2014中考备考数学总复习基础讲练 第16讲 多边形与平行四边形(含答案)

多边形和平行四边形一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=度，□ABCD的周长为cm．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为cm．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为．二、选择题4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB 6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．多边形和平行四边形参考答案与试题解析一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=50度，□ABCD的周长为24cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行边形性质中对角、对边相等可知，∠B=∠D=50°，平行四边形的周长=2（AB+BC）．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B∵∠B=50°∴∠D=50°②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD∵AB=5cm，BC=7cm∴□ABCD的周长为：2（AB+BC）=24cm．故答案为50、24．【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为8cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）=28，则AB+BC=14cm，而△ABC的周长=AB+BC+AC=22，所以AC=22﹣14=8cm．【解答】解：∵□ABCD的周长是28 cm∴AB+AD=14cm∵△ABC的周长是22cm∴AC=22﹣（AB+AC）=8cm故答案为8．【点评】在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择地使用，避免混淆性质，以致错用性质．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为2．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】作EF∥AB，交AD于F，可证ABEF、CDFE为平行四边形，又AE平分∠BAD，可进一步证明AB=BE，ABEF为菱形，则AF=AB=3，DF=5﹣3=2，则EC=2．【解答】解：过点E作EF∥AB，交AD于F∵在□ABCD，EF∥AB∴AB=EF，AF=BE∵∠FAE=∠BAE∴△AFE≌△ABE∴AB=BE=EF=AF∴ABEF为菱形∴EC=AD﹣AB=2．故答案为：2．【点评】此题综合性较强，考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、角平分线的定义等知识点．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称∴C点坐标为（2，﹣3）．故选D．【点评】主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键．5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB【考点】平行四边形的判定．【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是C【解答】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；B、根据平行四边形的定义即可判定，故正确；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误．D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确．故选C．【点评】此题主要考查对平行四边形的判定掌握的熟练程度．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对【考点】平行四边形的性质．【专题】应用题；压轴题．【分析】由于在平行四边形中，已给出条件MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此，MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，所以红、紫四边形的高相等，由此可证明S1S4=S2S3．【解答】解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，因为DE=AF，EC=FB，故A错误；S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以S1S4=S2S3，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的是平行四变形的性质，平行四边形两组对边分别平行且相等，同时充分利用等量相加减原理解题，否则容易从直观上判断B是正确的．7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．【解答】解：A、∵AD∥BC∴△AFD∽△EFB∴====4S△EFB；故S△AFDB、由A中的相似比可知，BF=DF，正确．C、由∠AEC=∠DCE可知正确．D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．故选：A．【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．∴∠ADE=∠CBF=60°．∵AE=AD，CF=CB，∴△AED，△CFB是正三角形．∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．∴∠ADE=∠CBF．∵AE=AD，CF=CB，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．∴∠AED=∠CFB．又∵AD=BC，在△ADE和△CBF中．，∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．又∵∠DAB=∠BCD，∴∠EAF=∠FCE．∴四边形EAFC是平行四边形．【点评】本题考查了等边三角形的性质及平行四边形的判定．多种知识综合运用是解题中经常要遇到的．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）先判定四边形AFGC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等的性质知AC=FG；然后由被平行线所截的线段对应成比例（==）求出PE与PG的数量关系，解答到此，来证明AC=PE+PF的问题就迎刃而解了．（2）推理类同于（1）．【解答】证明：（1）延长FP交DC于点G，∵AB∥CD，AC∥FG，∴四边形AFGC是平行四边形，∴AC=FG（平行四边形的对边相等），∵EG∥AC，∴==（被平行线所截的线段对应成比例）；又∵OA=OC，∴PE=PG，∴AC=FG=PF+PG=PE+PF；（2）若点P在BD延长线上，AC=PF﹣PE．如下图所示若点P在DB延长线上，AC=PE﹣PF．如下图所示．．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；解一元二次方程﹣公式法；勾股定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG 即可；（2）解法1：在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；解法2，通过△AEF∽△ACB，可将线段EF的长求出．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA．∴∠GAH=∠ECF，∴AG∥CE．又∵AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形．（2）解法1：在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，∴AC=5．∵CF=CB=3，∴AF=2．在Rt△AEF中，设EF=x，则AE=4﹣x．根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，即（4﹣x）2=22+x2．解得x=，即线段EF长为cm．解法2：∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，∴△AEF∽△ACB，∴．∴，解得，即线段EF长为cm．【点评】本题考查图形的折叠变化，关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．【考点】二次函数综合题；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函数可求出AE和PE，即可求出面积；（2）①此题应分情况讨论，因为两个动点运动速度不同，所以有点P与点Q都在AB 上运动、点P在BC上运动点Q仍在AB上运动、点P和点Q都在BC上运动三种情况，在每种情况下可利用三角函数分别求出我们所需要的值，进而求解．②在①的基础上，首先①求出函数关系式之后，根据t的取值范围不同函数最大值也不同．【解答】解：（1）当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．（2分）=；∴S△APE（2）①当0≤t＜6时，点P与点Q都在AB上运动，如图所示：设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=t，AP=t+2，AG=1+，PG=+t．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t+；②当6≤t＜8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4﹣，QF=t，BP=t﹣6，CP=10﹣t，PG=（10﹣t），而BD=4，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=﹣t2+10t﹣34，③当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20﹣2t，QF=（20﹣2t），CP=10﹣t，PG=（10﹣t）．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．（14分）故S关于t的函数关系式为；②（附加题）当0≤t＜6时，S的最大值为，（1分）当6≤t＜8时，S的最大值为6，（舍去），（2分）当8≤t≤10时，S的最大值为6，（3分）所以当t=8时，S有最大值为6．（如正确作出函数图象并根据图象得出最大值，同样给4分）【点评】此题解答需数形结合，把函数知识和几何知识紧密联系在一起，难易程度适中．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是S1×S3=S2×S4或．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题；新定义；开放型．【分析】（1）在BD上任选一点E（不与B、D重合），连接AE、CE即可；（2）根据等底等高，可得结论：①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②S1×S3=S2×S4或等．【解答】解：（1）比如：（2）①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②∵分别作△ABD与△BCD的高，h1，h2，则=，=，∴S1×S3=S2×S4或等．【点评】此题主要考查学生的阅读理解能力和对等底等高知识的灵活应用．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，则只需要在其中一条对角线上找到和对角线的交点不重合的点即可；（2）根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则可作对角线BD的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点即为所求作；（3）只需说明PD=PB即可．根据已知的条件可以根据AAS证明△DCF≌△BCE，则∠CDB=∠CBD，进而得到∠PDB=∠PBD，证明结论即可；（4）根据上述确定准等距点的方法：即作其中一条对角线的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点．所以分析讨论的时候，主要是根据两条对角线的位置关系进行分析讨论．【解答】解：（1）如图2，点P即为所画点；（1分）（2）如图3，点P即为所作点（作法不唯一）；（2分）（3）连接DB．在△DCF与△BCE中，∠DCF=∠BCE，∠CDF=∠CBE，CF=CE．∴△DCF≌△BCE（AAS），∴CD=CB，∴∠CDB=∠CBD，∴∠PDB=∠PBD，∴PD=PB，∵PA≠PC，∴点P是四边形ABCD的准等距点．（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．（7分）【点评】关键是熟悉菱形的性质，能够根据线段垂直平分线的性质的逆定理进行分析作图，能够根据找准等距点的方和四边形中两条对角线的位置关系判断准等距点的个数．14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因为BC⊥AC，所以DE也和AC 垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．【解答】解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．（2）如图4，如图5．（3）方法一：如图6，连接BE，∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．方法二：如图7，连接BE，PB，AE，∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，余下部分同方法一：方法三：如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，∵平行四边形PADC，∴AN=NC，PN=ND．∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，难易程度适中．。

