圆的第二定义——阿波罗尼斯圆
一、问题背景
苏教版《数学必修2》P112第12题：
已知点M (x ，y )与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离之比为1
2，那么点M 的坐标应满足什么关系？
画出满足条件的点M 所构成的曲线． 二、阿波罗尼斯圆
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆． 如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足PA ＝λPB .
则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证：设AB ＝2m (m ＞0)，PA ＝λPB ，以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－m,0)，B (m,0)．
又设P (x ，y )，则由PA ＝λPB 得(x ＋m )2
＋y 2
＝λ(x －m )2
＋y 2
，
两边平方并化简整理得(λ2
－1)x 2
－2m (λ2
＋1)x ＋(λ2
－1)y 2
＝m 2
(1－λ2
)． 当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；
当λ＞1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2(λ2－1)2
，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2
＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2λm λ2－1为半
径的圆．
上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理． 三、阿波罗尼斯圆的性质
1．满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点．
2．直线CM 平分∠ACB ，直线CN 平分∠ACB 的外角．
3.AM BM ＝AN BN
. 4．CM ⊥CN .
5．当λ＞1时，点B 在圆O 内； 当0＜λ＜1时，点A 在圆O 内．
6．若AC ，AD 是切线，则CD 与AO 的交点即为B .
7．若过点B 做圆O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分∠EAF . 四、范例欣赏
例1 设A (－c,0)，B (c,0)(c ＞0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a (a ＞0)，求P 点的轨迹． 解 设动点P 的坐标为(x ，y )，
由PA PB ＝a (a ＞0)，得(x ＋c )2＋y 2
(x －c )2＋y
2
＝a . 化简得(1－a 2)x 2＋2c (1＋a 2)x ＋c 2(1－a 2)＋(1－a 2)y 2
＝0.
当a ≠1时，得x 2
＋2c (1＋a 2
)1－a 2
x ＋c 2＋y 2＝0，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋a 2
a 2－1c 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2ac a 2－12. 当a ＝1时，化简得x ＝0.
所以当a ≠1时，P 点的轨迹是以⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
＋1a 2－1c ，0为圆心，
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2
ac a 2－1为半径的圆； 当a ＝1时，P 点的轨迹为y 轴．
例2 如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，
N 分别为切点)，使得PM ＝2PN ，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．
解 以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，
则O 1(－2,0)，O 2(2,0)，
由已知PM ＝2PN ，得PM 2
＝2PN 2
， 因为两圆的半径均为1， 所以PO 2
1－1＝2(PO 2
2－1)，
设P (x ，y )，则(x ＋2)2
＋y 2
－1＝2[(x －2)2
＋y 2
－1]． 即(x －6)2
＋y 2
＝33，
所以所求轨迹方程为(x －6)2
＋y 2
＝33.
例3 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
解 (1)联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x －1，
y ＝2x －4，得圆心为C (3,2)．
切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3.
d ＝
|3k ＋3－2|
1＋k
2
＝r ＝1， 得k ＝0或k ＝－3
4
.
故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)设点M (x ，y )，由MA ＝2MO ，知
x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，
化简得x 2
＋(y ＋1)2
＝4.
即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D . 又因为点M 在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切．
故1≤CD ≤3，其中CD ＝a 2＋(2a －3)2
. 解得0≤a ≤12
5
.
例4 在x 轴正半轴上是否存在两个定点A ，B ，使得圆x 2
＋y 2
＝4上任意一点到A ，B 两点的距离之比为常数1
2
？如果存在，求出点A ，B 坐标；如果不存在，请说明理由．
解 假设在x 轴正半轴上存在两个定点A ，B ，使得圆x 2
＋y 2＝4上任意一点到A ，B 两点的距离之比为常数1
2，设P (x ，y )，A (x 1,0)，B (x 2,0)，其中x 2＞x 1＞0.
即
(x －x 1)2
＋y
2
(x －x 2)2＋y 2
＝12
对满足x 2＋y 2＝4的任何实数对(x ，y )恒成立， 整理得，2x (4x 1－x 2)＋x 2
2－4x 2
1＝3(x 2
＋y 2
)，将x 2
＋y 2
＝4代入得， 2x (4x 1－x 2)＋x 2
2－4x 2
1＝12，这个式子对任意x ∈[－2,2]恒成立，
所以一定有⎩
⎪⎨⎪⎧
4x 1－x 2＝0，
x 22－4x 2
1＝12，因为x 2＞x 1＞0，
所以解得x 1＝1，x 2＝4.
所以在x 轴正半轴上存在两个定点A (1,0)，B (4,0)，使得圆x 2
＋y 2
＝4上任意一点到A ，B 两点的距离之比为常数1
2.
五、跟踪演练
1．满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的△ABC 的面积的最大值是________． 答案 2 2
解析 以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，
y )，
由AC ＝2BC ，得(x ＋1)2
＋y 2
＝2·(x －1)2
＋y 2
. 平方化简整理得y 2
＝－x 2
＋6x －1＝－(x －3)2
＋8≤8. ∴|y |≤22，则
S △ABC ＝1
2
×2|y |≤22，∴S △ABC 的最大值是2 2.
