圆的 导 学案

人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教案【教材内容】1．圆心角的概念；2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．【教学目标】1．了解圆心角的概念;2．掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．【教学重点】通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．【教学难点】弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．【教学过程设计】一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究知识点一：圆心角 【类型一】圆心角的识别例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB 解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．知识点二：圆心角的性质 【类型一】利用圆心角的性质求角例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角例3 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明例4 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．知识点四：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 例5 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？解析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CDD∴AE=12AB，CF=12CD∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD∴AB=CD，∠AOB=∠COD方法归纳：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、教学小结师生一起总结本节学习知识要点：1．圆心角的概念；2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．【板书设计】24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角1.圆心角的识别2.圆心角的性质3.弧、弦、圆心角之间的关系4.运用弧、弦、圆心角的关系进行证明与计算【课堂检测】1．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也．(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的也相等．2. 如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60 °，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC3. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦。

B 九年级数学《5.1 圆（2）》导学案【学习目标】1.认识圆的弦、弧、优弧与劣弧、半径、直径及其有关的概念；2.认识同心圆、等圆、等弧的概念；3.了解“同圆或等圆的半径相等”，并能应用它解决有关的问题.【学习过程】一、自学提纲自学课本P108—109内容，解决下列问题：1.图中的弦有 ，弧有 ，圆心角有 .2.“一石激起千层浪”描述的图形是 ；“奥运五环”描述的图形是 .二、自主练习1.图中有________条直径，________条非直径的弦，圆中以A 为一个端点的优弧有_____________________________________，以B 为一 个端点的劣弧有________________________________.弦EF 所对的弧有____________________ .2.如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，在图中画出以这4个点中的2点为端点的弦.这样的弦共有多少条？三、合作探究1.抢答:(判断正误 )(1)弦是直径； （ ）(2)半圆是最长的弧； （ ）(3)直径是最长的弦； （ ）(4)半圆是弧，但弧不一定是半圆； （ ）(5)若P 是⊙O 内一点，过P 点的最长的弦有一条.； （ ）(6)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆； （ ）(7)半径相等的两个圆是等圆； （ ）(8)面积相等的两个圆是等圆； （ ）(9)长度相等的弧是等弧； （ ）(10)半径相等的两个半圆是等弧； （ ）(11)同一条弦所对两条弧一定是一条优弧、一条劣弧. （ ）2.如图：AB 、CD 为⊙O 的直径，DE ∥AB ，∠EOD=100°，求∠AOC 的度数.B3．如图，E是⊙O上一点，AB是⊙O的弦，OE的延长线交AB的延长线于C.如果BC=OE，∠C=40°，求∠AOC的度数.四、变式拓展如图，⊙O中，直径MN=10 ，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM = 45°，求AB的长.五、回扣目标1.直径与弦的关系；半圆与弧的关系；2.半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？六、课堂反馈1.已知点A为⊙O内部的一点，则经过点A的直径有（）A.1条B.2条C.无数条D.1条或无数条2.依次连接圆中两条直径的端点，所得的四边形的形状是________________.于D，如果CD=4，DB=8，求3.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CD AB⊙O的半径.。

