2020学年 湖南省长沙市长郡中学 高一下学期入学考试数学试题(解析版)

湖南省长郡中学2020-2021学年高一入学分班考试数学试题答案和解析湖南省长郡中学高一入学分班考试数学试题一、单选题1.已知方程组$\begin{cases} x+y=-7-a \\ x-y=1+3a\end{cases}$的解x为非正数，y为非负数，则a的取值范围是（）。

A。

$-2<a\leq3$ B。

$-2\leq a<3$ C。

$-2<a<3$ D。

$a\leq-2$2.已知$a^2+b^2=6ab$，且$a>b>0$，则$\dfrac{a+b}{a-b}$的值为（）。

A。

2 B。

$\pm2$ C。

$2\sqrt{2}$ D。

$\pm2\sqrt{2}$3.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（）。

A。

$\dfrac{1}{3}$ B。

$\dfrac{2}{3}$ C。

$\dfrac{1}{9}$ D。

$\dfrac{1}{6}$4.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式$x-y$，因式分解的结果是$(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$，若取$x=9$，$y=9$时，则各个因式的值是：$x-y=0$，$xy=81$，$x^2+y^2=162$，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式$x-xy$，取$x=20$，$y=10$时，用上述方法产生的密码不可能是（）。

A。

B。

C。

D。

5.如果四个互不相同的正整数$m,n,p,q$，满足$(5-m)(5-n)(5-p)(5-q)=4$，那么$m+n+p+q=$（）。

A。

24 B。

21 C。

20 D。

226.若$x_1,x_2$（$x_1<x_2$）是方程$(x-a)(x-b)=1$（$a<b$）的两个根，则实数$x_1,x_2,a,b$的大小关系为（）。

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1． 经过两点(4,0)(0,3)A B 、-的直线方程是（ ）． A ．34120x y --= B ．34120x y +-= C ．43120x y -+= D ．43120x y ++=【答案】A【解析】直线AB 斜率为0(3)3,404AB k --==-所以直线AB 方程为30(4),4y x -=-即34120.x y --=故选A2．已知0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A ．a b < B ．11a b< C ．a b ->- D ．22a b <【答案】B【解析】由不等式的性质，即可得出结果. 【详解】0a b >>，a b ∴>，11a b<，a b -<-，22a b >. 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了理解辨析能力，属于一般题目. 3．已知直线31ax y +=与直线320x y -+=互相垂直，则a =（ ） A ．-3 B ．-1C ．3D ．1【答案】D【解析】分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为1-即可得到答案. 【详解】直线31ax y +=的斜率为3a-，直线320x y -+=的斜率为3，由题意， ()313a-⨯=-，解得1a =. 故选：D 【点睛】本题考查已知直线的位置关系求参数，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 4．在△ABC 中，若π4A =，π3B =，a =b =（ ） A．B．C．D．【答案】B【解析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B=sin sin 43b π=，解得b =故选：B. 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 5．函数1(3)3y x x x =+>-的最小值为（ ） A ．5 B ．3C ．2D ．5-【答案】A【解析】将函数变形为1333y x x =+-+-，利用基本不等式求解. 【详解】11333533y x x x x =+=+-+≥=--， 当且仅当133x x =--，即4x =时，取等号. 所以函数1(3)3y x x x =+>-的最小值为5 故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且280a a +=，1133S =，则公差d 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由280a a +=及等差数列下标和的性质可得50a =，再由1133S =可得63a =，进而可得公差的值． 【详解】∵等差数列{}n a 中，28520a a a +==， ∴50a =． 又()111611611211113322a a a S a+⨯⨯====，∴63a =，∴公差653d a a =-=． 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列项的下标和的性质和前n 项和公式的运用，其中项的下标和的性质常与前n 项和公式结合在一起考查，起到简化运算的作用，考查变形能力和计算能力，属于基础题．7．已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】B【解析】根据圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】因为圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为2， 所以122S rl πππ==⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和侧面积的求法，属于基础题.8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与至少有一个红球 C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是红球 【答案】C【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解. 【详解】A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.9．我国2015年以来，第x 年（2015年为第一年）的国内生产总值y （万亿元），数据如下：由散点图分析可知y 与x 线性相关，若由表中数据得到y 关于x 的线性回归方程是7.7y x a =+，则实数a 的值为（ ）A ．61.3B ．60.5C ．59.9D ．59.6【答案】B【解析】先求解,x y ，结合线性回归直线一定经过点(),x y 可求实数a 的值. 【详解】 由表可知()11234535x =++++=，()1697583929983.65y =++++=， 因为7.7y x a =+经过点()3,83.6，所以83.67.73a =⨯+，解得60.5a =. 故选：B.【点睛】本题主要考查回归直线的性质，利用线性回归直线必过中心点(),x y 可求解此题，侧重考查数学运算的核心素养.10．已知两条不同直线l ，m ，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是( ) A ．若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m B ．若//αβ，//m α，l β⊥，则l m ⊥ C ．若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则//l m D ．若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥ 【答案】B【解析】对A ，//l m 或,l m 异面，所以该选项错误；对B ，l m ⊥，所以该选项正确；对C ，l m ⊥，所以该选项错误；对D ，l m ⊥或//l m 或,l m 相交或,l m 异面，所以该选项错误. 【详解】对A ，若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m 或,l m 异面，所以该选项错误； 对B ，若//αβ，l β⊥，所以l α⊥，因为//m α，则l m ⊥，所以该选项正确； 对C ，若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l m ⊥，所以该选项错误；对D ，若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥或//l m 或,l m 相交或,l m 异面，所以该选项错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.11．如图，在ABC 中，458B AC D =︒=，，是BC 边上一点，57DC DA ==，，则AB 的长为（ ）A． B．C ．8 D．【答案】D【解析】先由余弦定理求出1cos 7ADC ∠=，得出sin 7∠=ADB ，再由正弦定理得到sin sin =∠DA ABB ADB，即可求出结果. 【详解】因为57DC DA ==，，8AC =，所以2227581cos 2757+-∠==⋅⋅ADC ，因此1cos 7∠=-ADB，所以sin 7∠=ADB ， 又45B =︒，7=DA ，由正弦定理可得：sin sin =∠DA ABB ADB，所以7sin sin 2⋅∠===DA ADBAB B故选D 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四五世纪.其卷中《算筹分数之法》里有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织通五尺.问：日织几何？”意思是有一女子擅长织布，每天织布都比前一天多1倍，5天共织了5尺布.现请问该女子第3天织了多少布？（ ） A ．1尺 B ．43尺 C ．531尺 D ．2031尺 【答案】D【解析】分别设5天织布为：a ，2a ，4a ，8a ，16a 为等比数列，进而可求出结果. 【详解】设第一天织布为a 尺，以后几天分别为2a ，4a ，8a ，16a ，共31a =5 所以531=a 尺 第三天为：20431=a 尺故选：D 【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和，考查了计算能力，属于一般题目.13．如图，点M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，则异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是（ ）A ．105B ．25C ．5 D ．10 【答案】A【解析】连接1AD ，1D M ，根据异面直线所成角的定义，转化为求1D AM ∠（或其补角），然后在三角形1D AM 中用余弦定理即可解得. 【详解】连接1AD ，1D M ，如图：易得11//AD BC ，所以1D AM ∠（或其补角）是异面直线AM 与BC 1所成角， 设正方体的棱长为a ，1AD 2a ，15AM D M ==， 在三角形1D AM 中，2221111cos 2AD AM D M D AM AD AM +-∠=⋅⋅222552a a a +-=5=， 所以异面直线AM 与BC 1故选：A 【点睛】本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补角）是解题关键，属于基础题.14．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（ ） A ．19B ．29C ．39D ．49【答案】D【解析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果 【详解】解：三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即11B 、22B 、33B ⋯B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯共有91090⨯=个，其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即22B ，44B ，66B ，88B ，B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯其有41040⨯=个，∴三位数的回文数中，偶数的概率404909P ==； 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，注意列举法在使用时一定做到不重不漏，属于中档题． 15．由直线x+2y-7=0 上一点P 引圆222420x y x y +-++=的一条切线，切点为A,则PA 的最小值为 A．BC．D．【答案】B【解析】由222420x y x y +-++=得圆的标准方程为()()22123x y -++=，设圆心为C ，故()1,2C -，由切线性质可得223PA PC =-，PC的最小值为=故PA，故选B.点睛：本题主要考切线长公式的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键；求切线的长度主要是通过构建直角三角形，即切线长为斜边，半径和点到圆心的距离为直角边.二、填空题16．不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(2,2)-【解析】利用二次不等式与相应的二次函数的关系，易得结果. 【详解】∵不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立， ∴240k =-＜ ∴2-＜k ＜2 故答案为()2,2- 【点睛】（1）二次函数图象与x 轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 【答案】8【解析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故答案为：8 【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.18．如图所示，为测量一水塔AB 的高度，在C 处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D 处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．【答案】3【解析】设AB hm =，则3BC =，BD 3h =，则3320h h -=，∴103h m =，故答案为10319．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________. 22【解析】根据BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，则1132A BCD AB ADV BC CD BD-⋅≤⋅⋅⋅，然后由BC CD =且AB AD =时体积最大求解.【详解】 如图所示：因为BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒， 所以1132A BCD AB AD V BC CD BD-⋅≤⋅⋅⋅，当BC CD =且AB AD =时体积最大， 因为22BD =，所以2BC CD ==，2AB AD ==， 所以最大体积为：11222232322⋅⋅⋅=； 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.20．已知数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且（()()()222123222x x x -+-+-()2102170x ++-=，则数据1x ，2x ，…，10x 的平均数是________. 【答案】2-或6.【解析】由数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且()()()()2222123102222170x x x x -+-+-++-=，把所给的式子进行整理，两式相减，得到关于数据的平均数的一元二次方程，解方程即可．【详解】数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，()()()()22221231010x x x x x x x x∴-+-+-++-=，()()22221210121010210x x x x x x x x ∴++++-+++=，()222212101010x x x x ∴+++-=，①()()()()2222123102222170x x x x -+-+-++-=，()()22212101210440170x x x x x x ∴+++-++++=，()22212104040170x x x x ∴+++-+=，②将②-①得24120x x --=，解得2x =-，或6x =， 故答案为：2-或6. 【点睛】本题主要考查一组数据的平均数的求法，解题时要熟练掌握方差的计算公式的灵活运用，属于中档题.三、解答题21．已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足1cos 2a c Bb =+． （1）求角C 的大小；（2）若7a b +=，ABC 的面积等于c 边长．【答案】（1）3π（2【解析】（1）利用正弦定理可化边为角，利用三角恒等变换即可；（2）由面积公式可求得ab ，联立7a b +=求出,a b ，利用余弦定理即可求出c . 【详解】（1）由正弦定理可知，1sin sin cos sin 2A CB B =⋅+，1sin()sin cos sin 2B C C B B ∴+=⋅+，即1sin cos sin 2B C B =sin 0B ≠1cos 2C ∴=， 0C π<<，3C π∴=（2）1sin 24ABCSab C ab ===， 12ab ∴=7a b +=2222cos c a b ab C ∴=+- 2()3493613a b ab =+-=-=c ∴=【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 22．已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=. （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =m 的值. 【答案】（1）5m <；（2）4m =【解析】（1）先将圆的一般方程化为标准方程，可得22(2)(1)5x y m -+-=-，然后根据20r >，可得结果.（2）根据圆的弦长公式. 【详解】（1）22420x y x y m +--+=化简得22(2)(1)5x y m -+-=-， 则当5m <时，方程C 表示以(2,1). （2）圆心(2,1)C 到直线l 的距离为5d ==225m ∴-=+⎝⎭⎝⎭，解得4m =. 【点睛】本题考查表示圆的方程满足条件以及圆的弦长公式，属基础题.23．哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a ，b 的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数； （2）现用分层抽样的方法从分数在[130,140)，[140,150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.【答案】（1）0.020a =，0.026b =；中位数为411213；（2）815. 【解析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1，这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人列式求解a ，b 的值，再根据中位数左右两边的面积均为0.5计算即可.（2）在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示， 在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示，再利用枚举法求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图的面积和为1，则(0.0020.0080.0140.0150.010.005)101a b +++++++⨯=，得0.046a b +=，又由100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人 则10010()6b a ⨯-=，解得0.020a =，0.026b =中位数中位数为()0.5100.0020.0080.0140.021100.026-++++411213= （2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A ，由题意知，在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示，在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示， 从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，34(,)a a ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，12(,)b b ，共15种抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：11(,)a b ，12(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，共8种所以8()15P A =抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为815.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.24．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF //平面PCD ； （2）平面PAB ⏊平面PCD ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，推导出//FG PC ，//EG DC ，从而平面//EFG 平面PCD ，由此能得出结论；（2）推导出CD AD ⊥，从而CD ⊥平面P AD ，即得CD PA ⊥，结合PA PD ⊥得出PA ⊥平面PCD ，由此能证明结论成立.【详解】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，∵E ，F 分别是AD ，PB 的中点， ∴//FG PC ，//EG DC ，∴//FG 面PCD ，//EG 面PCD ， ∵FGEG G =，∴平面//EFG 平面PCD ，∵EF ⊂平面EFG ，∴//EF 平面PCD .（2）因为底面ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ．因为PA ⊂平面P AD ，所以CD PA ⊥.又因为PA PD ⊥， PD CD D ⋂=，所以PA ⊥平面PCD ． 因为PA ⊂平面P AB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． 【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()*11122n n n a a n N +=+∈. （1）设()1*2n n n b a n N -=∈，求证数列{}n b 为等差数列；（2）求n S ；（3）若对任意*n N ∈，不等式15422n n S λ-≥--恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）1242n n n S -+=-；（3）116λ≥. 【解析】（1）由11211n n n n b a b -+=+=+可得答案；（2）求得n b n =，12n n a n -=得到n a ，运用数列的错位相减法求和得到n S ； （3）结合（2）化简不等式，再由参数分离得到32n n λ-≥，再对32n n -讨论，利用单调性可得到λ的最小值. 【详解】（1）111112221122nnn n n n n n n b a a a b -++⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，即()*11n n b b n N+-=∈，所以数列{}n a 是首项为01121b a ==，公差为1的等差数列；（2）由（1）得n b n =，即12n n a n -=，12n n na -∴=， 01211232222n n n S -∴=++++，① 121112122222n n n n nS --∴=++++，② ①-②，得0121111111122212222222212n n n n n n n n n S --+=++++-=-=--， 所以1242n n n S -+=-； （3）不等式即为112544222n n n λ--+-≥--，化简得32n n λ-≥，对任意*n N ∈恒成立，令()*32n n n c n N -=∈，则111234222n n n n n n n n c c +++----=-=，所以3n ≤时，10n n c c +->，即1n n c c +>；4n =时，10n n c c +-=，即1n n c c +=；5n ≥时，10n n c c +-<，即1n n C C +<；所以1234567c c c c c c c <<<=>>>，所以{}n c 的最大项为45116c c ==， 所以116λ≥. 【点睛】本题考查了数列的通项公式和前n 项和公式的求法，注意错位相减的合理运用,以及常数分离法解决恒成立的问题.。

