2014年广东省高考数学试卷(理科)

绝密★启用前 试卷类型：B2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座 位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型A 填涂在答题卡相应位置上．将条形 码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用 铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再 作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A.{1,0,1}- B.{1,0,1,2}- C.{1,0,2}-D.{0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A.34i - B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是图1 图2A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A.{1,0,1}-B.{1,0,1,2}-C.{1,0,2}-D.{0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定小学生 3500名初中生4500名 高中生 2000名小学初中30 高中10 年级50 O近视率/%8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一，选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6，已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A ，200,20B ，100,20C ，200,10D ，100,107，若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二，填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

图1高中生2000名小学生3500名初中生4500名图2近视率/ %301050O 小学 初中 高中 年级2014年广东高考理科数学真题及答案一、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，满分40分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则{1,0,1}M =-{0,1,2}N =M N = A ． B ． C ． D ．{0,1}{1,0,2}-{1,0,1,2}-{1,0,1}-2．已知复数满足，则z (34)25i z +=z =A ． B ． C ． D ．34i -+34i --34i +34i -3．若变量满足约束条件， 且的最大值和最小值分别为和，则,x y 11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥2z x y =+m n m n -=A ．5 B ．6 C ．7 D ．84．若实数满足， 则曲线与曲线的 k 09k <<221259x y k -=-221259x y k -=-A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是(1,0,1)-a =a 60 A ． B ． C ． D ．(1,1,0)-(1,1,0)-(0,1,1)-(1,0,1)-6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2 %的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10 7．若空间中四条两两不同的直线，满足，，，则下列结论一定正确的是1234,,,l l l l 12l l ⊥23l l ⊥34l l ⊥A ． B ． C ．与既不垂直也不平行 D ．与的位置关系不确定14l l ⊥14//l l 1l 4l 1l 4l 8．设集合，那么集合中满足条件 (){}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=A “”的元素个数为1234513x x x x x ++++≤≤A ．60 B ．90 C ．120 D ．130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．A F E D C B图3（一）必做题（9 ~ 13题）9．不等式的解集为 ．125x x -++≥10．曲线在点处的切线方程为 ．25+=-x e y )3,0(11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ．12．在中，角所对应的边分别为. 已知，则ABC ∆C B A ,,c b a ,,b B c C b 2cos cos =+ ． =ba 13．若等比数列的各项均为正数，且，则{}n a 512911102e a a a a =+ ．1220ln ln ln a a a +++= （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和1C 2C 2sin cos ρθθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和sin 1ρθ=x 1C 2C 交点的直角坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形中，点在上且，与ABCD E AB 2EB AE =AC DE交于点，则＝ ． F CDF AEF ∆∆的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数，，且． ()sin()4f x A x π=+x ∈R 23)125(=πf （1）求的值；A （2）若，，求． 23)()(=-+θθf f )2,0(πθ∈)43(θπ-f图4P A BC ED F17．（本小题满分12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数频率 [25,30] 30.12 (30,35] 50.20(35,40]8 0.32(40,45] 1n 1f (45,50] 2n2f （1）确定样本频率分布表中和的值；121,,n n f 2f （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间的(30,35]概率．18．（本小题满分14分）如图4，四边形为正方形，平面， ABCD PD ⊥ABCD ，于点，∥，交于点．30DPC ∠= AF PC ⊥F FE CD PD E （1）证明：平面；CF ⊥ADF （2）求二面角的余弦值．D AFE --19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，满足，，且． {}n a n n S n S 21234n n S na n n +=--*n ∈N 315S =（1）求的值；123,,a a a （2）求数列的通项公式．{}n a20．（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为． 2222:1x y C a b +=(0)a b >>(5,0)53（1）求椭圆的标准方程；C （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方00(,)P x y C P C P 程．21.（本小题满分14分）设函数，其中．2221()(2)2(2)3f x x x k x x k =+++++-2k <-（1）求函数的定义域（用区间表示）；()f x D （2）讨论在区间上的单调性；()f x D （3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）．6k <-D ()(1)f x f >xx2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A B A D D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9. 10. 11.12. 2 13.50 (,3][2,)-∞-+∞ 530x y +-=16（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14. 15.9(1,1)三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）16. 解：（1），解得. 55233()sin()sin 12124322f A A A ππππ=+===3A =（2）由（1）得， ()3sin()4f x x π=+所以 ()()3sin()3sin()44f f ππθθθθ+-=++- 222233(cos sin )3(cos sin )6cos 22222θθθθθ=++-==所以，又因为，所以， 6cos 4θ=)2,0(πθ∈210sin 1cos 4θθ=-=所以. 331030()3sin()3sin()3sin 344444f ππθπθπθθ-=-+=-==⨯=17.（本小题满分12分）17. 解：（1），，，. 17n =22n =170.2825f ==220.0825f ==（2）所求的样本频率分布直方图如图所示：频率组距0.0400.0240.0160.0560.064P A B C E D F G H P A B C E DF x yz（3）设“该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间”为事件， (30,35]A ，即至少有1人的日加工零件数落在区间概率为.4()1(10.2)0.5904P A =--=(30,35]0.590418．