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长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可。
【详解】所以所以选D【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义，属于基础题。
2.2.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.3.3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图像，根据函数图像的交点个数确定零点个数即可。
【详解】因为数满足，所以周期当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示学。
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网...由图像可知，方程有四个零点所以选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，绝对值函数图像的画法和函数零点的概念，关键是根据函数解析式能够正确画出函数的图像，属于基础题。
4.4.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解。
湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考数学（理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={y|y=log2x，0＜x≤4}，集合B={x|e x＞1}，则A∩B等于（）A. B. C. D. R2.若i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=|1-i|+i，则z的虚部为（）A. B. C. D.3.设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%）A. 7539B. 6038C. 7028D. 65874.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为（）A. 升B. 升C. 升D. 升5.已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（）A. 16B.C.D. 86.某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为（）A. B. C. D.7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B=a cos C+c cos A，b=2，则△ABC面积的最大值是（）A. 1B.C. 2D. 48.执行如图所示的程序框图，输出S的值等于（）A. B.C. D.9.已知非空集合A，B满足以下两个条件．（ⅰ）A∪B={1，2，3，4，5，6}，A∩B=∅；（ⅱ）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A. 10B. 12C. 14D. 1610.设3x=2，y=ln2，，则（）A. B. C. D.11.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，，AP=3，，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意的实数x都有f′（x）=e x（2x+3）+f（x）（e是自然对数的底数），f（0）=1，若不等式f（x）-k＜0的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量，满足=3，且=1，=2，则||等于______．14.已知奇函数f（x）=A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的导函数的部分图象如图所示，E是最高点，且△MNE是边长为1的正三角形，那么f（）=______．15.已知实数x，y满足约束条件：，若z=x-ay只在点（4，3）处取得最小值，则a的取值范围是______．16.已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=-4（其中O为坐标原点），则△ABO面积的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2-n+1，在正项等比数列{b n}中，b2=a2，b4=a5．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和．18.如图．四棱锥P-ABCD中．平而PAD⊥平而ABCD，底而ABCD为梯形．AB∥CD，AB=2DC=2，AC∩BD=F，且△PAD与△ABD均为正三角形，G为△PAD的重心．（1）求证：GF∥平面PDC；（2）求平面AGC与平面PAB所成锐二面角的正切值．19.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20.如图，在平面直角坐标系中，已知点F（1，0），过直线l：x=2左侧的动点P作PH⊥l于点H，∠HPF的角平分线交x轴于点M，且PH=MF，记动点P的轨迹为曲线P．（1）求曲线P的方程．（2）过点F作直线m交曲线P于A，B两点，点C在l上，且BC∥x轴，试问：直线AC是否恒过定点？请说明理由．21.设函数f（x）=e2x，g（x）=kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）-g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4．（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．23.已知定义在R上的函数f（x）=|x-2m|-|x|，m∈N，且f（x）＜4恒成立．（1）求实数m的值；（2）若α∈（0，1），β∈（0，1），f（α）+f（β）=3，求证：+≥18．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={y|y=log2x，0＜x≤4}={y|y≤2}，集合B={x|e x＞1}={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x≤2}=（0，2]．故选：B．先求出集合A和集合B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由z（1+i）=|1-i|+i=，得z=．∴z的虚部为．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵X～N（1，1），∴μ=1，σ=1．μ+σ=2∵P（μ-σ＜X＜μ+σ）=68.26%，∴则P（0＜X＜2）=68.26%，则P（1＜X＜2）=34.13%，∴阴影部分的面积为：0.6587．∴正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587．故选：D．根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算．本题考查了正态分布、几何概型，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：设自上而下各节的容积分别为a1，a2，…，a9，公差为d，∵上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，∴，解得a1=，d=，∴自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为：a1+a3+a9=3a1+10d==（升）．故选：B．设自上而下各节的容积分别为a1，a2，…，a9，公差为d，由上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=，d=，由此能求出自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和．本题考查等比数列中三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5.【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体为正方体的面对角线组成的正四面体B1-ACD1，设正方体的棱长为a，则外接球半径为正方体体对角线的一半，即，∴a=2，∴几何体的体积V=a3-4•==．故选：C．由已知中的三视图可得：该几何体是一个棱长为2的正方体，切去四个角所得的正四面体，其外接球等同于棱长为2的正方体的外接球，进而得到答案．本题考查了常见几何体的三视图，作出几何体的直观图是解题的关键，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：此人从小区A前往H的所有最短路径为：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4条．∴P（M）==．即他经过市中心的概率为，故选：B．此人从小区A前往H的所有最短路径共6条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为共4个．由此能求出他经过市中心的概率．本题考查概率的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用．7.【答案】B【解析】解：（1）∵2bcosB=acosC+ccosA，∴可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=．B=60°由余弦定理可得ac=a2+c2-4，∴由基本不等式可得ac=a2+c2-4≥2ac-4，可得：ac≤4，当且仅当a=c时，“=”成立，∴从而△ABC面积S==，故△ABC面积的最大值为．故选：B．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosB=sinB，结合sinB≠0，可求cosB的值，进而可求B的值，由余弦定理，基本不等式可得：ac≤4，进而利用三角形面积公式即可得解△ABC面积的最大值．本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算并输出S=tan•tan+tan•tan+…+tan•tan的值，则S=（1+tan tan）+（1+tan tan）+…+（1+tan tan）-21=++…+-21=-21=-21=-21．故选：A．模拟执行程序框图知该程序的功能是计算并输出S=tan•tan+tan•tan+…+tan•tan的值，由两角差的正切值公式计算S的值即可．本题考查了程序框图与两角差的正切公式应用问题，是综合题．9.【答案】A【解析】解：若集合A中只有1个元素，则集合B中只有5个元素，则1∉A，5∉B，即5∈A，1∈B，此时有C40=1，若集合A中只有2个元素，则集合B中只有4个元素，则2∉A，4∉B，即4∈A，2∈B，此时有C41=4，若集合A中只有3个元素，则集合B中只有3个元素，则3∉A，3∉B，不满足题意，若集合A中只有4个元素，则集合B中只有2个元素，则4∉A，2∉B，即2∈A，4∈B，此时有C43=4，若集合A中只有5个元素，则集合B中只有1个元素，则5∉A，1∉B，即1∈A，5∈B，此时有C44=1，故有序集合对（A，B）的个数是1+4+4+1=10，故选：A．分别讨论集合A，B元素个数，即可得到结论．本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵3x=2，0=log31＜x=log32＜log33=1，x=log32＜y=ln2＜lne=1，=＜=＜x=log32，∴z＜x＜y．故选：C．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.【答案】B【解析】解：三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角为θ，如图所示；则sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距离为，min∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圆圆心为O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H为PA的中点，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积是S=4πR2=4×=57π．