2021学年高中数学2.4.1函数的奇偶性导学案北师大版必修一.doc

§1．3．2函数的奇偶性（1）教学目标：知识目标——理解函数的奇偶性并能熟练应用数形结合的数学思想解决、推导问题；能应用奇偶性的知识解决简单的函数问题。

能力目标——通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想；培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。

情感目标—— 通过构建和谐的课堂教学氛围,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性；养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。

教学分析：教学重点：函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性的步骤； 教学难点：对函数奇偶性概念的理解与认识 教学方法：诱思引探鼓励法 教学工具：多媒体课件 教学过程一、 创设情景，激发兴趣（多媒体投放图片） 二、 实例引入，初步感知请比较下列两组函数图象，从对称的角度，你发现了什么 ？2()f x x = ||)(x x f =y 轴对称师：再观察表1和表2，你看出了什么？ 表1x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=|x|321 0123表2生：当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值相等。

三、实验体验，加以体会 【探究】图象关于轴对称的函数满足：对定义域内的任意一个,都有。

反之也成立吗？（超级链接几何画板演示）师：从以上的讨论，你能够得到什么？（师生讨论，共同完善，形成概念，老师板书偶函数定义）一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数；师：仿此请观察下面两组图象，你能给出关于原点对称的函数图象与式子之间的关系，进而给出奇函数的定义吗？一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数。

问题1：具有奇偶性函数的图象的对称如何？师：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。

问题2：函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？师：函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 。

函数奇偶性的教学教案一、教学目标理解函数奇偶性的概念及性质；能够判断函数的奇偶性，并了解常见函数的奇偶性；学会应用函数奇偶性解决实际问题；培养学生的数学思维能力和创新意识。

二、教学内容本节课教学内容为函数的奇偶性，包括奇函数、偶函数、非奇非偶函数等概念及其判断方法。

三、教学过程导入新课通过复习函数的定义及性质，引出函数的奇偶性。

新课教学（1）奇函数和偶函数的概念定义：对于函数f(x)，如果对于任意一个x∈D(D为函数的定义域)，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)称为偶函数；如果对于任意一个x∈D，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)称为奇函数。

（2）常见函数的奇偶性a. 正比例函数f(x)=kx (k≠0)是奇函数，因为f(-x)=-f(x)。

b. 一次函数f(x)=kx+b (k≠0)是非奇非偶函数，因为f(-x)=kx-b≠f(x)。

c. 反比例函数f(x)=k/x (k≠0)是奇函数，因为f(-x)=-f(x)。

d. 二次函数f(x)=ax^2+bx+c (a≠0)是非奇非偶函数，因为f(-x)=ax^2-bx+c≠f(x)。

（3）如何判断函数的奇偶性a. 首先确定函数的定义域是否关于原点对称；b. 其次计算f(-x)与f(x)或-f(x)的关系，判断函数是奇函数、偶函数还是非奇非偶函数。

（4）应用举例通过具体例子的判断，加深学生对函数奇偶性的理解。

课堂练习（1）让学生判断一些函数的奇偶性；（2）让学生自己举出一些函数的奇偶性的例子。

四、教学反思本节课教学内容比较简单，学生容易理解。

但需要注意一些细节，如：判断函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称；其次要计算f(-x)与f(x)或-f(x)的关系。

在实际应用中，要注意将函数的奇偶性与函数的单调性、周期性等其他性质结合起来，才能更好地理解函数的性质。

同时，培养学生的数学思维能力和创新意识也是本节课的重要目标之一。

函 数 的 奇 偶 性和平中学 朱飞鸽教学目标：1、学习函数奇偶性的概念；2、利用定义判断简单函数的奇偶性3、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。

教学重点：函数的奇偶性及其建立过程，判断函数的奇偶性方法与格式 教学难点：对函数奇偶性概念的理解与认识教学过程： 一、新课引入1、智力测验题：现有10枚硬币，摆成一个等边三角形，试只移动其中的3枚使三角形的方向改变。

引导学生寻找其中的原因和规律：由于中间部分是个正六边形，即是个中心对称图形，而等边三角形的三个顶点恰在相间的三条边上，所以只需移动这三枚硬币到另三条边上即可改变方向；而且我们把它看成一个轴对称图形也可解决问题。