（本小题满分14分）18.（1）证明：因为平面，平面，所以.PD ⊥ABCD AD ⊂ABCD PD AD ⊥因为在正方形中，又，所以平面.ABCD CD AD ⊥CD PD D = AD ⊥PCD 因为平面，所以.CF ⊂PCD AD CF ⊥因为，，所以平面.AF CF ⊥AF AD A = CF ⊥ADF （2）方法一：以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系D DP DC DA x y z 设正方形的边长为1，ABCD 则. 333(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(3,0,0),(,0,0),(,,0)444D A C P E F 由（1）得是平面的一个法向量.(3,1,0)CP =- BCDE 设平面的法向量为， AEF (,,)x y z =n ，， 3(0,,0)4EF = 3(,0,1)4EA =- 所以. 304304EF y EA x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ n n 令，则，，所以是平面的一个法向量. 4x =0y =3z =(4,0,3)=n AEF 设二面角的平面角为，且D AFE --θ(0,)2πθ∈所以， 43257cos 19219CP CP θ⋅===⨯⋅ n n 所以二面角的平面角的余弦值为. D AF E --25719方法二：过点作于，过点作于，连接.D DG AE ⊥G D DH AF ⊥H GH 因为，，，所以平面.CD PD ⊥CD ED ⊥ED AD D = CD ⊥ADE 因为∥，所以平面.FE CD FE ⊥ADE 因为平面，所以.DG ⊂ADE FE DG ⊥因为，所以平面.AE FE E = DG ⊥AEF 根据三垂线定理，有， GH AF ⊥所以为二面角的平面角. DHG ∠D AF E --设正方形的边长为1，ABCD 在△中，，，所以. Rt ADF 1AD =32DF =217DH =在△中，因为，所以，所以. Rt ADE 1124FC CD PC ==1344DE PD ==5719DG =所以， 226133133GH DH DG =-=025 30　35 40 45 50 日加工零件数所以， 257cos 19GH DHG DH ∠==所以二面角的平面角的余弦值为. D AF E --2571919.（本小题满分14分）19. 解：（1）当时，，2n =2123420S a a a =+=-又，所以，解得.312315S a a a =++=3342015a a -+=37a =当时，，又，解得.1n =11227S a a ==-128a a +=123,5a a ==所以.1233,5,7a a a ===（2） ①21234n n S na n n +=--当时， ②2n ≥212(1)3(1)4(1)n n S n a n n -=-----①②得.-12(22)61n n n a na n a n +=----整理得，即. 12(21)61n n na n a n +=-++1216122n n n n a a n n +-+=+猜想，. 以下用数学归纳法证明：21n a n =+*n ∈N 当时，，猜想成立；1n =13a =假设当时，，n k =21k a k =+当时，， 1n k =+21216121614161(21)232(1)122222k k k k k k k k a a k k k k k k k k+-+-+-++=+=++==+=++猜想也成立，所以数列的通项公式为，. {}n a 21n a n =+*n ∈N20.（本小题满分14分）20. 解：（1）依题意得，， 5c =53c e a ==所以，，3a =2224b a c =-=所以椭圆的标准方程为 C 22194x y +=（2）当过点的两条切线的斜率均存在时，P 12,l l 设，则 100:()l y y k x x -=-2001:()l y y x x k-=--联立， 2200194()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得，2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=所以，22220000(18)()4(49)[9()36]0k y kx k y kx ∆=--+--=整理得，2200()49y kx k -=+即，2220000(9)240x k x y k y --+-=因为，所以， 12l l ⊥201220419y k k x -==--整理得； 220013x y +=当过点的两条切线一条斜率不存在，一条斜率为0时，P 12,l l 为或，均满足. P (3,2)±(3,2)-±220013x y +=综上所述，点的轨迹方程为.P 2213x y +=21.（本小题满分14分）21. 解：（1）， 221()(23)(21)f x x x k x x k =+++++-由，得或，22(23)(21)0x x k x x k +++++->223x x k ++<-221x x k ++>即或，2(1)2x k +<--2(1)2x k +>-+所以或或，其中.1212k x k ----<<-+--12x k <---+12x k >-+-+2k <-所以函数的定义域.()f x (,12)(12,12)(12,)D k k k k =-∞---+⋃-----+--⋃-+-++∞（2）令，则， 222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-1()()f xg x =x D ∈，22()2(2)(22)2(22)4(1)(21)g x x x k x x x x x k '=+++++=++++令，解得，，，其中.()0g x '=11x k =---21x =-31x k =-+-2k <-因为，131********k x k k x k ---+<<----<-<-+--<<-+-+所以随的变化情况如下表：(),()g x g x 'xx (,12)k -∞---+ (12,1)k ----- 1-(1,12)k --+-- (12,)k -+-++∞()g x ' - +0 - + ()g x ↘ ↗ 极大值↘ ↗ 因为函数与在区间上的单调性相反，()y f x =()y g x =D 所以在和上是增函数，()f x (,12)k -∞---+(1,12)k --+-- 在和上是减函数.(12,1)k -----(12,)k -+-++∞（3）因为，所以，(1)(1)g x g x --=-+(1)(1)f x f x --=-+所以函数与的图象关于直线对称，()y f x =()y g x =1x =-所以.(1)(3)f f =-因为，所以.6k <-123112k k ----<-<<-+--①当时，(12,12)x k k ∈-----+--要使，则；()(1)f x f >(12,3)(1,12)x k k ∈-----⋃-+--②当时，(,12)(12,)x k k ∈-∞---+⋃-+-++∞令，即，，()(1)f x f =()(1)g x g =22(23)(21)(6)(2)x x k x x k k k +++++-=++令，则，22t x x k =++(1)t >(3)(1)(6)(2)t t k k +-=++整理得，即，222(815)0t t k k +-++=[(3)][(5)]0t k t k -+++=因为且，所以，即，1t >6k <-(5)t k =-+225x x k k ++=--所以，解得， 22250x x k +++=124x k =-±--(,12)(12,)k k ∈-∞---+⋃-+-++∞所以.()(1)(124)f x f f k ==-±--要使，则.()(1)f x f >(124,12)(12,124)x k k k k ∈-------+⋃-+-+-+--综上所述， 当时，在上满足条件的的集合为 6k <-D ()(1)f x f >x .(124,12)(12,3)(1,12)(12,124)k k k k k k -------+⋃-----⋃-+--⋃-+-+-+--。

姓名准考证号 ⎨ ⎩ - = - =绝密★启用前2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；6. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A .200,20B .100,20C .200,10D .100,10不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.7. 若空间中四条两两不同的直线l , l , l , l ,满足l ⊥l , l ⊥l , l ⊥l ,则下列结论一定4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、1234122334错涂、多涂的,答案无效.正确的是 ( )5. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.A. l 1⊥l 4B. l 1∥l 4一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M = {-1, 0,1} , N = {0,1, 2},则 M Y N = ()A .{0,1}B .{-1, 0, 2} C. l 1 与l 4 既不垂直也不平行D . l 1 与l 4 的位置关系不确定8. 设集合 A ={(x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) | x i ∈{ -1, 0,1},i = 1, 2,3, 4,5} , 那么集合 A 中满足条件“1≤| x 1 | + | x 2 | + | x 3 | + | x 4 | + | x 5 | ≤3 ”的元素个数为 ()A .60B .90C .