第4讲 函数的奇偶性(学案)

第二章基本初等函数、导数及其应用函数的奇偶性及周期性教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源和课梳理1.函数的奇偶性2. 周期性(1)周期函数：对于函数j=/(x),如果存在一个非零常数T,那么就称函数y=/a )为周期函数，称F 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中存在一个正周期.要点整會尸1. 辨明三个易误点 （1）应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.使得当兀取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x)的正数，那么这个最小 正数就叫做沧)的最小（2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. （3）判断函数/（兀）是奇函数，必须对定义域内的每一个x,均有/（一兀）=一/（兀），而不能说存在丸使/（一兀0）=—/（兀0），对于偶函数的判断以此类推.2.活用周期性三个常用结论对/(*)定义域内任一自变量的值(1)®f(x+a)= —f(x)9则T=2a；i⑵若Z(x+a)=y (乂),则T=2a； (1)(3)若f(x-\-a)=—屮(比)“,则T= 2a.3.奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)^ 定义域上的恒等式.(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.(3)设心)，g(x)的定义域分别是Di，6,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇＞＜奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶 =偶,奇乂偶=奇.（2015•高考福建卷）下列函数为奇函数的是（D B. y=e D. j=e x -e"x 双基自测 C ・ j=cosx1.2.已知/(x)=«x 2+Z»x 是定义在［«-1,加］上的偶函数，那 么"+方的值是(B )解析：因为f(x)=ax 2-\-bx 是定义在［«-1,加］上的偶函数, 所以a~l+2a=0,所以 a =-. 3X/(—x)=/(x),所以方=0,所以a+b=£ 3 A.D. 3 23.（2016•河北省五校联盟质量监测）设/（兀）是定义在R上的周期为3的函数，当xe[ - 2, 1)时，f(x)=4x2— 2, — 2WxW 0,X, 0<x<l,B. 1A. 0D. -1解析:因为心）是周期为3的周期函数，所以龙）=/（一扌+3）4.(必修1 P39习题1.3B组T3改编)若/(x)是偶函数且在(0,+ 8)上为增函数，则函数心)在(一8, °)上捋函数5.(必修1 P39习题X3A组T6改编)已知函数/(x)是定义在R 上的奇函数，当xMO时，gx) = x(1+x),则xVO时，/(x) = x(l—x)解析：当xVO时，则一x>0,所以/(—x) = (—x)(1—x)・又/(X)为奇函数，所以/(-x) = -/(x) = (-x)(1-x),所以/(X)=x(1—X)・國例1 (2014-高考安徽卷)若函ft/(x)(xe R)是周期为4的典例剖析护考点突破」 考点一函数的周期性名师导悟以例说法奇函数，且在［0 , 2］上的解析式为/(x)=\x (1—x) , OWxWl, 、sin Ji x, 1<X W2, 5/?)+眉)=—^因为当 1 <xW2 时，/(x)=sin Tix,所以 XS =sinZ r =_2-所以 3因为当 OWxWl 时，/(x)=x(l-x), 所以简兮X 。

