y y t +=，8P Q y y m =-.因为P Q y y -==所以22P Q m PQ y y -=-=⋅=因为4m >，()()32g m m m =-单调递增，所以()()33244232m m ->⨯-=，所以PQ >点评：本题考查抛物线的标准方程，运用抛物线的定义和性质、直线与圆的位置关系、韦达定理、弦长公式，以及直线与圆相切、点到直线的距离公式，属于综合题. 22．设函数()cos xf x e x =，()22xg x eax =-.（1）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()2xf xg x e'≥恒成立（()f x '是()f x 的导函数），求实数a 的取值范围.答案：（1）41,2e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）(],2-∞ （1）求导，令()0f x '=，求出极值点0,43x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，利用导数求出函数()f x 的单调性，即可得出0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最值，即可得出值域；（2）根据题意，构造新函数，将不等式()()2x f x g x e '≥的恒成立问题，转化为在[)0,x ∈+∞内()2sin cos 20xxx x h x e ax e-=+-≥的恒成立问题，求导()h x '，再二次求导，通过单调性求出最值，即可求出参数a 的取值范围.解：（1）由题可得()()cos sin cos sin xxxf x e x e x ex x '=-=-.令()()cos sin 0xf x ex x '=-=，得0,43x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当,43x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 所以()4max42f x f e ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()min min 0,3f x f fπ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭. 因为()333103222e e ef f ππ⎛⎫=>=>= ⎪⎝⎭，所以()min 1f x =，所以()f x的值域为41,2e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由()()2xf xg x e'≥得2cos sin 2x x x x e ax e --≥， 即2sin cos 20xxx x e ax e -+-≥.设()2sin cos 2x x x x h x e ax e -=+-，则()22cos 22x xxh x e a e'=+-. 设()()x h x ϕ='，则()344x xe x x e πϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=. 当[)0,x ∈+∞时，344x e ≥，4x π⎛+≤ ⎝，所以()0x ϕ'>. 所以()x ϕ即()h x '在[)0,+∞上单调递增，则()()042h x h a ''≥=-. 若2a ≤，则()()0420h x h a ''≥=-≥，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增. 所以()()00h x h ≥=恒成立，符合题意.若2a >，则()0420h a '=-<，必存在正实数0x ，满足：当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，此时()()00h x h <=，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是(],2-∞. 点评：本题考查通过导数研究函数的单调性、最值以及恒成立问题，属于综合题，同时考查学生的综合分析能力和解题计算能力.。

绝密★启用前天一大联考2018—2019学年高中毕业班阶段性测试(一)数学(理科)考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{x |x ＝t 2－|t |，t ∈U }，则∁U A ＝A ．{－2，－1，1}B ．{－1，1，2}C ．{－2，1，2}D ．{0，1，2}2．若复数z ＝b i 3＋i ＋12(b ∈R )为纯虚数，则共轭复数z －＝ A ．－32i B ．－12i C.12i D.32i 3．区域经济变化影响着人口的流动，下图为过去某连续5年各省、自治区及直辖市(不含港澳台)人口增长统计图．根据图中的信息，下面结论中不正确的是A ．广东人口增量最多，天津增幅最高B ．黑龙江无论是增量还是增幅均居末尾C ．天津、北京、重庆和上海四大直辖市增幅均超过5%D ．人口增量超过200万的省、自治区或直辖市共有7个4．若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2，且a 3＋a 15＝14，则其前17项和S 17＝A ．136B ．119C ．102D ．855．一正方形地砖的图案如图所示，其内部花形是以正方形边长的一半为直径作弧而得到的，若一只蚂蚁落在该地砖内，则它恰好在阴影部分的概率为A.π2－1B.π4－34C.π4－12D.π4－146．如图是某几何体的三视图，网格纸上的每个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A ．4＋2πB ．4＋4πC ．8＋2πD ．8＋4π7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|e x －3|，x ≤0，ln x ，x >0.若方程f (x )＝a 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．