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解 又
∴
最大增长率为多少？
(1)
PQ = (2,−1),
gradf
∂f ∂l (0.1)
(0,1) = (1,
=
⎛ ⎜⎝
2) ⋅
x
⎛ ⎜⎝
1 + y2
2, 5
, x
−1 5
2y +y
⎞ ⎟⎠ =
∴ ⎞
el
=
⎛ ⎜⎝
2
⎟⎠
= (1,2),
( 0 ,1)
1⋅ 2 + 2⋅
5
2, 5
−1 5
−1 5
⎟⎠⎞.
点的方向导数取得最大值的方向， 它的模
| grad f ( x0 , y0 ) | 就是方向导数的最大值．
(2) 与函数在该点的梯度相反的方向是函数在该点
的方向导数取得最小值的方向，其最小方向导数为
− | grad f ( x0 , y0 ) | . (3) f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 ) 处沿与梯度 grad f ( x0 , y0 )
( x0 + t cosα , y0 + t
的某一邻域
cos β ) 为 l
上的另一点，且 P ∈U (P0 ).
定义 若函数增量
f ( x0 + t cosα , y0 + t cos β ) − f ( x0, y0 )
与 P 到 P0 的距离 PP0 = t 的比值
f ( x0 + t cosα , y0 + t cos β ) − f ( x0, y0 ) ,
n = 42 + 62 + 22 = 2 14, 方向余弦为
n = (4, 6, 2), n = 2 14
u
=
1
(6 x 2
+
1
8 y 2 ) 2 , P (1,1,1)
z
cosα =
2, 14
cos β =
3, 14
cosγ =
1. 14
∂u = ∂x P z
6x 6x2 + 8y2 =
P
6; 14
∂l
( x0 , y0 )
= lim t →0+
f ( x0 + t, y0 ) − t
f ( x0, y0 )
=
fx
x0, y0 ;
又若 el = j = (0,1), 则
( ) ∂f
∂l
( x0 , y0 )
= lim t →0+
f ( x0, y0 + t) − t
f ( x0, y0 ) =
l 上时， 应有
f (x0 +Δx, y0 +Δy) − f (x0, y0) = fx(x0, y0)Δx+ fy(x0, y0)Δy+o(ρ), Δ x = t cosα , Δ y = t cos β , ρ = t, 所以
lim f ( x0 + t cosα , y0 + t cos β ) − f ( x0 , y0 )
2xy + z2
(1,1,1)
( ) = 3,
uy (1,1,1) =
x2 + 2 yz
= 3,
(1,1,1)
uz (1,1,1) = 3;
∴ ∂u = ∂l (1,1,1)
3⋅
1 +3 ⋅ −2 +3 ⋅
6
6
1 = 0. 6
例5 设 n 是曲面 2 x2 + 3 y2 + z2 = 6 在点
P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数
=
⎛ ⎜ ⎝
1 2
,
3 2
⎞ ⎟ ⎠
,
∵ f x (1, 2) = 2 x (1,2) = 2, f y (1, 2) = 2 y (1,2) = 4;
所求方向导数
∂f ∂l
=
(1,2)
2⋅1 + 2
4⋅
3 =1+ 2 2
3.
例2 求函数 f ( x, y) = x2 − xy + y2在点(1,1)沿与
垂直的方向的方向导数等于零。
当
∂f ∂x
不为零时， x 轴到梯度的 转角
tanθ = ∂f ∂f .
θ
∂y ∂x
例6 设 z = f ( x, y) = ln( x + y2 ),
的正切为
(1) 求 f 在点 P(0,1) 处沿从P 到Q(2,0) 方向的变化率.
(2) f 在点P(0,1) 处沿什么方向具有最大增长率，其
与 l 同方向的单位向量。
el • P( x, y) •• P0 ( x0 , y0 )
射线 l 的参数方程为
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x0 y0
+ +
t t
cosα , cos β .
(t ≥ 0)
o
（如图）
x
U
设函数 z = f ( x, (P0 ) 内有定义，P
y) 在点 P0 ( x0, y0 )
第六节、方向导数与梯度
一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念 四、小结、思考题 五、作业
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)， (5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使 金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到
原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁
应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
y
问题的实质： 应沿由热变
冷变化最骤烈的方向（即 梯度方向）爬行．
3 2 1
1
3
x
5
二、方向导数的定义
讨论函数 z = f ( x, y) 在一点 P0 沿某一方向
的变化率问题．
设 l 是 xoy 平面上以
y
l
ห้องสมุดไป่ตู้
P0 ( x0, y0 ) 为始点的一条射
线，el = (cosα ,cos β ) 是
+
f y ( x0, y0 ) cos β .
例1 求函数 f ( x, y) = x2 + y2 在点(1, 2) 处沿从点
P(1, 2)到点 Q(2, 2 + 3) 的方向的方向导数。
解 方向 l = PQ = (2 −1, 2 + 3 − 2) = (1, 3),
与 l 同方向的单位向量为 el
其中θ = (grad f ( x, y), el ) 当 θ = 0 时， 即沿梯度方向时，
方向导数
∂f ∂l
( x0 , y0 )
取得最大值，这个最大值就是梯度的模 | grad f ( x0 , y0 ) | .
结论 (1) 函数 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的梯度 grad f ( x0, y0 ) 是一个向量，它的方向是函数在该
(1,1)
= cosα + sinα =
2
sin(α
+
π
(1,1)
),
故
(1）当 α
=
π
/
4
时，
4
方向导数达到最大值
2;
（2) 当α = 5π / 4 时， 方向导数达到最小值 − 2;
（3）当α = 3π / 4和α = 7π / 4 时，方向导数等于 0.
{ 例3 设 f (x, y) =
1, 0,
当 0 < y < x2, −∞ < x < +∞ 时，
其余部分，
研究 f 在原点的方向导数。
解 该函数在原点不连续（当 然也不可微），但在始于原
f =0
f =1
f =1
点的任何射线上，都存在包
f =0
含原点的充分小的一段，在
这段上 f 的函数值恒为零，于是由方向导数的定义，
在原点处沿任何方向 l 都有 ∂f = 0. ∂l (0,0)
定义 设函数z = f ( x, y)在平面区域 D 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 P0( x0, y0 ) ∈ D,
都可定出一个向量
f x ( x0, y0 )i + f y ( x0, y0 ) j ,
这向量称为函数 z = f ( x, y) 在点 P0( x0, y0 ) 的 梯度，
记为 grad f ( x0, y0 ), 即 gradf ( x0, y0 ) = f x ( x0, y0 )i + f y ( x0, y0 ) j.
∂l t→0+ ( x0, y0,z0 )
t
同理可以证明： 若函数 u = f ( x, y, z) 在点 P0 ( x0, y0
, z0 ) 可微， 则函数在该点沿着方向 el = (cosα ,cos β ,
cosγ ) 的方向导数为
∂f ∂l
( x0 , y0,z0 )
=
f x ( x0, y0,z0 ) cosα +
方向的方向导数 ∂z = lim z(t,0) − z(0,0) = lim t = 1,
∂l t→0+ (0,0)
t
t t →0+
而偏导数 zx (0,0) 不存在。
关于方向导数的存在及计算，有
定理 如果函数 z = f ( x, y) 在点P0 ( x0, y0 )是可微 分的， 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数都
t→0+
t
=
lim
t →0+