1.2.11 函数奇偶性的运用【学习目标】1.会利用奇（偶）函数的图象特征、代数特征研究函数的解析式、函数值和单调性；2.进一步体会数形结合、化归与转化、类比等数学思想．【学习重点】利用函数的奇偶性研究函数的解析式、函数值和单调性．【难点提示】函数奇偶性的综合运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材3336P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备1.知识梳理：为了进一步研究函数奇偶性的应用，请思考以下问题．（1）函数奇偶性的种类有 ；（2）奇函数图象特征是 ，代数特征是 ；（3）偶函数图象特征是 ，代数特征是 ．（4）奇（偶）函数的定义域特点是 ．2.方法梳理：（1）函数奇偶性的判断方法有 、入手点 ；（2）函数奇偶性的价值在： （链接1）.二、探究新知 1. 观察思考已知奇函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增函数，请画出其示意图．（1）根据奇函数的图象特征，你能判断出函数)(x f y =在区间()a b --,上的单调性吗？（2）你能用单调性的定义对你的判断给出严格的证明吗？（3）你能总结出“奇函数与单调性的关系”的一般结论吗？（4）若函数)(x f y =是偶函数呢？你能给出类似于奇函数与单调性的关系的结论吗？ ２.归纳概括通过对以上问题的探究，请填空．（1）奇函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增（减）函数，则函数)(x f y =在区间()a b --,上是 ；（2）偶函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增（减）函数，则函数)(x f y =在区间()a b --,上是 ．●想一想：能否用更简炼的语言概括出以上结论？从上可归纳出函数的单调性与奇偶性的联系与区别？ （链接2）3.快乐体验 （1）若奇函数[]7,3)(在x f 上是增函数,且有最小值5,那么()f x 在[]7,3--上有( )Ａ．增函数且最小值5-； Ｂ．增函数且最大值5-；Ｃ．减函数且最小值5-； Ｄ．减函数且最大值5-.（2）已知函数)(x f 在]5,5[-上是偶函数，)(x f 在]5,0[上是单调函数，且)1()3(-<-f f ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．)3()1(f f <- ；B ．)3()2(f f < ；C ．)5()3(f f <- ；D ．)1()0(f f >.（3）定义在R 上的偶函数)(x f y =在(]0,∞-上是增函数,则)(),(),(102f f f -的大小关系 为__________________________．解后反思 你能归纳出比较函数值大小的方法与步骤吗？解有关奇偶性问题的关键 点、入手点在哪里？三、典型例析例1. 例１、已知定义在R 上的偶函数y ＝f （x ），当),0[+∞∈x 时，2()1f x x x =-+，求)(x f 的解析式，并分析)(x f 在R 上的单调性？思路启迪： 注意分析该题是求什么？想法将),0[+∞∈x 时，2()1f x x x =-+与 偶函数联系起来；回顾分析函数单调性有哪些方法，灵活选择．解：●解后反思 你能归纳出利用函数奇偶性求函数解析式的步骤吗？该题本质求什么？关键是怎样运用函数的偶函数性？讨论单调性有哪些方法？●变式练习 已知定义在R 上的奇函数y ＝f （x ），当),0(+∞∈x 时，2()1f x x x =-+，求)(x f 的解析式，并分析)(x f 在R 上的单调性？解：例2.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞ ，，；B.(1)(01)-∞- ，， C.(1)(1)-∞-+∞ ，，；D.(10)(01)- ，，.思路启迪：该题有具体的解析式吗？没有解析式，可借助什么来分析呢？解：●解后反思 求解该题的关键点、入手点在哪里？●变式练习 定义在区间（－1，1）上的奇函数)(x f y =是减函数,且0)1()1(2<-+-a f a f ,求实数a 的取值范围．例3.函数)(x f y =是R 上的偶函数,)(x f y x =<时，0是增函数,又对于0021><x x ,时,有21x x <,则)()(21x f x f --与的大小关系为_________ ．解：●想一想：偶函数的代数特征是|)(|)()(x f x f x f ==-，你理解它的含义和价值吗？ ●变式练习 定义在[]2,2-上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()f x 为减函数．若 (1)()0f m f m +->，求实数m 的取值范围．解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：奇偶函数定义、代数特征、图象特征、特有的定义域特征都理解与掌握了吗？你能利用奇偶性质研究“函数的图象、解析式、函数值、单调性等”问题吗？2.对本节课你还有独特的见解吗？你找了本节课的数学知识与生活的联系吗？感受到本节课数学知识的美在哪里？（链接3）五、学习评价１.已知函数6()3f x axx =+- ，1)0f =，则f 的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ．3 D ．－32.已知偶函数)(x f y =在)0,+∞⎡⎣上是增函数,则下列不等式正确的是( )A ．)()()(22ππ->->f f fB ．)()()(22->->f f f ππC ．)()()(ππf f f >->-22D ．)()()(22->->f f f ππ ３.奇函数)(x f 在区间)0,(-∞上是减函数，0)2(=f ，则不等式0)1()1(>+-x f x 的解集为（ ）A ．)2,1()1,2(⋃--；B ． ),2()1,3(+∞⋃- ；C ．)1,3(-- ；D ．),2()0,2(+∞⋃-.4.函数y ＝f （x ）（x 0≠）在),0(+∞∈x 时，1)(3+=x x f（1）若函数()f x 是奇函数，则)(x f 的解析式为 ；（2）若函数()f x 是偶函数，则)(x f 的解析式为 ．5. 函数)(x f y =是R 上的奇函数，设函数)()(x xf x F =在区间(]0,∞-上是减函数，试比较)43(-F 与))(1(2R a a a F ∈+-的大小．解：6.已知函数f (x )＝x ＋xm ，且f(1)＝2，g (x )为定义在R 上的奇函数． (1)判断F(x )＝f (x )·g (x )的奇偶性；(2)判断函数)(x f 在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(3)若f (a )>2，求实数a 的取值范围．解：◆承前启后 我们学习了函数的三个中性质，在这以前我们还学习了一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数等，也学习了加、减、乘、除、乘方、开放等运算，那么在数学领域中还有其它运算和其它函数吗？六、学习链接链接1.若函数)(x f y =是奇（偶）函数，根据其图象特征可知，我们只需研究函数在y 轴左侧或右侧部分的性质；链接2. 奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反； 函数的单调性与奇偶性在同一个函数可能同时存在、可能同时不存在、可能单边存在；同时存在函数的单调性是函数的局部性质，函数的奇偶性是函数的整体性；特别提示：对函数的研究，一定离不开对函数的单调性、奇偶性的研究；在解决函数问题时，函数的单调性与奇偶性往往是并肩战斗、团结协作.链接3.这节课的美感太典型了：团结就是胜利！。

函数的奇偶性教学设计孟凡勋内蒙古乌兰浩特一小X-3 -2 -10 1 2 3 fM = x 2 （1）这两个函数图象有什么共同特征？X ・3 •2 0 1 2 3 /（无）=W辅助教学。

6教学策略分析从一线教学來看，两数的奇偶性教学要比单调性的教学较为容易一些，也正因如此一 些一线教师对奇偶性的教学重视不够，基本上是以广而告之式的教学方式进行教学，然后抛 出大量的习题让学生去做。