小结：由此可见该智力题的解决关键是我们把握了图形的对称性，而实际生活中对称性的应用远非仅仅解决智力题，它在许多地方起着极其重要的作用，例如：火箭为保持飞行方向和飞行平稳，尾翼称中心对称设计；汽车为易于驾驶设计成轴对称等等。

2美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，我们学校刚刚落成的综合大楼，它们都具有对称的美。

对称也是函数图象的一个重要特征，通过图象的对称进而得到函数（函数值变化）的一个重要性质。

今天，让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习。

（板书课题） 二、新课讲述请同学们观察图像填写下表让学生叙述自己（对函数值间的变化特征）的发现：Λ),2()2(),1()1(f f f f =-=-适时引入课件，加深印象。

（板书概念）一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

再注意观察x x g 1)(=的图象，显然xx g 1)(=不是偶函数，那么它随自变量的改变函数值间存在怎样的变化规律呢？引入课件，加深印象。

引导学生利用类比的方法得出结论，并试述概念。

（由教师板书概念）一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-, 那么函数)(x f 就叫做奇函数。

§4 函数的奇偶性与简单的幂函数4.1 函数的奇偶性A 级必备知识基础练1.(多选题)下列函数是奇函数的有( )A.y=x(x -1)x -1B.y=-3xC.y=x-2xD.y=πx 3-35x 2.(2022安徽合肥高一期末)若奇函数f (x )在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f (x )在区间[1,2]上( )A.单调递增,且有最小值f (1)B.单调递增,且有最大值f (1)C.单调递减,且有最小值f (2)D.单调递减,且有最大值f (2)3.若函数f (x )=(k-2)x 2+(k-1)x+3是偶函数,则f (x )的单调递减区间是. 4.定义在R 上的偶函数f (x ),对任意的x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0,则f (3),f (-2),f (1)的大小关系为 .5.若函数f (x )={2x 2+7x -4,x >0,g(x),x <0为奇函数,则f (g (-1))= . 6.已知函数f (x )=x 5+ax 3+bx-8,且f (-2)=10,则f (2)= .7.已知奇函数f (x )的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出在区间[-5,0]上的图象;(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合.8.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.9.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数;③f(1-a)+f(1-a2)<0.求实数a的取值范围.B级关键能力提升练10.(2021陕西西安长安一中高一月考)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数11.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在区间(-∞,0)上()A.有最小值-5B.有最大值-5C.有最小值-1D.有最大值-312.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是()A.(-∞,-4]∪[-2,+∞)B.[-4,-2]∪[0,+∞)C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.(-∞,-4]∪[0,+∞)13.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间[2,7]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)= .14.如果f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)<5的解集是.15.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象<0的解集是.如图所示,则不等式f(x)g(x)16.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.(1)求出函数f(x)的解析式;(2)求出函数f(x)的值域.C级学科素养创新练17.(2021吉林高一月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)求出函数f(x)在R上的解析式;(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,x∈[1,2],求函数g(x)的最小值.4.1函数的奇偶性1.BCD先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,D中函数定义域均为R,且f(-x)=-f(x),故为奇函数;选项C中函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),也是奇函数.2.C因为奇函数的图象关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.3.[0,+∞)因为函数f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1,所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为[0,+∞).4.f(3)<f(-2)<f(1)由已知条件可知f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(3)<f(2)<f(1).再由偶函数的性质得f(3)<f(-2)<f(1).5.-81当x<0时,-x>0.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=2(-x)2-7x-4=2x2-7x-4,所以f(x)=-2x2+7x+4.即g(x)=-2x2+7x+4,因此,f(g(-1))=f(-5)=-50-35+4=-81.6.-26令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,所以h(-2)=f(-2)+8=18,所以h(2)=-h(-2)=-18,所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.7.