圆学案(全章)

人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教案【教材内容】1．圆心角的概念；2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．【教学目标】1．了解圆心角的概念;2．掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．【教学重点】通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．【教学难点】弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．【教学过程设计】一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究知识点一：圆心角 【类型一】圆心角的识别例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB 解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．知识点二：圆心角的性质 【类型一】利用圆心角的性质求角例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角例3 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明例4 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．知识点四：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 例5 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？解析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CDD∴AE=12AB，CF=12CD∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD∴AB=CD，∠AOB=∠COD方法归纳：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、教学小结师生一起总结本节学习知识要点：1．圆心角的概念；2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．【板书设计】24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角1.圆心角的识别2.圆心角的性质3.弧、弦、圆心角之间的关系4.运用弧、弦、圆心角的关系进行证明与计算【课堂检测】1．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也．(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的也相等．2. 如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60 °，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC3. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦。

§2圆与圆的方程2．1圆的标准方程知识点一确定圆的条件[填一填]一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就确定了，如图所示．[答一答]1．确定圆的标准方程需要具备的条件是什么？提示：由标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 知确定圆的标准方程需要确定三个参数a、b、r.其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．知识点二圆的标准方程[填一填](1)圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆的圆心，定长称为圆的半径．(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)当圆心是坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2[答一答]2．若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？提示：圆的半径不一定是a，当a>0 时，半径是a；当a<0 时，半径是－a.圆心坐标不是(m，n)，应是(－m，－n)，因为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2 化为标准结构是[x－(－m)]2＋[y－(－n)]2＝|a|2.3．圆的标准方程有哪些优点？确定圆的标准方程有几个基本要素？提示：圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径．在圆的标准方程中有两个基本要素：圆心坐标和半径，只要a，b，r三个量确定了，且r>0，则圆的标准方程就确定了，这就是说要确定圆的标准方程，必须具备三个独立的条件，注意确定a，b，r，可以根据条件利用待定系数法来解决．知识点三点与圆的位置关系[填一填]设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d＝r；点在圆外⇔d>r.[答一答]4．判断点和圆的位置关系的依据是什么？提示：判断点与圆的位置关系的依据是圆心到该点的距离和圆的半径的大小关系．1．对于圆的标准方程，我们要从其结构形式上准确地记忆．2．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性．3．确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r.类型一根据方程确定圆心和半径【例1】分别写出下列方程所表示圆的圆心坐标和半径．(1)(x－2)2＋(y－2)2＝8；(2)(x＋4)2＋y2＝4；(3)(x＋m)2＋(y－n)2＝p2.【思路探究】利用圆的标准方程的几何特征解答．【解】(1)原方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(2 2)2，∴圆心坐标为(2,2)，半径r＝2 2.(2)原方程可化为[x－(－4)]2＋(y－0)2＝22，∴圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2.(3)原方程可化为[x－(－m)]2＋(y－n)2＝p2，∴圆心坐标为(－m，n)，半径r＝|p|.规律方法由圆的标准方程可直接得出圆心坐标和半径，但要注意圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 中，a，b前的运算符号均为减号．给定圆：(x－2)2＋(y＋8)2＝(－3)2，下列说法中正确的是(C)A．圆心坐标是(2，－8)，半径长为－3B．圆心坐标是(－2,8)，半径长为3C．圆心坐标是(2，－8)，半径长为3D．圆心坐标是(－2,8)，半径长为－3解析：对照圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，知圆心坐标是(2，－8)，半径长不可能是负数，故为3.类型二判断点与圆的位置关系【例2】已知两点P(3,8)，Q(5,4)，试分别判断点M(6，3)，N(3,5)在以线段PQ为直径的圆上，圆内，还是圆外？【解】线段PQ的中点为C(4,6)，|PQ|＝5－32＋4－82＝2 5，∴圆的半径r＝5，以线段PQ为直径的圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.由于(6－4)2＋(3－6)2＝13>5，∴点M在圆外．由于(3－4)2＋(5－6)2＝2<5，∴点N在圆内．规律方法点与圆的位置关系及判断方法：(1)点M与圆心C的距离与半径r比较：|CM|＝r⇔点M在圆上；|CM|>r⇔点M在圆外；|CM|<r⇔点M在圆内．(2)利用圆的标准方程来确定：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(m，n)．(m－a)2＋(n－b)2＝r2⇔点M在圆上；(m－a)2＋(n－b)2>r2⇔点M在圆外；(m－a)2＋(n－b)2<r2⇔点M在圆内．设圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，试判断下列各点是在圆内、圆外、还是圆上？(1)M(－1，－7)；(2)N(－3,1)；(3)P( 2，2)．解：(1)∵(－1－2)2＋(－7＋3)2＝25，∴点M在圆C上．(2)∵(－3－2)2＋(1＋3)2＝41>25，∴点N在圆C外．(3)∵( 2－2)2＋( 2＋3)2＝17＋2 2<25，∴点P在圆C内．类型三求圆的标准方程【例3】求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的标准方程．【思路探究】用待定系数法，求出圆心(a，b)、半径r.也可用几何法．【解】解法一：∵圆心在y轴上，∴a＝0.设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵该圆经过A、B两点，∴Error!∴Error!所以圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝10.2－4 1解法二：线段AB的中点为(1,3)，k AB＝＝－，3－－1 2∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由Error!得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r为0＋12＋1－42＝10，∴所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10.规律方法求圆的标准方程就是要求圆心坐标和圆的半径，解法一是先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和圆半径，解法二抓住圆的性质及题目的特点，求出线段AB的垂直平分线方程并与y轴的方程联立组成方程组，先得出了圆心的坐标，而后求出圆的半径．已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0 上，求此圆的标准方程．解：解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由已知条件得Error!即Error!∴Error!∴所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.1解法二：由A(2，－3)，B(－2，－5)得AB的中点为(0，－4)，k AB＝，∴AB的垂直平2分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组Error!得Error!∴圆心为(－1，－2)，半径r＝2＋12＋－3＋22＝10.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.解法三：设点C是圆心，∵点C在直线l上，∴设点C(2b＋3，b)．又∵|CA|＝|CB|，∴2b＋3－22＋b＋32＝2b＋3＋22＋b＋52，解得b＝－2，∴圆心为C(－1，－2)，半径r＝10，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.——规范解答系列——数形结合解决与圆有关的最值问题【例4】设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点，求x－12＋y－12的最大值．【精解详析】因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，因此x－12＋y－12表示点(1,1)与该圆上点的距离，如图所示．易知点(1,1)在圆x2 ＋(y＋4)2 ＝4 外，结合右图易得x－12＋y－12的最大值为1－02＋1＋42＋2＝26＋2.【解后反思】用数形结合的思想方法也能求出x－12＋y－12的最小值为26－2.求圆外一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝d－r；求圆内一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝r－d.已知点P(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝36 上，求x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围．解：x2＋y2＋2x－4y＋5＝[x－－1]2＋y－22，其最值可视为圆上一点P(x，y)到定点A(－1,2)的距离的最值，又(－1－2)2＋(2＋3)2<36，所以点A在圆内，问题可转化为圆心C(2，－3)到定点A(－1,2)的距离与半径6 的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋6，最小值为6－34.所以x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围是[6－34，6＋34]．一、选择题1．点A(－2,3)与圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9 的位置关系是(B)A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定解析：圆心坐标为C(－3,1)，半径r＝3，|AC|＝5<r，所以点A在圆内．二、填空题2．过A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.解析：过A，B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆．∴圆心坐标为(0，－4)，1半径r＝|AB|＝ 5.2∴圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.3．若点M(5 a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26 的外部，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．解析：由题意得(5 a＋1－1)2＋( a)2>26，即a>1.三、解答题4．已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0 与直线x－2y＋2＝0 的交点，且圆过点P(－5,6)．求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解：解方程组Error!得Error!∴圆心M的坐标为(0,1)．半径r＝|MP|＝52＋1－62＝5 2.∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝2－02＋2－12＝5<r，∴点A在圆内．∵|BM|＝1－02＋8－12＝50＝r，∴点B在圆上．∵|CM|＝6－02＋5－12＝52>r，∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．。