(0，3)B ．(2，3)C ．(1，2)D ．[2，3)8．已知|a |＝2，|b |＝7，|3a －b |＝27，若(a －3b )⊥(5a ＋2t b )，则t ＝A ．1 B.4714 C.3586 D.129．某市农技推广中心拟将A ，B ，C ，D ，E 五名技术员派到三个农场去作技术指导，每个农场至少有1名技术指导员，其中A 和B 不能去同一农场，A 和C 必须去同一农场，则该中心拟派方案有A ．240种B ．120种C ．60种D ．30种10．已知在曲线C 1：f (x )＝4e x ＋1(e ＝2.718 28…)上任意一点P (x 1，y 1)处的切线为l 1，在曲线C 2：g (x )＝(m －2)x ＋4x x ＋1(x >0)上总是能找到一点Q (x 2，y 2)，使得曲线C 2在Q 点处的切线l 2与l 1平行或重合，则实数m 的取值范围是A ．[－2，1)B ．[－1，2)C ．(－2，1]D ．(－∞，－2)∪[1，＋∞)11．如图，抛物线x 2＝2py (p >0)的准线l 与坐标轴交于点C ，过点C 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若点B 到直线l 的距离为2tp (t >0)，且BC →＝－tBA →，设直线AB 的斜率为k ，则k 2＝A ．22－2 B.5＋12C. 2D. 5 12．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝32，侧面P AC 为正三角形，且顶点P 在底面上的射影落在△ABC 的重心G 上，则该三棱锥的外接球的表面积为A.105π13B.315π26C.315π13D.630π13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －12≤0，3x －5y ＋15≥0，y ≥－3，则z ＝x ＋6y 的最小值为__________． 14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为双曲线上一点．若MF 1⊥MF 2，且S △MF 1F 2＝8a 2，则该双曲线的离心率为__________．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＋1－S n 4a n ＋1－a n ＝12，b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前4项和T 4＝__________.16．已知关于x 的方程cos x sin 2x ＝m 有实数根，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)在平面四边形ABCD 中，∠D ＝45°，AC ＝5，CD ＝32，且cos ∠BAD ＝210. (Ⅰ)求cos ∠BAC ；(Ⅱ)若△ABC 的面积为5，求BC .18．(12分)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，AD ＝4，BC ＝3，DC ＝2，M ，N 分别为AD ，BC 上的点，且满足AM ＝MD ，2BN ＝NC .以MN 所在直线为折痕将四边形AMNB 折起，使A ，B 两点分别到达Q ，P 两点的位置，且满足平面PQMN ⊥平面CDMN .(Ⅰ)求证：ND ⊥QC ；(Ⅱ)求二面角N －PQ －C 的余弦值．19．(12分)PM2.5的值表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高，空气污染越严重．下表是某城市开展“绿色出行，健康生活”活动第一周至第七周，居民采用“绿色出行”的人数与PM2.5值的一组数据：程；(计算结果保留两位小数)(Ⅱ)若第八周“绿色出行”的人数为10万人，请预测第八周该市PM2.5的值；(计算结果保留一位小数)(Ⅲ)若PM2.5的值在(0，50]内空气质量为优，现从第一周至第七周中任意抽取三周，记所抽取的样本中空气质量为优的周数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．附：b ^＝错误!＝错误!错误!.20．(12分)已知椭圆C ：x 22＋y 2b2＝1(2>b >0)的右顶点和上顶点分别为A 与B ，原点O 到直线AB 的距离为63. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)过椭圆C 长轴上一点R 作斜率为22的直线l ，与椭圆C 的两个不同交点为P ，Q (不同于点R )，试问4|PR |·|QR |＋3|OR |2是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，请说明理由．21．(12分)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x 2＋ax .(Ⅰ)证明：f (x )≥x ＋1；(Ⅱ)对任意x ∈(0，1]，不等式f (x )－g (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若函数H (x )＝2f (x )－g (x )有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝－2＋22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－5＝0.(Ⅰ)化直线l 的参数方程为普通方程，化圆C 的极坐标方程为直角坐标方程；(Ⅱ)设A 是直线l 上一点，P ，Q 是圆C 上不同的两点，圆心C 是△APQ 的重心，当△APQ 的面积取最大值时，求点A 的坐标．23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|ax ＋2|.(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －1|≤16的解集；(Ⅱ)若关于x 的不等式f (x ＋1)－f (x －1)>6有解，求实数a 的取值范围．。