故选：B．根据题意画出图形，结合图形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥P-ABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．本题考查了几何体外接球的应用问题，解题的关键求外接球的半径，是中档题．12.【答案】C【解析】解：令G（x）=，则G′（x）==2x+3，可设G（x）=x2+3x+c，∵G（0）=f（0）=1．∴c=1．∴f（x）=（x2+3x+1）e x，∴f′（x）=（x2+5x+4）e x=（x+1）（x+4）e x．可得：x=-4时，函数f（x）取得极大值，x=-1时，函数f（x）取得极小值．f（-1）=-，f（0）=1，f（-2）=-＜0，f（-3）=＞0．∴＜k≤0时，不等式f（x）-k＜0的解集中恰有两个整数-1，-2．故k的取值范围是．故选：C．令G（x）=，可得G′（x）==2x+3，可设G（x）=x2+3x+c，G（0）=f （0）=1．解得c=1．f（x）=（x2+3x+1）e x，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及其图象性质、方程与不等式的解法、数形结合思想方法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】【解析】解：∵=3，∴=3，∵=1，=2，=-1，则||===故答案为：由已知可求，然后结合向量的数量积的性质||=，代入即可求解．本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．14.【答案】-【解析】解：奇函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的导函数的部分图象如图所示，∴φ=，f（x）=Acos（ωx+）=-Asinωx．E是最高点，且△MNE是边长为1的正三角形，∴==1，∴ω=π，A=，故f（x）=-sinπx．那么f（）=-sin=-，故答案为：-．根据函数的奇偶性求出φ，根据△MNE是边长为1的正三角形求出A和ω，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数的奇偶性，正三角形的性质，属于基础题．15.【答案】（-∞，1）【解析】解：由实数x，y满足约束条件：作可行域如图，联立，解得C（4，3）．当a=0时，目标函数化为z=x，由图可知，可行解（4，3）使z=x-ay取得最大值，符合题意；当a＞0时，由z=x-ay，得y=x-，此直线斜率大于0，当在y轴上截距最大时z最大，可行解（4，3）为使目标函数z=x-ay的最优解，a＜1符合题意；当a＜0时，由z=x-ay，得y=x-，此直线斜率为负值，要使可行解（4，3）为使目标函数z=x-ay取得最大值的唯一的最优解，则＜0，即a＜0．综上，实数a的取值范围是（-∞，1）．故答案为：（-∞，1）．由约束条件作出可行域，然后对a进行分类，当a≥0时显然满足题意，当a＜0时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线BC的斜率的大小得到a的范围．本题考查线性规划问题，考查了分类讨论的数学思想方法和数形结合的解题思想方法，解答的关键是化目标函数为直线方程斜截式，由直线在y轴上的截距分析z的取值情况，是中档题．16.【答案】4【解析】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），x=ty+m代入y2=4x，可得y2-4ty-4m=0，根据韦达定理有y1•y2=-4m，∵•=-4（其中O为坐标原点），∴x1•x2+y1•y2=-4，从而（y1•y2）2+y1•y2=-4，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=-8，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又F（1，0），∴S △ABO=×4×（y1-y2）=2y1-2y2=2y1+≥2=4，当且仅当2y1=，即y1=2时，取“=”号，∴△ABO面积的最小值是4．故答案为：4．设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），x=ty+m代入y2=4x，可得y2-4ty-4m=0，根据韦达定理有y1•y2=-4m，由•=-4，得（y1•y2）2+y1•y2=-4，由点A，B位于x轴的两侧，得y1•y2=-8，从而m=2．由此能求出△ABO面积的最小值．本题考查三角形面积的最小值的求法，考查直线方程、抛物线、韦达定理、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17.【答案】解：（1）由S n=n2-n+1，n≥2时，a n=S n-S n-1=n2-n+1-[（n-1）2-（n-1）+1]=2n-2，n=1时，a1=S1=1．∴a n=．设正项等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a2=2，b4=a5=8．∴=2．∴b n=2×2n-2=2n-1．（2）由（1）得：c n=a n b n=．设数列{c n}的前n项和为T n．n=1时，T1=1；n≥2时，T n=1+22+2×23+3×24+……+（n-1）•2n，∴2T n=2+23+2×24+……+（n-2）•2n+（n-1）•2n+1，∴-T n=3+23+24+……+2n-（n-1）•2n+1=-（n-1）•2n+1-4，∴T n=（n-2）•2n+1+5．n=1时也成立．∴T n=（n-2）•2n+1+5．【解析】（1）由S n=n2-n+1，n≥2时，a n=S n-S n-1，n=1时，a1=S1=1．即可得出a n．设正项等比数列{b n}的公比为q，由b2=a2=2，b4=a5=8．可得q，利用通项公式可得b n．（2）由（1）得：c n=a n b n=．设数列{c n}的前n项和为T n．利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】（1）证明：连接AG并延长交PD于H，连接CH，由于ABCD为梯形，AB∥CD且AB=2DC，知，又G为△PAD的重心，∴，在△AHC中，∵，∴GF∥HC．又HC⊂平面PCD，GF⊄平面PCD，∴GF∥平面PDC；（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，延长PG交AD的中点E，连接BE，∴PE⊥AD，BE⊥AD，则PE⊥平面ABCD，以E为原点建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=．∴A（，0，0），P（0，0，3），B（0，3，0），D（，0，0），G（0，0，1），∴，，，，，，，，．设C（x0，y0，z0），∵，∴，，，，，可得，，z0=0，∴C（，，）．∴，，．设平面PAB的一个法向量为，，．由，取z=1，可得，，．同理可得平面AGC的一个法向量，，．∵cos＜，＞=．∴sin＜，＞=．则平面AGC与平面PAB所成锐二面角的正切值为．【解析】（1）连接AG并延长交PD于H，连接CH，由重心性质结合已知可得，再由平行线截线段成比例可得GF∥HC．由线面平行的判定可得GF∥平面PDC；（2）由已知证明PE⊥平面ABCD，以E为原点建立如图所示空间直角坐标系，结合AB=，可得所用点的坐标，求出两个平面PAB、AGC的一个法向量，由两法向量所成角得余弦值可得平面AGC与平面PAB所成锐二面角的正切值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．【解析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20.【答案】解：（1）设P（x，y），由题意可得：|MF|=|PF|，∴==．即=，化为：+y2=1．（2）由题意可得：直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为：x=ty+1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（t2+2）y2+2ty-1=0，△＞0成立．∴y1+y2=，y1y2=-，x1=ty1+1．∴直线AC的斜率k=，方程为：y-y2=（x-2）．即：y=[x-2+]．又===．∴y=（x-2+），即y=（x-）．∴直线AC恒过定点，．【解析】（1）设P（x，y），由题意可得：|MF|=|PF|，可得==．即=，化简整理即可得出．（2）由题意可得：直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为：x=ty+1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（t2+2）y2+2ty-1=0，直线AC的斜率k=，方程为：y-y2=（x-2）．结合根与系数的关系化简整理即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），由f（x）=e2x得f′（x）=2e2x，∴切线方程为y-e2t=2e2t（x-t），即y=2e2t x+（1-2t）e2t，由已知y=2e2t x+（1-2t）e2t和y=kx+1为同一条直线，∴2e2t=k，（1-2t）e2t=1，令h（x）=（1-x）e x，则h′（x）=-xe x，当x∈（-∞，0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（0）=1，当且仅当x=0时等号成立，∴t=0，k=2，（Ⅱ）①当k＞2时，由（Ⅰ）知：存在x＞0，使得对于任意x∈（0，x0），都有f（x）＜g（x），则不等式|f（x）-g（x）|＞2x等价于g（x）-f（x）＞2x，即（k-2）x+1-e2x＞0，设t（x）=（k-2）x+1-e2x，t′（x）=k-2-2e2x，由t′（x）＞0，得：x＜ln，由t′（x）＜0，得：x＞ln，若2＜k≤4，ln≤0，∵（0，x0）⊆（ln，+∞），∴t（x）在（0，x0）上单调递减，注意到t（0）=0，∴对任意x∈（0，x0），t（x）＜0，与题设不符，若k＞4，ln＞0，（0，ln）⊆（-∞，ln），∴t（x）在（0，ln）上单调递增，∵t（0）=0，∴对任意x∈（0，ln），t（x）＞0，符合题意，此时取0＜m≤min{x0，ln}，可得对任意x∈（0，m），都有|f（x）-g（x）|＞2x，②当0＜k≤2时，由（Ⅰ）知e2x-（2x+1）≥0，（x＞0），f（x）-g（x）=e2x-（2x+1）+（2-k）x≥（2-k）x≥0对任意x＞0都成立，∴|f（x）-g（x）|＞2x等价于e2x-（k+2）x-1＞0，设φ（x）=e2x-（k+2）x-1，则φ′（x）=2e2x-（k+2），由φ′（x）＞0，得x＞ln＞0，φ′（x）＜0得x＜ln，∴φ（x）在（0，ln）上单调递减，注意到φ（0）=0，∴对任意x∈（0，ln），φ（x）＜0，不符合题设，综上所述，k的取值范围为（4，+∞）．【解析】（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），得到（1-2t）e2t=1，令h（x）=（1-x）e x，根据函数的单调性求出k的值即可；（Ⅱ）通过讨论k的范围，结合对任意x∈（0，m），都有|f（x）-g（x）|＞2x恒成立以及函数的单调性求出对应的函数的单调区间，求出k的具体范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想、是一道综合题．22.【答案】解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=4，展开可得：ρ2=4×ρ（cosθ-sinθ），可得直角坐标方程：x2+y2-4x+4y=0．（2）直线l的参数方程为：（t为参数），代入上述方程可得：t2+2t-4=0．t1+t2=-2，t1t2=-4，则=====．【解析】（1）圆C的极坐标方程为ρ=4，展开可得：ρ2=4×ρ（cosθ-sinθ），利用互化公式即可得出直角坐标方程．（2）直线l的参数方程为：（t为参数），代入上述方程可得：t2+2t-4=0.===．本题考查了极坐标方程化为参数方程、参数方程化为普通方程及其应用、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：（1）定义在R上的函数f（x）=|x-2m|-|x|，m∈N，且f（x）＜4，可得：|x-2m|-|x|≤|2m|＜4，则|m|＜2，解得-2＜m＜2．又m∈N，∴m=1，0，证明（2）当m=0时，f（x）=0，显然不满足，f（α）+f（β）=3，当m=1时，f（x）=|x-2|-|x|=，＞，，＜∵α∈（0，1），β∈（0，1），∴f（α）+f（β）=2-2α+2-2β=3，即α+β=，∴：+=2（+）（α+β）=2（5++）≥2（5+2）=18，当且仅当=，即α=，β=时取等号，故+≥18．【解析】（1）依据题设借助绝对值的几何意义分析求解m；（2）借助题设条件运用基本不等式进行求解．本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力．第21页，共21页。