事实上，高一的学生还没有完全适应高中数学的特点，这种教学 方式不仅会让一部分学生不能适应，而U 还会造成学生不重视概念课的教学，不能体会到概 念的形成过程、不能对概念的本质进行深入的挖掘、不能形成对概念的深刻认识。

学生会错 误的认为高中数学就是解题。

长此以往对学生的学习极为不利。

为此在教学中学生要领悟概 念的生成过程，体会数学的基本思想和方法，本节课的核心思想是数形结合思想。

高一的学 生在领悟思想方法的过程中需要过程和载体，本节内容就是一节体会思想方法的重要载体的 课。

在教学中，给学生较多的时间去作图，思考、举例、沟通是非常重要的。

也是符合新课 程理念的。

因此在教学中采用自主合作，问题导学等教学方法。

教学以“数学知识发生发展的过程和理解数学知识的心理过程为基本线索”让知识自 然的流入学生的头脑之中。

在得到函数的的奇偶性定义时尽可能多的让学生多举出奇函数或 偶函数的例子，如果调动学生的能力不够或启发不当，会造成学生的学习不自然，教师的教 学强加于人，同时概念教学培养学生思维能力的作用会大打折扣。

本节课的教学流程如下：7教学过程（1） 教学引言一直击课题引言在函数的单调性学习中，我们先是从几个特殊的函数图象开始，通过对函数图象 的观察，也即对“形”的认识，从数学直观上体验到函数图彖的上升或下降，乂进一步从“数” 的角度给出函数的单调性定义。

本节课我们用同样的方法来研究函数的奇偶性。

设计意图所谓好的开始是成功的一半，老师的儿句引言对本节课的学习起到提纲挈领 的作用。

函数的奇偶性学案【课前我能行——未闻先知】【学习目标】1、掌握函数奇偶性的定义及其图象的基本特点。

2、学会根据图象判断函数的奇偶性及其根据函数的奇偶性定义论证函数的奇偶性。

3、理解函数的奇偶性是对函数的内部的对称性的研究，要注意将它和两个不同函数之间的对称性相区别。

4、通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，从特殊到一般的概括能力，渗透数形结合的数学思想方法。

【基础知识】函数的奇偶性1. 如果对于函数)(x f 的定义域内 一个x ，都有 ，函数)(x f 就叫偶函数。

偶函数的图象关于 对称。

2. 如果对于函数)(x f 的定义域内 一个x ，都有 ，函数)(x f 就叫奇函数。

奇函数的图象关于 对称。

3.由奇、偶函数的定义可知，奇、偶函数的定义域在数轴上表示的区间关于 对称。

若奇函数的定义域中有零，其图象必过 ,即0)0(=f .4.在公共定义域内，（1）奇函数与奇函数之积是 。

（2）奇函数与偶函数之积是 。

（3）偶函数与偶函数之积是 。

答案提示：1、2见课本，3.原点，原点4.（1）偶函数（2）奇函数(3)偶函数课堂讲练：例1：求证：函数2432)(x x x f -=是偶函数。

证明：函数2432)(x x x f -=的定义域为R. =---=-2432)(）（）（x x x f 2432x x -=)(x f ,所以，)(x f 为R 上的偶函数。

例2：求证：函数5)(x x f =是奇函数。

证明：函数5)(x x f =的定义域为R.()x f x x x f -=-=-=-55)(）（,所以f(x)为R 上的奇函数。

点评：1、奇函数和偶函数的几何意义：关于原点中心对称的函数是奇函数，反之，奇函数的图象关于原点对称； 关于y 轴对称的函数是偶函数，反之，偶函数的图象关于y 轴对称。

2、 证明函数奇偶性的一般步骤？（1）先判断函数的定义域，观察是否关于原点对称；（2）若关于原点对称，在判断f(-x)和f(x)的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数。

函数的奇偶性与单调性的综合学案题型1：证明函数的奇偶性与单调性 例1：已知2()()1xf x x R x =∈+，讨论函数()f x 的性质，并作出图象.例2：函数()f x 的定义域是R ，对任意的实数x ，y 都有()()()f x f y f x y +=+，当0x >，()0f x >，判断函数的奇偶性与单调性。

题型2：函数的奇偶性与单调性的综合应用―――求值例3：若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，求满足2(3)(2)f x f x -=的所有x 的值。

例4：已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x )，则f (6)的值为（ ）.A. －1B. 0C. 1D. 2 题型3：函数的奇偶性与单调性的综合应用―――判断增减性求最值例5：若奇函数()f x 在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（ ）.A. 增函数且最小值是－1B. 增函数且最大值是－1C. 减函数且最大值是－1D. 减函数且最小值是－1例6：若函数2()(1)23f x m x mx =-++是定义在R 上的偶函数，则()f x 在（－5，－2）（ ） A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性 D.单调性由m 来决定题型4：函数的奇偶性与单调性的综合应用―――解不等式例7：若奇函数()f x 的定义域是[]5,5-上的增函数，当[]0,5x ∈时，满足()f x 的图象如图所示，则(1)不等式()0f x <的解集是___________________;（2）不等式()0x f x ⋅<的解集是___________________()f x 且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.例9：若函数()f x 是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（-1，0）]上是减函数，解不等式2(2)(4)0f x f x ---<例10:函数()f x 是定义在(0,)∞上的增函数，且满足()()(),(2)1f a b f a f b f ⋅=+=，解不等式：()(2)3f x f x -->。

