1.2.1函数的概念(昌宁一中 韩云凤)

1.2.1 函数的概念成都龙泉《刘杰名师工作室》【教材分析】函数是高中数学最重要的概念之一，它是描述客观世界变化规律的重要数学模型．它 在数学中占有很重要的地位，它将贯穿整个高中数学，高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想，它与方程、不等式等数学知识互相关联、互相转化。

同时，它在日常生活中的运用也十分广泛，更是高考必考知识点．【学习目标】１.知识与技能：能通过丰富的实例说明函数的含义并能准确表述函数的定义，体会函数是描述变量之间的变化关系的重要数学思想，了解构成函数的要素及函数符号的深刻含义；能正确判断一个对应关系是否为函数关系，两个函数是否为相等函数；2.过程与方法：经历函数概念的形成过程，培养观察、类比、推理的能力和分析、判断、抽象、归纳概括的逻辑思维能力，培养联系、对应、转化、的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想；3.情感态度与价值观：渗透数学思想和文化，激发观察、分析、探究知识兴趣和热情；强化参与意识，培养严谨的学习态度，获得积极地情感体验体会在探索过程中由特殊到一般、由具体到抽象、由静态到运动的的辩证唯物主义观点，体会函数概念源于生活，又广泛应用于生活．【学习重点】函数概念的理解与判定.【难点提示】符号“y=f(x)”含义的理解与运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1516P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备我们在初中已学过函数，请同学们回忆初中学过的有关函数的概念，并完成下列填空：1.什么叫函数？ ；2.函数是从 的角度来描述的，用函数描述变量之间的 关系．3.初中我们学习过哪些函数？4.y =2和1,0,Rx Q y x Q ∈⎧=⎨∈⎩ð是函数吗？2x y x y x ==与是同一函数吗？怎样用初中的函数概念解释？（链接1）5.函数还有另外的定义方式吗？这就是我们今天要来学习与探究的问题.二、探究新知 １.函数的概念（1）阅读思考 请同学们仔细阅读教材1516P -的内容及三个例子，并思考？①教材这三个例子想告诉我们什么？他们有哪些异同点？②教材这三个例子分别有几个变量？请分析、归纳一下三个实例变量之间有什么共同特点并填写在横线上 （链接2）；（2）归纳概括（１）请用一句话来给函数下个定义 ；（２）定义域 ；（３）值域 ．值域C B.2.挖掘概念 请在进一步阅读教材的基础上，思考下面几个问题：（1）你是怎样理解函数定义的？定义中的关键词有哪些？你能举例说明影响函数有哪些因素呢？这些因素构成了函数的几大要素？（2）教材第16页倒数第5行至最后一行的两个例子想告诉我们什么？第17页的“思考”你能回答清楚吗？（3）对于每一个函数，其定义域和对应关系是否一定给出？（4）怎样理解符号()y f x =？()y f x =表示是“y 等于f 与x 的乘积”（链接3）（5）用实例说明：()()f x f a 、 f(3)、有什么区别？()f x 、 g(x)、F(x)又有什么区别于联系？（6）在怎样的条件下可称两个函数为相同的函数？试举例说明.●试一试 用函数的新定义说明y =2是函数.快乐体验 1.在下列从集合A 到B 的对应关系中，哪些是函数关系？请说明理由．（1）A R =，B R +=，对应法则f ：2x y x →=（2）A R +=，B R =，对应法则f ：2y x =（3）{}22,A x x x R =-≤≤∈，{1B y =-＜y ＜1，}y R ∈，对应法则f ：2x y x →=（4）A R +=，B R +=，对应法则f ：2x y x →=（5）{}11,A x x x R =-≤≤∈， {}0,1B =，对应法则f ：0x y →=●体验反思你是怎样判断集合A到B的对应关系为函数关系的呢？请填写：是否成为函数关系，一看集合A、B是否为，二看A中的元素在B中是否有元素对应．三、典例赏析例１.例2.阅读相等函数的定义，判断下列各组式子是否表示相等函数，请说明理由．（1）()f x=2()g x=；（2）2()21f x x x=++，2()21g t t t=++；（3）()f x=，()g x=.●思路启迪：想一想相等函数必须满足哪什么条件？解：●解后反思两个函数是否为相等函数的条件有那些？依据是什么？变式练习下列函数中哪些与函数y x=是相等函数？（1）2()g x=；（2）()f x=；（3）()f x=（4）2xyx=. 解：例3、已知函数f（x）=12x+，求f（－3），2()3f的值．●思路启迪：体会函数对应法则f是什么？f（x）的含义是什么？解：●解后反思解答此类题的关键在哪里？变式练习已知函数f（x）=12x+，当0a>时，求()f a，(1)f a-的值．解：●解后反思若去掉0a>，在什么条件下才能求(1)f a-的值？四、学习反思１.通过本节课的学习，你实现了我们的学习目标吗？学到了哪些知识？如：函数的新定义，指导初中函数定义与新定义在表述上的差异吗？一个对应关系要成为函数，需要满足哪些条件？怎样判断两函数是否为相等函数？ 对应法则f 在函数中起什么作用?等2.通过本节课的学习，你感受到新的函数定义“美”在哪里？（链接4）五、学习评价１.在下列从集合A 到B 的对应关系中，哪些是函数关系？① A B Z ==，对应法则f ：2x x y →= ② {}(,),A x y x x R y R =∈∈，B R =，对应法则f ：(,)x y t xy →=③ {}12,A x x x R =-≤≤∈，{}35,B Y x Y R =-≤≤∈，对应法则f ：21x y x →=+2.判断下列各组式子是否表示相等函数．① y x =，2y =② 1y x =+，211x y x -=- ③ 0y x =，1y = ④ y x =，y = ３.设集合M={x |0≤x ≤2}，N={y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有 ．A ． ①②③④B ．①②③C ．②③D ．②4.在下列从集合A 到B 的对应关系中，哪些是函数关系？（1）A B R ==，对应法则f ：x y →=（2）A N =，B Z =，对应法则f ：x y x →=±（3）{}24,A x x x R =≤≤∈，B R =，对应法则f ：x y →=（4）{}1,2,3A =，{}2,4,6,8B =，对应法则f ：2x y x →= 解：5.判断下列各组式子是否表示相等函数．（1）()1f x x =-，2()12x g x =- ； （2）2()f x x =，()g x = （3）y=y = ； （4）()21f n n =-，()21g n n =+，（n N ∈） 解：6（选作）已知a 、b ∈N *,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则我们试求一下下题：)2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________ ◆承前启后 函数的三要素有轻重之分吗？确定函数的定义域有哪些因素？给出函数解析式，如何求它的定义域？除可用集合表示连续的数集外，还可有其它的形式吗？六、 学习链接链接１.初中函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。

