2014广东高考数学分析

2014广东高考数学理科试题分析纵观2014 年广东高考理科数学试题，我们发现高考试题整体的结构没有大的变化，知识点和往年有些出入，另外对知识的考查今年更灵活。

总之，今年广东理科数学是考点变化比例加大，上手易高分难。

一、总体趋势变化较大：思路灵活、运算量上升从总体情况看，试卷结构没有变化(8+6+6)，但题目没有 13 年基础。

选择、填空题中考查了去年没有涉及的空间向量和解三角形，而且其中中档题的比例也加大了。

解答题中，考察内容除最后一题外，基本不变。

前三道难度与去年相比变化不大。

后三道解答题的思路不是很常规，计算量较大，且与去年不同的是，最后一道大题的求解并不需要导数。

二、试卷难度上升从整张试卷看，相较 2013 年广东高考理科数学试题而言，整体难度上升不少。

试题中中高档题目比例增大，且对计算的要求非常高，要求考生具备极强的耐心进行细致的运算。

尤其是后面三道大题，难度增加颇大。

三、考点分析：中档题比例增加以下表格是对广东省2014年高考理科数学考点的统计：题号考点难度题号考点难度1 集合低 16 (1)三角函数求值低2 复数低 (2)三角公式中3 线性规划中17 (1)频数、频率低4 圆锥曲线中 (2)直方图低5 空间向量低 (3)概率低6 概率统计低 18 (1)线面垂直低7 立体几何低 (2)二面角中8 集合创新题中 19 (1)数列基本概念中9 绝对值不等式低 (2)数列通项公式中11 概率中20 (1)圆锥曲线方程低12 解三角形中 (2)圆锥曲线切线难13 等比数列中 21 (1)函数的定义域中14 参数方程与极坐标中 (2)函数的单调性难15 平面几何低 (3)函数综合难从上表可以看出，1—18 题中，中档题的比例增加，而且考查了去年未涉及到的空间向量及解三角形。

这就要求考生在平时备考时，知识点必须悉数复习到位，不能有所遗漏。

以下对后三大题逐题点评：第 19 题：和去年考察内容一样，均为数列知识，但思路不太相同。

2014·广东卷(理科数学)1．[2014·广东卷] 已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2，}，则M ∪N ＝( )A ．{0，1}B ．{－1，0，2}C ．{－1，0，1，2}D ．{－1，0，1}1．C [解析]本题考查集合的运算．因为M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，所以M ∪N ＝{－1，0，1，2}．2．[2014·广东卷] 已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3＋4iB ．－3－4i C ．3＋4iD ．3－4i2．D [解析]本题考查复数的除法运算，利用分母的共轭复数进行求解． 因为(3＋4i)z ＝25，所以z ＝253＋4i ＝25（3－4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3－4i.3．[2014·广东卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．83．B [解析]本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．当目标函数线经过点A (－1，B (2，－1)时，z 取得最大值．故m ＝3，n ＝－3，所以m －n ＝6.4．[2014·广东卷] 若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等4．A [解析]本题考查双曲线的几何性质，注意利用基本量的关系进行求解． ∵0<k <9，∴9－k >0，25－k >0. 对于双曲线x 225－y 29－k ＝1，其焦距为225＋9－k ＝234－k ；对于双曲线x 225－k －y 29＝1，其焦距为225－k ＋9＝234－k .所以焦距相等． 5．[2014·广东卷] 已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0) C ．(0，－1，1) D ．(－1，0，1)5．B [解析]本题考查空间直角坐标系中数量积的坐标表示．设所求向量是b ，若b 与a 成60°夹角，则根据数量积公式，只要满足a ·b |a ||b |＝12即可，所以B 选项满足题意．6．[2014·广东卷] 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1-1和图1-2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )图1-1 图1-2A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，106．A [解析]本题考查统计图表的实际应用．根据图题中的图知该地区中小学生一共有10000人，由于抽取2%的学生，所以样本容量是10000×2%＝200.由于高中生占了50%，所以高中生近视的人数为2000×2%×50%＝20.7．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定7．D [解析]本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AB 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，CC 1是直线l 3，CD 是直线l 4，则l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．8．、[2014·广东卷] 设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．1308．D [解析]本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解．由“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”考虑x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的可能取值，设集合M ＝{0}，N ＝{－1，1}．当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有2个取值为0时，另外3个从N 中取，共有C 25×23种方法；当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有3个取值为0时，另外2个从N 中取，共有C 35×22种方法；当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有4个取值为0时，另外1个从N 中取，共有C 45×2种方法．故总共有C 25×23＋C 35×22＋C 45×2＝130种方法， 即满足题意的元素个数为130. 9．[2014·广东卷] 不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．9．(－∞，－3]∪[2，＋∞) [解析]本题考查绝对值不等式的解法．|x －1|＋|x ＋2|≥5的几何意义是数轴上的点到1与－2的距离之和大于等于5的实数，所以不等式的解为x ≤－3或x ≥2，即不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．10．、[2014·广东卷] 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．10．y ＝－5x ＋3 [解析]本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.11．、[2014·广东卷] 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．11.16 [解析]本题主要考查古典概型概率的计算，注意中位数的求法．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C 710种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5中选三个，从7，8，9中选三个不同的数即可，有C 36C 33种方法．故这七个数的中位数是6的概率P ＝C 36C 33C 710＝16.12．[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________．12．2 [解析]本题考查了正弦定理以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．利用正弦定理，将b cos C ＋c cos B ＝2b 化简得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝2sin B ．∵sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝2sin B ，利用正弦定理化简得a ＝2b ，故a b＝2.13．、[2014·广东卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．13．50 [解析]本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，∴a 10a 11＝e 5， ∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝lne 50＝50. 14．[2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________．14．(1，1) [解析]本题主要考查将极坐标方程化为直角坐标方程的方法．将曲线C 1的方程ρsin2θ＝cos θ化为直角坐标方程为y 2＝x ，将曲线C 2的方程ρsin θ＝1化为直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1，1)．15．[2014·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1-3所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________．图1-315．9 [解析]本题考查相似三角形的性质定理，面积比等于相似比的平方． ∵EB ＝2AE ，∴AE ＝13AB ＝13CD .又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴△AEF ∽△CDF ，∴△CDF 的面积△AEF 的面积＝⎝⎛⎭⎫CD AE 2＝9.16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.17．、[2014·广东卷] 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：(1)确定样本频率分布表中n 1，n 2，f 1和f 2的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E .(1)证明：CF ⊥平面ADF ； (2)求二面角D -AF -E 的余弦值．图1-419．、[2014·广东卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．20．、[2014·广东卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．21．、[2014·广东卷] 设函数f (x )＝1（x 2＋2x ＋k ）2＋2（x 2＋2x ＋k ）－3，其中k <－2.(1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示)； (2)讨论函数f (x )在D 上的单调性；(3)若k <－6，求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示)．。