直线与圆的位置关系【学习目标】1．直线与圆的三种位置关系代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a2＋y －b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式Δ【小试牛刀】1.若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( )2.如果直线与圆组成的方程组有解,则直线和圆相交或相切.( )3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( )4.过半径外端的直线与圆相切.( )【经典例题】题型一直线与圆的位置关系 直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系．例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0,圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时,圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．[跟踪训练]1已知直线l ：x －2y ＋5＝0与圆C ：(x －7)2＋(y －1)2＝36,判断直线l 与圆C 的位置关系.题型二圆的切线方程 (1)点在圆上时求过圆上一点(x 0,y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ,再由垂直关系得切线的斜率为－1k,由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y ＝y 0或x ＝x 0. (2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．由圆心到直线的距离等于半径,可求得k ,也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0),与圆的方程联立,消去y 后得到关于x 的一元二次方程,由Δ＝0求出k ,可得切线方程．提醒：切线的斜率不存在的情况,不要漏解．例2 （1）求过圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0上一点P (3,3)的切线方程。

数学：第一章《立体几何初步》学案（新人教版B 版必修2）第一章《立体几何初步》单元小结导航知识链接点击考点（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。

（2） 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。

（3） 通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

（4） 理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。

（5） 理解平面的基本性质及确定平面的条件。

（6） 掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。

（7） 掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。

名师导航1.学习方法指导 （1） 空间几何体①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。

②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。

③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。

④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。

由1()2S c c h ''=+正棱台侧和()3hV s s '=正棱台，就可看出它们的侧面积与体积公式的联系。

（2） 点，线，面之间的位置关系①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。

②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行平面与平面平行。

③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直 直线与平面垂直平面与平面垂直。

2.思想方法小结在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。

主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。

3.综合例题分析例1：如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，A '，B '，C '分别是PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的重心。

圆的一般方程【学习目标】1.圆的一般方程的概念当时,二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．其中圆心为,圆的半径为r ＝.2.对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的讨论①D 2＋E 2－4F ＞0时表示圆．②D 2＋E 2－4F ＝0时表示点.③D 2＋E 2－4F ＜0时,不表示任何图形．思考：方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？【小试牛刀】1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )2.二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程.( )3.若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆,则E ≠0.( )4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.( )【经典例题】题型一圆的一般方程的认识 注意：判断方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆,关键是将其配方⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4,最后转化为判断D 2＋E 2－4F 的正负问题．例1 若方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆,则a 的取值范围是________．[跟踪训练]1下列方程各表示什么图形？若表示圆,求出其圆心坐标和半径长．①x 2＋y 2－4x ＝0；②2x 2＋2y 2－3x ＋4y ＋6＝0；③x 2＋y 2＋2ax ＝0.题型二求圆的一般方程注意：确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x―a)2＋(y―b)2＝r2(r＞0)；(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组；(3)解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(－2,3),C(4,－5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[跟踪训练]2 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0,圆心在直线x＋y－1＝0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程．题型三与圆有关的轨迹问题注意：求涉及到曲线的轨迹问题时,一般有两种方法：一是直接法,即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法,代入法也叫相关点法,就是把动点(x,y)与相关点(x0,y0)建立等式,再把x0,y0用x,y 表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制．例3 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；[思路探究](1)设点P坐标→用P，A坐标表示点M坐标→求轨迹方程(2)求BP 的中点E 的轨迹方程．[跟踪训练]3 设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ,点P 在圆上,则PA 的中心M 的轨迹方程是________．【当堂达标】1．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( )A ．一个点B ．一个圆C ．一条直线D ．不存在 2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆,则实数m 的取值范围是( )A ．m ＜12B ．m ≤12C ．m ＜2D ．m ≤23.圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的面积为( )A.8πB.4πC.2πD.π 4．若方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋ 2λ2―λ＋1＝0表示圆,则λ的取值范围是( )A ．(1,＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1C ．(1,＋∞)∪⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15 D ．R 5．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ,点P 在圆上,则PA 的中心M 的轨迹方程是________．6.若点M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0内一点,则过点M (3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )A.x ＋y －3＝0B.x －y －3＝0C.2x－y－6＝0D.2x＋y－6＝07.如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程.【参考答案】【自主学习】D 2＋E 2－4F ＞0⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E212D 2＋E 2－4F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2 A ＝C ≠0,B ＝0且D 2＋E 2－4F ＞0.【小试牛刀】(1)√ (2)× (3)√ (4)√【经典例题】例1 (－∞,1) [把方程配方得(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1－a ,由条件可知1－a ＞0,即a ＜1.][跟踪训练]1[解] ①方程可变形为(x －2)2＋y 2＝4,故方程表示圆,圆心为C (2,0),半径r ＝2.②方程可变形为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋2(y ＋1)2＝－238,此方程无实数解．故方程不表示任何图形．③原方程可化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2.当a ＝0时,方程表示点(0,0),不表示圆；当a ≠0时,方程表示以(－a,0)为圆心,|a |为半径的圆．例2 [解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,∵A ,B ,C 在圆上,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0,即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴外心坐标为(1,－1),外接圆半径为5.法二：∵k AB ＝4－31＋2＝13,k AC ＝4＋51－4＝－3,∴k AB ·k AC ＝－1,∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形,∴外心是线段BC 的中点,坐标为(1,－1),r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.[跟踪训练]2 [解] 圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2,∵圆心在直线x ＋y －1＝0上,∴－D 2－E2－1＝0,即D ＋E ＝－2. ①又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2,∴D 2＋E 2＝20. ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限,∴－D 2＜0,即D ＞0.则⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.例3 [解] (1)设线段AP 的中点为M (x ,y ),由中点公式得点P 坐标为(2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上,∴(2x －2)2＋(2y )2＝4,故线段AP 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.（2）设点E(x,y),P(x0,y0)．∵B(1,1),∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x0＋12，y ＝y0＋12.整理得x0＝2x －1,y0＝2y －1,∵点P 在圆x2＋y2＝4上,∴(2x－1)2＋(2y －1)2＝4,整理得点E 的轨迹方程为x2＋y2－x －y －12＝0. [跟踪训练]3 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 [由条件知A (2,－1),设M (x ,y ),则P (2x －2,2y ＋1),由于P 在圆上, ∴(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0,整理得x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.]【当堂达标】1.A [方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0,可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0,即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0,∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1,－2)．]2. A [由D 2＋E 2－4F ＞0得(－1)2＋12－4m ＞0,解得m ＜12,故选A.] 3. C 解析 原方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2,∴半径r ＝2,∴圆的面积为S ＝πr 2＝2π.4. A [因为方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2―λ＋1＝0表示圆,所以D 2＋E 2―4F ＞0,即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0,解不等式得λ＞1,即λ的取值范围是(1,＋∞)．故选A.] 5. x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0由条件知A (2,－1),设M (x ,y ),则P (2x －2,2y ＋1),由于P 在圆上,∴(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0,整理得x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.6. C 解析 圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0的圆心坐标为(4,2),则过点M (3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.由k ＝2－04－3＝2,可知C 正确. 7. 解 设B 点坐标是(x ,y ),点A 的坐标是(x 0,y 0),由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点,所以4＝x 0＋x 2,3＝y 0＋y 2,于是有x 0＝8－x ,y 0＝6－y .①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动,所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4,即(x0＋1)2＋y20＝4,②把①代入②,得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4,整理,得(x－9)2＋(y－6)2＝4. 所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.。