解(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.(2)由图象知,使函数值f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).8.解∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数,∴当x>0时,-x<0,则f (-x )=x 2-3x+2,故f (x )=-f (-x )=3x-x 2-2.∴当x ∈[1,32]时,f (x )单调递增;当x ∈(32,3]时,f (x )单调递减.因此当x ∈[1,3]时,f (x )max =f (32)=14,f (x )min =f (3)=-2.∴m=14,n=-2,从而m-n=94.9.解∵f (x )为奇函数,∴f (1-a 2)=-f (a 2-1),∴f (1-a )+f (1-a 2)<0⇒f (1-a )<-f (1-a 2)⇒f (1-a )<f (a 2-1).∵f (x )在定义域(-1,1)上是减函数,∴{1-a >a 2-1,-1<1-a <1,-1<a 2-1<1,解得0<a<1,故实数a 的取值范围为(0,1).10.C ∵f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,∴f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ).对于A,f (-x )g (-x )=-f (x )g (x ),故f (x )g (x )是奇函数,故A 错误;对于B,|f (-x )|g (-x )=|-f (x )|g (x )=|f (x )|g (x ),故|f (x )|g (x )是偶函数,故B 错误;对于C,f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|,故f (x )|g (x )|是奇函数,故C 正确;对于D,|f (-x )g (-x )|=|f (x )g (x )|,故|f (x )g (x )|是偶函数,故D 错误.故选C .11.C ∵函数f (x )和g (x )都是奇函数,∴F (x )-2=af (x )+bg (x )为奇函数.又F (x )在区间(0,+∞)上有最大值5,∴F (x )-2在区间(0,+∞)上有最大值3,F (x )-2在区间(-∞,0)上有最小值-3,∴F (x )在区间(-∞,0)上有最小值-1.12.A g (x )=f (x-2)的图象是将函数f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的,又g (x )=f (x-2)的图象关于原点对称,所以函数f (x )的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f (0)=g (2)=0,f (-4)=g (-2)=-g (2)=0,f (-2)=g (0)=0,结合函数的图象,由xf (x )≤0可知{x ≥0,f(x)≤0或{x <0,f(x)≥0.结合图象可知x ≥0或-2≤x<0或x ≤-4.故不等式xf (x )≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A .13.-15 根据题意,f (x )是定义在区间(-8,a )上的奇函数,则a=8.又由f (x )在区间[2,7]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,则f (6)=a=8,f (3)=-1.函数f (x )是奇函数,则f (-6)=-8,f (-3)=1.则2f (-6)+f (-3)=2×(-8)+1=-15.14.(-7,3) 因为f (x )为偶函数,所以f (|x+2|)=f (x+2),则f (x+2)<5可化为f (|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,所以|x+2|<5,解得-7<x<3,所以不等式f (x+2)的解集是(-7,3).15.{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3} 不等式f(x)g(x)<0可化为f (x )g (x )<0,由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).∵y=f (x )是偶函数,y=g (x )是奇函数,∴f (x )g (x )是奇函数,∴当x<0时,f (x )g (x )<0的解集为(-2,-1).综上,不等式f(x)g(x)<0的解集是{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3}.16.解(1)∵f (x )的图象经过点(-2,0),∴0=-2+b ,即b=2.∴当x ≤-1时,f (x )=x+2.∵f (x )为偶函数,∴当x ≥1时,f (x )=f (-x )=-x+2.当-1≤x ≤1时,依题意设f (x )=ax 2+2(a ≠0),则1=a ·(-1)2+2,∴a=-1.∴当-1≤x ≤1时,f (x )=-x 2+2.综上,f (x )={x +2,x ≤-1,-x 2+2,-1<x <1,-x +2,x ≥1.(2)当x ≤-1时,f (x )=x+2∈(-∞,1];当-1<x<1时,f (x )=-x 2+2∈(1,2];当x ≥1时,f (x )=-x+2∈(-∞,1].综上所述,f (x )的值域为(-∞,2].17.解(1)由题意知当x ≥0时,f (x )=x 2-2x=(x-1)2-1,此时函数f (x )的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).又函数f (x )为偶函数,所以当x<0时,其单调递增区间为(-1,0), 所以函数f (x )的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).(2)设x<0,则-x>0,所以f (-x )=(-x )2-2(-x )=x 2+2x ,由已知f (x )=f (-x ),所以当x<0时,f (x )=x 2+2x ,所以f (x )={x 2-2x(x ≥0),x 2+2x(x <0).(3)由(2)可得g (x )=x 2-(2a+2)x+2,x ∈[1,2],对称轴为直线x=a+1.当a+1<1,即a<0时,函数g (x )在区间[1,2]上单调递增, 故函数g (x )的最小值为g (1)=1-2a ;当1≤a+1≤2,即0≤a ≤1时,函数g (x )在对称轴处取得最小值, 故函数g (x )的最小值为g (1+a )=-a 2-2a+1;当a+1>2,即a>1时,函数g (x )在区间[1,2]上单调递减, 故函数g (x )的最小值为g (2)=2-4a.综上,函数g (x )的最小值为g (x )min ={1-2a,a <0,-a 2-2a +1,0≤a ≤1,2-4a,a >1.。