{-1, 0,1, 2}D .{-1, 0,1}C .120D .1302.已知复数 z 满足(3 + 4i)z = 25 ,则 z = () A . -3 + 4iB . -3 - 4i ⎧ y ≤x , C. 3 + 4i D. 3 - 4i二、填空题：本大题共 7 小题,考Th 作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 3.若变量 x , y 满足约束条件⎪x + y ≤1, 且 z = 2x + y 的最大值和最小值分别为 m 和 n , ⎪y ≥-1,则 m - n = ()A .5B .6C .7D .8（一）必做题（9～13 题）9.不等式| x -1| + | x + 2 |≥5 的解集为.10.曲线 y = e -5 x + 2 在点(0,3) 处的切线方程为.4.若实数k 满足0＜k ＜9 ,则曲线 x y 2 x 21 与曲线 y2 1的 ()11. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率25 9 - k 25 - k 9为 .A .焦距相等B .实半轴长相等C .虚半轴长相等D .离心率相等12. 在△ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为a , b , c ,已知b cos C + c c os B = 2b ,则 a= . b5.已知向量a = (1, 0, -1) ,则下列向量中与a 成60ο 夹角的是 ()13. 若 等 比 数 列 {a } 的 各 项 均 为 正 数 , 且 a a+ a a = 2e 5 , 则 A . (-1,1, 0)B . (1, -1, 0)C . (0, -1,1)D . (-1, 0,1)nln a 1 + ln a 2 +… + ln a 20 =.10 119 12数学试卷 第 1 页（共 4 页） 数学试卷 第 2 页（共 4 页）-------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------在此卷上答题无效25 (x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2+ 2x + k ) - 3 + = > > (0, ) （二）选做题（14-15 题,考Th 只能从中选做一题）14. （ 坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中, 曲线 C 和 C 的方程分别为18.（本小题满分 13 分）如图,四边形 ABCD 为正方形, PD ⊥平面 ABCD ,12ρ sin 2θ = cos θ 和 ρ sin θ = 1 .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C 和C 的交点的直角坐标为 .∠DPC ＝30ο , AF ⊥PC 于点 F , FE ∥CD ,交 PD 于点 E .1 2 15.（几何证明选讲选做题）如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB ＝2 AE , AC 与 DE 交于点 F ,则 （Ⅰ）证明： CF ⊥平面 ADF ； （Ⅱ）求二面角 D -AF -E 的余弦值.∆CDF 的面积 = .∆AEF 的面积19.（本小题满分 14 分）设数列{a } 的前n 项和为 S ,满足 S= 2na - 3n 2 - 4n , n ∈ N *,且 S =15 .三、解答题：本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = A sin( x + π) , x ∈ R ,且 f ( 5π) = 3.nn（Ⅰ）求 a 1 , a 2 , a 3 的值； （Ⅱ）求数列{a n } 的通项公式.20.（本小题满分 14 分）nn +134 （Ⅰ）求 A 的值；12 2已知椭圆C ： x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 的一个焦点为( 5, 0) ,离心率为 3.（Ⅱ）若 f (θ ) + f (-θ ) = 3 ,θ ∈ π ,求 f (3π- θ ) .2 2 417.（本小题满分 13 分）（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点 P (x 0 , y 0 ) 为椭圆C 外一点,且点 P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程.随机观测生产某种零件的某工厂25 名工人的日加工零件数（单位：件）,获得数据如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：21.（本小题满分 14 分）设函数 f (x ) =,其中k < -2 .分组 频数 频率 （Ⅰ）求函数 f (x ) 的定义域 D （用区间表示）； [25,30] 3 0.12 （Ⅱ）讨论函数 f (x ) 在 D 上的单调性；(30,35] 5 0.20 （Ⅲ）若k < -6 ,求 D 上满足条件 f (x ) > f (1) 的 x 的集合（用区间表示）.(35,40] 80.32(40,45] n 1 f 1 (45,50]n 2f 2（Ⅰ）确定样本频率分布表中n 1 , n 2 , f 1 和 f 2 的值； （Ⅱ）根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图；（Ⅲ）根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率.数学试卷 第 3 页（共 4 页）数学试卷 第 4 页（共 4 页）2。

绝密★启用前试卷类型：A2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学 (理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，…。

一、选择题：…．1．已知集合M ={− 1，0，1}，N ={0，1，2}，则M ∪N =（ ） A ．{− 1，0，1} B ．{− 1，0，1，2} C ．{− 1，0，2}D ．{0，1}【B 】2．已知i 为虚数单位，复数z 满足(3 + 4i )z = 25，则z =（ ） A ．3 − 4i B ．3 + 4i C ．− 3 − 4i D ．− 3 + 4i【A 】3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x + y ≤1y ≥− 1且z = 2x + y 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M − m =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【C 】4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225 − y 29 − k = 1与曲线x 225 − k − y 29 = 1的（ ）A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等【D 】5．已知向量a =(1，0，− 1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是（ ） A ．(− 1，1，0) B ．(1，− 1，0)C ．(0，− 1，1)D ．(− 1，0，1)【B 】6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10【A 】7．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（ ） A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1，l 4既不垂直也不平行D ．l 1，l 4的位置关系不确定【D 】8．设集合A ={(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{− 1，0，1}，i = 1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|≤3”的元素个数为（ ） A ．60B ．90C ．120D ．130【D 】二、填空题：…．(一) 必做题(9～13题)9．已知x ∈R ，则不等式|x − 1|+|x + 2|≥5的解集为____________________． 【(− ∞，− 3]∪[2，+ ∞)（也可以写成{x ∈R |x ≤− 3，或x ≥2}）】10．曲线y = e − 5x + 2在点(0，3)处的切线方程为_____________________． 【5x + y − 3 = 0】小学生 3500名高中生 2000名初中生 4500名图1 图2级53111．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为_____________________．【1 6】12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知b cos C + c cos B = 2b，则ab= ______________________．【2】13．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11 + a9a12 = 2e5，则ln a1 + ln a2 + …+ ln a20 = ______________________．