直线与圆综合（定点、定值、最值问题）一、解答题1．已知圆()222:2(0)M x y r r +-=>与曲线()():23430C y x y --+=有三个不同的交点. （1）求圆M 的方程；（2）已知点Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.①若42AB =，求MQ 及直线MQ 的方程； ②求证：直线AB 恒过定点.2．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上．(1)若圆分别与x 轴、y 轴交于点A 、B(不同于原点O)，求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于不同的两点，且，求圆M 的方程；(3)设直线与(2)中所求圆交于点E 、F ， P 为直线x=5上的动点，直线PE ，PF 与圆的另一个交点分别为G ，H ，且G ，H 在直线异侧，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标.3．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-. （1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ,当2AOB π∠=时，求k 的值.（2）若1,2k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线,PC PD ，切点为,C D ，探究：直线CD 是否过定点；（3）若,EF GH 为圆22:2O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求四边形FGFH 的面积的最大值.4．已知平面直角坐标系xoy 内两个定点()1,0A 、()4,0B ,满足2PB PA =的点(),P x y 形成的曲线记为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)过点B 的直线l 与曲线Γ相交于C 、D 两点,当⊿COD 的面积最大时,求直线l 的方程(O 为坐标原点); (3)设曲线Γ分别交x 、y 轴的正半轴于M 、N 两点,点Q 是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN 交x 轴于点E 、连结QM 交y 轴于F .求证四边形MNEF 的面积为定值.5．已知圆22:9O x y +=，直线1l :x =6，圆O 与x 轴相交于点A B 、（如图），点P (-1,2)是圆O 内一点，点Q 为圆O 上任一点（异于点A B 、），直线A Q 、与1l 相交于点C ．（1）若过点P 的直线2l 与圆O 相交所得弦长等于，求直线2l 的方程； （2）设直线BQ BC 、的斜率分别为BQ BC k k 、，求证：BQ BC k k ⋅为定值.6．已知圆C 经过点()()0,2,2,0A B ，圆C 的圆心在圆222x y +=的内部，且直线3450x y ++=被圆C 所截得的弦长为3点P 为圆C 上异于,A B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N . （1）求圆C 的方程；（2）求证:AN BM 为定值；（3）当PA PB 取得最大值时，求MN ．7．如图，已知定圆22:(3)4C x y +-=，定直线:360m x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点. （Ⅰ）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ； （Ⅱ）当||23PQ =时，求直线l 的方程；（Ⅲ）设t AM AN =，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由. 8．已知圆，相互垂直的两条直线都过点，（1）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线都相切，求圆的方程；（2）当时，记被圆所截得的弦长分别为，求：①的值；②的最大值.9．已知圆C ：()2244x y +-=，直线l ：()()31140m x m y ++--= （Ⅰ）求直线l 所过定点A 的坐标；（Ⅱ）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；（Ⅲ）已知点()3,4M -，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数。

人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解， 两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0， 解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)， 半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0， 得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72， 半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。

