吉林省吉林市朝鲜族中学高中数学(必修一)学案 1.3.2函数的奇偶性(2)

1.3.2《函数的奇偶性》教学设计一、教材分析“奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。

奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的，入手，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为是续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。

因此，本节课起着承上启下的重要作用。

学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。

二、学情分析从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。

同时，刚刚学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。

从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。

但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。

三、教学目标分析【知识与技能】使学生理解函数奇偶性的概念、图象，并能判断一些简单函数的奇偶性.【过程与方法】通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想方法【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。

四、教学重点和难点重点：函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性难点：对函数奇偶性概念的理解与认识五、教学方法:引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。

六、教学手段:PPT课件。

七、教学过程在日常生活中,我们经常会接触到一些外形十分对称的物体,如飞翔的小鸟,美丽的蝴蝶,巴黎的埃菲尔铁塔,风车等这些对称的物体常常给我们一种美的感受,其实,这种美在我们数学里面也有大量的体现,这节课我们就来感受一下数学的对称美.。

五步教学设计模式（高一、二）教学案： 函数奇偶性的概念 主备人：张威 必修一一、教学目标：1.理解函数奇偶性的含义及其几何意义;2.掌握会判断函数的奇偶性;3.能用函数的奇偶性与图象的对称性解答有关问题二、.教学重点：函数奇偶性的含义及其几何意义、函数奇偶性的判断及应用;教学难点：函数奇偶性的含义及其几何意义的理解.二、预习导学（一） 知识梳理1．一般地,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=f (x ),那么函数f (x )就叫做偶函数.2．一般地,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=-f (x ),那么函数f (x )就叫做奇函数.（二）1.奇、偶函数的图象有怎样的对称性?提示:偶函数的图象关于y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称.2．若函数f(x)=0,x ∈(a>0),试判断函数f(x)的奇偶性.提示:∵f(x)的定义域为(a>0),且关于原点对称,又∵f(x)=0,∴f(-x)=0.∴f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x).∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.三、问题引领，知识探究1.分析奇函数、偶函数的定义,它们的定义域有什么特点?提示:由定义知,-x 与x 要成对出现,所以定义域应关于原点对称.2.在判断函数奇偶性时,能用特值代替吗?提示:不能.奇偶性是对定义域内的所有自变量的取值而言的.例1判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x+x 21;(2)f(x)=x2-|x|+1;(3)f(x)=3x+1.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又 f(-x)=)21(21x x x x +-=--=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1=f(x),∴f(x)是偶函数.(3)f(x)的定义域为R,f(1)=4,f(-1)=-2,∴f(1)≠f(-1),f(-1)≠-f(1).∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.练习1f (x )=x 3+x ，判断函数的奇偶性:思路分析:判断函数的奇偶性,首先要判断函数定义域是否关于原点对称,再判断f (-x )与f(x)的关系.解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),∴函数f(x)是奇函数.例2判断函数f(x)=的奇偶性.思路分析:分x>0和x<0两种情况计算f(-x),然后再判断f(-x)与f(x)的关系.解:函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.①当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x).②当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x).由①②知,当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,都有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.练习2.判断函数f(x)=的奇偶性.解:函数的定义域关于原点对称.当x>0时,-x<0,f(-x)=(-x)=-x(1+x)=-f(x);当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)=-x(1-x)=-f(x).∴对于定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.例3已知函数f(x)=是奇函数,求实数b的值.思路分析:由f(x)是奇函数可得恒等式f(-x)=-f(x),从而列出关于b的方程,求出b的值. 解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即=-,∴-x+b=-(x+b),即2b=0,∴b=0.练习3若函数f(x)=2x2+(a-1)x+2是偶函数,则实数a的值是.答案:1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).∴2x2-(a-1)x+2=2x2+(a-1)x+2,即2(a-1)x=0.∵上式对任意x都成立,∴a-1=0,即a=1.函数奇偶性可按如下方法判断:(1)判断所给函数的定义域是否关于原点对称;(2)当函数的定义域关于原点对称时,判断f(-x)与f(x)的关系:如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则函数为偶函数;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则函数既是奇函数又是偶函数.如果函数的定义域不关于原点对称,或在函数f(x)定义域内存在一个x,不满足f(-x)=-f(x)也不满足f(-x)=f(x),则函数既不是奇函数又不是偶函数.四、目标检测1.已知函数f(x)是定义在区间上的奇函数,则实数a的值为()A.0B.1C.D.不确定2.函数f(x)=x2+的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1B.y=-x2C.y=D.y=x|x|4．4.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)的值是.3答案: 1.C 2. D 3.D.-2五、分层配餐A组课本 p75 练习1,2B组全优设计当堂检测 5。

