2021届湖南省长郡中学高三入学摸底考试 数学 Word版含答案

湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）数学试题参考答案1．B 【详解】由题得{}22,{|2}M x x N x x =-≤≤=<， 所以MN ={}22x x -≤<.故选：B2．B 【详解】(2)34z i i +=-，故()()()()34234211211222555i i i i z i i i i ----====-++-， 故22211()()555z +==.故选：B . 3．A 【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为其表面积为3π，所以23rl r πππ+=，即23rl r +=，又因为它的侧面展开图是一个半圆，所以r l 2π=π，即2l r =，所以221,2,3r l h l r ===-=，所以此圆锥的体积为2113333V r h πππ==⨯=.故选：A4．D 【详解】根据函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上是减函数，()00,0f a x a =<<，可得()()0=0f x f a >，故选D. 5．D 【详解】建立如图所示直角坐标系：则(0,1),(0,0),(2,0),(2,1)A B C D ，设(,)E x y ,所以()(,1),(,),2,1AE x y BE x y BD =-==.AE BD ⊥且//BE BD ,21020x y x y +-=⎧∴⎨-=⎩，解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,481(,),,5212(,),55555AE EC E ⎛⎫=-=-∴⎪⎝⎭， 8414+552555AE EC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⨯⎭⎝⎭.故选：D6．C 【详解】设双曲线的一条渐近线方程为：by x a=，又由已知圆的方程可得圆心为(0M ，23)，半径2r，设圆心M 到渐近线的距离为d ，则222||2242AB r d d =-=-=，所以2|23|31()d b a==+，即21c a=，所以2e =，故选：C ． 7．B 【详解】过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ， 由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3(,1)2A a +，所以32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠==,所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EADBAC CAD EAD CAD EAD ∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠31422317122-==+⨯.故选B8．C 【详解】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为12，假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率111132224P =+⨯=，乙获取96枚金币的概率2111224P =⨯=，则甲应该获得396724⨯=枚金币；乙应该获得196244⨯=枚金币；故选：C ． 9．AD 【详解】根据垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以A 正确；若l αβ=，当//m α，m ∥β时，平面α与β不一定平行，所以B 不正确；由,//m αββ⊥，则m 可能在平面α内，所以C 不正确；由两平面平行，其中一个平面的垂线也一定垂直于另外一个平面，所以D 也是正确的.故选：AD.10．AD 【详解】由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b =，1log 9M c=. log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a=-，去分母整理得，2ab bc ac +=.故选AD.11．ABD 【详解】A.恰有一个白球的概率12243635p C C C==，故A 正确； B.每次任取一球，取到红球次数X ～B 26,3⎛⎫⎪⎝⎭，其方差为22461333⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故B 正确；C ．设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P (A )＝23，P (A ∩B )＝432655⨯=⨯，所以P (B |A )＝()()35p A B P A ⋂=，故C 错误； D ．每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为322611327⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故D正确． 故选：ABD.12．ABD 【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知C 错误， 对A ，22111()x f x x x x-'=-+=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，函数()f x 取得极小值(1)1f =，故A 正确； 对B ，1()ln y f x x x x x=-=+-，其定义域为(0,)+∞，22222131112410x x x y x x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭=-+-==<'， 所以函数()y f x x =-在(0,)+∞上单调递减，又1x =时其函数值为0， 所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确； 对D ，()()1ln g x xf x x x ==+，其定义域为(0,)+∞，()ln 1g x x =+，令()0g x =，得1=x e，当1(0,)∈x e时，()0g x '<，函数()g x 在1(0,)e 上单调递减；当1(,)∈+∞x e时，()0g x '>，函数()g x 在1(,)e +∞上单调递增，所以当1=x e时，函数()g x 取得极小值1()g e ，也是最小值，所以1g g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ABD 13．5【详解】()()()44411111x x x x x x x =-⎛⎫--- ⎝⎭-⎪，展开式通项为()()44111r r r rr r T xC x C x ++==⋅-⋅-⋅，()()411411k k k k k k C x T C x x+-=⋅--⋅-=⋅- 令1313r k +=⎧⎨-=⎩，可得24r k =⎧⎨=⎩，因此，展开式中3x 的系数为24445C C -=. 14．35【详解】设4t πα+=,则tan 2t =,所以21cos 5t =,所以23sin 2sin 2sin 2cos 22cos 1425t t t t ππα⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=-=-=--= ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭, 15．