O xyA BCD2014 年广东高考文科数学逐题详解详解提供: 广东佛山市南海中学 钱耀周参考公式:椎体的体积公式 13V Sh = ,其中S 为椎体的底面积,h 为椎体的高.一组数据 12 ,,, nx x x L 的方差 ( ) ( ) ( )2222121 ns x x xxxx n éù =-+-++- êú ëûL ,其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.1．已知集合 { } 2,3,4 M = , { } 0,2,3,5 N = ,则M N = I ( )A ．{ }0,2 B ．{ }2,3 C ．{ }3,4 D ．{ }3,5 【解析】B ；M N = I { } 2,3 ,选 B .2．已知复数z 满足( ) 34i 25 z -= ,则z =( )A ． 34i --B ． 34i-+ C ．34i- D ．34i+ 【解析】D ； ( ) ( )( )2534i 2534i 34i 34i 34i z + ===+ --+ ,选 D . 3．已知向量 ( ) 1,2 = a , ( ) 3,1 = b ,则 -= b a ( )A ．( )2,1 - B ．( )2,1 - C ．( )2,0 D ．( )4,3 【解析】B ； ( ) ( ) ( ) 3,11,22,1 -=-=- b a ,选 B .4．若变量 , x y 满足约束条件 28 04 03 x y x y +£ ì  í ï ££ î,且 2 z x y =+ 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．11【解析】C ；画出可行域如图所示,为一个五边形OABCD 及其内部区域,当直线 2 y x z =-+ 过点 ( )4,2 B 时,z 取得最大值 24210 z =´+= ,选 C . 5．下列函数为奇函数的是( )A ． 12 2x x y =-B ． 3 sin y x x =C ． 2cos 1 y x =+D ． 2 2xy x =+ 【解析】A ；设 ( ) 1 2 2 xx f x =-,则 ( ) f x 的定义域为R ,且 ( ) ( ) 11 22 22x xx x f x f x - - -=-=-=- ,所以 ( ) 12 2x x f x =- 为奇函数,选A .6．为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20【解析】C ；分段间隔为 100025 40= ,选 C .7．在 ABC D 中,角 ,, A B C 所对应的边分别为 ,, a b c ,则“a b £ ”是“sin sin A B £ ”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件1l 2l 3l 4 l 4l 【解析】A ；结合正弦定理知sin sin 2sin 2sin A B R A R B a b £Û£Û£ ,选 A .8．若实数k 满足05 k << ,则曲线 22 1 165 x y k -= - 与曲线 221 165x y k -= - 的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】D ；因为05 k << ,所以两条曲线均为双曲线,且 2c 均为21 k - ,故选 D .9．若空间中四条两两不同的直线 1 l , 2 l , 3 l , 4 l ,满足 12 l l ^ , 23 // l l , 34 l l ^ ,则则下列结论一定正确的是()A ． 14l l ^ B ． 14// l l C ． 1 l 与 4 l 既不垂直也不平行 D ． 1 l 与 4 l 的位置关系不确定 【解析】D ；弄个正方体一目了然!10． 对任意复数 1 w , 2 w 定义 1212 w w w w *= ,其中 2 w 是 2 w 的共轭复数,对任意复数 123 ,, z z z ,有如下四个命题:① ( ) ( ) ( ) 1231323 z z z z z z z +*=*+* ； ② ( ) ( ) ( ) 1231213 z z z z z z z *+=*+* ； ③ ( ) ( ) 123123 z z z z z z **=** ； ④ 1221 z z z z *=* ；则真命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】B ；①( ) ( ) ( ) ( ) 12312313231323 z z z z z z z z z z z z z z +*=+=+=*+* ,故①为真命题；② ( ) ( )( ) ( ) 12312312312131213 z z z z z z z z z z z z z z z z z *+=+=+=+=*+* ,故②为真命题； ③左边 123 z z z = ,右边 ( )( ) ( )123123123 * z z z z z z z z z === ,左边¹ 右边,故③为假命题； ④左边 12 z z = ,右边 21z z = ,左边¹ 右边,故④为假命题.故只有①②为真命题,选B . 二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分） (一)必做题(11～13 题)11．曲线 53 xy e =-+ 在点( ) 0,2 - 处的切线方程为．【解析】520 x y ++= ；由 5 xy e ¢=- 得 0 5 x y = ¢ =- ,故切线方程为 25 y x +=- ,即520 x y ++= .12. 从字母 ,,,, a b c d e 中任取两个不同的字母,则取到字母a 的概率为_______.【解析】 2 5 ； 142 5 42 105C P C === .13. 等比数列{ } n a 的各项均为正数,且 15 4 a a = ,则 2122232425log log log log log a a a a a ++++=______. (二)选做题(14～15 题,考生只需从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 1 C 和 2 C 的方程分别为 22cos sinr q q = 和 cos 1 r q = . 以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 1 C 和 2 C 交点的直 角坐标为______.【解析】( ) 1,1 ；由 2 2cos sin r q q = ,可得 ( ) 22cos sin r q r q = ,即 2 2 y x = .由 cos 1 r q = ,可得 1 x = .曲线 1 C 和 2 C 交点的直角坐标为() 1,2 . 15.(几何证明选讲选做题)如图 1,在平行四边形ABCD 中,点E 在 AB 上且2 EB AE = , AC 与DE 交于F ,则CDF AEF D =D 的面积的面积.【解析】9；考查相似三角形性质的应用.由题易知 CDF D ∽ AEF D 所以相似比为3:1 CD AE = ,故 CDF AEF D D 的面积的面积为相似比的平方,即为9. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分 12分)已知函数 ( ) sin 3 f x A x p æö=+ ç÷ èø ,x ÎR ,且 532122f p æö =ç÷ èø . (1) 求A 的值； (2) 若 ( ) ( ) 3,0, 2 ff p q q q æö --=Î ç÷ èø ,求 6 f p q æö - ç÷ èø.【解析】(1) 依题意 553232 sin sin 12123422 f A A A pp p p æöæö=+=== ç÷ç÷èøèø ,解得 3 A = ； (2) 由(1)知, ( ) 3sin 3 f x x p æö=+ ç÷ èø,又 ( ) ( ) 3 ff q q --=,所以3sin 3sin 3 33 p p q q æöæö +--+= ç÷ç÷ èøèø ,展开化简得 3 sin 3 q = ,又 0, 2 p q æö Î ç÷ èø,所以 26cos 1sin 3q q =-= , 所以 3sin 3sin 3cos 6632 f p p p p q q q q æöæöæö-=-+=-= ç÷ç÷ç÷ èøèøèø6 = .17.(本题满分 13分)某车间20名工人年龄数据如下表:年龄(岁)工人数(人)191 28 3 29 3 30 5 31 4 323 401 合计20(1) 求这20名工人年龄的众数与极差；(2) 以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图； (3) 求这20名工人年龄的方差.【解析】(1) 这20名工人年龄的众数为30,极差为401921 -= ；(2) 作出这20名工人年龄的茎叶图如下:D ABCEF 图 11 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4(3) 这20名工人年龄的平均数 192832933053143234030 20x +´+´+´+´+´+ = = ,方差 222222221 (11)3(2)3(1)50413210 20 s éù -+´-+´-+´+´+ =+´ ëû 1 (121123412100) 20 =+++++ 1 252 20=´ 12.6 = . 18.(本题满分 13分)如图 2 ,四边形 ABCD 为矩形, PD ^ 平面 ABCD , 1 AB = , 2 BC PC == ,作如图3 折叠,折痕// EF DC ,其中点 , E F 分别在线段 , PD PC 上,沿 EF 折叠后点 P 落在线段 AD 上的点记为M ,并且 MF CF ^ .(1) 证明:CF ^ 平面MDF ； (2) 求三棱锥M CDE - 的体积.【解析】(1) 因为PD ^平面 ABCD ,PD Ì 平面PCD ,所以平面PCD ^平面ABCD ,又平面PCD I 平面ABCD CD = ,MD Ì平面 ABCD ,MD CD ^ ,所以MD ^ 平面PCD , 又CF Ì平面PCD ,所以CF MD ^ ,又CF MF ^ ,MD MF M = I ,所以CF ^ 平面MDF . (2) 因为CF ^ 平面MDF ,DF Ì 平面MDF ,所以CF DF ^ , 又易知 060 PCD Ð= ,所以 030 CDF Ð= ,从而 11 22 CF CD == ,因为 // EF DC ,所以 DE CFDP CP= , 即 12 = 2 3DE ,所以 3 4 DE = ,所以 334 PE = , 13 28 CDE S CD DE D =×= ,222222 3336()() 442MD ME DE PE DE =-=-=-= , 所以 11362338216M CDE CDE V S MD - D =×=××= . 19.(本题满分 14分)设各项均为正数的数列{ } n a 的前n 项和为 n S ,且 n S 满足 ( ) ( )222 330 n n S n n S n n -+--+= , *n ÎN .(1) 求 1 a 的值；(2) 求数列{ }n a 的通项公式； ABCDP图 2PCBA DEF M 图 3(3) 证明:对一切正整数n ,有( ) ( ) ( ) 1122 11111113n n a a a a a a +++< +++ L .【解析】(1) 令 1 n = 得 211 60 S S +-= ,因为 1 0 S > ,所以 1 2 S = ,即 1 2 a = .(2) 由 () ()222330 n n S n n S n n -+--+= 得 2(3)()0 n n S S n n éù +-+= ëû ,因为 0 n a > ,所以 0 n S > ,从而 30 n S +> ,所以 2n S n n =+ ,当 2 n ³ 时, 221 (1)(1)2 n n n a S S n n n n n - éù =-=+--+-= ëû , 又 1 221 a ==´ ,所以 2 n a n = ,即数列{ } n a 的通项公式为 2 n a n = . (3) 当 2 n ³ 时,( ) ( ) ( )( ) 111111 1221212122121 n n a a n n n n n n æö=<=-ç÷ ++-+-+ èø所以( ) ( ) ( ) 1122 111 111 n n a a a a a a +++ +++ L 11111111 23235572121 n n æö <+-+-++- ç÷´-+ èøL 11111111 623216233n æö =+-<+´=ç÷ + èø 当 1 n = 时,( ) 11 11 13 a a < + ,故对一切正整数n ,有 ( ) ( ) ( ) 1122 11111113 n n a a a a a a +++< +++L .20.(本题满分 14分)已知椭圆C : 22 22 1 x y a b += ( 0 a b >> )的一个焦点为 ( )5,0 ,离心率为 53.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若动点 ( ) 00 , P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.【解析】(1)由 5 c = 及 5 3 c e a == ,可得 3,952 a b ==-= ,故椭圆C 的标准方程为 22 1 94x y += .(2) 不妨设点P 引椭圆C 的两条切线对应的切点分别是 , A B ,且( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 00 ,3,2,3,2,3,2,3,2 x y Ï---- ,设直线PA 为 ( ) 00 y y k x x -=- ,则PB 为 ( ) 00 1y y x x k-=-- . 由 ( ) 00 22 1 94y y k x x x x ì-=- ï í += ï î 消去 y 整理得( ) ( ) ( ) 2 220000 49189360 k x k y kx x y kx ++-+--= , 则 ()220000 9240x k x y k y D =-++-= 同理可得( )22 0000 11 9240 x x y y k k æöæö --+-+-= ç÷ç÷ èøèø.可知k 和 1 k- 是方程()220000 9240 x x x y x y -++-= 的两个实数根,则有20 4 1 1 9 y k k x - æö ×-=-= ç÷ - èø,整理得 22 00 13 x y += , 易知( )( ) ( ) ( ) ( ) { } 00 ,3,2,3,2,3,2,3,2 x y Î---- 也符合,故点P 的轨迹方程为 22 00 13xy += .21.(本题满分 14分)已知函数 ( ) 32 1 1 3f x x x ax =+++ ,其中a ÎR . (1) 求函数 ( ) f x 的单调区间；(2) 当 0 a < 时,试讨论是否存在 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèøU ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö = ç÷ èø. 【解析】(1)求导得 2()2 f x x x a ¢ =++ ,方程 220 x x a ++= 的判别式 44a D =- ,当 0 D £ 即 1 a ³ 时, ()0 f x ¢ ³ ,此时 ( ) f x 在( ) , -¥+¥ 上递增；当 1 a < 时,方程 220 x x a ++= 的两不等实根分别为 1 11 x a =--- , 2 11 x a =-+- , 由 ()0 f x ¢ > 得 11 x a <--- 或 11 x a >-+- ； 由 ()0 f x ¢ < 得 1 1 1 1 a x a ---< -+- < . 综上,当 1 a ³ 时, ( ) f x 的递增区间为( ) , -¥+¥ ；当 1 a < 时, ( ) f x 的递增区间为 ( ) ( ),11,11, a a -¥----+-+¥ , 递减区间为 ( )11,11 a a ----+- . (2) ( ) 3232 0000 111111 1()()()1 233222 f x f x x ax a æöéù -=+++-+++ ç÷ êú èøëû3322 000 1111()()() 3222x x a x éùéù =-+-+- êúêú ëûëû 2 0 00000 111111 ()()()()() 3224222x x x x x a x éù =-+++-++- êú ëû 2 00 00 111 ()() 236122 x x x x a =-+++++ 2 000 11 ()(414712) 122 x x x a =-+++ ,若存在 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö= ç÷ èø,必须 200 4147120 x x a +++= 在 11 0,,1 22 æöæö ç÷ç÷ èøèøU 上有解, 因为 0 a < ,所以 21416(712)4(2148)0 a a D =-+=-> , 方程 200 4147120 x x a +++= 的两根为 142214872148 84a a-±--±- = ,又 0 0 x > ,所以 0 72148 4 a x -+- =,依题意 7+2148 01 4a-- << ,即7214811 a <-< ,所以492148121 a <-< ,即 257 1212 a -<<- ,又由 7+21481 42 a -- = ,得 54a =- , 综上,当 257 1212 a -<<- 且 5 4 a ¹- 时,存在唯一的 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö= ç÷ èø, 当 2512 a <-或 7 12 a >- 或 5 4 a =- 时,不存在 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö = ç÷ èø.。