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）得分: _____________本试卷共8页。
时暈120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共12小题•每小题5分，共6（）分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数尸闿+2i,则旧=A. 0B. 1C. 2D. 3★2.已知集合 A=&|—疋+4 心 0} J3={jr| 讦 V3y27},C={m = 2〃,IX {m=2w?€N} ★ 3.若定义在R 上的偶函数/Cr ）满足/Cr+2）=/Cr ）冃时,/Cr ）=久，则方程/3 = log 小・|的零点个数是A. 2个B. 3个C. 4个D. 6个4. 计算 sin 133°cos 197°+cos 47°cos 73°的结果为A.*5. 已知A 、"、P 是双曲线手一君=1上不同的三点，且人、"连线经过坐标原点•若直线PA.PB 的斜率乘积虹、・如=3,则该双曲线的离心率为6. 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的H 标,先 调查了用电量V （单位:千瓦•时）与气温川单位：°C ）之间的关系，随机选取了 4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：2（单位：°C ）17 14 10 -1 y （单位:千瓦•时）24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程6= —2乂+方，则由此估计：当某天气温为2°C 时，当天用电量约为A. 56千瓦•时B. 62千瓦•时 C 64千瓦•时 IX 68千瓦•时•:®I. M €N},则(AUB )C1C=A. {2,4}B. {0,2}C.{0,2,4}B.V3 1).3★7•某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为★&已知平面向量满足a • （a+b ） = 3弓且\a\=29 \b\=l,则向量a 与b夹角的止弦值为A —丄 '2★ 9.设°,比R,则“（a —6）・疋＜0”是“aV6”的A. 充分|何不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件IX 既不充分也不必要条件10. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了川••界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个索数的和”，如30 = 7 +23.在不超过30的素数中•随机选取两个不同的数•其和等于30的概 率是A 丄B —C —D — -12 ° 14 ° 15 * 1811. 过抛物线b=4工焦点的直线I 与抛物线交于A 、£两点，与圆（工一1 P + y= r 交于C 、D 两点，若有三条直线满足\AC\ = \ BD\，则r 的取值范 围为A.（今,+oo ）B. （2,+oo ）C. （1 冷）D. （*,2）12. 设函数/（x ）=e , （x —1）,函数g （H ）=mr —加,（加＞0）,若对任意的心€[—2,2],总存在力2 w [—2,2],使得/、a ）=ga ）,则实数加的取 值范围是A. ■-3e-4'B. 「1 2*1 片9 G* 3 L 3」A.500 125 C - 3兀 侧视图D.D. R?,+oo)选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分答案二、填空题:本题共4小题.每小题5分.共20分.\r+3j^313.____________________________________________________ 设Ay 满足约束条件］工_耳1 ,则之=丄的最大值为______________________ ..妙014.《聊斋志异》屮有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。
湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合{}2log ,04A y y x x ==<≤，集合{}1xB x e =>，则A B ⋂等于 ( )A. ()0,2B. (]0,2C. (],2-∞D. R【答案】B 【解析】 【分析】首先求得集合A ,B ，然后求解其交集即可.【详解】求解函数2,04y log x x =<≤的值域可得{}|2A y y =≤， 求解指数不等式1x e >可得{}|0A x x =>，由交集的定义可得：{}|02A B x x ⋂=<≤，表示为区间形式即(]0,2. 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若i 为虚数单位，复数z 满足(1)|1|z i i i +=-+，则z 的虚部为（ ）A.1221C.212i - D.221- 【答案】D 【解析】)()2112122i i z -+-=== 故z 12- 故选D3.设()~1,1X N ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若()2~,X N μσ，则()68.26%P X μσμσ-<<+=，()2295.44%P X μσμσ-<<+=）A. 7539B. 6038C. 7028D. 6587【答案】D 【解析】分析：根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算. 详解：()1,1X N ~，∴1,1,2μσμσ==+=，()68.26%P X μσμσ-<<+=，∴则()0268.26%P X <<= 则()0134.13%P X <<=，∴阴影部分的面积为：0.6587.∴方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587.故选：D.点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.4.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ） A.313升 B.617升 C.199升 D.2512升 【答案】B 【解析】分析：设自上而下各节的容积分别为129a a a ⋯，，，，公差为d ，由上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，利用等差数列通项公式列出方程组，求出11372266a d ==，， 由此能求出自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和．详解：设自上而下各节的容积分别为129a a a ⋯，，，，，公差为d ，∵上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，∴1234198714633214a a a a a d a a a a d ++++⎧⎨+++⎩＝＝＝＝ ，解得11372266a d ==，，， ∴自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为：1391397017310.22666a a a a d ++=+=+= （升）． 故选B ．点睛：本题考查等比数列中三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5.已知某几何体的外接球的半径为3，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）A. 16B.316C. 83D. 8【答案】C 【解析】由该三视图可知：该几何体是一个正方体，切去四个角所得的正四面体，其外接球等同于该正方体的外接球，设正方体的棱长为a ，则有33,22aa ==，故该正四面体的体积为33118=242323V -⨯⨯⨯=，选C.6.某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率是（ ）A. 13B.23C.14 D. 34【答案】B 【解析】 【分析】此人从小区A 前往H 的所有最短路径共3条．记“此人经过市中心O”为事件M ，则M 包含的基本事件为共2个．由此能求出经过市中心的概率．【详解】此人从小区A 前往H 的所有最短路径为：A→G→O→H，A→E→O→H，A→E→D→H，共3条．记“此人经过市中心O”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A→G→O→H，A→E→O→H,共2条．∴()2=3P M ，即他经过市中心的概率为23，故选：B ．【点睛】本题考查古典概型的概率，注意列举法的灵活运用，属于基础题．7.已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A c C a B b cos cos cos 2+=，2b =，则△ABC 面积的最大值是 A. 1 B. 3 C. 2 D. 4【答案】B 【解析】由题意知︒=60B ，由余弦定理，422-+=c a ac ，故22424ac a c ac =+-≥-，有4ac ≤，故1sin 2ABC S ac B ∆=≤故选：B8.执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于（ ）A.2321tan9-B.25tan3922tan9ππ- C.322tan9π--D.25tan 3921tan9ππ- 【答案】A 【解析】 由题可知4354642423tantan tan tan tan tan ......tan tan 99999999S ππππππππ=+++ 4354642423tan -tan tan -tan tan -tan tan -tan 99999999-1-1-1......-1tan tan tan tan 9999S ππππππππππππ=+++21tan9==-即得S=2321tan9-9.已知非空集合,A B 满足以下两个条件：（ⅰ）{}1,2,3,4,5,6A B ⋃=，A B ⋂=∅；（ⅱ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对(),A B 的个数为 （ ） A. 10 B. 12C. 14D. 16【答案】A 【解析】 【分析】根据条件：A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，分别讨论集合A 、B 中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果。