中考数学平行四边形(讲义及答案)含答案一、解答题1．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．2．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，①BCF ∠= ；②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．．3．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．4．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．5．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．（1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．6．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：2DE =．7．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为 ；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．8．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形．①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．9．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12CBE ABF ∠=∠．（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；（2）如图2，当32b a =时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒【分析】（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．【详解】解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：∵DE BC ⊥，90DFE ∴∠=︒，∵90ACB ∠=︒，ACB DFB ∴∠=∠，//AC DE ∴，∵//MN AB ，即//CE AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，CE AD ∴=； D 为AB 中点，AD BD ∴=，BD CE ∴=，∵//BD CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，12CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，∵四边形BECD 是菱形，12ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，∴四边形BECD 是正方形．故答案为：45︒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．2．（1）①120°；② BC ＝CD +CF ；（2）不成立，见解析；（3）8，【分析】（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF ≌△ABD ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD ，再根据BD+CD=BC ，即可得出CF+CD=BC ；（2）依据△ABD ≌△ACF ，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB ∥CF ；依据△ABD ≌△ACF 可得BD=CF ，依据CD-BD=BC ，即可得出CD-CF=BC ；（3）依据≅△△ADB AFC ，即可得到8==+=CF BD BC CD ，利用ABC ∆是等边三角形，AH BC ⊥，可得132===BH HC BC ，即可得出HD 的长度，利用勾股定理即可求出AD 的长度，即可得出结论．【详解】解：（1） 在等边△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°∴∠BAD+∠DAC=60°在菱形ADEF 中AD=AF∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=60°∴∠CAF=∠DAB又∵AC=AB ，AF=AD∴△ACF ≌△ABD∴∠ACF=∠ABD=60°，CF=BD∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=120°故答案为：120°②∵BC=BD+CD ，BD=CF∴BD=CF+CD故答案为：BC=CD+CF（2）不成立理由：∵ABC ∆是等边三角形∴60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=，AB AC =又∵60DAF ∠=∴BAC BAF DAF BAF ∠-∠=∠-∠∴FAC DAB ∠=∠∵四边形ADEF 是菱形∴AD AF =∴≅△△ADB AFC∴DB FC =，18060120ACF ABD ∠=∠=-=∴1206060BCF ACF ACB ∠=∠-∠=-=∵BC CD BD =-∴BC CD CF =-（3）8=CF ，菱形ADEF 的面积是∵60BAC DAF ∠=∠=∴BAD CAF ∠=∠又∵AB AC =，AD AF =∴≅△△ADB AFC ∴16683CF BD BC CD ==+=+⨯=∴如图，过点A 作AH BC ⊥于点H ，连接FD∵ABC 是等边三角形，AH BC ⊥ ∴116322BH HC BC ===⨯= ∴325HD HC CD =+=+=∵22236927AH AB BH =-=-= ∴222725213AD AH DH ++=∴132221321326322AFD ADEF S S ∆==⨯⨯=菱形 【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定△DAB ≌△FAC 是解本题的关键．3．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；（2）由平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ；证明BC 是△EFG 的中位线，得出BC ∥FG ，BC ＝12FG ，证出AD ∥FH ，AD ∥FH ，由平行四边形的判定方法即可得出结论； （3）连接EH ，CH ，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．【详解】明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAE ＝∠BCD ＝70°，AD ∥BC ，∵∠DCE ＝20°，∵AB ∥CD ，∴∠CDE ＝180°﹣∠BAE ＝110°，∴∠DEC ＝180°﹣∠DCE ﹣∠CDE ＝50°；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∠BAE ＝∠BCD ，∵BF ＝BE ，CG ＝CE ，∴BC 是△EFG 的中位线，∴BC∥FG，BC＝12 FG，∵H为FG的中点，∴FH＝12 FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD∥FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（3）连接EH，CH，∵CE＝CG，FH＝HG，∴CH＝12EF，CH∥EF，∵EB＝BF＝12 EF，∴BE＝CH，∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，∵OC＝OH，∴OE＝OB＝OC＝12 BC，∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，∴EF⊥EG．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．4．（1）见解析；（23；（3）2【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE，BF=DF，可得∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF，可证BE∥DF，DE∥BF，可得四边形DEBF是平行四边形，即可得结论；（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF的长；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，根据菱形的性质得出∠DFH=∠ABC=30°，从而得到DH的长度，再利用底乘高得出结果．【详解】解：证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，BF=DF，∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=2，∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，∴DH=12DF=1，FH=3DH=3，∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠CDH=45°，∴DH=CH=1，∴FC=FH+CH=3+1；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，∵四边形BEDF是菱形，∠BDE=15°，∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，∴∠DFH=∠ABC=30°，∵DE=DF=2，∴DH=1，∴菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．5．（1）详见解析；（2）2BH AE =，理由详见解析【分析】1）如图1，连接DF ，根据对称得：△ADE ≌△FDE ，再由HL 证明Rt △DFG ≌Rt △DCG ，可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建AM=AE ，先证明∠EDG=45°，得DE=EH ，证明△DME ≌△EBH ，则EM=BH ，根据等腰直角△AEM 得：2EM AE =，得结论；【详解】证明：（1）如图1，连接DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA DC =，90A C ∠=∠=︒，∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，∴ADE ∆≌FDE ∆，∴DA DF DC ==，90DFE A ∠=∠=︒，∴90DFG ∠=︒，在Rt DFG ∆和Rt DCG ∆中，∵DF DCDG DG =⎧⎨=⎩∴Rt DFG ∆≌Rt DCG ∆（HL ），∴GF GC =；（2）2BH AE =，理由是：如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM AE =，∵AD AB =，∴DM BE =，由（1）知：12∠=∠，34∠=∠，∵90ADC ∠=︒，∴123490∠+∠+∠+∠=︒，∴222390∠+∠=︒，∴2345∠+∠=︒，即45EDG ∠=︒，∵EH DE ⊥，∴90DEH ∠=︒，DEH ∆是等腰直角三角形，∴190AED BEH AED ∠+∠=∠+∠=︒，DE EH =，∴1BEH ∠=∠，在DME ∆和EBH ∆中，1DM BE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DME ∆≌EBH ∆∴EM BH =，Rt AEM ∆中，90A ∠=︒，AM AE =，∴EM =，∴BH ；【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．6．（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析【分析】（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC 是等边三角形，从而求得α=∠DCE =30°．（2）因为△CED 是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF =18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过A 点与C 点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH 是平行四边形，求得△ABG ≌△ADH .从而求得矩形AGFH 是正方形，根据正方形的性质证得△AHD ≌△DIC ，从而得出结论．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE =CD ,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE =60°.又∵∠BCD =90°,∴α=∠DCE =30°.（2）∠BEF 的度数不发生变化.在△CED 中，CE =CD ,∴∠CED =∠CDE =1809022︒-αα︒-， 在△CEB 中,CE =CB ,∠BCE =90α︒-,∴∠CEB =∠CBE =1804522BCE α︒-∠=︒+, ∴∠BEF =18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过点A 作AG ∥DF 与BF 的延长线交于点G ，过点A 作AH ∥GF 与DF 交于点H ，过点C 作CI ⊥DF 于点I易知四边形AGFH 是平行四边形，又∵BF ⊥DF ，∴平行四边形AGFH 是矩形.∵∠BAD =∠BGF =90°，∠BPF =∠APD ，∴∠ABG =∠ADH .又∵∠AGB =∠AHD =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADH .∴AG =AH ，∴矩形AGFH 是正方形.∴∠AFH =∠FAH =45°，∴AH =AF∵∠DAH +∠ADH =∠CDI +∠ADH =90°∴∠DAH =∠CDI又∵∠AHD =∠DIC =90°，AD =DC ，∴△AHD ≌△DIC∴AH =DI ，∵DE =2DI ，∴DE =2AH AF【点晴】本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（1）AD＝AB+DC；（2）AB＝AF+CF，证明详见解析；（3）AB＝DF+CF，证明详见解析．【分析】（1）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），即可推出AB＝CF，再证明DA＝DF，即可解决问题．（2）结论：AB＝AF+CF，如图②，延长AE交DF的延长线于点G，证明方法类似（1）．（3）结论；AB＝DF+CF．如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明方法类似（1）．【详解】解：（1）探究问题：结论：AD＝AB+DC．理由：如图①中，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中，CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．故答案为AD＝AB+DC．（2）方法迁移：结论：AB＝AF+CF．证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC∴△AEB≌△GEC（AAS）∴AB＝GC∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠FAG，∵∠BAG∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∵CG＝CF+FG，∴AB＝AF+CF．（3）联想拓展：结论；AB＝DF+CF．证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥CF，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，BAE G AEB GEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△GEC ，∴AB ＝GC ，∵∠EDF ＝∠BAE ，∴∠FDG ＝∠G ，∴FD ＝FG ，∴AB ＝DF+CF ．【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．（1）①D 、E ，②A ，理由见解析；（2）①作图见解析；②BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为43，367，2或18． 【分析】（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义即可判断．（2）①以C 为圆心，CB 为半径画弧交AD 于F ，连接CF ，作∠BCF 的角平分线交AB 于E ，点E ，点F 即为所求．②分四种情形：如图①中，当BE AF =时；如图②中，当BE AF =时；如图③中，当BE BC AF ==时，此时点F 与D 重合；如图④中，当BE CB AF ==时，点F 与点D 重合，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义可知：①点A 与点D 和E 关于BC 互为顶针点；②点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，理由：如图2中，∵△BDC 是等边三角形，∴∠D ＝60°，∵AB ＝AC ，∠ABC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝120°，∴∠A ＋∠D ＝180°，∴点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，故答案为：D 和E ，A ．（2）①如图，点E 、F 即为所求(本质就是点B 关于CE 的对称点为F ，相当于折叠)．②BE 与AF 可能相等，情况如下：情况一：如图①，由上一问易知，,BE EP BC PC ==，当BE AF =时，设AE x =，连接EF ，∵,,90BE EP AF EF EF EAF FPE ===∠=∠=︒，∴()EAF FPE HL ∆∆≌，∴AE PF x ==，在Rt CDF ∆中，()1082DF AD AF x x =-=--=+，10CF PC PF x =-=-，∴2228(2)(10)x x ++=-， 解得43x =，即43AE =； 情况二：如图②当BE AF =时，设AE x =，同法可得PF AE x ==，则8BE AF x ==-，FP FG GP EG AG AE x =+=+==，则18DF x =-，10CF x =+，在Rt CDF ∆中，则有2228(18)(10)x x +-=+，解得：367x =； 情况三：如图③，当BE BC AF ==时，此时点D 与F 重合，可得1082AE BE AB =-=-=； 情况四：如图④，当BE CB AF ==时,此时点D 与F 重合，可得18AE AB BE AB BC =+=+=． 综上所述，BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为43，367，2或18． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．9．（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =②422【分析】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可； ()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明EKF ≌EDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可；②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可.【详解】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =．理由：四边形ABFD 是平行四边形，AB DF ∴=，AB AC =，AC DF ∴=，DE EC =，AE EF ∴=，DEC AEF 90∠∠==，AEF ∴是等腰直角三角形，AF 2AE ∴=．故答案为AF 2AE =．()2①如图②中，结论：AF 2AE =．理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．四边形ABFD 是平行四边形，AB//DF ∴，DKE ABC 45∠∠∴==，EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =，ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=，EKF ADE ∠∠∴=，DKC C ∠∠=，DK DC ∴=，DF AB AC ==，KF AD ∴=，在EKF 和EDA 中，EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， EKF ∴≌EDA ，EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，FEA BED 90∠∠∴==，AEF ∴是等腰直角三角形，AF2AE ∴=． ②如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，易知EH DH CH 2===，22AH (25)(2)32=-=，AE AH EH 42=+=，如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，易知AE AH EH 32222=-=-=，综上所述，满足条件的AE 的长为4222【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．10．（1）见解析；（2）①2ABE BFC ∠=∠；②见解析；③732 【分析】（1）证明()BAE BCF ASA ∆≅∆可得结论．（2）①结论：2ABE BFC ∠=∠．如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，利用三角形内角和定理结合已知条件即可解决问题．②将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，利用全等三角形的性质解决问题即可． ③求出CF ，利用三角形的面积公式，矩形的面积公式即可解决问题．【详解】解：（1）证明：如图1中，四边形ABCD 是矩形，90ABC BCD BCF ∴∠=∠=∠=︒，60EBC =︒∠，12CBE ABF ∠=∠， 120ABF ∴∠=︒，906030ABE ︒∴-︒∠==︒，1209030CBF ∠=︒-︒=︒，ABE CBF ∴∠=∠，AB BC =，()BAE BCF ASA ∴∆≅∆，BE BF ∴=．（2）①结论：290EBC BFC ∠+∠=︒．理由：如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，90BCF ∠=︒，90FBC y ∴∠=︒-，=2ABE FBC ABF EBC x x x ∠+∠=∠-∠-=，(90)ABE x y ∴∠=-︒-，90ABE EBC ∠+∠=︒，(90)90x y x ∴-︒-+=︒，2180x y ∴+=︒，2180EBC BFC ∴∠+∠=︒，()290180ABE BFC ∴︒-∠+∠=︒，2ABE BFC ∴∠=∠．②证明：将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，ABE EBH ∠=∠，12EBC ABF ∠=∠， FBC CBT ∴∠=∠，90FBC F CBT BTC ∠+∠=∠+∠=︒， F BTC ∴∠=∠，BF BT ∴=，CT CF =，DE AE EH ==，ET ET =，90D EHT ∠=∠=︒，Rt ETD Rt ETH(HL)∴∆≅∆，DT TH ∴=，在Rt BCT ∆中，则有222(2)(3)(2)k x k k x +=+-，解得98x k =， 2BF CF BT CT BH TH CT BH TD TC BH CD AB ∴+=+=++=++=+=．③由②可知，3BC k =，97288CF CR k k k ==-=， ∴2173728632BCFABCD k k S S k ∆⋅⋅==矩形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