解读2014年广东高考理科数学卷作者：黄均振来源：《学习导刊》2014年第06期2014年高考已经落下帷幕，结合2014年高考考试说明，我们对今年的广东理科数学卷进行认真解读，得出如下认识：1. 逐年增加的高考报名人数导致今年的高考命题趋向于稳定，特别是稳定的平均分能极大地稳定考生心态，也有利于进一步深化高考招生改革与新课改的深入.（1）近3年的客观题得分率均在75%左右，今年客观题部分不存在难度很大的试题，主要强调基本概念和基本方法的考查，创新题难度有所减弱.(2) 三角函数是一类函数，主要考查函数性质与基本变换，并综合简单的恒等变换. 稳定的命题模式是由三角函数的新课标定位来决定的，有利于稳定平均分.（3）统计概率的考查还是维持了前几年的模式，整张试卷统计概率的分值达到33分，加强了对统计图表及数字特征的阅读与理解，但是绘画频率分布直方图估计难倒不少基础薄弱的学生。

研究新课标八年的命题，我们以为统计与概率是今后高考命题需要改变的。

2007—2010年的高考命题与现实结合较为紧密，符合新课标的要求，应用比较高。

2011—2013的统计概率似乎有点保守。

实际上，随机思想和数据处理的考查方法非常丰富，对平均分的影响不大，与其通过阅卷规范去调整分数，不如通过考查数学理解来真实反应学生的水平，因此复习时要提高学生对数字特征的意义及概率意义的理解. 今年考查根据频率分布表，画出样本频率分布直方图，其实这也是一个创新！（4）立体几何考查常见的几何体，线面关系明确，有助于建立空间坐标系，几何法主要渗透等面积的转化思想，计算量估计比向量法大。

明年高考立体几何应该不会有大的调整，仍然会研究基本的几何体的线面位置关系。

因此我们在备考过程中抓住常规几何体，通过常规几何体的线面位置关系熟悉定理和推论的套路和方法，有效的解决相关角度问题。

此外，推理要严密：如证明直线平面时，没写“ 平面”扣1分，即使是证到直线l的方向向量与平面的法向量垂直，也有说明这一点；写成也扣1分，用几何法求二面角时，要遵循“作图——证明——求角”的套路，用向量坐标法建坐标系时，要先证明三条轴所在直线两两垂直.（5）数列的递推式和前两年相似，考查重心前移，更加注重考查代数变换，不考放缩法，这是一大“亮点”，主要考查数学归纳法的证明。