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数121iz i i+=+-，则z =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32.已知集合{}240A x x x =-+≥，1{327}18x B x =<<，{}2,C x x n n N ==∈，则()A B C =（ ）A ．{}2,4B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,x x n n N =∈3.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()3log f x x =的零点个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 4.计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ） A ．12 B ．12- C. 22 D 35.已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ）A B 32 D ．36.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：ˆˆ2y x a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ）A ．56千瓦·时B ．62千瓦·时 C. 64千瓦·时 D ．68千瓦·时7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．5003π B ．23 C.1253π D ．12523 8.知平面向量a ，b 满足()3a a b ⋅=，且2a =，1b =，则向量a 与b 夹角的正弦值为（ ）A ．12-B ．3-12D 39.设,a b R ∈，则“()20a b a -⋅<”是“a b <”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112 B ．114 C. 115 D ．11811.过抛物线24y x =焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与圆()2221x y r -+=交于C 、D 两点，若有三条直线满足AC BD =，则r 的取值范围为（ ） A ．3(,)2+∞ B ．(2,)+∞ C. 3(1,)2 D ．3(,2)212.设函数()()1x f x e x =-，函数()(),0g x mx m m =->，若对任意的[]12,2x ∈-，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围是（ ）A ．213,3e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,e ⎡⎤+∞⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则y z x =的最大值为 ．14.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三月考（二）数学(理)试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，1，2，3，，则 A ={x|y =3−x }B ={0,4}A ∩B =()A. ∅B. {0，1，2}C. {0，1，2，3}D. （-∞，3]∪{4}【答案】C【解析】解：因为y =，要使函数有意义，则需：3-x ≥0，即x ≤3，即A =（-∞，3]，3−x 又B =，所以A ∩B =，故选：C ．由集合A 的代表元可得，集合A 为函数的定义域，由3-x ≥0，解得x ≤3，即A =（-∞，3]，再求交集即可．本题考查了求函数的定义域及集合交集的运算，属简单题．2.已知函数，那么的值为 f(x)={2x−1,x <0log 2x,x >0f(8)()A. 3B. 4C. 15D. 16【答案】A【解析】解：函数，∵f(x)={2x−1,x <0log 2x,x >0．∴f(8)=log 28=3故选：A ．由，得，由此能求出结果．8>0f(8)=log 28本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.当n 是正整数时，用数学归纳法证明时，从到1×4+2×7+3×10+…+n(3n +1)=n(n +1)2n =k ，等号左边需要增加的代数式为 n =k +1()A. B. C. D. k(3k +4)(k +1)(3k +l)(k +1)3k (k +1)(3k +4)【答案】D【解析】解：当时，，n =k 1×4+2×7+3×10+…+k(3k +1)=k(k +1)2时，，n =k +11×4+2×7+3×10+…+k(3k +1)+(k +1)(3k +4)=(k +1)(k +2)2即有，(k +1)(k +2)2−k(k +1)2=(k +1)(3k +4)可得从到，等号左边需要增加的代数式为，n =k n =k +1(k +1)(3k +4)故选：D ．求得，时的等式，作差即可得到所求代数式．n =k n =k +1本题考查数学归纳法的步骤，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．4.直角的外接圆圆心O ，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为 △ABC(∠A =90∘)|⃗OA|=|⃗AB|⃗AB ⃗BC ()A. B.C.D.32−1212−32【答案】B【解析】解：依题意得，，如图：|⃗OA|=|⃗AB|=|⃗OB|=1∠OBA =60∘向量在向量方向的投影为，∴⃗AB ⃗BC |⃗AB|cos∠(180∘−60∘)=1×(−12)=−12故选：B ．依题意得，，再根据向量在向量上的投影的概念可得．|⃗OA|=|⃗AB|=|⃗OB|=1∠OBA =60∘本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．5.已知是定义在实数集R 上的偶函数，且在上递增，则 f(x)(0,+∞)()A.B.f(20.7)<f(−log 25)<f(−3)f(−3)<f(20.7)<f(−log 25)C.D.f(−3)<f(−log 25)<f(20.7)f(20.7)<f(−3)<f(−log 25)【答案】A 【解析】解：，在上递增，∵20.7<2<log 25<3f(x)(0,+∞)，∴f(20.7)<f(log 25)<f(3)是定义在实数集R 上的偶函数，∵f(x)，∴f(20.7)<f(−log 25)<f(−3)故选：A ．利用，在上递增，可得，结合是定义在实数集R 上20.7<2<log 25<3f(x)(0,+∞)f(20.7)<f(log 25)<f(3)f(x)的偶函数，即可得出结论．本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某0.750.6天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ()A. B. C. D. 0.80.750.60.45【答案】A【解析】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p ，则由题意可得，0.75×p =0.6解得，p =0.8故选：A ．设随后一天的空气质量为优良的概率为p ，则由题意可得，由此解得p 的值．0.75×p =0.6本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．7.要得到函数，的图象，只需将函数，的图象 f(x)=2sinxcosx x ∈R g(x)=2cos 2x−1x ∈R ()A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位π2π2C.向左平移个单位D.向右平移个单位π4π4【答案】D【解析】解：将函数，的图象向右平移个单位，g(x)=2cos 2x−1=cos2x x ∈R π4可得函数，的图象，y =cos2(x−π4)=sin2x =2sinxcosxx ∈R 故选：D ．利用诱导公式、二倍角公式，以及的图象变换规律，得出结论．y =Asin(ωx +φ)本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，以及的图象变换规律，属于基础题．y =Asin(ωx +φ)8.等差数列的首项为1，公差不为若，，成等比数列，则前6项的和为 {a n }0.a 2a 3a 6{a n }()A. B. C. 3 D. 8−24−3【答案】A【解析】解：等差数列的首项为1，公差不为，，成等比数列，∵{a n }0.a 2a 3a 6，∴a 23=a 2⋅a 6，且，，∴(a 1+2d )2=(a 1+d)(a 1+5d)a 1=1d ≠0解得，d =−2前6项的和为．∴{a n }S 6=6a 1+6×52d =6×1+6×52×(−2)=−24故选：A ．利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出前6项的和．{a n }本题考查等差数列前n 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．9.设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，则的最大值为 △ABC acosB−bcosA =35ctan(A−B)()A. B.C.D. 3234323【答案】B 【解析】解：，∵acosB−bcosA =35c结合正弦定理，得，∴sinAcosB−sinBcosA =35sinC ，得，∵C =π−(A +B)sinC =sin(A +B)，∴sinAcosB−sinBcosA =35(sinAcosB +cosAsinB)整理可得：，同除以，得，sinAcosB =4sinBcosA cosAcosB tanA =4tanB 由此可得，tan(A−B)=tanA−tanB 1+tanAtanB =3tanB1+4tan 2B =31tanB +4tanB 、B 是三角形内角，且与同号，∵A tanA tanB 、B 都是锐角，即，，∴A tanA >0tanB >0，∵1tanB +4tanB ≥21tanB ⋅4tanB =4，当且仅当，即时，的最大值为．∴tan(A−B)=31tanB+4tanB≤341tanB=4tanBtanB =12tan(A−B)34故选：B ．利用正弦定理，将已知等式化简整理得，两边同除以，得到利用两sinAcosB =4sinBcosA cosAcosB tanA =4tanB.角差的正切公式，得，最后利用基本不等式求最值，可得当且仅当时，的tan(A−B)=31tanB+4tanBtanB =12tan(A−B)最大值为．34本题已知三角形边角的一个关系式，求的最大值，着重考查了正弦定理、两角差的正切公式和基本不等tan(A−B)式求最值等知识，属于中档题．10.函数在内存在极值点，则 f(x)=13x 3+ax 2−2x +1x ∈(1,2)()A.B.或C.D.或−12≤a ≤12a <12a >12−12<a <12a ≤−12a ≥12【答案】C【解析】解：由题意得：在内存在变号零点，f′(x)=x 2+2ax−2(1,2)分离参数，a =−x 2+1x在内连续且单调递减，y =−x2+1x (1,2)值域是，(−12,12)故和有变号交点的范围是，y =a y =−x 2+1x(−12,12)故选：C ．求出函数的导数，问题转化为，求出函数在的值域，从而求出a 的范围即可．a =−x2+1xy =−x 2+1x(1,2)本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．11.如表中的数表为“森德拉姆筛”森德拉姆，东印度学者，其特点是每行每列都成等差数列在表中，“361”().出现的次数为 ()234567...35791113...4710131619...5913172125...61116212631 (7)1319253137……………………A. 12B. 6C. 24D. 48【答案】C【解析】解：根据题意，解：第i 行第j 列的数记为那么每一组i 与j 的组合就是表中一个数．a ij .因为第一行数组成的数列2，是以2为首项，公差为1的等差数列，a 1j (j =1,…)所以，a 1j =2+(j−1)×1=j +1所以第j 列数组成的数列2，是以为首项，公差为j 的等差数列，a ij (i =1,…)j +1所以．a ij =(j +1)+(i−1)×j =ij +1令，a ij =ij +1=361则，则361出现的次数为次ij =360=32×23×5(2+1)(3+1)(1+1)=24所以，表中361共出现24次．故选：C ．第1行数组成的数列2，是以2为首项，公差为1的等差数列，第j 列数组成的数列2，是以a ij (j =1,…)a ij (i =1,…)为首项，公差为j 的等差数列，求出通项公式，就求出结果．j +1本题考查归纳推理的应用，涉及行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，12.若函数满足，且，则的解集是 f(x)f(x)=x(f′(x)−lnx)f(1e )=1eef(e x )<f′(1e )+1()A. B. C.D.