【50】(二) 选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρ sin2θ= cos θ和ρ sin θ = 1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为______________．【(1，1)】15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB =2AE，AC与DE交于点F，则△CDF的面积△AEF的面积= ______________．【9】三、解答题：…．A BCDEF图316．（本小题满分12分）已知函数f(x)= A sin(x +π4)，x∈R，且f(5π12)=32．（1）求A的值；（2）若f(θ)+ f(−θ)=32，θ∈(0，π2)，求f(3π4−θ)．【（1）3；（2）30 4．】解：（1）f(5π12)= A sin(5π12+π4)= A sin2π3= A sin(π−π3)= A sinπ3=32A =32，解得A =3．（2）f(θ)+ f(−θ)=3sin(θ +π4)+3sin(−θ +π4)=3sin(θ +π4)+3cos(θ +π4)=6[sin(θ +π4)·22+3cos(θ +π4)·22]=6sin[(θ +π4)+π4]=6sin(θ +π2)=6cos θ =32，解得cos θ =6 4．又θ∈(0，π2)，则sin θ = 1 − cos 2 θ=104．故f(3π4−θ)=3sin(π−θ)=3sin θ =304．17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0. 12(30，35] 5 0. 20(35，40]8 0. 32(40，45]n1f1(45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂（工人人数较多）任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．【（1）n1 = 7，n2 = 2，f1 = 0. 28，f2 = 0. 08；（2）如图所示；（3）0. 5904．】件数解：（1）依题意n1 = 7，n2 = 2，f1 = n1÷25 = 0. 28，f2 = n2÷25 = 0. 08．（2）绘制的频率分布直方图如图所示；（3）设在该厂任取4人中日加工零件数落在区间(30，35]有ξ人．则ξ服从二项分布B，且n = 4，p = 0. 2，即ξ～B(4，0. 2)．故所求概率为P(ξ≥1)= 1 −P(ξ = 0)= 1 − C400. 20(1 − 0. 2)4= 1 − 0. 4096 = 0. 5904．18．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC = 30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D−AF−E的余弦值．【（1）…；（2）25719．】 法二：（向量法，坐标系）解证：依题意AD ⊥CD ，又PD ⊥平面ABCD ，则PD ⊥AD ，PD ⊥CD ，则以DP →，DC →，DA →分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设CD = 2．（1）依题意 PC = 4，PD = 23，AD = AB = BC = 2．DA →=(0，0，2)，PC → =(0，2，0)−(23，0，0)=(− 23，2，0)，则 PC →·DA → = … = 0， 即PC →⊥DA →，故PC ⊥DA ．又PC ⊥AF ，故PC ⊥平面ADF ． （2）设 PF → = t PC →，则 PF → = t PC →= t [(0，2，0)−(23，0，0)]=(− 23t ，2t ，0)，AF → = AP → + PF →=[(23，0，0)−(0，0，2)]+(− 23t ，2t ，0) =(23(1 − t )，2t ，− 2)．又AF ⊥PC ，则 AF →·PC →=(23(1 − t )，2t ，− 2)·(− 23，2，0)= … = 0， 即4t − 3 = 0，解得t = 34，AF → =(32，32，− 2)．由（1）知 PC →=(− 23，2，0)是平面ADF 的一个法向量． 设m =(a ，b ，c )是平面AEF 的一个法向量，则m ⊥平面AEF ， 即m ⊥AF →，m ⊥EF →，又EF ∥DC ，则m ⊥DC →， 故 ⎩⎨⎧m ·AF → = 3a 2 + 3b 2 − 2c = 0m ·DC →= 2b = 0，令c =3 得m =(4，0，3)．则cos <m ，PC →> = … = − 83419= − 25719，显然所求二面角为锐角，故cos ∠D − AF − E =|cos <m ，PC →>|= 25719．19．（本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n = 2na n + 1 − 3n 2 − 4n ，n ∈N *，且S 3 = 15． （1）求a 1，a 2，a 3的值； （2）求数列{a n }的通项公式．【（1）a 1 = 3，a 2 = 5，a 3 = 7；（2）a n = 2n + 1．】解：（1）令n = 1，2得a 1 = S 1 = 2a 2 − 3 − 4，a 1 + a 2 = S 2 = 4a 3 − 12 − 8， 又a 1 + a 2 + a 3 = S 3 = 15，联立求解得a 1 = 3，a 2 = 5，a 3 = 7．（2）法一：（数学归纳法）由（1）猜想通项公式a n = 2n + 1，然后用数学归纳法证明．…．20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：x 2a 2 + y 2b 2 = 1（a ＞b ＞0）的一个焦点为(5,0)，离心率为 53． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【（1）x 29 + y 24= 1；（2）x 2 + y 2 = 13．】解：（1）依题意 ⎩⎪⎨⎪⎧c = 5e 2 = ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2= ⎝ ⎛⎭⎪⎫532= 59a 2 = b 2 + c 2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2 = 9b 2 = 4c 2 = 5，故C 方程为x 29 + y 24 = 1．（2）设过点P 且与C 相切的两直线为l 1和l 2． ① 若l 1和l 2中有一条斜率不存在（垂直于x 轴），则依题意另一条斜率为0（平行于x 轴），显然切点分别为椭圆长轴和短轴顶点， 此时点P 坐标为(±3，±2)．② 若l 1和l 2的斜率均存在，设l 1和l 2的斜率分别为k 1和k 2，过点P 与C 相切的直线l 斜率为k ，则l ：y − y 0 = k (x − x 0)，即y = k (x − x 0)+ y 0， 代入C 得4x 2 + 9[k (x − x 0)+ y 0]2 = 36，即(9k 2 + 4)x 2 + 18(y 0 − kx 0)kx + 9[(y 0 − kx 0)2 − 4]= 0，由l 与C 相切知Δ = 182(y 0 − kx 0)2 − 4(9k 2 + 4)9[(y 0 − kx 0)2 − 4]= 0， 对k 整理得(x 02− 9)k 2 − 2x 0y 0k +(y 02− 4)= 0（x 02≠±3）…（❀）， 依题意方程（❀）的两根即为k 1和k 2， 由一元二次方程根与系数关系得k 1·k 2 = y 02− 4x 02 − 9，又l 1⊥l 2，则k 1·k 2 = − 1，即 y 02− 4x 02 − 9= − 1，整理得x 02 + y 02 = 13（x 02≠±3）．综合①②并检验得所求点P 的轨迹方程为x 2 + y 2 = 13．21．（本小题满分14分）设函数f(x)=1(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3，其中k＜− 2．（1）求函数f(x)的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f(x)在D上的单调性；（3）若k＜− 6，求D上满足条件f(x)＞f(1)的x的集合（用区间表示）．【（1）(−∞，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，+ ∞)；（2）f(x)在(−∞，− 1 − 2 −k)和(− 1，− 1 +− 2 −k)上单调递增，在(− 1 −− 2 −k，− 1)和(− 1 + 2 −k，+ ∞)上单调递减；（3）(− 1 −− 2k− 4，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 3)∪(1，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，− 1 +− 2k− 4)．】解：（1）依题意得(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3＞0，即[(x2 + 2x + k)− 1][(x2 + 2x + k)+ 3]＞0，则x2 + 2x + k＜− 3，或x2 + 2x + k＞1，即(x + 1)2＜− 2 −k，或(x + 1)2＞2 −k，则|x + 1|＜− 2 −k，或|x + 1|＞ 2 −k，故− 1 −− 2 −k＜x＜− 1 +− 2 −k，或x＜− 1 − 2 −k，或x＞− 1 + 2 −k，又2 −k＞− 2 −k，则 2 −k＞− 2 −k，即− 1 − 2 −k＜− 1 −− 2 −k＜− 1 +− 2 −k＜− 1 + 2 −k，故所求定义域D为(−∞，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，+ ∞)．