数学试卷 第1页（共10页） 数学试卷 第2页（共10页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一组数据1x ,2x ,…,n x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-…, 其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,3,4}M =,{0,2,3,5}N =,则M N =( ) A .{0,2} B .{2,3}C .{3,4}D .{3,5} 2.已知复数z 满足(34i)25z -=,则z =( ) A .34i -- B .34i -+ C .34i - D .34i + 3.已知向量(1,2)=a ,(3,1)=b ,则-=b a( ) A .(2,1)-B .(2,1)-C .(2,0)D .(4,3)4.若变量x ,y 满足约束条件28,04,03,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤≤则2z x y =+的最大值等于( ) A .7B .8C .10D .11 5.下列函数为奇函数的是( ) A .122x x-B .3sin x xC .2cos 1x +D .22x x +6.为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( ) A .50 B .40 C .25 D .20 7.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,则“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的( )A .充分必要条件B .充分非必要条件C .必要非充分条件D .非充分非必要条件8.若实数k 满足05k ＜＜,则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的( ) A .实半轴长相等 B .虚半轴长相等 C .离心率相等 D .焦距相等 9.若空间中四条两两不同的直线1l ,2l ,3l ,4l ,满足12l l ⊥,23l l ∥,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( ) A .14l l ⊥B .14l l ∥C .1l 与4l 既不垂直也不平行D .1l 与4l 的位置关系不确定10.对任意复数1ω,2ω定义1212*ωωωω=,其中2ω是2ω的共轭复数,对任意复数1z ,2z ,3z ,有如下四个命题：①1231323()*(*)(*)z z z z z z z +=+； ②1231213*()(*)(*)z z z z z z z ++=+ ③123123(*)**(*)z z z z z z =； ④1221**z z z z =. 则真命题的个数是( )姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------------数学试卷 第3页（共10页） 数学试卷 第4页（共10页）A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11～13题)11.曲线5e 3x y y =-+在点(0,2)-处的切线方程为 .12.从字母a ,b ,c ,d ,e 中任取两个不同字母,则取到字母a 的概率为 . 13.等比数列{}n a 的各项均为正数,且154a a =,则212223log log log a a a +++2425log log a a += .(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 与2C 的方程分别为2cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图1,在平行四边形ABCD 中, 点E 在AB 上且2EB AE ＝,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF =△的周长△的周长 .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()sin()3f x A x =+,x ∈R ,且5π()122f =. （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若()()f f θθ--=,π(0,)2θ∈,求π()6f θ-.17.（本小题满分13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）19 1 28329 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计20（Ⅰ）求这20名工人年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图； （Ⅲ）求这20名工人年龄的方差. 18.（本小题满分13分）如图2,四边形ABCD 为矩形,PD ⊥平面ABCD ,1AB =,2BC PC ==.作如图3折叠：折痕EF DC ∥,其中点E ,F 分别在线段PD ,PC 上,沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ,并且MF CF ⊥.（Ⅰ）证明：CF ⊥平面MDF ； （Ⅱ）求三棱锥M CDE -的体积.19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S 满足22(3)n n S n n S -+--23()0n n +=,*n ∈N .（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ,有11221111+(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++++…＜.20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为,.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点数学试卷 第5页（共10页） 数学试卷 第6页（共10页）P 的轨迹方程.21.（本小题满分14分）已知函数321()1()3f x x x ax a =+++∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a ＜时,试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈,使得01()()2f x f =.{2,3,4}{0,2,3,5}={2,3}N =D 2525(34i)25(3=34i (34i)(34i)+==--+【答案】B【解析】(3,1)b a -=-【答案】C，a b ，，【解析】05k <<)21k -=-【答案】D312313231323)()()()()()z z z z z z z z z z z z ++===+，故①是真命题；12312312312131213()()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z +=+=+=+=+，②对；()()()z z z z z z z z z z z z =*==，右边，≠左边右边，③错；（2）茎叶图如下图(1928329330531432340)+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+CD PD D=，所以MF AD M=，所以CF⊥平面ADF，DFBC PC==60，30CDF∠，38CD DE=，211111111111()()()(1)2323525722121n na a n n++<+-+-++-+⨯-+数学试卷第7页（共10页）数学试卷第8页（共10页）数学试卷 第9页（共10页） 数学试卷 第10页（共10页）1,12⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，使得1124⎛+-+ ⎝ 1,12⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭上有解1,12⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭上有解，1,12⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭上无解；11a -+-1,12⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭上有1,12⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭上无解57,412⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎭⎝⎭时1,12⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=( ) A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案B2、已知复数z 满足(34)25,i z +=则z =( ) A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案A.考查复数的运算，()()()25342534343434i z i i i i ⋅-===-++⋅- 3、若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -= ( )A ．8 B.7 C.6 D.5答案 C.考查线性规划，求出三条直线的交点为()111,1,(2,1),,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭，故3,36m n m n ==--=，4、若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的( ) A ．离心率相等 B.虚半轴长相等C. 实半轴长相等D.焦距相等答案D.考查双曲线，注意到两条双曲线的22234c a b k =+=-相等，故而选D. 5、已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是( ) A ．（-1,1,0）B. （1,-1,0）C. （0,-1,1）D. （-1,0,1）答案B.考查向量的夹角与运算，将ABCD 四个选项代入1cos ,cos602a b a b a b⋅===⋅即可选出正确答案6、已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了解该地区中下学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A. 100，10B. 200,10C. 100，20D. 200，20答案 D.考查分层抽样.总人数为10000人，100002%200⋅=，其中高中生抽取20002004010000=⋅人，故抽取的高中生近视人数为4050%20⋅=人7、若空间中四条两两不同的直线1234,,,,l l l l 满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥则下面结论一定正确的是( )A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定 答案D.考查空间直线的位置关系.可利用正方体来判断，易得答案. 8、设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( ) A.130 B.120 C.90 D.60答案A.考查分类计数原理、排列组合.先分成3类，4个0、3个0、2个0 （1）4个0①4个0，1个1：155C =②4个0，1个-1：155C = （2）3个0：①3个0，2个1：2510C =②3个0，1个1,1个-1：115420=C C ⋅ ③3个0，2个-1：2510C =小学初中高中年级O（3）2个0①2个0，3个1：3510C =②2个0，2个1,1个-1：215330C C ⋅= ③2个0，1个1，2个-1：215330C C ⋅= ④2个0，3个-1：3510C =综上所述，所有的可能性有130种二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9、不等式125x x -++≥的解集为答案(][),32,-∞-⋃+∞.考查简单的绝对值不等式，用几何意义很快得出答案. 10、曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为答案53y x =-+.考查复合函数求导、切线方程.'5'05,|5x x y e y -==-=-，故切线方程为53y x =-+.本题易错点在符合函数求导忘记乘以5-.11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 答案16.考查分步技术原理和古典概型.基本事件731010120C C ==种，包括6且6为中位数的，前3个数从0—5六个数中选3个，后三个数只能是7、8、9，故满足题意的事件有3620C =种，从而概率为16.本题主要分析准确6为7个数的中位数这个条件就可以很快做出来. 12、在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则ab= 答案2.考查正余弦定理，边角互化.222222222a b c a c b b c b ab ac+-+-⋅+⋅=，化简即可.13、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++=答案50.考查等比数列的基础知识.依题意有51011a a e ⋅=，所求等式左边()10501011ln ln 50a a e =⋅==（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________答案()1,1.考查极坐标方程.212:,:1C y x C y ==，联立方程很快得出结果15、（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD中， 点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF 答案9.考查相似三角形面积比等于相似比的平方.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f 。