第一章 集合与函数的概念1.2.1 函数的概念（第1课时）主备 王务刚 班级________ 姓名________【导学目标】教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念. 教学难点: 函数概念及符号)(x f y =的理解.教学方法: 在丰富的实例中，通过对关键词的强调和引导，使学生发现、概括出它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.【课前预习】 知识回顾：初中函数的概念在一个变化的过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地____________________________那么我们称_________的函数，其中x 是_________，y 是________． 新知梳理：高中函数的概念1.概念：记A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中_________x ，在集合B 中都有______________ ______________与它对应，那么就称:f A B →叫做从___________到_________，一个函数，记作_________________，其中x 叫做_______，x 的取值范围叫做________________．与x 相对应的y 值，叫函数值，函数值得集合_________________叫做函数的值域. 值域是集合B 的____________.感悟：（1）构成函数的三要素是什么？_________，_________，_________注意：①函数三个要素中．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的_______和_________完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 相同函数的判断方法：①__________________；② (两点必须同时具备)（2）集合A 、B 是什么样的集合？（3）定义域和集合A 的关系，值域和集合B 的关系？预习练习：1. 在直角坐标系下作x 轴的垂线与某函数图象相交，最多能有几个交点？2.如果自变量取值a ，则由对应关系f 确定的值y 称为_______________，记作_________，所有函数值构成的集合________________，叫做_________．3.函数422--=x x y 的定义域是 . 【合作探究】例1：下列函数中哪一个与函数x y =相同（ ）A ．2)(x y =B ．33x y =C ．2x y = D ．x x y 2=例2：求下列函数的定义域：（1）y =（2）11122--+-=x x x y例3 已知函数213)(+++=x x x f （1）求函数的定义域；（2）求)3(-f ，)32(f 的值；（3）当0>a 时，求)(a f ，)1(-a f 的值.【达标检测】1..下列四个图象中，是函数图象的是( )A.①B.①③④C.①②③D.③④2.下列各组函数中，两个函数相等的一组是（ ）A ．0)(x x f =与1)(=x gB ． 1)(-=x x f 与1)(2-=x x x gC ． 2)(x x f =与4)()(x x g =D ． 2)(x x f =与36)(x x g =.3.求下列函数的定义域（1）1)(-=x x f ，（2）.2||1)(-=x x g【课堂小结与反思】：1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A ，B 必须是非空数集．(2)A 中任意一元素在B 中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．根据图形判断对应是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x 轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．3.判断函数相等的方法判断函数是否相等，关键是树立定义域优先的原则．(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．4.求函数定义域的常用方法(1)若)(x f 是分式，则应考虑使分母不为零．(2)若)(x f 是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(3)若)(x f 是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．(4)若)(x f 是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．(5)若)(x f 是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．5．函数求值的方法(1)已知)(x f 的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得)(a f 的值．(2)求)]([a g f 的值应遵循由里往外的原则．。