2．2.2函数的奇偶性学习目标理解函数奇偶性的定义(难点)；2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法(重点)；3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题(重、难点)．预习教材P41－43，完成下面问题：知识点一函数奇偶性的概念(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．(2)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．【预习评价】1．函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.解析由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，∴a＝1.答案 12．函数f(x)＝x4＋1x2＋1的奇偶性为________．解析∵x∈R，又f(－x)＝(－x)4＋1(－x)2＋1＝x4＋1x2＋1＝f(x)，∴f(x)是偶函数．答案偶函数3．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝1，则f(－2)的值为________．解析∵当x＞0时，f(x)＝1，∴f(2)＝1，又f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－1.答案－1知识点二奇函数、偶函数的图象特征(1)若一个函数是奇函数，则它的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形；反之，若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)若一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．【预习评价】下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？提示①②关于y轴对称，③④关于原点对称．知识点三奇偶性应用中常用结论(1)若函数f(x)是奇函数，且0在定义域内，则必有f(0)＝0.(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反．(3)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)为奇函数⇔b＝0；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数⇔b＝0；常数函数f(x)＝c(c为常数)为偶函数．【预习评价】若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)＜0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的有________．解析 由奇函数的定义可知①②一定正确，对③、④，当x ＝0时，有f (0)＝0，所以③、④均不成立． 答案 ①②题型一 如何证明函数的奇偶性【例1】 (1)证明f (x )＝x 3－x 2x －1是非奇非偶函数；(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；(3)证明f (x )＝1＋x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数； (4)证明f (x )＝⎩⎨⎧－1，x ＜0，1，x ＞0是奇函数；(5)已知f (x )的定义域为R ，证明g (x )＝f (－x )＋f (x )是偶函数． 证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f (x )＝x 3－x 2x －1是非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为偶函数．又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．(4)定义域为{x |x ≠0}．若x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝1，f (x )＝－1， ∴f (－x )＝－f (x )；若x ＞0，则－x ＜0，∴f (－x )＝－1，f (x )＝1， ∴f (－x )＝－f (x )；即对任意x ≠0，都有f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数． (5)∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )＝f (－x )＋f (x )的定义域也为R .对于任意x ∈R ，都有g (－x )＝f (－(－x ))＋f (－x )＝f (－x )＋f (x )＝g (x )， ∴g (x )是偶函数．规律方法 判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f (－x )是否等于±f (x )，或判断f (－x )±f (x )是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．(3)分段函数的奇偶性应分段说明f (－x )与f (x )的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性． 【训练1】 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x2－x是非奇非偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数；(3)证明f (x )＝a －x 2＋x 2－a (a ≥0)既是奇函数又是偶函数； (4)证明f (x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ＜0，x 2，x ＞0是奇函数．证明 (1)由2＋x 2－x≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数．(3)定义域为{－a，a}，因为对定义域内的每一个x，f(x)＝0，f(－x)＝0，－f(x)＝0，∴有f(x)＝f(－x)，f(－x)＝－f(x)成立，∴函数既是奇函数又是偶函数．(4)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝x2，有f(x)＝－x2＝－f(－x)成立；当x＞0时，－x ＜0，f(－x)＝－x2，有f(x)＝x2＝－f(－x)成立，∴有f(－x)＝－f(x)成立，∴f(x)是奇函数．题型二利用函数的奇偶性求值【例2】已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(d)＝10，求f(－d)．解方法一f(d)＝ad5＋bd3＋cd－8，①f(－d)＝a·(－d)5＋b(－d)3＋c·(－d)－8＝－ad5－bd3－cd－8，②①＋②得f(d)＋f(－d)＝－16，∵f(d)＝10，∴f(－d)＝－16－10＝－26.方法二设g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数，由题意可得f(d)＝g(d)－8＝10，∴g(d)＝18.又f(－d)＝g(－d)－8，且g(x)为奇函数，∴g(－d)＝－g(d)，∴f(－d)＝－g(d)－8＝－18－8＝－26.规律方法解决这类由奇偶性求值问题，应先分析给定函数特点，把原函数化为一个奇函数(或偶函数)g(x)和一个常数的和，然后借助奇函数(或偶函数)的性质求出g(－d)．也可以通过两式相加(或相减)达到正负抵消，从而使问题得解．【训练2】函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋2，且f(－3)＝1，则f(3)＝________.解析令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)为奇函数，从而g(3)＝－g(－3)．又因为f(x)＝g(x)＋2，f(－3)＝1，所以g(－3)＝－1，所以g(3)＝1，所以f(3)＝g(3)＋2＝1＋2＝3.答案 3题型三奇(偶)函数图象的对称性的应用【例3】定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)＞0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如下图，(2)xf(x)＞0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)＞0的解集是(－2,0)∪(0,2)．规律方法鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图、求值，求解析式，研究单调性．【训练3】已知f(x)＝xx2＋1在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上递减．试画出f(x)在定义域R上的大致图象，并指出其单调区间．解显然当x＞0时，f(x)＞0.又y＝x2＋1为偶函数，y＝x为奇函数，∴f(x)＝xx2＋1为奇函数，其图象关于原点对称．由此得f(x)＝xx2＋1的图象如下．由图可知f(x)＝xx2＋1的增区间是[－1,1]，减区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)．考查方向奇偶性与单调性的综合应用方向1【例4－1】已知y＝f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)＜0，试判断F(x)＝1f(x)在(－∞，0)上的单调性．解任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则有－x1＞－x2，∴y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)＜0，∴f(－x2)＜f(－x1)＜0，又∵y＝f(x)是奇函数，∴f(x2)＝－f(－x2)，f(x1)＝－f(－x1)，故f(x2)＞f(x1)＞0，于是F(x1)－F(x2)＝1f(x1)－1f(x2)＝f(x2)－f(x1)f(x1)f(x2)＞0，即F(x1)＞F(x2)，所以函数F(x)＝1f(x)在(－∞，0)上是减函数．方向2：求解析式【例4－2】 ①函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，求当x ＜0时，f (x )的解析式；②设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 ①设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， 又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，f (x )＝－x －1. ②∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝1x －1①用－x 代替x 得 f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，②(①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝x x 2－1.方向3：求参数范围【例4－3】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．①求实数m 的值；②若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 ①因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即1－m ＝－(－1＋2)， 解得m ＝2.经检验m ＝2时函数f (x )是奇函数．所以m ＝2. ②要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．规律方法 (1)两个定义：对于f (x )定义域内的任意一个x ，如果都有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (x )为奇函数；如果都有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (x )为偶函数．(2)两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称．(3)证明一个函数是奇函数，必须对f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝ －f (x )．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了． (4)如果知道函数的奇偶性和一个区间[a ，b ]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b ，－a ]上任一点(x ，y )，通过关于原点(或y 轴)的对称点(－x ， －y )(或(－x ，y ))满足的关系式间接找到(x ，y )所满足的解析式． (5)奇偶性对单调性的影响①若奇函数f (x )在[a ，b ]上是单调增函数，且有最大值M ，则f (x )在[－b ，－a ]上是单调增函数，且有最小值－M .②若偶函数f(x)在(－∞，0)上是单调减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．课堂达标1．函数f(x)＝x－2＋－x＋2的奇偶性为________．解析由题意知函数的定义域为{x|x＝2}，不关于原点对称，故该函数既不是奇函数也不是偶函数．答案非奇非偶2．已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)＝f(x)＋x2，若g(－3)＝10，则g(3)的值为________．解析由题意可得g(－x)＝f(－x)＋(－x)2＝－f(x)＋x2，所以g(－x)＋g(x)＝2x2，再由g(－3)＝10得g(3)＝8.答案83．若函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，则m＝________.解析∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，∴m－1＝0，即m＝1.答案 14．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋3x)，那么当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________.解析当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝－x(1＋3－x)＝－x(1－3x)又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－3 x)．高中数学打印版校对完成版本 答案 x (1－3x )5．若奇函数f (x )在(－1,1)上是减函数，且2f (1－m )＜0，求实数m 的取值范围． 解 原式可化为f (1－m )＋f (1－m )＜0⇒f (1－m )＜－f (1－m )⇒f (1－m )＜f (m －1)，又f (x )在(－1,1)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞m －1，－1＜1－m ＜1，⇒0＜m ＜1.－1＜m －1＜1即实数m 的取值范围是(0,1)．课堂小结1．定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的一个必要条件，f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)． 3．(1)若f (x )＝0且f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.。