2．2圆的切线的判定和性质[自主学习]1．切线的判定定理文字语言符号语言图形语言切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线OA是圆O的半径．直线l⊥OA且A∈l，则l是圆O的切线2．切线的性质定理及推论文字语言符号语言图形语言切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径直线l与圆O相切于点A，则l⊥OA推论1经过圆心且垂直于切线的直线经过切点直线l与圆O相切于点A.过O作直线m⊥l，则A∈m推论2经过切点且垂直于切线的直线经过圆心直线l与圆O相切于点A过A作直线m⊥l，则O∈m3．切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等．[合作探究]怎样求圆的切线长？提示：利用圆外的点、圆心、切点构成的直角三角形求长．切线的判定定理的应用如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．求证：AC是⊙O的切线．本题主要考查切线的判定问题，解此题时只需证明AC⊥OE即可．连接OE.∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.又∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE.∴∠OEB＝∠CBE.∴EO∥CB.∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即AC⊥OE.∵E为⊙O半径OE的外端，∴AC是⊙O的切线．证明直线与圆相切一般有以下几种方法：(1)直线与圆只有一个公共点；(2)圆心到直线的距离等于圆的半径；(3)切线的判定定理．几何证明问题常用方法(3)．1．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是()A．DE＝DO B．AB＝ACC．CD＝DB D．AC∥OD解析：选A当AB＝AC时，如图：连接AD，因为AB是⊙O的直径，所以AD⊥BC，所以CD＝BD，因为AO＝BO，所以OD是△ABC的中位线，所以OD∥AC，因为DE⊥AC，所以DE⊥OD，所以DE是⊙O的切线．所以B正确．当CD＝BD时，AO＝BO，同B，所以C正确．当AC∥OD时，因为DE⊥AC，所以DE⊥OD.所以DE是⊙O的切线．所以D正确．2．已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．证明：如图，连接OB ，OC ，OD ，OD 交BC 于E . ∵∠DCB 是BD 所对的圆周角， ∠BOD 是BD 所对的圆心角， ∠BCD ＝45°，∴∠BOD ＝90°. ∵∠ADB 是△BCD 的一个外角，∴∠DBC ＝∠ADB －∠ACB ＝60°－45°＝15°， ∴∠DOC ＝2∠DBC ＝30°，从而∠BOC ＝120°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°. 在△OEC 中，∵∠EOC ＝∠ECO ＝30°， ∴OE ＝EC .在△BOE 中， ∵∠BOE ＝90°，∠EBO ＝30°， ∴BE ＝2OE ＝2EC ，∴CE BE ＝CD DA ＝12，∴AB ∥OD .∴∠ABO ＝90°， 故AB 是△BCD 的外接圆的切线.切线的性质定理的应用AB 于E ，若BC ＝5，AC ＝12.求⊙O 的半径．⊙O 切AB 于点E ，由圆的切线的性质，易联想到连接OE 构造Rt △OAE ，再利用相似三角形的性质，求出⊙O 的半径．连接OE ，∵AB 与⊙O 切于点E ，∴OE ⊥AB ， 即∠OEA ＝90°.∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ， ∴OE BC ＝AOAB.∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13， ∴OE 5＝12－OE 13，∴OE ＝103. 即⊙O 的半径为103.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．3.如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°解析：选B 连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ， 所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°， 所以∠AOB ＝50°，又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上， 所以∠C ＝12∠AOB ＝25°.4．AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .证明：连接OD ，则OD ⊥DC ， 又OA ＝OD ，DA ＝DC ，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，∠DOC＝∠DAO＋∠ODA＝2∠DCO，所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，所以OC＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA.所以AB＝2BC.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线交AC于E.求证：DE⊥AC.本题主要考查切线性质定理的应用．解题时由于DE是⊙O的切线，则OD⊥DE，故要证DE⊥AC，只需证明OD∥AC即可．连接OD、AD，如图．∵AB为⊙O直径，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，即△ABC为等腰三角形，∴AD为BC边上的中线，即BD＝DC.又OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线．∴OD∥AC.∵DE切⊙O于D，∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.与圆的切线有关问题往往连接圆心与切点添加辅助线后出现垂直关系，这是解决圆的切线问题的一个关键点．5．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．解：如图，连接OB ，∵OA ＝OB ，OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， ∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∠OAB ＝∠OBA . 又∠BAC ＝20°，∴∠OBA ＝20°，∠BAP ＝90°－∠BAC ＝70°， ∠ABP ＝90°－∠OBA ＝70°. ∴∠P ＝180°－∠BAP －∠ABP ＝40°.6.如图，已知AD 为⊙O 的直径，B 为AD 延长线上一点，BC 与⊙O 切于C 点，∠A ＝30°.求证：(1)BD ＝CD . (2)△AOC ≌△BDC .证明：(1)因为AD 为⊙O 的直径，所以∠ACD ＝90°， 又因为∠A ＝30°，OA ＝OC ＝OD ， 所以∠ACO ＝30°，∠ODC ＝∠OCD ＝60°， 又因为BC 与⊙O 切于C 点，所以∠OCB ＝90°， 所以∠BCD ＝30°，所以∠B ＝30°， 所以∠BCD ＝∠B ，所以BD ＝CD . (2)因为∠A ＝∠ACO ＝∠BCD ＝∠B ＝30°， 所以AC ＝BC ， 在△AOC 和△BDC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠B ，AC ＝BC ，∠ACO ＝∠BCD ，所以△AOC≌△BDC.本课时主要考查圆的切线的性质定理与判定定理的应用，题目难度中档．如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O 的切线与OC的延长线交于点P，则P A＝.本题主要考查圆的切线的性质定理和圆周角定理的应用．如图，连接OA.由∠ABC＝30°，得∠AOC＝60°，在直角三角形AOP中，OA＝1，于是P A＝OA tan 60°＝ 3.答案： 3一、选择题1．矩形的两邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形中与半圆相切的边有()A．1条B．2条C．3条D．0条解析：选C以较长的边为直径作半圆，半径正好与另一边相等，所以由图可知，与半圆相切的边有3条．2.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，连接OE，OF，则∠EOF＝()A．30°B．45°C．100°D．90°解析：选C因为∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，所以∠A＝80°，则∠EOF＝180°－80°＝100°.3．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，PC＝AC＝1，则⊙O的半径为()A．33B．23C．35D．25解析：选A连接OC.设∠P AC＝θ.因为PC＝AC，所以∠CP A＝θ，∠COP＝2θ.又因为PC与⊙O相切于点C，所以OC⊥PC.所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O的半径为r，在Rt△POC中，r＝CP·tan30°＝1×33＝33.4．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin∠ACO＝()A．1010B．210C．55D．24解析：选A连接BD，则BD⊥AC.∵AD＝DC，∴BA＝BC，∵BC是⊙O的切线，切点为B，∴∠OBC＝90°，∠BCA＝45°.∴sin∠BCO＝OBOC＝OB5OB＝55，cos ∠BCO ＝BC OC ＝2OB 5OB＝255. ∴sin ∠ACO ＝sin(45°－∠BCO )＝sin45°cos ∠BCO －cos45°sin ∠BCO ＝22×255－22×55＝1010. 二、填空题5．如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为 ．解析：设⊙O 与BC 边的切点为D ，连接OD 以及OC ，如图，由等边三角形的内切圆的性质可得OD ⊥BC ，∠OCD ＝30°，OD 即为圆的半径．又由BC ＝2，则CD ＝1，所以在Rt △OCD 中，ODCD ＝tan 30°，解得OD ＝33. 答案：336．如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝ ，AD ＝ .解析：据题意设圆的半径为R ，连接OD ，由OD ∥BC 得： OD BC ＝AO AB ⇒R 6＝10－R 10⇒R ＝154，故AE ＝10－2R ＝52，由AD AC ＝OD BC，得AD ＝5. 答案：525 7．已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝ . 解析：AB ＝AP 2－PB 2＝ 3.由AB 2＝PB ·BC ，∴BC ＝3，Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝2 3.∴R ＝ 3.答案： 38．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，CD ＝1，则⊙O 的半径等于 ．解析：如图所示，设点E 为BC 与⊙O 的切点，连接OE ，则OE ⊥BC .又∵∠C ＝90°，∴OE ∥AC ，CE ＝OE ＝r ，∴DE ＝1－r .∴DE DC ＝OEAC ， ∴1－r 1＝r4，解得r ＝45.答案：45三、解答题9.如图，AC 是⊙O 的直径，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，连接PC 交⊙O 于点B ，连接AB ，且PC ＝10，P A ＝6.求：(1)⊙O 的半径．(2)cos ∠BAC 的值．解：(1)因为AC 是⊙O 的直径，P A 是⊙O 的切线，所以CA ⊥P A ，即∠P AC ＝90°，因为PC ＝10，P A ＝6，所以AC ＝PC 2－P A 2＝8，所以OA ＝12AC ＝4， 所以⊙O 的半径为4.(2)因为AC 是⊙O 的直径，P A 是⊙O 的切线，所以∠ABC ＝∠P AC ＝90°，所以∠P ＋∠C ＝90°，∠BAC ＋∠C ＝90°，所以∠BAC ＝∠P ，在Rt △P AC 中，cos ∠P ＝P A PC ＝610＝35， 所以cos ∠BAC ＝35. 10．如图，已知P AB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，P A ＝AO ＝OB ＝1.(1)求∠P 的度数；(2)求DE 的长．解：(1)∵C 为切点，∴OC ⊥PC ，△POC 为直角三角形．∵OC ＝OA ＝1，PO ＝P A ＋AO ＝2，∴sin P ＝OC PO ＝12.∴∠P ＝30°. (2)∵BD ⊥PD ，在Rt △PBD 中，由∠P ＝30°，PB ＝P A ＋AO ＋OB ＝3，得BD ＝32. 连接AE ，则∠AEB ＝90°，∴AE ∥PD .∴∠EAB ＝∠P ＝30°，∴BE ＝AB sin30°＝1，∴DE ＝BD －BE ＝12. 11．如图所示，⊙O 的外切四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，∠A ＝∠B ＝90°.(1)求证：OC ⊥OD .(2)若CD ＝4 cm ，∠BCD ＝60°，求⊙O 的半径．解：(1)证明：因为AD ∥BC ，所以∠BCD ＋∠ADC ＝180°，由题意知∠ODC ＝12∠ADC ， ∠OCD ＝12∠BCD ， 所以∠ODC ＋∠OCD ＝12∠ADC ＋12∠BCD ＝90°， 所以∠DOC ＝90°，即OC ⊥OD .(2)过点D 作DE ⊥BC 于点E ，则四边形ABED 是矩形，DE 等于⊙O 的直径， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，∠ECD ＝∠BCD ＝60°，CD ＝4 cm ，所以CE ＝12CD ＝2 cm ，DE ＝42－22＝2 3 cm ，所以⊙O 的半径为 3 cm.。