1.3.2 函数的奇偶性主核授人授班姓名知与技能 : 1、理解函数的奇偶性概念及其性；2、能判断一些函数的奇偶性。

导3、能运用函数奇偶性的代数特征和几何意解决一些的。

过程与方法 : 察、、比、想等分析的程，通具体例，体会从入学习目标同时渗透类比、数形结合的思想 .特殊到一般和从一般到特殊的事物律的方法。

学情感、态度与价值观 : 在探究偶、奇函数的概念及性的程中，增合作意，体成，感受喜悦，磨意志。

培养自主探究、小合作，培养合作的良好．习学习重点函数的奇偶性及性质；学习难点判断函数奇偶性的方法及格式．【预习新知】教材 P33 34 ，自主完成察下思考并以下：（1）两个函数像有什么共同特征？（2）填函数表，找出 f ( x) 与 f (x) 什么关系？（3）种关系是否任意x 都成立(从解析式入手)？自主yy2 2o2xoxx ⋯-3 -2 -1 0 1 2 3 ⋯f ( x) x2 ⋯9 41 0 ⋯x ⋯-3 -2 -1 0 1 2 3 ⋯学f (x) 2- x ⋯ 2 1 0 -1 ⋯习探究一：偶函数概念1、定：一般地，如果于函数 f ( x) 的内一个x，都有，那么函数 f (x) 就叫做偶函数2、性：（定域、几何意、解析式）【小试牛刀】1、 判断下列函数是否 偶函数？f ( x)= x 211（ 1）（ 2） f ( x)= x 2（ 3） f (x)=x ，x( 2,1)（4） f ( x)= x+12x2、 出 f ( x)=像的一部分，根据性 画出在y 左 像．2+1xy2o2x探究二：奇函数概念观察函数 f ( x)= x 和 f ( x)=1的 像， 并完成下面两个函数 表，你能 两个函数有什么x共同特征 ？yyox o xx⋯ -3 -2 -1 0 12 3⋯f ( x) x⋯⋯x⋯ -3 -2 -1 012 3⋯1 ⋯⋯f (x )x1、定 ：一般地，如果 于函数f ( x) 的内一个 x ，都有，那么函数 f (x) 就叫做奇函数2、性 ：（定 域、几何意 、解析式）例1 判断下列函数的奇偶性：（ 1）f (x)=x21 （ 2）x（ 3）f (x)=2 x+1 （ 4）f ( x)= xf (x)=c (c0)合作学变式训练：判断函数 f ( x)=c 的奇偶性【规律总结】例 2 函数f ( x)ax 22x 是奇函数，则 a________.习变式训练：若 f (x) ax 2 (b 1)x 3a b 是偶函数，定义域为a 1,2 a，则a b 等于()A. 1B. 2C. 4 D．23 3 3 【规律总结】【当堂检测】1．若函数y ( x 1)( x a ) 为偶函数，则a( )A.-2B.-1C.1D.22. 下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )应用3. 已知函数f ( x)是定义在区间 a 1,2 a 上的奇函数，则实数 a 的值为( )A．01D．不确定B． 1 C.34．已知y f ( x) 是奇函数.若 g(x) f ( x)+2 且 g (1) 1，则 g( 1) ．5. 已知f ( x) 是偶函数， g( x) 是奇函数，试将下图补充完整．y yf ( x)g ( x)学o x o x习m，且 f (1)=3 .6．已知函数f (x)=xx(1) 求m； (2) 判断函数 f ( x) 的奇偶性．【课堂小结】。