奇偶性教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数＝与＝－既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．三维目标．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．课时安排课时导入新课思路．同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与轴对称的函数展开研究．思路．结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数＝和＝的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．推进新课(\\(新知探究))(\\(提出问题))()如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．图()如何利用函数的解析式描述函数的图象关于轴对称呢？填写表和表，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？()偶函数的图象有什么特征？()函数()＝，∈[－]是偶函数吗？()偶函数的定义域有什么特征？()观察函数()＝和()＝的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生：()观察图象的对称性．()学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．()利用函数的解析式来描述．()偶函数的性质：图象关于轴对称．()函数()＝，∈[－]的图象关于轴不对称；对定义域[－]内＝，(－)不存在，即其函数的定义域中任意一个的相反数－不一定也在定义域内，即(－)＝()不恒成立．()偶函数的定义域中任意一个的相反数－一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．()先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则－也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质．讨论结果：()这两个函数之间的图象都关于轴对称．()(－)＝()；(－)＝()；(－)＝()．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个，都有(－)＝()．()一般地，如果对于函数()的定义域内的任意一个，都有(－)＝()，那么函数()就叫做偶函数．()偶函数的图象关于轴对称．()不是偶函数．()偶函数的定义域关于原点对称．()一般地，如果对于函数()的定义域内的任意一个，都有(－)＝－()，那么函数()就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称．(\\(应用示例))思路例判断下列函数的奇偶性：()()＝；()()＝；。

11. 3.2函数的奇偶性【教学目标】1.理解函数的奇偶性及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.学会判断函数的奇偶性； 【教学重难点】教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式【教学过程】（一）创设情景，揭示课题“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．2()f x x = ()||1f x x =- 21()x x x=通过讨论归纳：函数2()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数21()f x x =是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．（二）研探新知 函数的奇偶性定义： 1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．2．奇函数2一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维． 例1．判断下列函数是否是偶函数．（1）2()[1,2]f x xx =∈-（2）32()1x x f x x -=-解：函数2(),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．函数32()1x x f x x -=-也不是偶函数，因为它的定义域为}{|1x x R x ∈≠且，并不关于原点对称．点评：判断函数的奇偶性，先看函数的定义域。

课题：§1.3.2函数的奇偶性教学目的：(1) 理解函数的奇偶性及其几何意义；(2) 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； (3) 学会判断函数的奇偶性． 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式． 教学过程：一、 创设情景，引入课题“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共同特征？ 观察：1.3-7思考并讨论以下问题：（1）这两个函数图像有什么共同特征吗？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这特征的？ 二、 新知讲解（一）函数的奇偶性定义这两个函数的图像都关于y 轴对称。

那么如何用函数解析式描述函数图像这一特征呢？从函数值对应表可以看到，当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值相同。

1．偶函数一般地，对于函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有)()-(x f x f =，那么)(x f 就叫做偶函数． 2. 奇函数一般地，对于函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有)(-)-(x f x f =，那么)(x f 就叫做奇函数． 注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．（二）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称； 奇函数的图象关于原点对称．三、例题讲解1．判断函数的奇偶性例1．（1）xx x f 1)(+= （2）x x f x+=3)( （3）122)(2++=x xx f x总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 判断其定义域是否关于原点对称 ○3确定)-(x f 与)(x f 的关系； ④ 作出相应结论：若)()-(x f x f = ，则)(x f 是偶函数； 若)(-)-(x f x f =，则)(x f 是奇函数．2．利用函数的奇偶性补全函数的图象 教材思考题p35规律：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．四、巩固练习 教材2135、练习p五、课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质． 六、 布置作业、教材1题组习题63.139A pP 782、课时训练/item.htm?id=12327084811§1.3.2函数的奇偶性说课稿内江十一中廖美一．教材分析1.教材内容本节课是人教版高中数学必修一第一章《集合与函数概念》§1.3.2函数的基本性质的第二课时，该课主要学习奇函数，偶函数的定义及其图像特征，以及应用定义判断函数的奇偶性并解决一些简单问题.2.地位和作用函数的性质是研究函数的基石，函数的奇偶性是继函数的单调性之后学习的函数的另一个重要性质.函数的奇偶性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又为后续研究指数函数，对数函数，三角函数概念性质作了准备。