章末复习学习目标1.能理解圆周运动的运动学物理量,并明确其相互关系。

2.能理解圆周运动中的动力学问题,并会用牛顿运动定律分析实际问题,完善自己准确的运动和相互作用观。

3.能掌握竖直面内圆周运动的两类模型问题,并通过相应模型的建构锻炼自己的科学思维。

自主复习1.思考判断(1)匀速圆周运动是匀加速曲线运动。

()(2)向心力和重力、弹力一样,是性质力。

()(3)做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比。

()(4)做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比。

()(5)做圆周运动的物体所受合外力突然消失,物体将沿圆周切线方向做匀速直线运动。

()(6)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同。

()2.(多选)如图所示,自行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分,它们的边缘有三个点A、B、C。

关于这三点的线速度、角速度、周期和向心加速度的说法中正确的是()A.A、B两点的线速度大小相等B.B、C两点的角速度大小相等C.A、C两点的周期大小相等D.A、B两点的向心加速度大小相等3.如图所示,玻璃球沿碗的内壁做匀速圆周运动(若忽略摩擦),这时球受到的力是()A.重力和向心力B.重力和支持力C.重力、支持力和向心力D.重力[合作探究](一)圆周运动的运动学问题1.圆周运动基本物理量及其关系线速度:方向,公式。

角速度:物理意义,公式。

周期:定义,公式。

转速:定义,公式。

向心加速度:方向,公式。

2.同轴转动和皮带(齿轮)传动同轴转动:特点:、相同规律:线速度与半径成皮带(齿轮)传动:特点:大小相等规律:角速度与半径成(二)圆周运动的动力学问题1.向心力的来源向心力是按力的命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的或某个力的,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。

2.运动模型[例题评析]【例题1】在某次文艺演出中,芭蕾舞演员保持如图所示姿势原地旋转,此时手臂上A、B 两点角速度大小分别为ωA、ωB,线速度大小分别为v A、v B,则()A.ωA<ωBB.ωA>ωBC.v A<v BD.v A>v B[变式练习1]汽车在公路上行驶一般不打滑,轮子转一周,汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。

单元教学设计一、单元教学目标本章的主要内容是圆及其有关概念，圆的性质，与圆有关的位置关系以及圆中的计算问题，通过对圆的各种性质的探索，加强推理能力。

1、理解圆及弦、弧、圆周角的概念，了解弧、弦、圆周角的关系。

2、探索并了解圆的对称性以及垂径定理。

3、探索并了解圆周角与圆心角之间的关系、直径所对的圆心角的特征。

4、探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。

5、了解三角形的内心和外心及内切圆、外接圆、内接三角形、外切三角形的概念。

6、了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系，掌握切线的识别方法。

7、了解切线长及切线长定理。

8、会过圆上一点画圆的切线。

9、会计算弧长及扇形的面积以及圆锥的侧面积和全面积。

二、知识结构图三、各课时目标：第1课时：了解圆及弦、弧、圆心角的概念，了解弧、弦、圆心角的关系。

第2课时：掌握圆的对称性及垂径定理。

第3课时：了解圆周角的定义，掌握圆周角的有关性质。

第4课时：能熟练地运用圆周角定理和推论进行有关的计算和证明。

第5课时：1、探索并了解点与圆的位置关系；2、理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆；3、会画三角形的外接圆，熟识相关概念第6课时：探索并了解直线与圆的位置关系；第7课时：探索并了解圆与圆的几种位置关系；第8课时：能熟练应用圆与圆的位置与d 、1r 、2r 三者的对应关系解决相关的总 第9课时：第10课时：第11课时：第12课时：第13课时：四、教学重点剖析（一）第一课时：1、教学重点：2、重点包含的知识要素分析：3、突出重点的教学策略：（这是设计的重点）五、教学难点剖析1、教学难点：2、原因分析：学生为什么会觉得难3、解决策略：（这是设计的重点）六、错题的估计和采集：（1）错例（2）原因分析：（3）策略分析七、课时教案或学案一、知识结构二、概述本章利用圆的对称性，探索得出了圆的一些基本性质：在同圆或等圆的弧、弦与圆心角中，只要有一组量相等，那么另外两组量也分别相等；同弧所对的圆周角与圆心角之间的度量关系；垂直于弦的直径一定平分弦以及弦所对的弧.通过图形的运动，研究了点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，并得出这些位置关系与圆的半径以及点与圆心、直线与圆心、圆心与圆心之间的距离有关.在了解了直线与圆的位置关系的基础上，进一步认识了圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.复习题。

圆课前参与一、预习要求：1、了解圆与等圆、同心圆的关系。

2、会运用圆的有关概念解题。

并说明（2弧：半圆：优弧：劣弧：(3)圆心角同心圆等圆(4) 等弧判断：（1 ） 直径是弦，弦是直径。

（ ）（6） 优弧一定比劣弧长。

（ ） （2 ） 半圆是弧，弧是半圆。

（ ）（7）过圆心的线段是直径。

（ ） （3 ） 周长相等的两个圆是等圆。

（ ）（8）两个半圆是等弧。

（ ）（4 ） 长度相等的两条弧是等弧。

（ ）（9）圆心相同半径相同的两个圆是同心圆。

（ ）（5 ） 同一条弦所对的两条弧是等弧。

（ ） 四、通过预习，你有什么疑惑？ 课中参与 如图点A 、B 和点C 、D 分别在两个同心圆上,且∠AOB=∠COD. ∠C 与∠D 相等吗?为什么? 例2、如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD. 求证：△OCD 是等腰三角形.变式：如图，CD 是⊙O 的弦，CE=DF ，半径OA 、OB 分别过E 、F 点.求证：AE=BF例3、如图，图中有＿＿＿条直径，＿＿＿＿＿条非直径的弦，圆中以Ａ为端点的弧中，优弧有＿＿＿＿条，劣弧有＿＿＿＿条F例4、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC ，交AC 于D ，6BC cm ，求OD 的长。