2019-2020学年海南省天一大联考高一（上）期末数学试卷一、单项选择题本题共8小题每小题5分共4分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集{1U =，2，3，4，5}，集合{1S =，2，3，4}，则(U S =ð ) A ．{5}B ．{1，2，5}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．（5分）全称量词命题“0x ∀…，21x …”的否定为( ) A ．0x ∃<，21x <B ．0x ∀…，21x <C ．0x ∃…，21x <D ．0x ∀<，21x <3．（5分）已知函数21,1()(1),1x x f x ln x x ⎧+=⎨->⎩„，则f （2）(= )A ．5B ．2C ．0D ．14．（5分）11sin()cos (63ππ-+= )A ．1B ．0C ．1-D ． 5．（5分）若偶函数()f x 在区间(-∞，0]上单调递增，且f （3）0=，则不等式()0f x >的解集是( )A ．(-∞，3)(3-⋃，)+∞B ．(-∞，3)(0-⋃，1)C ．(-∞，3)(1-⋃，3)D ．(3,3)-6．（5分）已知3tan 4α=，(0,)2πα∈，则cos2(α= )A ．325B ．725C ．925D ．16257．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当[0x ∈，1]时，()3x f x m =-．则(1)(f -=) A ．2B ．1C ．1-D ．2-8．（5分）已知137a -=，0.82b =，2log 4.1c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a b c <<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -…，则下列结论正确的有( )A ．a c b c ++…B ．a b --„C ．22a b …D ．2211ab ba… 10．（5分）已知函数()sin(2)3f x x π=+，则( )A ．()f x 的最小值为1-B ．点(,0)12π是()f x 的图象的一个对称中心C ．()f x 的最小正周期为πD ．()f x 在(,0)6π-上单调递增11．（5分）下列说法中正确的有( )A ．.不等式2a b ab +…恒成立 B ．存在a ，使得不等式12a a+„成立C ．.若a ，(0,)b ∈+∞，则2b a a b+… D ．若正实数x ，y 满足21x y +=，则218x y+… 12．（5分）已知函数2()361f x x x =--，则( ) A ．函数()f x 有两个不同的零点 B ．函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则3a =D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则13a = 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数()log (23)a f x x =-，(0a >且1)a ≠，的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是 ． 14．（5分）每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数()sin (0f x A x A ω=>，0)ω>．若()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为()f x = ．15．（5分）若函数()sin(2)f x x θ=+的图象关于直线6x π=-对称，则||θ的最小值是 ．16．（5分）某种商品在第*(130,)x x x N ∈剟天的销售价格（单位：元）为102,110()135,10302x x f xx x +⎧⎪=⎨-<⎪⎩剟„，第x 天的销售量（单位：件）为()30g x x =-，则第14天该商品的销售收入为 元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为 元．（本题第一空2分，第二空3分．)四、解答题共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（10分）在①{|1}x a x a -剟，②{|2}x a x a +剟，③{|3}x a x a +剟这三个条件中任选一个，补充在下面问题中若问题中的a 存在，求a 的值；若a 不存在，请说明理由． 已知集合A = ，2{|430}B x x x =-+„．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18．（12分）已知函数2()21x x af x +=-为奇函数．()I 求实数a 的值；（Ⅱ）求2(log 5)f 的值．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 为单位圆上的一点，且4AOP π∠=，点P 沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到达点(,)Q a b ．（Ⅰ）求阴影部分的面积； （Ⅱ）当3πθ=时，求ab 的值．20．（12分）已知函数1221,0()(1),012,1xm x f x log x x x x ⎧-⎪⎪=+<<⎨⎪⎪-⎩„…，且f （4）14=．()I 求实数m 的值，并求函数()()g x f x b =-有3个不同的零点时实数b 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[23a +，21]a a ++上为增函数，求实数a 的取值范围．21．