函数的奇偶性学案--优质课竞赛一等奖
函数的奇偶性——偶函数学案
研究要求：
1.通过函数图像理解偶函数的概念；
2.能够利用定义判断偶函数；
3.能够解决一些简单问题，如作图、求解析式等；
4.通过研究，更深刻地理解生活中的对称美。

偶函数的定义和性质：
定义：对于定义在区间上的函数，若对于任意的都有，则称为偶函数。

性质：
1.偶函数的图像关于y轴对称；
2.偶函数的解析式中只含有偶次幂的项；
3.偶函数在其定义域内关于原点对称。

应用：
偶函数在数学中有广泛的应用，如余弦函数、正弦函数等都是偶函数。

在物理、化学等领域，偶函数也有着重要的应用，如电子云密度分布函数、热力学性质函数等。

创设情景兴趣导入：
1.图片欣赏：观察以下函数图像，将其分类为轴对称和中
心对称图形。

2.观察函数图像：f(x)=|x|，填充表格，探究其特点。

3.观察函数图像，判断其是否关于y轴对称。

4.若一个函数的图像关于y轴对称，那么它的定义域应该
有什么特点？偶函数的定义。

典型例题：
判断下列函数是否为偶函数：
1.f(x)=x^4；
2.f(x)=x，x∈(−3,3]；
3.f(x)=|x|；
4.f(x)=x−1；
5.f(x)=2.
判断偶函数的方法：
方法一：定义法。