(1,0, -1) (-1,1,0) 12 + 02 + (-1)2 (-1)2 +12 + 022 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）答案解析一、选择题1. 【答案】C【解析】因为M ={-1,0,1} ， N ={0,1, 2}，所以 M N ={-1,0,1,2} . 【提示】根据集合的基本运算即可求解. 【考点】并集及其运算2. 【答案】D【解析】 z = 25 = 25(3 - 4i) = 25(3 - 4i) = 3 - 4i ，故选 D. 3 + 4i (3 + 4i)(3 - 4i) 25【提示】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得 z 的值. 【考点】复数的四则运算3. 【答案】B【解析】画出可行域，如图所示.由图可知在点(2, -1) 处目标函数分别取得最大值m = 3 ，在点(-1, -1) 处目标函数分别取得最小值n = -3，则 m - n = 6 ，故选B.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，进行平移即可得到结论. 【考点】简单的线性规划4. 【答案】A【解析】 0 < k < 9 ，∴9 - k > 0 ，25 - k > 0 ，从而可知两曲线为双曲线. 又25 + (9 - k ) = 34 - k = (25 - k ) + 9 ，故两双曲线的焦距相等，故选A. 【提示】根据 k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a ，b ，c 的大小关系即可得到结论. 【考点】双曲线的简单几何性质5. 【答案】B【解析】A. cos θ == - 1，不满足条件.(1,0, -1) (1, -1,0) 12 + 02 + (-1)212 + (-1)2 + 02(1,0, -1) (0, -1,1) 12 + 02 + (-1)212 + (-1)2 + 02(1,0, -1) (-1,0,1) 12 + 02 + (-1)212 + (-1)2 + 0222 2 2 5B. cos θ == 1，满足条件.C. cos θ == - 1不满足条件.D. cos θ == - 1不满足条件.故选B .【提示】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论. 【考点】数量积表示两个向量的夹角6. 【答案】A【解析】由图 1 可得出样本容量为(3500 + 4500 + 2000) 2% = 200 . 抽取的高中生近视人数为2000 2% 50% = 20 ，故选 A.【提示】根据图 1 可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高 中学生数，再利用图 2 求得样本中抽取的高中学生近视人数. 【考点】频率分布直方图，分层抽样7. 【答案】D【解析】由l 1 ⊥ l 2 ， l 2 ⊥ l 3 l 3 ⊥ l 4 ，将四条直线放入正方体中，如图所示， A 1B 1 = l 1 ， B 1C 1 = l 2 ， CC 1 = l 3 ， l 4 ∈面 ABCD ，满足已知条件，l 4 为平面 ABCD 中的任意一条直线，即可得出结论，l 1，l 4 的位置关系不确定.【提示】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得， l 1，l 4 的位置关系不确定.【考点】直线与直线的位置关系8. 【答案】D【解析】 A 中元素为有序数组(x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) ，题中要求有序数组的 5 个数中仅 1 个数为±1、仅 2 个数为±1或仅 3 个数为±1， x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 可取得 1，2，3.和为 1 的元素个数为C 1C 1=10 ；2 5 5 2 5 2 5 4 ⎩ ⎨ ⎩x =0 和为 2 的元素个数为： C 1C 2 + A 2= 40 ； 和为 3 的元素个数为： C 1C 3+ C 1C 1C 2= 80 .故满足条件的元素总的个数为10 + 40 + 80 =130 ，故选 D.【提示】从条件1≤ x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≤ 3 入手，讨论 x i 所有取值的可能性，分为和为 1，和为 2，和为3 三种情况进行讨论.【考点】集合的元素，排列数与组合数.二、填空题9.【答案】(-∞, -3) 【解析】由不等式| x -1| + | x + 2 |≥ 5 ，可得⎧x < -2⎧-2 ≤ x < 1 ⎧x ≥ 1 ① ，或 ② ，或③ . ⎨-2x -1 ≥ 5 ⎩3 ≥ 5 ⎨2x +1 ≥ 5解①求得x ≤ -3 ，解②求得 x ∈∅ ，解③求得 x ≥ 2 .综上，不等式的解集为(-∞, -3) (2, +∞) . 【提示】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.【考点】解绝对值不等式10. 【答案】 y = -5x + 3【解析】因为y ' = -5e -5x，所以y ' | = -5 ，所求切线方程为 y = -5x + 3 .【提示】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程. 【考点】导数的几何意义11. 【答案】 16【解析】要使 6 为取出的 7 个数中的中位数，则取出的数中必有 3 个不大于 6，另外 3 个数不小于 6，故所C 3 1 求概率为6 = .7 10【提示】根据条件确定当中位数为 6 时，对应的条件即可得到结论. 【考点】中位数，简单随机事件的概率12. 【答案】2【解析】由正弦定理知， b cos C + c co s B =sin A = 2sin B ，从而a = 2b ，∴ a= 2 .bsi n Bc o C s +s C i n c B o =s，即s i n B ( + C =) 2 s i B n ，【提示】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理(2, +∞)C 610 1112 ⎝ ⎭ 变形即可得到结果. 【考点】正弦定理13. 【答案】50【解析】由题意得， a a= a a=e 5，又a > 0 ，10 119 12n所以ln a 1 + ln a 2 + = ln(a 1a 2a 20 ) = l n(a 10a 11 )10 =10 ⨯lne 5 = 50 .【提示】直接由等比数列的性质结合已知得到a a = e 5 ，然后利用对数的运算性质化简后得答案.【考点】等比数列的性质，数列的前 n 项和，对数的运算 14.【答案】(1,1)【解析】曲线C 即(ρ sin θ )2 = ρ cos θ ，故其直角坐标方程为： y 2= x ，曲线C 为 ρ sin θ =1，则其直角坐标12方程为 y = 1，所以两曲线的交点坐标为(1,1) .【提示】把极坐标方程化为直角坐标方程，再把两条曲线的直角坐标方程联立方程组，求得两条曲线的交点坐标. 【考点】极坐标与直角坐标的互化15. 【答案】9【解析】平行四边形 ABCD 中， 因为 AB ∥ CD ， 又因为 ∠DFC = ∠EF ， 所以△CDF ∽△ AE ，△CDF 的面积 ⎛ CD ⎫2 ⎛ EB + AE ⎫2△AEF 的面积 = AE ⎪ = AE ⎪ = 9 .⎝ ⎭ ⎝ ⎭【提示】利用△CDF ∽△AEF ，可求△CDF 的面积. △AEF 的面积【考点】相似三角形的判定与性质 三、解答题16. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）304【解析】（Ⅰ） f ⎛ 5π ⎫ = A sin ⎛ 5π + π ⎫ = 3 ，所以 A⎪ ⎝ ⎭ = 3 ，212 4 ⎪ 2所以 A = 3 .+ ln a 20 33 212 4 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f (x ) =3 sin ⎛ x + π ⎫ ，4 ⎪ ⎝ ⎭所以 f (θ ) + f (-θ ) = 3 sin ⎛θ + π ⎫ + 3 sin ⎛-θ + π ⎫ = 3 ，4 ⎪ 4 ⎪ 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 3[(sin θ + cos θ ) + (-sin θ + cos θ )] = 3，2∴ 6 cos θ = 3 ， cos θ =6. 2 4 又θ ∈⎛ 0, π ⎫ ，2 ⎪ ⎝ ⎭所以sin θ ==10 ，4f ⎛ 3π -θ ⎫= 3sin (π -θ ) = 3 sin θ = 30 .⎪ ⎝ ⎭【提示】（Ⅰ）由函数 f (x ) 的解析式以及 f ⎛ 5π ⎫ = 3 ，求得 A 的值. ⎪ ⎝ ⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 f (x ) =3 s in ⎛ x + π ⎫ ，根据 f (θ ) + f (-θ ) = 3 ，求得cos θ 的值，再由θ ∈⎛ 0, π ⎫，求4 ⎪ 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭得sin θ 的值，从而求得 f ⎛ 3π - θ ⎫ 的值. 4 ⎪ ⎝ ⎭【考点】三角函数求值，同角三角函数的基本关系17. 【答案】（Ⅰ）由题意可得n 1 =7， n 2 =2， f 1 =0.28， f 2 =0.08. （Ⅱ）样本频率分布直方图如图所示：（Ⅲ）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35］的概率 0.2.设所取的 4 人中，日加工零件数落在区间（30，35］的人数为ξ ，则ξ ~ B (4,0.2) ，1- cos 2 θ 4 2CD = D 3 ⎨ 0, 0 P (ξ ≥1) =1- P (ξ = 0) =1- (1- 0.2)4 =1- 0.4096 = 0.5904 .所以 4 人中，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30，50］的概率约为 0.5904. 【提示】（Ⅰ）利用所给数据，可得样本频率分布表中 n 1，n 2，f 1 和 f 2 的值. （Ⅱ）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图. （Ⅲ）利用对立事件可求概率.【考点】频率分布表，频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式18. 【答案】（Ⅰ） PD ⊥ 平面ABCD ，∴PD ⊥ AD .又CD ⊥ AD ， PD ， ∴ AD ⊥ 平面PCD ，∴ AD ⊥ PC . 又 AF ⊥ PC ，∴PC ⊥ 平面ADF ，即CF ⊥ 平面ADF .（Ⅱ）设 AB =1 ，则 Rt △PDC 中， CD =1，又∠DPC = 30︒ ，∴PC = 2，PD = .由（Ⅰ）知CF ⊥ DF ，∴ DF = ∴CF = 3 ， AF = 2= 1 . 2= 7 ， 2又 FE ∥CD ， ∴ DE = CF = 1 ， PD PC 4∴ DE =3，同理 EF = 3 ， CD = 3 . 44 4 如图所示，以 D 为原点，建立空间直角坐标系，则 A (0,0,1)，E ⎛ 3 ,0,0 ⎫ ， F ⎛ 3 , 0 ⎫， P ( 3,0,0) C (0,1,0) . 4 ⎪ , ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ 4 4 ⎭⎧⎪m ⊥ AF⎧ ⎛ ⎪ AE =3 ⎫4 , 0, 0 ⎪ 设 m = (x , y , z ) 是平面 AEF 的法向量，则⎨ ⎪⎩m ⊥ EF ，又⎪ ⎝ ⎭，⎪EF = ⎛ 3 ⎫ , ⎪ ⎩⎝ 4 ⎭ AD 2 + DF 2 AC 2 - AF 234 319 ⨯2⎧⎪m AF =所以⎨3x -z = 04 ，令x = 4 ，得z =3 ，m = (4,0, 3) .⎪m EF =3 y = 0⎩⎪ 4由（Ⅰ）知平面ADF 的一个法向量PC = (-3,1,0) ，设二面角D -AF -E 的平面角为θ，可知θ为锐角，cosθ=| cos < = = 2 57 .19【提示】（Ⅰ）结合已知直线和平面垂直的判定定理可判CF ⊥平面ADF ，即得所求.（Ⅱ）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可.【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法19.【答案】（Ⅰ）a1= 3a2=5a3= 7（Ⅱ）an= 2n +1 (n ∈Ν )*【解析】（Ⅰ）又S3= 15 ，S2= 4a3- 20 ，S3=S2+a3= 5a3- 20 ，∴a3= 7 ，S2= 4a3- 20 = 8 .又S2=S1+ a2= (2a2- 7) +a2= 3a2- 7 ，∴a2= 5 ，a1= S1= 2a2- 7 = 3 .综上知a1=3，a2=5，a3=7.