（2）法一：（导数法）依题意f'(x)= −2(x2 + 2x + k + 1)(x + 1) [(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3]3令f '(x)＞0得(x2 + 2x + k + 1)(x + 1)＜0，即[(x + 1)2−(−k)2](x + 1)＜0，则(x + 1 +−k)(x + 1 −−k)(x + 1)＜0，由数轴穿根法如图得x ＜− 1 − − k ，或− 1＜x ＜− 1 + − k ，结合定义域得f (x )在(− ∞，− 1 − 2 − k )和(− 1，− 1 + − 2 − k )上单调递增， 在(− 1 − − 2 − k ，− 1)和(− 1 + 2 − k ，+ ∞)上单调递减．法二：（复合函数单调性：同增异减）设v (t )= t 2 + 2t − 3，t (x )= x 2 + 2x + k ，则y (v )= 1v，显然y (v )是减函数． v (t )和t (x )的的对称轴分别为t = − 1和x = − 1，令t ＞−1得x 2 + 2x + k ＞− 1，即x 2 + 2x + 1＞− k ，则(x + 1)2＞− k ， 即|x + 1|＞− k ，解得x ＜− 1 − − k ，或x ＞− 1 + − k ，如图，根据复合函数的单调性复合法则及定义域得f (x )在(− ∞，− 1 − 2 − k )和(− 1，− 1 + − 2 − k )上单调递增， 在(− 1 − − 2 − k ，− 1)和(− 1 + 2 − k ，+ ∞)上单调递减． （3）令f (x ) = f (1)得1(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k )− 3 =1(3 + k )2+ 2(3 + k )− 3则(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k )− 3 =(3 + k )2 + 2(3 + k )− 3 整理得[(x + 1)2 −(− 2k − 4)](x + 2x − 3)= 0，即[x + 1 + − 2k − 4][x + 1 − − 2k − 4](x + 3)(x − 1)= 0解得x = − 1 + − 2k − 4，或x = − 1 − − 2k − 4，或x = − 3，或x = 1．tv (t ) ↗ ↘ ↘ ↗ v (x ) ↘ ↗ ↘ ↗ y (v ) ↘ ↘ ↘ ↘ y (x ) ↗↘ ↗ ↘由k＜− 6知−k＞6，则− 2 −k＞2， 2 −k＜− 2k− 4，故1∈(− 1，− 1 +− 2 −k)，− 3∈(− 1 −− 2 −k，− 1)，− 1 −− 2k− 4＜− 1 − 2 −k，− 1 +− 2k− 4＞− 1 + 2 −k，结合定义域及单调性知f(x)＞f(1)的解集为(− 1 −− 2k− 4，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 3)∪(1，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，− 1 +− 2k− 4)．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和学科网最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,10 7、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，zxxk 那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃= （ ）A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z= （ ）A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m= （ ）A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

绝密★启用前 试卷类型：A2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A ．{0,1}B ．{1,0,2}-C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1}- 2．已知复数z 满足(34)25i z +=，则z = A ．34i -+B ．34i --C ．34i +D ．34i -3．若变量,x y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -= A ．5B ．6C ．7D ．84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．焦距相等 B ．实半轴长相等错误！未找到引用源。

C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等5．已知向量(1,0,1)-a =，则下列向量中与a 成60夹角的是A ．(1,1,0)-B ．(1,1,0)-错误！未找到引用源。

2014年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.z===3 3．（5分）（2014•广东）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小，解得，，解得，4．（5分）（2014•广东）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1﹣=1﹣=15．（5分）（2014•广东）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）解：不妨设向量为．若==，不满足条件．．若==．若=，不满足条件．．若==6．（5分）（2014•广东）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（），7．（5分）（2014•广东）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，8．（5分）（2014•广东）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，+二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9．（5分）（2014•广东）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．，可得10．（5分）（2014•广东）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y=﹣5x+3．．11．（5分）（2014•广东）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．中任取七个不同的数，有种方法，不同的数即可，有=故答案为：．12．（5分）（2014•广东）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=2．=213．（5分）（2014•广东）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…lna20=50．=（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（2014•广东）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．【几何证明选讲选做题】15．（2014•广东）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=9．可得=．∴=∴（三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．），求得sin）﹣x+（+）=A=A=sin）sin+=2sin cos= =）．（=﹣+==．17．（13分）（2014•广东）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表1212（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．为事件的概率为=，），的概率为．18．（13分）（2014•广东）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．PD=AF=，，又∴EF=CD=，（，（=，∴，∴=，的一个法向量为（＜＞=19．（14分）（2014•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式．，，∴20．（14分）（2014•广东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．）依题意知+++21．（14分）（2014•广东）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．＞x+1＞解得﹣＜，即﹣1+综上函数的定义域为（﹣）x+1+）﹣或﹣1+﹣1+﹣x+1+）1+1+）∈﹣1+1+）﹣1+。