第10课时幂函数及函数的奇偶性1.通过实例,了解幂函数的概念,结合函数的图像,了解它的变化情况.2.理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.3.会利用定义证明简单函数的奇偶性.4.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法.取一X白纸,在其上画出平面直角坐标系,并在第一象限任画一可作为函数图像的图形,然后按如下操作:以y轴为折痕将纸对折,并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形.问题1:一个函数,底数是自变量x,指数是常量α,即y=xα,这样的函数叫作幂函数,幂函数的特点有:①指数为常数;②底数为自变量;③系数为1,④它的图像恒过定点.问题2:对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有,那么f(x)就叫作奇函数;它的图像关于对称.对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有,那么f(x)就叫作偶函数;它的图像关于对称.问题3:在幂函数的表达式中,当α>0和α<0时,幂函数有下列性质:(1)当α>0时,幂函数的图像过点、,并且在区间[0,+∞)上为函数;(2)当α<0时,幂函数的图像过点,在区间(0,+∞)上是函数,在第一象限内,当x从右边趋于原点时,图像在y轴右方无限地逼近轴,当x趋向+∞时,图像在轴上方无限地逼近轴.问题4:奇函数和偶函数的和、差、积、商(分母不能为0)的特点:偶函数的和、差、积、商(分母不能为0)仍为函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇数个奇函数的积为函数,偶数个奇函数的积为函数;一个奇函数与一个偶函数的积为函数.1.下列函数中为幂函数的是().A.y=2x2B.y=x2+1C.y=D.y=2x2.下面四个结论:①偶函数的图像一定与y轴相交;②奇函数的图像一定过原点;③偶函数的图像一定关于y轴对称;④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是y=0(x∈R).其中正确的结论的个数是().A.1B.23.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)=.4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,求当x∈(0,+∞)时,f(x)的解析式.幂函数的概念在函数y=,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂函数的个数为().A.0B.1C.2D.3简单幂函数的图像与性质分别写出函数y=x0,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的定义域和值域,并在同一直角坐标系中画出它们的图像.判断函数的奇偶性(1)函数f(x)=x2+().A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数(2)函数y=x|x|+px,x∈R,则f(x)().A.是偶函数B.是奇函数C.不具有奇偶性D.奇偶性与p有关幂函数图像过点(2,),则它的单调递增区间是().A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞) 比较下列各组数的大小:(1)和3.;(2)-和-(;(3)(-和(-;(4)4.,3.和(-1.9.1.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=5;(2)f(x)=+;(3)f(x)=.2.判断函数(x-1)的奇偶性.1.下列幂函数中,是奇函数且在(0,+∞)内递增的为().A.y=B.y=xC.y=D.y=x22.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为().A.-1B.03.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图像,则f(-2)的值是.4.判断函数f(x)=的奇偶性.如图所示,曲线是幂函数y=xα在第一象限的图像,已知α可取±2、±四个值,则相应的曲线C2的α值为().D.考题变式(我来改编):答案第10课时幂函数及函数的奇偶性知识体系梳理问题1:(1,1)问题2:f(-x)=-f(x)原点f(-x)=f(x)y轴问题3:(1)(0,0)(1,1)增(2)(1,1)减y x x问题4:偶奇偶奇基础学习交流1.C根据幂函数的定义知,A、B、D均不是幂函数,C中函数化为y=x-2,符合幂函数的定义,故选C.2.A偶函数的图像一定关于y轴对称,但不一定与y轴相交,如y=x-2,故①错误,③正确;奇函数的图像关于原点对称,但不一定过原点,如y=x-1,故②不正确;若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数,由定义可得f(x)=0,但未必x∈R,如x∈(-1,1), x∈{-1,1}等,只要其定义域关于原点对称,都满足条件,故④错误.所以四个结论中只有③正确,故选A.3.-5因为f(x)是R上的奇函数,故f(-x)=-f(x),所以f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5.4.