高一下学期入学考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知A ＝{1，3}，B ＝{3，4，5}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{3}B ．{4，5}C ．{1，2，4，5}D ．{3，4，5}2．已知函数f(x)={3−x +1(x ≤0)x a +2(x ＞0)，若f （f （﹣1））＝18，那么实数a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知f （x ）＝2x +2﹣x ，若f （a ）＝3，则f （2a ）＝（ ） A ．5B ．7C ．9D ．114．设α是第三象限角，且|cos α2|＝﹣cos α2，则α2所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．下列各式中，值为√32的是（ ） A ．sin15°cos15° B ．cos 2π12−sin 2π12 C ．1+tan15°1−tan15°D ．√1+cos30°26．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →=a →，BE →=b →，则BC →为（ ） A ．43a →+23b →B ．23a →+43b →C ．23a →−23b →D ．23b →−43a →7．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）为减函数，且f （﹣1）＝1，若f （x ﹣2）≥﹣1，则x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，3]B ．（﹣∞，1]C ．[3，+∞）D ．[1，+∞）8．已知点A （0，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4），则AB →在CD →方向上的投影为（ ） A ．3√22B ．√2C ．−3√22D ．−3√1529．函数y ＝e |lnx |﹣|x ﹣1|的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．正方形ABCD 边长为2，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于M ，交CD 于N ，P 为平面上一点，且2OP →=λOB →+(1−λ)OC →，则PM →⋅PN →的最小值是（ ）A ．−34B ．﹣1C ．−74D ．﹣211．2cos10°cos20°−tan20°=（ ） A ．1B ．√3−12C ．√3D ．√3212．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）+f （x ）＝0，且f （x ）={−log 2(1−x)，x ∈(−1，0]−12x 2−3x −72，x ∈(−∞，−1]，若关于x 的方程f （x ）＝t （t ∈R ）恰有5个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1+x 2+x 3+x 4+x 5的取值范围是（ ） A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，1）C ．（1，2）D ．（2，3）13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=12(弦×矢+矢2)，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田．下列说法不正确的是（ ）A ．“弦”AB ＝4√3米，“矢”CD ＝2米B ．按照经验公式计算所得弧田面积（4√3+2）平方米C ．按照弓形的面积计算实际面积为（16π3−2√3）平方米D ．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据√3≈1.73，π≈3.14） 14．已知函数f （x ）＝x 2﹣2（a +2）x +a 2，g （x ）＝﹣x 2+2（a ﹣2）x ﹣a 2+8．设H 1（x ）＝max {f （x ），g （x ）}，H 2（x ）＝min {f （x ），g （x ）}，（其中max {p ，q }表示p ，q 中的较大值，min {p ，q }表示p ，q 中的较小值）．记H 1（x ）的最小值为A ，H 2（x ）的最大值为B ，则A ﹣B ＝（ ） A ．a 2﹣2a ﹣16B ．a 2+2a ﹣16C ．﹣16D ．1615．定义一种新运算：a •b ={b ，(a ≥b)a ，(a ＜b)已知函数f （x ）＝（1+4x）•log 2x ，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 恰有两个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．（1，2]B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（0，1）二、填空题：把答案填写在题中的横线上.16．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）的图象如图所示，则f （2）＝ ．17．若f （x ）＝a x （a ＞0）的图象过点（2，4），则a ＝ ． 18．cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝ ．19．已知函数f （x ）的定义域是（0，+∞），且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(12)=1，如果对于0＜x ＜y ，都有f （x ）＞f （y ），则不等式f （﹣x ）+f （3﹣x ）≥﹣2的解集为 ．20．如图，Rt △ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，O 为BC 的中点，以O 为圆心，1为半径的半圆与BC 交于点D ，P 为半圆上任意一点，则BP →⋅AD →的最小值为 ．三、解答题：解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.21．已知向量a →=(1，2)，向量b →=(−3，2)． （1）求向量a →−2b →的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka →+b →与向量a →−2b →共线． 22．（1）计算：(log 23)2−log 23⋅lg6lg2+log 26． （2）若tanα=−13，求sinα+2cosα5cosα−sinα．23．已知函数f(x)=√3sinxcosx +cos 2x +a ． （1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间；（2）当x ∈[−π6，π3]时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值． 24．已知函数f （x ）=log 4(4x +1)+kx （k ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）设g （x ）=log 4(a ⋅2x −43a)，若函数f （x ）与g （x ）的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． 25．设函数f(x)=a 2x −1a x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．（1）若f （1）＞0，求使不等式f （kx ﹣x 2）+f （x ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立的实数k 的取值范围； （2）若函数f （x ）的图象过点P(1，32)，是否存在正数m （m ≠1），使函数g(x)=log m [a 2x +a −2x −mf(x)]在[1，log 23]上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．。

长郡中学2020—2021学年度高一第二学期期末考试数 学时量：120分钟 满分：100分一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．复数i1iz =-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A ．简单随机抽样B ．按性别分层随机抽样 C ．按学段分层随机抽样D ．其他抽样方法3．已知直线l ，两个不同的平面α，β，下列命题正确的是（ ）A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，l α⊥，则//l βC ．若//l α，//l β/，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4．下列说法正确的是（ ）A ．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，一定有500次“正面朝上”B ．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定C ．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式D ．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是55．若在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，30A =︒，a =4b =，则B =（ ） A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．以上都不对6．如图，若一个水平放置的图形用斜二测画法作出的直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A ．22B ．12+C ．2．17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为8的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A ．()8πB ．C ．8πD ．8．若数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为4，标准差为1，则135x +，235x +，…，35n x +的平均数和标准差分别为（ ）A ．4，1B ．17，8C ．17，9D ．17，39．从长度为3，5，7，9，11的5条线段中任取3条，这3条线段能构成钝角三角形的概率为（ ） A ．45B ．710C ．35D ．1210．已知正三角形ABC 的边长为3，2AP PB =，2BQ QC =，2CR RA =，则PQ PR ⋅=（ ）A ．32B ．34C11．已知三棱锥A BCD -中，底面BCD 是边长为侧面ABD ⊥底面BCD ，且2AB AD ==，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．24πB ．20πC ．16πD ．12π12．ABC △中，2AB =，BC =4AC =，点O 为ABC △的外心，若AO mAB nAC =+，则实数m nm n+-的值为（ ） A ．7B ．15C ．15-D ．17二、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．13．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球．这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，下列事件是互斥事件的是（ ）A ．“恰有2个白球”和“恰有2个黑球”B ．“恰有1个黑球”和“至少1个白球”C ．“至少1个黑球”和“至多1个白球”D ．“至少1个黑球”和“全是白球”14．设1z ，2z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若|120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12z z =，则2212z z = 15．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别为BC ，CD ，BE 的中点，沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B 、C 、D 三点重合于S ，得到四面体S AEF -（如图2）．下列结论正确的是（ ）A ．四面体S AEF -B ，顶点S 在面AEF 上的射影为AEF △的重心C ．SA 与面AEFD ．过点G 的平面截四面体S AEF -的外接球所得截面圆的面积的取值范围是13π,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 16．已知复数i z a b =+，a ，b ∈R （i 为虚数单位），且12i 1iz=+-，则z =______。