课堂检测1．过圆内一点可以作出圆的最长弦（ ） A ．1条 B.2条或无数条 2.下列说法中,不正确的是( )A.直径是弦, 弦是直径B.半圆周是弧C.圆上的点到圆心的距离都相等D.同圆或等圆中,优弧一定比劣弧长 3.如图,两个同心圆的圆心为O,大圆的半径OC 、OD 交小圆于A 、B, 求证:AB ∥CD4、已知:如图,点O 是∠EPF 的平分线的一点,以O 为圆心的圆和∠EPF 的两边分别交于点A 、B 和C 、D.求证: ∠OBA=∠OCD5、（课本）如图, ⊙O 的直径AB=4,半径OC ⊥AB ，D 为弧BC 上一点,DE ⊥OC,DF ⊥AB,垂足分别为E 、F.求EF 的长.第4题。

1．圆周运动学习目标：1.[物理观念]通过研究,认识匀速圆周运动,知道它是变速运动。

2.[科学思维]理解线速度、角速度、周期、转速的概念,会对它们进行定量计算。

3.[科学思维]掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系,并会解决有关问题。

4.[科学思维]掌握处理传动问题的基本方法。

阅读本节教材,回答第23页“问题”并梳理必要知识点。

教材第23页“问题”提示：(1)大、小齿轮用链条连接,边缘上的点速度大小相等,故运动的一样快；(2)离转轴越远运动的越快。

(3)比两点运动快慢,可以从以下三个角度分析：①比较两点单位时间内通过的弧长；②比较两点与圆心的连线在单位时间内扫过的圆心角；③比较两点运动一周所需时间的长短。

一、圆周运动及线速度 1．圆周运动的概念运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动,称为圆周运动。

圆周运动为曲线运动,故一定是变速运动。

2．线速度(1)定义：做圆周运动的物体,通过的弧长与所用时间的比值叫作线速度的大小。

用v 表示。

(2)表达式：v ＝ΔsΔt,单位为米/秒,符号是m/s 。

(3)方向：线速度是矢量,物体经过圆周上某点时的线速度方向就是圆周上该点的切线方向。

(4)物理意义：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量,当Δt 很小时,其物理意义与瞬时速度相同。

(5)匀速圆周运动：如果物体沿着圆周运动,并且线速度的大小处处相等,这种运动叫作匀速圆周运动。

[注意] 匀速圆周运动是线速度大小不变的曲线运动,它的线速度方向时刻在变化,因而匀速圆周运动不是匀速运动,严格地说,应该将其称为匀速率圆周运动。

1．定义：如图所示,物体在Δt 时间内由A 运动到B 。

半径OA 在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt 之比叫作角速度,用符号ω表示。

2．表达式：ω＝ΔθΔt。

3．国际单位：弧度每秒,符号rad/s 。

在国际单位制中角的度量单位为“弧度”,在利用公式ω＝ΔθΔt计算角速度时,Δθ的单位是“弧度”。

360°＝2π弧度。

最多有几个交点？第一章基本的几何图形1.1我们身边的图形世界学案一、学习目标：1.能说出一些常见的几何体、多面体和平面图形。

2.能识别生活中的几何体，并会给它们分类。

（这是本节课的重点，也是难点.）3．能识别优美图案中的平面图形。

二、自主导学：1.独立看书第4页－第7页，尽可能的完成书上提出的有关问题和练习。

（对于出现的疑难问题，可采用学生交流讨论或教师指导的方式完成。

）2.在书中找出几何体和多面体、平面图形的概念，不看书你能说出来吗？3.通过图1－2和图1－3思考：具备什么特征的几何体是棱柱？什么特征的4.请说出你所知道的所有几何体，并将它们分类？（这是本节课的重点，也是难点，同学们可要用心啊!）（注意点：棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱.....；棱锥也有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥......等等。

）你还有别的分法吗？请写出来。

三、练习巩固知识点1:几何体1.找出生活中与下列几何体形状类似的物体各一个.(1)正方体:_______ (2) 棱柱:_______ (3)圆柱 :_______(4)长方体 :_______ (5) 圆锥:_______ (6)球 :_______2.由生活中的物体抽象出几何图形,在后面的横线上填出对应的几何体.铅笔_______ 收音机_______ 杯子_______ 砖块_______纸箱_______ 足球_______ 易拉罐_______ 粉笔盒_______ 一堆沙子_______ 魔方_______3.判断下列的陈述是否正确：⑴柱体的上、下两个面不一样大（）⑵圆柱、圆锥的底面都是圆（）⑶棱柱的底面不一定是四边形（）⑷圆柱的侧面是平面（）⑸棱锥的侧面不一定是三角形（）⑹柱体都是多面体（）4.下列几何体也可成多面体的是( )A.圆柱B.圆锥C.球D. 棱锥知识点2:平面图形1.如图,足球呈现的形状是_______,它由_______个面组成,球面上的多边形是_______.2.小明家新买了一套房子，小明的房间放置家具的方式与房间的以下哪些特征有关系？（1）是白色的墙壁；（2）面积是20平方米；（3）是复合木地板；（4）灯是吸顶灯；（5）是长方形的；（6）门窗的位置。

【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。

高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:圆的标准方程一、学习目标学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。

情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。

二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

三、运用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。

2、不会的，模棱两可的问题标记好。

3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、学问链接： 1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.依据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.依据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。