高中数学教案《函数的奇偶性》章节一：函数奇偶性的概念引入教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 掌握函数奇偶性的性质。

教学内容：1. 引入奇偶性的概念；2. 举例说明奇偶性的判断方法；3. 总结奇偶性的性质。

教学步骤：1. 引入奇偶性的概念，让学生思考日常生活中遇到的奇偶性例子；2. 给出函数奇偶性的定义，解释奇偶性的判断方法；3. 通过具体例子，让学生学会判断函数的奇偶性；4. 引导学生总结奇偶性的性质。

教学评估：1. 课堂提问，了解学生对奇偶性概念的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用奇偶性的判断方法。

章节二：奇函数和偶函数的性质教学目标：1. 理解奇函数和偶函数的性质；2. 学会运用奇偶性解决实际问题。

教学内容：1. 介绍奇函数和偶函数的性质；2. 举例说明奇偶性在实际问题中的应用。

教学步骤：1. 回顾奇偶性的概念，引导学生理解奇函数和偶函数的性质；2. 通过具体例子，让学生学会运用奇偶性解决实际问题；3. 总结奇偶性在实际问题中的应用。

教学评估：1. 课堂提问，了解学生对奇偶性性质的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用奇偶性解决实际问题。

章节三：函数奇偶性的判定定理教学目标：1. 理解函数奇偶性的判定定理；2. 学会运用判定定理判断函数的奇偶性。

教学内容：1. 介绍函数奇偶性的判定定理；2. 举例说明判定定理的运用方法。

教学步骤：1. 引导学生理解函数奇偶性的判定定理；2. 通过具体例子，让学生学会运用判定定理判断函数的奇偶性；3. 总结判定定理的运用方法。

教学评估：1. 课堂提问，了解学生对判定定理的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用判定定理判断函数的奇偶性。

章节四：函数奇偶性在实际问题中的应用教学目标：1. 理解函数奇偶性在实际问题中的应用；2. 学会运用奇偶性解决实际问题。

教学内容：1. 介绍函数奇偶性在实际问题中的应用；2. 举例说明奇偶性在实际问题中的解决方法。

§1．3．2函数的奇偶性（1）教学目标：知识目标——理解函数的奇偶性并能熟练应用数形结合的数学思想解决、推导问题；能应用奇偶性的知识解决简单的函数问题。

能力目标——通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想；培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。

情感目标—— 通过构建和谐的课堂教学氛围,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性；养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。

教学分析：教学重点：函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性的步骤； 教学难点：对函数奇偶性概念的理解与认识 教学方法：诱思引探鼓励法 教学工具：多媒体课件 教学过程一、 创设情景，激发兴趣（多媒体投放图片） 二、 实例引入，初步感知请比较下列两组函数图象，从对称的角度，你发现了什么 ？2()f x x = ||)(x x f =y 轴对称师：再观察表1和表2，你看出了什么？ 表1x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=|x|321 0123表2生：当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值相等。

三、实验体验，加以体会 【探究】图象关于轴对称的函数满足：对定义域内的任意一个,都有。

反之也成立吗？（超级链接几何画板演示）师：从以上的讨论，你能够得到什么？（师生讨论，共同完善，形成概念，老师板书偶函数定义）一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数；师：仿此请观察下面两组图象，你能给出关于原点对称的函数图象与式子之间的关系，进而给出奇函数的定义吗？一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数。

问题1：具有奇偶性函数的图象的对称如何？师：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。

问题2：函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？师：函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 。