五步教学设计模式教学案：必修1 主备人：禹丽芹一、教学目标：能说出函数的定义，能用集合与对应的语言刻画函数，记住构成函数的要素；会判断一个对应是否为函数；会根据函数的要素判断两个函数是否相等；会用区间表示数集。

教学重点：函数的定义，函数的构成要素及函数定义的应用，用区间表示数集。

教学难点：函数定义的理解。

二、预习导学（一）知识梳理（以问题或填空题的形式呈现）1、函数的概念：2、函数相等：3、区间：三、问题引领，知识探究问题1、函数定义中集合A 、B 有什么要求？问题2、函数定义中由A 到B 时什么性质对应（一对一、多对一、一对多)?问题3、函数符号“)(x f y =”中)(x f 含义是什么？例1 ：判断下列对应是否为从集合A 到集合B 的函数。

（1）21:,,xy x f R B R A =→== （2）x y x f R B N A ±=→==:,,（3）2:*,,-=→==x y x f N B N A（4）4)3(,3)2()1(,},3,2,1{=====f f f R B A变式1：集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）．A. B. C. D.问题4：何为两个函数相等？例2：下列函数中哪个与函数y=x 相等？（1）2)(x y =；（2）33x y =；（3）2x y =；（4）xx y 2=.变式2：判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由： （1）22x x y x y ==与；（2）⎩⎨⎧<-≥==0,20,22x x x x y x y 与；（3）)()(u f y x f y ==与。