O AO BCA课题： 13.3 圆（1）学习目标：1.经历从现实世界中抽象出圆的过程，发展学生的数学建模意识。

2 .能从圆的生成和集合两个方面去认识圆的概念，经历探索点与圆的位置关系的过程。

3.理解弦、圆弧、半圆、扇形等概念。

学习过程：认真阅读课本“观察与思考”的内容，完成下列问题： 1、 除了圆桌面、车轮、轴承等，你还能举出圆的几个实例吗？2、你能说明用圆规画圆的道理吗？除了可以用圆规画圆之外，你还有其他画圆的方法吗？用你知道的方法画圆，体会圆是怎样画出来的.3、 如图1，在平面内，线段OA 绕固定端点O 旋转一周，另一个端点所描出的封闭曲线叫做＿＿＿；点O 叫做＿＿＿＿；连接圆心与圆上一点的线段叫做＿＿＿＿；以点O 为圆心的圆记作＿＿＿；读作＿＿＿＿；线段OA 是圆O 的一条＿＿＿＿；一个圆有＿＿＿＿＿条半径；同一个的半径都＿＿＿＿. 认真阅读课本“实验与探究”的内容，完成下列问题：1、 画一个半径为5厘米的圆O ，在圆O 上任意取两点A ，，B ，连接OA ，OB. (1) OA 与OB 的长分别是多少？(2) 如果OC ＝5厘米，你能说出点C 的位置吗？(3) 如果M ，N 是平面内的两点，且OM ＝7厘米，ON ＝3厘米，你能分别说出点M ，N 与圆的位置关系吗？(4) 观察图2，平面内的点与圆有几种位置关系？2、在平面内，点与圆的位置关系的三种：点在＿＿＿＿，点在＿＿＿＿，点在＿＿＿＿. 点A 在圆外，点B 在圆上，点C 在圆内.平面内：点在圆外⇔这个点到圆心的距离大于半径；点在圆外⇔这个点到圆心的距离大于半径； 点在圆外⇔这个点到圆心的距离大于半径；圆O 中，到圆心O 的距离等于半径的点都在圆O 上；圆O 上的所有点到圆心O 的距离都等于半径；因此：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.O BCAO ACE 同样：圆的内部是平面内到定点的距离＿＿于定长的点的集合.圆的外部是平面内到定点的距离＿＿于定长的点的集合.3、如图3，在圆O 中任取两点，用线段连接它们，所得到的线段叫做＿＿， 点A ，B ，C 都是圆O 上的点，线段AB ，AC ，BC 都是O 的弦，BC 是经过圆心的弦，经过圆心的弦叫做＿＿＿＿＿； 直径和半径有什么关系？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4、 如图4，圆上任意两点间的部分叫做＿＿＿＿，简称＿＿＿＿；用“ ”表示，以CD 为端点的弧记作CD ，读作“弧CD ”圆的一条直径把圆分成两条 弧，每一条弧叫做＿＿＿＿；大于半圆的弧叫做＿＿＿＿；小于半圆的弧叫做＿＿＿＿.优弧用三个字母表示.如BD 表示上面的劣弧，BAD 表示下面的优弧（图中加粗部分）. 一条弧和经过这条弧的端点的半径所组成的图形叫做＿＿＿＿＿. 例如扇形OBEC 是由劣BC 和半径OB ，OC 所组成的图形； 扇形OBAD 是由优BAD 和半径OB ，OD 所组成的图形. 小结：课堂练习：A 组练习1、已知⊙O 的半径为8厘米，A 为平面内一点.当OA 符合下列条件时，分别指出点A 与⊙O 的位置关系；（1）OA ＝7.9厘米； （2）A ＝8厘米； （3）OA ＝8.01厘米.O BA CD2、（1）圆的一条弦的弧有几条？怎样区分它们？（2）如图，图中有几条弧？哪些是优弧？哪些是劣弧？B组：1、在ABC中，AB＝3厘米，BC＝4厘米，CA＝5厘米.（1）以点A为圆心，以3厘米长为半径画圆，确定点B，C与⊙A的位置关系；（2）以点A为圆心，以4厘米长为半径画圆，确定点B，C与⊙A的位置关系；（3）以点B为圆心，以4厘米长为半径画圆，确定点A，C与⊙B的位置关系.2、早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圆，一中同长也”，这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点是＿＿＿＿，定长是＿＿＿＿.3、AB两点的距离为4厘米.用图形表示具有下列性质的点的集合，并指出它们是怎样的图形：（1）到点A的距离等于3厘米的点的集合；（2）到点B的距离等于3厘米的点的集合；（3）到点A，B的距离都等于3厘米的点的集合；（4）到点A，B的距离都不大于3厘米的点的集合.C组：1.圆的内部是 _______________集合，圆的外部是 ___ 的集合，圆是 _________ 的集合。

2.2.3 圆与圆的位置关系A级基础巩固1．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( )A．相离B．相交C．内切D．外切解析：圆C1：x2＋y2＝9的圆心为C1(0，0)，半径长为r1＝3；圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0化为(x－4)2＋(y＋3)2＝16，圆心为C2(4，－3)，半径长为r2＝4，圆心距|C1C2|＝42＋（－3）2＝5.因为|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2＝3＋4，所以两圆相交．答案：B2．已知0<r<2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( ) A．外切 B．相交 C．外离 D．内含解析：设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0，0)，两圆的圆心距离d OO′＝12＋（－1）2＝ 2.显然有|r－2|<2<2＋r.所以两圆相交．答案：B3．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )A．4 B．3 C．2 D．1解析：⊙O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，⊙O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，所以|O1O2|＝（3＋2）2＋（－8－4）2＝13.所以r－R<|O1O2|<R＋r.所以两圆相交．所以公切线有2条．答案：C4．(2014·湖南卷)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( ) A．21 B．19 C．9 D．－11解析：将圆C2的方程化为标准方程，利用圆心距等于两圆半径之和求解．圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，所以|C1C2|＝5.又因为两圆外切，所以5＝1＋25－m，解得m＝9.答案：C5．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：因为半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6. 再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.答案：D6．圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0公共弦长为( ) A. 5 B. 6 C ．2 5 D ．2 6解析：x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0，圆x 2＋y 2＝50的圆心(0，0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝35，因此，公共弦长为2（52）2－（35）2＝2 5.答案：C7．若圆C 1：x 2＋y 2＋m ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析：因为圆C 1以原点为圆心，而圆C 2过原点，所以两圆无公共点必有圆C 2内含于圆C 1，从而－m >100，即m <－100.答案：(－∞，－100)8．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线x －y ＋3＝0对称的圆的方程是________．解析：已知圆方程为(x －1)2＋y 2＝2，则该圆圆心关于直线x －y ＋3＝0的对称点为(－3，4)，半径也是 2.答案：(x ＋3)2＋(y －4)2＝29．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是________．解析：设所求圆方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0，又过点(3，1)代入求出λ＝－25. 答案：x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0 10．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有________条．解析：易判知两圆相外切，故有3条公切线．答案：311．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交于A ，B 两点，求公共弦AB 的长．解：由方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0，x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0，消去二次项得6x －6y ＋6＝0，即x －y ＋1＝0为所求的公共弦AB 所在的直线的方程．圆C 1即：(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，所以C 1(－2，2)到直线AB 的距离d ＝|－2－2＋1|2＝32. 又圆C 1半径r ＝3，故弦长|AB |＝2 32－322＝3 2. B 级 能力提升12．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5 解析：圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4，2)；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.答案：C13．若直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的周长，则mn 的最大值是________．解析：由直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的周长，知直线过圆的圆心(2，1)，所以2m ＋2n －4＝0，m ＋n ＝2.所以mn ＝m (2－m )＝－(m －1)2＋1≤1.答案：114．一束光线从点A (－1，1)出发经x 轴反射，到达圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是________． 解析：圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.关于x 轴的对称圆C ′：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1.所以A (－1，1)到C ′的圆心C ′(2，－3)的距离|AC ′|＝5.所以从A 发出的光线经x 轴反射到圆C 上一点的最短距离等于A 到圆C ′的圆心C ′的距离减去半径长1.即d min ＝5－1＝4.答案：415．求圆C 1：x 2＋y 2＋2kx ＋k 2－1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2(k ＋1)y ＋k 2＋2k ＝0的圆心距的最小值及相应的k 值，并指出此时两圆的位置关系．解：两圆的圆心C 1(－k ，0)，C 2(0，－k －1)，所以圆心距|C 1C 2|＝k 2＋（k ＋1）2＝2k 2＋2k ＋1，当k ＝－12时，C 1C 2有最小值22. 此时，两圆的方程为C 1：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝1， C 2：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝1，由|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，可知两圆相交． 16．已知两定圆O 1：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆O 2：(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝4，动圆P 恒将两定圆的周长平分．试求动圆圆心P 的轨迹方程．解：设动圆P 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，即x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0.将此方程分别与圆O 1，圆O 2的方程相减得公共弦所在的直线方程为：(2－2a )x ＋(2－2b )y ＋a 2＋b 2－r 2－1＝0.(10＋2a )x ＋(6＋2b )y ＋30－a 2－b 2＋r 2＝0.由于圆P 平分两定圆的周长，所以公共弦分别过两圆圆心，从而有：⎩⎪⎨⎪⎧－2a －2b ＋3＋a 2＋b 2＝r 2，10a ＋6b ＋a 2＋b 2＋38＝r 2. 消去r 2得：12a ＋8b ＋35＝0.用(x ，y )替换(a ，b )，得点P 的轨迹方程为：12x ＋8y ＋35＝0.。