解:设x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),因为当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,所以f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4,又函数f(x)是定义在 (-∞,+∞)上的偶函数,于是,f(-x)=f(x),所以f(x)=-x-x4.重点难点探究探究一:【解析】函数y==x-2为幂函数;函数y=2x2的系数不是“1”,∴它不是幂函数;函数y=x2+x是两个函数的和的形式,∴它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不是同一函数,∴它也不是幂函数,故选B.【答案】B【小结】判断一个函数是否为幂函数,依据是该函数是否为形如y=xα(α为常数)的形式,函数的解析式为一个幂的形式.探究二:【解析】①y=x0,定义域为{x|x≠0},值域为{1};②y=x,定义域为R,值域为R;③y=x2,定义域为R,值域为{y|y≥0};④y=x3,定义域为R,值域为R;⑤y=,定义域为{x|x≥0},值域为{y|y≥0};⑥y=x-1,定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}.【小结】(1)对于幂函数的性质,要结合图像熟记,并且要灵活运用.已知幂函数的图像特征或性质求解析式时,常用待定系数法;判断幂函数的单调性时,通常借助于其指数的符号来分析.(2)幂函数与其他函数相比,其图像的位置和形状变化更加复杂,因为幂函数的指数稍有变化,其图像就有可能发生很大的变化,因此,要学会归纳总结,并举一反三.探究三:【解析】(1)由于函数的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数,故选C.(2)因为该函数的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=-x|x|-px=-(x|x|+px)=-f(x),所以该函数是奇函数,故选B.【答案】(1)C(2)B【小结】用定义法判断函数的奇偶性必须先求函数的定义域,当定义域不关于原点对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,再判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等.思维拓展应用应用一:C设幂函数的解析式为y=xα,则=2α,解得α=-2,即幂函数为y=x-2,由于指数小于0,则在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数,所以选C.应用二:(1)函数y=在(0,+∞)上为减函数,又3<3.1,所以>3..(2)-=-(,函数y=在(0,+∞)上为增函数,又>,则(>(,从而-<-(.(3)(-=(,(-=(,函数y=在(0,+∞)上为减函数,又>,所以(-<(-.(4)4.>=1,0<3.<=1,(-1.9<0,所以(-1.9<3.<=1<4.,所以(-1.9<3.<4..应用三:1.(1)该函数的定义域为R,且f(-x)=f(x)=5,所以它是偶函数.从图像上看,函数的图像是平行于x轴的直线,关于y轴对称,所以它是偶函数.(2)由x2-1≥0且1-x2≥0,得x2=1,∴x=±1,即函数的定义域为{-1,1},则f(x)=0,所以该函数既是奇函数又是偶函数.(3)函数的定义域为{x|x∈R且x≠1},不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.2.∵f(x)=(x-1)=,∴f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.[问题]上述解法正确吗?[结论]不正确,本题出错的原因是对函数奇偶性概念理解不透彻,一拿到题就直接求解f(-x)与f(x)、-f(x)的关系,忽视了函数定义域,从而导致出错.正确解答如下:∵≥0⇒x≤-1或x>1.∴函数的定义域为(-∞,-1]∪(1,+∞).由于函数的定义域在数轴上不关于原点对称, ∴函数为非奇非偶函数.基础智能检测1.B y=在(0,+∞)上为减函数;y=是非奇非偶函数;y=x2为偶函数,所以A、C、D均不正确,选B.2.B f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0).又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,∴f(6)=0.3.-由图像知f(2)=.∵函数y=f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f(2)=-.4.解:由题意知,函数f(x)的定义域是R,关于原点对称.当x>0时,f(x)=x(x-1),则-x<0, ∴f(-x)=-(-x)(-x+1)=-x(x-1)=-f(x).当x<0时,f(x)=-x(x+1),则-x>0,∴f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1)=-f(x).当x=0时,f(0)=0,f(-0)=0,f(-0)=-f(0).综上所得,对任意x∈R,总有f(-x)=-f(x)成立,∴f(x)是奇函数.全新视角拓展D在第一象限幂函数的图像,当α>0时为增函数,当α<0时为减函数,所以所求α的值为正,又当0<α<1时,曲线是向上凸的,所以C2对应的函数为y=.思维导图构建常数自变量f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点。