()225000m 【详解】在OAB 中，AOB θ∠=，100OB =，200OA =， 2222cos AB OB OA OB OA AOB ∴=+-⋅⋅∠，即AB =211sin 22OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∴=+=⋅⋅⋅+⋅△△，25100sin 2cos 2OACB S θθ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭令tan 2ϕ=，则()251002OACB S θϕ⎤=-+⎥⎦∴直接监测覆盖区域”面积的最大值为()210000525000m+.16．4【详解】设2,2bM b⎛⎫⎪⎝⎭，则直线OM的方程为2y xb=，即2bx y=，代入y2＝2px（p ＞0且p≠1），可得2,2pby pb x==，即2,2pbN bp⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为2()2bx m y b=-+，即22220x my mb b-+-=，显然220mb b-≠，否则AB过原点，不符合题意，所以O到直线AB的距离21221mb bdm-=+，N到直线AB的距离()2222 2222 222(1)222|1|111pbm pb mb b p mb bmb bd pm m m ⋅-⋅+---+-+ ===-⋅+++因为22111||231||2ABNABOAB dS dS dAB d⋅===⋅,所以2222223|1|11mb b mb bpm m--+⋅=-⋅++，因为220mb b-≠,所以|1|3,0p p-=>，解得4p=17．【详解】（1）由题52543441712S S a a aqa a q-++==++=，解得()21q q=>，又342S a+=，即11728a a+=，∴12a=，∴2nna=.（2）由（1）知122nnS+=-，∴11111222n nnS++=>-，又11111222222n n n nnS+==≤-+-，∴1112n n S +<12n ≤，∴当1n =时，112T =，2311422-=，111122-=， 故11113111422T +-≤≤-成立.当2n ≥时，12n T >+34111113122242n n ++++⋅⋅⋅+=-，2311111122222n n n T ≤+++⋅⋅⋅+=-， 综上所述，13111422n n n T +-≤≤-. 18．【详解】（1）因为3sin (2cos )b A a B =+， 由正弦定理得()3sin sin sin 2cos B A A B =+．因为(0,)A π∈，所以sin A ＞0，所以3sin cos 2B B -=， 所以2sin()26B π-=，因为(0,)B π∈，所以62B ππ-=，即23B π=． （2）依题意33ac=，即ac ＝4． 所以24a c ac +≥=，当且仅当2a c ==时取等号．又由余弦定理得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥= ∴23b ≥，当且仅当a ＝c ＝2时取等号． 所以△ABC 的周长最小值为423+． 19．【详解】（1）证明：连接BD ，设ACBD O =，连接PO ，底面ABCD 为正方形，2OA OC OB OD ====∴ PA PC =，PO AC ∴⊥，平面PAC底面ABCD AC =，PO ⊂平面PAC ，PO ∴⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，PO BD ∴⊥，PB PD =∴（2）以O 为坐标原点，射线,,OB OC OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知2OP =，可得(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,0),P A B C D --(0,1,1),(0,1,1),(2,1,1),(0,2,0)M N DM MN -=-= 设平面DMN 的法向量(,,)n x y z =， 00DM n MN n ⋅=⋅⋅=200x y z y -+=⎧∴⎨=⎩，今1x =，可得(1,0,2)n =-，(2,0,2)PB =-， 310cos ,||||225PB n PB n PB n ⋅〈〉===⋅⨯∴直线PB 与平面DMN 310.20．【详解】（1）由题意，得22222222211c ab c a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,2a b ==∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）k 1k 2为定值12- 理由如下：①当过点P 的直线斜率不存在时，直线的方程为x ＝±2； 当x ＝2时，(2,A B，则121222k k ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭， 当2x =-时，((2,A B --，则121222k k ⋅=-⨯=-. ②当过P 的直线斜率存在时，设其方程为()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+，联立22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124240k x kmx m +++-=由题意()()222(4)412240km km∆=-+-=，得2242m k =+，联立226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2221260k x kmx m +++-= 则212122226,11km m x x x x k k-+=-=++ 所以()()1212121212kx m kx m y y k k x x x x ++⋅==()22121212k x x km x x m x x +++= 2222222621161m km k km m k k m k-⎛⎫⋅+-+ ⎪++⎝⎭=-+22266m k m -=- 22242614262k k k +-==-+- 综上，12k k 为定值12-． 21．【详解】（1）r 0＜r ．理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系，①异常点 A ，B 会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小． ③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大． ④42个数据点更贴近其回归直线l ． ⑤44个数据点与其回归直线更离散． （2）由题中数据可得：4242111110.5,7442i i i i x x y y ======∑∑， 所以()()4242114235035042110.5746916iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑，又因为()422113814.5i i x x =-=∑，所以 ()()()1216916ˆ0.50113814.5niii n i i x x yy bx x ==--==≈-∑∑，740.501110.518.64a y bx =-=-⨯≈，所以 0.5018.64y x =+，将125x =代入，得0.5012518.6462.518.6481y =⨯+=+≈， 所以估计B 同学的物理成绩约为81分.