中考数学总复习《平行四边形与多边形》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________命题点1多边形及其性质1(2022河北)如图,将三角形纸片剪掉一角得四边形,设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α,β,则正确的是()A.α-β=0°B.α-β<0°C.α-β>0°D.无法比较α与β的大小2(2022怀化)一个多边形的内角和为900°,则这个多边形是()A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形3(2022烟台)一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1,则这个正多边形是() A.正方形 B.正六边形C.正八边形D.正十边形4(2022丽水)三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B点的坐标是(-√3,3),则A点的坐标是.(第4题) (第5题)5(2022株洲)如图所示,已知∠MON=60°,正五边形ABCDE的顶点A,B在射线OM上,顶点E在射线ON上,则∠AEO=度.6(2022遂宁)如图,正六边形ABCDEF的顶点A,F分别在正方形BMGH的边BH,GH上.若正方形BMGH的边长为6,则正六边形ABCDEF的边长为.(第6题) (第7题)7(2021上海)如图,六个含30°角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为1,则中间正六边形的面积为.命题点2平行四边形的判定8(2022河北)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是()9(2022临沂)如图,在正六边形ABCDEF中,M,N是对角线BE上的两点,添加下列条件中的一个:①BM=EN;②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE.能使四边形AMDN是平行四边形的是(填上所有符合要求的条件的序号).10(2022株洲)如图所示,点E在四边形ABCD的边AD上,连接CE,并延长CE交BA的延长线于点F,已知AE=DE,FE=CE.(1)求证:△AEF≌△DEC.(2)若AD∥BC,求证:四边形ABCD为平行四边形.11(2021连云港)如图,点C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.(1)求证:四边形ACED是平行四边形;(2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形.命题点3与平行四边形有关的证明与计算12(2021南充)如图,点O是▱ABCD对角线的交点,EF过点O分别交AD,BC于点E,F,下列结论成立的是() A.OE=OF B.AE=BFC.∠DOC=∠OCDD.∠CFE=∠DEF(第12题) (第13题)13(2022内江)如图,在▱ABCD中,已知AB=12,AD=8,∠ABC的平分线BM交CD边于点M,则DM的长为() A.2 B.4 C.6 D.814(2022泰安)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为BC的中点,连接EO并延长交AD于点F,∠ABC=60°,BC=2AB.下列结论:①AB⊥AC;②AD=4OE;③四边形AECF是菱形;④S△BOE =14S△ABC.其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1(第14题) (第15题)15(2022无锡) 如图,在▱ABCD中,AD=BD,∠ADC=105°,点E在AD上,∠EBA=60°,则EDCD的值是()A.23B.12C.√32D.√2216(2022邵阳)如图,在等腰三角形ABC中,∠A=120°,顶点B在▱ODEF的边DE 上,已知∠1=40°,则∠2=.(第16题) (第17题)17(2022泰安)如图,四边形ABCD为平行四边形,则点B的坐标为..过点D作DE⊥AB,垂足为18(2021广东)如图,在▱ABCD中,AD=5,AB=12,sin A=45E,连接CE,则sin∠BCE=.19(2022连云港)如图,在▱ABCD中,∠ABC=150°.利用尺规在BC,BA上分别截取EF的长为半径作弧,两弧在∠CBA内BE,BF,使BE=BF;分别以E,F为圆心,大于12交于点G;作射线BG交DC于点H.若AD=√3+1,则BH的长为.20(2022广西北部湾经济区)如图,在▱ABCD中,BD是它的一条对角线.(1)求证:△ABD≌△CDB;(2)尺规作图:作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F(不写作法,保留作图痕迹);(3)连接BE,若∠DBE=25°,求∠AEB的度数.21(2022无锡)如图,在▱ABCD中,点O为对角线BD的中点,EF过点O且分别交AB,DC于点E,F,连接DE,BF.求证:(1)△DOF≌△BOE;(2)DE=BF.22(2022温州) 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E,F分别是AC,AB的中点,O是DF的中点,EO的延长线交线段BD于点G,连接DE,EF,FG.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形.时,求FG的长.(2)当AD=5,tan∠EDC=5223(2022扬州)如图,在▱ABCD中,BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,交AC于点E,G.(1)求证:BE∥DG,BE=DG.(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.若▱ABCD的周长为56,EF=6,求△ABC的面积.24(2021绍兴)问题:如图,在▱ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线分别与直线CD交于点E,F,求EF的长.答案:EF=2.探究:(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变.①当点E与点F重合时,求AB的长;②当点E与点C重合时,求EF的长.(2)把“问题”中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变,当点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时,求AD的值.AB分类训练16平行四边形与多边形1.A【解析】∵任意多边形的外角和为360°,∴α=β=360°,∴α-β=0.2.A【解析】设该多边形的边数为n,由题意得(n-2)×180°=900°,解得n=7.3.C【解析】∵该正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1,∴设这个多边形的每个外角是x°,则每个内角是3x°.根据题意得x+3x=180,解得x=45,故该正多边形的边数为360°÷45°=8.4.(√3,-3)【解析】如图,连接AO,BO,易得OB=OA,∠BOA=30°+120°+30°=180°,∴A,B关于点O对称,∴A(√3,-3).5.48【解析】∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠BAE=108°,∴∠OAE=180°-108°=72°.在△AOE中,∠AEO=180°-∠MON-∠OAE=180°-60°-72°=48°.6.4 【解析】 ∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠HAF=60°.又∵∠AHF=90°,∴∠AFH=30°,∴AF=2AH.设AB=AF=x ,则AH=6-x ,∴x=2(6-x ),解得x=4,∴AB=4,即正六边形的边长为4. 7.3√32【解析】 如图,连接BD ,DF ,BF ,过点A 作AG ⊥BF 于点G.易知△ABF ≌△CDB ≌△EFD ,AB=AF=1,∠BAF=120°,△BDF 是等边三角形,∴∠ABF=∠AFB=30°,BG=GF ,∴AG=12,BG=GF=√32,∴BF=√3,∴S △ABF =12×√3×12=√34,S △BDF =√34×(√3)2=3√34,∴S 正六边形ABCDEF=3S △ABF +S △BDF =3√34+3√34=3√32.8.D 【解析】 逐项分析如下.故选D .选项分析是否符合题意 A 可判定上下两边平行,左右两边不平行,故不是平行四边形. 否B 只能判定左右两边平行,故不一定是平行四边形.否C 只能判定左右两边相等,故不一定是平行四边形. 否D上下两边既平行又相等,故是平行四边形.是9.①②④ 【解析】 ∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴AB=DE ,∠ABM=∠DEN=60°.若添加BM=EN ,则BN=EM ,∴△ABN ≌△DEM ,∴AN=DM ,∠ANB=∠DME ,∴AN ∥DM ,∴四边形AMDN 是平行四边形.若添加∠FAN=∠CDM ,则∠BAN=∠EDM ,∴△ABN ≌△DEM.同上可证四边形AMDN 是平行四边形.若添加AM=DN ,无法证明四边形AMDN 是平行四边形.若添加∠AMB=∠DNE ,则∠AMN=∠DNM,∴AM∥DN.∵AB=DE,∠AMB=∠DNE,∠ABM=∠DEN,∴△ABM ≌△DEN,∴AM=DN,∴四边形AMDN是平行四边形.10.【参考答案】证明:(1)在△AEF和△DEC中{AE=DE,∠AEF=∠DEC, FE=CE,∴△AEF≌△DEC(SAS).(2)∵△AEF≌△DEC∴∠AFE=∠DCE∴AF∥CD,即AB∥CD.∵AD∥BC∴四边形ABCD为平行四边形.11.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC,且AD=BC.∵点C是BE的中点,∴BC=CE,∴AD=CE又∵AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形.(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.∵AB=AE,∴DC=AE.又∵四边形ACED是平行四边形∴四边形ACED是矩形.12.A【解析】在▱ABCD中,AD∥BC.∵点O是AC,BD的交点,∴OA=OC,∴OE=OF.易得△OAE≌△OCF,∴AE=CF,点F不一定为BC的中点,∴AE=BF不一定成立.∵AD∥BC,∴∠CFE+∠DEF=180°.因∠CFE不一定为直角,故∠CFE=∠DEF不一定成立.显然,∠DOC=∠OCD不一定成立.故选A.13.B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=12,BC=AD=8,AB∥CD,∴∠ABM=∠CMB.又∵BM是∠ABC的平分线,∴∠CBM=∠ABM=∠CMB,∴MC=BC=8,∴DM=CD-MC=12-8=4.14.A【解析】∵点E为BC的中点,∴BC=2BE=2CE.又∵BC=2AB,∴AB=BE.又∵∠ABC=60°,∴△ABE是等边三角形,∴∠BAE=∠BEA=60°,AE=BE=EC,∴∠EAC=∠ECA=30°,∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°,即AB⊥AC,故结论①正确.在平行四边形ABCD中,AD=BC=2AB,AO=CO,BE=EC,∴OE是△ABC的中位线,∴AB=2OE,∴AD=4OE,故结论②正确.∵AD∥BC,AO=OC,∴OF=OE,∴四边形AECF是平行四边形,又AE=EC,∴平行四边形AECF 是菱形,故结论③正确.∵OA=OC ,BE=EC ,∴S △BOE =12S △BOC =14S △ABC ,故结论④正确.综上所述,正确的结论有4个.15.D 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴CD=AB ,CD ∥AB ,∴∠A=180°-∠ADC=75°.又∵∠ABE=60°,∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°.如图,过点B 作BF ⊥AD 于点F ,则BF=FE.∵AD=BD ,∴∠ABD=∠A=75°,∴∠ADB=30°.设BF=EF=x ,则BD=2x ,DF=√3x ,∴DE=DF-EF=(√3-1)x ,AF=AD-DF=BD-DF=(2-√3)x.由勾股定理,得AB 2=AF 2+BF 2=(2-√3)2x 2+x 2=(8-4√3)x 2,∴DE 2AB 2=√3-1)22(8-4√3)x 2=12,∴DE AB =√22.又∵AB=CD ,∴DE CD =√22.故选D.16.110° 【解析】 在等腰三角形ABC 中,∠A=120°,∴∠ABC=30°.又∵∠1=40°,∴∠ABE=70°.∵四边形ODEF 是平行四边形,∴OF ∥DE ,∴∠2=180°-∠ABE=180°-70°=110°.17.(-2,-1) 【解析】 易知点C (2,-1)向左平移4个单位长度与点B 重合,∴B (-2,-1). 18.9√1050【解析】 在Rt △ADE 中,DE=AD sin A=5×45=4,∴AE=√AD 2-DE 2=3,∴BE=12-3=9.在Rt △DCE 中,CE=√CD 2+DE 2=4√10.设点B 到CE 的距离为h ,则S △BCE =12×h×CE=12×BE×DE ,∴h=BE×DE CE=4√10=9√1010,则sin ∠BCE=ℎBC =9√10105=9√1050. 19.√2 【解析】 如图,过点H 作HM ⊥BC 于点M.由题意可知,BH 平分∠ABC ,∴∠ABH=∠CBH.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BC=AD=√3+1,AB ∥CD ,∴∠CHB=∠ABH ,∠C=180°-∠ABC=30°,∴∠CBH=∠CHB ,∴CH=BC=√3+1,∴HM=12CH=√3+12,CM=√32CH=3+√32,∴BM=BC-CM=√3+1-3+√32=√3-12,∴BH=√HM 2+BM 2=√2.20.【参考答案】 (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB=CD ,AD=BC. 又∵BD=BD∴△ABD ≌△CDB (SSS). (2)如图所示.(3)∵EF 垂直平分BD∴BE=DE ,∴∠BDE=∠DBE=25° ∴∠AEB=∠BDE+∠DBE=50°.21.【参考答案】 证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,O 是BD 的中点∴AB ∥DC ,OB=OD ∴∠OBE=∠ODF. 在△DOF 和△BOE 中{∠ODF =∠OBE ,OD =OB ,∠DOF =∠BOE ,∴△DOF ≌△BOE. (2)∵△DOF ≌△BOE∴FO=EO. 又∵OB=OD∴四边形BEDF 是平行四边形 ∴DE=BF.22.【参考答案】 (1)证明:∵E ,F 分别是AC ,AB 的中点∴EF ∥BC∴∠FEO=∠DGO ,∠EFO=∠GDO.∵O 是DF 的中点 ∴FO=DO∴△EFO ≌△GDO (AAS) ∴EF=GD∴四边形DEFG 是平行四边形. (2)∵AD ⊥BC ,E 是AC 的中点∴DE=12AC=EC ∴∠EDC=∠C ∴tan C=tan ∠EDC=52 ∴AD DC =52. ∵AD=5,∴CD=2 ∴AC=√52+22=√29 ∴DE=12AC=√292. 由平行四边形的性质可得FG=DE=√292. 23.【参考答案】 (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ,AD=BC ,∠ABC=∠ADC ∴∠DAC=∠BCA.又∵BE ,DG 分别平分∠ABC ,∠ADC∴∠ADG=∠CBE. 在△ADG 和△CBE 中{∠DAG =∠BCE ,AD =BC ,∠ADG =∠CBE ,∴△ADG ≌△CBE ∴BE=DG ,∠AGD=∠CEB.∵∠DGE=180°-∠AGD ,∠BEG=180°-∠CEB ∴∠DGE=∠BEG ,∴BE ∥DG.(2)如图,过点E 作EH ⊥BC 于点H又∵BE平分∠ABC,EF⊥AB ∴EH=EF=6.∵▱ABCD的周长为56∴AB+BC=28∴S△ABC =12AB·EF+12BC·EH=12EF(AB+BC)=12×6×28=84.24.【参考答案】(1)①如图(1).∵四边形ABCD是平行四边形图(1)∴AB∥CD,BC=AD=5∴∠DEA=∠EAB.∵AE平分∠DAB∴∠DAE=∠EAB∴∠DAE=∠DEA∴DE=AD=5.同理可得CF=BC=5.∵点E与点F重合∴AB=CD=10.②如图(2),由①可知CF=BC=5.图(2)∵点E与点C重合∴EF=CF=5.(2)分3种情况讨论.①当DE=EF=CF时,如图(3).图(3) ∵AD=DE,AB=DC∴ADAB =DE CD=13.②当DF=EF=CE时,如图(4).图(4) ∵AD=DE∴ADAB =DE CD=23.③当DF=CD=CE时,如图(5).图(5) ∵AD=DE∴ADAB =DECD=2.综上可知,ADAB 的值是13,23或2.。