2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 复数5i−2的共轭复数是( )A. i +2B. i −2C. −2−iD. 2−i2. 当23<m <1时，复数m(3+i)−(2+i)在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +5b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ +8b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ⃗ −3b ⃗ ，则( )A. A 、B 、D 三点共线B. A 、B 、C 三点共线C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线4. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，则a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°5. 等边三角形ABC 的边长为1，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ =( )A. 3B. −3C. 32D. −326. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知asinA −bsinB =4csinC ，cosA =−14，则bc =( )A. 6B. 5C. 4D. 37. 如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果正方体的棱长是60cm ，那么石凳的体积是( )A. 144000cm 3B. 180000cm 3C. 36000cm 3D. 72000cm 38. 如图，圆锥PO 的底面直径和高均为a ，过PO 的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几A. 5πa332B. 5πa396C. πa332D. πa3969.一个菱形的边长为4cm，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为()A. 8√3 cm2B. 4√3 cm2C. 2√6 cm2D. √6 cm210.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. √22B. √32C. √52D. √7211.复数z1、z2满足z1=m+(4−m2)i，z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R)，并且z1=z2，则λ的取值范围是()A. [−1,1]B. [−916,1] C. [−916,7] D. [916,1]12.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、多选题（本大题共3小题，共9.0分）13.下列关于直线与平面间的位置关系的命题判断正确的是()A. 若空间中四条直线l1、l2、l3、l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3、l3⊥l4，则l1、l4的位置关系不确定B. 设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件C. 直线l1、l2互相平行的一个充分不必要的条件是l1、l2都垂直于同一个平面D. 已知m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊂α，l⊄β，则α与β相交，且交线平行于l14.下列关于空间角的判断正确的是()A. 如果空间中的两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等B. 两条平行直线与同一个平面所成的角相等C. 一条直线与两条异面直线中的一条所成角为90°，那么该直线与另一直线所成角D. 如果平面α//平面α1，如果平面β//平面β1，那么平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补15.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD−A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题()A. 有水的部分始终呈棱柱形B. 没有水的部分始终呈棱柱形C. 水面EFGH所在四边形的面积为定值D. 棱A1D1始终与水面所在平面平行E. 当容器倾斜如图(3)所示时，BE⋅BF是定值三、单空题（本大题共5小题，共15.0分）16.已知复数z与(z+2)2−8i均是纯虚数，则z=______ ．17.已知2i−3是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根，则实数p=______．18.已知a⃗=(4,2)，则与a⃗垂直的单位向量的坐标为______．19.已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，边BC上的中线长记为m a，则m a=______(用a、b、c表示结果)．20.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD−A1B1C1D1挖去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H 分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用的材料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C+√3asin C−b−c=0．(1)求A；(2)若a=2，△ABC的面积为√3，求b，c．22.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD⏜所在平面垂直，M是CD⏜上异于C、D的点．(1)证明：DM⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC//平面PBD？说明理由．23. 已知△P 1P 2P 3，向量OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足条件OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求证：△P 1P 2P 3是等边三角形．24. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且∠BAP =∠CDP =90°．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA =PD =AB =DC ，∠APD =90°，且四棱锥P −ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．25. 如图，在四棱锥P—ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA ⊥CD ，CD =2，AD =3，(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH//平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD ；答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵复数5i−2=5(−i−2)22−i 2=−2−i ，∴共轭复数是−2+i 故选：B ．首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．2.【答案】D【解析】 【分析】本题是对复数的代数形式最基本的考查． 化简成代数形式，再根据m 的范围确定． 【解答】解：m(3+i)−(2+i)=(3m −2)+(m −1)i ， 又∵23< m <1，∴3m −2>0，m −1<0， ∴所对应的点在第四象限， 故选D ．3.【答案】A【解析】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +5b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ +8b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ⃗ −3b ⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +5b ⃗ ， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，根据平面向量的线性运算与共线定理，证明AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，即可得出结论． 本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，是基础题目．4.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查两个向量数量积的运算，两个向量数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．利用两个向量数量积的定义求出e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ ，再求出|a ⃗ |，|b ⃗ |，a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，根据cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |，求得则a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角θ的值． 【解答】解：∵已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，∴e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =1×1×cos60°=12， 设a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，θ∈(0°,180°)，∵|a ⃗ |=√(2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )2=√4e 1⃗⃗⃗ 2+4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=√7，|b ⃗ |=√(−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )2=√9e 1⃗⃗⃗ 2−12e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ 2=√7， a ⃗ ⋅b ⃗ =(2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )⋅(−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )=−6e 1⃗⃗⃗ 2+e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 2=−6+12+2=−72， ∴cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=−72√7⋅√7=−12，∴θ=120°，故选：C ．5.【答案】D【解析】解：由题意可得，<a ⃗ ,b ⃗ >=<a ⃗ ,c ⃗ >=<b ⃗ ,c ⃗ >=2π3 ∴a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ =1×1×(−12)×3=−32故选D先确定出各向量的夹角，然后根据向量的数量积的定义即可求解本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用，解题的关键是准确确定出向量的夹角【解析】【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理，考查了计算能力，属于中档题．利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设该三角形外接圆的半径为R，根据正弦定理有：又asinA−bsinB=4csinC，∴a·a2R −b·b2R=4c·c2R,即a2=4c2+b2，又，∴{a2−b2=4c2cosA=b2+c2−a22bc=−14，解得bc=6，故选A．7.【答案】B【解析】解：由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，体积是8×13×12×30×30×30=36000cm3；正方体的体积为60×60×60=216000cm3；则石凳的体积是216000−36000=180000cm3．故选：B．由已知求得正方体的体积，减去八个正三棱锥的体积得答案．本题考查正方体与三棱锥体积的求法，是基础的计算题．8.【答案】B【解析】解：圆锥SO的底面半径为a2，高为a，则圆柱PO的底面半径是a4，高为a2，∴V SO=13π(a2)2⋅a=a312π，V圆柱=π(a4)2⋅a2=a232π，∴剩下几何体的体积是a3π12−a3π32=5πa396．故选：B．通过圆锥的底面半径和高，分别求出圆柱和圆锥的体积，然后求解即可．本题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：解法一、菱形ABCD的边长为4cm，内角为60°，画出它的平面直观图，如图四边形A′B′C′D′所示：在菱形ABCD中，BD=4，AC=4√3，在四边形A′B′C′D′中，B′D′=12B′D′=2，AC=A′C′，所以四边形A′B′C′D′的面积为12A′C′⋅B′D′⋅sin45°=12×2×4√3×√22=2√6(cm2).解法二、菱形ABCD的边长为4cm，内角为60°，所以对角线AC=4√3，BD=4，菱形ABCD的面积为S=12×4√3×4=8√3，该菱形的平面直观图面积为S′=2√2=√32√2=2√6(cm2)故选：C．解法一、画出菱形的平面直观图，计算平面直观图的面积即可．解法二、根据原图形与平面直观图的面积比为2√2：1，计算直观图的面积即可．本题考查了平面图形的直观图与原图形面积的计算问题，熟记面积比是快速解题的关键．10.【答案】C【解析】 【分析】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，属于基础题． 作出异面直线所成的角，然后求出其正切值即可． 【解答】解：如下图，取DD 1的中点F ，连接EF ，AF ，因为E ，F 为CC 1，DD 1的中点，ABCD −A 1B 1C 1D 1为正方体， 所以EF//CD ，所以∠AEF 为异面直线AE 与CD 所成角或其补角， 由正方体可得EF ⊥平面ADD 1A 1， 所以EF ⊥AF ， 设正方体的棱长为1，则EF =1，AF =√1+14=√52，所以tan∠AEF =√52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为√52．故选C ．11.【答案】C【解析】解：∵z 1=z 2，∴{m =2cosθ4−m 2=λ+3sinθ，化为4sin 2θ=λ+3sinθ， ∴λ=4(sinθ−38)2−916，∵−1≤sinθ≤1，∴当sinθ=38时，λ取得最小值−916；当sinθ=−1时，λ取得最大值7． ∴−916≤λ≤7．∴λ的取值范围是[−916,7]． 故选：C ．利用z 1=z 2，可得{m =2cosθ4−m 2=λ+3sinθ，化为λ=4(sinθ−38)2−916，利用−1≤sinθ≤1和二次函数的单调性即可得出．本题考查了复数相等、正弦函数的单调性、二次函数的单调性，属于基础题．12.【答案】D【解析】 【分析】本题考查球的体积的求法，涉及到余弦定理．设∠PAC =θ，PA =PB =PC =2x ，EC =y ，根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直，即可求出球O 的体积． 【解答】 解：设∠PAC =θ，PA =PB =PC =2x ，EC =y ，因为E ，F 分别是PA ，AB 的中点，所以EF =12PB =x ，AE =x ， 在△PAC 中，cosθ=4x 2+4−4x 22×2x×2=12x ，在△EAC 中，cosθ=x 2+4−y 22×2x，整理得x 2−y 2=−2，①因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以CF =√3， 又∠CEF =90°，则x 2+y 2=3，②，由①②得x=√2，2所以PA=PB=PC=√2，所以PA2+PB2=4=AB2，即PA⊥PB，同理可得PA⊥PC，PB⊥PC，则PA、PB、PC两两垂直，则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为√2+2+2=√6，所以球O的体积为．故选D．13.【答案】ABD【解析】解：对于A：空间中四条直线l1、l2、l3、l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3、l3⊥l4，则l1、l4的位置关系不确定，故A正确；对于B：设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，由“l⊥α”则“l⊥m且l⊥n”，但是当“l⊥m且l⊥n”则“l⊥α”(没有说直线m和n相交)不一定成立，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件，故B正确；对于C：直线l1、l2互相平行的一个充分必要的条件是l1、l2都垂直于同一个平面，故C 错误；对于D：已知m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊂α，l⊄β，则α与β相交，且交线平行于l，故D正确；故选：ABD．直接利用线面平行和垂直的判定和性质，法向量，和面面垂直的应用判定A、B、C、D 的结论．本题考查的知识要点：线面平行和垂直的判定和性质，法向量，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题．14.【答案】BD【解析】解：如果空间中的两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，所以A不正确；两条平行直线与同一个平面所成的角相等，满足直线与平面所成角的性质，所以B正确；一条直线与两条异面直线中的一条所成角为90°，那么该直线与另一直线所成角的范围是[0°,90°]，所以C不正确；如果平面α//平面α1，如果平面β//平面β1，那么平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补，满足二面角的定义，所以D正确；故选：BD．利用空间角的性质，判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，空间角的判断，考查空间心里，转化思想以及逻辑推理能力，是中档题．15.【答案】ABDE【解析】解：∵棱柱特征：有两个面是相互平行且是全等的多边形，其余没相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形∴通过棱柱特征，AB正确．∵水面EFGH所在四边形的面积，从图2，图3我们发现，有条边长不变，而另外一条长随倾斜度变化而变化，∴EFGH所在四边形的面积是变化的．C不对∵棱A1D1始终与BC平行，BC与水面始终平行，∴D正确．∵水的体积是不变的，高始终是BC也不变．底面也不会，即BE⋅BF是定值．∴D正确．所以正确的是：ABDE．故选：ABDE．由题意抓住棱柱形的特征进行判断，观察即可得到答案．本题考查了棱柱特征：有两个面是相互平行且是全等的多边形，其余梅相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，同时考查对空间的想象力和图象变形的灵活处理能力．属于中档题．16.【答案】−2i【解析】解：设z=ai，a∈R，∴(z+2)2−8i=(ai+2)2−8i=4+4ai−a2−8i=(4−a2)+(4a−8)i，∵它是纯虚数，∴a=−2故答案为：−2i．两个复数都是纯虚数，可设z ，化简(z +2)2−8i ，可求出z ． 本题考查复数的分类，及复数的运算，是基础题．17.【答案】12【解析】解：∵2i −3是关于x 的方程2x 2+px +26=0的一个根，∴由实系数一元二次方程虚根成对原理可得，−2i −3是关于x 的方程2x 2+px +26=0的另一个根，则(2i −3)+(−2i −3)=−p2，得p =12． 故答案为：12．由已知结合实系数一元二次方程虚根成对原理求得方程2x 2+px +26=0的另一个根，再由根与系数的关系求解p 值．本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，是基础题．18.【答案】(√55,−2√55)或(−√55,2√55)．【解析】解：设与a⃗ 垂直的单位向量n ⃗ =(x,y)． 则{4x +2y =0x 2+y 2=1，解得{x =√55y =−2√55或{x =−√55y =2√55． 故答案为(√55,−2√55)或(−√55,2√55)． 设出与a ⃗ 垂直的单位向量的坐标，由题意列方程组{4x +2y =0x 2+y 2=1，求解后即可得到答案．本题考查了数量积判断两个平面向量垂直的关系，考查了单位向量的概念，训练了方程组的解法，是基础题．19.【答案】√c 22+b 22−a 24【解析】解：如图，以B 点为原点，以BC 方向为x 轴正方向建立直角坐标系， 则有B(0,0)，C(a,0)，BC中点D 坐标为(a2,0)，设A 点坐标为(x,y)，可得x 2+y 2=c 2，(a −x)2+y 2=b 2，可得：m a 2=|AD|2=(a2−x)2+y 2=x 2+y 2−ax +a 24=c 2+a 24−ax ，由{x 2+y 2=c 2(a −x)2+y 2=b 2，可得ax =c 2+a 2−b 22， 所以m a2=c 2+a 24−c 2+a 2−b 22=c 22+b 22−a 24，可得m a =√c 22+b 22−a 24．故答案为：√c 22+b 22−a 24．以B 点为原点，以BC 方向为x 轴正方向建立直角坐标系，设A 点坐标为(x,y)，可得m a 2=|AD|2=c 2+a 24−ax ，由{x 2+y 2=c 2(a −x)2+y 2=b 2，可得ax =c 2+a 2−b 22，从而可求m a 2=c 22+b 22−a 24，即可得解m a 的值．本题主要考查了三角形中的几何计算，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．20.【答案】118.8【解析】 【分析】本题考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，属于拔高题．该模型体积为V ABCD−A 1B 1C 1D 1−V O−EFGH =132(cm 3)，再由3D 打印所用原料密度为0.9g/cm 3，不考虑打印损耗，能求出制作该模型所需原料的质量． 【解答】解：该模型为长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，AB =BC =6cm ，AA 1=4cm ， ∴该模型体积为：V ABCD−A 1B 1C 1D 1−V O−EFGH=6×6×4−13×(4×6−4×12×3×2)×3=144−12=132(cm 3)，∵3D 打印所用原料密度为0.9g/cm 3，不考虑打印损耗，∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9=118.8(g)．故答案为118.8．21.【答案】解：(1)△ABC中，acosC+√3asinC−b−c=0，利用正弦定理可得sinAcosC+√3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC，化简可得√3sinA−cosA=1，，又0<A<π，故A=π3．(2)若a=2，△ABC的面积为12bc⋅sinA=√34bc=√3，∴bc=4，①由余弦定理得a2=4=b2+c2−2bc⋅cosA=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12，∴b+c=4，②结合①②解得b=c=2．【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)根据条件，由正弦定理可得sinAcosC+√3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+ sinC，化简求解A即可；(2)若a=2，由△ABC的面积√3，求得bc=4①；再利用余弦定理可得b+c=4②，结合①②求得b和c的值．22.【答案】解：(1)证明：根据题意，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为半圆弧上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，BC⊂平面BMC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC；(2)当P为AM的中点时，MC//平面PBD．证明如下：连结AC 交BD 于O.因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点． 连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC//OP.MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ， 所以MC//平面PBD ．【解析】(1)通过平面CMD ⊥平面ABCD ，推出BC ⊥平面CMD ，得到BC ⊥DM.证明DM ⊥CM.即可证明DM ⊥平面BMC ．(2)连结AC 交BD 于O.说明O 为AC 中点．连结OP ，证明MC//OP.即可说明MC//平面PBD ．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题．23.【答案】证明：根据题意，设|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=t ， 若OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(−OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2，变形可得OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t22，则有(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3t2，则|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3t ， 同理可得：|P 1P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3t ，则有|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 1P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即△P 1P 2P 3是等边三角形．【解析】根据题意，设|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=t ，由OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 可得OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，变形可得OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t22，进而求出(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2的值，即可得|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3t ，同理可得|P 1P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3t ，即可得证明． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．24.【答案】证明：(1)∠BAP =∠CDP =90°，即AB ⊥PA ，CD ⊥PD ，又AB//CD ， ∴AB ⊥PD ，∵PA ∩PD =P ，PA ，PD ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ， ∵AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD ．解：(2)设PA =PD =AB =DC =a ，取AD 中点O ，连结PO ，由(1)知AB⊥平面PAD，又OP⊂平面PAD，∴AB⊥PO，∵PA=PD，∠APD=90°，∴PO⊥AD，AD=√a2+a2=√2a，PO=√22a，又AB，AD⊂平面ABCD，AB∩AD=A，∴PO⊥平面ABCD，∵四棱锥P−ABCD的体积为83，由AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，得AB⊥AD，又AB=DC，AB//CD所以四边形ABCD为矩形=13×AB×AD×PO=13×a×√2a×√22a=13a3=83，解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2√2，PO=√2，∴PB=PC=√4+4=2√2，由上述可知△PAD,△PAB,△PCD都是直角三角形，△PBC是等腰三角形该四棱锥的侧面积：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=12×PA×PD+12×PA×AB+12×PD×DC+12×BC×√PB2−(BC2)2=12×2×2+12×2×2+12×2×2+12×2√2×√8−2=6+2√3．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法．(1)推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．(2)设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，由AB⊥PO，PO⊥AD，得PO⊥底面ABCD，且AD=√2a，PO=√22a，由四棱锥P−ABCD的体积为83，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．25.【答案】证明：(1)如图：证明：连接BD，由题意得AC∩BD=H，BH=DH，又由BG=PG，得GH//PD，∵GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴GH//平面PAD；(2)证明：取棱PC中点N，连接DN，依题意得DN⊥PC，又∵平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，DN⊂平面PCD，∴DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，∴DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN=D，CD⊂平面PCD，DN⊂平面PCD，∴PA⊥平面PCD；(3)解：连接AN，由(2)中DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，∵△PCD是等边三角形，CD=2，且N为PC中点，∴DN=√3，又DN⊥平面PAC，，DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN=DNDA =√33．∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为√33．【解析】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于拔高题．(1)连接BD，由题意得AC∩BD=H，BH=DH，由BG=PG，得GH//PD，由此能证明GH//平面PAD；(2)取棱PC中点N，连接DN，推导出DN⊥PC，从而DN⊥平面PAC，进而DN⊥PA，再上PA⊥CD，能证明PA⊥平面PCD；(3)连接AN，由DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，由此能求出直线AD与平面PAC所成角的正弦值．第21页，共21页。

湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．15B．．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的坐标为和C，已知点A(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若6AE=，23CE=，求»AC14．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看数没有标出）.根据上述信息，解答下列各题：(1)该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）.(1)当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；(2)在（1）的条件下，已知二次函数2y x=-+AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，(1)求出此函数图象的顶点坐标（用含(2)当4a=时，此函数图象交x轴于点为x轴下方图象上一点，过点P作(3)点(21,3)---，(0,3) M a aN a--再根据两点之间，线段最短可得蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线B长，然后运用勾股定理可完成解答．【详解】如图所示：三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(23)315+´=，则蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线长．B点的最短路程为x，可设蚂蚁沿台阶面爬行到B，由勾股定理得：2222x=+=201525解得：25x=，即蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为25．故选：C7．C【分析】过点C作CH y^轴于点H，过点A作AG y^轴于点G，易证()@V V，AGO OHC AAS根据全等三角形的性质，求出点C坐标，利用待定系数法求解即可．【详解】过点C作CH y^轴于点G，如图所示：^轴于点H，过点A作AG y则有90CHO OGA Ð=Ð=°，90HCO HOC \Ð+Ð=°，ABCO Q 是正方形，OA OC \=，90COA Ð=°，90COH AOG \Ð+Ð=°，AOG HCO \Ð=Ð，()AGO OHC AAS \@V V ，HC OG \=，HO GA =，(1,2)A -Q ，1GA \=，2OG =，(2,1)C \，将A ，C 点坐标代入y kx b =+，得221k b k b +=-ìí+=î，解得3k =，在矩形AOCD中，AO则APH ATPÐ=Ð=Ð∴90Ð+Ð=APT HPJV V∽，四ATP PJH==,AT OJ AO TJAM AM=¢，由6,3AO AD==可得点代入二次函数2y x bx =-+236y x x=-++.由（1）可知45MAM¢Ð=答案第161页，共22页。