§1.3.2函数的奇偶性 学案学习目标：1、理解函数奇偶性的概念及其图象特征2、学会判断函数的奇偶性3、学会运用奇偶函数的图象研究函数的一些简单的性质4、培养自己观察、抽象的能力；从特殊到一般的概括、归纳能力；注意数形结合思想 学习内容：（同学们，为了更好的完成本节课的学习任务，请大家务必提前认真完成以下任务！）下图是y x y 12==和的图象图（1） 图（2）观察上图不难发现：图（1）关于y 轴对称，图（2）关于原点对称．而且任意两个对称点的共同特征是：横坐标（自变量）互为相反数．那么你能发现两个对称点的纵坐标（函数值）)(0x f -与)(0x f 的关系吗？如果你发现了它们的关系，现在如果把图象类似图（1）的函数命名为偶函数；图象类似图（2）的函数命名为奇函数．你试着根据你发现的关系归纳出奇函数和偶函数的定义：完成了以上任务后，你现在已经知道了奇函数和偶函数定义及其图象特征，接下来不妨小试身手吧！一、 熟悉定义（这部分必须做）1、 判断下列函数的奇偶性①5)(x x f = ②21)(xx f = ③x x f =)( ④x x x f +=1)( ⑤|2||2|)(--+=x x x f ⑥1)(=x f ⑦1)1()(--=x x x x f 2、 已知函数)(x f y =是奇函数，如果1)(=a f ，那么=-)(a f _______ 变式：设函数)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，32)(-=xx f ，则)2(-f 等于（ ） 笔记：笔记：(-0(x -2xA ．1-B ．114C ．1D ．114- 3、已知)(x f 是奇函数，且在0=x 处有定义，试求)0(f 的值．（提示：利用定义） 若)(x f 是偶函数，且在0=x 处有定义，你还能确定)0(f 的值吗？二、引伸提高（这部分根据自己的实际情况尽量去做）例1、设)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,则)2(f 与))(32(2R a a a f ∈+-的大小关系是（A ．)2(f <)32(2+-a a fB ．)2(f ≥)32(2+-a a fC ．)2(f >)32(2+-a a fD ．与a 的取值有关练习、设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间)0,(-∞上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f ，则a 的取值范围是_______ ．例2、已知)(x f 为偶函数，)(x g 是奇函数，且2)()(2-+=-x x x g x f ，求)(x f 与)(x g 的解析式．练习、已知)(x f 、)(x g 的定义域均为R ，)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且1)()(2+-=+x x x g x f ，求)(x f 的解析式．例3、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，12)(+-=x x f ，那么当0>x 时，)(x f 的解析式为 ．练习、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，0>x 时，32)(2-+-=x x x f ，那么当0<x 时，)(x f 的解析式为 ．上题变式：(1) 求)(x f 的解析式；(2) 画出)(x f y =的图像；(3) 求出)(x f 的单调区间．。