例3：把下列数集用区间表示。

（1）}2|{≥x x （2）}0|{<x x（3）}62,11|{<≤<<-x x x 或变式3：集合}52|{<≤x x 用区间表示为 集合}5|{≤x x 用区间表示为四、目标检测1、下列图像中，能表示函数)(x f y =图像的是（ ）2、判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由： （1）N x x y R x x y ∈-=∈-=,1,1与； （2）2242+⋅-=-=x x y x y 与；（3）xu x y 1111+=+=与； 3、集合{}321≤<=x x x 或用区间表示为五、分层配餐A 组1、与函数)(222R x x x y ∈+-=是相等的函数是（ ） A.)(222R x x x y ∈+-= B.)(22R x x x y ∈-=C.)0(1)1(2≤+-=x x yD.)(1)1(2R x x y ∈+-= 2、函数图像与直线1=x 的交点最多有（ ）A.0个 B ．1个 C ．2个 D ．以上都不对 3、已知区间]12,[+a a ，则实数a 范围是 （ ） A.RB.31-≥aC.31->aD.31-<a 4、集合{}1,51≠<≤-x x x 且用区间表示为B 组5、设集合 )13,5[),10,[=-∞=B A ，则=)(B A C U （用区间表示）6、下列给的集合不能用区间表示的是（ ）A.}11|{<<-x xB.}55|{≤≤x xC.}2|{≤x xD.}|{R x x ∈C 组7、判断下列函数是否是实数集R 上的函数： （1）;13:+x x f 对应到把 （2）;1:+x x g 对应到把 （3）;521:-x x h 对应到把 （4）;63:+x x f 对应到把。

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111 §1.2.1 函数的概念
一． 自主探究
教材P 15~ P 18，对照学习目标，完成下列任务
探究任务一：函数概念
1.（1）结合教材15页三个实例归纳函数的定义
（2）认真阅读《名师一号》13页例1，完成变式训练1
2.认真阅读17页例1，（1）完成19页练习1，2，完成24页习题A 组1
（2）归纳如何求函数的定义域？
3.(1) 构成函数的三要素是什么？起决定作用的是哪两个要素？
(2)认真阅读18页例2，完成19页练习3，完成24页习题A 组2
(3)归纳如何判断两个函数是否相等？
4.
(1) 求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

(2) 求223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-值域.
(3) 求
,x ∈R 的值域 （4）求
，x ∈【0，2】的值域 由上可知求函数的值域需要注意什么？
探究任务二：区间及写法
试试：用区间表示.
（1）{x |x ≥1}= 、{x |x >-3}= 、{x |x ≤6}= 、{x |x <-1}= .
（2）｛x|1x a -≤≤｝= . = ..
（3）函数y 的定义域 .
二．总结提升
本节课你的收获是什么？
2()23f x x x =-+2()23f x x x =-+2()23f x x x =-+{|01}x x x <>或x。

云南省德宏州芒市第一中学高中数学 1.2.1 第1课时 函数的概念教学设计 新人教版必修1一、教学目标：能说出函数的定义，能用集合与对应的语言刻画函数，记住构成函数的要素；会判断一个对应是否为函数；会根据函数的要素判断两个函数是否相等；会用区间表示数集。

教学重点：函数的定义，函数的构成要素及函数定义的应用，用区间表示数集。

教学难点：函数定义的理解。

二、预习导学（一） 知识梳理（以问题或填空题的形式呈现） 1、函数的概念： 2、函数相等：3、区间：定义名称符号 数轴表示{}b x a x ≤≤ 闭区间 {}b x a x << 开区间{}b x a x <≤ 半开半闭区间{}b x a x ≤<半开半闭区间{}a x x ≥ {}a x x > {}a x x ≤ {}a x x <R三、问题引领，知识探究问题1、函数定义中集合A 、B 有什么要求？问题2、函数定义中由A 到B 时什么性质对应（一对一、多对一、一对多)? 问题3、函数符号“)(x f y =”中)(x f 含义是什么？ 例1 ：判断下列对应是否为从集合A 到集合B 的函数。

（1）21:,,x y x f R B R A =→== （2）x y x f R B N A ±=→==:,,（3）2:*,,-=→==x y x f N B N A（4）4)3(,3)2()1(,},3,2,1{=====f f f R B A变式1：集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）．A. B. C. D. 问题4：何为两个函数相等？例2：下列函数中哪个与函数y=x 相等？（1）2)(x y =；（2）33x y =；（3）2x y =；（4）xx y 2=.变式2：判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由： （1）22x x y x y ==与； （2）⎩⎨⎧<-≥==0,20,22x x x x y x y 与；（3）)()(u f y x f y ==与。

