数的整除性

(江苏省竞赛试题)
解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数 能被198整除，求 ， 的值．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：198=2×9×11，整数 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立 ， 的等式，求出 ， 的值．
【例4】已知 ， ， 都是整数，当代数式7 ＋2 ＋3 的值能被13整除时，那么代数式5 ＋7 －22 的值是否一定能被13整除，为什么？
⑵若 =13， =2 012，从 经过1 999步到 ．不妨设向右跳了 步，向左跳了 步，则 ，解得 可见，它一直向右跳，没有向左跳．
⑶设 同时满足两个条件：① =0；② ＋ ＋ ＋…＋ =0．由于 =0，故从原点出发，经过( －1)步到达 ，假定这( －1)步中，向右跳了 步，向左跳了 步，于是 = － ， ＋ = －1，则 ＋ ＋ ＋…＋ =0＋( )＋( )＋…( )=2( ＋ ＋…＋ )－[( )＋( )＋…＋( )]=2( ＋ ＋…＋ )－ ．由于 ＋ ＋ ＋…＋ =0，所以 ( －1)=4( ＋ ＋…＋ )．即4| ( －1)．
且a＋b＋c＞14．设＋86＝222n考虑到是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故＝358．
8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为．故N＝－＝(1a－c)．
①若 | ， | ，则 | ；
②若 | ， | ，则 |( ± )；
③若 | ， | ，则[ ， ]| ；
④若 | ， | ，且 与 互质，则 | ；
⑤若 | ，且 与 互质，则 | ．特别地，若质数 | ，则必有 | 或 | ．

小学数学知识归纳数的整除性质整除是数学上一个重要的概念，它在小学数学的学习中起着至关重要的作用。

本文将归纳整除的性质，并探讨它们在解决数学问题中的应用。

一、整除的定义在数学中，如果一个整数a除以另一个整数b，余数为0，则称a能够被b整除，记作b|a。

其中，a称为被除数，b称为除数，0称为余数。

二、整除性质的归纳总结1. 任何整数a都能被1整除：1|a。

2. 任何整数a都能被自身整除：a|a。

3. 0是唯一一个既能被任何一个整数整除，又能整除任何一个整数的整数。

4. 如果a能被b整除，而b又能被c整除，那么a也能被c整除：如果b|a且c|b，则c|a。

5. 如果a能被b整除，而b不等于0，那么a也能被b的倍数整除：如果b|a，则kb|a，其中k为任意整数。

6. 如果a能被b整除，而b不等于0，那么a也能被b的因数整除：如果b|a且c|b，则c|a。

三、整除性质的应用举例1. 判断数字的整除性：根据整除性质，可以快速判断一个数字是否能够整除另一个数字。

例如，如果一个数字能被2和3同时整除，那么它一定能被6整除。

2. 约数和因数的关系：根据整除性质，可以推导出约数和因数之间的关系。

例如，如果a能被b整除，那么b一定是a的约数，同时a一定是b的倍数。

3. 整除关系的推理：通过整除性质，我们可以在解决数学问题时进行推理和判断。

例如，如果a能被b整除，并且b能被c整除，那么我们可以得出结论：a一定能被c整除。

4. 整除性质在分数操作中的应用：在分数运算中，整除性质被广泛应用。

例如，当我们要进行两个分数的相加、相减、相乘、相除时，可以利用整除性质对分数进行化简和约分。

四、总结整除是小学数学中的重要概念，它帮助我们理解了数字之间的整除关系，并且在解决数学问题时起到了重要的作用。

通过对整除性质的归纳总结和应用举例，我们可以更好地理解和运用整除性质，提高数学解题的能力。

以此为基础，我们可以进一步学习更多关于整除的内容，如最大公约数和最小公倍数等，从而拓宽自己的数学知识面，为未来的学习打下坚实的基础。

数字的整除性在数学中，整除性是指一个数能够被另一个数整除，或者说能够被另一个数整除得到整数的性质。

对于任意两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b * c，那么我们可以说a能够被b整除，或者说b 能够整除a。