第一章集合与函数概念1.3 函数的基本性质1.3.2 奇偶性学习目标①理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力;②学会运用函数图象理解和研究函数的性质,掌握判断函数的奇偶性的方法,渗透数形结合的数学思想.合作学习一、设计问题,创设情境众所周知,我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请大家想一下有哪些美呢?(有和谐美、自然美、对称美…)今天,我们就来讨论对称美,请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢?(在屏幕上给出一组图片:喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志.)把生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?下面,我们以麦当劳的标志为例,给它适当地建立直角坐标系,那么大家发现了什么特点呢?二、自主探索,尝试解决问题1:如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.问题2:那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢?填写表1和表2,你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征?表1表2三、信息交流,揭示规律问题3:请给出偶函数的定义.1.偶函数的定义问题4:偶函数的图象有什么特征?问题5:函数f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数吗?问题6:偶函数的定义域有什么特征?问题7:观察函数f(x)=x和f(x)=的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质.2.奇函数的定义给出偶函数和奇函数的定义后,要指明:(1)(2)(3)(4)(5)四、运用规律,解决问题【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5;(3)f(x)=x+;(4)f(x)=.【例2】已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)= .【例3】已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(3)试比较f(-)与f()的大小.五、变式演练,深化提高1.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x4,x∈[-3,1];(2)f(x)=-;(3)f(x)=-+;(4)f(x)=.2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+,求f(x).3.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.六、反思小结,观点提炼本节课主要学习了函数的什么性质?如何判断或证明此性质?七、作业精选,巩固提高课本P39习题1.3 A组第6题,B组第3题.参考答案问题2:这两个函数的解析式都满足:f(-3)=f(3);f(-2)=f(2);f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于函数定义域内任一个x,都有f(-x)=f(x).表1表2问题3:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.问题4:偶函数的图象关于y轴对称.问题5:函数f(x)=x2,x∈[-1,2]的图象关于y轴不对称;对定义域[-1,2]内x=2,f(-2)不存在,即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定在定义域内,即f(-x)=f(x)不恒成立,所以不是偶函数.问题6:偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内,此时称函数的定义域关于原点对称.问题7:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称,其定义域关于原点对称.(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;(2)由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称);(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称;(4)可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法;(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质,是“整体”性质,而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质,是“局部”性质.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x), 所以函数f(x)=x4是偶函数.(2)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函数f(x)=x5是奇函数.(3)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x,都有f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x),-所以函数f(x)=x+是奇函数.(4)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x,都有==f(x),f(-x)=-所以函数f(x)=是偶函数.点评:利用定义判断函数奇偶性的步骤:①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;②确定f(-x)与f(x)的关系;③作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.【例2】解析:当x∈(0,+∞)时,则-x<0.又∵当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,∴f(x)=f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.答案:-x-x4点评:本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性,求函数的解析式时,要充分利用函数的奇偶性的定义,将所求解析式对应的区间上的函数值转化为已知解析式对应的区间上的函数值.【例3】解:(1)令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.令x1=x2=-1,得f(1)=f[-1×(-1)]=f(-1)+f(-1),∴2f(-1)=0.∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).∴f(x)是偶函数.(2)设x2>x1>0,则f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().∵x2>x1>0,∴>1.∴f()>0,即f(x2)-f(x1)>0.∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(3)由(1)知f(x)是偶函数,则有f(-)=f().由(2)知f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f()>f().∴f(-)>f().点评:本题是抽象函数问题,主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法,比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较,其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.五、变式演练,深化提高1.解:(1)因为它的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)=x2+x4,x∈[-3,1]既不是奇函数又不是偶函数.(2)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1},并不关于原点对称,所以函数f(x)=-既不是奇函数又不是偶函数.(3)∵x2-4≥0且4-x2≥0,∴x=±2,即f(x)=0,其定义域是{-2,2}.∵f(2)=0,f(-2)=0,∴f(2)=f(-2),f(2)=-f(-2).∴f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x).∴f(x)既是奇函数也是偶函数.(4)函数的定义域是R.∵f(-x)+f(x)=--+===0,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.点评:本题主要考查函数的奇偶性.定义法判断函数奇偶性的步骤是:(1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等.(2)当f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;当f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数.(3)当f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数又是偶函数.(4)当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数.(5)判断解析式复杂的函数的奇偶性时,如果定义域关于原点对称时,通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.2.解:当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=0;当x<0时,-x>0,由于函数f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+-]=-x2+.综上所得,f(x)=-3.解:(1)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令x=y=1时,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1).∴f(1)=0.∴令x=y=-1时,有f[(-1)×(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).∴f(-1)=0.(2)是奇函数.∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.。