锦山蒙中高一数学导学案 姓名：课题：1.2.1函数的概念（一）目标：1、通过实例，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；2、理解并掌握函数的概念，体会用集合与对应的语言刻画函数；3、能够运用函数的概念判断给定的对应关系是否为函数关系；重点：函数概念的理解及判断给定的对应关系是否为函数关系难点：函数概念的理解一、复习回顾1.初中数学中，函数是如何定义的？在一个变化过程中，有两个变量 和 ，对于 每一个确定的值， 都有唯一的值与之 ，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。

2.初中阶段我们都学过哪些函数呢？3.函数的表示方法有哪些？思考：)(0R x y ∈=是函数吗？二、新知探究探究任务一：函数模型，研究教材P15-16三个实例，探讨以下问题探讨1.实例（1）存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？探讨2.实例（2）存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？探讨3.实例（3）存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？探讨4.分析、归纳以上三个实例变量之间的关系有什么共同点？探究任务二：函数概念设A 、B 是 集，如果按照某种确定的 ，使对于集合A 中的任 数x ，在集合B 中都有 的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作： .其中，x 叫 ，x 的取值范围A 叫作 ，与x 的值对应的y 值叫做 ，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做 .显然，值域是集合B 的 .探讨1.如何理解函数概念中的f(x)？探讨2.定义域、值域和对应关系称为函数的三要素。

定义域，对应关系和值域三者有着怎样的关系？探讨3.值域与数集B有着怎样的关系？例：判断从集合A到集合B的对应关系是不是函数关系？并指明定义域和值域。

（1）A={1，2，3}. B={1，2，4，6，8，10}.对应关系f：x→y=2x（2）A={0，1，2，3}. B={1，2，4，6，8，10}.对应关系f：x→y=2x（3）A={1，-1，2，-2，3，-3}. B={1，2，4，9，10，12}.对应关系f：x→y=x2（4）A={4，9，16}. B={2，-2，3，-3，4，-4}.对应关系f：x→y=（5）A={平行四边形}. B=R.对应关系f：求A中平行四边形的面积.（6）A={（x，y）|xєR,yєR}. B=R，对应关系f :（x，y）→S=x+y.总结：判断从集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法（1）A，B必须都是非空数集；（2）A中任意一个数在B中必须有唯一的实数和它对应；（3）A中的元素无剩余，B中的元素允许有剩余；（4）函数中两个变量x，y对应关系可以是一对一或者是多对一，而不能是一对多。