《函数的单调性》题目：函数的奇偶性与周期性高考要求：了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题知识点归纳：1函数的奇偶性的定义；2奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=4若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =5判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；6牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；7判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- 8设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇1判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(-x)= ±f(x) f(-x) +f(x)=0；2讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点； 3若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性5若存在常数T ，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x 恒成立，则称T 为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f (x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求（5）函数的周期性定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期例：（1）若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01，-上是增函数，且)()2(x f x f -=+则①)(x f 关于 对称；②)(x f 的周期为 ；③)(x f 在（1，2）是 函数（增、减）；④）时，，（若10∈x )(x f =x 2，则=)(log 1821f（2）设)(x f 是定义在),(+∞-∞上，以2为周期的周期函数，且)(x f 为偶函数，在区间[2，3]上，)(x f =4)3(22+--x ,则时，]2,0[∈x )(x f = 题型讲解：1.对函数单调性和奇偶性定义的理解例4下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是（）A1 B2 C3 D4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零2复合函数的性质复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：(1)单调性规律如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f (u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数(2)奇偶性规律若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g (x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数例6甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km ／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决故所求函数及其定义域为但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm／h，所以(2)的解决需要论函数的增减性来解决由于v1v2＞0，v2-v1＞0，并且又S＞0，所以即则当v=c时，y取最小值说明：此题是1997年全国高考试题由于限制汽车行驶速度不得超过c ，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大例1判断下列各函数的奇偶性：（1）()(f x x =-（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--； （3）22(0)()(0)x x x f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 解：（1）由101x x+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数 （2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-， ∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-， ∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数 （3）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数例2已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称在()()()f x y f x f y +=+中， 令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =，∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数（2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-例3（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =，则()f x的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ （2） （《高考A 计划》考点3“智能训练第4题”）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ B ） A 12()()f x f x ->- B 12()()f x f x -<-C 12()()f x f x ->-D 12()()f x f x -<-例4设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈（1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值解：（1）当0a =时，2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++，∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数（2）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++， 若12a ≤，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+； 若12a >，函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+，且1()()2f f a ≤ ②当x a ≥时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+， 若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-，且1()()2f f a -≤；若12a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+ 综上，当12a ≤-时，函数()f x 的最小值是34a -，当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +， 当12a >，函数()f x 的最小值是34a +例4已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-，又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-，∴(1)(4)0f f +=②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->，由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =，∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01f x k xx =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-， ∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩学生练习1函数f(x)=x 2/(x 2+bx+1)是偶函数，则b=2函数F(x)=(1+2/(2x -1))f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x) ( A )(A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)既是奇函数，又是偶函数 (D)非奇非偶函数3已知函数f(x)=x 2+lg(x+12+x ),若f(a)=M,则f(-a)等于 （ A ）(A)2a 2-M (B)M -2a 2 (C)2M -a 2 (D)a 2-2M5若对正常数m 和任意实数x,等式1()()1()f x f x m f x ++=-成立,则下列说法正确的是 ( )A. 函数()f x 是周期函数,最小正周期为2mB. 函数()f x 是奇函数,但不是周期函数C.函数()f x 是周期函数,最小正周期为4 mD.函数()f x 是偶函数,但不是周期函数(利用周期函数的定义证明答案:C)4已知f(x) 是奇函数，且当x ∈(0,1)时，f(x)=ln(1/(1+x)),那么当x ∈(-1,0)时，f(x)= ln(1-x)5试将函数y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数之和6判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)（非奇非偶函数）;(2)f(x)=x/(a x -1)+x/2 (a>0且a≠1)(偶函数）(3)f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-0)1(0)1(22x x x x x x （偶函数）说明奇偶性的对称条件和分段函数奇偶性的判别方法7已知f(x),g(x)都是奇函数，f(x)>0的解集是(a 2,b),g(x)>0的解集是(a 2/2,b/2),则f(x)g(x)>0的解集是8定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0,+∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中正确不等式的序号是 9 (1)已知函数f(x)的周期为4，且等式f(2+x)=f(2-x)对一切x ∈R 恒成立，求证f(x)为偶函数；(2)设奇函数f(x)的定义域为R ，且f(x+4)=f(x),当x ∈[4,6]时，f(x)=2x +1,求f(x)在区间[-2,0]上的表达式 (-(2-x+4+1) (-2≤x ≤0))课前后备注。