在本文中，我们将探讨数字的整除性以及与之相关的一些概念和性质。

1. 整除与倍数的关系在讨论整除性之前，我们先来了解一下整数的倍数概念。

如果一个整数a能够被另一个整数b整除，那么a就是b的倍数。

例如，12能够被3整除，所以12是3的倍数。

可以发现，一个数能够被另一个数整除，就意味着它同时也是另一个数的倍数。

2. 整除性的定义与性质对于给定的两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b * c，那么我们可以说a能够被b整除。

整除性具有以下性质：- 任意整数a都能够被1和它自身整除。

- 如果a能够被b整除，并且b能够被c整除，则a能够被c整除。

- 如果a能够被b整除，并且b能够被a整除，则a和b相等。

3. 整除与质数在整除性的讨论中，质数是一个非常重要的概念。

质数是指大于1的整数，除了1和它本身之外，没有其他正因数的数。

例如，2、3、5和7都是质数，而4、6和8就不是质数，因为它们都有其他的正因数。

对于任何一个正整数a，如果a不是质数，那么它一定可以被一个大于1且小于a的整数整除。

4. 最大公约数和最小公倍数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是与整除性密切相关的概念。

最大公约数是指两个或多个整数中能够同时整除它们的最大的正数。

最小公倍数是指两个或多个整数中能够同时被它们整除的最小的正数。

最大公约数和最小公倍数的计算方法可以通过质因数分解、辗转相除法等多种方式来进行。

5. 整除性与算术基本定理在整除性的研究中，算术基本定理是一个非常重要的定理。

算术基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）指出，任何一个大于1的自然数，都可以唯一地表示为质数的乘积。

数的整除性质技巧1.数的整除性质：1)若a整除b，b整除c，则a整除c。

（传递性）2)若a整除b且a整除c，则a整除b+c。

3)若a和b是正整数，且a整除b，那么a≤b。

4) 若a整除b，且c是任意整数，则a整除bc。

2.奇偶性质：1)若数a的个位数是偶数，则a整除22)若一个数是奇数，那么它的倍数一定是奇数。

3)若一个数是偶数，那么它的倍数一定是偶数。

3.除法性质：1) 若b整除a，且c是任意整数，则b整除ac。

2)若b整除a且b≠0，那么a除以b的商和余数唯一确定。

4.数位和性质：1)若数a的数位和是n，则a整除n。

2)若数a的数位和是9的倍数，那么a也是9的倍数。

3)若数a的数位和是3的倍数，那么a也是3的倍数。

5.数和运算性质：1)若a整除c且b整除c，则a+b整除c。

2)若a整除c且b整除c，则a-b整除c。

3)若a和b都整除c，则a+b也整除c。

4) 若a整除c且b整除c，则ax + by也整除c，其中x和y是任意整数。

6.乘法性质：1)若数a整除c且数b整除c，则a×b整除c。

2) 若数a整除bc且a和b互质，那么a整除c。

3)若数a整除b且数b整除a，则a和b的最大公约数等于其中的较小数。

7.倍数性质：1)若a整除b，并且b是a的倍数，那么a整除b的任意倍数。

2)一个数是另一个数的倍数时，它们的公倍数一定也是这个数的倍数。

8.整除和余数的关系：1)如果数a是数b的整数倍，那么a和b的余数相同。

2)如果数a和b除以数c的余数相同，那么a-b是c的倍数。

以上是一些常用的数的整除性质技巧，通过灵活运用这些技巧可以在解题过程中减少计算量，提高解题效率。

在实际运用中，我们可以根据题目的要求和条件选择相应的技巧，以求解问题。

同时，深入理解这些性质背后的原理，能够更好地理解数的整除关系，为数的整除性质的使用提供更大的帮助。

数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

（2）若两个数能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除.（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。

（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。

（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除.（8）个位上是0或者5的数都能被5整除.（9）若一个整数各位数字之和能被3（或9)整除，则这个整数能被3（或9）整除。