2.3.2圆的一般方程【情境导学】情景引入在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确定一条直线，那么什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个方程表示吗？这就是本节课我们要探讨的问题．新知初探1．圆的一般方程的概念当时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为．3．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明思考1：圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？思考2：求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？思考3：所有二元二次方程均表示圆吗？ 初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程． ( )(2)圆的一般方程和标准方程可以互化． ( )(3)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0．( )2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)3．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝ ． 4．过O (0,0)，A (3,0)，B (0,4)三点的圆的一般方程为 ．【合作探究】【例1】 已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )所表示的图形是圆． (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.[跟进训练]1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．[思路探究]用待定系数法设出圆的一般方程，然后将A、B、C三点坐标代入，求出D、E、F即可．[规律方法]应用待定系数法求圆的方程(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F．2．已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程．[探究问题]1．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？2．已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，请求出直角顶点C的轨迹方程．【例3】已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝4B．x2－y2＝4C．x2＋y2＝4(x≠±2) D．x2－y2＝4(x≠±2)[思路探究]直角边垂直⇒斜率相乘等于－1⇒转化为方程⇒检验．[母题探究]过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程为．[规律方法]求与圆有关的轨迹的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法：利用圆的几何性质列方程；(4)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得点P的轨迹方程．【课堂小结】1．本节课要重点掌握的规律方法 (1)二元二次方程表示圆的判定方法． (2)应用待定系数法求圆的方程的方法． (3)代入法求轨迹方程的一般步骤．2．本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件．【学以致用】1．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D ．⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 2．若直线2x ＋y ＋m ＝0过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心，则m 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－2D ．03．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程为 ．4．方程x 2＋y 2－ax ＋by ＋c ＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a ＋b ＋c ＝ ． 5．求经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的一般方程．【参考答案】【情境导学】新知初探1．圆的一般方程的概念 D 2＋E 2－4F ＞02．圆的一般方程对应的圆心和半径⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 212D 2＋E 2－4F 3．对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的说明 思考1：[提示] 圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显． 思考2：[提示] 只要求出一般方程中的D 、E 、F 圆的方程就确定了． 思考3：[提示] 不是，Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，只有在A ＝C ≠0，B ＝0且D 2＋E 2－4AF ＞0时才表示圆． 初试身手1．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√[提示] (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的．(3)错误．当a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即－2<a <23时才表示圆．(4)正确．因为点M (x 0，y 0)在圆外，所以⎝⎛⎭⎫x 0＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y 0＋E 22>D 2＋E 2－4F 4，即x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0．2．D [圆的方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆心为(2，－3)．]3．4 [以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝16．即x 2＋y 2－4x ＋8y ＋4＝0，故F ＝4．]4．x 2＋y 2－3x －4y ＝0 [该圆的圆心为⎝⎛⎭⎫32，2，半径为52，故其标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝254．化成一般方程为x 2＋y 2－3x －4y ＝0．] 【合作探究】【例1】[解] (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9＝－7t 2＋6t ＋1， 由r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0得－17＜t ＜1．(2)∵r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， ∵37∈⎝⎛⎭⎫－17，1，∴当t ＝37时，圆的面积最大，r max ＝477． 所对应的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167． (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)×4t 2＋16t 4＋9＜0， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t ＜0，∴0＜t ＜34．[跟进训练]1．[解] (1)∵D ＝1，E ＝0，F ＝1， ∴D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3＜0， ∴方程不表示任何图形． (2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2， ∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0， ∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，∵a ≠0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2＞0， ∴方程表示圆，它的圆心为⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2， 半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝22|a |．【例2】[解] 设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．将A 、B 、C 三点坐标代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧5E ＋F ＋25＝0，D －2E ＋F ＋5＝0，3D ＋4E －F －25＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，F ＝－15.∴△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋6x －2y －15＝0， 即(x ＋3)2＋(y －1)2＝25，∴△ABC 的外接圆圆心为(－3,1)． [跟进训练]2．[解] 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0．[探究问题]1．[提示] 设M (x ，y )，则(x －8)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理可得点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16．2．[提示] 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．设C (x ，y )，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)． 【例3】C [设P (x ，y )，由条件知PM ⊥PN ，且PM ，PN 的斜率肯定存在，故k MP ·k NP ＝－1．即x 2＋y 2＝4，又当P ，M ，N 三点共线时，不能构成三角形，所以x ≠±2，即所求轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．] [母题探究](x －4)2＋y 2＝1 [设点P 的坐标为(x ，y )，点B 为(x 1，y 1)，由题意，结合中点坐标公式可得x 1＝2x －8，y 1＝2y ，故(2x －8)2＋(2y )2＝4，化简得(x －4)2＋y 2＝1，则AB 中点P 的轨迹方程为(x －4)2＋y 2＝1．]【学以致用】1．A [方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2＞0，即k ＜－1时才能表示圆．]2．D [圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，则圆心坐标为(1，－2)， ∵直线2x ＋y ＋m ＝0过x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心．∴2－2＋m ＝0得m ＝0．]3．x 2＋y 2＝4 [设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y .又(x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4．]4．2 [根据题意，方程x 2＋y 2－ax ＋by ＋c ＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，－b2＝2，14(a 2＋b 2－4c )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，c ＝4.∴a ＋b ＋c ＝2．]5．[解] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点的坐标代入方程整理可得 ⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.故所求圆的一般方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0．。

圆的标准方程学案圆的标准方程学案一、教学目标1、理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的推导过程；2、会根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，掌握圆的标准方程的应用；3、通过对圆的标准方程的学习，初步了解解析几何的基本思想和方法，提高数学思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学内容1、圆的标准方程的推导2、圆的标准方程的形式及其意义3、圆的标准方程的应用三、教学过程1、引入：通过实例展示圆的结构和特点，引出圆的标准方程的概念。

2、圆的标准方程的推导：通过几何法和代数法两种方法，推导出圆的标准方程。

3、圆的标准方程的形式及其意义：介绍圆的标准方程的形式，解释各项参数的意义，明确圆心坐标和半径的求解方法。

4、圆的标准方程的应用：通过实例演示，说明圆的标准方程在解决实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的外接正方形边长等。

四、教学步骤1、教师引导学生通过实例理解圆的结构和特点，引出圆的标准方程的概念。

2、教师介绍圆的标准方程的推导过程，通过几何法和代数法两种方法，推导出圆的标准方程。

3、教师解释圆的标准方程的形式，说明各项参数的意义，明确圆心坐标和半径的求解方法。

4、教师通过实例演示，说明圆的标准方程在解决实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的外接正方形边长等。

五、教学重点与难点1、教学重点：掌握圆的标准方程的推导过程，理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的应用。

2、教学难点：理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的应用。

六、教学方法与手段1、教学方法：讲解、演示、练习、互动交流。

2、教学手段：PPT、板书、实物展示。

七、教学评估1、课堂练习：通过练习题检验学生对圆的标准方程的理解和掌握情况。

2、课后作业：布置相关题目，加强学生对圆的标准方程的掌握和应用能力。

3、课堂讨论：引导学生对圆的标准方程的应用进行讨论，提高学生对该知识的理解和应用能力。

八、教学反思1、总结课堂效果：对本次课程的教学效果进行总结，分析学生的掌握情况。

O CABOA B第4章《对圆的进一步认识》导学案复习目标：一、知识与技能：1、通过复习，进一步理解圆的对称性，了解弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。