（12分）已知函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕπ=+><<的图象过点，且相邻的两个零点之差的绝对值为6 ()I 求()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象若关于x 的方程2()g x a a =-在[1x ∈-，5]上有解，求实数a 的取值范围． 22．（12分）已知函数44()log (2)log (4)f x x x =++-． ()I 求()f x 的定义域；（Ⅱ）若函数1()42x x g x a a +=--g ，且对任意的1[5x ∈，6]，2[1x ∈，2]，12()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围．2019-2020学年海南省天一大联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题本题共8小题每小题5分共4分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集{1U =，2，3，4，5}，集合{1S =，2，3，4}，则(U S =ð ) A ．{5}B ．{1，2，5}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}【解答】解：因为全集{1U =，2，3，4，5}，集合{1S =，2，3，4}， 则{5}U S =ð． 故选：A ．2．（5分）全称量词命题“0x ∀…，21x …”的否定为( )A ．0x ∃<，21x <B ．0x ∀…，21x <C ．0x ∃…，21x <D ．0x ∀<，21x <【解答】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“0x ∀…，21x …”的否定是“0x ∃…，21x <”． 故选：C ．3．（5分）已知函数21,1()(1),1x x f x ln x x ⎧+=⎨->⎩„，则f （2）(= )A ．5B ．2C ．0D ．1【解答】解：由题意可得f （2）(21)10ln ln =-==． 故选：C ． 4．（5分）11sin()cos (63ππ-+= )A ．1B ．0C ．1-D ． 【解答】解：因为sin(2)sin παα+=， 所以11111sin()sin(2)sin 6662ππππ-=-+==， 所以原式11122=+=． 故选：A ．5．（5分）若偶函数()f x 在区间(-∞，0]上单调递增，且f （3）0=，则不等式()0f x >的解集是( )A ．(-∞，3)(3-⋃，)+∞B ．(-∞，3)(0-⋃，1)C ．(-∞，3)(1-⋃，3)D ．(3,3)-【解答】解：由于函数()f x 是偶函数，在区间(-∞，0]上单调递增，且f （3）0=， 所以(3)f f -=（3）0=，且函数在[0，)+∞上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，由图可知，()0f x >的解集是(3,3)-， 故选：D ．6．（5分）已知3tan 4α=，(0,)2πα∈，则cos2(α= )A ．325B ．725C ．925D ．1625【解答】解：因为3tan 4α=，(0,)2πα∈，所以sin 3cos 4αα=，3sin cos 4αα=， 所以22229sin cos cos cos 116αααα+=+=， 化简得216cos 25α=， 解得4cos 5α=±；又(0,)2πα∈，所以4cos 5α=， 所以2167cos22cos 1212525αα=-=⨯-=． 故选：B ．7．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当[0x ∈，1]时，()3x f x m =-．则(1)(f -=) A ．2B ．1C ．1-D ．2-【解答】解：由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(0)0f =，而当[0x ∈，1]时，()3x f x m =-， 所以0(0)30f m =-=，1m =， 所以当[0x ∈，1]时，()31x f x =-， 故f （1）1312=-=． 由于()f x 为奇函数， 故(1)f f -=-（1）2=-， 故选：D ．8．（5分）已知137a -=，0.82b =，2log 4.1c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b a c << B ．b c a << C ．c a b << D ．a b c <<【解答】解：Q 1000.8322771222log 4log 4.1-<==<<=<，a b c ∴<<．故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -…，则下列结论正确的有( ) A ．a c b c ++…B ．a b --„C ．22a b …D ．2211ab ba… 【解答】解：因为0a b -…，所以a b …．根据不等式的性质可知A ，B 正确； 因为a ，b 的符号不确定，所以C 不正确；2222110a b ab ba a b --=…． 可得2211ab ba …，所以D 正确． 故选：ABD ．10．（5分）已知函数()sin(2)3f x x π=+，则( )A ．()f x 的最小值为1-B ．点(,0)12π是()f x 的图象的一个对称中心C ．()f x 的最小正周期为πD ．()f x 在(,0)6π-上单调递增【解答】解：由题易知A 正确；因为()sin(2)sin 10121232f ππππ=⨯+==≠，所以点(,0)12π不是()f x 的图象的一个对称中心，所以B 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以C 正确； 当(,0)6x π∈-时，2(0,)33x ππ+∈，所以()f x 在(,0)6π-上单调递增，所以D 正确．故选：ACD ．11．（5分）下列说法中正确的有( )A ．.不等式a b +…恒成立 B ．存在a ，使得不等式12a a+„成立C ．.