（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除.（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（12）若一个整数各位数字之和能被9整除,则这个整数能被9整除.（13）一个三位以上的整数能否被7（11或13)整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小)能否被7（11或13）整除（14）末位数字为零的整数必能被10整除（15）另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数。

（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位.）（16）至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可:各位数之和能被3整除的偶数能被6整除;各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。

（17）能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中,减去个位数的2倍，如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0）,那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如:判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数,余类推.方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679,末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除,因此280679也能被7整除。

数的整除性质数的整除性质是数学中一个非常基础且重要的概念。

整除是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数叫做除数，能够被整除的数叫做被除数。

在数的整除性质中，有一些基本的定理和规律，我们一起来探讨。

一、整除的定义在数学中，如果存在整数a和b，使得b乘以a得到的结果等于一个整数c，那么我们就说b能够整除c。

这个定义可以用符号表示为：b|c，读作“b整除c”。

例如，4能够整除12，我们可以表示为4|12。

二、整除的性质1. 传递性：如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。

例如，如果2能够整除4，4能够整除8，那么2一定能够整除8。

2. 自身整除：任何一个数都能够整除自身。

例如，5能够整除5。

3. 1整除任何数：1能够整除任何一个数。

例如，1能够整除8。

4. 零的整除性：任何一个数都能够整除0。

例如，任何数都能够整除0。

5. 任何一个数都能够整除1：任何一个数都能够被1整除。

例如，任何数都能够被1整除。

6. 如果a能够整除b，那么a能够整除b的倍数。

例如，如果3能够整除6，那么3一定能够整除6的倍数12。

7. 如果a能够整除b，那么b能够整除a的因数。

例如，如果2能够整除4，那么4一定能够整除2的因数。

三、整除和最大公因数最大公因数是指两个或多个整数中最大的能够整除这些整数的数。

最大公因数可以通过求解数的因数来得到。

例如，求解12和15的最大公因数，我们可以找到12的因数：1、2、3、4、6、12，15的因数：1、3、5、15，他们的公因数有1和3，其中最大的公因数是3。

最大公因数有以下的性质：1. 最大公因数是两个数的公因数中最大的一个。

2. 如果最大公因数为1，那么这两个数互质。

3. 如果最大公因数为a，那么这两个数的倍数中最大的一个为a。

四、整除与质数质数是指大于1的正整数，除了1和本身，没有其他的因数。

质数和整除有着密切的关系。

1. 质数只能被1和自身整除。

2. 任何一个数都可以被质数整除。

数字的整除性学习如何判断数字的整除性数字的整除性是数学中一个基础概念，它描述了一个数字能够被另一个数字整除的属性。

判断数字的整除性在数学运算和实际问题中都有重要的应用。

本文将介绍如何判断一个数字是否能够整除另一个数字，并给出相应的解释和例子。

一、整除性的定义和符号在开始讨论整除性之前，我们先明确什么是整除性。

如果一个整数a能够被另一个整数b整除，即a除以b的余数为0，那么我们说a能够被b整除。

更形式化地，我们可以用符号“a | b”来表示a能够整除b。

例如，如果8能够被4整除，即8 | 4，我们可以说8是4的倍数。

二、整除性的判断规则要判断一个数字是否能够被另一个数字整除，我们可以考虑以下几个规则：1. 末尾为0、2、4、6、8的数字能够被2整除：一个数字的末尾如果是0、2、4、6或8，那么它一定能够被2整除。