2、掌握垂径定理及其推论并会运用。

3、会做三角形的外接圆，进一步掌握三角形外心的位置与性质。

4、进一步理解圆周角与圆心角之间的关系，并能运用进行推理和计算。

二、情感与态度：培养不断探索的精神和严密全面的思维习惯。

三、主要思想方法：数形结合、数学建模、分类讨论等。

复习过程：知识链接：（千里之行，始于足下）1、回顾这三节课的主要知识，绘制知识网络图表，与同学交流。

2、对照课本以及复习目标对本节课的主要知识点查漏补缺。

题组一：（相信自己，你能行）1、在半径为5cm的⊙O中，弦AB长为8cm，那么弦AB的弦心距为cm2、如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是°3、如图，⊙O的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长为________cm；AOA B B D4、在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所如果油面宽8A B m=，那么油的最大深度是m. C5、如图，AB、AD是⊙O的弦，∠BOD = 140︒ , 则∠BCD的度数为。

思想方法小结：_____________________________________________________________题组二：（天高任鸟飞，海阔凭鱼跃）1、直角三角形的两条直角边长分别为5cm和12cm，则其外接圆的半径长_______。

2、在半径等于5cm的圆内有长为35cm的弦，则此弦所对的圆周角为_______。

3\已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分成6cm和8cm两段，第二条弦被交点分成12cm和Xcm则第二条弦的长为＿＿＿。

4、如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，60APC CPB∠=∠= ，（1）判断△ABC的形状并证明你的结论。

初中圆的定义教案教学目标：1. 让学生理解圆的基本概念和特征。

2. 让学生掌握圆的半径、直径、弧、弦等基本术语。

3. 让学生能够运用圆的性质解决实际问题。

教学重点：1. 圆的定义和基本性质。

2. 圆的半径、直径、弧、弦等基本术语。

教学难点：1. 圆的性质的理解和应用。

教学准备：1. 圆的模型或图片。

2. 直尺、圆规等绘图工具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生展示一些圆的模型或图片，让学生观察并描述它们的特点。

2. 引导学生思考：什么是圆？圆有哪些特征？二、新课（15分钟）1. 给出圆的定义：圆是平面上所有到定点距离相等的点的集合。

2. 解释圆的半径：连接圆心和圆上任意一点的线段。

3. 解释圆的直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段。

4. 解释弧：圆上任意两点之间的部分。

5. 解释弦：圆上任意两点之间的线段。

6. 引导学生通过观察和绘图，验证圆的性质。

三、练习（15分钟）1. 让学生绘制一个圆，并测量其半径、直径、弧、弦的长度。

2. 让学生根据给定的半径或直径，计算圆的面积。

3. 让学生解决一些实际问题，如：一辆自行车轮的直径为60厘米，求其周长和面积。

四、总结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结圆的定义、性质和基本术语。

2. 强调圆在实际生活中的应用。

五、作业（5分钟）1. 让学生完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 让学生观察生活中的圆，并描述它们的特征。

教学反思：本节课通过引导学生观察、思考和动手操作，让学生掌握了圆的定义、性质和基本术语。

在教学过程中，注意让学生充分参与，发挥他们的主观能动性，提高他们的动手能力和思维能力。

同时，结合实际问题，让学生体会圆的应用，增强他们的实践能力。

但在教学过程中，也发现部分学生对圆的性质的理解和应用还存在困难，需要在今后的教学中加强引导和练习。

2.3.4圆与圆的位置关系课前预习学案一．预习目标回忆圆与圆的位置关系有几种及几何特征，初步了解用圆的方程判断圆的位置关系的方法．二．预习内容1．圆与圆的位置关系有哪几种呢？2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．学习重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．学习难点：用坐标法判断两圆的位置关系．二．学习过程探究：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？例 1.已知圆C1：x2+y2+2x+3y+1=0，圆C2：x2+y2+4x+3y+2=0，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.变式2222(1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与的位置关系.三．反思总结判断两圆的位置关系的方法:四．当堂检测1．圆x 2+y 2−2x =0和x 2+y 2+4y =0位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切2．两圆012422=++-+y x y x 和014422=--++y x y x 的公切线有_____条．3．求圆0422=-+y x 和0124422=-+-+y x y x 的公共弦的长．课后练习与提高1.若直线0=++a y x 与圆a y x =+22相切，则a 为( )A.0或2B.2C.2D.无解2.两圆094622=+-++y x y x 和01912622=-+-+y x y x 的位置关系是( )A.外切B.内切C.相交D.外离3.已知圆22:()(2)4(0):30.C x a x a l x y l C -+-=>-+=及直线当直线被截得 的弦长为32时，则a =( )A ．2B ．22-C ．12-D ．12+ 4.两圆094622=+-++y x y x 和01912622=-+--+y x y x 的公切线有＿＿＿条5．一圆过圆x 2+y 2−2x =0和直线032=-+y x 的交点,且圆心在y 轴上,则这个圆的方程是________________.6.已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程．参考答案课前预习学案1. （1）相离，无交点（2）外切，一个交点（3）相交，两个交点；（4）内切，一个交点；（5）内含，无交点.2. 方法一，判断圆与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据连心线的长与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系，判断圆与圆的位置关系.课内探究学案例1. 解:(法一)圆C 1的方程配方,得(x +1)2+(y +32)2=94. 圆心的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,1,半径长231=r . 圆C 2的方程配方,得(x +2)2+(y +32)2=174. 圆心的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,2,半径长2172=r . 连心线的距离为1,217321+=+r r ,231721-=-r r . 因为217312317+<<-, 所以两圆相交.(法二)方程x 2+y 2+2x +3y +1=0与x 2+y 2+4x +3y +2=0相减,得21=x 把21=x 代入x 2+y 2+2x +3y +1=0,得4y 2+12y +1=0 因为根的判别式016144>-=∆,所以方程4y 2+12y +1=0有两个实数根,因此两圆相交.变式：解：根据题意得，两圆的半径分别为1214r r ==和，两圆的圆心距5.d == 因为 12d r r =+，所以两圆外切． 当堂检测参考答案：1．C 2．43．解：(法一)联立方程组，消去二次项，得y =x +2 将上式代入0422=-+y x 得，x 2+2x =0． 解得x 1＝-2，x 2=0．于是有y 1=0，y 2=2，所以两圆交点坐标是 A(-2,0)，B(0,2)．公共弦长22=AB ．(法二)联立方程组，消去二次项，得y =x +2圆心到直线y =x +2的距离是 22200=+-=d因为圆半径为2，所以公共弦长|AB|=2√22−(√2)2=2√2．课后练习与提高参考答案：1.C 2.A 3.C 4.3 5．x 2+y 2+4y −6=06.解：设圆C 的圆心为),(b a ，由题意得62 34004 231)1(33322==⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或得或解得． 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或．。