判断一个函数是否为偶函数的基本步骤：（1）一看：函数是否对称；（2）二找：函数的定义域是否关于原点对称；（3）三判断：函数是否满足偶函数的定义。

方法二：图像法。

观察函数的图像是否关于y轴对称。

第4讲 函数奇偶性及运用（教师版）一．学习目标1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系．3．会利用函数的奇偶性解决简单问题．二．重点难点1．对函数奇偶性概念的理解．(难点)2．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(重点)3．函数奇偶性的应用．(难点、易错点)三．知识梳理1.函数的奇偶性：（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2 确定f (－x )与f (x )的关系；○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0或1)()(=-x f x f （0)(≠x f ） ，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0或1)()(-=-x f x f （0)(≠x f ），则f (x )是奇函数。

（3）函数奇偶性的简单性质：○1图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇(4) 常见的几种函数的奇偶性（1）()b kx x f +=：当且仅当b=0时为奇函数。

函数的奇偶性与周期性教学案 1一、一、 三维教学目标三维教学目标1.1.知识目标：知识目标：知识目标：了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法掌握函数的奇偶性的定义及图象特征；方法掌握函数的奇偶性的定义及图象特征；2.2.能力目标：能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题能力目标：能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题能力目标：能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题3．情感目标：进一步强化学生努力探索的能力；．情感目标：进一步强化学生努力探索的能力；二、考试目标二、考试目标 主词填空主词填空主词填空 1.f(x)1.f(x)是奇函数的充要条件是任取是奇函数的充要条件是任取＿＿，必有＿＿＿＿且＿＿＿＿＿，奇函数的图像关于＿＿＿＿＿＿＿成＿＿＿＿＿＿对称函数的图像关于＿＿＿＿＿＿＿成＿＿＿＿＿＿对称. .2.f(x)2.f(x)是偶函数的充要条件是任取是偶函数的充要条件是任取＿＿＿＿，必有＿＿＿＿且＿＿＿，偶函数的图像关于＿＿＿＿＿＿成轴对称成轴对称..3.3.奇函数之和是＿＿＿＿＿＿奇函数之和是＿＿＿＿＿＿奇函数之和是＿＿＿＿＿＿..偶函数之和是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿偶函数之和是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4.4.对于函数对于函数y =f (x )，且x ∈A ，当此函数满足条件＿＿＿＿＿＿，T 是非零常数且＿＿＿＿＿＿＿＿＿时，称y =f (x )是A 上的周期函数上的周期函数. .三 题型示例题型示例 归纳点拨归纳点拨归纳点拨 1、判断函数奇偶性的步骤与方法、判断函数奇偶性的步骤与方法1 .判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性： (1)x x x x f -+-=11)1()( (2)2|2|)1lg()(22---=x x x f (3)ïîïíì>+-<+=00)(22x xx x x x x f ,（4） f (x )=x x x x --+-7777； 2. 对于定义域为R 的任意奇函数)(x f 都有都有( ) ( ) Ａ．0)()(=--x f x f Ｂ．0)()(£--x f x fＣ．0)()(£-x f x f Ｄ．0)()(>-x f x f3．若)(x f y =在),0[+¥Îx 时的表达式)1(x x y -=且)(x f 为奇函数为奇函数,,则 ]0,(-¥Îx 时,)(x f =（ ）Ａ．)1(x x -- Ｂ．)1(x x + Ｃ．)1(x x +- Ｄ．)1(-x x4．设)()1221()(x f x F x -+=是偶函数是偶函数,,且0)(¹x f ,则)(x f 奇偶性为奇偶性为 ． 5．已知2)(7+-=bx ax x f ,且17)5(=-f ,则=)5(f ．6．已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，且定义域为[]a a 2,1-，则a ＝ ，b ＝7. 7. 已知已知)0)(21121()(¹+-=x x x f x .（1）判断)(x f 的奇偶性的奇偶性;;（2）证明0)(>x f .8. 已知)(x f 是以p 2为周期的奇函数为周期的奇函数,,且1)2(-=-p f ,那么=)25(p f ．9. （天津卷）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则对称，则)5()4()3()2()1(f f f f f ++++＝_________.7. 已知函数)(x f y =满足)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++),(R y R x ÎÎ且 0)0(¹f ，证明，证明 )(x f 为偶函数．为偶函数．四、对应训练四、对应训练 分阶提升分阶提升分阶提升1.1.若若f (x )在［在［--a ，a ］(a >0)>0)上是单调奇函数，且上是单调奇函数，且f(2a )>f(3a )，则下列各式一定成立的是一定成立的是A.f(-4a )>f(-5a )B.f(-4a )<f(-5a)C.f(0)<f(-2a )D.(2a )>f(a)2.2.已知已知f(x)=a 0+a 1x+a 2x 2+…a 2004x 2004，若f (1)=100(1)=100，则，则f (-1)= ( )A.100B.-100C.20D.-203.f (x )是奇函数，当x ∈R +时，时，f(x)f(x)f(x)∈∈(]m ,¥-(m<0)(m<0)，则，则f (x )的值域可能是的值域可能是A.A.［［m ，-m -m］］B.(]m ,¥-C.[)+¥-,mD.(]m ,¥-∪[)+¥-,m4.4.设设y =f (x )是R 上的奇函数，一定在y =f (x )的图像上的点是的图像上的点是 ( ) ( )A.(a A.(a，，f(-a))B.(-a ，-f(a))C.(-a C.(-a，，-f(-a))D.(a 1，-f (a 1))5.5.