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A 3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0222222:(1,0,1)(1,1,0)11:,,60,.2210(1)1(1)0B B -⋅-=∴++-⋅+-+答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x xx i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130,D .x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xe y 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220l n l n l n a a a +++= .51011912101112202019151201011:100:,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e =∴==+++=+++∴====答案提示设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sincos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 552332:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )444423cos sin 46cos 326cos ,(0,),42f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得10sin 4331030()3sin()3sin()3sin 3.44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率.(](]12120044472:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2);(3),30,50:10.120.88,130,503:1(0.88)(0.12)1().25n n f f C ======-=-=-解略根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为故至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则0022,CD 2,30,130,==1,213324,,,=,,,3,2222333319322EG .,7,,42231933193193622,()()474747EHG D AF E DPC CDF CF CD DE CF DE CP EF DC DE DF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅⋅======⋅⋅∴====-=为二面角的平面角设从而∥即还易求得EF=从而易得故3,476347257cos .1947319GH EHG EH ∴∠==⋅=12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),P(23,0,0),,(23,22,0),,,43331(,,0),(,0,0),ADF CP (3,1,0),2222AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,43257(4,0,3),.19||||219n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(5,0)，离心率为53，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.222220022002255:(1)5,,3,954,31.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数2221()(2)2(2)3f x x x k x x k =+++++-，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）. .解：（１）可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，22[(2)3][(2)1]0x x k x x k ∴+++⋅++->， 223x x k ∴++<-或221x x k ++>，2(1)2x k ∴+<--(20)k -->或2(1)2x k +>-(20)k ->，|1|2x k ∴+<--或|1|2x k +>-，12k ∴----<12x k <-+--或12x k <---或12x k >-+-， 所以函数()f x 的定义域D 为(,12)k -∞---(12,k ----12)k -+--(12,)k -+-+∞； （２）232222(2)(22)2(22)'()2(2)2(2)3x x k x x f x x x k x x k +++++=-+++++-23222(21)(22)(2)2(2)3x x k x x x k x x k ++++=-+++++-， 由'()0f x >得2(21)(22)0x x k x ++++<，即(1)(1)(1)0x k x k x +++-+<，1x k ∴<---或11x k -<<-+-，结合定义域知12x k <---或112x k -<<-+--， 所以函数()f x 的单调递增区间为(,12)k -∞---，(1,12)k --+--，同理递减区间为(12,1)k -----，(12,)k -+-+∞；（３）由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-，2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0x x k k x x k k ∴++-++++-+=， 22(225)(23)0x x k x x ∴+++⋅+-=，(124)(124)(3)(1)0x k x k x x ∴++--+---⋅+-=， 124x k ∴=----或124x k =-+--或3x =-或1x =， 6k <-，1(1,12)k ∴∈--+--，3(12,1)k -∈-----，12412k k ----<---，12412k k -+-->-+-， 结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f >的解集为(124,12)k k -------(12,3)k -----(1,12)k -+--(12,124)k k -+--+--．.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案．然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014广东，理1)已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∪N ＝( )． A ．{0,1} B ．{－1,0,2} C ．{－1,0,1,2} D ．{－1,0,1} 答案：C解析：由题意知M ∪N ＝{－1,0,1,2}，故选C.2．(2014广东，理2)已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( )． A ．－3＋4i B ．－3－4i C ．3＋4i D ．3－4i 答案：D解析：由已知得2525(34i)25(34i)34i 34i (34i)(34i)25z --====-++-，故选D. 3．(2014广东，理3)若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，+，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 答案：B解析：画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域)．作直线l 0：y ＝－2x ，平移直线l 0，由图形可知，当l 0经过可行域内的点A (2，－1)时，z 取最大值，即m ＝2×2＋(－1)＝3；当l 0经过可行域内的点B (－1，－1)时，z 取最小值，即n ＝2×(－1)＋(－1)＝－3，故m －n ＝3－(－3)＝6.故选B.4．(2014广东，理4)若实数k满足0＜k＜9，则曲线22=1259x yk--与曲线22=1259x yk--的()．A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等答案：A解析：因为0＜k＜9，所以方程22=1259x yk--与22=1259x yk--均表示焦点在x轴上的双曲线．双曲线22=1259x yk--中，其实轴长为10，虚轴长为，焦距为=22=1259x yk--中，其实轴长为，虚轴长为6，焦距为=因此两曲线的焦距相等，故选A.5．(2014广东，理5)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()．A．(－1,1,0) B．(1，－1,0)C．(0，－1,1) D．(－1,0,1)答案：B解析：对于A中的向量a1＝(－1,1,0)，1111cos||||2⋅===-〈，〉a aa aa a，a1与a 的夹角为120°，不合题意；对于B中的向量a2＝(1，－1,0)，2221cos||||2⋅===〈，〉a aa aa a，a2与a的夹角为60°，符合题意；对于C中的向量a3＝(0，－1,1)，3331cos||||2⋅===-〈，〉a aa aa a，a3与a的夹角为120°，不合题意；对于D中的向量a4＝(－1,0,1)，444cos1||||⋅===-〈，〉a aa aa a，a4与a的夹角为180°，不合题意，故选B.6．(2014广东，理6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()．图1图2A ．200,20B ．100,20C ．200,10D ．100,10 答案：A解析：由题图1知该地区中小学生的总人数为2 000＋4 500＋3 500＝10 000，因此样本容量为10 000×2%＝200.又高中生人数为2 000，所以应抽取的高中生人数为2 000×2%＝40.由题图2知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生近视人数为40×50%＝20.