圆的认识学案【学习目标】1．认识圆，掌握圆的特征，了解圆的各部分名称，会用字母表示各部分名称。

2．掌握用圆规画圆的方法，会用圆规画圆。

3．培养自己的观察、分析、综合、概括及动手操作能力。

【学习重点】通过动手操作，理解直径与半径的关系，认识圆的特征。

会用圆规画圆。

【学习难点】认识圆的特征。

【学具准备】圆形纸片、圆形物体、直尺、圆规、线、剪刀等。

【学习流程】一、温故知新。

1．回忆：我们以前学过的平面图形有（）、（）、（）、（）、（）等，它们都是由（）围成的。

2．想一想：圆这种平面图形，它是由（）围成的。

3．举例说明：生活中哪些地方或哪些物体上有圆形？请写下来。

二、学海探秘。

任务（一）：认识圆各部分名称及圆的特征。

按课本例2操作圆形纸片，自学本页最后一段，完成下列题目。

1．想办法在纸上画一个圆。

想一想：圆这种平面图形，它是由（）围成的。

2．把在纸上画好的圆剪下来，按照例题操作圆形纸片，结合发现把下面的内容补充完整。

这些折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做（），一般用字母（）表示；连接（）和（）的线段叫做（），一般用字母（）表示；通过（）并且（）的线段叫做（），一般用字母（）表示。

3．在圆形纸片上描出圆心、半径、直径并用字母表示出来。

4．量一量，比一比，做一做：（利用圆形纸片学习）。

①在同一个圆内，有多少条半径，这些半径有什么特点？直径呢？②在同一个圆内，直径和半径的长度有什么关系？5．我会填。

①r=3.2cm ②d=2.5m ③r=1.9dm ④d=9cmd= r= d= r=6．我是小裁判。

①在同一个圆内只可以画100条直径。

（）②所有的圆的直径都相等。

（）③两端都在圆上的线段叫做直径。

（）④等圆的半径都相等。

（）任务（二）：用圆规画圆。

1．自学教材，用圆规画两个大小不同的圆（画在下面的空白处），然后组内交流画法。

第一步：确定（），张开圆规两脚，定好两脚间的距离作为（）；第二步：再点个点确定（），把有（）的一只脚固定在这一点上；第三步：让装有（）的一只脚旋转一周，就画出一个圆；第四步：用字母标示出（）、（）和（）。