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则(A B = )A ．(1,0)-B ．(0,2)C ．(2,0)-D ．(2,2)-2．函数()f x =+的定义域为( )A ．(3-，0]B ．(3-，1]C ．(-∞，3)(3--⋃，0]D ．(-∞，3)(3--⋃，1]3．若函数(2),1()1,1a x x f x ax x -⎧=⎨+<⎩…，在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．1(0,]2D ．1[,2)24．下列函数既是偶函数，又在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．y x =B ．2y x =-C ．||y x =D ．1y x=5．函数21y x x =-+，[1x ∈-，1]的最大值与最小值之和为( ) A ．1.75B ．3.75C ．4D ．56．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0x ∈，1]时，()2x f x m =-，则(1)(f -= ) A ．1-B ．1C ．2-D ．27．下列不等式成立的是( ) A ．231.2 1.2> B ．321.2 1.2--< C ． 1.2 1.2log 2log 3>D ．0.20.2log 2log 3<8．设251()3a =，432b =，21log 3c =，则( )A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．函数25()log (2)f x x x =-的单调递增区间是( ) A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞10．已知幂函数()y f x =的图象过点1(2，则f （4）的值为( )A ．14B ．2C ．4D ．11611．已知函数()log (1)a f x x =+（其中1)a >，则()0f x <的解集为( ) A ．(1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．(1,0)-12．若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点( )A ．()1x y f x e =+B ．()1x y f x e -=--C ．()1x y f x e =-D ．()1x y f x e =-+13．若函数()(1)(3)()f x lg x lg x lg a x =-+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．13a <…或134a =B ．1334a <… C ．1a …或134a =D ．134a >14．若方程222(2)0x x lg a a ---=有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a >或12a <-B ．112a -<<C ．12a >-D ．1a <15．函数()g x 的图象如图所示，则方程3(())0g g x =的实数根个数为( )A ．3B ．6C ．9D ．12二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上． 16．设集合{1A =，2}，则满足{1AB =，2，3}，{2}AB =的集合B = ．17．已知函数(22)32f x x +=+，且f （a ）4=，则a = ．18．已知3()3f x x x =+，x R ∈，且2(2)()0f a f a -+<，则实数a 的取值范围是 ． 19．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质36%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤 次．（参考数据：20.3010)lg ≈ 20．若规定集合1{M a =，2a ，⋯，*}()n a n N ∈的子集1{i a ，2i a ，}(*)m i a m N ⋯∈为M 的第k 个子集，其中12111222n i i i k ---=++⋯+，则M 的第25个子集是 ．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．计算：（1）5log 2log 2545lg lg ++；（2）已知1122x x-+=，求22165x x x x --+-+-的值． 22．已知2lg a =，3lg b =，试用a ，b 表示12log 5．23．科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：122(04,0)x x y m x m -=+>剟．（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度； （2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．24．集合2{(,)|2}A x y y x mx ==++，{(,)|10B x y x y =-+=，02}x 剟．若A B ≠∅，求实数m 的取值范围．25．已知函数()f x ，对于任意的x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，f （3）的值；（2）当810x -剟时，求函数()f x 的最大值和最小值．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则(A B = )A ．(1,0)-B ．(0,2)C ．(2,0)-D ．(2,2)-【解答】解：{|12}A x x =-<<，{|20}B x x =-<<， 则(1,0)AB =-．故选：A ．2．函数()f x =+的定义域为( )A ．(3-，0]B ．(3-，1]C ．(-∞，3)(3--⋃，0]D ．(-∞，3)(3--⋃，1]【解答】解：根据题意：12030x x ⎧-⎨+>⎩…，解得：30x -<… ∴定义域为(3-，0]故选：A ．3．若函数(2),1()1,1a x x f x ax x -⎧=⎨+<⎩…，在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．1(0,]2D ．1[,2)2【解答】解：根据题意，函数(2),1()1,1a x x f x ax x -⎧=⎨+<⎩…，在R 上是增函数，则有20012a a a a->⎧⎪>⎨⎪+-⎩…，解可得：102a <…，即a 的取值范围为(0，1]2；故选：C ．4．下列函数既是偶函数，又在(0,)+∞上为增函数的是( )A ．y x =B ．2y x =-C ．||y x =D ．1y x=【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y x =为正比例函数，不是偶函数，不符合题意；对于B ，2y x =-，为二次函数，是偶函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于C ，,0||,0x x y x x x ⎧==⎨-<⎩…，是偶函数，又在(0,)+∞上为增函数，符合题意；对于D ，1y x=，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意； 故选：C ．5．函数21y x x =-+，[1x ∈-，1]的最大值与最小值之和为( ) A ．1.75B ．3.75C ．4D ．5【解答】解：函数21y x x =-+，对称轴为12x =， 13()24min y f ==，(1)3f -=，f （1）1=，故最大值为3，最小值为0.75 所以最大值和最小值的和为3.75， 故选：B ．6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0x ∈，1]时，()2x f x m =-，则(1)(f -= ) A ．1- B ．1C ．2-D ．2【解答】解：()f x 为奇函数且[0x ∈，1]时()2x f x m =-，(0)10f m ∴=-=， 1m ∴=，f （1）211=-=， (1)f f ∴-=-（1）1=-．故选：A ．7．下列不等式成立的是( ) A ．231.2 1.2>B ．321.2 1.2--<C ． 1.2 1.2log 2log 3>D ．0.20.2log 2log 3<【解答】解：函数x y a =，1a >时，函数是增函数，231.2 1.2∴>不正确；321.2 1.2--<正确； 函数 1.2log y x =，是增函数， 1.2 1.2log 2log 3∴>不正确； 函数0.2log y x =是减函数，0.20.2log 2log 3∴<不正确； 故选：B ．8．设251()3a =，432b =，21log 3c =，则( )A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：251()(0,1)3a =∈，4321b =>，21log 03c =<，则c a b <<． 故选：D ．9．函数25()log (2)f x x x =-的单调递增区间是( ) A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞【解答】解：由220x x ->得2x >或0x <，即函数的定义域为(-∞，0)(2⋃，)+∞， 设22t x x =-，则5log y t =是增函数， 则要求()f x 的单调递增区间， 即求22t x x =-的单调递增区间， 22t x x =-的单调递增区间为(2,)+∞， ()f x ∴的单调递增区间为(2,)+∞，故选：B ．10．已知幂函数()y f x =的图象过点1(2，则f （4）的值为( )A ．14B ．2C ．4D ．116【解答】解：设幂函数为()f x x α=，()y f x =的图象过点1(2，∴121()222αα--===∴12α=． 12()f x x ∴=，f ∴（4）1242===，故选：B ．11．已知函数()log (1)a f x x =+（其中1)a >，则()0f x <的解集为( ) A ．(1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．(1,0)-【解答】解：1a >时，函数()log (1)a f x x =+在定义域上单调递增， ∴不等式()0f x <可化为011x <+<，解得10x -<<，∴所求不等式的解集为(1,0)-．故选：D ．12．若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点( )A ．()1x y f x e =+B ．()1x y f x e -=--C ．()1x y f x e =-D ．()1x y f x e =-+【解答】解：0x 是()x y f x e =-的一个零点，00()0x f x e ∴-=，又()f x 为奇函数，00()()f x f x ∴-=-，00()0x f x e ∴---=，即00()0x f x e -+=， 故000()()10x x x f x e f x ee--+-+==； 故0x -一定是()1x y f x e =+的零点， 故选：A ．13．若函数()(1)(3)()f x lg x lg x lg a x =-+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．13a <…或134a =B ．1334a <… C ．1a …或134a =D ．134a >【解答】解：原题等价于{213530x x x a x a<<-++=<，当△0=时，135,42a x ==； 当△0>，即134a <时，令2()53g x x x a =-++，满足(1)0(3)0g g >⎧⎨⎩…，解得13a <…．综上，实数a 的取值范围为13a <…或134a =． 故选：A ．14．若方程222(2)0x x lg a a ---=有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a >或12a <-B ．112a -<<C ．12a >-D ．1a <【解答】解：方程222(2)0x x lg a a ---=有一个正根和一个负根， ∴两根之积2(2)0lg a a --<，故2(2)0lg a a ->，221a a ∴->，求得1a >或12a <-，故选：A ．15．函数()g x 的图象如图所示，则方程3(())0g g x =的实数根个数为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解答】解：令3t x =，()u g t =，则由3(())0g g x =，有()0g u =， 由图象知有三个根1u ，2u ，3u ， 分别令1()u g t =，2()u g t =，3()u g t =， 解出有9个t 符合方程，在令3t x =解出相应x 的根的个数为9个，故选：C ．二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上． 16．设集合{1A =，2}，则满足{1A B =，2，3}，{2}AB =的集合B = {2，3} ．【解答】解：{1A =，2}，{1AB =，2，3}，{2}A B =，2B ∴∈，3B ∈，1B ∉， {2B ∴=，3}．故答案为：{2，3}．17．已知函数(22)32f x x +=+，且f （a ）4=，则a = 3． 【解答】解：(22)32f x x +=+，令22x t +=，则22t x -=， 232()3222t t f t --∴=+=， f ∴（a ）3242a -==， 则103a =． 故答案为：10318．已知3()3f x x x =+，x R ∈，且2(2)()0f a f a -+<，则实数a 的取值范围是 (2,1)- ． 【解答】解：因为3()()3()f x x x f x -=--=-，所以是奇函数，且递增， 且2(2)()0f a f a -+<，即22(2)()()f a f a f a -<-=-， 22a a -<-，220a a +-<，所以(2,1)a ∈-， 故答案为：(2,1)-．19．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质36%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤 7 次．（参考数据：20.3010)lg ≈ 【解答】解：设至少需过滤的次数为n ，则由题意可得0.640.05n …，即0.640.05nlg lg …，0.0552121,301060.642(81)62260.30102lg lg lg n lg lg lg ----∴====--⨯- (706)再由n 为正整数可得n 的最小值为7， 故答案为：7．20．若规定集合1{M a =，2a ，⋯，*}()n a n N ∈的子集1{i a ，2i a ，}(*)m i a m N ⋯∈为M 的第k 个子集，其中12111222n i i i k ---=++⋯+，则M 的第25个子集是 1{a ，4a ，5}a ．【解答】解：由题意得，M 的第k 个子集，且12111222n i i i k ---=++⋯+， 又03411415125222222---=++=++， 所以M 的第25个子集是1{a ，4a ，5}a ， 故答案为：1{a ，4a ，5}a ．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．计算：（1）5log 2log 2545lg lg ++；（2）已知1122x x-+=，求22165x x x x --+-+-的值．【解答】解：（1）3144333-==；∴5log 2log 2545lg lg ++；143115log 310022244lg -=++=-++=；（2）1122x x-+=，111222()23x x x x --∴+=+-=；2212()27x x x x --∴+=+-=；∴22167615352x x x x --+--==-+--． 22．已知2lg a =，3lg b =，试用a ，b 表示12log 5． 【解答】解：125121log 5122232lg lg alg lg lg a b--===++．23．科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：122(04,0)x x y m x m -=+>剟．（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意，当2m =，则12225x x -+=，解得1x =或1x =-； 由0x …，1x ∴=， 故经过1时间，温度为5摄氏度．（2）由题意得1222x x m -+…对一切0x …恒成立， 则 由20x >，得22x m …， 令2x t -=则01t <…，2211()222()22f t t t t =-+=--+， 当12t =时，取得最大值为12． 12m ∴…，故的取值范围为1[2，)+∞． 24．集合2{(,)|2}A x y y x mx ==++，{(,)|10B x y x y =-+=，02}x 剟．若A B ≠∅，求实数m 的取值范围．【解答】解：联立得：221y x mx y x ⎧=++⎨=+⎩， 消去y 得：221x mx x ++=+，即2(1)10x m x +-+=，[0x ∈，2]， 由题设知2()(1)1f x x m x =+-+，[0x ∈，2]必有零点，分两种情况考虑：()i 若在[0，2]只有一个零点，则f （2）0<，即32m <-； 或2(1)401022m m ⎧--=⎪⎨-⎪⎩剟，解得：1m =-； ()ii 若在[0，2]有两个零点，则(2)010220f m ⎧⎪-⎪<-<⎨⎪>⎪⎩…，解得：312m -<-…， 由()()i ii 知：1m -…．25．已知函数()f x ，对于任意的x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-． （1）求(0)f ，f （3）的值；（2）当810x -剟时，求函数()f x 的最大值和最小值． 【解答】解：（1）对于任意的x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， 令0x y ==，则(0)0f =，1(1)2f =-．令1x y ==，则(11)f f +=（1）f +（1），f ∴（2）1=-； (21)f f ∴+=（2）f +（1）；即3(3)2f =-． （2）令y x =-，则()()()(0)0f x x f x f x f -=+-==，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴为奇函数， 任取1x ，2x R ∈，且12x x <，210x x ->，则21()0f x x -<，212121()()()()()0f x f x f x f x f x x -=+-=-<，21()()f x f x ∴<， 所以()f x 在R 上为减函数，故当810x -剟时，()(8)2(4)4(2)4max f x f f f f =-=-=-=-（2）4=， ()(10)10min f x f f ==（1）5=-．故当810x -剟时，函数()f x 的最大值是4，最小值是5-．。