(−∞,−1)(−1,+∞)(0,1e )(1e ,+∞)【答案】A【解析】解：由，整理得，即，f(x)=x(f′(x)−lnx)xf′(x)−f(x)=xlnx (f(x)x)′=lnxx 两边积分，∫(f(x)x)dx =∫ln x dx =∫lnxd(lnx)=12ln 2x +C整理得：，f(x)=x2ln 2x +Cx，代入求得，f(1e )=1ec =12，∴f(x)=x2ln 2x +12x，令，，f′(x)=12ln 2x +lnx +12lnx =t t ∈R ，∴f′(t)=12t 2+t +12=12(t +1)2≥0单调递增，∴f(x)由，，f(x)=x(f′(x)−lnx)f(1e )=1e，f′(1e )=0由，整理得：，ef(e x )<f′(1e )+1f(e x )<1e =f(1e )=f(e −1)由函数单调性递增，即，e x <e −1由，单调递增，则，y =e xx <−1不等式的解集，∴(−∞,−1)故选：A ．将函数整理得，两边积分，求得函数的解析式，求导，求得函数的单调性及，则不等式转化成(f(x)x)′=lnx x f′(1e )，利用函数的单调性即可求得不等式的解集．f(e x )<1e =f(1e )=f(e −1)本题考查求函数的解析式，不等式的解法，考查求函数的不定积分的应用，考查转换思想，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，，则______．⃗a=(3,−1)⃗b=(1,m)⃗a//(⃗a−2⃗b)m =【答案】−13【解析】解：；⃗a −2⃗b=(1,−1−2m)；∵⃗a//(⃗a−2⃗b)；∴3(−1−2m)+1=0解得．m =−13故答案为：．−13可解出，根据即可得出，解出m 即可．⃗a−2⃗b=(1,−1−2m)⃗a//(⃗a−2⃗b)3⋅(−1−2m)−(−1)⋅1=0考查向量坐标的减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系．14.我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度服从正态分布，若在内的概率为，则他速度超过120的概ξ(100,σ2)(σ>0)ξ(80,120)0.7率为______．【答案】0.15【解析】解：由题意可得，，且，μ=100P(80<ξ<120)=0.7则或．P(ξ<80ξ>120)=1−P(80<ξ<120)=1−0.7=0.3或．∴P(ξ>120)=12P(ξ<80ξ>120)=0.15则他速度超过120的概率为．0.15故答案为：．0.15根据正态分布的定义，可以求出或的概率，除以2得答案．P(ξ<80ξ>120)本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属μσ于基础题．15.若，则二项式的展开式中常数项是______．a =∫π0sinxdx(a x−1x )6【答案】−160【解析】解：，a =∫π0sinxdx =−cosx |π0=−cosπ+cos 0=2二项式的展开式的通项公式为，(2x−1x )6T k +1=C k 6(2x )6−k (−1x )k =(−1)k 26−k ⋅C k 6x3−k令，得，3−k =0k =3此时展开式中常数项是=(−1)326−3⋅C 36=−160故答案为：．−160根据定积分的计算法则求出a 的值，再根据二项式定理求出即可．本题考查了定积分的计算好二项式定理，属于基础题．16.已知A ，B 是函数其中常数图象上的两个动点，点，若的最小值为f(x)={−e x−2a,(x ≥a)f(2a−x),(x <a)(a >0)P(a,0)⃗PA ⋅⃗PB 0，则函数的最大值为______．f(x)【答案】−1e【解析】解：A ，B 是函数其中图象上的两个f(x)={−e x−2a ,x ≥a f(2a−x),x <a (a >0)动点，当时，，x <a f(x)=f(2a−x)=−e (2a−x)−2a=−e −x 函数的图象关于直线对称．∴f(x)x =a 当点A ，B 分别位于分段函数的两支上，且直线PA ，PB 分别与函数图象相切时，的最小值为0，⃗PA⋅⃗PB 设PA 与相切于点，f(x)=−e −xA(x 0,y 0)，，解得，∴f′(x)=e −x ∴k AP =f′(x 0)=e−x 0=−e −xx 0−a x 0=a−1的最小值为0，，∵⃗PA ⋅⃗PB ∴⃗PA ⊥⃗PB ，，，∴k PA =tan 45∘=1∴e −x 0=1∴x 0=0，．∴a =1∴f(x )max =−1e 故答案为：−1e先推出的图象关于直线对称，然后得出直线PA ，PB 分别与函数图象相切时，的最小值为0，再通f(x)x =a ⃗PA ⋅⃗PB 过导数的几何意义得切线的斜率，解出，结合图象可得时，的最大值为．a =1x =1f(x)−1e 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属难题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足，△ABC csinB =3bcosC a 2−c 2=2b2Ⅰ求C 的大小；()Ⅱ若的面积为，求b 的值．()△ABC 213【答案】本小题满分12分()解：Ⅰ由已知及正弦定理可得，，()∵sinCsinB =3sinBcosC ，∵sinB ≠0，∴tanC =3 分∴C =π3 (5)Ⅱ 由Ⅰ可得，，()()cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，∴a 2+b 2−c 2=ab 又，∵a 2−c 2=2b 2，∴a =3b由题意可知，，∴S △ABC =12absinC =334b 2=213，可得： 分∴b 2=28b =27 (12)【解析】Ⅰ由已知及正弦定理可得，，进而利用同角三角函数基本关系式可求，()sinCsinB =3sinBcosC tanC =3即可得解C 的值．Ⅱ 由Ⅰ利用余弦定理可求，又，可得，利用三角形面积公式即可解得b 的()()a 2+b 2−c 2=ab a 2−c 2=2b 2a =3b 值．本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.已知数列满足：，是其前n 项的和，且数列满足，{a n }a n ≥1S n 2S n =a 2n +n.{b n }b l =−a 2．b n +1=b n +a n ⋅2an 求数列的通项公式；(1){a n }求数列的通项公式．(2){b n }【答案】解：根据题意，数列满足，(1){a n }2S n =a 2n +n ①当时，有，n ≥22S n−1=a 2n−1+n−1②可得：，①−②2a n =a 2n −a 2n−1变形可得：，a 2n−1=(a n −1)2又由，则，即，a n ≥1a n−1=a n −1a n −a n−1=1则数列是首项为，公差为1的等差数列，{a n }a 1=1则；a n =1+(n−1)=n 由可得：，，(2)(1)b l =−a 2=−2b n +1=b n +a n ⋅2a n=b n +n ⋅2n 变形可得：，b n +1−b n =n ⋅2n当时，n ≥2则b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+……+(b 2−b 1)+b 1=1⋅2+2⋅22+3⋅23+……+(n−1)⋅2n−1−2设，S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+……+(n−1)⋅2n−1则，2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+……+(n−1)⋅2n 两式相减可得：，−S n =2+(22+23+……+2n−1)−(n−1)2n =(2−n)⋅2n−2则，S n =2+(n−2)⋅2n则，，b n =(n−2)⋅2n (n ≥2)当时，也符合；n =1b l =−2则．b n =(n−2)⋅2n【解析】根据题意，由可得，两式相减可得，变形可得：(1)2S n =a 2n +n 2S n−1=a 2n−1+n−12a n =a 2n −a 2n−1，进而可得，即，据此可得数列是首项为，公差为1的等差数a 2n−1=(a n −1)2a n−1=a n −1a n −a n−1=1{a n }a 1=1列，由等差数列的通项公式计算可得答案；根据题意，分析可得，当时，由累加法可得(2)b n +1−b n =n ⋅2nn ≥2，设b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+……+(b 2−b 1)+b 1=1⋅2+2⋅22+3⋅23+……+(n−1)⋅2n−1−2，由错位相减法分析可得，即可得S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+……+(n−1)⋅2n−1S n =2+(n−2)⋅2n ，，验证时，即可得答案．b n =(n−2)⋅2n (n ≥2)n =1本题考查数列的递推公式，涉及累加法的应用，属于综合题．19.为增强学生体质，长郡中学组织体育社团，某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团，每人只能从两个社团中选择其中一个社团，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团，掷出点数为5或6的人参加篮球社团，掷出点数小于5的人参加足球社团．求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率；(1)用，分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数，记随机变量X 为和之差的绝对值，求随机变(2)ξηξη量X 的分布列与数学期望．E(X)【答案】解：依题意，这4个人中，每个人参加篮球社团的概率为，参加足球社团的概率为，(1)1323设“这4个人中恰有i 个人参加篮球社团”为事件，1，2，3，，A i (i =0,4)则，1，2，3，，P(A i )=C i4(13)i (23)4−i(i =0,4)这4人中恰有1人参加篮球社团的概率．∴P(A 1)=C 14(13)(23)3=3281由已知得X 的所有可能取值为0，2，4，(2)，P(X =0)=C 24(13)2(23)2=827，P(X =2)=C 14(13)(23)3+C 34(13)3(23)=4081，P(X =4)=C 04(23)4+C 44(13)4=1781的分布列为：∴X X24P 827 4081 1781．E(X)=0×827+2×4081+4×1781=14881【解析】依题意，这4个人中，每个人参加篮球社团的概率为，参加足球社团的概率为，设“这4个人中恰(1)1323有i 个人参加篮球社团”为事件，1，2，3，，则，1，2，3，，由此能求出A i (i =0,4)P(A i )=C i 4(13)i (23)4−i(i =0,4)这4人中恰有1人参加篮球社团的概率．由已知得X 的所有可能取值为0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和．(2)E(X)本题考查概率的求法，考查离散型随机事件的分布列、数学期望的求法，考查n 次独立试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：万元对年销售量单位：吨和年利x()y()润单位：万元的影响对近六年的年宣传费和年销售量2，3，4，5，的数据作了初步统计，得到z().x i y i (i =1,6)如下数据：年份201320142015201620172018年宣传费万元x()384858687888年销售量吨y()16.818.820.722.424.025.5经电脑模拟，发现年宣传费万元与年销售量吨之间近似满足关系式对上述数据作了初x()y()y =a ⋅x b (a,b >0).步处理，得到相关的值如表：6∑i =1(lnx i ⋅lny i )6∑i =1(lnx i )6∑i =1(lny i)6∑i =1(lnx i )275.324.618.3101.4根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；(1)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为若想在2019年达到年利润最大，请预测2019年的(2)z =2y−e 14x 宣传费用是多少万元？