圆⑴圆的定义及相关基本概念一、基本概念1、圆的定义⑴运动观点：________________________________________________________；图形：其中，固定的端点O 叫做_________，线段OA 叫做________，同一个圆（等圆）的半径__________，圆的记法__________，读作__________，圆心确定圆的________，半径确定圆的________； 设圆O 的半径为r ，则圆的周长C ⊙O =_________，圆的面积S ⊙O =____________；⑵集合观点：________________________________________________________；其中，定点叫做_________，定长叫做__________，圆上的点到圆心的距离等于_________；⑶点的轨迹 定义______________________________________________________；点的轨迹的几种基本类型①到定点距离等于定长的点的轨迹是_____________________________________________________；②到线段两段端点距离相等的点的轨迹是_________________________________________________；③到角两边距离相等的点的轨迹是_______________________________________________________；④到直线l 的距离等于定长d 的点的轨迹是_______________________________________________；⑤到两条平行线距离相等的点的轨迹是___________________________________________________；⑷拓展：平面上点与圆的位置关系点P 和圆心的距离d 与圆的半径r 决定点与圆的位置关系①d =r ⟺___________________； ②d >r ⟺___________________；③d <r ⟺___________________；练习1已知⊙O 的半径r =2cm ，若点P 满足下列条件，试判断点P 与⊙O 的位置关系；①若PO=1cm ，则___________________；②若PO=2cm ，则___________________；③若PO=3cm ，则___________________；练习2已知线段AB=4cm ，画图说明满足下列条件的点的轨迹（集合）；①和点A 的距离等于3cm 的点的轨迹；②和点B 的距离等于3cm 的点的轨迹；③和点A 、B 的距离都等于3cm 的点的轨迹；④和点A 、B 的距离都小于3cm 的点的轨迹；2、圆中的基本元素⑴弦______________________，经过圆心的弦叫做_________，公理⑵弦心距________________，圆心角___________________________；⑶弧_____________________，分类{半圆________________，表示方法_________________；优弧________________，表示方法_________________；劣弧________________，表示方法_________________；⑷等圆___________________，同心圆_________________，等弧______________________⑸弓形________________________，弓形面积的计算方法_____________________________；3、例1 求证：直径是圆中最长的弦； 例2求证：直角三角形三顶点在同一个圆上；课后练习⑴1、 判断下列说法是否正确；①弧长相等的弧是等弧；（ ）②等于半径两倍的线段是直径；（ ）③直径是弦；（ ）④弦是直径；（ ）⑤优弧一定比劣弧长；（ ）⑥面积相等的两圆是等圆；（ ）⑦经过圆内的一定点可以作无数条弦；（ ）⑧经过圆内一定点可以作无数条直径；（ ）2、如图，已知矩形ABCD 的边AB=3cm ，AD=4cm ；①以点A 为圆心，4cm 为半径作⊙A ，则B 、C 、D 与⊙A 的位置关系如何？②若以点A 为圆心的⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？3、已知：菱形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：E 、F 、G 、H 四点在以O 为圆心的同一个圆上；4、已知，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，E 、F 为垂足，求证：A 、E 、C 、F 在同一个圆上；5、如图，在⊙O 中，①半径有___________________________； ②弦有_____________________________；③优弧有___________________________；④劣弧有___________________________；6、点P 与⊙O 上的各点的连线段中，最长是8cm ，最短是2cm ，则⊙O 的半径为___________；7、点P 是⊙O 内一点，且圆的半径r =5cm ，OP=2cm ，则点P 与圆上的点的连线段中最长的线段长为_________，最短的线段长为_________；8、已知⊙O 的半径r =10cm ，圆心O 到直线l 的距离OM=8cm ，直线l 上有一点P ，且PM=6cm ，则点P 与⊙O 的位置关系为_________________，OP=_________cm ，S ∆OPM =____________，sin∠OPM =___________；9、试求满足下列条件的动点P(x ，y)满足的方程或函数关系式；①动点P(x ，y)到定点A(1，2)，B(−1，3)的距离相等； ②动点P(x ，y)到定点A(1，2)的距离等于定长3；③动点P(x ，y)到定点A(1，2)的距离等于动点P(x ，y)到直线y =−1的距离；AB。

小学数学青岛版六年级上册
圆的认识预学案
1．我们以前学过的平面图形有_________ 、_________、 _________ 、
_________、 _________ 等，这些图形都是用_________组成的。

2．举例说说生活中你见过圆形的物体。

_______、______、______。

3.想办法在纸上画一个圆。

观察你画的圆,你认为圆是用_________线围成的。

4.把纸上画好的圆剪下来，对折、打开，再换个方向对折、再打开，反复几次。

折痕相交于圆中心的一点，叫做（），一般用字母（）表示。

连接（）和圆上的任意一点的线条叫做（），一般用字母（）表示。

通过圆心并且两端都在圆上的线段，叫做（），一
般用字母（）表示。

5.画出下面圆的对称轴，并说说你能画出多少
条？
填空题
1.时钟的分针转动一周形成的图形是（）。

2.从（）到（）任意一点的线段叫半径。

3.通过（）并且（）都在（）的线段叫做直径。

4.在同一个圆里，所有的半径（），所有的（）也都相等，直径等于半径的（）。

5.用圆规画一个直径20厘米的圆，圆规两脚步间的距离是（）厘米。

第24章圆复习学案一、复习目标：1、理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征。

2、了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。

3、了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。

4、了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积。

5、结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力，同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育。

二、本章知识结构框图三、知识点、方法与有关习题24.1 圆（一）圆及有关概念。

【圆的两个定义、弦、弧（分类）、等圆、等弧、弓形等】（二）垂径定理：一条直线满足①②③ＦＯ Ｅ Ｈ④ ⑤ ，则“知二证三”。

温馨提示：1、常做的辅助线为 、 。

2、经常用到的小Rt △的三边分别为 。

3、在同圆或等圆中，①半径②弦心距③弦④弓高这个四个条件，则 。

例1：如图，在半径为5cm 的⊙O 中，连接圆心O 和弦AB 的中点C ，且OC 为3cm ，则弦AB 的长是 ，若延长OC 与⊙O 交于点D ，则CD 的长为 。

例2：圆的半径为13cm ，两弦AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ，求两弦AB 、CD 的距离？例3：一支考古队发现了一个残破的古代圆盘碎片，如图所示，考古学家测量了弦AB ＝300 mm ，圆弧的高为90 mm ，于是得到了这个古圆盘的半径，从而确定了它的圆心，终于使这个古圆盘得以复原，请问你知道考古学家是怎样得出它的半径的吗？【练习】1、（2010 北京）如图，AB 为圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，连结OC ，若OC=5，CD=8，则AE= 。