若a ，(0,)b ∈+∞，则2b a a b+… D ．若正实数x ，y 满足21x y +=，则218x y+…【解答】解：不等式a b +…恒成立的条件是0a …，0b …，故A 不正确； 当a 为负数时，不等式12a a+„成立．故B 正确；由基本不等式可知C 正确；对于21214()(2)448y x x y x y x y x y +=++=+++=…， 当且仅当4y x x y =，即12x =，14y =时取等号，故D 正确． 故选：BCD ．12．（5分）已知函数2()361f x x x =--，则( ) A ．函数()f x 有两个不同的零点 B ．函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则3a =D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则13a =【解答】解：因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△2(6)43(1)480=--⨯⨯-=>， 所以函数()f x 有两个不同的零点，A 正确；因为二次函数()f x 图象的对称轴为1x =，且图象开口向上， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，B 不正确； 令x t a =，则22()()3613(1)4x f a g t t t t ==--=--． 当1a >时，1t a a 剟，故()g t 在1[,]a a 上先减后增，又112a a +>，故最大值为g （a ）23618a a =--=，解得3a =（负值舍去）． 同理当01a <<时，1a t a 剟，()g t 在1[,]a a 上的最大值为2136()18g a a a=--=， 解得13a =（负值舍去）．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数()log (23)a f x x =-，(0a >且1)a ≠，的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是 (2,0) ．【解答】解：根据题意，令231x -=，解得2x =，P ∴点横坐标2x =，此时纵坐标0y =，∴定点坐标是(2,0)，故答案为：(2,0)．14．（5分）每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数()sin (0f x A x A ω=>，0)ω>．若()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为()f x =1sin 22x ．【解答】解：由图可知12A =，最小正周期44T ππ=⨯=， 所以22πωπ==，所以1()sin 22f x x =．故答案为：1sin 22x15．（5分）若函数()sin(2)f x x θ=+的图象关于直线6x π=-对称，则||θ的最小值是6π． 【解答】解：依题意可知2()()62k k Z ππθπ⨯-+=+∈，得5()6k k Z πθπ=+∈， 所以5||||6k πθπ=+， 故当1k =-时，||θ取得最小值6π． 故答案为：6π． 16．（5分）某种商品在第*(130,)x x x N ∈剟天的销售价格（单位：元）为102,110()135,10302x x f x x x +⎧⎪=⎨-<⎪⎩剟„，第x 天的销售量（单位：件）为()30g x x =-，则第14天该商品的销售收入为 448 元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为 元．（本题第一空2分，第二空3分．)【解答】解：由题意可得(14)(14)2816448f g =⨯=（元)， 即第14天该商品的销售收入为448元．销售收入(102)(30),1101(35)(30),10302x x x y x x x +-⎧⎪=⎨--<⎪⎩剟„，*x N ∈， 即22250300,1101501050,10302x x x y x x x ⎧-++⎪=⎨-+<⎪⎩剟„，*x N ∈．当110x 剟时，22252503002()612.52y x x x =-++=--+， 故当10x =时，y 取最大值，600max y =，当1030x <„时，易知2110501010506002y <⨯-⨯+=，故当10x =时，该商品日销售收入最大，最大值为600元．故答案为：448；600四、解答题共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．（10分）在①{|1}x a x a -剟，②{|2}x a x a +剟，③{3}x x 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中若问题中的a 存在，求a 的值；若a 不存在，请说明理由． 已知集合A = [2，3] ，2{|430}B x x x =-+„．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解答】解：由题意知，A 不为空集，2{|430}{|13}B x x x x x =-+=剟?． 当选条件①时，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B Ü，解得23a 剟． 所以实数a 的取值范围是[2，3]．当选条件②时，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B Ü，． 解得1a =．此时A B =，不符合条件． 故不存在a 的值满足题意．当选条件③时，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B Ü， 该不等式组无解， 故不存在a 的值满足题意． 故答案为：[2，3]．18．（12分）已知函数2()21x x af x +=-为奇函数．()I 求实数a 的值；（Ⅱ）求2(log 5)f 的值．