附：对于一组数据，，，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别(u l ,v 1)(u 2,v 2)…(u n ,v n )v =β⋅u +a 为，β=∑n i =1(u i v i )−n(−uv )∑n i =1u 2i −n(−u )2α=−v−β⋅−u 【答案】解：对，，两边取对数得，(1)y =a ⋅x b (a >0,b >0)lny =lna +blnx 令，，得，u i =lnx i v i =lny i v =lna +b ⋅u由题目中的数据，计算，，−u =24.66=4.1−v =18.36=3.05且，∑6i =1(u i v i )=∑6i =1(lnx i lny i )=75.3；∑6i =1u 2i =∑6i =1(lnx i )2=101.4则，∧b =∑6i =1(u i v i )−6−u ⋅−v∑6i =1u 2i −6⋅−x 2=75.3−6×4.1×3.05101.4−6×4.12=0.270.54=12，lna =−v−ln −u =3.05−12×4.1=1得出，∧a =e 所以y 关于x 的回归方程是；∧y =e ⋅x 由题意知这种产品的年利润z 的预测值为(2)，∧z =2y−e 14x =e ⋅2x−e 14x =−e 14(x−142x )=−e 14(x−72)2+7e所以当，即时，取得最大值，x =72x =98∧z 即当2019年的年宣传费用是98万元时，年利润有最大值．【解析】对两边取对数得，令，，得，(1)y =a ⋅x b lny =lna +blnx u i =lnx i v i =lny i v =lna +b ⋅u 求出u 关于v 的线性回归方程，得出y 关于x 的回归方程；写出年利润z 的预测值函数，利用函数的性质求出x 为何值时取得最大值即可．(2)∧z ∧z 本题考查了函数模型的应用问题，也考查了线性回归方程的计算问题，是难题．21.已知函数，，在处的切线方程为．f(x)=(x +b)(e x −a)(b >0)(−1,f(−1))(e−1)x +ey +e−1=0Ⅰ求a ，b ；()Ⅱ若方程有两个实数根，，且，证明：．()f(x)=m x 1x 2x 1<x 2x 2−x 1≤1+m(1−2e)1−e 【答案】解：Ⅰ在处的切线方程为，可得()(−1,f(−1))(e−1)x +ey +e−1=0，即，f(−1)=0f(−1)=(−1+b)(e −1−a)=0又函数，，f(x)=(x +b)(e x −a)(b >0)可得导数为，所以，f′(x)=(x +b +1)e x −a f′(−1)=b e −a =−1+1e 若，则，与矛盾，a =1eb =2−e <0b >0故；a =b =1Ⅱ证明：由Ⅰ可知，，，()()f(x)=(x +1)(e x −1)f(0)=0f(−1)=0设在处的切线方程为，f(x)(−1,0)ℎ(x)=k(x +1)易得，则，k =f′(−1)=1e −1ℎ(x)=(1e −1)(x +1)令，F(x)=f(x)−ℎ(x)即，，F(x)=(x +1)(e x −1)−(1e −1)(x +1)F′(x)=(x +2)e x −1e当时，，x ≤−2F′(x)=(x +2)e x −1e <−1e <0当时，x >−2设，，G(x)=F′(x)=(x +2)e x −1e G′(x)=(x +3)e x >0故函数在上单调递增，又，F′(x)(−2,+∞)F′(−1)=0所以当时，，当时，，x ∈(−∞,−1)F′(x)<0x ∈(−1,+∞)F′(x)>0所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，F(x)(−∞,−1)(−1,+∞)故F ，(x)≥F(−1)=0，f(x 1)≥ℎ(x 1)设的根为，则，ℎ(x)=m x 1′x 1′=−1+me 1−e 又函数单调递减，故，故，ℎ(x)ℎ(x 1′)=f(x 1)≥ℎ(x 1)x 1′≤x 1设在处的切线方程为，易得，y =f(x)(0,0)y =t(x)t(x)=x 令，，T(x)=f(x)−t(x)=(x +1)(e x −1)−x T′(x)=(x +2)e x −2当时，，x ≤−2T′(x)=(x +2)e x −2<−2<0当时，x >−2设，，H(x)=T′(x)=(x +2)e x −2H′(x)=(x +3)e x >0故函数在上单调递增，又，T′(x)(−2,+∞)T′(0)=0所以当时，，当时，，x ∈(−∞,0)T′(x)<0x ∈(0,+∞)T′(x)>0所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，T(x)(−∞,0)(0,+∞)，T(x)≥T(0)=0，f(x 2)≥t(x 2)设的根为，则，t(x)=m x 2′x 2′=m 又函数单调递增，故，故，t(x)t(x 2′)=f(x 2)≥t(x 2)x 2′≥x 2又，x 1′≤x 1则．x 2−x 1≤x 2′−x 1′=m−(−1+me 1−e )=1+m(1−2e)1−e 【解析】Ⅰ求得切点坐标，求出的导数，可得切线的斜率，即可得到所求a ，b 的值；()f(x)Ⅱ求得，，设出在处的切线方程为，求得k ，令，()f(0)=0f(−1)=0f(x)(−1,0)ℎ(x)=k(x +1)F(x)=f(x)−ℎ(x)求得导数和单调性，求出的根，同理设在处的切线方程为，易得，求得ℎ(x)=m y =f(x)(0,0)y =t(x)t(x)=x 的根，即可得证．t(x)=m 本题考查函数的导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式的证明，注意运用方程和函数的转化思想和构造函数法，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为，直线过点且倾斜角为．ρ=4cos(θ−π3)P(0,−3)π3求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(1)设直线l 与曲线C 交于两点A ，B ，求的值．(2)PA|+|PB|【答案】解：曲线，(1)C ：ρ=4cos(θ−π3),转换为ρ=4cosθcos π3+4sinθsin π3所以，ρ2=2ρcosθ+23ρsinθ即，x 2+y 2=2x +23y 得曲线C 的直线坐标方程为，(x−1)2+(y−3)2=4直线l 的参数方程为为参数．{x =12t y =32t−3(t)将为参数代入圆的方程，(2){x =12t y =32t−3(t )得，(12t−1)2+(32t−23)=4整理得，t 2−7t +9=0所以．|PA|+|PB|=t 1+t 2=7【解析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(1)利用直线和曲线的位置关系，建立一元二次方程，进一步利用根和系数的关系求出结果．(2)本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．23.已知函数，．f(x)=−|x−a|+a +2g(x)=|x−1|+|2x +4|解不等式；(1)g(x)<6若存在、，使得成立，求实数a 的取值范围．(2)x 1x 2∈R f(x 1)=g(x 2)【答案】解：因为(1)g(x)=|x−1|+|2x +4|={3x +3,x ≥1x +5,−2≤x <1−3x−3,x <−2故由得：或或g(x)<6{3x +3<6x ≥1{x +5<6−2≤x <1{−3x−3<6x <−2解得或或，⌀−2≤x <1−3<x <−2故原不等式解集为：．(−3,1)由可知的值域为，显然的值域为．(2)(1)g(x)[3,+∞)f(x)(−∞,a +2]依题意得：[3,+∞)∩(−∞,a +2]≠⌀所以实数a 的取值范围为．[1,+∞)【解析】由零点分段法去掉绝对值，分别解出不等式取交集即可；(1)分别求出函数和的值域，则所对应的两个集合交集非空，即可求出a 的取值范围．(2)f(x)g(x)本题考查绝对值不等式的解法，以及与绝对值有关的方程有解的问题，属于中档题目．。
湖南省长郡中学2019届高三12月（第四次）月考数学（理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在复平面上满足条件|z -2i |+|z +1|=√5的复数z 所对应的点的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 直线C. 线段D. 圆 2. 若集合A ={x ||x |＞1，x ∈R }，B ={y |y =x 2，x ∈R ），则（∁U A ）∩B =（ ）A. {x|−1≤x ≤1}B. {x|x ≥0}C. {x|0≤x ≤1}D. ⌀3. 某同学用收集到的6组数据对（x i ，y i ）（i =1，2，3，4，5，6）制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线l 的方程：=x +a −，相关指数为r ．现给出以下3个结论：①r ＞0；②直线l 恰好过点D ；③＞1；其中正确的结论是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③4. 数列2，212，314，418，…，n +12n−1，…的前n 项之和为：（ ）A.n(n+1)2+2−12nB. n(n+1)2+1−12nC. n 2+n+42−12n−1D. n2−n+42−12n−15. 曲线y =xe x +1在点（0，1）处的切线方程是（ ）A. x −y +1=0B. 2x −y +1=0C. x −y −1=0D. x −2y +2=06. 在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. 56AB ⃗⃗⃗⃗⃗−43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 43AB ⃗⃗⃗⃗⃗−56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 56AB ⃗⃗⃗⃗⃗+43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 43AB ⃗⃗⃗⃗⃗+56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ）A. √2π3B. √3π3C. 4π3D. 2π8. 曲线x 225+y 29=1与曲线x 225t+y 29t=1(t ＞0)的（ ）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等9. 设f n （x ）=1+x +x 2+…+x n （x ＞0），其中n ∈N ，n ≥2，则函数G n （x ）=f n （x ）-2在（12n ，1）内的零点个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 与n 有关10. 如图，在正六边形ABCDEF 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. 12 B. 25 C. 35 D. 51211. 直线y =-√3x 与椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为（ ）A. √32B. √3−1C. √3−12D. 4−2√312. 在空间直角坐标系O -xyz 中，O 为原点，平面xOz 内有一平面图形a 由曲线z =√4−x 2与x 轴围成，将该图形按空间向量a⃗ =（x a ，y a ，z a ）=（0，2，-2）进行平移，平移过程中平面图形a 所划过的空间构成一个三维空间几何体，该几何体的体积为（ ） A. 4π B. 4√2π C. 8π D. 8√2π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥1x +2y ≤2x ≤a ，目标函数z =2x +3y 的最小值为2，则a =______．14. 数列1，11+2，11+2+3， (1)1+2+3+⋯n …（n ∈N *）的前49项和为______．15. 把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为______．（用数字作答）16. 设函数f （x ）=e x（sin x -cos x ）（0≤x ≤2015π），则函数f （x ）的各极大值之和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B =√3b ．（1）求角A 的大小；（2）若a =4，b +c =8，求△ABC 的面积．18.如图，四棱锥P-ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM=DN．（1）求证：直线MN∥平面PCD；（2）若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的余弦值．