自学资料一、多边形【错题精练】例1．一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其它顶点），内角和为1980°，则原多边形的边数为（）A. 11B. 12C. 13D. 11或12【解答】解：设新多边形为n边形，（n-2）•180°=1980°，解得n=13，n-1=12．故选：B．【答案】B第1页共29页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训例2．一个多边形的内角和为1620°，则这个多边形的边数是______，这个多边形共可连______条对角线．【解答】解：设所求正n边形边数为n，则1620°=（n-2）•180°，解得n=11；=44条．11边形的对角线共有11×（11−3）2故答案为：11；44．【答案】1144【举一反三】1．多边形的内角和与外角和多边形的内角和是______；多边形的外角和是______．（1）若一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形的边数是______．（2）如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______．【解答】解：多边形的内角和是（n-2）•180°；多边形的外角和是360°．（1）1440÷180+2=10．故这个多边形的边数是10．（2）如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（∠A+∠B）+（∠C+∠D）+（∠E+∠F）=∠1+∠2+∠3=360°．故答案为：（n-2）•180°；360°．（1）10；（2）360°．【答案】（n-2）•180°360°第2页共29页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训360°二、平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）【知识探索】年份题量分值考点题型201527平行四边形及多边形性质；选择、填空2016122正方形性质；菱形性质简答2017210正方形性质简答2018319矩形的性质，正方形的性质选择，填空，简答2019214矩形的性质，正方形的性质填空，简答【错题精练】例1．如图，已知M是平行四边形ABCD中AB边的三等分点，BD与CM 交于E，则阴影部分面积与平行四边形面积比为______．【答案】7：24例2．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，求DE：DC的值为（）A. 4：25B. 2：5C. 2：7D. 4：29【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴S△DEF：S△ABF=（DE第3页共29页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训）2=4：25，∴DEAB=DECD=25，故选：B．【答案】B例3．如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC交AB于点E，交CB的延长线于点F，AD=5，CD=12，则BF的长为______．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=5，∴∠F=∠ADE，∵∠ADC平分线为DE，∴∠ADE=∠CDF，∴∠F=∠CDF，∴CF=CD=12，∴BF=CF-BC=12-5=7．故答案为：7．【答案】7第4页共29页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训例4．如图，▱ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°，点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E．设AP=x，当x=______时，△ABP与△EBC相似．【答案】8例5．如图，在平行四边形ABCD中，以对角线AC为直径的圆O分别交BC，CD于点E，F．若AB=13，BC=14，CE=9，则线段EF的长为______．18013例6．如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（）A. 6B. 12C. 18D. 24【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠EGF，∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，∴∠GEF=∠DEF=60°，∴∠AEG=60°，∴∠EGF=60°，第5页共29页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训∴△EGF是等边三角形，∵EF=6，∴△GEF的周长=18，故选：C．【答案】C例7．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列4个条件：①AB∥CD；②OB=OD；③AD=BC；④AD∥BC．从中任取两个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的概率是（）A. 12B. 13C. 23D. 56【解答】解：有①与②，①与③，①与④，②与③，②与④，③与④六种情况，①与④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；③与④根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；①与②，②与④通过证明全等得到四边形的对角线互相平分，能推出四边形ABCD为平行四边形；所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有4组，所以能推出四边形ABCD是平行四边形的概率是46=2 3．故选：C．【答案】C例8．如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB=4，BC=6，∠B=60°，现将△ABE沿AE 折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x．（1）如图1，当点B′恰好落在AD边上时，x=______；（2）如图2，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是______【解答】解：（1）点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，∴EC=BC-BE=6-4=2．（2）作AH⊥DE于H．第6页共29页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训在Rt△AHB′中，∵∠AB′H=60°，AB′=4，AB′=2，AH=√3HB′=2√3，∴HB′=12在Rt△ADH中，DH=√62−（2√3）2=2√6，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=∠AED，∴DA=DE=6，∴EB′=BE=6-（2√6-2）=8-2√6，∴EC=BC-BE=6-（8-2√6）=2√6-2．∴若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是2≤x≤2√6-2．故答案为：2，2≤x≤2√6-2．【答案】22≤x≤2√6-2【举一反三】1．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 不能确定∠AOC，【解答】解：∠D=12∵四边形OABC是平行四边形，∴∠B=∠AOC，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D=180°，3∠D=180°，∴∠D=60°，故选：B．【答案】B第7页共29页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训2．如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为______．【答案】123．如图在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于______【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD=6，BC=AD=8∴∠F=∠ECD，∠DEC=∠ECB∵CE平分∠BCD∴∠ECD=∠BCE∴∠F=∠BCE=∠ECD=∠DEC=∠AEF∴DE=DC=6，AE=AF∴AE=AD-DE=2∴AE+AF=4故答案为：4【答案】44．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组第8页共29页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可知④错误；故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，故选：C．【答案】C5．已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF 与对角线BD相交于点O．求证：O是BD的中点．【答案】证明：连接FB、DE，∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴FD∥BE．又∵AD=BC，AF=CE，∴FD=BE．∴四边形FBED是平行四边形．∴BO=OD．即O是BD的中点．6．如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G．（1）求证：BE⊥CF；（2）若AB=a，CF=b，写出求BE的长的思路．第9页共29页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，∴∠EBC=12∠ABC，∠FCB=12∠BCD，∴∠EBC+∠FCB=90°，∴∠BGC=90°．即BE⊥CF．（2）求解思路如下：a．如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．b．由BE平分∠ABC，可证AB=AE，进而可证四边形ABHE是菱形，可知AH，BE互相垂直平分；c．由BE⊥CF，可证AH∥CF，进而可证四边形AHCF是平行四边形，可求AP=b2；d．在Rt△ABP中，由勾股定理可求BP，进而可求BE的长．7．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，DFFC =3 2．（1）若BD=20，求BG的长；（2）求CMCD的值．【答案】解：（1）∵GF∥BC，∴DFFC =DG BG，第10页共29页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训∵BD=20，DFFC =32∴BG=8．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴DMAB =DG GB，∴DMAB =3 2，∴DMCD =3 2，∴CMCD =1 2．三、三角形、梯形中位线【知识探索】1．联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【说明】三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分为4个全等的三角形．【错题精练】例1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE：EC=1：2，BE交AD于P，则AP：PD等于（）A. 1：1B. 1：2C. 2：3D. 4：3【解答】解：过点D作DF∥BE，交AC于F，∴AD是BC边上的中线，即BD=CD，∴EF=CF，∵AE：EC=1：2，∴AE=EF=FC，∴AE：EF=1：1，∴AP：PD=AE：EF=1：1．故选：A．【答案】A例2．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为18cm2，则S△DGF的值为（）A. 4cm2B. 5cm2C. 6cm2D. 7cm2【解答】解：作GH⊥BC于H交DE于M，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC，∵F是DE的中点，∴DF=14BC，∵DF∥BC，∴△GDF∽△GBC，∴GMGH=DFBC=14，∴GMMH=13，∵DF=FE，∴S△DGF=13×△CEF的面积=6cm2，故选：C．【答案】C例3．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点．BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：①OE•OB=OD•OC；②DEBC =12；③S△DOES△BOC =1 4；④S△DOES△DBE =1 3．其中正确的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【解答】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点．∴DE=12BC，DE∥BC∴△DEO∽△BCO∴DEBC =EOCO=DOBO=12∴OE•OB=OD•OC，BO=2DO，CO=2EO 故①②正确∵△DEO∽△BCO∴S△DOES△BOC =（DEBC）2=14故③正确∵BO=2DO ∴BD=3OD∴S△DOES△DBE =1 3故④正确故选：A．【答案】A例4．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为10，则GE+FH的最大值为（）A. 5B. 10C. 15D. 20【解答】解：如图1，连接OA、OB，，∵∠ACB=30°，∴∠AOB=2∠ACB=60°，∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∵⊙O的半径为10，∴AB=OA=OB=10，∵点E，F分别是AC、BC的中点，∴EF=12AB=5，要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：10×2=20，∴GE+FH的最大值为：20-5=15．故选：C．【答案】C例5．如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P 在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A. 线段EF的长逐渐增长B. 线段EF的长逐渐减小C. 线段EF的长始终不变D. 线段EF的长与点P的位置有关【解答】解：连接AR，∵矩形ABCD固定不变，R在CD的位置不变，∴AD和DR不变，∵由勾股定理得：AR=√AD2+DR2，∴AR的长不变，∵E、F分别为AP、RP的中点，∴EF=1AR，2即线段EF的长始终不变，故选：C．【答案】C例6．如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°．求点A到弦BC的距离．【答案】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，̂=BF̂，∴DE∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，BF=3．∴AH=12∴点A到弦BC的距离为：3．例7．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？（提示：分别作BO，CO的中点M，N，连接ED，EM，MN，ND）【答案】解：BO=2OD ，理由如下：分别作BO ，CO 的中点M ，N ，连接ED ，EM ，MN ，ND ，∵点D ，E 分别是边AC ，AB 上的中点，∴DE=12BC ，DE ∥BC ，∵点M ，N 分别是BO ，CO 的中点，∴MN=12BC ，MN ∥BC ，∴DE=MN ，DE ∥MN ，∴四边形EMND 为平行四边形，∴OM=OD ，∵OM=MB ，∴OB=2OD ；BC 边上的中线一定过点O ，理由如下：作BC 边上的中线AG 交BD 于D′，由以上解答过程可知，O′B=2O′D ，∴点O 与点O′重合，∴BC 边上的中线一定过点O ．例8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别在AD ，BC 上，AN 和BM 交于点E ，CM 和DN 交于点F ，连结EF ．（1）当M ，N 分别为AD ，BC 的中点时，试判断四边形MENF 的形状，并说明理由；（2）试探求：①当AM ，BN 满足什么条件时，一定有EF =∥12AD ？并说明理由； ②当AM ，BN 满足什么条件时，一定有四边形MENF 为平行四边形？并说明理由．【答案】（1）解：四边形MENF 是平行四边形．理由如下：在平行四边形ABCD 中，AD=BC ，∵M ，N 分别为AD ，BC 的中点，∴AM=12AD ，CN=12BC ，∴AM=CN ，又∵AD ∥BC ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴AN ∥CM ，同理可得BM ∥DN ，∴四边形MENF 是平行四边形；（2）解：①当AM=BN 时，一定有EF =∥12AD ． 理由如下：∵AM=BN ，∴DM=NC ，在△AEM 和△NEB 中∵{∠MAE =∠ENBAM =BN ∠AME =∠NBE，∴△AEM ≌△NEB （ASA ），∴ME=BE ，同理可得出：DF=NF ，∴EF 是△AND 的中位线，∴EF =∥12AD ；②当AM+BN=AD 时，四边形MENF 为平行四边形．理由如下：在平行四边形ABCD 中，AD=BC ，∵AM+BN=AD ，BN+CN=BC ，∴AM=CN ，又∵AD ∥BC ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴AN ∥CM ，同理可得BM ∥DN ，∴四边形MENF 是平行四边形．【举一反三】1．如图，已知AB 为圆的直径，C 为半圆上一点，D 为半圆的中点，AH ⊥CD ，垂足为H ，HM 平分∠AHC ，HM 交AB 于M ．若AC=3，BC=1，则MH 长为（ ）A. 1B. 1.5C. 0.5D. 0.7【解答】解：延长HM 交AC 于K ．∵AB 是直径，∴∠ACB=90°∵AD̂=BD ̂， ∴∠ACD=∠BCD=45°，∵AH ⊥CD ，∴∠AHC=90°，∴∠HAC=∠HCA=45°，∴HA=HC ，∵HM 平分∠AHC ，∴HK⊥AC，AK=KC ∴点M就是圆心，∵AK=KC，AM=MB，∴KM=12BC=12，在RT△ACH中，∵AC=3，AK=KC，∠AHC=90°，∴HK=12AC=32，∴HM=HK-KM=32-12=1．故选：A．【答案】A2．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FG，AĈ,BĈ的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长为（）A. 9√2B. 907C. 13D. 16【解答】解：连接OP，OQ，∵DE，FG，AĈ,BĈ的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI=12（AC+BC）=9，∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，∴PH+QI=18-14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13，故选：C．3．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC=______．【解答】解：∵AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，∴N、M分别为AC、AB的中点，即MN为△ABC的中位线，∵MN=2.5，∴BC=2MN=5．故答案为5．【答案】54．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=______，△ADE与△ABC的周长之比为______，△CFG与△BFD 的面积之比为______．【解答】解：∵D、E分别是AB和AC的中点∴DE∥BC，DE=12BC∴△ADE∽△ABC，△GED≌△GCF∴CF=12BC，∴△ADE与△ABC的周长之比为DE：BC=1：2；∵△ADE与△ABC的面积之比为1：4；∴△ADE与四边形DECB的面积之比为1：3；∵△ADE与△DEG的面积之比为2：1；∴△CFG与△BFD的面积之比为1：6．【答案】21：21：65．如图所示，在三角形ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DE交于点O．若△ADE的面积为2，则四边形BOGC的面积为______．【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC （DEBC）2=14，∵△ADE的面积为S，∴S△ABC=4S，∵DE∥BC，∴△ODE∽△OFB，∠EDG=∠F，∠DEG=∠GCF，∴DEBF =OE OB，又EG=CG，∴△DEG≌△FCG（AAS），∴DE=CF，∴BF=3DE，∵DE∥BC，∴△ODE∽△OFB，∴OEOB =DEBF=13，∵AD=BD，∴S△BDE=S△ADE=S，∵AE=CE=2EG，∴S△DEG=12S△ADE=12×2=1，∵OEOB ═1 3，∴S△ODE=14S△BDE=14×2=12，∴S△OEG=S△DEG-S△ODE=14×2=12，∵S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=6，∴S四边形OBCG=S四边形DBCE-S△BDE-S△OEG=6-2-12=7 2，故答案为：72．【答案】726．已知，在四边形ABCD中，AB=CD，E是BC的中点，G是AD的中点，EG交AC于点F，∠ACD=30°，∠CAB=70°，则∠AFG的度数是______．【解答】解：取AC的中点M，连接GM、EM，∵G是AD的中点，E是BC 的中点，∴GM是△ADC的中位线，EM是△ABC的中位线，∴GM=12DC，EM=12AB，GM∥CD，EM∥AB，∵AB=CD，∴GM=EM，∴∠GEM=∠EGM，∵EM∥AB，∴∠EMC=∠BAC=70°，∴∠AME=180°-70°=110°，∵GM∥CD，∴∠AMG=∠ACD=30°，∴∠EMG=110°+30°=140°，∴∠EGM=180°−140°2=20°，∴∠AFG=∠EGM+∠AMG=20°+30°=50°，故答案为50°．【答案】50°7．如图，在△ABC中，E、F、G分别是AB、BC、AC边的中点，连接GE、GF，BD是AC边上的高，连接DE、DF．（1）试判断四边形BFGE是怎样的特殊四边形？证明你的结论；（2）求证：∠EDF=∠EGF．【答案】解：（1）四边形BFGE是平行四边形，∵E、F、G分别是AB、BC、AC边的中点，∴EG、GF是△ABC的中位线，∴EG∥BC、GF∥AB，∴四边形BFGE是平行四边形；（2）∵四边形BFGE是平行四边形，∴∠ABC=∠EGF（6分）∵BD是AC边上的高，∴∠ADB=∠BDC=90°又∵E、F分别是AB、BC边的中点，∴DE=BE=12AB，DF=BF=12BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴∠EDB=∠EBD，∠DBF=∠BDF（8分）∴∠EDB+∠BDF=∠EBD+∠DBF，∴∠EDF=∠ABC，∴∠EDF=∠EGF（10分）．8．在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，E是AB的中点，作EF⊥BC于F，延长BC至G，使CG=BF，连接CE、DE、DG．（1）如图1，求证：四边形CEDG是平行四边形；（2）如图2，连接EG交AC于点H，若EG⊥AB，请直接写出图2中所有长度等于√2GH的线段．【答案】（1）证明：如图1中，∵∠ACB=90°，AE=EB，∴EC=EA=EB，∵EF⊥BC，∴CF=FB，∵AD=DC，AE=EB，∴DE∥BC，DE=12BC=BF，∵CG=BF，∴DE=CG，DE∥CG，∴四边形四边形CEDG是平行四边形；（2）解：如图2中，∵四边形四边形CEDG是平行四边形，∴DH=CH，GH=HE，设DH=CH=a，则AD=CD=2a，∵∠A=∠A，∠AEH=∠ADE=90°，∴△ADE∽△AEH，∴AE2=AD•AH=2a•3a=6a2，∴AE=√6a，在Rt△AEH中，HE=√AH2−AE2=√（3a）2−（√6a）2=√3a，∴AE=√2HE，∵GH=HE，AE=EB=CE=GD，∴线段AE、EB、EC、GD都是线段GH的√2倍．1．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=4，AF=6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（）A. 24B. 36C. 40D. 48【解答】解：∵▱ABCD的周长=2（BC+CD）=40，∴BC+CD=20①，∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，∴S▱ABCD=4BC=6CD，CD②，整理得，BC=32联立①②解得，CD=8，∴▱ABCD的面积=AF•CD=6CD=6×8=48．故选：D．【答案】D2．如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE的长为（）A. 2cmB. 3cmC. 6cmD. 8cm【解答】解：根据平行四边形的性质得AD∥BC，∴∠EDA=∠DEC，又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠ADE，∴∠EDC=∠DEC，∴CD=CE=AB=6，即BE=BC-EC=8-6=2cm．故选：A．【答案】A3．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（）A. 10B. 12C. 14D. 16【解答】解：如图，∵∠AFC=90°，AE=CE，∴EF=1AC=5，2∴DE=1+5=6；∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴BC=2DE=12，故选：B．【答案】B4．已知，如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作EF⊥AC于点M，交AD于点F，求证：AF=DF．【答案】证明：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又∵EF⊥AC，∴EF∥BD．又∵点E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴点F是AD的中点，∴AF=DF．。