（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想an= 2n +1 ，下面用数学归纳法证明.①当n = 1 时，结论显然成立；②假设当n =k(k ≥1) 时，a= 2k +1，则S = 3 + 5 + 7 ++ (2k +1) =[3 + (2k +1)]⨯k=k(k + 2) ，k k又S = 2ka -3k 2 - 4k ，∴k(k + 2) = 2ka2- 3k 2 - 4k ，k k +1 k +1解得 2 2ak +1= 4k + 6 ，∴ak +1= 2(k +1) +1 ，m PC >|=m PCm PC5 2 即当n = k +1时，结论成立. 由①②知，当n ∈ Ν* 时， a n = 2n +1 .【提示】（Ⅰ）在数列递推式中取 n = 2 得一个关系式，再把 S 3 变为 S 2 + a 3 得另一个关系式，进而可求a 3 ， 然后把递推式中 n 取 1，再结合 S 3 = 15 可求得a 1，a 2 .（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的a 1，a 2，a 3 的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明. 【考点】数列的项，数学归纳法求数列的通项公式2 20.【答案】（Ⅰ） x + y= 9 4（Ⅱ） x 2 + y 2=13【解析】（Ⅰ）可知c = ，又 c = 5，a 3∴a = 3 ， b 2 = a 2 - c 2 = 4，x 2 所以椭圆 C 的标准方程为y 2 + = 1. 9 4（Ⅱ）设两切线为l 1 ， l 2 .①当l 1 ⊥ x 轴或l 1∥x 轴时，对应l 2∥x 轴或l 2 ⊥ x 轴，可知 P (±3, ±2) .②当 l 与 x 轴不垂直且不平行时， x ≠ ±3 ，设 l 的斜率为 k ，则 k ≠ 0 ， l 的斜率为- 1， l 的方程为1 0 12 2y - y = k (x - x ) ，联立 x + y = ，2 k 1 0 09 41得(9k 2 + 4)x 2 +18( y - kx )kx + 9( y - kx )2- 36 = 0 .0 0 0 0因为直线与椭圆相切，所以∆= 0 ，得9( y - kx )2 k 2 - (9k 2 + 4)[( y - kx )2- 4] = 0 ，∴-36k 2 +4( y - kx )2- 4 = 0 ，∴(x 2 - 9) k 2 -2x y k + y 2 - 4 = 0 ，0 0所以 k 是方程(x 2 - 9) x 2 -2x y x + y 2- 4 = 0 的一个根，0 0同理- 1 是方程(x 2 - 9) x 2 -2x y x + y 2- 4 = 0 的另一个根，k 0∴ ⎛ - 1 ⎫ = y 2- 40 0 0k ⎪ 0 ，得 x 2 + y 2 =13 ，其中 x ≠ ±3 ， ⎝ k ⎭x 2 - 9 0 0 0所以点 P 的轨迹方程为 x 2 + y 2=13(x ≠ ±3) ，1-2 - k 2 - k 2 - k 2 ⎣ (x + 2x + k ) + 2(x + 2x + k ) - 3⎦-k -k 2 - k 2 - k 因为 P (±3, ±2) 满足上式.综上知：点 P 的轨迹方程为 x 2 + y 2=13 .【提示】（Ⅰ）根据焦点坐标和离心率求得 a 和b ，则椭圆的方程可求得.（Ⅱ）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用 ∆= 0 ，得出 k 和- 1 是(x 2 - 9) x 2 -2x y x + y 2- 4 = 0k 0的两个根，再利用韦达定理得出 x 0 和 y 0 的关系式，即 P 点的轨迹方程. 【考点】椭圆的标准方程，圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系0 0 021.【答案】（Ⅰ） (-∞, -1- 2 - k )（Ⅱ） f (x ) 的单调递增区间为(-∞, -1- 2 - k ) 和(-1, -1+ 2 - k )f (x ) 的单调递减区间为(-1- -2 - k , -1) 和(-1+ 2 - k , +∞)（Ⅲ） (-1- -2k - 4, -1- -2 - k ) (-1- -2 - k , -3) (1, -1+ -2 - k ) (-1+ 2 - k ,-1+ -2k - 4)【解析】（Ⅰ）由题意可知(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2+ 2x + k ) - 3 > 0 ，[(x 2 + 2x + k ) + 3] [(x 2 + 2x + k ) -1] > 0 ，∴x 2 + 2x + k < -3或 x 2 + 2x + k >1，∴(x +1)2 < -2 - k (-2 - k > 0) 或(x +1)2 > 2 - k (2 - k > 0) ，∴| x +1|< 或| x +1|> ，∴-1- x < -1 或 x < -1- 或 x > -1+ .所以函数f (x ) 的定义域 D 为(-∞, -1- 2 - k ) (-1- -2 - k , -1+ -2 - k ) (-1+ -2 - k , +∞) .（Ⅱ） f '(x ) =- ⎡=-2(x 2 + 2x + k )(2x + 2) + 2(2x + 2)2 2 2 ⎤3(x 2 + 2x + k +1)(2x + 2) ⎡ (x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k ) - 3⎤3， ⎣ ⎦由 f '(x ) > 0 得(x 2+ 2x + k +1)(2x + 2) < 0 ，即(x +1+ k )(x +1-k )(x +1) < 0 ，∴ x < -1- 或-1 < x < -1+ ，结合定义域知 x < -1- 或-1< x < -1+ .(-1- -2 - k , -1+ -2 - k ) (-1+ -2 - k , +∞) -2 - k -2 - k 2 - k2 - k 所以函数 f (x ) 的单调递增区间为(-∞, -1- 2 - k ) ， (-1, -1+ 2 - k ) ，同理递减区间为(-1- -2 - k , -1) ， (-1+ 2 - k , +∞) .（Ⅲ）由 f (x ) = f (1)得(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k ) - 3 = (3 + k )2+ 2(3 + k ) - 3 ，∴[(x 2 + 2x + k )2 - (3+k )2 ] +2[(x 2 + 2x + k ) - (3+k )] = 0 ，∴(x 2 + 2x + 2k + 5)(x 2 + 2x - 3) = 0 ，∴(x +1+ -2k - 4)(x +1- -2k - 4)(x + 3)(x -1) = 0 ，∴ x =1- -2k - 4 或 x =1+ -2k - 4 或 x = -3或 x = 1 ，∴k < -6 ， ∴1∈(-1, -1+-2 - k ) ， -3∈(-1- -2 - k , -1) ，-1- -1- -1+ > -1+ ，结合函数 f (x ) 的单调性知 f (x ) = f (1) 的解集为：(-1- -2k - 4, -1- -2 - k ) (-1- -2 - k , -3) (1, -1+ -2 - k ) (-1+2 - k ,-1+ -2k - 4) .【提示】（Ⅰ）由题意可知(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2+ 2x + k ) - 3 > 0 ，又k < -2 ，解不等式即可求出函数的定义域.（Ⅱ）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论. （Ⅲ）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集.【考点】函数的定义域，导数的运算，利用导数求函数的单调性，函数单调性的应用-2k - 4 2 - k -2k - 4。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃= A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z= A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等 5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0）B. （1,-1,0）C. （0,-1,1）D. （-1,0,1）6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107.若空间中四条两两不同的直线1234,,,,l l l l 满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥则下面结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．14,l l 既不垂直也不平行 D ．14,l l 的位置关系不确定小学 初中 高中 年级O8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.z===3 3．（5分）（2014•广东）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小，解得，，解得，4．（5分）（2014•广东）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1﹣=1﹣=15．（5分）（2014•广东）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）解：不妨设向量为．若==，不满足条件．．若==．若=，不满足条件．．若==6．（5分）（2014•广东）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（），7．（5分）（2014•广东）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，8．（5分）（2014•广东）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，+二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9．（5分）（2014•广东）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．，可得10．（5分）（2014•广东）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y=﹣5x+3．．11．（5分）（2014•广东）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．中任取七个不同的数，有种方法，不同的数即可，有=故答案为：．12．（5分）（2014•广东）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=2．=213．（5分）（2014•广东）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…lna20=50．=（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（2014•广东）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．【几何证明选讲选做题】15．（2014•广东）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=9．可得=．∴=∴（三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．），求得sin）﹣x+（+）=A=A=sin）sin+=2sin cos= =）．（=﹣+==．17．（13分）（2014•广东）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表1212（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．为事件的概率为=，），的概率为．18．（13分）（2014•广东）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．PD=AF=，，又∴EF=CD=，（，（=，∴，∴=，的一个法向量为（＜＞=19．（14分）（2014•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式．，，∴20．（14分）（2014•广东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．）依题意知+++21．（14分）（2014•广东）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．＞x+1＞解得﹣＜，即﹣1+综上函数的定义域为（﹣）x+1+）﹣或﹣1+﹣1+﹣x+1+）1+1+）∈﹣1+1+）﹣1+。