故选A.7．(2014广东，理7)在空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )．A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 答案：D解析：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，取l 1为BC ，l 2为CC 1，l 3为C 1D 1.满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3.若取l 4为A 1D 1，则有l 1∥l 4；若取l 4为DD 1，则有l 1⊥l 4.因此l 1与l 4的位置关系不确定，故选D.8．(2014广东，理8)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )．A ．60B ．90C ．120D ．130 答案：D解析：由已知得|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|的取值可能为1,2,3. ①若|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝1.则x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中必有一个数为1或－1，其余四个数为0，因此共有1152C C 10⋅=种取值可能．②若|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝2，则x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中必有三个数为0，其余两个数为1或－1.若两数均为1，则有25C 种；若两数均为－1，则有25C 种；若两数中一个为1，另一个为－1，则有2152C A ⋅种，因此共有22215552C C C A 40++⋅=种取值可能．③若|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝3，则x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中必有两个数为0，其余三个数为1或－1.若三个数均为1，则有35C 种；若三个数均为－1，则有35C 种，若三个数中有一个1、两个－1，则有3153C C ⋅种；若三个数中有两个1、一个－1，则有3253C C ⋅种．因此共有333133555352C C C C C C 80++⋅+⋅=种取值可能．综上，满足条件的元素个数为10＋40＋80＝130.故选D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．(2014广东，理9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________． 答案：{x |x ≥2或x ≤－3}解析：原不等式可化为以下三个不等式组：(1)1125x x x ≥⎧⎨-≥⎩，++；(2)21(2)5x x x ≤-⎧⎨--≥⎩，+；(3)2112 5.x x x -<<⎧⎨-≥⎩，++解(1)得x ≥2；解(2)得x ≤－3，(3)无解，因此原不等式的解集为{x |x ≥2或x ≤－3}．10．(2014广东，理10)曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为________． 答案：5x ＋y －3＝0解析：因为y ＝e －5x ＋2，所以y ′＝－5e －5x ，因此曲线在点(0,3)处的切线的斜率为k ＝－5e －5×0＝－5，故所求切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.11．(2014广东，理11)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．答案：16解析：从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，共有710C 种不同的取法．当这七个数的中位数是6时，应该有3个比6小的数，还有3个比6大的数，因此一共有3363C C ⋅种不同的取法，故所求概率3363710C C 201C 1206P ⋅===. 12．(2014广东，理12)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________. 答案：2解析：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以由正弦定理可得 sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ， 即sin(B ＋C )＝2sin B ，所以sin(π－A )＝2sin B ，即sin A ＝2sin B . 于是a ＝2b ，即2ab=. 13．(2014广东，理13)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案：50解析：因为{a n }为等比数列，所以由已知可得a 10a 11＝a 9a 12＝a 1a 20＝e 5， 于是ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2a 3…a 20)， 而a 1a 2a 3…a 20＝(a 1a 20)10＝(e 5)10＝e 50， 因此ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln e 50＝50.(二)选做题(14－15题，考生只能从中选做一题)14．(2014广东，理14)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________．答案：(1,1)解析：由ρsin 2θ＝cos θ可得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，因此y 2＝x ，即曲线C 1的直角坐标方程为y 2＝x ；由ρsin θ＝1可得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝1.解方程组21y x y ⎧⎨⎩=，=，可得11x y ⎧⎨⎩=，=，所以两曲线交点的直角坐标为(1,1)．15．(2014广东，理15)(几何证明选讲选做题)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝________.答案：9解析：因为ABCD 是平行四边形，所以AB ∥DC ，且AB ＝DC ，于是△CDF ∽△AEF ，且3CD AB AE AE ==，因此29CDF CD AEF AE ∆⎛⎫== ⎪∆⎝⎭的面积的面积. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)(2014广东，理16)已知函数π()sin 4f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R ，且5π3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求A 的值；(2)若()3()2f f θθ-+＝，π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求3π4f θ⎛⎫-⎪⎝⎭.解：(1)∵π()sin 4f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且5π3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5π5ππ2πsin sin 121243f A A ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝32A =.∴A =(2)∵π()4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，且()3()=2f f θθ-+， ∴()ππ()44f f θθθθ⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ππππsin coscos sin sin cos cos sin 4444θθθθ⎤⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦π32cos sin =42θθ，∴cos θ=，且π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.∴sin θ==.∵3π3ππ444f θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π θθ-17．(本小题满分13分)(2014广东，理17)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 8 0.32 (40,45] n 1 f 1 (45,50] n 2 f 2(1)确定样本频率分布表中n 1，n 2，f 1和f 2的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．解：(1)n 1＝7，n 2＝2，f 1＝0.28，f 2＝0.08； (2)样本频率分布直方图为：(3)根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.2. 设所取的4人中，日加工零件数落在区间(30,35]的人数为ξ，则ξ～B (4,0.2)， 所以，P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－0.2)4＝1－0.409 6＝0.590 4.