1圆 第 讲时间： 年 月 日 刘老师 学生签名：一、 兴趣导入我读的书愈多，就愈亲近世界，愈明了生活的意义，愈觉得生活的重要。

二、 学前测试1、下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）Ａ．2210x x +-= Ｂ．2x +22x+2=0 Ｃ．2210x x ++= Ｄ．220x x -++=2、如图，将三角尺ABC （其中∠ABC ＝60°，∠C ＝90°）绕B 点按顺时针方向转动一个角度到△A 1BC 1的位置，使得点A ，B ，C 1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°3、在成都市二环路在某段时间内的车流量为30.6万辆，用科学记数法表示为（ ） A ．430.610⨯辆 B ．33.0610⨯辆 C ．43.0610⨯辆 D ．53.0610⨯辆4、给出下列命题：（1）平行四边形的对角线互相平分； （2）对角线相等的四边形是矩形；（3）菱形的对角线互相垂直平分； （4）对角线互相垂直的四边形是菱形． 其中，真命题的个数是（ ）Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1 5、下列各函数中，随增大而增大的是（ ）①． ②（x < 0） ③． ④ A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①③ 6、在△ABC 中，90C ∠=，若4BC =，2sin 3A =，则AC 的长是（ ） Ａ．6Ｂ．25Ｃ．35Ｄ．2137、若点A （－2，y 1）、B （－1，y 2）、C （1，y 3）在反比例函数xy 1-=的图像上，则（ ） Ａ． y 1＞y 2 ＞y 3 Ｂ．y 3＞ y 2 ＞y 1 Ｃ．y 2 ＞y 1 ＞y 3 Ｄ． y 1 ＞y 3＞ y 2 8、如图，EF 是圆O 的直径，5cm OE =，弦8cm MN =，则E ，F 两点到直线MN 距离的和等于（ ） Ａ．12cm Ｂ．6cmＣ．8cm Ｄ．3cmy x 1y x =-+3y x=-21y x =+23y x =-_ C _1_ A _1_ A_ B_ C（第2题图）ＦＯＫ Ｍ Ｇ ＥＨＮ （第8题图）29、若抛物线22y x x c =-+与y 轴的交点坐标为(0,3)-，则下列说法不正确的是（ ） Ａ．抛物线的开口向上 Ｂ．抛物线的对称轴是直线1x = Ｃ．当1x =时y 的最大值为4- Ｄ．抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-、(3,0) 10、反比例函数k y x=的图象如左图所示，那么二次函数221y kx k x =--的图象大致为 （ ）y y y yx x x x1.C2.A3.D4.C5.C6.B7.C8.B9.C 10.B三、方法培养☆专题1：确定圆的条件1．过已知点作圆(1)经过一点的圆（以这个点以外任意一点为圆心，以这一点与已知点的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个）(2)经过两点的圆(以连接这两点的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点和已知两点中任意一点的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数个)(3)经过三点的圆①经过在同一直线上三点不能作圆．②过不在同一直线上三个点可以作且只可以作一个圆．作法是：连接任意两点并作中垂线，再连接另外两点并作中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点和已知三点中任意一点的距离为半径作圆，这样的圆只有一个． 2．三角形的外接圆(1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆(2)三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆．这个三角形叫做圆的内接三角形． 3．三角形的“四心”OO A ．O Ｂ．OＣ．O yxD ．在三角形中：三边垂直平分线的交点叫外心；三角平分线的交点叫内心；三边中线的交点叫重心；三边上高的交点叫垂心4．经过四点的圆(1)四点中任意三点都不在同一条直线上，用三条线段将这4个点连接起来，分别作这三条线段的垂直平分线，如果这三条垂直平分线交于一点，则有经过4点的圆，否则没有．(2)要判定4点是否共圆，只要看能否找到一点到这4点的距离相等．【例１】1．（2012•六盘水）下列命题为真命题的是（）A．平面内任意三点确定一个圆B．五边形的内角和为540°C．如果a＞b，则ac2＞bc2D．如果两条直线被第三条直线所截，那么所截得的同位角相等考点：确定圆的条件；不等式的性质；同位角、内错角、同旁内角；多边形内角与外角；命题与定理．分析：利用确定圆的条件、不等式的性质及多边形的内角与外角等知识进行判断找到正确的即可．解答：解：A、平面内不在同一直线上的三点确定一个圆，故本答案错误；B、五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，故本选项正确；C、当c=0时，原式不成立，故本答案错误；D、两直线平行，同位角相等，故本答案错误．故选B．点评：本题考查了确定圆的条件、不等式的性质及多边形的内角与外角等知识，属于基础题，知识点比较多．2．（2008•雅安）下列叙述正确的是（）A．三点确定一个圆B．对角线相等的四边形为矩形C．顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等考点：确定圆的条件；平行四边形的判定；矩形的判定；圆心角、弧、弦的关系．分析：根据确定圆的条件，矩形的判定定理，圆心角定理以及三角形的中位线定理即可作出判断．解答：解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故选项错误；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项错误；C、E、F、G、H是四边形ABCD的中点，连接AC，∵E、H是AD、CD的中点，∴EH∥AC，EH=AC，同理FG∥AC，FG=AC，∴EH∥FG，EF=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．