2017年秋九年级数学上册24.1.4圆周角习题课件新版新人教版

A
E
●O
C
B
D
A
E B
C D
• 圆周角定义：
辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗C?
C
D
C
E
E D
E D
C D
E
同弧所对圆周角与圆心角的关系
在⊙O任取一个圆周角∠ACB，将圆对 折，使折痕经过圆心O和∠ACB的顶点 C．由于点C的位置的取法可能不同，这 时折痕可能会在圆周角的什么地方？
圆周角和圆心角的关系
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部．
图 23.1.11
圆周角和圆心角的关系 •如图,量一量圆周角∠AOB与圆心 角∠ACB,它们的大小有什么关系?
图 23.1.11
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况： • 当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时,圆周角
选做：
• 3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外 部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的 大小关系会怎样?
D
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理:
同弧 (等弧) 所对的圆周 角相等. 都等于这条弧所对的圆心 角的一半.
思考: 同弧或等弧所对 的圆周角相等吗?
试找出下图中所有相等的圆周角。
B C
●O A
2：已知⊙O中弦AB的长等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
圆心角为60度
O
圆周角为 30 度
或 150 度。
A
B
3.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=40°，求∠OBC的度数。
1、 这节课你有什么收获和体会，和大家一起 分享一下吧！ 2、获胜组 作业：必做：预习案作业

上任意一点（除点A、B）,那么， ∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角. 想想看，∠ACB 会是怎么样的角？
为什么呢？
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
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证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 △BOC 都是等腰三角形，所以 ∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°， 所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°. 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、 B），∠ACB总等于90°，
结论： 半圆或直径所对的圆周角是90°（直角），反
过来也是成立的，90°的圆周角所对的弦是直径。
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例题赏析:
例1 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
一、复习检测
1. 什么叫圆心角？ __________________________________ __________.
2. 你能找出下面图形中的圆心角吗？ （口述判断的理由）
探究一、圆周角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
B
C
即 A 1 BOC 2
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
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（2）在圆周角的内部．

2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角

C
证明： 以AB为直径作⊙O， 1 ∵AO=BO， CO= 2 AB, ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, 1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2 ∴ △ABC 为直角三角形.
A
· O
B
课堂练习
• 1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什 么关系？为什么？ C
24.1.4
圆周角
第2课时
第二课时 应用
• 回顾：圆周角定理及推论？ • 思考：判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（ ） 3.90°角所对的弦是直径（ ） 4.直径所对的角等于90°（ ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
如图所示，已知⊿ABC的三个顶 点都在⊙O上，AD是⊿ABC的高， AE是⊙O的直径. A 求证：∠BAE＝∠CAD
A
解：（1）AB=AC。 证明：连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°， 又∵DC=BD，∴AB=AC。 （2）△ABC是锐角三角形。
B
O
·
D
F C
由（1）知，∠B=∠C＜90 °
连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 ° ∴△ABC是锐角三角形
1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ， 求∠BOC的度数。 ∠BOC =140° 2、如图，在⊙O中，BC=2DE， ∠BOC=84°，
Q O B p
⌒ ⌒
求∠ A的度数。
∠A=21°
3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D
为半圆上的两点，∠COD=50°，则
∠CAD=______ 50° ；

∴由垂径定理得
，∴BD=CD.
第六页，共22页。
解:(2) B，E，C三点在以D为圆心，以 DB为半径的圆上.理由(lǐyóu)如下:
如图67所示，由(1)知
，∴∠1=∠2
，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵BE是
∠ABC的平分线，∴∠4=∠5，
∵∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，
∴∠DBE=∠DEB，
又由圆的对称性可知∠OBD= 12∠CBD=30°.延长 (yáncháng)CO交BD于E，则CE⊥BD.由题意知OB=10 cm，又
∠∴O在BREt△=3O0B°E中，，OE=
1 O2B=
×110=5(cm)， 2
∴BE= OB2 OC2 102 52 5 3(cm)，
∴BD=2BE=10 3cm.又CE=CO+OE=10+5=15(cm)，
∠OAB=∠EAC-∠DAC=∠EAD.
第二十一页，共22页。
证法(zhènɡ fǎ)2:如图72所示，连接OE，∵E是
的中点，∴
，∴OE⊥BC.
∵AD⊥BC，∴OE∥AD，
∴∠OEA=∠EAD.
∵OE=OA，∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OAE=∠EAD.
第二十二页，共22页。
解:①如图69所示，当AB，CD的交点 (jiāodiǎn)P在圆内时,连接BC， 则有∠APC=∠ABC+∠DCB=m°+n°.
第十六页，共22页。
②当AB,CD的交点(jiāodiǎn)P在圆上时，点B与点D 重合， 所对的圆周角的度数变成0°，即n=0，则 ∠APC=m°. ③如图70所示，当AB,CD的交点P在圆外时， 连接(liánjiē)BC(不妨认为m>n)， 则有∠ABC=∠APC+∠DCB， ∴∠APC=∠ABC-∠BCD=m°-n°.