2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期入学考试数学试题一、单选题1．已知}3{1A =，，5{}34B =，，，则集合A B =I （ ） A ．{}3 B ．{4}5，C ．15}2{4，，，D ．{345}，， 【答案】A【解析】由交集的定义直接求解即可. 【详解】Q }3{1A =，，5{}34B =，，，∴{}3A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的求法，属于基础题.2．已知函数31(0)()2(0)x a x f x x x -⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))18f f -=，那么实数a 的值是（ ）A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先求出(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，可得到4218a +=，解方程即可得解. 【详解】(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，即4218a +=，解之得：2a =.故选：C. 【点睛】本题考查已知函数值求参数的问题，考查分段函数的知识，考查计算能力，属于常考题. 3．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5 B ．7C ．9D ．11【答案】B【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.4．设α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】先由α是第三象限角，得出2α可能在第二、四象限，进一步由cos cos 22αα=-再判断出2α所在的象限. 【详解】αQ 是第三象限角， ∴3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈， 3224k k παπππ∴+<<+，k Z ∈， ∴2α在第二、四象限， 又coscos22αα=-，∴cos02α<，∴2α在第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查由三角函数式的符号判断角所在象限的问题，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.5的是（ ）A ．00sin15cos15 B ．22cos sin 1212ππ- C ．01tan151tan15+- D 【答案】B【解析】A.00011sin15cos15sin 3024==B ．223cos sin cos.121262πππ-==C ．001tan151tan15+-0tan 752 3.==+ D ．001cos306-2cos15=24+= 故答案为B.6．已知AD ，BE 分别为ABC ∆的边BC ，AC 上的中线，且AD a =u u u r r ，BE b =u u u r r，则BC uuu r为（ ）A ．4233a b +r rB ．2433a b +rrC ．2233a b -rrD ．2433b a -r r【答案】B【解析】易得22AB AC AD a +==u u u r u u u r u u u r r ，22BA BC BE b +==u u u r u u u r u u u r r ，再由AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r，可得222BC BA a BC BA b⎧-=⎨+=⎩u u u v u u u v v u u u v u u u v v ，解出BC uuu r即可. 【详解】 如图：因为AD ，BE 分别为ABC ∆的边BC ，AC 上的中线，所以有：22AB AC AD a +==u u u r u u u r u u u r r ，22BA BC BE b +==u u u r u u u r u u u r r ，AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r ，整理得：222BC BA a BC BA b⎧-=⎨+=⎩u u u v u u u v v u u uv u u u v v ，解得：2433BC a b =+u u u r r r . 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理和加减法的几何意义，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.7．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()f x 为减函数，且()11f -=，若(2)1f x -≥-，则x 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞B ．(,1]-∞C ．[3,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()f x 为减函数，，故函数()f x 在R 上单调递减，又()11f -=，因此()21f x -≥-(2)(1)213f x f x x ⇔-≥⇔-≤⇔≤.故选A.点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则1212,,()()x x D f x f x 且∈>时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则12()()f x f x ≤，这与12()()f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当1212,,()()x x D f x f x 且∈>时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.8．已知点(0,1)A ，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，则向量AB u u u v 在CD uuuv 方向上的投影为（ ） A ．322B ．2C ．322-D ．3152-【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD u u u v u u u v==则向量AB u u u v 在CD uuu v方向上的投影为cos ,252AB CD AB AB CD AB AB CD ⋅=⋅==u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 故选B 9．函数ln |1|xy ex =--的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的形式和图象，分1x ≥和01x <<两种情况去绝对值，判断选项. 【详解】 当1x ≥时，()ln 111xy ex x x =--=--=，当01x <<时，()ln ln 1111xx y e x e x x x-=--=--=+- 只有D 满足条件. 故选：D 【点睛】本题考查含绝对值图象的识别，属于基础题型. 一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.10．正方形ABCD 边长为2，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于M ，交CD于N ，P 为平面上一点，且2(1),OP OB OC u u u r u u u r u u u r λλ=+-则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．34-B ．1-C ．74-D ．2- 【答案】C【解析】由题意可得：()()()222222114444PM PN PM PNPM PN PO NO PO NO ⎡⎤⋅=+-+=-=-⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,设2OP OQ =u u u r u u u r，则()()1,11,,,OQ OB OC Q B C λλλλ=+-+-=∴u u u r u u u r u Q u u r 三点共线.当MN 与BD 重合时，NO u u u r 最大，且2max2NO =u u u r ，据此：()min17244PM PN⋅=-=-u u u u r u u u r本题选择C 选项.11．2cos10tan 20cos 20︒︒︒-=（ ） A ．1 BCD【答案】C【解析】将所求关系式中的“切”化“弦”，再利用两角差的余弦化cos10cos(3020)︒︒︒=-，整理运算即可.【详解】2cos10tan 20cos 20︒︒︒- 2cos10sin 20cos 20cos 20︒︒︒︒=- 2cos(3020)sin 20cos 20cos 20︒︒︒︒︒-=- 2(cos30cos 20sin 30sin 20)sin 20cos 20cos 20︒︒︒︒︒︒︒+-=sin 20cos 20︒︒=-sin 20sin 20cos 20cos 20︒︒︒︒-==故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，切”化“弦”是关键，考查分析与运算能力，属于中档题. 12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且(](]22log (1)10()173122x x f x x x x ⎧--∈-⎪=⎨---∈-∞-⎪⎩，，，，，若关于x 的方程()f x t =（t R ∈）恰有5个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则12345x x x x x ++++的取值范围是（ ） A ．(2,1)-- B ．(1,1)-C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B【解析】由分段函数的解析式作出(,0)-∞的图象，由题意得出()f x 为奇函数，根据函数关于原点对称作出(0,)+∞的图象，由数形结合得出答案. 【详解】由分段函数的解析式作出(,0)-∞的图象，由题意得出()f x 为奇函数，根据函数关于原点对称作出(0,)+∞的图象，所以其图象如图：由图可知，若关于x 的方程()f x t =（t R ∈）恰有5个不同的实数根，则(1,1)t ∈-, 设12345x x x x x <<<<，则126x x +=-，456x x +=， 由图可知，3(1,1)x ∈-，所以123453(1,1)x x x x x x ++++=∈-. 故选：B. 【点睛】本题考查奇偶函数图象的对称性，考查函数的零点，考查分析能力和数形结合思想，属于中档题.13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=()212⨯+弦矢矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田.下列说法不．正确的是（ ）A ．“弦” 3AB =“矢”2CD =米B ．按照经验公式计算所得弧田面积（432）平方米C ．按照弓形的面积计算实际面积为（16233π-D ．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据3 1.73≈， 3.14π≈) 【答案】C【解析】运用解直角三角形可得AD ，DO ，可得弦、矢的值，以及弧田面积，运用扇形的面积公式和三角形的面积公式，可得实际面积，计算可得结论． 【详解】解：如图，由题意可得∠AOB 23π=，OA ＝4， 在Rt △AOD 中，可得∠AOD 3π=，∠DAO 6π=，OD 12=AO 1422=⨯=，可得矢＝4﹣2＝2，由AD ＝AO sin3π=432⨯=23， 可得弦＝2AD ＝43，所以弧田面积12=（弦×矢+矢2）12=（43⨯2+22）＝432+平方米． 实际面积2121164432432323ππ=⋅⋅-⋅⋅=-， 168320.9070.93π--=≈． 可得A ，B ，D 正确；C 错误． 故选C ．【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式的运用，考查三角函数的定义以及运算能力、推理能力，属于基础题．14．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（ ） A ．16 B ．16-C ．2216a a --D ．2216a a +-【答案】B【解析】试题分析：设()()()()228h x f x g x x a =-=--，由()0h x =得2x a =±，此时()()f x g x =；由()0h x >得22x a x a >+<-或，此时()()f x g x >；由()0h x <得22a x a -<<+，此时()()f x g x <；综上可知2x a ≤-时()()()()12,H x f x H x g x ==，当22a x a -≤≤+时()()()()12,H x g x H x f x ==，当2x a ≥+时()()()()12,H x f x H x g x ==，所以()()244,2412A g a a B g a a =+=--=-=-+16A B ∴-=-【考点】1．二次函数值域；2．分情况讨论15．定义一种新运算：,(){,()b a b a b a a b ≥⊗=<，已知函数24()(1)log f x x x=+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．(]1,2 B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】B【解析】试题分析：这类问题，首先要正确理解新运算，能通过新运算的定义把新运算转化为我们已经学过的知识，然后解决问题.本题中a b ⊗实质上就是取,a b 中的最小值，因此()f x 就是41x +与2log x 中的最小值，函数41y x=+在(0,)+∞上是减函数，函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数，且241log 44+=，因此当(0,4)x ∈时，24log 1x x <+，(4,)x ∈+∞时，241log x x+<，因此2log ,04,(){41,4x x f x x x<≤=+>，由函数的单调性知4x =时()f x 取得最大值(4)2f =，又(0,4)x ∈时，()f x 是增函数，且200lim ()limlog x x f x x →→==-∞，，又(4,)x ∈+∞时，()f x 是减函数，且04lim ()lim (1)1x x f x x→→+∞=+=.函数()()g x f x k =-恰有两个零点，说明函数()y f x =的图象与直线y k =有两个交点，从函数()f x 的性质知12k <<.选B. 【考点】函数的图象与性质.二、填空题16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f =_____．【答案】2【解析】根据周期求出ω，再根据五点法作图求得ϕ，可得函数的解析式，从而求得(2)f 的值．【详解】根据函数()sin()f x x ωϕ=+的图象可得：3323144T πω=⋅=-，34πω=， 再根据五点法作图可得3142ππϕ⨯+=， ∴4πϕ=-，∴3sin 44()x f x ππ=-⎛⎫⎪⎝⎭，∴352(2)sin sin sin 24442f ππππ⎛⎫⎪⎝==⎭=--=. 故答案为：22-. 【点睛】本题考查由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式并求值的问题，考查识图能力和计算能力，属于常考题.17．若()(0)xf x a a =>的图象过点()2,4，则a =______.【答案】2【解析】把已知点代入函数，即可解得a 值. 【详解】解：函数f （x ）的图象过点（2，4），可得4＝a 2，又a ＞0，解得a ＝2． 故答案为2 【点睛】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．18．cos18cos 42cos72sin 42⋅-⋅=o o o o _____. 【答案】12【解析】利用诱导公式变形，再由两角和的余弦求解． 【详解】 解：11842724218421842602cos cos cos sin cos cos sin sin cos ︒⋅︒-︒⋅︒=︒⋅︒-︒⋅︒=︒=， 故答案为12． 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查两角和的余弦，是基础题．19．已知函数()f x 的定义域是(0)+∞，，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，则不等式()(3)2f x f x -+-≥-的解集为_____． 【答案】[)1,0-【解析】由已知令1x y ==，求得(1)0f =，再求(2)1f =-，即有(4)2f =-，原不等式()(3)2f x f x -+-≥-即为(3)[])(4f x x f --≥，再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可． 【详解】由于()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则(1)2(1)f f =，即(1)0f =， 则11(1)(2)(2)()022f f f f =⨯=+=， 由1()12f =，则(2)1f =-， 即有(4)2(2)2f f ==-，不等式()(3)2f x f x -+-≥-即为(3)[])(4f x x f --≥， 由于对于0x y <<，都有()()f x f y >，则()f x 在(0)+∞，上递减，则原不等式即为030(3)4x x x x ->⎧⎪->⎨⎪--≤⎩，即有0314x x x <⎧⎪<⎨⎪-≤≤⎩，即有10x -≤<，即解集为[)1,0-. 故答案为：[)1,0-. 【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查由函数的单调性解不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.20．如图，Rt ABC ∆中，AB AC =，4BC =，O 为BC 的中点，以O 为圆心，1为半径的半圆与BC 交于点D ，P 为半圆上任意一点，则BP AD ⋅u u u r u u u r的最小值为_____．【答案】25-【解析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积的定义结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】如图，以O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，所以(2,0)B -，(1,0)D ，(0,2)A ， 设(,)P x y (0y ≥)，且221x y +=，所以(2,)(1,2)22x y BP AD x y =+⋅-=⋅+-u u u r u u u r，令cos x α=，sin y α=，[]0,απ∈，则2sin 25cos (o )s 2BP AD αααϕ⋅+=+=-+u u u r u u u r ，其中：tan 2,(0,)2πϕϕ=∈，所以当απϕ=-时，BP AD ⋅u u u r u u u r有最小值，最小值为：2-.故答案为：2【点睛】本题考查利用坐标法解决数量积的问题，考查平面向量数量积的运算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.三、解答题21．已知向量()1,2a =r，向量()3,2b =-r . （1）求向量2a b -r r 的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +rr与向量2a b -rr共线. 【答案】（1）()7,2-（2）12k =-【解析】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出ka b +rr的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k; 试题解析：（1）()()()21,223,27,2a b -=--=-r r（2）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+rr ， ()()()21,223,27,2a b -=--=-r r∵ka b +rr与2a b -rr共线， ∴()()72223k k +=-- ∴12k =-22．（1）计算：2222lg 6(log 3)log 3log 6lg 2-⋅+. （2）若1tan 3α=-，求sin 2cos 5cos sin αααα+-. 【答案】(1)1 (2) 516【解析】（1）直接利用对数的运算性质化简求值； （2）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】(1)()2222lg6log 3log 3log 6lg2-⋅+ ()22222log 3log 3log 6log 6=-⋅+()2222log 3log 3log 6log 6=-+，22log 3log 61=-+=，(2) 〖解法1〗由题知cos 0α≠∴sin 2cos sin 2cos cos 5cos sin 5cos sin cos αααααααααα++=--. tan 25tan αα+=-， 516=， 〖解法2〗1tan 3sin cos 3ααα=-⇒-=∴()()sin 23sin sin 2cos 5cos sin 53sin sin αααααααα+-+=---. 516=， 【点睛】本题考查对数的运算性质，考查三角函数的化简求值，是基础题． 23．已知函数2()cos cos f x x x x a =++． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）当63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数()f x 的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值．【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）0a =.【解析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式进行化简为正弦型函数，进而求得最小正周期和单调递增区间；（2）当63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，52666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，再求出()f x 的最大值与最小值，然后列出方程求得a 的值． 【详解】（1）函数2()cos cos f x x x x a =++12(1cos 2)22x x a =+++ 1sin(2)62x a π=+++，∴函数()f x 的最小正周期为：22T ππ==， 令222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得：36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）当63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时， 52666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，， 令ππ266x +=-，解得：6x π=-，此时函数()f x 取得最小值为：min 11()22f x a a =-++=， 令262x ππ+=，解得：6x π=，此时函数()f x 取得最大值为：max 13(221)f a a x =++=+， 又()f x 的最大值与最小值的和为32，所以有： 33()22a a ++=，解之得：0a =.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，属于中档题.24．已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）k ＝－12.（2）{－3}∪(1，＋∞)． 【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)， ∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx.log 44141x x －＋＋＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－有且只有一个实根，化简得方程2x ＋12x＝a·2x－43a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根． ①a ＝1t ＝－34，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a ＝34或－3.若a ＝34t ＝－2，不合题意，若a ＝－3t ＝12；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即11a --<0a>1. 综上，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．25．设函数21()?(01)x xa f x a a a-=>≠且是定义域为R 的奇函数． （1）若(1)0f >，求使不等式2()(1)0f kx x f x -+-<对一切x ∈R 恒成立的实数k的取值范围；（2）若函数()f x 的图象过点3(1,)2P ，是否存在正数(1)m m ≠，使函数22()log [()]x x m g x a a mf x -=+-在2[1,log 3]上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()3,1- （2）见解析 【解析】（1）由f （1）＞0得a 1a-又a ＞0，求出a ＞1，判断函数的单调性f （x ）＝a x ﹣a ﹣x 为R 上的增函数，不等式整理为x 2﹣（k +1）x +1＞0对一切x ∈R 恒成立，利用判别式法求解即可；（2）把点代入求出a ＝2，假设存在正数m ，构造函数设s ＝2x ﹣2﹣x 则（2x ﹣2﹣x ）2﹣m（2x ﹣2﹣x ）+2＝s 2﹣ms +2，对底数m 进行分类讨论，判断m 的值．【详解】（1） ()xxf x a a -=-，由()10f > 得 10a a->，又 0a > ∴ 1a >. ∵ ()()210f kx xf x -+-<，函数()f x 是奇函数，∴()()21f kx x f x -<-∵ ()1,xxa f x a a ->=-在R 上为增函数，即 21kx x x -<-对一切x 恒成立，即()2110x k x -++> 在R 恒成立，有0∆<，∴()2140k +-<得 31k -<<，所以k 的取值范围是()3,1-（2）假设存在正数()1m m ≠符合，∵ ()f x 过31,)2（ ∴ 2a = ()()()2log 22222x xx x m g x m --⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦，设22x x s -=-, ()22h s s ms =-+(i) 若01m <<，则函数()22h s s ms =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为1∵ 对称轴 122m s =<，()min 31731312426h s h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭（舍）(ii) 若1m >，则()220h s s ms =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大为1，最小值大于①()12522127382413maxm m h s h n ⎧<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭⎩此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，()min 73048h s h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭故不合题意 ②()25252126313136maxm m m h s h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎛⎫⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩n n 无解 综上所述，不存在正数()1m m ≠满足条件． 【点睛】本题考查了奇函数的性质，利用奇函数的性质整理不等式，利用构造函数，用分类讨论的方法解决实际问题．。

湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年下学期期末考试高一数学试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.11-的等比中项是（ ） A. 1 B. －1 C. ±1 D.12【答案】C 【解析】试题分析：设两数的等比中项为)21111x x x ∴=+=∴=±，等比中项为-1或1考点：等比中项2.如果0b a <<，那么下列不等式错误的是（ ） A. 22a b > B. 0a b -> C. 0a b +< D. b a >【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质或比较法对各选项中不等式的正误进行判断.【详解】0b a <<，0a b ∴->，0a b +<，则()()220a b a b a b -=-+<，22a b ∴<，可得出b a >，因此，A 选项错误，故选：A.【点睛】本题考查判断不等式的正误，常利用不等式的性质或比较法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ） A.79B.49C.23D.59【答案】D 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5， 因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选：D. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.4.若经过两点4,21A y 、2,3B 的直线的倾斜角为34π，则y 等于（ ） A. 1- B. 2C. 0D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】由直线AB 的倾斜角得知直线AB 的斜率为1-，再利用斜率公式可求出y 的值. 【详解】由于直线AB 的倾斜角为34π，则该直线的斜率为3tan 14π=-， 由斜率公式得()2132142y y ++=+=--，解得3y =-，故选：D.【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度不变，与y 轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A 选项符合题意．故应选A ．考点：斜二测画法。