3故顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，是正确的．故选项正确；D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，故选项错误．故选C．点评：本题考查了确定圆的条件，矩形的判定定理，圆心角定理以及三角形的中位线定理，正确掌握定理是关键．3．（2010•台湾）如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=21，BC=20．若有一半径为10的圆分别与AB、BC 相切，则下列何种方法可找到此圆的圆心（）A．∠B的角平分线与AC的交点B．A B的中垂线与BC中垂线的交点C．∠B的角平分线与AB中垂线的交点D．∠B的角平分线与BC中垂线的交点考点：确定圆的条件；圆的认识．专题：压轴题．分析：因为圆分别与AB、BC相切，所以圆心到AB、CB的距离一定相等，都等于半径．而到角的两边距离相等的点在角的平分线上，圆的半径为10，所以圆心到AB的距离为10．因为BC=20，所以BC的中垂线上的点到AB的距离为10，所以∠B的角平分线与BC的中垂线的交点即为圆心．解答：解：∵圆分别与AB、BC相切，∴圆心到AB、CB的距离都等于半径，∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上，∴圆心定在∠B的角平分线上，∵因为圆的半径为10，∴圆心到AB的距离为10，∵BC=20，又∵∠B=90°，∴BC的中垂线上的点到AB的距离为10，∴∠B的角平分线与BC的中垂线的交点即为圆心．故选D．点评：本题考查的是圆的确定，运用角平分线的判定和平行线的性质来解题，题目难度中等．4变式练习11．（2010•乐山）如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）考点：确定圆的条件；坐标与图形性质．专题：网格型．分析：连接AB、AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．解答：解：如图所示，∵AW=1，WH=3，∴AH==；∵BQ=3，QH=1，∴BH==；∴AH=BH，同理，AD=BD，所以GH为线段AB的垂直平分线，易得EF为线段AC的垂直平分线，H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，则BH=AH=HC，H为圆心．于是则该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．故选C．点评：根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心．2．（2002•荆州）下列说法不正确的是（）5只有当x=1时，分式的值才为零B．与2是同类二次根式C．等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合D．三点确定一个圆考点：确定圆的条件；分式的值为零的条件；同类二次根式；等腰三角形的性质．分析：根据分式值是0的条件，二次根式的化简，三线合一定理，确定圆的条件即可解答．解答：解：A、x2﹣1=0且x+1≠00，解得：x=1，故正确；B、=3，2=，故正确；C、根据三线合一定理可得．故正确；D、因为不在同一直线的三点确定一个圆，故D错误．故选D．点评：此题综合性较强，考查了分式、同类二次根式、等腰三角形“三线合一”、确定圆的条件等知识点．3．（2002•黄石）下列命题中，错误的命题是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．等弧所对的圆周角相等C．经过三点一定可作圆D．若一个梯形内接于圆，则它是等腰梯形考点：确定圆的条件；平行四边形的判定；等腰梯形的判定；圆周角定理．分析：利用平行四边形的性质判定和圆的有关知识分析．解答：解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确；B、等弧所对的圆周角相等，此选项正确；C、经过不在同一直线的三点一定可作圆，故此选项错误；D、若一个梯形内接于圆，则它是等腰梯形，此选项正确．故选C．点评：本题综合考查了平行四边形的圆的有关知识．学生对这些基础性的知识要牢固掌握．☆专题2：直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．67例2如图，直角梯形中， ， ，， 为上的一点，平分，平分.求证：以为直径的圆与相切.分析：要证以为直径的圆与 相切，只需证明 的中点到的距离等于.证明 ：过点作于，同理可证：为的中点，即：以为直径的圆与相切.说明：在判定直线是圆的切线时，若条件没有告诉它们有公共点，常用的方法就是“距离判定”法，即先由圆心到该直线作垂线，证明圆心到该直线的距离恰好等于半径，从而得出直线是圆的切线的结论.变式训练21. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =∠D =90°，若AB =6，AD =4，BC =2，试问：DC 上是否存在点P ，使R t △PBC ∽R t △APD ？分析：若R t △PBC ∽R t △APD ，则∠APD +∠BPC =90°，可知∠APB =90°，所以P 点为以AB为直径的圆O与DC的交点，由条件可知为⊙O与DC相切，所以存在一点P，使R t△PBC∽R t△APD．解：设以AB为直径的圆为⊙O，OP⊥DC，则：OP为直角梯形ABCD的中位线，∴OP=（AD+BC）/2=（4+2）/2=3，又∵OA=OB=AB/2=3，∴OP=OA，∴⊙O与DC相切，∴∠APB=90°，∴∠APD+∠BPC=90°．又∵∠PBC+∠BPC=90°，∴∠APD=∠PBC，又∵∠C=∠D=90°，∴R t△PBC∽R t△APD．因此，DC上存在点P，使R t△PBC∽R t△APD．说明：①直线与圆位置关系的应用；②此题目可以变动数值，使DC与⊙O相交、相离．2. 已知中，，于，，，以为圆心，为半径画圆.求证直线和⊙相离.8分析：欲证直线和⊙相离，只需计算点到的距离的长，若，则判定与⊙相离（如图）证明于，是圆心到的距离∽.又⊙的半径为，故与⊙相离.☆专题3：函数自变量的取值范围例31、函数中，自变量x的取值范围是（）A、x≤6B、x≥6C、x≤﹣6D、x≥﹣6考点：函数自变量的取值范围。