A2
推论1：
同弧所对的圆周角相等.
A1
A
3
13
课堂探究
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四
边形ABCD的对角线.
D
(1)完成下列填空 ∠1=∠4 .
∠2=∠8 . ∠3=∠6 .
∠5=∠7 .
78
A
1 2
34
O6
5
C
B
14
课堂探究
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四 边形ABCD的对角线. （2）若A⌒B=A⌒D，则∠1与∠2是否相等，为什么？
22
随堂检测
2.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°, 则∠BCD=＿＿50＿°_.
C
D
O
O
A
B
C
A
B
第4题
第5题
3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°
,则∠AOB= 166°．
23
随堂检测
4.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB=130° ， ∠ADB= 50° .
BAC1BOC 2
8
课堂探究
推导与验证
圆心O在∠BAC 的 内部
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O在 ∠BAC 的外部
9
课堂探究
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
BAC1BOC 2
10
课堂探究
圆心O在∠BAC的内部
A
A
A
O
OO
O
B
D
BAD1BOD 2

结合基本图形认识概念、定理：
同圆或等圆中
(1) 弧 (2) 弦 (3) 弦心距 (4) 圆心角 (5) 圆周角
注意 其中，弦所对的圆周角有两种情况，应用时需
知 一
N M
B
推 四
α
A
Oα
圆周角定理及推论 斜三角形转化为直角三角形 A1
B1
1、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，
BA
D C
O
O
O
C
C
D
图1
A
B
图2
A
D
B
图3
4.如果AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E, 则下列结论中,错误的是( D )
A. CE=DE B.弧BC=弧BD C.∠BAC=∠BAD D.AC＞AD
5.⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,
则弦AB的长是( D )
A.4 B.6
弦AB所对的弧有优弧和劣弧两种
C
O O
A
B
A CB
分类讨论思想
3. 已知：⊙O的半径为1，
弦AB 3，AC 2，
则∠BAC的度数是_1_5_°__或__7_5。° 圆心可能在圆周角内部，
也可能在圆周角外部。
由垂径定理及 勾股定理可求出： ∠CAO=45°， ∠BAO=30°．
转化思想 斜三角形转化为直角三角形
CD ⊥AB， AM=MB
CD为直径， 弧AD=弧BD，弧AC= 弧BC
圆心角、弧、弦（弦心距）
弧AB=弧MN
∠AOB= ∠ MON
AB=MN
OC=OP
与圆有关的角度计算
• 1.一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对

典型例题
Байду номын сангаас
2.如图，点A、B在⊙O上，点P为⊙O上 动点，要是△ABP为等腰三角形， (1)请画出所有符合条件的点P.
(2)如果∠AOB=１００°，请求出所 有符合条件∠P的度数.
拓展提高 1、如图，AD是⊙O的直径． (1) 如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2 把圆周4等分，则∠B1的度数是 ， ∠B2的度数是 ；
拓展提高
1、如图，AD是⊙O的直径． (2) 如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2， B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2， ∠B3的度数；
拓展提高 1、如图，AD是⊙O的直径． (3) 如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2， B3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含 n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答 案 )．
人教版九年级上册
C E O D
B
A
路桥三中 张春凤
知识回顾
顶点在圆心的角叫圆心角
探究新知
顶点在圆上，两边都与圆相交的 角叫做圆周角。 C
O A B
探究新知 下列哪些图中的∠α是圆周角? 一个角是圆周角的条件：
1
（1）角的顶点在圆上； （2）角的两边都与圆相交 。 (3)


(6)
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等 ,都等于这条弧所对圆心角的一 思考 :在同圆或等圆中，等弧所对的圆周 角相等吗 ? 半。
活动小结 1、因图形的位置不能确定， 就必须分类讨论；
2、正确选择分类的标准，进行合理分类； 3、逐类讨论解决； A
A
●
O
O
B C
4、归纳并作出结论。
转化 思想

D
BF
三、总结提升---解题方法总结
常见解法
等腰直角三角形
角平分线、四边形
C
F A EO
A B
D C
A
A
O
B
D
常见思路，但没有充 分运用特殊角的条件
C
12
E O
CD
12
O E
A B
C
12
O
D C
12
B
A
O
E
E B A E
B
C
12
O E
D
F B
D D
充分利用特殊角构造 等腰直角三角形
从角平分线入手，构 造角平分线基本图形， 再由特殊角得到特殊
如图，以ABC 的BC 边上一点O为圆心的圆经过
A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半
圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC FC.
A
求证：B 2C 90
等弧、半径
B
OF
E
C
垂径定理
连接AO
D
BC OD
等腰OAD
RtODF
三、总结提升---模型归纳
在 O 中，AB是直径，弦AC与弦BC交圆于C 点C，
24.1.4圆周角
题目：
九年级上册 87页 24.1.4圆周角 例4
如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB的平分线交于⊙O点D，求 BC，AD，BD的长.
说题流程
一、审题分析 二、解题过程 三、总结提升 四、评价分析
一、审题分析
题目背景
题
知
方思
材
识
法想
背
背
背背
景

五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其 它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你 有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类 比 思
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质 弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B