（3）424222111174,()52501254242i ii i y y s y y =====-=⨯=∑∑， 所以ξ～N （74，125）≈11.2所以(62.885.2)(7411.27411.2)0.6826P P ξξ<<=-<<+=， 因为~(5000,0.6826)Z B ，所以()50000.68263413E Z =⨯=， 即该地区本次考试物理成绩位于区间（62.8，85.2）的数学期望为3413． 22．【详解】(1)有题意得()111xf x x x-'=-= 由()0f x '>得01x <<，()0f x '<得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在1+，上单调递减.1x ∴=时，()f x 取得极大值，也是最大值为()11f a =-，所以当10a -<，即1a <时，函数()f x 无零点. 当10a -=，即1a =时，函数()f x 有1个零点. 当10a ->，即1a >时，()0aaf e a ea --=--+<()2a a f e a e =-，设()2(1)x u x x e x =->， ()20x u x e '=-<在(1,)+∞恒成立，()u x 在(1,)+∞单调递减，()(1)20u x u e <=-<，所以()0a f e <，()f x 在(,1)a e -，(1,)ae 各有一个零点，函数()f x 有2个零点.综上所述：1a <时，函数()f x 无零点. 1a =时，函数()f x 有1个零点.1a >时，函数()f x 有2个零点.（2）由（1）(1)10f a =->，即1a >时，()f x 有两个零点12,x x ，（12x x <），则1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，由1122ln ln 0x x a x x a -+=-+=，得221211ln ln lnx x x x x x ， 令21x t x =，则1t >，11ln tx x t -=，1ln 1t x t =-， 122ln ln 0x x +<221212ln()001x x x x ⇔<⇔<<，2120x x >显然成立，要证122ln ln 0x x +<，即证2121x x <，只要证33ln 1(1)t t t <-，即证33ln (1)t t t <-，（1t >）， 令33()ln (1)g x t t t =--，(1)0g =，322()ln 3ln 3(1)g t t t t '=+--，(1)0g '=，答案第11页，总11页 令()()h t g t '=，则2223ln 6ln 3()6(1)[ln 2ln 22)t t h t t t t t t t t t'=+--=+-+，(1)0h '=，令22()ln 2ln 22m t t t t t =+-+， 22ln 22()42(ln 12)t m t t t t t t t t'=+-+=+-+，(1)0m '=， 令2()ln 12n t t t t =+-+，1()41n t t t'=-+，0t >时，()n t '是减函数， 所以1t >时，()(1)20n t n ''<=-<，所以()n t 是减函数，()(1)0n t n <=，即()0m t '<（1t >），所以()m t 是减函数，()(1)0m t m <=，所以()0h t '<，()h t 在1t >时是减函数， ()(1)0h t h <=，即()0g t '<，所以()g t 在(1,)+∞上是减函数，()(1)0g t g <=，所以33ln (1)0t t t --<，即33ln (1)t t t <-，综上，122ln ln 0x x +<成立．。

湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}24M x x =≤，{}24xN x =<，则M N =（ ）A ．{}2x x ≤- B ．{}22x x -≤<C ．{}22x x -≤≤D ．{}02x x <<2．已知复数z 满足(2)34z i i +=-(i 为虚数单位)，则||z =（ ）A B C ．D ．53．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）A ．3B ．3C D4．a 是()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（ ） A ．()0f x 的符号不确定 B ．()00f x <C ．()00f x =D ．()00f x >5．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，则AE EC ⋅=（ ）A ．1225B ．2425 1246．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(4x y +-=相交于A ，B 两点，若2AB =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．47．已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）A ．12B ．47C D 8．概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ） A ．甲48枚，乙48枚 B ．甲64枚，乙32枚 C ．甲72枚，乙24枚 D ．甲80枚，乙16枚二、多选题9．已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（ ） A ．若m α⊥，n α⊥，则//m n B ．若//m α，m ∥β，则//αβ C ．若,//m αββ⊥，则m α⊥D ．若//,m αβα⊥，则m β⊥ 10．设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．221c a b=+ D ．121c b a=- 11．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（ ）A ．从中任取3球，恰有一个白球的概率是35B ．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43C ．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为262712．关于函数1()ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ） A ．(1)f 是()f x 的极小值；B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．()f x 在(,1)-∞上单调递减；D ．设()()g x xf x =，则1g g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭.三、填空题13．41()(1)x x x--的展开式中3x 的系数为_____________. 14．已知tan()2,4πα+=则sin 2α=___.15．如图，某湖有一半径为100m 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m 的点A 处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且满足AB AC =，90BAC ∠=︒.定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设AOB θ∠=.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为___________.点O ），直线OM 与E 的另一个交点为N ．若过M 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且△ABN 的面积是△ABO 面积的3倍，则p ＝_____四、解答题17．