【解答】解：()I 因为函数()f x 为奇函数，所以22212(1)21()()021********x x x x x xx x x x a a a a a a f x f x --++++-+-+-=+=+==-----g g 恒成立， 可得1a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得21()21x x f x +=-．所以22log 52log 5215163(log 5)514221f ++====--．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 为单位圆上的一点，且4AOP π∠=，点P 沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到达点(,)Q a b ．（Ⅰ）求阴影部分的面积； （Ⅱ）当3πθ=时，求ab 的值．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数定义可知，点P 的坐标为22(． 所以OPA ∆的面积为12212=， 扇形OPA 的面积为8π．所以阴影部分的面积为可28π． （Ⅱ）由三角函数的定义，可得(cos(),sin())44Q ππθθ++．当3πθ=时，77(cos,sin )1212Q ππ， 即7cos12a π=，7sin 12b π=， 所以771771711cossin 2cos sin sin sin 12122121226264ab ππππππ==⨯⨯=⨯=-⨯=-． 20．（12分）已知函数1221,0()(1),012,1xm x f x log x x x x ⎧-⎪⎪=+<<⎨⎪⎪-⎩„…，且f （4）14=．()I 求实数m 的值，并求函数()()g x f x b =-有3个不同的零点时实数b 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[23a +，21]a a ++上为增函数，求实数a 的取值范围． 【解答】解()I 因为f （4）4214m =-=，所以2m =． 函数()f x 的大致图象如图所示令()0g x =，得()f x b =． 故()g x 有3个不同的零点． 即方程()f x b =有3个不同的实根． 由图可知10b -<<．（Ⅱ）由图象可知，函数()f x 在区间(-∞，0]和[1，)+∞上分别单调递增． 因为22131()024a a a ++=++>，且函数()f x 在区间[23a +，21]a a ++上为增函数，所以可得，解得2a >．所以实数a 的取值范围为(2,)+∞．21．（12分）已知函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕπ=+><<的图象过点3)，且相邻的两个零点之差的绝对值为6 ()I 求()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象若关于x 的方程2()g x a a =-在[1x ∈-，5]上有解，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）设()f x 的最小正周期为T ， 因为()f x 相邻的两个零点之差的绝对值为6，所以62T=，所以12T =． 因为()f x 的图象经过点3)，所以，(0)2sin 3f ϕ== 又因为2πϕπ<<，所以，23πϕ=，所以，2()2sin()63f x x ππ=+． （Ⅱ）由()I 可得，2()2sin()63f x x ππ=+．故2()2sin[(3)]2sin()6366g x x x ππππ=-+=+．当[1x ∈-，5]时，[0,]66x πππ+∈，则2sin()[0,2]66x ππ+∈．因为关于x 的方程2()g x a a =-在[1x ∈-，5]上有解，所以，202a a -剟， 解得10a -剟，或12a 剟．所以，a 的取值范围为[1-，0][1U ，2]．22．（12分）已知函数44()log (2)log (4)f x x x =++-． ()I 求()f x 的定义域；（Ⅱ）若函数1()42x x g x a a +=--g ，且对任意的1[5x ∈，6]，2[1x ∈，2]，12()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：()I 由题可知20x +>且40x ->， 所以4x >．所以()f x 的定义域为(4,)+∞．（Ⅱ）由题易知()f x 在其定义域上单调递增．所以()f x 在[5x ∈，6]上的最大值为f （6）4log 162==，对任意的1[5x ∈，6]，2[1x ∈，2]，12()()f x g x <恒成立等价于()2()max f x g x =<恒成立． 由题得2()(2)22x x g x a a =--g g ，令2([2,4])x t t =∈，则2()22h t a t t a =-->g 恒成立． 当0a =时，1t <-，不满足题意． 当0a <时，解得2a >，因为0a <，所以舍去， 当0a >时，对称轴为1t a=， 当12a <，即12a >时，2242a a -->g ，所以2a >； 当124a 剟，即1142a 剟时，212()2a a a a-->g ，无解，舍去；当14a >，即104a <<时，2482a a -->g ，所以23a >，舍去， 综上所述，实数a 的取值范围为(2,)+∞．。

天一大联考2019-2020学年高三年级上学期期末考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,2,4,6,|233n A B x N ==∈<，则集合A B 的子集个数为A.8B. 7C. 6D. 42.设i 为虚数单位，复数21a i i++为纯虚数，则实数a 的值为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 23.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列{}2log n a 的前10项和等于A. 1023B. 55C. 45D. 354.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了股股定理的绝妙证明。