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】中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解（基础）【考纲要求】【：多边形与平行四边形考纲要求】1. 多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形．(2)平行四边形A：会识别平行四边形．B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题．C：会运用平行四边形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n －2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．【要点诠释】1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1．（2015•葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60° B．65° C．55° D．50°【思路点拨】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【答案】A【解析】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．举一反三：【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=_________.【答案】40°.2．(2011·十堰)现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用3．（2014春•章丘市校级月考）如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．【思路点拨】连接ME，FN，由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，利用AAS得到三角形AOE与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OE=OF，同理得到三角形BOM与三角形DON全等，得到OM=ON，进而确定出四边形MEFN为平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得证．【答案与解析】证明：连接ME，FN，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，同理△BOM≌△DON，得到OM=ON，∴四边形EMFN为平行四边形，∴EN∥MF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．4.如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使，点E、F分别为边BC、AC 的中点.（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DG.【思路点拨】（1）E、F分别为BC、AC中点，则EF为△ABC的中位线，所以EF∥AB，.而.则EF=AD.从而易证△DAF≌△EFC, 则DF=CE=BE.(2) AG与DG在同一个三角形中,只需证∠D=∠DAG即可.【答案与解析】（1）∵点E、F分别为BC、AC的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥AB，.又∵，∴ EF=AD.∵ EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=90.又∵ F是AC的中点，∴AF=CF，∴△DAF≌△EFC.∴DF=EC=BE.（2）由(1)知∵△DAF≌△EFC，∴∠D=∠FEC.又∵ EF∥AB，∴∠B=∠FEC.又∵ AG∥BC，∴∠DAG=∠B，∴∠ DAG=∠FEC∴∠D=∠DAG.∴AG=DG.【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系——可以证明两条直线平行；数量关系——可以证明线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形.举一反三：【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C.5．如图：六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD ⊥BD．已知FD=4cm，BD=3cm．则六边形ABCDEF的面积是_________cm2．【思路点拨】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．【答案与解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，∴AE=BD，AC=FD，∵FD⊥BD，∴∠GDH=90°，∴四边形AHDG是矩形，∴AH=DG∵EH=AE-AH，BG=BD-DG∴EH=BG．∴六边形ABCDEF的面积=平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=3×4=12cm2．故答案为：12.【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．6 .（2012•厦门）已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P 作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．（1）如图，若PE=3，EO=1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+32-4，求BC的长．【思路点拨】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=12AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．【答案与解析】（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE=3，EO=1，∴tan∠EPO=33 EOPE=，∴∠EPO=30°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠PFO=90°，在Rt△PEO和Rt△PFO中，PO PO PE PF=⎧⎨=⎩，∴R t△PEO≌Rt△PFO（HL），∴∠FPO=∠EPO=30°，∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴PF∥AO，且PF=12 AO，∵PF⊥BD，∴∠PFD=90°，∴∠AOD=∠PFD=90°，又∵PE⊥AC，∴∠AEP=90°，∴∠AOD=∠AEP，∴PE∥OD，∵点P是AD的中点，∴PE是△AOD的中位线，∴PE=12 OD，∵PE=PF，∴AO=OD，且AO⊥OD，∴平行四边形ABCD是正方形，设BC=x，则BF=22x+12×22x=324x，∵BF=BC+32-4=x+32 -4，∴x+32-4=324x，解得x=4，即BC=4．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD是正方形是解题的关键．举一反三：【变式】如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，－1），且P（－1，－2）是双曲线上的一点，Q为坐标平面上的一动点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，是否可以使△OBQ与△OAP面积相等？（3）如图2，点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图1 图2【答案】（1）正比例函数解析式为，反比例函数解析式为．（2）当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为，，解得.所以点Q的坐标为和．（3）因为P（，），由勾股定理得OP＝，平行四边形OPCQ周长=．因为点Q在第一象限中的双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，通过图形分析可得：OQ有最小值2，即当Q为第一象限中的双曲线与直线的交点时，线段OQ的长度最小．所以平行四边形OPCQ周长的最小值：．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

多边形与平行四边形一、选择题1. （2014•某某某某，第11题3分）若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正边形．考点：正多边形的内角和．分析：一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．解答：外角是180﹣135=45度，360÷45=8，则这个多边形是八边形．点评：根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．2. （2014某某某某，第8题，3分）下列命题中，真命题是A ．两对角线相等的四边形是矩形B ．两对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．两对角线互相垂直的四边形是菱形D ．两对角线相等的四边形是等腰梯形 【解析】两对角线相等的四边形不一定是矩形，也不一定是等腰梯形，所以A ，D 都不是真命题．又两对角线互相垂直如果不平分，此时的四边形不是菱形，故选B ．3. （2014某某某某，第10题，3分）在□ABCD 中，延长AB 到E ，使BE ＝AB ，连接DE 交BC 于F ，则下列结论不一定成立的是A ．CDF E ∠=∠B ．DF EF =C ．BF AD 2= D ．CF BE 2=【解析】由题意可得FBE FCD ∆≅∆，于是A ，B 都一定成立；又由BE ＝AB ，可知BF AD 2=，所以C 所给结论一定成立，于是不一定成立的应选D ． 4. (2014年某某黔东南3．（4分）)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）ABCDE F第10题图A．AB∥DC，AD=BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB=DC，AD=BC D．OA=OC，OB=OD考点：平行四边形的判定．分析：根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．解答：解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；故选：A．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．5.（2014•某某6．（3分））如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（）A．7B．10 C．11 D．12考点：平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC，再根据平行四边形的性质可得DC=AB=4，AD=BC=6，进而可以算出△CDE的周长．解答：解：∵AC的垂直平分线交AD于E，∴AE=EC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB=4，AD=BC=6，∴△CDE的周长为：EC+CD+ED=AD+CD=6+4=10，故选：B．点评：此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等．6.（2014•某某6．（3分））如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（）A．7B．10 C．11 D．12考点：平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．分根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC，再根据平行四边形的性质可得DC=AB=4，析：AD=BC=6，进而可以算出△CDE的周长．解答：解：∵AC的垂直平分线交AD于E，∴AE=EC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB=4，AD=BC=6，∴△CDE的周长为：EC+CD+ED=AD+CD=6+4=10，故选：B．点评：此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等．7. （2014•某某某某,第7题3分）将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°考点：多边形内角与外角．分析：利用多边形的内角和公式即可求出答案．解答：解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，n+1边形的内角和是（n﹣1）•180°，因而（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180=180°．故选C．点评：本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．8．（2014•某某某某，第5题，3分）如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．150°解答：解：由等边△ABC得∠C=60°，由三角形中位线的性质得DE∥BC，∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°，故选：C．点评：本题考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．9．（2014•某某某某,第8题3分）下列各数中，最大的是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣考点：有理数大小比较．专题：常规题型．分析：用数轴法，将各选项数字标于数轴之上即可解本题．解答：解：画一个数轴，将A=0、B=2、C=﹣2、D=﹣标于数轴之上，可得：∵D点位于数轴最右侧，∴B选项数字最大．故选B．点评：本题考查了数轴法比较有理数大小的方法，牢记数轴法是解题的关键．10.如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是（）(A)8 (B) 9 (C)10 （D）11答案：C解析：根据平行四边形的性质勾股定理可得，Rt△ABO,OA=12AC=12×6=3,AB=4,∴OB=5,又BD=2OAC正确。

多边形与平行四边形一、单选题（共12题；共24分）1、下列说法正确的是（）A、同位角相等B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行C、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D、只用一种图形进行镶嵌，三角形、四边形、六边形都可以镶嵌2、下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A、正方形B、正五边形C、正六边形D、正八边形3、下列图形中,不能镶嵌成平面图案的是 ( )A、正三角形B、正四边形C、正五边形D、正六边形4、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°，则下底BC的长是( )A 、B 、C 、D 、5、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=70°∠C=40°，DE//AB交BC于点E．若AD=3，BC=10，则CD的长是()A、7B、10C、13D、14 6、如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC为∠BAD的平分线，图中与∠AOE相等（不含∠AOE）的角有（）A、2个B、3个C、4个D、5个7、正六边形的边心距为，这个正六边形的面积为（）A、2B、4C、6D、128、把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（）A、90°B、84°C、72°D、88°9、（2015•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A、4B、61C、8D、1010、（2015•德阳）如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A、150°B、160°C、130°D、60°11、（2016•义乌）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A、①，②B、①，④C、③，④D、②，③12、如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（）A、（3，-1）B、（-1，-1）C、（1，1）D、（-2，-1）二、填空题（共5题；共5分）13、（2015•烟台）正多边形的一个外角是72°，则这个多边形的内角和的度数是________．14、现有一个正六边形的纸片，该纸片的边长为20cm，张萌想用一张圆形纸片将该正六边形纸片完全覆盖住，则圆形纸片的直径不能小于________ cm．15、如图，已知四边形ABCD中，∠C=72°，∠D=81°．沿EF折叠四边形，使点A、B分别落在四边形内部的点A′、B′处，则∠1+∠2=________°．16、如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=________17、如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有________个三、综合题（共5题；共63分）18、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．(1)试说明AC=EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.19、（2016•滨州）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(1)求点A，B，C的坐标；(2)点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20、（2016•安徽）如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．(1)求证：△PCE≌△EDQ；(2)延长PC，QD交于点R．①如图1，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．21、（2016•丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．(1)当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；(2)当BE=2EC时，求的值；(3)设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．22、（2016•江西）如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．【探究证明】(1)请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；(2)如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．(3)图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为________，________；(4)图n中，“叠弦三角形”________等边三角形（填“是”或“不是”）3(5)图n中，“叠弦角”的度数为________（用含n的式子表示）答案解析部分一、单选题【答案】C【考点】垂线，同位角、内错角、同旁内角，平面镶嵌（密铺）【解析】【分析】A、只有一条直线截2条平行线得到的同位角才相等，故错误，不符合题意；B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不符合题意；C、过直线上或直线外一点均有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意；D、只用一种图形进行镶嵌，三角形、四边形都可以镶嵌，六边形不一定能组成镶嵌，故错误，不符合题意；故选C．【答案】B【考点】正多边形的定义【解析】【解答】解：A、正方形的最小旋转角度为90°，故本选项错误；B、正五边形的最小旋转角度为=72°，故本选项正确；C、正六边形的最小旋转角度为=60°，故本选项错误；D、正八边形的最小旋转角度为=45°，故本选项错误；故选B．【分析】求出各个选项图形的最小旋转角度，即可做出判断．【答案】C【考点】平面镶嵌（密铺）【解析】【解答】∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形．故选C．【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．考查了平面镶嵌（密铺)，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．【答案】B【考点】等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定【解析】【分析】画出草图分析，作AE∥CD于E点，则AECD是平行四边形，△ABE是等边三角形，据此易求BC的长．【解答】如图所示：作AE∥CD于E点，∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD=2，EC=AD=2又AB=CD，∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，BE=2，∴BC=4．故选B．【点评】此题考查了梯形中常作的辅助线：平移腰，把梯形转化为平行四边形和三角形求解，体现了数学的化归思想．【答案】A【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，梯形【解析】【解答】∵DE//AB，∠B=70°，∴∠DEC=∠B=70°．又∵∠C=40°，∴∠CDE=70°．∴CD=CE．∵AD//BC，DE//AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴BE=AD=3．∴CD=CE=BC-BE=BC-AD=10-3=7．故选A．【分析】根据平行线的性质，得∠DEC=∠B=70°，根据三角形的内角和定理，得∠CDE=70°，再根据等角对等边，得CD=CE．根据两组对边分别平行，知四边形ABED是平行四边形，则BE=AD=3，从而求解．【答案】D【考点】角平分线的定义，对顶角、邻补角，平行线的性质，平行四边形的性质，平行四边形的判定【解析】【解答】由AB∥CD∥EF，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，可得：∠AOE=∠OAB=∠ACD，又由AC平分∠BAD与BC∥AD，可得：∠DAC=∠ACB，又由对顶角相等，可得5与∠AOE（∠AOE除外)相等的角有5个。