已知等比数列{}n a 的公比为()1q q >，前n 项和为n S ，若52472S S a -=，且342S a +=.（1）求n a ；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：13111422n n n T +-≤≤-.18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin (2cos )A a B =+． （1）求B ；（2）若△ABC，求△ABC 的周长的最小值．19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是边长为PAC ⊥底面ABCD，PA PC ==（1）求证：PB PD =；（2）点M ，N 分别在棱PA ，PC ，PM AM =，PN CN =，求直线PB 与平面DMN 所成角的正弦值.20．已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的焦距为．（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 有且只有一个公共点，l 与圆x 2+y 2＝6交于A ，B 两点，直线OA ，OB 的斜率分别记为k 1，k 2．试判断k 1∙k 2是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．21．某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x )和物理成绩(y )，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B ．经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：4242421114641,3108,350350,i i i i i i i x y x y ======∑∑∑()124213814.5,i i x x =∑-=()12425250,i i y y =∑-=其中x i ，y i 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i ＝1，2，…，42，y 与x 的相关系数r ＝0.82．（1）若不剔除A ，B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为r 0．试判断r 0与r 的大小关系，并说明理由；（2）求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B 考生加了这次物理考试（已知B 考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）； （3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布()2,N μσ，以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数y 作为μ的估计值，用样本方差s 2作为σ2的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数Z 的数学期望．附：①回归方程y a bx =+中：121()()()niii nii x x yy a y bx b x x ==--==--∑∑，②若()2~,N ξμσ，则()0.6826,(22)0.9544P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈22．已知函数()ln =-+f x x x a ． （1）讨论函数()f x 零点的个数；（2）若函数()f x 存在两个零点()1212,x x x x <，证明：122ln ln 0x x +<．参考答案1．B化简集合M N 、即得解. 解：由题得{}22,{|2}M x x N x x =-≤≤=<， 所以M N ={}22x x -≤<.故选：B 2．B化简得到21155z i =-，再计算复数模得到答案. 解：(2)34z i i +=-，故()()()()34234211211222555i i i i z i i i i ----====-++-，故z ==. 故选：B . 点评：本题考查了复数的运算和复数模，意在考查学生的计算能力. 3．A设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据其表面积为3π，得到23rl r +=，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到r l 2π=π，联立求得半径和高，利用体积公式求解. 解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ， 因为其表面积为3π， 所以23rl r πππ+=， 即23rl r +=，又因为它的侧面展开图是一个半圆， 所以r l 2π=π， 即2l r =，所以1,2,r l h ====所以此圆锥的体积为21133V r h ππ===. 故选：A 点评：本题主要考查圆锥的表面积和体积的计算以及侧面展开图问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．D 【解析】根据函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上是减函数， ()00,0f a x a =<<，可得()()0=0f x f a >，故选D.5．D建立直角坐标系，设(,)E x y ，由AE BD ⊥和//BE BD 可列方程求出点E ，再根据数量积坐标运算即可求解. 解：建立如图所示直角坐标系：则(0,1),(0,0),(2,0),(2,1)A B C D ，设(,)E x y所以()(,1),(,),2,1AE x y BE x y BD =-==AE BD ⊥且//BE BD21020x y x y +-=⎧∴⎨-=⎩，解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩481(,),,5212(,),55555AE EC E ⎛⎫=-=- ∴⎪⎝⎭，8414+552555AE EC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⨯⎭⎝⎭.故选：D 点评：本题考查了向量平行、垂直以及向量数量积的坐标表示，对于规则图形的向量运算通过建立坐标系进行坐标运算比较简便，属于中档题. 6．C设出双曲线的一条渐近线方程，求出圆的圆心和半径，利用圆的弦长公式以及点到直线的距离公式即可求解． 解：解：设双曲线的一条渐近线方程为：by x a=， 又由已知圆的方程可得圆心为(0M，，半径2r ，设圆心M 到渐近线的距离为d，则||2AB ==，所以d =，即21c a=，所以2e =， 故选：C ． 7．B过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.解：过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ， 由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3(,1)2A a +， 所以32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠==所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EADBAC CAD EAD CAD EAD∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠ 31422317122-==+⨯. 