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合U ＝{1，3，4，5，7，9}，A ＝{1，4，5}，则∁U A ＝（ ） A ．{3，9} B ．{7，9}C ．{5，7，9}D ．{3，7，9}【答案】D【解析】利用补集的运算,直接求出A 在U 中的补集即可. 解:因为集合U ＝{1,3,4,5,7,9},A ＝{1,4,5}, 所以{3,7,9}U A =ð. 故选:D .本题考查了补集的运算,属基础题.2．函数lg(3)y x =-的定义域为（ ）A ．(1,3)B ．[1,3)C ．(3,)+∞D ．[1,)+∞【答案】B【解析】结合对数与根号的性质,列出不等式求解即可.由题意可得,1030x x -≥⎧⎨->⎩,解得13x ≤<.故选:B.求函数定义域要注意: ①分母不为零;②偶次根式的被开方数非负; ③对数的真数部分大于零;④指数与对数的底数大于零且不等于1; ⑤函数tan y x =中ππ,2x k k ≠+∈Z ⑥0x 中0x ≠.3．若函数()24f x x mx m =+-在区间[]1,4-上单调，则实数m 的取值范围为A ．(,8][2,)-∞-+∞UB ．[2,)+∞C ．(,8]-∞-D ．(,2][8,)-∞-+∞U【答案】A【解析】根据二次函数的性质，只需对称轴2mx =-∉(1,4)-即可. 因为函数()24f x x mx m =+-的对称轴2m x =-，所以2mx =-∉(1,4)-时，函数()2 4f x x mx m =+-在区间[]1,4-上单调， 当12m-≤-，则2m ≥， 当4,82mm -≥≤-，所以(,8][2,)m ∈-∞-+∞U .本题主要考查了二次函数的单调性，属于中档题.4．函数332xx xy =+的值域为（ ）A ．（0，＋∞）B ．（－∞，1）C ．（1，＋∞）D ．（0，1）【答案】D【解析】可上下同时除以3x ，再结合反比例函数特点求解值域即可 3132213x xx xy ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()20,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，故令()211,3xt ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭，1y t=在()1,+∞为减函数，当1t =时，1y =，故()0,1y ∈ 故选：D本题考查具体函数值域的求法，属于基础题5．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意实数,(0,)x y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，若(3)1f =且()(1)2f m f m <-+，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(0,1) B ．(0,2)C ．9,110⎛⎫⎪⎝⎭D ．90,10⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先赋值可知()92f =，不等式转化为()()91f m f m <-⎡⎤⎣⎦，再根据单调性解不等式.()()()()933332f f f f =⨯=+= ，()()()()()1219f m f m f m f m f <-+⇒<-+()()91f m f m ∴<-⎡⎤⎣⎦ ，Q 函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，()01091m m m m ⎧>⎪∴->⎨⎪<-⎩， 解得：9010m <<. 故选：D本题考查解抽象不等式，意在考查转化与化归和计算能力，抽象函数求值时一般需赋值，解不等式时注意函数的定义域. 6．设1331411()11lo 34g ,,4a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】B【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．∵a ＝log 1314=log 34＞1， 11040311,1311()(143)4b c ⎛⎫⎛⎫==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<= ∴a 最大， 又∵b ＝（14）14=（164）112，c ＝（13）13=（181）112，且幂函数y ＝x 112在（0，+∞）上单调递增， ∴c ＜b ， ∴c ＜b ＜a 故选：B ．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．1A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<< C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<< 【答案】B【解析】先求出幂函数的解析式，再确定其单调性．设()f x x α=，则11()()222f α==，1α=-，即11()f x xx-==， 函数()f x 在(0,)+∞上是减函数， ∵01a b <<<，∴110a b b a<<<<， ∴11()()()()f a f b f f b a>>>． 故选：B ．本题考查幂函数的解析式，考查幂函数的单调性．属于基础题．8．对于一个声强为I 为（单位：2/W m ）的声波，其声强级L （单位：dB ）可由如下公式计算：010lgIL I =（其中0I 是能引起听觉的最弱声强），设声强为1I 时的声强级为70dB ，声强为2I 时的声强级为60dB ，则1I 是2I 的（ ）倍 A ．10 B ．100C ．1010D ．10000【答案】A【解析】根据声强级与声强之间的关系式，将两个声强级作差，结合对数的运算律可得出12I I 的值，可得出答案． 由题意可得102010lg 7010lg 60I I I I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1020lg 7lg 6I I I I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式相减得12lg 1I I =，所以，1210I I =， 因此，1I 是2I 的10倍，故选A.本题考查对数的运算律，考查对数在实际问题的应用，熟练应用对数的运算性质是解本题的关键，其次就是要弄清题目的意思，考查理解能力与运算能力，属于中等题． 9．已知函数()3sin 2f x x π⎛⎫=-，下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2π；B ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称；C ．函数()f x 的图象关于点（,06π-）对称； D ．函数() f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数. 【答案】D【解析】利用正弦函数的性质对A ，B ，C ，D 个个选项逐一分析即可求得答案． 解：对于A ，()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其周期为π，故排除A ； 对于B ，当232x k πππ-=+时，5122k x ππ=+，故可排除B ；对于C ，当23x k ππ-=时，62k x ππ=+，故可排除C ；对于D ，当222232k x k πππππ-+≤-≤+时，5312k x k ππππ-+≤≤+，包含5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 成立. 故选D ．本题考查正弦型函数的周期性、奇偶性以及单调性，属于中档题．10．为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点（ ） A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度 【答案】B【解析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 将3sin y x =的图象上的所有点的横坐标缩短12倍（纵坐标不变），可得y ＝3sin2x 的图象；再向上平行移动1个单位长度，可得函数3sin 21y x =+的图象， 故选B ．本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，熟记变换规律是关键，属于基础题．A ．1或5B ．1或2C ．2或4D ．1或4【答案】D【解析】利用扇形弧长和面积计算公式完成求解.设扇形的半径为r cm ，圆心角为(02)ααπ<<，则2261 2.2r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得14r α=⎧⎨=⎩或21.r α=⎧⎨=⎩， 故选D.扇形的弧长和面积计算公式： 弧长公式：l r α=；面积公式：21122S lr r α==，其中α是扇形圆心角弧度数，r是扇形的半径.12．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【解析】因为,0,sin sin()cos ,2222A B AB A B B πππππ+∴->∴>-= cos sin 0,,0B A sinB cosA ∴--同理,所以点P 在第二象限.13．知函数π()3sin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对于任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为( ) A ．4 B ．1 C ．12D ．2【答案】D【解析】直接利用正弦型函数的性质求出函数的周期和函数的最值，进一步求出结果． 解：函数()3sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数的周期242T ππ==．对于任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤成立，3()3f x -剟． 则12||x x -的最小值为22T=． 故选：D ．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力14．已知平面向量()()1,3,4,2a b =-=-r r ，若a b λ-r r 与b r 垂直，则λ=（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】D【解析】利用向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系即可得出．∵a b λ-=r r λ（1，﹣3）﹣（4，﹣2）＝（λ﹣4，﹣3λ+2），a b λ-r r 与b r 垂直，∴()4λ4a b b λ-⋅=-r rr （）﹣2（﹣3λ+2）＝0，解得λ＝2．故选：D ．本题考查向量坐标运算，熟练掌握向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系是解题关键．15．如图，圆O 是边长为２的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP CQ ⋅u u u r u u u r的最小值为( )A ．-6B ．322--C ．32--D ．-4【答案】B【解析】以O 为坐标原点建立如图坐标系, 则P ,Q 在以O 为圆心的单位圆上,设(cos ,sin )P αα,(cos ,sin )Q ββ，表示出AP uuu r 、CQ u u ur ，再根据向量的数量积、三角函数及三角恒等变换计算可得.解：以O 为坐标原点建立如图坐标系,则P ,Q 在以O 为圆心的单位圆上,设(cos ,sin )P αα,(cos ,sin )Q ββ,又(1,1)A --,(1,1)C ,∴(cos 1,sin 1)AP αα=++u u u r ,(cos 1,sin 1)CQ ββ=--u u u r,cos cos cos cos 1sin sin sin sin 1αββααββα=+--++-- (cos cos sin sin )(sin cos )(sin cos )2αβαβββαα=+++-+-ππcos()244αββα⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当cos()1αβ-=-,且πsin 14β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,且πsin 14α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,则AP CQ ⋅u u u r u u u r 有最小值,此时(21)πk αβ-=+,且5π2π4k β=+,且2π()4k k πα=+∈Z , ∴AP CQ ⋅u u u r u u u r能取到最小值3--,故选：B .本题主要考查了向量的夹角与向量数量积的关系，向量的坐标运算，三角恒等变换等知识，用到了转化思想，属于中档题．二、填空题 16．计算：233238log log 9log 2125-⎛⎫-+-⋅= ⎪⎝⎭__________. 【答案】4【解析】根据指数幂的运算，对数的运算及对数的性质计算可得.解：232338log log 9log 21253-⎛⎫-+-⋅ ⎪⎝⎭2333234333log 3log log 2g 3253lo 2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭14332332log log 3log 2o 25g 23l --⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭251244⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭4=故答案为：4本题考查对数的运算及性质的应用，属于基础题. 17．若()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪，则12f ⎛⎫= ⎪__________.【解析】由()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，列方程组，求出42()133f x x x =++，由此能求出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． 解：()f x Q 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴12()21122()1f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫-=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得42()133f x x x=++， ∴141213123232f ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭⨯．故答案为：3．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+=__________.【答案】25【解析】首先根据同角三角函数的基本关系将弦化切求出tan α，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将其化成齐次式，最后代入计算可得.解：sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-Qtan 25tan 2αα+∴=-解得tan 3α= 2222221cos sin cos 1tan 132cos sin 22cos sin 1tan 135ααααααααα+++∴+====+++故答案为：25本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题. 19．已知πsin 2410α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin α=__________. 【答案】2425【解析】利用二倍角公式求出πcos α⎛⎫-，再由诱导公式计算可得.解：π2sin 2410α⎛⎫-=⎪⎝⎭Q 22ππ224cos 212sin 1224241025αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⨯-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π2524cos 2α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭24sin 25α∴=故答案为：2425本题考查二倍角公式、及诱导公式的应用，属于基础题.20．若存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示,则ω的值为__________.【答案】2【解析】化简函数的表达式为一个角的三角函数的形式，通过周期的范围，确定ω的范围，利用图象经过点(1,0)，以及1(0)2f >，缩小ω的范围，根据ω为整数，即可求出ω的值．解：由21cos(22)()sin ()2x f x x ωϕωϕ-+=+=及图象知：函数的半周期在1,12⎛⎫⎪⎝⎭之间，即1121222πω<⨯<，得2ππω>>，正整数2ω=或3； 由图象经过点(1,0)，所以()1cos(22)102f ωϕ-+==，知222()k k Z ωϕπ+=∈，222k ωϕπ∴=-+，由图象知1(0)2f >， 即1cos21cos21222ϕω--=>，得cos20ω<， 又ω为正整数2或3，可得：cos40<，cos60>， 所以可得：2ω=． 故答案为：2解决问题的能力，属于中档题．三、解答题21．若函数21()ax f x bx c+=+是奇函数(,,)a b c ∈N )，且(1)2f =，(2)3f <. (1)求实数a ,b ,c 的值；(2)判断函数()f x 在(,1]-∞-上的单调性，并利用函数单调性的定义证明.【答案】(1)1a =,1b =,0c =；(2)()f x 在(,1]-∞-上为增函数,证明见解析.【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得(1)2f -=-，进而可得12124132a b c a b ca b c +⎧=⎪+⎪+⎪=-⎨-+⎪+⎪<⎪+⎩，解可得a 、b 、c 的值，即可得答案；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可．解：(1)根据题意，函数21()ax f x bx c+=+是奇函数（,a b c ∈N ,），且(1)2f =， 则(1)2f -=-，又由(2)3f <， 则有12124132a b c a b c a b c +⎧=⎪+⎪+⎪=-⎨-+⎪+⎪<⎪+⎩，且a b c ∈N 、、，解得1a =，1b =，0c =. (2)由(1)可得：211()x f x x x x+==+，函数()f x 在(,1]-∞-上为增函数 证明：设任意的121x x <≤-，()()()()121212121212111x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又由121x x <≤-，则120x x -<且1210x x ->，120x x >，则有()()120f x f x -<，故函数()f x 在(,1]-∞-上为增函数本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出a 、b 、c 的值，属于基础题．22．设向量a r ()cos ,sin αλα=，b r ()cos ,sin ββ=，其中0λ>，02παβ<<<，且+a b r r 与-a b v v 互相垂直.（1）求实数λ的值；（2）若a b ⋅r r45=，且tan 2β=，求tan α的值. 【答案】（1）1；（2）12. 【解析】（1）由+a b r r 与-a b v v 互相垂直可得22+)a b a b a b v v v v v v （）（⋅-=-0=，展开化简即得1λ=.（2）由a b ⋅r r 45=，得()4cos 5αβ-=.()3 sin 5αβ-=-.()3tan 4αβ-=-，最后求()tan tan ααββ=-+= ()()tan tan 11tan tan 2αββαββ-+=--. 解：（1）由+a b r r 与-a b v v 互相垂直，可得22+)a b a b a b v v v v v v （）（⋅-=-0=， 所以222cos sin 10αλα+-=.又因为22sin cos 1αα+=，所以()221sin 0λα-=. 因为02πα<<，所以2sin 0α≠，所以210λ-=.又因为0λ>，所以1λ=.（2）由（1）知a r ()cos ,sin αα=.由a b ⋅r r 45=，得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，即()4cos 5αβ-=. 因为02παβ<<<，所以02παβ-<-<，所以()3sin 5αβ-==-. 所以()()()sin 3tan cos 4αβαβαβ--==--， 因此()tan tan ααββ=-+=()()tan tan 11tan tan 2αββαββ-+=--. 本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．已知ABC V 为等边角形，2AB =.点N M 、满足AN AB u u u v u u u v λ=，()1AM AC λ=-u u u u v u u u v ，R λ∈.设,AC a AB b ==u u u v u u u v v v .()1试用向量a r 和br 表示,BM CN u u u u v u u u v ; ()2若3·2BM CN =-u u u u v u u u v ,求λ的值. 【答案】(1) ()1?BM a b λ=--u u u u v v v ；CN b a λ=-u u u v v v ；(2) 12. 【解析】（1）根据向量线性运算法则可直接求得结果；（2）根据（1）的结论将已知等式化为()()2231112a b a b λλλλ⎡⎤-+⋅---=-⎣⎦v v v v ；根据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于λ的方程，解方程求得结果.（1）()()11BM AM AB AC AB a b λλ=-=--=--u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v v vCN AN AC AB AC b a λλ=-=-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v v v（2）()()()()22311112BM CN a b b a a b a b λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⋅=--⋅-=-+⋅---=-⎣⎦⎣⎦u u u u v u u u v v v v v v v v v ABC Q 为等边三角形且2AB = 2a b ∴==v v ，,60a b <>=o v v ()()()()223111114cos604142a b a b λλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤∴-+⋅---=-+⨯---=-⎣⎦⎣⎦o v v v v即：()22441210λλλ-+=-=，解得：12λ= 本题考查平面向量线性运算、数量积运算的相关知识；关键是能够将等式转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算的形式，根据向量数量积的定义求得结果.24．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()f ϕ的值；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围． 【答案】（1）0；（2）,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）首先化简()g x 解析式，然后求得左移ϕ个单位后函数()f x 的解析式，根据()f x 的奇偶性求得ϕ的值，进而求得()f ϕ的值.（2）根据（1）中求得的()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求得226x πϕ++的取值范围，根据ϕ的取值范围，求得22πϕ+的取值范围，根据()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，以及正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得ϕ的取值范围.（1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭Q 2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭， 又()f x 为偶函数，则262k ϕππ+=+π（k Z ∈），02πϕ<≤Q ，6πϕ∴=． ()06f f πϕ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭． （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫∴++∈++++ ⎪⎝⎭， 02πϕ<≤Q ，72,666πππϕ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， ()f x Q 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数．262ππϕ∴+≥且02πϕ<≤． ,62ππϕ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦． 本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题.25．已知函数f （x ）=|x -a |-1，（a 为常数）．（1）若f （x ）在x ∈[0，2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知g （x ）=x •f （x ）+a -m ，若存在实数a ∈（-1，2]，使得函数g （x ）有三个零点，求实数m 的取值范围．【答案】(1) a =4或-2 (2) -1＜m ＜94． 【解析】（1）将()f x 写成分段函数形式,分类讨论a 的范围即可（2）将()0g x x x a x a m =--+-=有三个零点转化为()h x x x a x a =--+和y m =有三个不同的交点,可得()22,,x ax x a x a h x x ax x a x a ⎧--+≥=⎨-+-+<⎩,分类讨论在12a ≤≤与11a -<<时()h x 的单调性,进而由零点个数求解m 范围即可解：（1）()1,1,x a x a f x x a x a --≥⎧=⎨-+-<⎩, 当1a ≥时,()()max 03f x f ==,∴4a =；当1a <时,()()max 23f x f ==,∴2a =-；综上,4a =或2-（2）()0g x x x a x a m =--+-=有三个零点,等价于()h x x x a x a =--+和y m =有三个不同的交点,()22,,x ax x a x a h x x ax x a x a ⎧--+≥=⎨-+-+<⎩, 当12a ≤≤时,()h x 在1,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在11,22a a -+⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减,在1,2a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增, ∴102a m h -⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即2(1)04a m +<<, 191,42a h -⎛⎫ ⎪⎛⎤∈ ⎥⎝⎝⎭⎦Q ,∴904m << 当11a -<<时,()h x 在11,22a a -+⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减,在1,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,1,2a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增； ∴1122a a h m h +-⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()221(1)44a a m +--<<, ()11,02a h +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q ,1,4129a h ⎛⎤∈-⎛ ⎥⎝⎫⎪⎝⎭⎦,∴914m -<< 综上, 914m -<< 本题考查分段函数最值问题,考查零点个数求参问题,考查数形结合思想,转化思想。