2014年中考总复习——多边形与平行四边形知识点睛知识点一、多边形1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段相连组成的图形叫做多边形，各边相等、也相等的多边形叫做正多边形2、多边形的内外角和：n(n≥3)边行的内角和是，外角和是；正n，每个内角的度数是。

3、多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从n 边形的一个顶点出发有条对角线，将多边形分成个三角形，一个n边形共有条对角线。

【谈重点】1、三角形是边数最少的多边形。

2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有条对称轴，边数为数的正多边形也是中心对称图形。

知识点二、平面图形的密铺1、定义：用、完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间、地铺成一起，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的。

2、密铺的方法：⑴用同一种正多边形密铺，可以用、或⑵用两种正多边形密铺，组合方式有：和、和、和等几种【谈重点】能密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于并使相等的边互相平合知识点三、平行四边形1、定义：两组对边分别的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可表示为2、平行四边形的特质：⑵平行四边形的两组对角分别⑶平行四边形的对角线【谈重点】1、平行四边形是对称图形，对称中心是；2、过对角线交点的任一直线被一组对边截得的线段，该直线将原平行四边形分成全等的两个部分。

3、平行四边形的判定：⑵两组对边分别的四边形是平行四边形⑶一组对边的四边形是平行四边形⑷两组对角分别的四边形是平行四边形⑸对角线的四边形是平行四边形【谈重点】特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形都不能保证是平行四边形。

4、平行四边形的面积：计算公式S= ×同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积【谈重点】：夹在两平行线间的平行线段，两平行线之间的距离处处。

重点考点解析考点一：多边形内角和、外角和公式例题1 （2013•梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）对应训练1．（2013•长沙）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形考点二：平面图形的密铺例题2 （2013•漳州）用下列一种多边形不能铺满地面的是（）对应训练2．（2013•呼和浩特）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（）A．正十边形B．正八边形C．正六边形D．正五边形考点三：平行四边形的性质例题3 （2013•益阳）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC⊥BD例题4（2013•泸州）已知▱ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB=BE．对应训练3．（2013•黔西南州）已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（）A．100°B．160°C．80°D．60°4．（2013•长春）在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD=BF．考点四：平行四边形的判定例题5 （2013•荆门）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种对应训练5．（2013•泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BCC．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC即时作业1．（2013•烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7 2．（2013•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE 的边长为（）A．23B．43C．4 D．83．（2013•莱芜）正十二边形每个内角的度数为．4．（2013•莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．（1）证明DE∥CB；（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．5．（2013•日照）如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC．（1）求证：△BAD≌△AEC；（2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积．【2013年中考在线】一、选择题1．（2013•资阳）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十2．（2013•湛江）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形3．（2013•六盘水）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形B．正六边形C．正方形D．正五边形4．（2013•襄阳）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（）A．18 B．28 C．36 D．465．（2013•湘西州）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD 延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：56．（2013•云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（）=4S△AOB B．AC=BDA．S▱ABCDC．AC⊥BD D．▱ABCD是轴对称图形7．（2013•无锡）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（）A．3：4 B135C136D．313二、填空题8．（2013•无锡）六边形的外角和等于度．9．（2013•遂宁）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是．10．（2013•三明）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是．11．（2013•乐山）如图，在四边形ABCD中，∠A=45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1+∠2= ．12．（2013•江西）如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为．13．（2013•安徽）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=2，则S1+S2= ．14．（2013•荆州）如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，-33），则D点的坐标是．15．（2013•十堰）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是．三、解答题16．（2013•大连）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF．求证：BE=DF．17．（2013•郴州）如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．18．（2013•广安）如图，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：△ABE≌△CDF．19．（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF ∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．20．（2013•台州）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G．求证：（1）∠1=∠2；（2）DG=B′G．21．（2013•重庆）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE 的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；（2）求证：∠CEG=12∠AGE．22．（2013•北京）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12 BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．.23．（2013•兰州）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．精品。

2014年中考数学专题复习第二十讲多边形与平行四边形【基础知识回顾】一、多边形：1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段相连组成的图形叫做多边形，各边相等也相等的多边形叫做正多边形2、多边形的内外角和：n(n≥3)的内角和事外角和是正几边形的每个外角的度数是，每个内角的度数是3、多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从几边形的一个顶点出发有条对角线，将多边形分成个三角形，一个几边形共有条对边线【名师提醒：1、三角形是边数最少的多边形2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有条对称轴，边数为数的正多边形也是中心对称图形】二、平面图形的密铺：1、定义：用、完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间地铺成一起，这就是平面图形的密铺，称作平面图形的2、密铺的方法：⑴用同一种正多边形密铺，可以用、或⑵用两正多边形密铺，组合方式有：和、和、和合等几种【名师提醒：密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于并使相等的边互相平合】三、平行四边1、定义：两组对边分别的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成2、平行四边形的特质：⑴平行四边形的两组对边分别⑵平行四边形的两组对角分别⑶平行四边形的对角线【名师提醒：1、平行四边形是对称图形，对称中心是过对角线交点的任一直线被一组对边的线段该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】3、平行四边形的判定：⑴用定义判定⑵两组对边分别的四边形是平行四边形⑶一组对它的四边形是平行四边形⑷两组对角分别的四边形是平行四边形⑸对角线的四边形是平行四边形【名师提醒：特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形两个命题都不被保证是平行四边形】4、平行四边形的面积：计算公式X同底（等底）同边（等边）的平行四边形面积【名师提醒：夹在两平行线间的平行线段两平行线之间的距离处】【重点考点例析】考点一：多边形内角和、外角和公式例1 （2012•南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．思路分析：根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．解：由题意得，∠5=180°-∠EAB=60°，又∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°．故答案为：300°．点评：本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单．对应训练1．（2012•广安）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 度．1．240考点：多边形内角与外角．专题：数形结合．分析：利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．解：∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°-60°=300°，∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°-300°=240°，故答案为240．点评：考查多边形的内角和知识；求得∠B+∠C+∠D的度数是解决本题的突破点．考点二：平面图形的密铺例 2 （2012•贵港）如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（）A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形思路分析：分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断．解：A、正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；B、正四边形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；C、正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；D、正八边形的一个内角度数为180°-360°÷8=135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；故选D．点评：本题考查平面密铺的问题，用到的知识点为：一种正多边形能镶嵌平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180°-360°÷边数．对应训练考点三：平行四边形的性质例3 （2012•阜新）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF=14AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（）A．∠ABC=60°B．AB：BC=1：4 C．AB：BC=5：2 D．AB：BC=5：8思路分析：根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据两直线平行内错角相等，得到∠AEB=∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC得到AE=DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF=DE，当EF=14AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∴∠AEB=∠EBC ，又BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠EBC ，∴∠ABE=∠AEB ，∴AB=AE ，同理可得：DC=DF ，∴AE=DF ，∴AE-EF=DE-EF ，即AF=DE ，当EF=14AD 时，设EF=x ，则AD=BC=4x ， ∴AF=DE=12（AD-EF ）=1.5x ， ∴AE=AB=AF+EF=2.5x ，∴AB ：BC=2.5：4=5：8．故选D ．点评：此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分性的定义以及等式的基本性质，利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用．例4 （2012•广安）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，且BE=AD ，点F 在AD 上，AF=AB ，求证：△AEF ≌△DFC ．思路分析：由四边形ABCD 是平行四边形，利用平行四边形的性质，即可得AB=CD ，AB ∥CD ，又由平行线的性质，即可得∠D=∠EAF ，然后由BE=AD ，AF=AB ，求得AF=CD ，DF=AE ，继而利用SAS 证得：△AEF ≌△DFC ．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠D=∠EAF ，∵AF=AB ，BE=AD ，∴AF=CD ，AD-AF=BE-AB ，即DF=AE ，在△AEF 和△DFC 中，AE DF EAF D AF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△DFC（SAS）．点评：此题考查了平行四边形的性质与全等三角的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．对应训练3．（2012•永州）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD 交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为．3．20考点：平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE，又由△CDE的周长为10，即可求得平行四边形ABCD的周长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，∵OE⊥BD，∴BE=DE，∵△CDE的周长为10，即CD+DE+EC=10，∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．故答案为：20．点评：此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．4．（2012•大连）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC．4．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据ED=BF，可得出AE=CF，结合平行线的性质，可得出∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，继而可判定△AEO≌△CFO，即可得出结论．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，又∵ED=BF，∴AD-ED=BC-BF，即AE=CF，在△AEO和△CFO中，AE CFAEO CFOFCO EAO=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEO≌△CFO，∴OA=OC．点评：此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出ED=BF及∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO是解答本题的关键．考点四：平行四边形的判定例5 （2012•资阳）如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．有一组对边平行的四边形是梯形C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形思路分析：已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形，根据全等三角形判定方法得出∠B=∠E，AB=DE，进而得出一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，得出答案即可．解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；B．有一组对边平行的四边形是梯形，若另一组对边也平行，则此四边形是平行四边形，故此选项错误；C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，∠B=∠C，∵DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，即DE ACADE DAC AD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△DAC，∴∠E=∠C，∴∠B=∠E，AB=DE，但是四边形ABDE不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此C符合题意，故此选项正确；D．对角线相等的四边形是矩形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定，结合已知选项，得出已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形是解题关键．例6 （2012•湛江）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．思路分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF；（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，在△ABE和△CDF中，∵AB CDA C AE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形．点评：此题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意熟练掌握定理的应用．对应训练5．（2012•泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理；菱形的判定；正方形的判定；命题与定理；轴对称图形；中心对称图形．分析：根据平行四边形的各种判定方法、正方形的各种判定方法、菱形的各种判定方法以及正多边形的轴对称性逐项分析即可．解：①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如图所示），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，故选B．点评：本题考查菱形的判定，平行四边形的判定以及正方形的判定定理以及真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．（2012•沈阳）已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）先根据平行四边形的性质可得出AD ∥BC ，∠DAB=∠BCD ，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F ，∠EAM=∠FCN ，从而利用ASA 可作出证明；（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BM ∥DN ，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD ，∴∠EAM=∠FCN ，又∵AD ∥BC ，∴∠E=∠F ．在△AEM 与△CFN 中，EAM FCN AE CF E F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEM ≌△CFN ；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥= CD ，又由（1）得AM=CN ，∴BM ∥DN ，∴四边形BMDN 是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，属于基础题，比较简单．【聚焦山东中考】1．（2012•烟台）如图为2012年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 度（不取近似值）。