如果奇函数如果奇函数f (x )当1≤x ≤4时的解析式为f (x )=x 2-4x +5+5，，则当则当-4-4-4≤≤x ≤-1时，f (x )的最大值为的最大值为 ( ) ( )A.5B.-5C.-2D.-1 6.6.设设f (x )是R 上的奇函数，且x ∈R +时，f (x )=log 2(2x +1)+1)，则当，则当x ∈R - 时，f (x )= ( )A.log 2(2x +1)B.-log 2(2x +1)C.log 2(1-2x )D.-log 2(1-2x )7.7.已知奇函数已知奇函数f (x )在区间［-b ，-a ］上单调减且最小值为20042004，则，则g (x )=-|f (x )|)|在［在［a ，b ］上］上 ( ) ( )A.A.单调减且最大值为单调减且最大值为单调减且最大值为-2004-2004B.单调增且最小值为增且最小值为-2004-2004C.C.单调减且最小值为单调减且最小值为单调减且最小值为-2004-2004D.单调增且最大值为单调增且最大值为-2004 -2004 8.8.已知已知f (x )=x 3+bx 2+c x 是R 上的奇函数，动点P (b ，c )描绘的图形是描绘的图形是A.A.椭圆椭圆椭圆B. B.抛物线抛物线C. C.直线直线D. D.双曲线9.9.偶函数偶函数f (x )在［在［00，3］上单调增，则下列各式成立的是］上单调增，则下列各式成立的是 ( ) ( )A.f (-1)<f (2)<f (3)B.f (2)<f (3)<f (1)C.f (2)<f (-1)<f (3)D.f (-1)<f (3)<f (2) 10.10.若若y =g(x )是偶函数，那么f 1(x )=g(x )-1和f 2(x )=g (x -1) ( )A.A.都不是偶函数都不是偶函数都不是偶函数B. B.都不是奇函数 C.C.都是偶函数都是偶函数都是偶函数 D. D.只有一个是偶函数只有一个是偶函数五、总结与反思五、总结与反思1.1.要从数和形两个角度函数的奇偶性，要从数和形两个角度函数的奇偶性，充分利用)(x f 与)(x f -之间的转化和图象特征解决有关问题；解题中注意以下性质的运用：图象特征解决有关问题；解题中注意以下性质的运用：①)(x f 为偶函数Û|)(|)(x f x f =,②若奇函数)(x f 的定义域含0，则0)0(=f .2.2.利用函数的周期性，可转化为求函数值的问题；利用函数的周期性，可转化为求函数值的问题；利用函数的周期性，可转化为求函数值的问题；3.3.判断函数奇偶性时首先要看定义域是否关于原点对称判断函数奇偶性时首先要看定义域是否关于原点对称判断函数奇偶性时首先要看定义域是否关于原点对称. .函数的奇偶性与周期性教学案同步测试 21、若)(x f )(R x Î是奇函数，则下列各点中，在曲线)(x f y =上的点是上的点是（A ）))(,(a f a - （B ）))sin (,sin (a --a -f （C ）))1(lg ,lg (af a -- （D ）))(,(a f a --2、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2(Tf（A ）0 （B ）2T （C ）T （D ）2T - 3、已知)()()(y f x f y x f +=+对任意实数y x ,都成立，则函数)(x f 是（A ）奇函数）奇函数 （B ）偶函数）偶函数（C ）可以是奇函数也可以是偶函数）可以是奇函数也可以是偶函数 （D ）不能判定奇偶性）不能判定奇偶性4、（05福建卷）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（在区间（00，6）内解的个数的最小值是）内解的个数的最小值是 A ．5 B ．4 C ．3 D ．25、 （05山东卷）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是上单调递减的是（A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x xf x a a -=+（D ）2()ln 2xf x x -=+ 6、（04年全国卷一年全国卷一..理2）已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f x x x f 则若 A ．b B ．－．－b C b C ．b 1 D ．－b1 7、（04年福建卷年福建卷..理1111））定义在R 上的偶函数f(x)f(x)满足满足f(x)=f(x+2)f(x)=f(x+2)，，当x ∈[3[3，，5]5]时，时，时，f(x)=2-|x-4|f(x)=2-|x-4|f(x)=2-|x-4|，则，则，则（A ）f(sin6p )<f(cos 6p ) （B ）f(sin1)>f(cos1) （C ）f(cos 32p )<f(sin 32p ) （D ）f(cos2)>f(sin2) 8、(97(97理科理科理科))定义在区间定义在区间(-(-(-∞∞,+,+∞∞)的奇函数的奇函数f(x)f(x)f(x)为增函数；为增函数；偶函数偶函数g(x)g(x)g(x)在区间在区间［0,+0,+∞∞)的图象与的图象与f(x)f(x)f(x)的图象重合的图象重合设a>b>0,a>b>0,给出下列不等式给出下列不等式给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④(a)-f(-b)<g(b)-g(-a), 其中成立的是其中成立的是(A)(A)①与④①与④①与④ (B) (B)②与③②与③②与③ (C)(C)①与③①与③①与③ (D)(D)②与④②与④②与④9、已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0³x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为的解析式为_______________ _______________1010、定义在、定义在)1,1(-上的奇函数1)(2+++=nx x mxx f ，则常数=m ____,=n _____1111、下列函数的奇偶性为、下列函数的奇偶性为、下列函数的奇偶性为 （1） ；（2） .（1）x e x f x -+=)1ln()(2 （2）îíì<+³-=)0()1()0()1()(x x x x x x x f1212、已知、已知)21121()(+-=x x x f ，（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）证明：0)(>x f13、定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围的范围. .1414、设、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意]21,0[,21Îx x，都有)()()(2121x f x f x x f =+. (I)设2)1(=f ，求)41(),21(f f ；(II)(II)证明证明)(x f 是周期函数是周期函数. .。