故在该厂任取的4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,50]的概率为0.590 4. 18．(本小题满分13分)(2014广东，理18)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E .(1)证明：CF ⊥平面ADF ；(2)求二面角D －AF －E 的余弦值． (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥AD .又CD ⊥AD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AD ⊥平面PCD ， ∴AD ⊥PC .又∵AF ⊥PC ，AD ∩AF ＝A ，∴PC ⊥平面ADF ，即CF ⊥平面ADF .(2)解：设AB ＝1，则在Rt △PDC 中，CD ＝1，∠DPC ＝30°， ∴PC ＝2，PD . 由(1)知CF ⊥DF ，∴2DF =，12CF =.2AF ==，又FE ∥CD ，∴14DE CF PD PC ==，∴DE =. 同理3344EF CD ==.如图所示，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,1)，00E ⎫⎪⎪⎝⎭，，304F ⎫⎪⎪⎝⎭，，，P ，C (0,1,0)， 设m ＝(x ，y ，z )是平面AEF 的法向量，则,,AE EF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩m m又31,30,,0,4AE EF ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩∴30,430,4AE x z EF y ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩m m解得,40,x z y =⎪⎨⎪=⎩令x ＝4，得z =m =．由(1)知平面ADF的一个法向量为=(PC ， 设二面角D －AF －E 的平面角为θ，可知θ为锐角，∴||cos |cos |19||||19PC PC PC θ⋅====〈，〉m m m ， 故二面角D －AF －E . 19．(本小题满分14分)(2014广东，理19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n 得， S 2＝4a 3－20，S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20. 又S 3＝15，∴a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8. 又∵S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7， ∴a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3. 综上知a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，以下用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，结论显然成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥2)时，有a k ＝2k ＋1成立，则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝3(21)2k k ++⨯＝k (k ＋2)． 又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ， ∴k (k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ， 解得a k ＋1＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1， 即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．20．(本小题满分14分)(2014广东，理20)已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的一个焦点为，离心率为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)由题意可知c =c a =， ∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4.∴椭圆C 的标准方程为22=194x y +. (2)设两切线为l 1，l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时，对应l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴，可知P (±3，±2)．②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3，设l 1的斜率为k (k ≠0)，则l 2的斜率为1k-， 所以l 1的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立22=194x y +， 整理，得(9k 2＋4)x 2＋18(y 0－kx 0)kx ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0.∵直线与椭圆相切，∴Δ＝0，得9(y 0－kx 0)2k 2－(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0， ∴－36k 2＋4[(y 0－kx 0)2－4]＝0， ∴2220000(9)240x k x y k y --+-=.∴k 是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的一个根，同理1k-是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的另一个根， ∴2020419y k k x -⎛⎫⋅-= ⎪-⎝⎭，得220013x y +=，其中x 0≠±3，∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13(x ≠±3)， 又P (±3，±2)满足上式，故点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13. 21．(本小题满分14分)(2014广东，理21)设函数()f x =，其中k ＜－2.(1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示)； (2)讨论函数f (x )在D 上的单调性；(3)若k ＜－6，求D 上满足条件f (x )＞f (1)的x 的集合(用区间表示)． 解：(1)由题意可知(x 2＋2x ＋k )2＋2(x 2＋2x ＋k )－3＞0， ∴[(x 2＋2x ＋k )＋3]·[(x 2＋2x ＋k )－1]＞0， ∴x 2＋2x ＋k ＜－3或x 2＋2x ＋k ＞1，∴(x ＋1)2＜－2－k (－2－k ＞0)或(x ＋1)2＞2－k (2－k ＞0)，∴|1|x <+|1|x >+∴11x -<<-1x <-或1x >- 故函数f (x )的定义域D 为(()(),112,1212,k kk -∞------+---+-+∞．(2)f ′(x )＝2+++++＝2+++由f ′(x )＞0得(x ＋2x ＋k ＋1)(2x ＋2)＜0，即(111)0x x x +++<，∴1x <-11x -<<-，结合定义域知1x <-11x -<<-，∴函数f (x )的单调递增区间为,1-∞-，1,1--+． 同理单调递减区间为()11--，()1-+∞． (3)由f (x )＝f (1)得(x 2＋2x ＋k )2＋2(x 2＋2x ＋k )－3＝(3＋k )2＋2(3＋k )－3，∴[(x 2＋2x ＋k )2－(3＋k )2]＋2[(x 2＋2x ＋k )－(3＋k )]＝0， ∴(x 2＋2x ＋2k ＋5)·(x 2＋2x －3)＝0，∴(11(3)(1)0x x x x ++⋅+-=，∴1x =-或1x =-或x ＝－3或x ＝1，∵k ＜－6，∴1(11∈--，，3(11)-∈--，11-<-11--结合函数f (x )的单调性知f (x )＞f (1)的解集为(()()1112,31,12(1+2,1+k kk --------+-----。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．学科网在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值学科网和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，学科网为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定小学 初中高中 年级 O8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（卷）（数学理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =U A.{1,0,1}- B.{1,0,1,2}- C.{1,0,2}- D.{0,1} 2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，10 7．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130小学 初中高中 年级 O二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。