2014年广东高考理科数学参考答案与解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的元素及并集运算问题，要注意正确运用集合的基本运算，认清集合中的元素，避免遗漏元素而出错.【解析】∵{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，∴{1,0,1,2}M N =-，故选B .2.D 【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，关键是正确掌握复数的运算法则与性质.【解析】∵(34)25i z -=，∴2534z i =-=25(34)(34)(34)i i i +-+=34i +，故选D . 3．C 【命题意图】本题主要考查线两直线交点的解法、二元不等式组的解法及性规划问题，关键是作出如图所示的可行域，并正确判断目标函数2z x y =+经过两直线1x y +=与1y =-交点(2,1)B -时，值最大；经过两直线y x =与1y =-交点(1,1)A --时，值最小.【解析】由题画出如图所示的可行域；由图可知当直线2z x y =+经过点(2,1)B -时，max 2213z =⨯-=，当直线2z x y =+经过点(1,1)A --时，min 2(1)13z =⨯--=-，所以6M N -=，故选C .2246510y = -1x +y -1=0y = x B ACO4. D 【命题意图】本题主要考查了双曲线的几何意义. 【解析】∵09k <<，∴90k ->，250k ->，∴曲线221259x y k +=-与221259x y k +=-均是双曲线，且222c a b =+=25(9)k +-=(25)9k -+，即焦距相等.故选D.5．B 【命题意图】本题主要考查了空间向量坐标运算和夹角求解，关键是正确掌握空间向量坐标运算的法则.【解析】∵(1,0,1)=-a ，设所求向量为(,y,z)x =b ，由题意得：||||cos60⋅=a b a b ，∴(1,1,0)=-b .故选B .6. A 【命题意图】本题主要考查了统计图表中的扇形统计图和条形统计图以及分层抽样的理解.【解析】由题意知：该地区中小学生总人数为：35004500200010000++=人，所以样本容量为100002%200⨯=，应抽取高中生人数为：420040794⨯=++，所以抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=人.故选A.7. D 【命题意图】本题主要考查了立体几何空间中直线位置关系的判定.【解析】如图所示的正方体A B C DA B C D ''''-中，令1l 为AA '，2l 为BC ，当3l 为CC '时， 1334l l l l ⎫⇒⎬⊥⎭∥14l l ⊥，则选项A 成立，当3l 为CD 时，则4l 可以为对角线BC '或BB '或B C ''，1l 与4l 是异面直线或平行或垂直，所以1l 与4l 位置关系不确定.故选D. CC'D'B'A'D A B8. D 【命题意图】本题主要考查了集合中的新定义、计数原理、排列组合及绝对值不等式的性质，旨在考查创新意识和创新能力.【解析】由新定义知：12345,,,,x x x x x 中至少有两个0，至多有4个0，只含2个0时有2352C 个，只含3个0时有3252C 个，只含4个0时有452C 个，共130个，故选D. 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．{|32}x x x ≤-≥或 【命题意图】本题主要考查了含两个绝对值的不等式的解法.【解析】当2x <-时，125x x -+--≥，解得3x ≤-，又2x <-，∴3x ≤-；当21x -≤<时，125x x -+++≥，原不等式无解；当1x ≥时，125x x -++≥，解得2x ≥，又1x ≥，∴2x ≥；10.530x y +-=【命题意图】本题主要考查了导数的几何意义、曲线切线方程的求解及点斜式直线方程的应用.【解析】由题知：55x y e -'=-，∴(0)5k f '==-，由点斜式直线方程的曲线切线方程为：35y x -=-，即530x y +-=.11．16【命题意图】本题主要考查了利用排列组合知识处理古典概型概率的计算以及中位数概念的理解. 【解析】由题意得：所有的基本事件有731010120C C ==个，其中中位数是6的事件有3620C =个，所求概率为20120P ==1612．2【命题意图】本题主要考查了【解析】∵b B c C b 2cos cos =+，由余弦定理化角为边得：222222222a b c a c b b c b ab ac+-+-⋅+⋅=，即2a b =，故2a b =. 13．50【命题意图】本题主要考查了等比数列的性质与自然对数的运算性质.【解析】由题意得，51011912120a a a a a a e ===，又∵0n a >，∴1220ln ln ln a a a +++=1220ln()a a a =10120ln()a a =510ln e ⨯=50.（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14. (1,1)【命题意图】本题主要考查了极坐方程与直角坐标方程相互转化及曲线交点直角坐标的求解.【解析】 由2sin cos ρθθ=得sin sin 1cos θρθθ⨯=，将sin y ρθ=，tan y xθ=代入上式，得2y x =，由sin 1ρθ=得1y =，解方程组21y x y ⎧=⎨=⎩得曲线1C 和2C 交点的直角坐标为(1,1). 15.9【命题意图】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的运用.【解析】∵2EB AE =，∴1133AE AB CD ==，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CDF AEF ∆∆，∴2()9CDF CD AEF AE∆==∆的面的面积积.积 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. 【命题意图】本题主要考查了三角函数的相关知识，即给角求值、诱导公式、两角和差公式及平方关系，重点考查知识的应用与计算能力以及传化思想.【解析】（1）∵()sin()3f x A x π=+，x R ∈，532()122f π=. ∴532sin()=1232A ππ+,即332sin =42A π，∴3A =； （2）由（1）知()3sin()3f x x π=+，又∵()()3f f θθ--=，(0,)2πθ∈， ∴3sin()3sin()333ππθθ+--+=，∴3sin()3sin()333ππθθ++-=， ∴13133sin cos sin cos 22223θθθθ++-=，所以3sin 3θ=，又∵(0,)2πθ∈， ∴2cos 1sin θθ=-=231()3-=63， ∴()6f πθ-=3sin()63ππθ-+=3cos θ=6. 【点评】本题综合了三角函数的相关知识，涉及了振幅的求解，特殊三角函数值，诱导公式，两角和差公式以及同角三角函数关系，特别要注意三角函数值的符号是由角所在象限来决定的.17. 【命题意图】本题主要考查了概率统计中的相关知识，即频率分布表和频率分布直方图，以及互斥事件和对立事件概率的求解，重点考查概率统计知识的应用能力和统计学的基本思想，即分析样本数据和处理样本数据的能力，从而估计总体数据特征的思想.【解析】【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率统计问题来考查,本题是概率统计知识的交汇题，涉及样本数据的收集，处理和分析的整个过程，如频率分布表和频率分布直方图，互斥事件和对立事件概率的求解.18. 【命题意图】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与空间角，即空间几何体中二面角的体积计算，旨在考查逻辑推理能力、空间想象能力和化归思想.【解析】【点评】本题通过矩形ABCD 与三角形PCD 为载体，以折叠为手段，把立体几何的相关知识交汇在一起，折叠问题是立几常考知识，特别注意折叠前后变化量和未变化量是解题的关键，利用空间向量为工具求解二面角是理数区别文数的一个重要特征.19. 【命题意图】本题主要考查了数列的通项n a 及其前n 项和n S 的关系，因式分解的应用、解方程组，重点考查逻辑思维、运算和化归能力.【解析】【点评】数列高考六大主考知识点之一，但新课标高考考查的难度已大为降低，所考查的热点为利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求数列的通项公式，但要注意验证首项是否成立，否则出错.20. 【命题意图】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、平面向量垂直平行的性质、点的轨迹以及数形结合思想和化归思想，重在考查逻辑推理能力和计算能力.【解析】【点评】解析几何是必考题型,重点考查求圆锥曲线的方程、点的轨迹、直线与圆锥曲线的位置关系以及含参问题，其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求,并借助根的判别式及韦达定理进行转化.21. 【命题意图】本题主要考查了函数的定义域求解，恒成立问题，导数的运算、利用导数法研究函数的单调性与最值，分类讨论思想和根式不等式的解法，重点考查知识的综合应用能力和换元、化归思想.【解析】【点评】（1）求()f x 的定义域等价于222(2)2(2)30x x k x x k +++++->的解集，注意要把2(2)x x k ++看成一个整体，即换元思想；（2）求()f x 的单调性应转化为求222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-的单调性；（3）解不等式()(1)f x f >应利用函数的单调性穿脱函数符号，可以起到事半功倍的效果.切忌直接求解.。