2．在△ABC 中，边BC 的中点为D ，若AB ＝2，BC ＝2AD ，则△ABC 的面积的最大值是________． 答案 4 2
解析 以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)， 由BD ＝CD ，BC ＝2AD 知，AD ＝2BD ，D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为(x －3)2
＋y 2
＝8，设
C (x ，y )，
得D ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋12，y 2，所以点C 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 22＝8，即(x －5)2＋y 2＝32.
所以S △ABC ＝1
2
×2|y |＝|y |≤32＝42，故S △ABC 的最大值是4 2.
3．在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1,0)，B (3,0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得PA ＝2PB ，PC ＝PD ，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－22－1,22－1]
解析 设P (x ，y )，则(x －1)2
＋y 2
＝2·(x －3)2
＋y 2
，
整理得(x －5)2
＋y 2
＝8，即动点P 在以(5,0)为圆心，22为半径的圆上运动．
另一方面，由PC ＝PD 知动点P 在线段CD 的垂直平分线y ＝a ＋1上运动，因而问题就转化为直线y ＝a ＋1与圆(x －5)2
＋y 2
＝8有交点． 所以|a ＋1|≤22，
故实数a 的取值范围是[－22－1，22－1]．
4.如图，在等腰△ABC 中，已知AB ＝AC ，B (－1,0)，AC 边的中点为D (2,0)，则点C 的轨迹所包围的图形的面积等于________．
答案 4π
解析 因为AB ＝2AD ，所以点A 的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x －3)2
＋y 2
＝4(y ≠0)． 设C (x ，y )，由AC 边的中点为D (2,0)，知A (4－x ，－y )，所以C 的轨迹方程为(4－x －3)2
＋(－y )2
＝4，即(x －1)2
＋y 2
＝4(y ≠0)，所求的面积为4π.
5．如图，已知平面α⊥平面β，A ，B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA ⊂β，
CB ⊂β，且DA ⊥α，CB ⊥α，AD ＝4，BC ＝8，AB ＝6，在平面α上有一个动点P ，使得∠APD
＝∠BPC ，求△PAB 的面积的最大值．
解 ∵DA ⊥α，PA ⊂α， ∴DA ⊥PA ，
∴在Rt△PAD 中，tan∠APD ＝AD AP ＝4
AP
， 同理tan∠BPC ＝BC BP ＝
8
BP
.
∵∠APD ＝∠BPC ， ∴BP ＝2AP .
在平面α上以线段AB 的中点为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (－3,0)，B (3,0)，
设P (x ，y )，则有(x －3)2
＋y 2
＝2(x ＋3)2
＋y 2
(y ≠0)． 化简得(x ＋5)2
＋y 2
＝16， ∴y 2
＝16－(x ＋5)2
≤16. ∴|y |≤4.
△PAB 的面积为S △PAB ＝1
2|y |·AB ＝3|y |≤12，当且仅当x ＝－5，y ＝±4时取得等号，则△PAB
的面积的最大值是12.
6．已知⊙O ：x 2
＋y 2
＝1和点M (4,2)． (1)过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；
(2)求以点M 为圆心，且被直线y ＝2x －1截得的弦长为4的⊙M 的方程；
(3)设P 为(2)中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQ PR
为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 解 (1)直线l 的斜率存在， 设切线l 方程为y －2＝k (x －4)， 易得|4k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝8±1915.
∴切线l 的方程为y －2＝8±19
15
(x －4)．
(2)圆心到直线y ＝2x －1的距离为5，设圆的半径为r ，则r 2
＝22
＋(5)2
＝9， ∴⊙M 的方程为(x －4)2
＋(y －2)2
＝9.
(3)假设存在这样的点R (a ，b )，点P 的坐标为(x ，y )，相应的定值为λ. 根据题意可得PQ ＝x 2
＋y 2－1，
∴x 2＋y 2－1
(x －a )2＋(y －b )
2
＝λ， 即x 2
＋y 2
－1＝λ2
(x 2
＋y 2
－2ax －2by ＋a 2
＋b 2
)．(*)
又点P 在圆M 上，∴(x －4)2
＋(y －2)2
＝9，即x 2
＋y 2
＝8x ＋4y －11，代入(*)式得 8x ＋4y －12＝λ2
[(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋(a 2
＋b 2
－11)]， 若系数对应相等，则等式恒成立，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ2
(8－2a )＝8，λ2
(4－2b )＝4，λ2(a 2＋b 2－11)＝－12，
解得a ＝2，b ＝1，λ＝2或a ＝25，b ＝15，λ＝103
，
∴可以找到这样的定点R ，使得PQ
PR
为定值，如点R 的坐标为(2,1)时，比值为2，点R 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫25，15时，比值为103.。