一【基础训练】1、已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．2、设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.3、设函数f (x )是定义在R 上以3为周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是________．4、设函数f (x )是奇函数且周期为3，f (－1)＝－1，则f (2 014)＝________5、设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为________．二、【重点讲解】1． 奇、偶函数的概念2． 函数奇偶性的判断(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的______条件；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．3． 奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_______．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是______；②两个偶函数的和、积都是______；③一个奇函数，一个偶函数的积是_____．(3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性_____；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性_____． (4)若f (x )为偶函数，则_______．(5)若奇函数f (x )定义域中含有0，则必有_______．f (0)＝0是f (x )为奇函数的______条件．(6)既奇又偶的函数有_____个(如f (x )＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．3． 周期性(1)周期函数：(2)最小正周期：三、【典题拓展】例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9；(2)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ；(3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.下列函数：①f (x )＝x 3－x ；②f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；③f (x )＝3x －3－x 2；④f (x )＝lg 1－x 1＋x . 其中奇函数的个数是________．例2 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.例3设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间．例4已知函数f (x )＝1＋ax 2x ＋b(a ≠0)是奇函数，并且函数f (x )的图象经过点(1,3) (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )的值域．四、【训练巩固】1． 设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x ) (x ∈R )是偶函数，则实数a ＝________.2． 已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.3． 函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．5.设f (x )＝log a 1－mx x －1为奇函数，g (x )＝f (x )＋log a [(x －1)(ax ＋1)](a ＞1，且m ≠1)． (1)求m 的值；(2)求g (x )的定义域；(3)若g (x )在⎣⎡⎦⎤－52，－32上恒正，求a 的取值范围．。

函数的奇偶性学案优质课竞赛一等奖一、引言在数学学科中，函数的奇偶性是一种重要的概念。

研究函数的奇偶性可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像。

本文将介绍如何讲解函数的奇偶性以及如何设计一堂优质的课程来帮助学生理解这一概念。

通过本课程的教学实践，我荣获了函数的奇偶性学案优质课竞赛的一等奖，以下将详细介绍课程设计的内容和教学效果。

二、课程设计2.1 教学目标设置本课程旨在帮助学生掌握函数奇偶性的概念，理解奇函数和偶函数的性质以及在图像上的表现。

具体的教学目标如下：（1）理解奇函数和偶函数的定义和性质；（2）学会判断给定函数的奇偶性；（3）通过作图观察，掌握函数奇偶性在图像上的特征；（4）通过解决实际问题，培养学生应用函数奇偶性的能力。

2.2 教学内容和教学方法本课程的主要内容包括：（1）奇函数和偶函数的定义与性质；（2）函数奇偶性的判断方法；（3）函数奇偶性在图像上的展示；（4）应用函数奇偶性解决实际问题。

本课程将采用多种教学方法，包括讲解、讨论、示例演练和实际应用，以帮助学生更好地理解函数的奇偶性概念和应用。

2.3 课程实施步骤（1）导入环节：通过一个生活实例引入奇函数和偶函数的概念，激发学生的学习兴趣；（2）概念讲解：讲解奇函数和偶函数的定义和性质，帮助学生理解函数的奇偶性；（3）判断方法讲解：介绍常见函数类型的奇偶性判断方法，例如幂函数、三角函数和指数函数等；（4）图像展示：通过作图展示不同函数类型的奇偶性在图像上的特征，帮助学生直观感受函数奇偶性的表现；（5）练习与讨论：提供一系列函数奇偶性的判断题目，引导学生进行讨论和解答，巩固理论知识；（6）实际应用：设计一些实际问题，引导学生运用函数的奇偶性解决问题，培养学生的应用能力；（7）课堂总结：总结本节课的主要内容，强调函数奇偶性在数学中的重要性。

三、教学实施与效果评价在实际教学过程中，我采用了丰富多样的教学方法，让学生参与课堂，提高学生的主动性和思维能力。