2014广东高考文综文科数学试题分析许耀中有人说，得数学者得天下。

数学是在文科高考当中和文综一样，是最容易拉开分差的科目。

看过2014年整份试题后不难发现，今年广东文数卷延续了往年风格，具有重视基础，平稳过渡，简捷了当的特点，“单纯的”考察了对基本概念的理解和基本方法的运用，但是成绩并不理想。

在数学评卷组组长华南师范大学数学科学学院院长丁时进教授看来，2014年广东省高考数学试卷延续了近几年的命题风格，试卷结构和题型与往年保持一致，立足于考查基础知识、基本技能和基本的数学思维。

如文理科概率统计解答题分别考查茎叶图和频率分布直方图这些统计中的基本概念。

文理科最后三题题型与往年一致，但增加了灵活性，要求有较强的运算能力、归纳推理能力和对于知识灵活的综合运用能力。

解答题都有2-3个小问，其难度梯度设置合理，区分度更好。

附表1：以下为近3年广东高考文数的考点分布情况有方向性。

所以在广东省的各地模拟题中，广州、深圳、珠海、佛山、汕头的模拟题比较有参考价值。

除此之外，部分试题考察内容稍有变化：三角函数这题结合了充要条件来考察；初中概率高中再现：填空题考了一个初中的概率问题；未考最值出乎意料：解答题解析几何的第二问继续考轨迹方程，有地方教研室猜测解析几何第二问会结合三角形考察最值，但最终考察轨迹方程。

下面来具体看看各题情况:选择题部分：得分率较低的是第四题线性规划，第五题奇偶性判断，第七题三角函数，第九题点线面位置关系和第十题复数概念性质。

第四题考生在高考中不够重视，以草率的图应付，粗心失误较多。

第五题考生未能准确掌握判断方法与含义，丢分严重。

第七题有部分考生想当然做题，不够严谨，未能准确掌握三角函数性质。

第九题考生考虑角度不够全面，容易忽略死角，正确率不高。

第十题向来是新定义的题目，2013年的第十题饱受外界批评，因为2013年的第十题并非原创，而2013年理科的第八题则很有水平，今年第十题创新，水平提高，对考生的基础与运算要求有进一步提升。

2014年广东高考数学2014年广东高考数学考试是广东省历史上一次具有重要意义的考试。

作为高中生的重要选择之一，广东省的高考数学试卷给考生们带来了许多挑战。

这篇文档将全面分析2014年广东高考数学试卷的题目及解答，帮助读者更好地理解这次考试的难度和特点。

在2014年广东高考数学试卷中，共分为两个卷子，卷一和卷二。

卷一主要测试基础知识和技能，而卷二则更注重考察学生的综合运用能力。

下面将详细分析试卷中的各个题型。

题型一：选择题。

卷一中的选择题部分主要考察考生的基础知识和计算能力。

这些题目往往要求考生根据所给的条件，进行数据分析、计算求解等操作。

这一部分题目的难度适中，但需要考生具备扎实的数学基础和良好的计算能力。

其中有一道常考的选择题是关于数列的，考察考生对数列的理解和计算能力。

题型二：填空题。

卷一中的填空题部分主要考察考生对基础概念和定理的理解和应用能力。

这些题目通常要求考生运用所学的知识和技巧，填写适当的数字或符号，使得等式或不等式成立。

这一部分题目的难度较大，需要考生对基础知识的掌握程度有一定的要求。

其中有一道常考的填空题是关于平面几何的，考察考生对直线与平面的关系的理解和应用能力。

题型三：解答题。

卷一中的解答题部分主要考察考生的综合运用能力和解题思路。

这些题目通常要求考生根据所给的条件，进行问题分析、思路拓展和解题步骤的展开。

这一部分题目的难度较大，需要考生具备较强的数学思维和解题能力。

其中有一道常考的解答题是关于函数的，考察考生对函数的定义、图像与性质的理解和运用能力。

卷二中的题目种类更加丰富，主要包括应用题、证明题和开放性题目。

这些题目往往要求考生进行问题分析、模型建立、计算求解和结果解释等多个环节的综合运用。

这一部分题目的难度较大，需要考生具备较强的数学综合运用能力和解题思路。

其中有一道常考的应用题是关于统计与概率的，考察考生对统计与概率的理解和应用能力；还有一道常考的证明题是关于三角函数的，考察考生对三角函数的性质和定理的理解和证明能力；最后，一道常考的开放性题目是关于数论的，考察考生对数论的思维和推理能力。

2014年广东高考数学科试卷已经改完，以下是文科数学和理科数学的全省平均分：2014年文科数学全省平均分：75.09分2014年理科数学全省平均分：86.31分跟考后分析结果一致，今年无论文科还是理科，平均分会比去年低几分。

文科数学平均分比去年低2.85分，理科数学平均分比去年低4.1分。

广东高考命题组期望平均分落在90分左右，然而文科理科平均分都比期望值偏低，说明今年高考数学难度略偏大了点。

文科数学平均分只有75.09，如果说理科数学平均分还算合理，那么文科数学平均分绝对是个大跌眼镜的数据，本来今年的平均分应该比去年高一点才合理，但事与愿违。

其实文科数学命题组的用意很明确：大面积出简单的题，在小部分题目设置难度，既保证同学们得到一定的分数，又在一些题目上检验同学们的能力。

按理来说，突破及格线90分的同学应该不在少数，平均分也应该逼近90分才对。

唯一能解释这个75.09的是，我们广东的考生其实在容易题部分也丢了少分，说明我们的基础打得并不扎实，基础知识掌握得并不牢固。

我们试分析一下今年的文科数学试卷，难题部分就那么二十来分，就算这二十来分我们全不要了，这不影响你拿120几的高分吧？所以你一定要接受一个观点：难题并不会影响你拿高分，影响你拿高分的一定是基础！而且，当你把基础打得非常牢固，其实难题有时也会豁然开朗。

在此给2015届高考的同学们提个醒，我们还有一年的备考时间，一年能改变的东西非常多，我们应该好好利用接下来的一年时间，踏踏实实地掌握好基础知识，高考数学的每个模块都要认真复习，落实过关。

不懂的知识点要弄懂，弄懂后要熟练，熟练后要注意跟其他知识的联系结合。

要严格自己，如果你的目标是120或130，那平时就应该按照120或130的档次去要求和训练自己，来不得一点马虎。

数学是一门严谨的学科，学习的人应该抱以严谨的态度去对待。

随随便便，一知半解，是是而非是学不好数学的。

程剑彪2014/6/20。