3.2.2第1课时奇偶性的概念导学聚焦问题导学1．奇函数与偶函数的定义是什么？ 2．奇、偶函数的定义域有什么特点？ 3．奇、偶函数的图象有什么特征？新知初探1．偶函数(1)定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有，且，那么函数f (x )就叫做偶函数．(2)图象特征：图象关于对称． 2．奇函数(1)定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有，且，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2)图象特征：图象关于原点对称． ■名师点拨(1)奇、偶函数定义域的特点由于f (x )和f (－x )须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点①奇函数有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f （－x ）f （x ）＝－1(f (x )≠0)；②偶函数有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f （－x ）f （x ）＝1(f (x )≠0)．(3)函数奇偶性的三个关注点①若奇函数在原点处有定义，则必有f (0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈I ，其中定义域I 是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．自我检测判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( ) (2)函数f(x)＝x 2的图象关于原点对称．( )(3)对于定义在R 上的函数f (x )，若f (－1)＝－f (1)，则函数f (x )一定是奇函数．( ) (4)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.( ) 下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1x3D ．y ＝－x 2＋14若函数y ＝f (x )，x ∈『－2，a 』是偶函数，则a 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．0D ．不能确定下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)若f (x )是定义在R 上的奇函数，f (3)＝2，则f (－3)＝________，f (0)＝________．题型探究题型一函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝1－x 2x；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，－x ＋1，x <0.规律方法判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法(2)图象法『注意』 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x 的范围取相应的函数『解 析』式． 跟踪训练1．给定四个函数：①y ＝x 3＋3x ；②y ＝1x (x >0)；③y ＝x 3＋1；④y ＝x 2＋1x.其中是奇函数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如果f (x )是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋f (x ) B ．y ＝xf (x ) C ．y ＝x 2＋f (x )D ．y ＝x 2f (x )题型二奇、偶函数的图象例2已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．互动探究1．(变问法)本例条件下，y取何值时，有四个不同的x值与之对应？2.(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？规律方法巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在『0，＋∞)(或(－∞，0』)上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0』(或『0，＋∞))上对应的函数图象．『注意』作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0)．跟踪训练已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是()A．4B．2C ．1D ．0题型三利用函数的奇偶性求参数例3 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且定义域为『a －1，2a 』，则a ＝________，b ＝________．(2)若已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25，求函数f (x )的『解 析』式． 求解策略利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x )的定义域为『a ，b 』，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数．(2)『解 析』式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数即可求解． 跟踪训练1．若f (x )＝(ax ＋1)(x －a )为偶函数，且函数y ＝f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．－1 C ．1D ．02．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________．当堂检测1．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝xD ．y ＝x 2，x ∈(－1，1』2．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称3．已知函数f (x )为R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝________．4．根据题中函数的奇偶性及所给部分图象，作出函数在y 轴另一侧的图象，并解决问题：(1)如图①是奇函数y ＝f (x )的部分图象，求f (－4)·f (－2)； (2)如图②是偶函数y ＝f (x )的部分图象，比较f (1)与f (3)的大小．——★参*考*答*案★——新知初探1．(1)－x∈If(－x)＝f(x)(2) y轴2．(1)－x∈If(－x)＝－f(x)(2)原点自我检测(1)√(2)×(3)×(4)√C『『解析』』A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数，故选C.B『『解析』』因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.②④①③『『解析』』①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．－20『『解析』』因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.题型探究例1解：(1)因为x∈R，所以－x∈R，又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)f(x)的定义域为『－1，0)∪(0，1』．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x ≤1，且－x ≠0，又因为f (－x )＝1－（－x ）2－x ＝－1－x 2x ＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．(4)f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x >0时，－x <0，f (－x )＝1－(－x )＝1＋x ＝f (x )； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝1＋(－x )＝1－x ＝f (x )．综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 跟踪训练 1．B『『解 析』』①函数的定义域为R ，f (x )＝x 3＋3x ，f (－x )＝－(x 3＋3x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称，则函数f (x )为非奇非偶函数；③函数的定义域为R ，f (0)＝0＋1＝1≠0，则函数f (x )为非奇非偶函数；④函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f (－x )＝x 2＋1－x ＝－x 2＋1x ＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数．2．B『『解 析』』因为f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )．对于A ，g (－x )＝－x ＋f (－x )＝－x －f (x )＝－g (x )，所以y ＝x ＋f (x )是奇函数． 对于B ，g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )， 所以y ＝xf (x )是偶函数．对于C ，g (－x )＝(－x )2＋f (－x )＝x 2－f (x )， 所以y ＝x 2＋f (x )为非奇非偶函数． 对于D ，g (－x )＝(－x )2f (－x )＝－x 2f (x )＝－g (x )，所以y ＝x 2f (x )是奇函数． 例2 解：(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f (x )<0的x 的取值集合为(－2，0)∪(0，2)． 互动探究1．解：结合图象可知，满足条件的y 的取值范围是(－1，0). 2.解：(1)由题意作出函数图象如图所示：(2)据图可知，单调递增区间为(－1，1)．(3)据图可知，使f (x )<0的x 的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)． 跟踪训练 D『『解 析』』因为f (x )是偶函数，且图象与x 轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y 轴一定是对称的，故所有实根之和为0.例3 (1)130. 『『解 析』』因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0. 故填13和0.(2)解：因为f (x )是定义在(－1，1)上的奇函数， 所以f (0)＝0，即0＋b1＋02＝0，所以b ＝0.又因为f ⎝⎛⎭⎫12＝12a 1＋14＝25，所以a ＝1，所以f (x )＝x1＋x 2. 跟踪训练 1．C『『解 析』』因为f (x )＝(ax ＋1)(x －a )＝ax 2＋(1－a 2)x －a 为偶函数，所以1－a 2＝0.所以a ＝±1. 当a ＝1时，f (x )＝x 2－1，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件；当a ＝－1时，f (x )＝－x 2＋1，在(0，＋∞)上单调递减，不满足． 2．1『『解 析』』因为f (x )为奇函数， 所以f (－1)＋f (1)＝0，即(a －1)＋(－1＋1)＝0，故a ＝1.当堂检测1．B『『解 析』』对于A ，定义域为R ，f (－x )＝－x ＝－f (x )，是奇函数；对于B ，定义域为R ，满足f (x )＝f (－x )，是偶函数；对于C 和D ，定义域不关于原点对称，则不是偶函数． 2．C『『解 析』』函数f (x )＝1x －x 是奇函数，其图象关于坐标原点对称．3．－2『『解 析』』当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，所以f (1)＝1＋1＝2.又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－2.4．解：(1)作出函数在y 轴另一侧的图象，如图所示，观察图象可知f (－4)＝－f (4)＝－2， f (－2)＝－f (2)＝－1，所以f (－4)·f (－2)＝(－2)×(－1)＝2.(2)作出函数在y 轴另一侧的图象，如图所示．观察图象可知f (1)＝f (－1)，f (3)＝f (－3)，f (－1)<f (－3)，所以f (1)<f (3)．。