19.已知A，B，C为椭圆E：x2+y2=1上三个不同的点，O为2坐标原点，且O为△ABC的重心．（1）如果直线AB、OC的斜率都存在，求证k AB k OC为定值；（2）试判断△ABC的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由．20.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．已知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10．（Ⅰ）分别求出m，n的值；（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．21. 已知函数f （x ）=ln x -ax 2在x =1处的切线与直线x -y +1=0垂直．（Ⅰ）求函数y =f （x ）+xf ′（x ）（f ′（x ）为f （x ）的导函数）的单调递增区间；（Ⅱ）记函数g （x ）=f （x ）+32x 2-（1+b ）x ，设x 1，x 2（x 1＜x 2）是函数g （x ）的两个极值点，若b ≥e 2+1e-1，且g （x 1）-g （x 2）≥k 恒成立，求实数k 的最大值．22. 极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）． （1）求C 的直角坐标方程；（2）直线l ：{x =12ty =1+√32t (t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，求|EA |+|EB |的值．23. 已知f （x ）=|x |+2|x -1|．（1）解不等式f （x ）≥4；（2）若不等式f （x ）≤|2a +1|有解，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：设z=x+yi，其中x、y∈R，由|z-2i|+|z+1|=，得|x+（y-2）i|+|（x+1）+yi|=，所以+=，即点M（x，y）到点A（0，2）和B（-1，0）的距离和为，所以复数z在复平面内所对应点的轨迹是线段．故选：C．设z=x+yi，由|z-2i|+|z+1|=，得出+=，利用几何意义得出复数z在复平面内所对应点的轨迹是线段．本题考查了复数的定义与应用问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：A={x|x＜-1，或x＞1}，B={y|y≥0}；∴∁U A={x|-1≤x≤1}；∴（∁U A）∩B={x|0≤x≤1}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集、补集的运算．3.【答案】A【解析】解：结合图象知，从左到右各点是上升排列的，是正相关，r＞0，①正确；计算=×（0+1+2+3+5+7）=3，=×（1.5+2+2.3+3+5+4.2）=3，∴直线l过点D（3，3），②正确；计算==＜1，③错误；综上，正确的结论是①②．故选：A．结合图象，计算平均数、，求出，对选项中的命题判断正误即可．本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：S n=2+=（1+2+3+…n）+（1+++…）=+=故选：C．先把数列的前n项和分解成等差数列和等比数列的前n项和，进而根据等差数列和等比数列的求和公式求的答案．本题主要考查了数列的求和问题．常需要把数列转化成等差数列或等比数列的问题，进而利用公式求的答案．5.【答案】A【解析】解：∵y=xe x+1，∴f'（x）=xe x+e x，当x=0时，f'（0）=1得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为：y-1=1×（x-0），即x-y+1=0．故选：A．欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意得，=+=+=（-）-=-故选：A．运用三角形法则和共线向量的知识可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．7.【答案】A【解析】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr=，∴r=1，h==2，设内切球的半径为R，则=，∴R=，V=πR3=π（）3=π，故选：A．利用弧长公式可求圆锥的底面半径r，高h，进而可求内切球的半径R，可求圆锥的内切球的体积．本题主要考查了弧长公式，球的体积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：曲线+=1与曲线都表示椭圆，对于+=1，其中a==5，b==3，则有c==4，则其长轴长2a=10，短轴长2b=6，焦距2c=8，离心率e==；对于，其中a==5，b==3，则有c==4，则其长轴长2a=10，短轴长2b=6，焦距2c=8，离心率e==；比较可得，两者的离心率相等；故选：C．根据题意，由椭圆的方程计算可得两个椭圆的长轴长、短轴长，焦距、离心率，比较即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，关键是有椭圆的标准方程计算出长轴长、短轴长，焦距、离心率．9.【答案】B【解析】解：f n（x）=1+x+x2+…+x n（x＞0），导数为f′n（x）=1+2x+…+nx n-1＞0，则f n（x）在（0，+∞）递增，G n（）=f n（）-2=-2=2-（）n-2=-（）n＜0，G n（1）=f n（1）-2=n+1-2=n-1＞0（n≥2），且n∈N，n≥2，可得G n（）=f n（）-2＜0，由函数零点存在定理可得函数G n（x）=f n（x）-2在（，1）内的零点个数只有1个．故选：B．运用导数求得f n（x）在（0，+∞）递增，计算G n（）＜0，可得n∈N，n≥2，可得G n（）＜0，G n（1）＞0，由零点存在定理即可得到所求个数．本题考查函数的零点个数问题，注意判断函数的单调性和零点存在定理的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：设正六边形的边长为2，AC与BE的交点为G，可知AB=2，BG=1，，∴在正六边形ABCDEF内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是．故选：D．设正六边形的边长为2，AC与BE的交点为G，由已知求得BG，AG，CG，进一步求出阴影部分的面积，由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型，考查运算求解能力和应用意识，是基础题．11.【答案】B【解析】解：由题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．直线y=-x的倾斜角为120°，所以矩形宽为c，长为c．由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c+c=2a．∴故选：B．以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的离心率．本题重点考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．12.【答案】A【解析】解：∵在空间直角坐标系O-xyz中，O为原点，平面xOz内有一平面图形a由曲线z=与x轴围成，∴平面图形α是平面xoz内以原点O为圆心，2为半径的半圆，将该半圆按空间向量=（0，2，-2）平移，所划过的空间构成的几何体是一个以半径为2的半圆为上下底面，高为2的斜圆柱，由祖暅原理得到斜圆柱体积计算方法与直圆柱相同，∴该几何体的体积为V==4π．故选：A．将该半圆按空间向量=（0，2，-2）平移，所划过的空间构成的几何体是一个以半径为2的半圆为上下底面，高为2的斜圆柱，由祖暅原理以求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、祖暅原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：x，y满足约束条件，的可行域如图：目标函数z=2x+3y经过可行域的A时，z取得最小值，由，解得：A（1，0），点在直线x=a上，可得a=1．故答案为：1．作出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义转化求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力．14.【答案】4925【解析】解：===2（-），可得前49项和为2（1-+-+…+-）=2（1-）=．故答案为：．运用等差数列的求和公式和裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等差数列的求和公式，数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．15.【答案】96【解析】解：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C43=4种情况，再对应到4个人，有A44=24种情况，则共有4×24=96种情况．故答案为96．根据题意，先将票分为符合题意要求的4份，可以转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法进行解决．16.【答案】eπ(1−e2014)1−e2π【解析】解：：∵函数f（x）=e x（sinx-cosx），∴f′（x）=[e x（sinx-cosx）]′=e x（sinx-cosx）+e x（cosx+sinx）=2e x sinx；令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）；∴当2kπ＜x＜2kπ+π时，f′（x）＞0，原函数单调递增，当2kπ+π＜x＜2kπ+2π时，f′（x）＜0，原函数单调递减；∴当x=2kπ+π时，函数f（x）取得极大值，此时f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e2kπ+π；又∵0≤x≤2015π，∴0和2015π都不是极值点，∴函数f （x ）的各极大值之和为： e π+e 3π+e 5π+…+e 2013π=．故答案为：．先求f′（x ）=2e x sinx ，这样即可得到f （π），f （3π），f （5π），…，f （2013π）为f （x ）的极大值，并且构成以e π为首项，e 2π为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求f （x ）的各极大值之和即可．本题考查极大值的定义，正弦、余弦，和积的导数的求导公式，以及等比数列的概念，等比数列的求和公式，属于中档题． 17.【答案】解：（1）∵△ABC 中，2asinB =√3b ，∴根据正弦定理，得2sinAsinB =√3sinB ， ∵锐角△ABC 中，sin B ＞0， ∴等式两边约去sin B ，得sin A =√32∵A 是锐角△ABC 的内角，∴A =π3； （2）∵a =4，A =π3，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，得16=b 2+c 2-2bc cos π3， 化简得b 2+c 2-bc =16，∵b +c =8，平方得b 2+c 2+2bc =64，∴两式相减，得3bc =48，可得bc =16．因此，△ABC 的面积S =12bc sin A =12×16×sin π3=4√3． 【解析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=，再由△ABC 是锐角三角形，即可算出角A 的大小；（2）由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA 的式子，结合题意化简得b 2+c 2-bc=16，与联解b+c=8得到bc 的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得△ABC 的面积．本题给出三角形的边角关系，求A 的大小并依此求三角形的面积，着重考查了正余弦定理的运用和三角形的面积公式等知识，属于中档题．18.