小结与复习(一)素质教育目标1,系统地归纳总结本章的知识内容．2,通过系统地归纳总结本章的知识内容，培养学生阅读理解能力；整理归纳所学知识使其条理化、系统化的能力;通过系列练习题的完成培养学生的理解能力、记忆能力。

3,通过圆与各种图形位置关系的复习，认识事物之间是相互联系的，通过运动和变化，事物之间可以互相转化;由于本章内容较多因而显得零散，通过系统归纳，向学生渗透了抓主要矛盾，“纲举目张”的辩证唯物主义观点．教学重点、难点1．重点：系统地归纳总结本章知识内容．2．难点：使所学知识结构化．教法学法和教具1．教法：引导学生探索研究发现法。

2．学法：学生主动探索研究发现法。

3．教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。

教学过程教师谈话引入：经过近50课时的学习，第七章圆的全部内容已经学完了，今天我们这节课的任务就是回顾一下这50课时学习内容，将其整理归纳，使之结构化．圆是最常见的几何图形之一，在生活、生产实践中应用十分广泛．“圆”又是初中几何最后一章，与前面所学的知识又有着千丝万缕的联系．本章的内容又较多，为了便于学生掌握这些内容，安排一节课将本章内容归纳整理，使之结构化，就显得十分有必要．课堂探练部分：同学们请看书，回顾一下第七章圆，你都学了有关圆的哪些知识．[安排学生读书，讨论研究，然后回答这个问题．学生的回答必然零散，或读目录．] 教师引导学生总结：第七章的内容可概括为三大部分：其一，是它本身的概念和性质；其二是它与其它几何图形的位置关系及性质、判定和应用；其三，圆柱、圆锥侧面展示图．课堂讲练部分第一部分圆的概念和性质：提出如下问题让学生先看书后回答．[提问的重点是中下学生] 1．什么是圆？2．圆心确定圆的什么？半径确定圆的什么？3．满足什么条件的三点可以确定一个圆．4．圆是轴对称图形，它的对称轴是谁？它有多少条对称轴？5．圆的轴对称性主要体现在哪个定理上？6．圆是中心对称图形吗？它的对称中心是谁？7．圆的旋转不变性，主要体现在哪个定理上？什么是圆的旋转不变性？8．弧长公式、扇形面积公式？中下生答：[1．圆是与定点的距离等于定长的点的集合；2．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；3．经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆；4．它的任意一条直径所在的直线都是对称轴，它有无数条对称轴；5．垂经定理；6．圆是中心对称图形，它的圆心就是对称中心；7．在同圆或等圆中，两个圆心角、圆心角所对的弧、弦、弦心距的相等关系定理．圆绕圆心旋转任意大小的角度都能够与原图形重合称为圆的旋转不变性；8，L=n R180π，S 扇形 =2n360Rπ=1LR2第一大部分知识间的关系可如下表：第二大部分知识间的关系可如下表：第二部分拟提出以下问题让学生看书，然后回答，重点仍然是中下学生．1．点与圆有哪几种位置关系？2．点到圆心的距离d跟点与圆的位置关系是怎样对应的？3．直线与圆有哪几种位置关系？4．圆心到直线的距离d跟直线与圆的位置关系是怎样对应的？5．圆与圆有哪几种位置关系？6．两圆的圆心距d与两圆的位置关系又是怎样对应的？7．与圆有关的角都有哪些？8．圆心角的度数和它所对弧的度数有什么关系？9．一条弧所对的圆周角与圆心角具有什么数量关系？10．弦切角与它所夹的弧所对的圆周角具有什么数量关系？11．三角形的三边中垂线的交点是三角形的什么心？三角形的内心是三角形的什么特殊线段的交点？12．圆内接四边形有哪些性质？13．正多边形和圆有哪些关系定理？14．与圆有关的成比例线段定理有哪些？[答案：1．点在圆内，点在圆上，点在圆外．2．设圆的半径为R，线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离．4．设圆的半径为R，则离．5．两圆外离、外切、相交、内切、内含．6．设一圆半径为R，的度数等于它所对的弧的度数．9．一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半．10．弦切角等于它所夹弧对的圆周角．11．外心；两角平分线的交点．12．圆内接四边形对角互补、外角等于它的内对角．13．n等分圆周，(n≥3)，(1)顺次连结各分点得圆内接正n边形，(2)过各分点作切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是圆的外切正n边形．(3)正n边形(n≥3)一定有一个内切圆且有一个外接圆，并且这两个圆是同心圆．14．相交弦定理、切割线定理、割线定理．]第三部分：通过圆柱、圆锥的直观展开图进行有关计算．第三部分拟提出以下问题，由幻灯片形式给出，让学生观察直观图并回答．[重点：提问中下生]1．在圆1中的h与m分别表示圆柱的什么？h与m有何数量关系？2．图1中圆柱展开图矩形的一边是高或母线，另一边是圆柱的什么？3．在图2中的h与m分别表示圆锥的什么？m、h、r，具有什么关系？4．图2中的∠θ和∠α分别表示什么角？5．圆锥展开图的弧长与圆锥底面圆有何联系？[答案：1．h是高，m是母线，h=m．2．另一边是圆柱底面圆的周长．3．h是高，m是母线，m2=h2+r2，4．∠θ是圆锥的锥角，∠α是圆锥展开图扇形的圆心角．5．圆锥展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长．]总结、扩展（教师引导学生对本课进行学习反思）本节课将第七章圆的知识内容进行系统归纳整理．布置作业（学生可根据自己的实际情况选做）教材P．67中1；P．84中1；P．100中1；P．118中1；P．137中1；P．157中1；P．179中1；P．192中1．板书设计教学札记本节课面广量大综合性强，要求学生自己整理成知识网络，实行分层教学，分类作业，以激发学生的学习积极性，切实减轻学生的课业负担。