长郡中学2024级高一综合能力检测试卷数学时量：90分钟 满分100分一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万1万，1兆1=万1×万1×亿．若1兆10m=，则m 的值为（ ） A.4 B.8C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】1万=410，所以1亿=810， 所以1兆=8816101010×=， 所以16m =. 故选：D2.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）A.12B.112C.16D.14【答案】D 【解析】【分析】根据概率的计算公式即可求解.【详解】从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为61244=， 故选：D3.如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（ ）A. 2B.1−C.D.1【答案】B 【解析】【分析】利用勾股定理和数轴的知识求得正确答案.【详解】由于AC =，所以点M所表示的数为)231+−=−.故选：B4. 若关于x 的不等式组()532223x x x x a + ≥−+<+恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A. 53a <−B. 5433a −≤<− C. 523a −<−≤D. 523a −<<−【答案】C 【解析】【分析】化简不等式组，由条件列不等式求a 的取值范围. 【详解】解不等式532x x +≥−，得11x ≤， 解不等式()223x x a +<+，得23x a >−， 由已知可得7238a ≤−<， 所以523a −<−≤.故选：C.5. 在ABC ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离【答案】B 【解析】【分析】由题意条件分析两圆圆心距与两半径和差的大小关系即可得. 【详解】由圆A 与圆P 内切，则312PA =−=，5AB =， 又点P 在ABC 内，则PA PB AB +>，且PB AB <， 所以523PB AB PA >−=−=，且5PB <， 则3232PB −<<+，由圆B 的半径为2，圆P 的半径为3， 所以圆P 与圆B 相交. 故选：B.6. 对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=−，例：313(3)[][]44f +=−，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[ 1.8]2−=−．则下列结论错误的是（ ） A. ()10f =B. ()0f k =或1C. ()()4f k f k +=D. ()()1f k f k +≥【答案】D 【解析】【分析】根据给定的定义，逐项计算判断即可.【详解】对于A ，11(1)[][]00024f =−=−=，A 正确； 对于B ，取4,1,2,3,4k n i i =+=，n 为自然数， 当4i =时，1()[1][1][1]044f k n n ++−+，当3i =时，33()[1][]1([])144f k n n n n =+−+=+−+=，当1,2i =时，11()[][][]([])04444i i i if k n n n n ++=+−+=+−+=，B 正确； 对于C ，11(4)[1][1]1[](1[])()4444k k k kf k f k +++=+−+=+−+=，C 正确； 对于D ，414313(31)[][]0,(3)[][]14444f f +++=−==−=，即(31)(3)f f +<，D 错误.故选：D7. 如图，点A 为反比例函数()10y x x=−<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40yx x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（ ）A.12B.14C.D.13【答案】A 【解析】【分析】设121214,,,A x B x x x −，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，由AO BO ⊥，得∽∠ AOE OBF ，由==AEEO AO OFBF BO，可得答案. 【详解】设AA �xx 1,−1xx 1�,BB �xx 2,4xx 2�(xx <0,xx 2>0)，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ， 且()()12,0,,0E x F x ，因为AO BO ⊥，所以,∠=∠∠=∠AOE OBF OAE BOF ， 所以∽∠ AOE OBF ，所以AE EO OF BF =，可得112214−−=x x x x ，即22124x x =，所以122x x =−， 所以12121211==−==−=A Ex x x OA BO OFx.故选：A.8. 若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（ ） A. 124q −≤≤ B. 50q −≤≤C. 54q −≤≤D. 123q −≤≤【答案】A 【解析】【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为1x m =+，进而可得412p p m ++=+，由函数图象过点(),p q ，可得2(1)4q m =−−+，可求q 的取值范围.【详解】因为二次函数解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤， 所以二次函数的对称轴为1x m =+，函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，故点(),p q 和点()4,p q +关于直线1x m =+对称， 所以412p p m ++=+，所以1[0,4]p m −∈， 又()()()()2222121223(1)4q p m p m m m m m m =−−=−−−−=−++=−−+， 当1m =，max 4q =，当5m =，min 12q =−，所以124q −≤≤. 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9. 分解因式：432449a a a −+−=______． 【答案】2(23)(1)(3)a a a a −++− 【解析】【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可得解.【详解】43222222449(2)9(23)(23)(23)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a −+−=−−=−+−−=−++−. 故答案为：2(23)(1)(3)a a a a −++−的10. 直线1:1l y x =−与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______．【答案】y =【解析】【分析】先求得2l 的倾斜角，进而求得直线2l 对应的函数表达式. 【详解】直线1:1l y x =−与x 轴交于点 1,0A ， 直线1:1l y x =−的斜率为1，倾斜角为45°，所以2l 的倾斜角为60°所以直线2l 对应的函数表达式是)1y x =−=.故答案为：y=−11. 若关于x 的分式方程22411x a x ax x −−+−=−+的解为整数，则整数a =______． 【答案】1± 【解析】【分析】由分式方程有意义可知1x ≠且1x ≠−，再化简方程求解2x a=，由,a x 均为整数可求.【详解】则方程241x a x −−−1x ≠且1x ≠−. 方程可化为222211x a x ax x −−+−=+−+，即2211a a x x −+=−+， 解得2x a=，由1x ≠且1x ≠−，所以2a ≠且2a ≠−.由a 为整数，且x 为整数，则当1a =−，2x =−，或当1a =，2x =时满足题意. 所以1a =±. 故答案为：1±.12. 如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．【答案】13【解析】【分析】因为BH CD ⊥于点H ，所以点 H 在以BE 为直径的圆上运动, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大，据此在OHA 求解即可. 【详解】12//,//,AC BD l l∴ 四边形 ACBD 是平行四边形 12AE BE AB ∴==A 为定点, 且 2//AB l AE ∴ 为定值,BH CD ⊥ 90BHE ∠∴=, 如图，取BE 的中点O ,则点 H 在以BE 为直径的圆上运动,此时 1123OE BE OA ==, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大1sin 3OH BAH OA ∠∴==故答案为：13.三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a .教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委 91 91 m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评1评委2评委3评委4评委5甲 93 90 92 93 92 乙9192929292丙 90 94 90 94 k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.【答案】（1）①91；4；②< （2）甲；92 【解析】【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案； （2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可. 【小问1详解】①由题意得，教师评委打分中91出现次数最多，故众数91m =；45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n 的值位于学生评委打分数据分组的第4组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ， 则1(8890919191919292)90.758x =×+++++++=，91x ∴<.【小问2详解】甲选手的平均数为1(9390929392)925×+++=， 乙选手的平均数为1(9192929292)91.85×++++=， 因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数， 因为5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92， 乙选手的方差2221[4(9291.8)(9191.8)]0.165S =××−+−=乙， 5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k ， 所以乙选手的方差小于丙选手的方差，所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴9390929392909490949192929292k ++++≥++++>++++，9291k ∴≥>， k 为整数，的k ∴的值为92.14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=°时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ； （2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ） ②设计一种符合要求的方案． 【答案】（1）125厘米；（2）19.6厘米 （3）①64.580FC ≤<；②70cm ，90cm （答案不唯一）． 【解析】【分析】（1）根据四边形AHNB 为矩形，35AG BG ==厘米，5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，由勾股定理求出r 即可得出答案；（2）由四边形ANBK 为矩形，进而得AK BN h ==，()125cm,125cm OK h OB =−=，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于h 的方程，解方程求出h 即可得出答案；（3）①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，先求出cos cos 0.28QCD OAB ∠=∠=，设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−，即可得0.60.28(160)12x x −−≥，由此解得64.5x ≥，据此可得椅背FC 的长度范围；②在①中椅背FC 的长度范围任取一个FC 的值，再计算出EC 的值即可，例如取70FC =厘米，则1607090EC =−=（厘米）；（答案不唯一，只要在FC 的长度范围内即可）． 【小问1详解】过点A 作AH 垂直地面于H ，过点O 作OG AB ⊥于G ，OG 的延长线于地面交于点M ，如图所示：AB 平行于地面，∴四边形AHNB 为矩形，1352AG BG AB ===厘米， 5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，(5)OG OM GM r ∴=−=−厘米，在Rt OAG ∆中，OA r =厘米，35AG =厘米，(5)OGr =−厘米， 由勾股定理得：222OA OG AG =+，即：222(5)35r r =−+， 解得：125r =，∴底座半径OA 的长度为125厘米；【小问2详解】过点B 作BN 垂直地面于N ，BK OA ⊥于K ，如图所示：设BN h =，底座与地面相切于点A ，OA ∴垂直地面于点A ，∴四边形ANBK 为矩形，AK BN h ∴==，由任务一可知：125cm,125OA OB OK OA AK h ==∴==--， 在Rt ABK △中，cm,=70cm AK h AB =， 由勾股定理得：2222270BK AB AK h =−=−，在Rt OBK 中，()125cm,125cm OK h OB =−=， 由勾股定理得：22222125(125)BK OB OK h =−=−−，222270125(125)h h ∴−=−−，解得：19.6h =，∴点B 距离地面的高度为19.6厘米；【小问3详解】①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，如图所示：//CD AB ，QCD OAB ∴∠=∠，由任务②可知：19.6AK h ==厘米，70AB =厘米， 在Rt ABK △中，19.6cos 0.2870AK OAB AB ∠===， cos cos 0.28QCD OAB ∴∠=∠=，椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米， ∴设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−， 椅背长度小于坐垫长度，160x x ∴<−，解得：80x <，在Rt CQE △中，cos 0.28CQQCD CE∠==， 0.280.28(160)CQ CE x ∴==−厘米，在Rt CFP △中，cos CPOCF CF∠=， cos cos530.6CP CF OCF x x ∴=⋅∠=⋅°≈（厘米）， F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米，12AP AN ∴−≥，即：()12AC CP AC CQ +−+≥，12CP CQ ∴−≥，0.60.28(160)12x x ∴−−≥，解得：64.5x ≥， 又80x < ，64.580x ∴≤≤，即：64.580FC ≤≤，∴椅背FC 的长度范围是：64.580FC ≤<；②由于64.580FC ≤<，故取70cm FC =，则1607090cm EC ==-．15. 定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x +≥ =−+<（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =−++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m =______．（3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a −，(),C a a −−，(),D a a −，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值； ②若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）1,13,1x x y x x +≥ =−+<（2）m =m =，（3）①3；②()5,1,12−∞−∪−. 【解析】【分析】（1）取点()2,3M ，()3,4N ，求两点关于1x =的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，由此可得结论；（2）判断点()1,0−与函数243y x x =−++的图象的关系，再求()1,0−关于直线x m =的对称点，由条件列方程求m 即可；（3）①求函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定a 的值； ②分别在0n >，0n =，0n <时求函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”解析式，讨论n ，由条件确定n 的范围.小问1详解】在函数1y x =+的图象上位于1x =右侧的部分上取点()2,3M ，()3,4N ， 点()2,3M 关于直线1x =对称点为(0,3)， 点()3,4N 关于直线1x =的对称点为()1,4−，设函数1y x =+，1x >的图象关于1x =对称的图象的解析式为,1y kx b x =+<， 则34b k b = −+=，解得13k b =− = ，所以函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为1,13,1x x y x x +≥ =−+<；【的【小问2详解】取1x =−可得，2431432y x x =−++=−−+=−， 故函数243y x x =−++的图象不过点()1,0−， 又点()1,0−关于直线x m =的对称点为()21,0m +， 由已知可得()()20214213m m =−++++，1m >−，所以m =或m =，【小问3详解】①当0x >或20x −≤<时，函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =， 当2x <−时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象上，则点()4,x y −−在函数6y x=的图象上，所以64y x=−−， 所以函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式为[)()()6,2,00,6,,24x xy x x∞∞ ∈−∪+ =∈−− −− ， 作函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象如下：观察图象可得3a =时，函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，②若0n >，当x n ≥时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当0x <或0x n <<时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上，所以62y n x=−， 所以函数6y x =关于直线x n =“迭代函数”的解析式为()()()6,,6,,00,2x n xy x n n x∞∞ ∈+ =∈−∪ − ， 当6n >时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，的当6n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当16n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当1n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有3个公共点，当01n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当0n =时，函数6y x =关于直线xx =0的“迭代函数”的解析式为6,06,0x xy x x> =−< ， 作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，若0n <，当0n x ≤<或0x >时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当x n <时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上， 则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上， 所以62y n x=−，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为[)()()6,,00,6,,2x n xy x n n x ∞∞ ∈∪+ = ∈− −，当10n −<<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当1n =−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当512n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有6个公共点，当52n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有5个公共点，当7522n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当72n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当762n −<<−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n =−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n <−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，综上，n 的取值范围为()51,12∞−−∪−，. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16. 已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值； （2）如图2，点K 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．【答案】（1）19（2）【解析】【分析】（1）把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程，解出抛物线的解析式，设(0,)P p ，求出直线AP 解析式为y px p =+，联立方程223y px p y x x =+ =−++， 可得2(3,4)E p p p −−+，同理可得234(,)393p p p D −−+，即可得1S ，2S ，化简可得结果； （2）作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，求出(1,0)K ，设直线MN解析式为y kx d =+，把点K 坐标代入即可知直线MN 的解析式y kx k =−，设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，求出2(,25)N n n n ′−+，可得QM QN QM QN MN ′′+=+≥，结合2(,23)F n m m −++，可得222421780MN MF N F k k =+=++′′，从而得到QM QN +的最小值. 【小问1详解】把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程2y x bx c =−++得：10930b c b c −−+= −++=， 解得：23b c = =， 所以抛物线方程为：223y x x =−++， 设(0,)P p ，直线AP 解析式为11y k x b =+， 把点()1,0A −，(0,)P p 代入得：1110k b b p −+= = ， 所以线AP 解析式为y px p =+，联立223y px p y x x =+ =−++ ，解得：10x y =−=或234x p y p p =− =−+ ， 所以2(3,4)E p p p −−+，设直线BP 解析式为22y k x b =+ 把点()3,0B ，(0,)P p 代入得：22230k b b p+= = ， 直线BP 解析式为3py x p =−+ 联立2323p y x p y x x =−+ =−++ ，解得：30x y = = 或233493p x p p y − = =−+可得234(,)393p p p D −−+， 所以221142()2(3)2939ABD ABP D P p p S S S AB y y p p p =−=⋅−=−+−=− ， ()2221()242(3)2ABE ABP E P S S S AB y y p p p p p =−=⋅−=−+−=− ， 所以2122192(3)92(3)S p p S p p −=−= 【小问2详解】作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，如图：因为2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线223y x x =−++的对称轴为1x =， 所以(1,0)K ，设直线MN 解析式为y kx d =+， 把点(1,0)K 代入得：=0k d +，所以=d k −，所以直线MN 的解析式为y kx k =− 设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，联立223y x x y kx k =−++ =−，可得2(2)30x k x k +−−−= 则2m n k +=−，3mn k =−−，因为N ，N ′关于直线l ：4y =对称，所以2(,25)N n n n ′−+，则QM QN QM QN MN ′′+=+≥，又2(,23)F n m m −++， 所以222()2N F m n m n +−++′，FM m n =−， 在Rt MFN ′ 中，2222222()2()2MN MF N F m n m n m n =+=−++−++ ′ ′，222()4()22()2m n mn m n mn m n =+−++−−++222(2)4(3)(2)2(3)2(2)2k k k k k =−−−−+−−−−−−+ 421780k k =++所以当0k =时，2MN ′最小为80，此时MN ′=所以QM QN +≥，即QM QN +的最小值为。