故选：B点评：本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题. 8．C根据题意，计算甲乙两人获得96枚金币的概率，据此分析可得答案． 解：根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为12，假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率111132224P =+⨯=， 乙获取96枚金币的概率2111224P =⨯=， 则甲应该获得396724⨯=枚金币；乙应该获得196244⨯=枚金币； 故选：C ． 点评：本题主要考查概率在实际问题中的应用，涉及到独立事件的概率，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题. 9．AD根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 解：根据垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以A 正确； 若l αβ=，当//m α，m ∥β时，平面α与β不一定平行，所以B 不正确；由,//m αββ⊥，则m 可能在平面α内，所以C 不正确；由两平面平行，其中一个平面的垂线也一定垂直于另外一个平面，所以D 也是正确的. 故选：AD. 点评：本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，属于基础题. 10．AD利用与对数定义求出a ，b ，c ，再根据对数的运算性质可得log 4log 92log 6M M M +=，然后进行化简变形即可得到. 解：由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b =，1log 9M c=. log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a=-，去分母整理得，2ab bc ac +=.故选AD. 点评：本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题. 11．ABDA.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X ～B 26,3⎛⎫⎪⎝⎭，再利用方差公式求解判断；C ．设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．由P (B |A )＝()()p A B P A ⋂求解判断；D ．易得每次取到红球的概率P ＝23，然后再利用对立事件求解判断. 解：A.恰有一个白球的概率12243635p C C C==，故A 正确； B.每次任取一球，取到红球次数X ～B 26,3⎛⎫⎪⎝⎭，其方差为22461333⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故B 正确；C ．设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P (A )＝23，P (A ∩B )＝432655⨯=⨯，所以P (B |A )＝()()35p A B P A ⋂=，故C 错误； D ．每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为322611327⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故D正确． 故选：ABD. 12．ABD由函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知选项C 错误，再利用导数求出极小值可判断选项A正确；由1()ln y f x x x x x=-=+-求导，可判断该函数在(0,)+∞上单调递减且1x =时其函数值为0，可判断选项B 正确；对()()1ln g x xf x x x ==+求导，分析单调性，求出最小值可判断选项D 正确. 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知C 错误， 对A ，22111()x f x x x x-'=-+=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，函数()f x 取得极小值(1)1f =，故A 正确； 对B ，1()ln y f x x x x x=-=+-，其定义域为(0,)+∞， 22222131112410x x x y x x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭=-+-==<'， 所以函数()y f x x =-在(0,)+∞上单调递减，又1x =时其函数值为0， 所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确； 对D ，()()1ln g x xf x x x ==+，其定义域为(0,)+∞，()ln 1g x x =+，令()0g x =，得1=x e， 当1(0,)∈x e时，()0g x '<，函数()g x 在1(0,)e上单调递减； 当1(,)∈+∞x e时，()0g x '>，函数()g x 在1(,)e+∞上单调递增， 所以当1=x e 时，函数()g x 取得极小值1()g e，也是最小值，所以1g g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ABD 点评：本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于中档题. 13．5将代数式变形为()()()44411111x x x x x x x=⎛⎫-- ⎪⎝⎭---，写出展开式的通项，令x 的指数为3，求得参数的值，代入通项即可得解. 解：()()()44411111x x x x x x x =-⎛⎫--- ⎝⎭-⎪， 展开式通项为()()44111rrr rr r T xC x C x ++==⋅-⋅-⋅，()()411411k k k k k k C x T C x x+-=⋅--⋅-=⋅-令1313r k +=⎧⎨-=⎩，可得24r k =⎧⎨=⎩，因此，展开式中3x 的系数为24445C C -=.故答案为：5. 14．35设4t πα+=,则tan 2t =,可求得21cos 5t =,由2sin 2sin 2sin 2cos 22cos 142t t t t ππα⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=-=-=-- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭,进而代入求解. 解： 设4t πα+=,则tan 2t =,所以21cos 5t =, 所以23sin 2sin 2sin 2cos 22cos 1425t t t t ππα⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=-=-=--= ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭, 故答案为:35点评：本题考查二倍角公式的应用,考查已知三角函数值求值.15．()225000m先用θ表示AB =θ表示出25100sin 2cos 2OACB S θθ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，最后运用两角和差的正余弦公式求最值即可. 