1.2.1 函数的概念教学目标1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识.2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学生学习的积极性.重点难点教学重点：理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.教学难点：符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.教学过程导入新课思路1.北京时间2005年10月12日9时整,万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空,5天后圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟”六号飞行期间,我们时刻关注“神舟”六号离我们的距离y随时间t是如何变化的,本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究.引出课题.推进新课新知探究提出问题(1)给出下列三种对应：①一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度为h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h=130t-5t2.时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.则有对应f：t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.②近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图1-2-1-1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106 km2)随时间t(单位：年)从1991~2001年的变化情况.图1-2-1-1根据图1-2-1-1中的曲线,可知时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B={S|0≤S≤26},则有对应：f：t→S,t∈A,S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况根据上表,可知时间t的变化范围是数集A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数y的变化范围是数集B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应：f：t→y,t∈A,y∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数,请用集合的观点给出函数的定义.(3)函数的定义域是自变量的取值范围,那么你是如何理解这个“取值范围”的？(4)函数有意义又指什么？(5)函数f：A→B的值域为C,那么集合B=C吗？活动：让学生认真思考三个对应,也可以分组讨论交流,引导学生找出这三个对应的本质共性.解：(1)共同特点是：集合A、B都是数集,并且对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f：A→B下,在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应.(2)一般地,设A、B都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.在研究函数时常会用到区间的概念,设a ,b 是两个实数,且a <b ,如下表所示：(3)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围.(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0;被开方数为非负数;如果函数有实际意义时,那么还要满足实际取值等等. (5)C ⊆B . 应用示例例1 已知函数f (x +21+x , (1)求函数的定义域； (2)求f (-3),f (32)的值； (3)当a >0时,求f (a ),f (a -1)的值.解：(1)要使函数有意义,自变量x 的取值需满足⎩⎨⎧≠+≥+.02,03x x 解得-3≤x <-2或x >-2,即函数的定义域是［-3,-2)∪(-2,+∞)； (2)f (-3)=33-++231+-=-1;f (32)=2321332+++=23383+；(3)∵a >0,∴a ∈［-3,-2)∪(-2,+∞)， 即f (a ),f (a -1)有意义，则f (a +21+a ，f (a -112a -+=112+++a a .点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f (x )的理解.求使函数有意义的自变量的取值范围,通常转化为解不等式组.f (x )是表示关于变量x 的函数,又可以表示自变量x 对应的函数值,是一个整体符号,分开符号f (x )没有什么意义.符号f 可以看作是对“x ”施加的某种法则或运算.例如f (x )=x 2-x +5,当x =2时,看作“2”施加了这样的运算法则：先平方,再减去2,再加上5;当x 为某一代数式(或某一个函数记号时),则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如：f (2x +1)=(2x +1)2-(2x +1)+5,f ［g (x )］=［g (x )］2-g (x )+5等等.符号y =f (x )表示变量y 是变量x 的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y 等于f 与x 的乘积;符号f (x )与f (m )既有区别又有联系,当m 是变量时,函数f (x )与函数f (m )是同一个函数;当m 是常数时,f (m )表示自变量x =m 对应的函数值,是一个常量.已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即： (1)如果f (x )是整式,那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f (x )是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f (x )是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约. 