4.4多边形与平行四边形易错清单1.平行四边形的性质.【例1】(2014·湖南益阳)如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是().A. AE=CFB. BE=FDC. BF=DED. ∠1=∠2【解析】 A.当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意;B. 当BE=FD,∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误;C. 当BF=ED,∴BE=DF.∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误;D. 当∠1=∠2,∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(ASA),故此选项错误;【答案】 A【误区纠错】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分.2.平行四边形的判定.【例2】(2014·云南)如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M,N分别是AD,BC的中点,BC=2CD.(1)求证:四边形MNCD是平行四边形;(2)求证:BD=MN.【解析】(1)根据平行四边形的性质,可得AD与BC的关系,根据MD与NC的关系,可得证明结论;(2)根据根据等边三角形的判定与性质,可得∠DNC的度数,根据三角形外角的性质,可得∠DBC的度数,根据正切函数,可得答案.【答案】(1)∵ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.∵M,N分别是AD,BC的中点,∴MD=NC,MD∥NC.∴四边形MNCD是平行四边形.(2)如图,连接ND,∵四边形MNCD是平行四边形,∴MN=DC.∵N是BC的中点,∴BN=CN.∵BC=2CD,∠C=60°,∴△NCD是等边三角形.∴ND=NC,∠DNC=60°.∵∠DNC是△BND的外角,∴∠NBD+∠NDB=∠DNC.∵DN=NC=NB,【误区纠错】本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,等边三角形的判定与性质,正切函数.但是要注意一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形.名师点拨1.掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为360°这个特征.2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.名师点拨1.掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为360°这个特征.2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.提分策略1.综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.由于平行四边形的对边相等、对角相等,所以利用平行四边形的性质可以探索与证明边角相等的问题,解决此类问题时,一般先判定一个四边形是平行四边形,然后利用其性质得到结论.【例1】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.求证:(1)△ABE≌△CDF;(2)四边形BFDE是平行四边形.【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定△ABE≌△CDF.(2)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC.又由AE=CF,即可证得DE=BF.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形.【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB=CD.在△ABE和△CDF中,∵AB=CD,∠A=∠C,AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵AE=CF,∴AD-AE=BC-CF,即DE=BF.∴四边形BFDE是平行四边形.2.平行四边形的判定.利用平行四边形的性质研究三角形的全等,以及等腰三角形的判定等,也可为了证明一个四边形是平行四边形,先证明两个三角形全等,为进一步证明四边形是平行四边形提供条件.【例2】(2014·甘肃白银)D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E.如图,当点O 在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形.【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC,GF∥BC 且GF=BC,从而得到DE∥GF,DE=GF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可; 【答案】∵D,E分别是AB,AC边的中点,∴DE∥GF且DE=GF.∴四边形DEFG是平行四边形.3.研究一种或多种正多边形的镶嵌问题.(1)判断一种正多边形能否进行平面镶嵌,可以用360°除以这个正多边形的内角度数,如果能整除则这个正多边形能进行平面镶嵌.【例3】在下列图形中,单独选用该图形不能进行平面镶嵌的是().A. 正三角形B. 正六边形C. 正方形D. 正五边形【解析】 A. 正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;B. 正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;C. 正方形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;D. 正五边形的一个内角度数为180°-360°÷5=108°,不是360°的因数,不能镶嵌平面,符合题意.【答案】 D(2)判断不同种的正多边形能否进行平面镶嵌,先求出这些正多边形的内角,建立方程,然后判断这个方程是否有正整数解.【例4】现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是().A. 正方形和正六边形B. 正三角形和正方形C. 正三角形和正六边形D. 正三角形、正方形和正六边形【解析】A选项,正方形和正六边形内角分别为90°,120°,由于90m+120n=360,得,显然n取任何正整数时,m不能得正整数,故不能铺满;B选项,正三角形和正方形内角分别为60°,90°,由于60°×3+90°×2=360°,故能铺满;C选项,正三角形和正六边形内角分别为60°,120°,由于60°×2+120°×2=360°,故能铺满;D选项,正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°,90°,120°,由于60°+90°+90°+120°=360°,故能铺满.【答案】 A专项训练一、选择题1. (2014·北京房山区二模)若正多边形的一个外角是36°,则该正多边形为().A. 正八边形B. 正九边形C. 正十边形D. 正十一边形2. (2014·江苏常州模拟)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是().A. 当AB=BC时,它是菱形B. 当AC⊥BD时,它是菱形C. 当∠ABC=90°时,它是矩形D. 当AC=BD时,它是正方形3.(2014·四川乐山模拟)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2等于().A. 4B. 6C. 8D. 不能确定(第3题)(第4题)4. (2014·安徽安庆外国语学校模拟)如图,已知点O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+∠DCO的大小是().A. 70°B. 110°C. 140°D. 150°5. (2013·浙江海宁部分学校联考)如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是().A. 110°B. 108°C. 105°D. 100°(第5题)(第7题)6. (2013·内蒙古赤峰模拟)一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°,则该多边形的边数是().A. 5B. 6C. 7D. 87. (2013·云南宣威模拟)如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC于点E,且AE=BE,则∠BCD的度数为().A. 30°B. 60°或120°C. 60°D. 120°8. (2013·陕西西安模拟)下面给出了四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是().A. 1∶2∶3∶4B. 2∶3∶2∶3C. 2∶3∶4∶5D. 1∶2∶2∶3二、填空题9. (2014·江苏南京二模)如图,将正五边形ABCDE的点C固定,并依顺时针方向旋转,若要使得新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上,则至少要旋转°.(第9题)10.(2013·湖北枣阳模拟)已知▱ABCD的周长为28,自顶点A作AE⊥DC,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F.若AE=3,AF=4,则CE-CF= .三、解答题11. (2014·上海长宁区二模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是BC,BA的中点,连接DE,F在DE延长线上,且AF=AE.求证:四边形ACEF是平行四边形.(第11题)12.(2014·广东深圳模拟)已知:如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线BD,作AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,(1)求证:△AED≌△CFB;(2)若∠ABC=75°,∠ADB=30°,AE=3,求平行四边形ABCD的周长?(第12题)13. (2013·浙江湖州中考模拟试卷)如图,▱ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若AD=AE=2,∠A=60°,求四边形EBFD的周长.(第13题)参考答案与解析1. C[解析]多边形外角和均等于360°,2. D[解析] 当AC=BD时,它是矩形..因为对角线相等的平行四边形是矩形.3. C[解析]∵△PEF的面积是2,∴△PBC的面积是2×4=8.∵△PDC,△PAB的面积和等于△PBC的面积均是平行四边形面积的一半,∴S1+S2=8.4.D[解析]∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°,所以∠BOA+∠BOC=360°-140°=220°,所以∠AOC=140°.5. D[解析]本题考查多边形的内角和,外角和的概念.6. C[解析](n-2)×180°=3×360°-180°.7. D[解析]△ABE是等边三角形.8. B[解析]平行四边形对角相等.9. 72°[解析]正五边形每个内角相等,均等于, 至少旋转180°-108°=72°后新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上.11.∵∠ACB=90°, E是BA的中点,∴CE=AE=BE.∵AF=AE,∴AF=CE.在△BEC中,∵BE=CE且D是BC的中点,∴ED是等腰三角形BEC底边上的中线.∴ED也是等腰三角形BEC的顶角平分线.∴∠1=∠2.∴∠AEC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1.∵AF=AE,∴∠F=∠3 .∵∠1=∠3,∴∠1=∠F=∠3.∴在△AEF中,∠FAE=180°-∠3-∠F=180°-2∠1.∴∠AEC=∠F AE,∴CE∥AF.又CE=AF,∴四边形ACEF是平行四边形.(第11题)12. (1)∵平行四边形ABCD,∴AD=BC,AD∥BC.∴∠ADE=∠CBF.又AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,∴∠AED=∠CFB=90°.∴△AED≌△CFB (AAS) .(2)在Rt△AED中,∵∠ADE=30°,AE=3,∴AD=2AE=2×3=6.∵∠ABC=75°,∠ADB=∠CBD=30°,∴∠ABE=45°.13. (1)在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD.∵E,F分别是AB,CD的中点,∴BE=DF.∴四边形EBFD是平行四边形.(2)∵AD=AE,∠A=60°,∴△ADE是等边三角形.∴DE=AD=2.又BE=AE=2,由(1)知四边形EBFD是平行四边形, ∴四边形EBFD的周长=2(BE+DE)=8.。

第16讲多边形与平行四边形考试目标锁定考点一多边形的有关概念及性质1．多边形的概念定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．2．性质：n边形的内角和为，外角和为360°.考点二平面图形的密铺(镶嵌)1．密铺的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌．2．平面图形的密铺：正三角形、正方形、正六边形都可以单独使用密铺平面，部分正多边形的组合也可以密铺．考点三平行四边形的定义和性质1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2．性质：(1)(2)平行四边形的对角相等．(3)平行四边形的对角线互相平分．(4)平行四边形是中心对称图形．考点四平行四边形的判定123．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．451．若一个正多边形的一个)．A．9 B．8 C．6 D．42．一批相同的正六边形地砖铺满地面的图案中，每个顶点处的正六边形的个数为( )．A．2个B．3个C．4个D．6个3．如图，在ABCD中，已知AD＝5 cm，AB＝3 cm，AE平分∠BAD交BC 边于点E，则EC等于( )．A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm4．如图所示，ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：(1)△AFD≌△CEB；(2)四边形AECF是平行四边形．规律-方法探索一、多边形的)．A．5 B．6 C．7 D．8解析：多边形的外角和是360°，不随边数的改变而改变．设这个多边形的边数是x，由题意，得(x－2)·180°＝3×360°，解得x＝8.答案：D要记住多边形的内角和公式，当已知边数时，可求内角和；当已知内角和时，可求边数．特别地，正多边形的每个外角等于二、平面的密铺【例2】梅园中学实验室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶360. n嵌地面，在每个顶点的周围正方形、正三角形地砖的块数可以分别是( )．A．2,2 B．2,3 C．1,2 D．2,1解析：平面镶嵌时同一顶点处各角的和为360°，正方形内角90°，等边三角形内角60°，则2×90°＋3×60°＝360°.答案：B对于给定的某种正多边形能否密铺，关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点，当围绕一点拼在一起时，几个多边形的内角加在一起是否恰好组成一个周角．三、平行四边形的性质【例3】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝32°，分别以BC，CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点H，点H在E，C两点之间，连接AE，AF.(1)求证：△ABE≌△FDA；(2)当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．(1)证明：在平行四边形ABCD中，AB＝DC．又∵DF＝DC，∴AB＝DF.同理EB＝AD．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC，又∵∠EBC＝∠CDF，∴∠ABE＝∠ADF.∴△ABE≌△FDA．(2)解：∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB＝∠DAF.∵∠EBH＝∠AEB＋∠EAB，∴∠EBH＝∠DAF＋∠EAB＝90°－32°＝58°.∴∠EBH＝58°.1．利用平行四边形的性质可证明线段或角相等，或求角的度数．2．利用平行四边形的性质常把平行四边形问题转化为三角形问题，通过证明三角形全等而解决．如图，在ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE=CF.求证：∠EBF=∠FDE.四、平行四边形的判定【例4】如图，在ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若去掉已知条件的“∠DAB＝60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°.∴∠ADE＝∠CBF＝60°.∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是正三角形．在ABCD中，AD＝BC，∴ED＝BF.∴ED＋DC＝BF＋AB，即EC＝AF.又∵DC∥AB，即EC∥AF，∴四边形AFCE是平行四边形．(2)上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC綊AB．∴∠ADE＝∠CBF.∵AE＝AD，CF＝CB，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF.∴∠AED＝∠CFB．又∵AD＝BC，∴△ADE≌△CBF.∴ED＝FB．∵DC＝AB，∴ED＋DC＝FB＋AB，即EC＝FA．∴EC綊AF.∴四边形EAFC是平行四边形．平行四边形的判定方法：(1)如果已知一组边平行，常考虑证另一组边平行或者证这组边相等；(2)如果已知一组边相等，常考虑证另一组边相等或者证这组边平行；(3)如果已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分．知能优化训练1．(2012江苏无锡)若一个多边形的)．A．6 B．7 C．8 D．92．(2011安徽)如图，D是△ABC)．A．7 B．9 C．10 D．113．(2012四川南充)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24 cm2，则AC长是________cm.4．(2012贵州铜仁)一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是__________．5．(2012广东湛江)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在AD，BC边上，且AE＝CF.求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形BFDE是平行四边形．1．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是( )．A．110°B．108°C．105°D．100°2．如图，在ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则ABCD的周长为( )．A．6 B．9 C．12 D．153．如图，ABCD的对角线相交于点O，且AB≠BC，过O点作OE⊥AC交BC 于E，如果△ABE的周长为b，那么ABCD的周长是( )．A．b B．1.5b C．2b D．3b4．如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝42，则△CEF的周长为( )．A．8 B．9.5 C．10 D．11.55．在ABCD中，若∠A∶∠B＝2∶1，AD＝20 cm，AB＝16 cm，则ABCD 的面积为__________．6．如图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边长BC的中点，AB ＝4，则OE的长是__________．7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝12 cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D，则四边形BDEF的周长是__________．8．如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则ABCD的周长为__________．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB中点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE.求证：四边形ACEF 是平行四边形．参考答案基础自主导学自主测试1．C 2.B 3.B 4.证明：(1)在▱ABCD中，AD＝CB，AB＝CD，∠D＝∠B.又∵E，F分别是AB，CD的中点，11∴DF，BE＝AB. 22∴DF＝BE.∴△AFD≌△CEB.(2)在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，由(1)得BE＝DF，∴AE綊CF.∴四边形AECF是平行四边形．规律方法探究变式训练证明：连接BD交AC于O点．如图所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵AE＝CF，∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形，∴∠EBF＝∠FDE.知能优化训练中考回顾1．C 2.D 3.43 4.95．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C.在△ABE与△CDF中，AB＝CD，∠A＝∠C，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC且AD∥BC.∵AE＝CF，∴DE＝BF.又DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形．模拟预测1．D 2.C 3.C 4.A5．3 cm26.27.248.4＋229．证明：∵∠ACB＝90°，AE＝BE，∴CE＝AE＝BE.∵ED⊥BC，∴∠BED＝∠CED.∵AF＝CE，∴AF＝AE.∴∠F＝∠FEA. ∵∠FEA＝∠BED，∴∠F＝∠CED.∴CE∥FA.∴四边形ACEF是平行四边形．。