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共15小题）.1．经过两点A（4，0），B（0，﹣3）的直线方程是（）A．3x﹣4y﹣12＝0B．3x+4y﹣12＝0C．4x﹣3y+12＝0D．4x+3y+12＝0 2．已知a＞b＞0，则下列不等式中正确的是（）A．|a|＜|b|B．C．﹣a＞﹣b D．a2＜b23．已知直线ax+3y＝1与直线3x﹣y+2＝0互相垂直，则a＝（）A．﹣3B．﹣1C．3D．14．在△ABC中，若A＝，B＝，a＝2，则b＝（）A．B．C．D．5．函数y＝＞3）的最小值为（）A．4B．3C．2D．56．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a8＝0，S11＝33，则公差d的值为（）A．1B．2C．3D．47．已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球9．我国2015年以来，第x年（2015年为第一年）的国内生产总值y（万亿元），数据如表：x12345y6975839299由散点图分析可知y与x线性相关，若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是y＝7.7x+a，则实数a的值为（）A．61.3B．60.5C．59.9D．59.610．已知两条不同直线l，m，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m B．若α∥β，m∥α，l⊥β，则l⊥mC．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l∥m D．若α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m 11．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB 的长为（）A．4B．4C．8D．412．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四五世纪．其卷中《算筹分数之法》里有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织通五尺．问：日织几何？”意思是有一女子擅长织布，每天织布都比前一天多1倍，5天共织了5尺布．现请问该女子第3天织了多少布？（）A．1尺B．尺C．尺D．尺13．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．14．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（）A．B．C．D．15．由直线x+2y﹣7＝0上一点P引圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为（）A．2B．C．2D．2二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．不等式x2﹣kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n＝S n﹣1+1（n≥2），则a4＝．18．如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为米．19．三棱锥A﹣BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD＝2，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为．20．已知数据x1，x2，…，x10的方差为1，且（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（x10﹣2）2＝170，则数据x1．x2，x3，…，x10的平均数是．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若a+b＝7，△ABC的面积等于，求c边长．22．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：2x+y﹣4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．23．某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试．全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人．（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（中位数保留两位小数）（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：（1）EF∥平面PCD；（2）平面PAB⊥平面PCD．25．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且a n+1＝（n∈N*）．（1）设b n＝2n﹣1a n（n∈N*），求证：数列{b n}为等差数列；（2）求S n；（3）若对任意n∈N*，不等式S n≥4﹣2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．经过两点A（4，0），B（0，﹣3）的直线方程是（）A．3x﹣4y﹣12＝0B．3x+4y﹣12＝0C．4x﹣3y+12＝0D．4x+3y+12＝0【分析】直接利用两点式方程，求出直线方程即可．解：由直线方程的两点式可得经过两点A（4，0），B（0，﹣3）的直线方程为，即3x﹣4y﹣12＝0．故选：A．2．已知a＞b＞0，则下列不等式中正确的是（）A．|a|＜|b|B．C．﹣a＞﹣b D．a2＜b2【分析】根据a＞b＞0，根据不等式的性质即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．解：∵a＞b＞0，∴|a|＞|b|，，﹣a＜﹣b，a2＞b2．故选：B．3．已知直线ax+3y＝1与直线3x﹣y+2＝0互相垂直，则a＝（）A．﹣3B．﹣1C．3D．1【分析】根据两直线垂直列出方程求得a的值．解：由直线ax+3y＝1与直线3x﹣y+2＝0互相垂直，所以3a+3×（﹣1）＝0，解得a＝1．故选：D．4．在△ABC中，若A＝，B＝，a＝2，则b＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用正弦定理即可求解．解：由正弦定理得：，∴，∴，解得：b＝3，故选：B．5．函数y＝＞3）的最小值为（）A．4B．3C．2D．5【分析】函数化为y＝，利用基本不等式即可得出结论．解：∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴y＝≥+3＝5，当且仅当，即x＝4时，函数的最小值为5．故选：D．6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a8＝0，S11＝33，则公差d的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：∵a2+a8＝0，S11＝33，∴2a1+8d＝0，11a1+d＝33，解得d＝3．故选：C．7．已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】由已知可得圆锥的母线长，再由圆锥的侧面积公式求解．解：∵圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，∴圆锥的母线长l＝2．∴该圆锥的侧面积为S＝π×1×2＝2π．故选：B．8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确故选：C．9．我国2015年以来，第x年（2015年为第一年）的国内生产总值y（万亿元），数据如表：x12345y6975839299由散点图分析可知y与x线性相关，若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是y＝7.7x+a，则实数a的值为（）A．61.3B．60.5C．59.9D．59.6【分析】计算、，代入y关于x的线性回归方程中求出实数a的值．解：由表中数据，计算＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝×（69+75+83+92+99）＝83.6，代入y关于x的线性回归方程y＝7.7x+a中，得a＝﹣7.7×＝83.6﹣7.7×3＝60.5，所以实数a的值为60.5．故选：B．10．已知两条不同直线l，m，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m B．若α∥β，m∥α，l⊥β，则l⊥mC．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l∥m D．若α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案．解：对于A，由α∥β，l⊂α，m⊂β，得l∥m或l与m异面，故A错误；对于B，若α∥β，l⊥β，则l⊥α，又m∥α，则l⊥m，故B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，m∥β，则l与m的位置关系是平行、相交或异面，相交与平行时，可能垂直，也可能不垂直，故D错误．故选：B．11．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB 的长为（）A．4B．4C．8D．4【分析】先根据余弦定理求出∠C度数，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC中，AD＝7，AC＝8，DC＝5，由余弦定理得cos C＝＝＝，因为是三角形内角，∴∠C＝60°，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠C＝60°，由正弦定理＝得：AB＝＝4．故选：D．12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四五世纪．其卷中《算筹分数之法》里有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织通五尺．问：日织几何？”意思是有一女子擅长织布，每天织布都比前一天多1倍，5天共织了5尺布．现请问该女子第3天织了多少布？（）A．1尺B．尺C．尺D．尺【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可直接求解．解：由题意可知，每天织布的数量是以2为公比的等比数列，设首项a1，则＝5，解可得，a1＝，a3＝＝．故选：D．13．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】连接AD1，证得AD1∥BC1，可得∠D1AM为异面直线AM与BC1所成角，连接D1M，设正方体的棱长为2，求解三角形可得异面直线AM与BC1所成角的余弦值．解：如图，连接AD1，∵AB＝C1D1，AB∥C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，则∠D1AM为异面直线AM与BC1所成角，连接D1M．设正方体的棱长为2，则，．∴cos∠．即异面直线AM与BC1所成角的余弦值是．故选：A．14．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果解：三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3…B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…共有9×10＝90个，其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…其有4×10＝40个，∴三位数的回文数中，偶数的概率P＝＝；故选：D．15．由直线x+2y﹣7＝0上一点P引圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为（）A．2B．C．2D．2【分析】根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，即可得圆心坐标与半径，由直线与圆相切的性质可得|PA|2＝|MP|2﹣r2＝|MP|2﹣3，分析可得|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，据此分析可得答案．解：根据题意，圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝3，则圆的圆心为（1，﹣2），半径r＝，设圆心为M，则|PA|2＝|MP|2﹣r2＝|MP|2﹣3，则|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，且|MP|的最小值即M到直线x+2y﹣7＝0的距离，|MP|最小值＝＝2，则|PA|最小值＝＝，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．不等式x2﹣kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是（﹣2，2）．【分析】设y＝x2﹣kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y＝x2﹣kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．解：依题意，设y＝x2﹣kx+1，因为不等式x2﹣kx+1＞0对任意实数x都成立，所以△＝k2﹣4＜0，解得k∈（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n＝S n﹣1+1（n≥2），则a4＝8．【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．解：数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n＝S n﹣1+1（n≥2），可得a2＝S1+1＝2，a3＝S2+1＝a1+a2+1＝4，a4＝S3+1＝a1+a2+a3+1＝8，故答案为：8．18．如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为米．【分析】利用AB表示出BC，BD．让BD减去BC等于20即可求得AB长．解：设AB＝hm，则BC＝h，BD＝h，则h﹣h＝20，∴h＝m，故答案为．19．三棱锥A﹣BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD＝2，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为．【分析】由于BD过球心，所以可得∠BAD＝∠BCD＝90°，AO⊥面BCD，推出BC＝CD时体积最大求解即可．解：当BD过球心，所以∠BAD＝∠BCD＝90°，所以AO⊥面BCD，V A﹣BCD＝•BC•CD•OA，当BC＝CD时体积最大，因为BD＝2，OA＝，所以BC＝CD＝2，所以最大体积为：•2•2•＝；故答案为：．20．已知数据x1，x2，…，x10的方差为1，且（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（x10﹣2）2＝170，则数据x1．x2，x3，…，x10的平均数是﹣2或6．【分析】由数据x1，x2，…，x10的方差为1，且（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（x10﹣2）2＝170，把所给的式子进行整理，两式相减，得到关于数据的平均数的一元二次方程，解方程即可．解：∵数据x1，x2，…，x10的方差为1，∴（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x10﹣）2＝10，∴（x12+x22+…+x102）+10﹣2（x1+x2+…+x10）＝10，∴（x12+x22+…+x102）﹣10＝10，①∵（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（x10﹣2）2＝170，∴（x12+x22+…+x102）﹣4（x1+x2+…+x10）+40＝170，∴（x12+x22+…+x102）﹣40+40＝170，②将②﹣①得，∴﹣4﹣12＝0，解得＝﹣2，或＝6，故答案为：﹣2或6．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若a+b＝7，△ABC的面积等于，求c边长．【分析】（1）利用余弦定理化简已知等式可得：a2+b2﹣c2＝ab，进而可求cos C的值，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求ab＝12，结合已知由余弦定理即可求解c的值．解：（1）∵，∴a＝c•+b，整理可得：a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）∵C＝，△ABC的面积等于＝ab sin C＝ab，∴ab＝12，∵a+b＝7，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝49﹣3×12＝13，可得c＝．22．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：2x+y﹣4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．【分析】（1）化曲线C为圆的一般方程，再由5﹣m＞0求得m的取值范围；（2）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求得m值．解：（1）由C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0，得（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5﹣m，若方程C表示圆，则5﹣m＞0，即m＜5；（2）圆C的半径为，圆心（2，1）到直线2x+y﹣4＝0的距离d＝，又|MN|＝，∴，解得m＝4．23．某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试．全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人．（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（中位数保留两位小数）（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率．【分析】（1）依题意a+b＝0.046，1000（b﹣a）＝6，解得a，b，由中位数公式，即可得出答案．（2）设在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，用列举法，结合古典概率模型，即可得出答案．解：（1）依题意a+b＝0.046，1000（b﹣a）＝6，解得a＝0.020，b＝0.026，中位数为≈112.31．（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A由题意知，在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共15种，抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2）共8种，所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：（1）EF∥平面PCD；（2）平面PAB⊥平面PCD．【分析】（1）取PC中点G，连接DG、FG．由三角形中位线定理可得GF∥BC，GF ＝BC．再由已知得到DE∥BC，DE＝BC，可得GF∥DE，GF＝DE，则四边形DEFG 为平行四边形，得到EF∥DG．由直线与平面平行的判定可得EF∥平面PCD；（2）由底面ABCD为矩形，得CD⊥AD．再由已知结合平面与平面垂直的性质可得CD ⊥平面PAD．得到CD⊥PA．进一步得到PA⊥平面PCD．从而可得平面PAB⊥平面PCD．【解答】证明：（1）取PC中点G，连接DG、FG．在△PBC中，∵F，G分别为PB，PC的中点，∴GF∥BC，GF＝BC．∵底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴GF∥DE，GF＝DE，则四边形DEFG为平行四边形，∴EF∥DG．又∵EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，EF∥平面PCD；（2）∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD．∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．又∵PA⊥PD，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，∴PA⊥平面PCD．∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．25．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且a n+1＝（n∈N*）．（1）设b n＝2n﹣1a n（n∈N*），求证：数列{b n}为等差数列；（2）求S n；（3）若对任意n∈N*，不等式S n≥4﹣2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）运用等差数列的定义和数列的递推式，化简整理，即可得证；（2）求得a n＝n•（）n﹣1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到S n；（3）原不等式可化为λ≥对n∈N*恒成立，可令c n＝，判断{c n}的单调性，求得其最大值，可得实数λ的取值范围．解：（1）b n+1＝2n a n+1＝2n（）＝2n﹣1a n+1＝b n+1，即b n+1﹣b n＝1，所以数列{b n}为首项为b1＝20a1＝1，公差为1的等差数列；（2）由（1）可得b n＝n，即2n﹣1a n＝n，可得a n＝n•（）n﹣1，S n＝1•（）0+2•（）1+3•（）2+…+n•（）n﹣1，S n＝1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，两式相减，得S n＝1+（）1+（）2+…+（）n﹣1﹣n•（）n＝﹣n•（）n，化简得S n＝4﹣（n+2）•（）n﹣1；（3）不等式S n≥4﹣2λ﹣，即4﹣（n+2）•（）n﹣1＞4﹣2λ﹣，化为λ≥对n∈N*恒成立，令c n＝，则c n+1﹣c n＝﹣＝，所以n≤3时，c n+1﹣c n＞0，即c n+1＞c n；n＝4时，c n+1﹣c n＝0，即c n+1＝c n；n≥5时，c n+1﹣c n＜0，即c n+1＜c n；所以c1＜c2＜c3＜c4＝c5＞c6＞c7＞…，所以{c n}的最大值为c4＝c5＝，所以λ≥．。