变式训练1（1）求函数y =x x x --++11)1(2的定义域__________________. 【答案】{x |x ≤1,且x ≠-1} （2）若f (x )=x1的定义域为M ,g (x )=|x |的定义域为N ,令全集U =R ,则M ∩N 等于( ) A.M B.N C.M D.N【解析】由题意得M ={x |x >0},N =R ,则M ∩N ={x |x >0}=M . 【答案】A（3）已知函数f (x )的定义域是［-1,1］,则函数f (2x -1)的定义域是________.【解析】要使函数f (2x -1)有意义,自变量x 的取值需满足-1≤2x -1≤1,∴0≤x ≤1. 【答案】［0,1］例2 已知函数f (x )=221x x +,那么f (1)+f (2)+f (21)+f (3)+f (31)+f (4)+f (41)=________.【解析】解法一：原式=22222222222222)41(1)41(414)31(1)31(313)21(1)21(212111+++++++++++++=21+17117161011095154+++++=27. 解法二：由题意得f (x )+f (x 1)=2222)1(1)1(1xx xx +++=222111x x x +++=1. 则原式=21+1+1+1=27.【答案】27变式训练2（1）已知a 、b ∈N *,f (a +b )=f (a )f (b ),f (1)=2,则)2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________. 【解析】令a =x ,b =1(x ∈N *), 则有f (x +1)=f (x )f (1)=2f (x ), 即有)()1(x f x f +=2(x ∈N *). 所以,原式=2006222++=4012. 【答案】4012（2）设函数f (n )=k (k ∈N *),k 是π的小数点后的第n 位数字,π=3.1415926535…,则[]{}100)10(f f f 等于________.【解析】由题意得f (10)=5,f (5)=9,f (9)=3,f (3)=1,f (1)=1,…, 则有[]{}100)10(f f f =1.【答案】1（3）已知A ={a ,b ,c },B ={-1,0,1},函数f ：A →B 满足f (a )+f (b )+f (c )=0,则这样的函数f (x )有( )A.4个B.6个C.7个D.8个 【解析】当f (a )=-1时, 则f (b )=0,f (c )=1或f (b )=1,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有2个; 当f (a )=0时,则f (b )=-1,f (c )=1或f (b )=1,f (c )=-1或f (b )=0,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有3个; 当f (a )=1时,则f (b )=0,f (c )=-1或f (b )=-1,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有2个.综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个). 故选C. 【答案】C（4）若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y =x 2,值域是{1,4}的“同族函数”共有( )A.9个B.8个C.5个D.4个【解析】“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数. 令x 2=1,得x =±1;令x 2=4,得x =±2.所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2}, {-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有9个. 【答案】A 课堂训练1.已知函数f (x )满足：f (p +q )=f (p )f (q ),f (1)=3,则)9()10()5()7()8()4()5()6()3()3()4()2()1()2()1(22222f f f f f f f f f f f f f f f +++++++++=______.【解析】∵f (p +q )=f (p )f (q ), ∴f (x +x )=f (x )f (x ),即f 2(x )=f (2x ).令q =1,得f (p +1)=f (p )f (1),∴)()1(p f p f +=f (1)=3.∴原式=)9()10(2)7()8(2)5()6(2)3()4(2)1()2(2f f f f f f f f f f ++++=2(3+3+3+3+3)=30. 【答案】30 2.若f (x )=x1的定义域为A ,g (x )=f (x +1)-f (x )的定义域为B ,那么( ) A.A ∪B =B B.AB C.A ⊆B D.A ∩B =∅【解析】由题意得A ={x |x ≠0},B ={x |x ≠0,且x ≠-1}.则A ∪B =A ,则A 错;A ∩B =B ,则D 错; 由于BA ,则C 错,B 正确.【答案】B3.已知函数f (x )=x 2+1,x ∈R .(1)分别计算f (1)-f (-1),f (2)-f (-2),f (3)-f (-3)的值. (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.活动：让学生探求f (x )-f (-x )的值.分析(1)中各值的规律,归纳猜想出结论,再用解析式证明. 解：(1)f (1)-f (-1)=(12+1)-［(-1)2+1］=2-2=0; f (2)-f (-2)=(22+1)-［(-2)2+1］=5-5=0; f (3)-f (-3)=(32+1)-［(-3)2+1］=10-10=0.(2)由(1)可发现结论：对任意x ∈R ,有f (x )=f (-x ).证明如下： 由题意得f (-x )=(-x )2+1=x 2+1=f (x ). ∴对任意x ∈R ,总有f (x )=f (-x ). 课堂小结本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f (x )的理解. 作业课本习题1.2A 组1、5.。