高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:圆的标准方程一、学习目标学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。

情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。

二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

三、运用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。

2、不会的，模棱两可的问题标记好。

3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、学问链接： 1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.依据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.依据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。

4. 1.2 圆的一般方程【教学目标】１．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．【教学重难点】教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．（二）检查预习、交流展示1.写出圆的标准方程.2.写出圆的标准方程中的圆心与半径.（三）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．引出圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0， (2)x 2+y 2+2by=0．解析：先配方，将方程化为标准形式，再求圆心和半径．解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b ． 点拨：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 变式训练１：１．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8=0表示圆的充要条件是（ ） Ａ．k ＞4或者k ＜－1 Ｂ．－1＜k ＜4 Ｃ．k =4或者k =－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0与x 轴切于原点，则有（ ） Ａ．F =0，DE ≠0 Ｂ．E 2＋F 2=0，D ≠0 Ｃ．D 2＋F 2=0，E ≠0 Ｄ．D 2＋E 2=0，F ≠0 答案：１．Ａ ２．Ｃ例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解析：已知圆上的三点坐标，可设圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由O 、A 、B 在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0， 故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6=0． 点拨：1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；(3)解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．变式训练２： 求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2∶x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．解：解方程组⎩⎨⎧=+++=++08-2y 2x y x 024-10y 2x -y x 2222，得两圆交点为（－４，０），（０，２）．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为⎪⎩⎪⎨⎧--ａ＋ｂ＝０＝ｒ＋（２－ｂ）ａ＝ｒ＋ｂａ２２２２２2)4( 解得ａ＝－３，ｂ＝３，ｒ＝10． 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． （四）反馈测试 导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程． 【板书设计】一：圆的一般方程的定义1．分析方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 2．圆的一般方程的定义 二：圆的一般方程的特点 (1) (2) (3) 例1 变式训练１： 例2 变式训练２： 【作业布置】 导学案课后练习与提高4. 1. 2 圆的一般方程课前预习学案一．预习目标回顾圆的标准方程，了解用圆的一般方程及其特点．二．预习内容１．圆的标准方程形式是什么？圆心和半径呢？２．圆的一般方程形式是什么？圆心和半径呢？３．圆的方程的求法有哪些？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．学习重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．学习难点：圆的一般方程的特点．二．学习过程前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+E y+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹2．引出圆的一般方程的定义探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．（２）与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．（３）的系数可得出什么结论？例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．变式训练１：１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．变式训练２：求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．三．反思总结四．当堂检测 １．方程342-+-=x x y 表示的曲线是（ ）Ａ．在x 轴上方的圆 Ｂ．在y 轴右方的圆 Ｃ．x 轴下方的半圆 Ｄ．x 轴上方的半圆２．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆的方程是 . ３．求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．参考答案：１．Ｄ ２．x 2+y 2-６x+８y=0 ３．x 2+y 2-x+7y-32=0 课后练习与提高１．方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4+9=0表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．－71＜m ＜1 Ｂ．－1＜m ＜71Ｃ．m ＜－71或m ＞1 Ｄ．m ＜－1或m ＞71２．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于直线x ＋y =0对称，则有（ ）Ａ．D ＋E =0 Ｂ．D ＋F =0 Ｃ．E ＋F =0 Ｄ．D ＋E ＋F =0 ３．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（ ）Ａ．x 2＋y 2＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2＋y 2＋3x ＋y －2=0 Ｃ． x 2＋y 2＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2＋y 2－x －3y =0４．方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是 . ５．过点A （－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为 . ６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．。

圆周运动导与练【知识清单】1、匀速圆周运动的特点：（1）匀速圆周运动的定义：做圆周运动的物体在相等的时间内通过的弧长相等（2）匀速圆周运动的轨迹：是圆，且任意相等的时间内半径转过的角度相等（3）匀速圆周运动的性质：a 、“匀速”指的是“匀速率”，即速度的大小不变但速度的方向时刻改变b 、加速度大小不变，但加速度的方向时刻改变，所以是变加速曲线运动2、圆周运动的表征物理量：（1）线速度v ：定义：圆周运动的瞬时速度；单位时间内通过的弧长大小：线速度=弧长/时间，即v=s/t ；方向：圆周的切线方向；匀速圆运动线速度的特点：线速度大小不变，但方向时刻改变（2）角速度ω：定义：半径在单位时间内转过的角度； 大小：角速度=角度（弧度）/时间即：ω=φ/t单位：弧度每秒，即：rad/s ；匀速圆周运动中角速度特点：角速度恒定不变（3）周期T ：定义：匀速圆周运动物体运动一周所用的时间；大小：周期=周长/线速度，即：T=2πr/v单位：秒，即s ；匀速：圆周运动中周期的特点：周期不变（4）频率f ：定义：每秒钟完成匀速圆周运动的转数大小：f=1/T单位：赫兹，即Hz ，1Hz=1转/秒（5）转速n ：定义：单位时间内做匀速圆周运动的物体转过的圈数，符号n大小：转速的大小就等于频率的大小单位：国际单位制中用转/秒，日常生活中也用转/分3、匀速圆周运动各物理量之间的关系：（1）各物理量之间的关系：Tn T r T w rw v 1,2,2,====πυπ 说明: rw v =在非匀速圆周运动中同样适用，其中w v ,为任一相同时刻的线速度和角速度。

（2）同一转盘上半径不同的各点，角速度相等但线速度大小不同（3）皮带传动或齿轮传动的两轮边缘线速度大小相等，但角速度不一定相同（4）当半径一定时，线速度与角速度成正比；当角速度一定时，线速度与半径成正比【考点分析】命题点一圆周运动的运动学问题1．对公式v＝ωr的理解当r一定时，v与ω成正比．当ω一定时，v与r成正比．当v一定时，ω与r成反比．2．常见的传动方式及特点(1)皮带传动：如图3甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即v A＝v B.图3(2)摩擦传动和齿轮传动：如图4甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即v A＝v B.图4(3)同轴转动：如图5甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr 知v与r成正比．【例1】匀速圆周运动是一种（）A．匀速运动B．匀加速运动C．匀加速曲线运动D．变速曲线运动【答案】D【详解】匀速圆周运动物体的加速度的方向不断变化，所以是一种变速曲线运动，故D正确，ABC 错误。