【答案】（1）证明：延长AN ，交CD于点G ，由相似知ANNG =BNND =AMMP ，可得：MN ∥PG ，MN ⊄平面PCD ，PG ⊂平面PCD ， 则直线MN ∥平面PCD ；（2）解：由于DA ⊥DC ⊥DP ，以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设A （1，0，0），则B （1，1，0），C （0，1，0），P （0，0，1），M(12，0，12)，N(12，12，0)则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，-1），平面AMN 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(1，1，1)， 则向量PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与m ⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cosθ=13， 则PB 与平面AMN 夹角的余弦值为2√23． 【解析】（1）延长AN ，交CD 于点G ，由相似知，推出MN ∥PG ，然后证明直线MN ∥平面PCD ；（2）以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A （1，0，0），求出相关点的坐标，=（1，1，-1），平面AMN 的法向量，利用向量的数量积求解PB 与平面AMN 夹角的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力． 19.【答案】解：（1）设直线AB ：y =kx +m ，代入x 2+2y 2=2得（1+2k 2）x 2+4kmx +2（m 2-1）=0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， △=16k 2m 2-8（1+2k 2）（m 2-1）＞0⇒m 2＜1+2k 2， 则x 1+x 2=-−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−22k 2+1，线段AB 的中点D （−2km2k 2+1，m1+2k 2）． ∵O 为△ABC 的重心．∴k AB k OC =k AB k OD =k ⋅(−12k )=−12为定值；（2）设C （x 3，y 3），则x 3=-（x 1+x 2）=4km1+2k 2， y 3=-（y 1+y 2）=-[k （x 1+x 2）+2m ]=-2m2k 2+1，代入x 2+2y 2=2得1+2k 2=4m 2，|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|，O 到直线AB 的距离为d =|m|√1+k 2．由三角形的重心性质可得S △OAB =12d |AB |=12|m |•√2|m|1+2k2⋅√3m 2=√64．可得S △ABC =3S △OAB =3√64．【解析】（1）设直线AB ：y=kx+m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，求得线段AB 的中点D （，）．利用k AB k OC =k AB k OD 即可证明；（2）运用韦达定理，设C （x 3，y 3），由O 为△ABC 的重心．可得C 的坐标，将其代入椭圆的方程，可得1+2k 2=4m 2，表示|AB|的值，表示△OAB 的面积，又由S △ABC =3S △OAB ，计算可得答案．本题考查直线和椭圆的位置关系，考查向量的坐标表示，点满足椭圆方程，考查三角形的重心性质，属于中档题．20.【答案】解：（I ）由题意可得x 甲−=15（7+8+10+12+10+m ）=10，解得 m =3．再由x 乙−=15（n +9+10+11+12）=10，解得n =8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，S 甲2=15[（7-10）2+（8-10）2+（10-10）2+（12-10）2+（13-10）2]=5.2，S 乙2=15[（8-10）2+（9-10）2+（10-10）2+（11-10）2+（12-10）2]=2，并由x 甲−=x 乙−，S 甲2＞S 乙2，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a ，b ），则所有的（a ，b ）有（ 7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a +b ≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a +b ＞17的基本事件个数为25-5=20，即该车间“待整改”的基本事件有20个， 故该车间“待整改”的概率为2025=45． 【解析】（Ⅰ）由题意根据平均数的计算公式分别求出m ，n 的值．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些． （Ⅲ）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率．本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得：f ′（x ）=1x -2ax ，f ′（1）=1-2a =-1，可得：a =1； 又y =f （x ）+xf ′（x ）=ln x -3x 2+1，所以y ′=1−6x 2x ，（x ＞0），当x ∈（0，√66）时，y ′＞0，y 单调递增；当x ∈（√66，+∞）时，y ′＜0，y 单调递减；故函数的单调增区间为（0，√66）．（Ⅱ）g （x ）=ln x +12x 2-（1+b ）x ，g ′（x ）=x 2−(1+b)x+1x，因为x 1，x 2是g （x ）的两个极值点，故x 1，x 2是方程x 2-（1+b ）x +1=0的两个根， 由韦达定理可知：{x 1x 2=1x 1+x 2=1+b；∵x 1＜x 2，可知0＜x 1＜1，又x 1+1x 1=1+b ≥e +1e ，令t =x +1x ，可证t （x ）在（0，1）递减，由h （x 1）≥h （1e ），从而可证0＜x 1≤1e ．所以g （x 1）-g （x 2）=ln x 1x 2-12（x 1-x 2）（x 1+x 2）=ln x 12-12x 12+12x 12（0＜x 1≤1e） 令h （x ）=ln x 2-12x 2+12x 2，x ∈（0，1e ]， h ′（x ）=−(x 2−1)2x 3≤0，所以h （x ）单调减，故h （x ）min =h （1e ）=e 22-12e 2-2，所以k ≤e 22-12e 2-2，即k max =e 22-12e 2-2．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可； （Ⅱ）求出g （x ）的导数，求出g （x 1）-g （x 2）的解析式，令h （x ）=lnx 2-x 2+，x ∈（0，]，根据函数的单调性求出k 的最大值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，函数恒成立问题，是一道中档题．22.【答案】解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ ∴x 2+y 2=2x +2y即（x -1）2+（y -1）2=2------（5分）（2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 得t 2-t -1=0，所以|EA |+|EB |=|t 1|+|t 2|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√5．-------------------------（10分） 【解析】（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x 2+y 2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，求出对应的t 值，根据参数t 的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．23.【答案】解：（1）f （x ）≥4，⇔|x |+2|x -1|≥4⇔{2−3x ≥4x<0或{2−x ≥40≤x≤1或{3x −2≥4x>1， 解得x ≤-23或x ≥2，故不等式的解集为（-∞，-23]∪[2，+∞）．（2）不等式f （x ）≤|2a +1|有解⇔f （x ）min ≤|2a +1|，f （x ）=|x |+2|x -1|={2−3x ，x ＜02−x ，0≤x ≤13x −2，x ＞1，根据f（x）的单调性可知x=1时，f（x）min=1，∴1≤|2a+1|，解得a≤-1或a≥0．【解析】（1）分3段去绝对值解不等式再相并；（2）不等式f（x）≤|2a+1|有解⇔f（x）min≤|2a+1|，再根据函数f（x）的单调性求得最小值代入可解得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可。
【详解】所以所以选D【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义，属于基础题。
2.2.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.3.3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图像，根据函数图像的交点个数确定零点个数即可。
【详解】因为数满足，所以周期当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示由图像可知，方程有四个零点所以选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，绝对值函数图像的画法和函数零点的概念，关键是根据函数解析式能够正确画出函数的图像，属于基础题。
4.4.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解。
【详解】所以选B【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、正弦差角公式的简单应用，属于基础题。
5.5.已知、、是双曲线上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【解析】【分析】根据题意，设出A、B、P点的坐标，代入方程做差，得到；利用两条直线的斜率乘积关系，得到。
联立可以得到的关系式，进而求得离心率。
【详解】由题意，设则将A、P坐标代入双曲线方程，得两式相减得所以，即所以所以选C【点睛】本题考查了点与双曲线的关系，设而不求法是解决圆锥曲线问题常用方法，属于基础题。
6.6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：千瓦·时）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：（单位：℃）（单位：千瓦·时）由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当某天气温为℃时，当天用电量约为（）A. 千瓦·时B. 千瓦·时C. 千瓦·时D. 千瓦·时【答案】A【解析】【分析】根据回归直线方程经过样本中心点，求得，代入回归直线可求得；代入回归方程后，可预报当气温为℃时，当天的用电量。
2019年4月长郡中学2019届第一次适应性考试数学(理科)试题第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。
2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。
【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。
3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。
【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE⊥ED，所以等腰直角三角形CED的内切圆半径所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为直角梯形的面积为所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。
4.已知为锐角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。
【详解】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。