函 数 的 奇 偶 性和平中学 朱飞鸽教学目标：1、学习函数奇偶性的概念；2、利用定义判断简单函数的奇偶性3、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。

教学重点：函数的奇偶性及其建立过程，判断函数的奇偶性方法与格式 教学难点：对函数奇偶性概念的理解与认识教学过程： 一、新课引入1、智力测验题：现有10枚硬币，摆成一个等边三角形，试只移动其中的3枚使三角形的方向改变。

引导学生寻找其中的原因和规律：由于中间部分是个正六边形，即是个中心对称图形，而等边三角形的三个顶点恰在相间的三条边上，所以只需移动这三枚硬币到另三条边上即可改变方向；而且我们把它看成一个轴对称图形也可解决问题。

小结：由此可见该智力题的解决关键是我们把握了图形的对称性，而实际生活中对称性的应用远非仅仅解决智力题，它在许多地方起着极其重要的作用，例如：火箭为保持飞行方向和飞行平稳，尾翼称中心对称设计；汽车为易于驾驶设计成轴对称等等。

2美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，我们学校刚刚落成的综合大楼，它们都具有对称的美。

对称也是函数图象的一个重要特征，通过图象的对称进而得到函数（函数值变化）的一个重要性质。

今天，让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习。

（板书课题） 二、新课讲述请同学们观察图像填写下表让学生叙述自己（对函数值间的变化特征）的发现：Λ),2()2(),1()1(f f f f =-=-适时引入课件，加深印象。

（板书概念）一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

再注意观察x x g 1)(=的图象，显然xx g 1)(=不是偶函数，那么它随自变量的改变函数值间存在怎样的变化规律呢？引入课件，加深印象。

引导学生利用类比的方法得出结论，并试述概念。

（由教师板书概念）一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-, 那么函数)(x f 就叫做奇函数。