§1.2.1函数的概念教学目标：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域.教学重点：函数概念和函数定义域及值域的求法.教学难点：函数概念的理解.教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：（Ⅰ）引入问题问题1 初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数） 问题2 初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x 和y ，，如果给定了一个x 的值，相应地确定唯一的一个y 值，那么就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量）.（Ⅱ）函数感性认识教材例子（1）：炮弹飞行时间的变化范围是数集，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集，对应关系 （*）.从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应.例子（2）中数集，，并且对于数集A 中的任意一个时间t ，按图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应. 例子（3）中数集，且对于数集A 中的每一个时间（年份），按表格，在数集B 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应. （III ）归纳总结给函数“定性”归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A 、B 间的一种对应关系：对数集A 中的每一个x ，按照某个对应关系，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，记作.（IV )理性认识函数的定义{026}A x x =≤≤{0845}B h h =≤≤21305h t t =-{19792001}A t t =≤≤{026}B S S =≤≤{1991,1992,,2001},{53.8,52.9,,37.9(%)}A B ==:f A B →设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ），与x 的值相队对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range ).定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；（1）对应法则f (x )是一个函数符号，表示为“y 是x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”，在不同的函数中，f 的具体含义不一样；y =f (x )不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f (x )表示外，还常用g (x )、F (x )、G (x )等符号来表示；自变量x 在其定义域内任取一个确定的值a 时，对应的函数值用符号f (a )来表示.如函数f (x )=x 2+3x +1,当x =2时的函数值是：f (2)=22+3×2+1=11.注意：f (a )是常量，f (x )是变量，f (a )是函数f (x )中当自变量x =a 时的函数值.（2）定义域是自变量x 的取值范围；注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如：y =x 2(x y =x 2(x >0)； y =1与y =x 0 ②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x 的集合；在实际中，还必须考虑x 所代表的具体量的允许值范围；如：一个矩形的宽为xm ，长是宽的2倍，其面积为y =2x 2，此函数的定义域为x >0,而不是.（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定.(V )区间的概念设a 、b 是两个实数，且a <b ，规定：（投影1）:f A B →(),y f x x A =∈{()}f x x A ∈与)R ∈R x ∈说明：① 对于，，，都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左端点，b 为右端点，称b -a 为区间长度；② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：不等式表示法：3<x <7（一般不用）；集合表示法：；区间表示法：； ③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；④ 实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x a , x >a , x b , x <b 的实数x 的集合分别表示为[a ,+∞]、（a ,+∞）、(-∞,b )、(-∞,b ).例题分析：（投影2）例1．已知y ＝f (x )的定义域为[1,2]，(1)求f (2x ＋1)的定义域；(2)求g (x )＝f (1＋x )＋f (2－x )的定义域．解析： (1)设2x ＋1＝t ，由于y ＝f (t )的定义域为[1,2]，∴1≤t ≤2,1≤2x ＋1≤2，解得0≤x ≤12. 即f (2x ＋1)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，12. (2)要使函数g (x )有意义，须使⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤21≤2－x ≤2 即0≤x ≤1∴函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[0,1]．例2．求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；(2)y ＝x ＋1；(3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5]；(4)y ＝x ＋2x －1；(5)y ＝3x ＋2x －1. 解析: (1)∵y ＝2x ＋1，且x ∈{1,2,3,4,5}，∴y ∈{3,5,7,9,11}．[]b ,a ()b ,a [)b a ，(]b ,a {}7x 3x <<()73，≥≤∴函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)∵x ≥0，∴x ＋1≥1.∴函数的值域为[1，＋∞)．(3)配方得y ＝(x －2)2＋2，∵x ∈[1,5]，由图知2≤y ≤11.即函数的值域为[2,11]．(4)令u ＝2x －1，则u ≥0，x ＝u 2＋12， ∴y ＝1＋u 22＋u ＝12(u ＋1)2≥12.∴函数的值域为[12，＋∞)． (5)y ＝3x ＋2x －1＝3(x －1)＋5x －1＝3＋5x －1≠3. ∴函数的值域为{y |y ≠3}．分析：当确定用解析式y =f (x )表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果f (x )是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（5）如果f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.例3．判断下列各组函数是否为相等函数：(1)f(x)＝(3)(5)()3x xf xx+-=+，g(x)＝x－5；(2)f(x)＝2x＋1(x∈Z)，g(x)＝2x＋1(x∈R)；(3)f(x)＝|x＋1|，1,1, ()1, 1.x xg xx x+≥-⎧=⎨--<-⎩解析：(1)(2)不是，(3)是．对于(1)，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，g(x)的定义域为R；对于(2)，f(x)的定义域为Z，g(x)的定义域为R，所以(1)(2)中两组函数均不是相等函数；对于(3)，两函数的定义域、对应关系均相同，故为相等函数分析：判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同.只有完全一致时，这两个函数才算相同.（解略）课堂练习：课本P22练习1、2、3.课时小结：本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）及求函数定义域的方法.函数定义中注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.课后作业1、书面作业：课本P28习题1.2A组题第1，2，3，4题；B组第1、2题.。