下面是赵爽的弦图和注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实。

图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股+（股-勾）2=4⨯朱实+黄实=弦实，化简得：+=222勾股弦.设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为A. 866B. 500C. 300D. 1345.已知圆()22314x y -+=的一条切线y kx =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是A. (B. ()1,2C. )+∞ D.()2,+∞ 6.已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是A. 5B. 5C. 1D.2 7.已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围是A. (]1,2B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D. [)2,+∞ 8.函数()cos 21x f x x x π=+的图象大致是9.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为6，1C BC ∠的正切值为，当1AB AD AA ++的值最小时，长方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为A. 10πB. 12πC. 14πD. 16π10.已知函数()()1sin 20,022f x A x A πϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π=对称，若对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()23m m f x -≤，则实数m 的取值范围是 A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. []1,2 C. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3322⎡+⎢⎣⎦ 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 10C. 12D. 1412.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，且(]2,2x ∈-时，()()2111,0222,20x x x x x f x x x x ⎧⎛⎫+--<≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-<≤⎩，则函数()()4log g x f x x =-的零点个数是A. 4B. 7C. 8D.9第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-，且a b a b +=-，则2a b += .14.已知()3021n x dx =-⎰，则n的展开式中2x 的系数为 . 15.已知抛物线()21:0C y ax a =>的焦点F 也是椭圆()2222:104y x C b b +=>的一个焦点，点3,,12M P ⎛⎫ ⎪⎝⎭分别为曲线12,C C 上的点，则MP MF +的最小值为 . 16.已知数列{}n b 是首项为-34，公差为1的等差数列，数列{}n a 满足()12n n n a a n N *+-=∈，且137a b =，则数列nn b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）如图，在圆内接四边形ABCD 中，2,cos sin .AB AD CD αβ===+（1）求角β的大小；（2）求四边形ABCD 周长的取值范围.18.（本题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和ABEG 均为平行四边形，点E 在平面ABCD 内的射影恰好为点A ，以BD 为直径的圆经过点,,A C AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且.AD AB AE ==（1）求证：平面EFP ⊥平面BCE ；（2）求二面角P EF B --的余弦值.19.（本题满分12分）2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品.（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；（3）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X ，求X 的分布列和数学期望().E X20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M,N 两点，2MNF ∆C 的离心率为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A,B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()ln f x x a x =+与()3b g x x=-的图象在点()1,1处有相同的切线. （1）若函数()2y x m =+与()y f x =的图象有两个交点，求实数m 的取值范围；（2）设函数()()()()ln 1,0,x H x f x e x m =--∈，求证：()2m H x <.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。