解：在OAB 中，AOB θ∠=，100OB =，200OA =，2222cos AB OB OA OB OA AOB ∴=+-⋅⋅∠，即AB =，211sin 22OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∴=+=⋅⋅⋅+⋅△△，25100sin 2cos 2OACB S θθ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭令tan 2ϕ=，则()251002OACB S θϕ⎤=-+⎥⎦∴直接监测覆盖区域”面积的最大值为()225000m .故答案为：()225000m点评：思路点睛：本题利用余弦定理、三角形面积公式、求sin cos a b θθ+的最值. 16．4由题意设M 的坐标，求出直线OM 的方程，与抛物线E 联立求出N 的坐标，设直线AB 的方程，求出O ，N 到直线AB 的距离，求出△ABN 的面积与△ABO 面积之比，再由△ABN 的面积是△ABO 面积的3倍可得p 的值． 解：设2,2b M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线OM 的方程为2y x b =，即2bx y =，代入y 2＝2px （p ＞0且p ≠1），可得2,2pb y pb x ==，即2,2pb N bp ⎛⎫⎪⎝⎭， 由题意可得显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为2()2b x m y b =-+，即22220x my mb b -+-=，显然220mb b -≠，否则AB 过原点，不符合题意，所以O 到直线AB的距离1d =N 到直线AB 的距离2|1|d p ===-因为22111||231||2ABN ABOAB d S d Sd AB d ⋅===⋅所以3|1|p =-220mb b -≠所以|1|3,0p p -=>，解得4p = 故答案为：4．点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，涉及到三角形面积、点到直线的距离公式等知识，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.17．（1）2nn a =；（2）证明见解析.（1）依题意得到方程求出公比q 、及首项1a ，即可得解； （2）由（1）知122n n S +=-，利用放缩法可得1112n n S +<12n ≤，再利用等比数列求和公式计算可得； 解：解：（1）由题52543441712S S a a a q a a q -++==++=，解得()21q q =>，又342S a +=，即11728a a +=，∴12a =，∴2nn a =.（2）由（1）知122n n S +=-，∴11111222n n n S ++=>-，又11111222222n n n nn S +==≤-+-， ∴1112n n S +<12n ≤，∴当1n =时，112T =，2311422-=，111122-=， 故11113111422T +-≤≤-成立.当2n ≥时，12n T >+34111113122242n n ++++⋅⋅⋅+=-，2311111122222n n n T ≤+++⋅⋅⋅+=-， 综上所述，13111422n n n T +-≤≤-. 点评：本题考查等比数列通项公式及前n 和的计算，以及放缩法证明不等式，属于中档题. 18．（1）23π；（2）4+．（1sin (2cos )A a B =+转化为关于B 的方程，求出∠B ． （2）因为B 已知，所以求面积的最小值即为求ac 的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得． 解：（1sin (2cos )A a B =+，()sin sin 2cos B A A B =+．因为(0,)A π∈，所以sin A ＞0cos 2B B -=， 所以2sin()26B π-=，因为(0,)B π∈，所以62B ππ-=，即23B π=．（2=ac ＝4．所以4a c +≥=，当且仅当2a c ==时取等号．又由余弦定理得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=∴b ≥a ＝c ＝2时取等号．所以△ABC 的周长最小值为4+． 点评：本题主要考查解三角形、基本不等式求最值，考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养，是一道容易题.19．（1）证明见解析；（2.（1）连接BD ，设ACBD O =，连接PO ，通过证明PO BD ⊥可得；（2）以O 为坐标原点，射线,,OB OC OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面DMN 的法向量，利用向量法可求. 解：（1）证明：连接BD ，设ACBD O =，连接PO ，底面ABCD 为正方形，2OA OC OB OD ====∴ PA PC =，PO AC ∴⊥，平面PAC底面ABCD AC =，PO ⊂平面PAC ，PO ∴⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，PO BD ∴⊥，PB PD =∴（2）以O 为坐标原点，射线,,OB OC OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知2OP =，可得(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,0),P A B C D --(0,1,1),(0,1,1),(2,1,1),(0,2,0)M N DM MN -=-=设平面DMN 的法向量(,,)n x y z =， 00DM n MN n ⋅=⋅⋅=200x y z y -+=⎧∴⎨=⎩，今1x =，可得(1,0,2)n =-，(2,0,2)PB =-，cos ,||||22PB n PB n PB n ⋅〈〉===⋅∴直线PB 与平面DMN 点评：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20．（1）22142x y +=；（2）k 1k 2为定值12-．（1）由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，求解a ，b ，c 的值，即可得到椭圆的方程； （2）①当过点P 的直线斜率不存在时，直线的方程为x ＝±2，求得1212k k =-，②当过P 的直线斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，联立直线方程与椭圆方程，由判别式等于0可得m 2＝4k 2+2，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合斜率公式可得12k k 为定值12-． 解：（1）由题意，得222222211c ab c a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,a b ==.∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）k 1k 2为定值12- 理由如下：①当过点P 的直线斜率不存在时，直线的方程为x ＝±2； 当x ＝2时，(2,A B，则1212k k ⎛⋅==- ⎝⎭， 当2x =-时，((2,A B --，则1212k k ⋅==-. ②当过P 的直线斜率存在时，设其方程为()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+，联立22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124240k x kmx m +++-=由题意()()222(4)412240km km∆=-+-=，得2242m k =+，联立226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2221260k x kmx m +++-= 则212122226,11km m x x x x k k-+=-=++ 所以()()1212121212kx m kx m y y k k x x x x ++⋅==()22121212k x x km x x m x x +++=2222222621161m km k km m k k m k -⎛⎫⋅+-+ ⎪++⎝⎭=-+22266m k m -=- 22242614262k k k +-==-+- 综上，12k k 为定值12-． 点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的定值问题，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.21．（1）r 0＜r ，理由详见解析；（2）0.5018.64y x =+，81分；（3）3413．（1）结合散点图，可得出结论；（2）利用题中给的相关系数，最小二乘法写出回归直线方程，再令x ＝125，即可算出答案； （3）算出y ，s 2，得到ξ～N （74，125）≈11.2，所以P （63.8＜ξ＜85.2）＝(7411.27411.2)0.6826,P ξ-<<+≈因为~(5000,0.6826)Z B ，即可算出期望． 解：（1）r 0＜r ．理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系，①异常点 A ，B 会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小． ③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大． ④42个数据点更贴近其回归直线l ．⑤44个数据点与其回归直线更离散．（2）由题中数据可得：4242111110.5,7442i i i i x x y y ======∑∑， 所以()()4242114235035042110.5746916i i i ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑，又因为()422113814.5i i x x =-=∑，所以()()()1216916ˆ0.50113814.5n i i i ni i x x y y b x x ==--==≈-∑∑， 740.501110.518.64a y bx =-=-⨯≈，所以0.5018.64y x =+，将125x =代入，得0.5012518.6462.518.6481y =⨯+=+≈，所以估计B 同学的物理成绩约为81分.（3）424222111174,()52501254242i i i i y y s y y =====-=⨯=∑∑， 所以ξ～N （74，125）≈11.2所以(62.885.2)(7411.27411.2)0.6826P P ξξ<<=-<<+=，因为~(5000,0.6826)Z B ，所以()50000.68263413E Z =⨯=，即该地区本次考试物理成绩位于区间（62.8，85.2）的数学期望为3413．点评：本题考查回归直线方程与正态分布的综合应用，涉及到正态分布的知识，考查学生的数学运算、数据分析、数学建模的能力，是一道中档题.22．（1）1a <时，函数()f x 无零点.1a =时，函数()f x 有1个零点. 1a >时，函数()f x 有2个零点. （2）证明见解析.（1）求出导数()1x f x x -'=，得出函数的单调区间，根据()11f a =-的符号，函数()f x 零点的个数.（2）由（1）知两个零点()1222,x x x x <，1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，零点间关系是1122ln ln x x a x x a -+=-+，变形为2211ln x x x x -=，引入变量21x t x =，则1t >，1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，要证的不等式等价变形为2121x x <，33ln 1(1)t t t <-，即证33ln (1)t t t <-，（1t >），为此引入新函数33()ln (1)g x t t t =--，利用导数研究函数的单调性为减函数，则可证得结论成立，这里需要多次求导变形再求导才可证明．解：(1)有题意得()111x f x x x-'=-= 由()0f x '>得01x <<，()0f x '<得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在1+，上单调递减.1x ∴=时，()f x 取得极大值，也是最大值为()11f a =-，所以当10a -<，即1a <时，函数()f x 无零点.当10a -=，即1a =时，函数()f x 有1个零点.当10a ->，即1a >时，()0a a f e a e a --=--+<()2a a f e a e =-，设()2(1)x u x x e x =->，()20x u x e '=-<在(1,)+∞恒成立，()u x 在(1,)+∞单调递减，()(1)20u x u e <=-<，所以()0a f e <，()f x 在(,1)a e -，(1,)a e 各有一个零点，函数()f x 有2个零点.综上所述：1a <时，函数()f x 无零点.1a =时，函数()f x 有1个零点.1a >时，函数()f x 有2个零点.（2）由（1）(1)10f a =->，即1a >时，()f x 有两个零点12,x x ，（12x x <），则1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，由1122ln ln 0x x a x x a -+=-+=，得221211ln ln ln x x x x x x ， 令21x t x =，则1t >，11ln tx x t -=，1ln 1t x t =-， 122ln ln 0x x +<221212ln()001x x x x ⇔<⇔<<，2120x x >显然成立，要证122ln ln 0x x +<，即证2121x x <， 只要证33ln 1(1)t t t <-，即证33ln (1)t t t <-，（1t >）， 令33()ln (1)g x t t t =--，(1)0g =， 322()ln 3ln 3(1)g t t t t '=+--，(1)0g '=，令()()h t g t '=，则2223ln 6ln 3()6(1)[ln 2ln 22)t t h t t t t t t t t t'=+--=+-+，(1)0h '=，令22()ln 2ln 22m t t t t t =+-+， 22ln 22()42(ln 12)t m t t t t t t t t'=+-+=+-+，(1)0m '=， 令2()ln 12n t t t t =+-+，1()41n t t t'=-+，0t >时，()n t '是减函数， 所以1t >时，()(1)20n t n ''<=-<，所以()n t 是减函数，()(1)0n t n <=，即()0m t '<（1t >），所以()m t 是减函数，()(1)0m t m <=，所以()0h t '<，()h t 在1t >时是减函数， ()(1)0h t h <=，即()0g t '<，所以()g t 在(1,)+∞上是减函数，()(1)0g t g <=，所以33ln (1)0t t t --<，即33ln (1)t t t <-，综上，122ln ln 0x x +<成立．点评：本题考查用导数求函数最值，用导数证明有关函数零点的不等式，掌握导数与单调性的关系是解题基础．证明不等式关键在于转化与化归，如转化为研究函数的最值，研究函数的单调性可能需要多次求导才能得出结论．在需要引入新函数时，应对不等式进行变形，使新函数越来越简单．属于难题.。

湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学上学期第一次适应性考试（一模）试题文（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出所有小于150的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于3的个数即可求解。

【详解】列出所有小于150的三位回文数如下：101,111,121,131,141.从中任取两个数共有10种情况如下：（101,111），（101, 121），（101, 131），（101, 141），（111, 121），（111, 131），（111, 141），（121,131），（121,141），（131,141）.两个回文数的三位数字之和均大于3的有：（121,131），（121,141），（131,141）共3种情况. 两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为：.故选：C【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题。

2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（三）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合A={x|x-2＜0}，B={x|log2(x-1)＜1}，则A∩B=（）A.（-∞，2）B.（1,3）C.（-∞，3）D.（1,2）2、已知复数ii Z 212017-=，则复数Z 的虚部为（ ）A.52-B. 51-C. i 51D. 513、n xa x )(-展开式中所有二项式系数之和是512，常数项为-84，则实数a 的值是（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 24、设a=4.05.0,4.0log ,3.0log 84.0==c b ,则a,b,c 的大小关系是（ ） A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. b<c<a5、运行如图所示的程序框图，若输出的S=－46， 则①处应填（ ） A. k<4？ B. k>4？C. k<5？D. k>5？6、已知ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为A,b,c ，若4,222=-+=bc bc c b a ，则ΔABC 的面积（ ）A.21B. 1C. 3D. 27、已知圆9:22=+y x c ，一个直径为1的小圆E 与 是 圆C 相内切且在圆C 内滚动，若在圆C 内任取一点P ， 否 则P 能被小圆E 覆盖的概率为（ ）A.31B.32C.94D. 95开 始K=1，S=2K=k+1S=2S -3k①输出S结束8、已知实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤--0122304202y x y x y x ， 直线(2+λ)x+(λ-1)y+λ+8=0（λϵR ）过定点A （00,y x ），则0x x y y Z --=的取值范围为（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,114 B. [)+∞,2 C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-114, D. [)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,2114,9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 610、已知焦点为F 的抛物线)0(22＞p px y =上有一点A （m,22）, 以A 为圆心，|AF|为半径的圆被y 轴截得的弦长为52， 则m=（ ）A. 2或-2B. 2C. 1D. 1或-111、已知数列{}n a 的首项1a =3，对任意m, n ϵ*N ，都有n m nm a a a +=.，则当n ≥1时，=+++-1233313log log log n a a a （ ）A. n(2n -1)B. 2)1(+nC. 2nD. 2)1(-n12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=102),4sin(2x 0,log )(2x x x x f π＜＜，若存在实数4321,,,x x x x ，满足4321x x x x ＜＜＜，且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则2143)2()2(x x x x ⋅-⋅-的取值范围是（ ）A. （0,12）B. （4,16）C. （9,21）D. （15,25）132二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学下学期第一次适应性考试（一模）试题文（含解析）第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出所有小于150的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于3的个数即可求解。

【详解】列出所有小于150的三位回文数如下：101,111,121,131,141.从中任取两个数共有10种情况如下：（101,111），（101, 121），（101, 131），（101, 141），（111, 121），（111, 131），（111, 141），（121,131），（121,141），（131,141）.两个回文数的三位数字之和均大于3的有：（121,131），（121,141），（131,141）共3种情况. 两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为：.故选：C【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题。

湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学下学期第一次适应性考试（一模）试题理（含解析）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。

【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE⊥ED，所以等腰直角三角形CED的内切圆半径所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为直角梯形的面积为所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。

4.已知为锐角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。

【详解】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。