2014年中考数学试题分类汇编24 多边形与平行四边形一、选择题1. （2014•福建泉州，第4题3分）七边形外角和为（）A．180°B．360°C．900°D．1260°考点：多边形内角与外角．分析：按照多边形的外角和等于360度即可求解．解答：解：七边形的外角和为360°．故选B．点评：本题考查了多边形的内角和外角的知识，属于基础题，把握多边形的外角和等于360°是解题的关键．2. （2014•广东，第5题3分）一个多边形的内角和是900°，那个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7考点：多边形内角与外角．分析：按照多边形的外角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．解答：解：设那个多边形是n边形，按照题意得，（n﹣2）•180°=900°，解得n=7．故选D．点评：本题要紧考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．3. （2014•广东，第7题3分）如图，▱ABCD中，下列讲法一定正确的是（）A．A C=BD B．A C⊥BD C．A B=CD D．A B=BC考点：平行四边形的性质．分析：按照平行四边形的性质分不判定各选项即可．解答：解：A、AC≠BD，故此选项错误；B、AC不垂直BD，故此选项错误；C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故此选项正确；D、AB≠BC，故此选项错误；故选：C．点评：此题要紧考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．4．（2014•新疆，第4题5分）四边形ABCD中，对角线AC与BD 交于点O，下列条件不能判定那个四边形是平行四边形的是（）5.（2014•毕节地区，第9题3分）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）A．13 B．14 C．15 D．16考点：多边形内角与外角分析：按照多边形内角和公式，可得新多边形的边数，按照新多边形比原多边形多1条边，可得答案．解答：解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得（n﹣2）180°=2340°，解得n=15，原多边形是15﹣1=14，故选：B．点评：本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．6．（2014·台湾，第24题3分）下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，按照图中所给的边长长度及角度，判定哪一个为平行四边形？( )A． B．C． D．分析：利用平行四边形的判定定理、等腰梯形的判定及梯形的判定方法分不对每个选项判定后即可确定答案．x k b 1解：A．上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形；B．上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形，但此等腰梯形底角为9 0°，因此为平行四边形；C．上、下这一组对边平行，可能为梯形；D ．上、下这一组对边平行，可能为梯形； 故选B ．点评：本题考查了平行四边形的判定定理、等腰梯形的判定及梯形的判定方法，把握这些专门的四边形的判定方法是解答本题的关键．7.（2014·云南昆明，第7题3分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是A. AB ∥CD ，AD ∥BCB. OA=OC ，OB=ODC. AD=BC ，AB ∥CD考点： 平行四边形的判定．分析： 按照平行四边形的判定定理分不判定得出答案即可．解答： 解：A 、两组对边分不平行的四边形是平行四边形，故此选项正确；B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项正确；C 、一组对边相等，另一组对边平行，不能判定其为平行四边形，故此选项错误；D 、两组对边分不相等的四边形是平行四边形，故此选项正确． 故选：C ．点评： 此题要紧考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定定理是解题关键．8．（2014•浙江湖州，第10题3分）在连接A 地与B 地的线段上有四个不同的点D 、G 、K 、Q ，下列四幅图中的实线分不表示某人从A 地到B 地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（ ）A ．B ．C ．D ．分析：分不构造出平行四边形和三角形，按照平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比较，即可判定．ODCBA解：A选项延长AC、BE交于S，∵∠CAE=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE．同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平行四边形，∴SE=CD，DE=CS，即乙走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B选项延长AF、BH交于S1，作FK∥GH，∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB ≌△S1AB，∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=67°=∠GHB，∴FG∥KH，∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平行四边形，∴FK=GH，FG=KH，∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB，又∵AS+BS＜AS2+BS2，故选D．点评：本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分不平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．A．任意三点能够确定一个圆B．菱形对角线相等C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D．平行四边形的四条边相等考点：命题与定理分析：利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分不对每个选项判定后即可确定答案．解答：解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；C、正确；D、平行四边形的四条边不一定相等．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质，难度一样．9. （2014•益阳，第7题，4分）如图，平行四边形ABCD中，E，F 是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件是（）（第2题图）A．AE=CF B．BE=FD C．BF=DE D．∠1=∠2考点：分析：利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分不分得出即可．解答：解：A、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BE=FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1=∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；故选：A．点评：此题要紧考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练把握全等三角形的判定方法是解题关键．10. （2014•株洲，第7题，3分）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④考点：正方形的判定；平行四边形的性质．分析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．解答：解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，因此不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，因此平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选B．点评：本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定那个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定那个矩形有一个角为直角．③还能够先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．11.（2014•孝感，第8题3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、B D相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，则▱ABCD的面积是（）A．absinαB．a bsinαC．a bcosαD．abcosα新*课*标*第*一*网考点：平行四边形的性质；解直角三角形．分析：过点C作CE⊥DO于点E，进而得出EC的长，再利用三角形面积公式求出即可．解答：解：过点C作CE⊥DO于点E，∵在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，AC=a，BD=b，∴sinα=，∴EC=COsinα=asinα，∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=absinα，∴▱ABCD的面积是：absinα×2=absinα．故选；A．点评：此题要紧考查了平行四边形的性质以及解直角三角形，得出EC的长是解题关键．二.填空题1. （2014•安徽省,第14题5分）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是①②④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠A EF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：分不利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．解答：解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDE，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故答案为：①②④．点评：此题要紧考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键．2. （2014•广东，第13题4分）如图，在△ABC中，D，E分不是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=3．考点：三角形中位线定理．分析：由D、E分不是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．解答：解：∵D、E是AB、AC中点，∴DE为△ABC的中位线，∴ED=BC=3．故答案为3．点评：本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．3.（2014•毕节地区，第19题5分）将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则那个平行四边形的最小内角为30 度．考点：矩形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的性质．分析：按照矩形以及平行四边形的面积求法得出当AE=AB，则符合要求，进而得出答案．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），AE=AB是解题关键．4.（2014•襄阳，第17题3分）在▱ABCD中，BC边上的高为4，A考点：平行四边形的性质．专题：分类讨论．分析：按照题意分不画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．解答：解：如图1所示：∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，∴EC==2，AB=CD=5，BE==3，∴AD=BC=5，∴▱ABCD的周长等于：20，如图2所示：∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，∴EC==2，AB=CD=5，BE==3，∴BC=3﹣2=1，∴▱ABCD的周长等于：1+1+5+5=12，则▱ABCD的周长等于12或20．故答案为：12或20．点评：此题要紧考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．5．（2014•四川自贡，第13题4分）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是9．考点：多边形内角与外角分析：多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1360度．n 边形的内角和能够表示成（n﹣2）•180°，设那个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．解答：解：按照题意，得（n﹣2）•180=1360，解得：n=9．则那个多边形的边数是9．故答案为：9．点评：考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．6. （2014•泰州，第9题，3分）任意五边形的内角和为540°．考点：多边形内角与外角．分析：按照多边形的内角和公式（n﹣2）•180°运算即可．解答：解：（5﹣2）•180°=540°．故答案为：540°．点评：本题要紧考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题．7. （2014•扬州，第13题，3分）如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1=67.5°．（第2题图）考点：等腰梯形的性质；多边形内角与外角分析：第一求得正八边形的内角的度数，则∠1的度数是正八边形的度数的一半．解答：解：正八边形的内角和是：（8﹣2）×180°=1080°，则正八边形的内角是：1080÷8=135°，则∠1=×135°=67.5°．故答案是：67.5°．点评：本题考查了正多边形的内角和的运算，正确求得正八边形的内角的度数是关键．三.解答题1. （2014•安徽省,第23题14分）如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．（1）①∠MPN=60°；②求证：PM+PN=3a；（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判定四边形OM GN是否为专门四边形？并讲明理由．考点：四边形综合题．分析：（1）①运用∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC求解，②作AG ⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解，（2）连接OE，由△OMA≌△ONE证明，（3）连接OE，由△OMA≌△ONE，再证出△GOE≌△NOD，由△O NG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形．，解答：解：（1）①∵四边形ABCDEF是正六边形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°又∴PM∥AB，PN∥CD，∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°，故答案为；60°．②如图1，作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，∴GM=AM，HL=BP，PL=PM，NK=ND，∵AM=BP，PC=DN，∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3A．（2）如图2，连接OE，∵四边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，∴AM=BP=EN，又∵∠MAO=∠NOE=60°，OA=OE，在△ONE和△OMA中，∴△OMA≌△ONE（SAS）∴OM=ON．（3）如图3，连接OE，由（2）得，△OMA≌△ONE∴∠MOA=∠EON，∵EF∥AO，AF∥OE，∴四边形AOEF是平行四边形，∴∠AFE=∠AOE=120°，∴∠MON=120°，∴∠GON=60°，∵∠GON=60°﹣∠EON，∠DON=60°﹣∠EON，∴∠GOE=∠DON，∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，在△GOE和∠DON中，∴△GOE≌△NOD（ASA），∴ON=OG，又∵∠GON=60°，∴△ONG是等边三角形，∴ON=NG，又∵OM=ON，∠MOG=60°，∴△MOG是等边三角形，∴MG=GO=MO，∴MO=ON=NG=MG，∴四边形MONG是菱形．点评：本题要紧考查了四边形的综合题，解题的关键是恰当的作出辅助线，按照三角形全等找出相等的线段．2. （2014•广西贺州，第21题7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．（1）求证：BE=DF；（2）求证：AF∥CE．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）利用平行四边形的性质得出∠5=∠3，∠AEB=∠4，进而利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出AE=CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠5=∠3，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠4，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；（2）由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．点评：此题要紧考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△ABE≌△CDF是解题关键．3．（2014年云南省，第22题7分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分不是AD、BC的中点，BC=2CD．（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；（2）求证：BD=MN．考点：平行四边形的判定与性质专题：证明题．分析：（1）按照平行四边形的性质，可得AD与BC的关系，按照MD与NC的关系，可得证明结论；（2）按照按照等边三角形的判定与性质，可得∠DNC的度数，按照三角形外角的性质，可得∠DBC的度数，按照正切函数，可得答案．解答：证明：（1）∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵M、N分不是AD、BC的中点，∴MD=NC，MD∥NC，∴MNCD是平行四边形；（2）如图：连接ND，∵MNCD是平行四边形，∴MN=DC．∵N是BC的中点，∴BN=CN，∵BC=2CD，∠C=60°，∴△NVD是等边三角形．∴ND=NC，∠DNC=60°．∵∠DNC是△BND的外角，∴∠NBD+∠NDB=∠DNC，∵DN=NC=NB，∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°，∴∠BDC=90°．∵tan，∴DB=DC=MN．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数．4．（2014•温州，第24题14分）如图，在平面直角坐标系中国，点A，B的坐标分不为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O动身，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从B动身，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时刻为t秒．（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标．（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形．（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分不在一，四象限，在运动过程中▱PCOD的面积为S．①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直截了当写出S的取值范畴．考点：四边形综合题．分析：（1）由C是OB的中点求出时刻，再求出点E的坐标，（2）连接CD交OP于点G，由▱PCOD的对角线相等，求四边形ADEC是平行四边形．（3）当点C在BO上时，第一种情形，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情形，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解，当点C在BO的延长线上时，第一种情形，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情形，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解，②当1≤t＜时和当＜t≤5时，分不求出S的取值范畴，解答：解：（1）∵OB=6，C是OB的中点，∴BC=OB=3，∴2t=3即t=，∴OE=+3=，E（，0）（2）如图，连接CD交OP于点G，在▱PCOD中，CG=DG，OG=PG，∵AO=PO，∴AG=EG，∴四边形ADEC是平行四边形．（3）①（Ⅰ）当点C在BO上时，第一种情形：如图，当点M在CE边上时，∵MF∥OC，∴△EMF∽△ECO，∴=，即=，∴t=1，第二种情形：当点N在DE边∵NF∥PD，∴△EFN∽△EPD，∴==，∴t=，（Ⅱ）当点C在BO的延长线上时，第一种情形：当点M在DE边上时，∵MF∥PD，∴EMF∽△EDP，∴=即=，∴t=，第二种情形：当点N在CE边上时，∵NF∥OC，∴△EFN∽△EOC，∴=即=，∴t=5．②＜S≤或＜S≤20．当1≤t＜时，S=t（6﹣2t）=﹣2（t﹣）2+，∵t=在1≤t＜范畴内，∴＜S≤，当＜t≤5时，S=t（2t﹣6）=2（t﹣）2﹣，∴＜S≤20．点评：本题要紧是考查了四边形的综合题，解题的关键是正确分几种不同种情形求解．5．（2014•舟山，第23题10分）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠A DC，AB=AD，现在她发觉CB=CD成立．请你证明此结论；②由此小红猜想：“关于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．（3）已知：在“等对角四边形“ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=9 0°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．考点：四边形综合题分析：（1）利用“等对角四边形”那个概念来运算．（2）①利用等边对等角和等角对等边来证明；②举例画图；（3）（Ⅰ）当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，利用勾股定理求解；（Ⅱ）当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，求出线段利用勾股定理求解．解答：解：（1）如图1∵等对角四边形ABCD，∠A≠∠C，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；（2）①如图2，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，②不正确，反例：如图3，∠A=∠C=90°，AB=AD，但CB≠CD，（3）（Ⅰ）如图4，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴AE=10，∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD=2，∴AC===2（Ⅱ）如图5，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∵DE⊥AB，∠DAB=60°AD=4，∴AE=2，DE=2，∴BE=AB﹣AE=5﹣2=3，∵四边形BFDE是矩形，∴DF=BE=3，BF=DE=2，∵∠BCD=60°，∴CF=，∴BC=CF+BF=+2=3，∴AC===2．点评：本题要紧考查了四边形的综合题，解题的关键是明白得并能运用“等对角四边形”那个概念．6.（2014年广东汕尾，第20题9分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．（1）证明：FD=AB；（2）当平行四边形ABCD的面积为8时，求△FED的面积．分析：（1）利用已知得出△ABE≌△DF E（AAS），进而求出即可；（2）第一得出△FED∽△FBC，进而得出=，进而求出即可．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，∴AE= ED，∠ABE=∠F，在△ABE和△DFE中，∴△ABE≌△DFE（AAS），∴FD =AB；（2）解：∵DE∥BC，∴△FED∽△FBC，∵△ABE≌△DFE，∴BE=EF，S△FDE=S平行四边形ABCD，∴=，∴=，∴=，∴△FED的面积为：2．点评：此题要紧考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出S△FDE=S平行四边形AB CD是解题关键．7.（2014•泰州，第23题，10分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分不在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．（第1题图）考点：平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形分析：（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD 是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；（2）第一过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．解答：（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，∴AF=DE，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF；（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=BD=×6=3，∵BE=DE，∴BH=DH=BD=3，∴BE==2，∴DE=BE=2，∴四边形ADEF的面积为：DE•DG=6．点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意把握辅助线的作法，注意把握数形结合思想的应用．。