这是因为一个数如果能够被2整除，意味着它是一个偶数。

而所有末尾为0、2、4、6或8的数字都是偶数。

2. 末尾为0或5的数字能够被5整除：与能够被2整除的规则相似，一个数字的末尾如果是0或5，那么它一定能够被5整除。

这是因为一个数如果能够被5整除，意味着它的个位数字是0或5。

而所有末尾为0或5的数字都符合这个条件。

3. 数字的各位数字之和能够被3整除：一个数字如果各位数字之和能够被3整除，那么它一定能够被3整除。

例如，对于数字123，1+2+3=6，6能够被3整除，所以123能够被3整除。

4. 数字的末两位能够被4整除：一个数字如果它的末两位能够被4整除，那么它一定能够被4整除。

例如，对于数字248，它的末两位48能够被4整除，所以248能够被4整除。

5. 数字的末三位能够被8整除：一个数字如果它的末三位能够被8整除，那么它一定能够被8整除。

例如，对于数字896，它的末三位896能够被8整除，所以896能够被8整除。

6. 数字的末位为0的话，首位数字能否被2整除，则整个数能否被2整除；首位数字能否被5整除，则整个数能否被5整除。

数的整除性质与应用数的整除性质是数学中的重要概念之一，它描述了一个数能够整除另一个数的性质。

在日常生活和数学应用中，我们经常用到数的整除性质来解决问题。

本文将对数的整除性质进行详细介绍，并探讨它在实际应用中的作用。

一、整数的除法定义与整除性质在数学中，我们将一个整数a除以另一个非零的整数b，如果能够得到一个整数q，使得a = bq，我们就称a能够被b整除，或者说b能够整除a，记作b|a。

整除性质主要包括以下几个方面：1. 传递性: 如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a也能够被c整除。

2. 常数倍数性质: 如果a能够被b整除，那么对于任意非零常数k，ka也能够被kb整除。

3. 相等性: 一个数能够被自身整除，即对于任意非零整数a，a能够被a整除。

4. 整除的基本性质: 如果a能够被b整除，那么a的所有倍数也能够被b整除。

二、整除的应用数的整除性质在实际应用中起着重要的作用，以下是一些常见的应用场景：1. 分数化简在分数的运算中，我们经常需要对分数进行化简。

利用整除性质可以帮助我们快速找到最大公约数，从而将分数化简为最简形式。

例如，对于分数12/18，我们可以通过求12和18的最大公约数来进行化简。

由于18能够整除12，所以12/18可化简为2/3。

2. 整数的因数与倍数在数的因数和倍数问题中，整除性质是一个重要的工具。

我们可以利用整除性质判断一个数是否是另一个数的因数，或者判断两个数是否互为倍数。

例如，判断一个数是否是另一个数的因数时，我们只需要通过整除性质将这两个数相除，如果余数为0，则该数是另一个数的因数。

3. 素数与合数素数是指只有1和自身两个因数的数，而合数是指除了1和自身之外还有其他因数的数。

利用整除性质，我们可以判断一个数是否为素数。

例如，判断一个数n是否为素数时，我们只需要将n与2到√n之间的所有整数相除，如果都无法整除，则n为素数。

因为如果n能够被大于√n的数整除，那么一定能够被小于√n的数整除。

数的整除性我们在三年级已经学习了能被2,3,5整除的数的特征,这一讲我们将讨论整除的性质,并讲解能被4,8,9整除的数的特征;数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除;例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除;性质2 如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除;例如,21与15都能被3整除,那么21＋15及21-15都能被3整除;性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除;例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9×7＝63整除;利用上面关于整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题;为了进一步学习数的整除性,我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：1一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个,那么这个数就能被2整除;2一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除;3一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除,那么这个数就能被3整除;4一个数的末两位数如果能被4或25整除,那么这个数就能被4或25整除;5一个数的末三位数如果能被8或125整除,那么这个数就能被8或125整除;6一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除;例1在下面的数中,哪些能被4整除哪些能被8整除哪些能被9整除234,789,7756,8865,3728,8064;例2在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除例3从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列;例4五位数能被72整除,问：A与B各代表什么数字例5六位数是6的倍数,这样的六位数有多少个例6 要使六位数能被36整除,而且所得的商最小,问A,B,C各代表什么数字练习11. 6个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个2.个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个3.一些四位数,百位上的数字都是3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整除又能被3整除;在这样的四位数中,最大的和最小的各是多少4.五位数能被12整除,求这个五位数;5.从0,2,3,6,7这五个数码中选出四个,可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数6.学校买了72只小足球,发票上的总价有两个数字已经辨认不清,只看到是□□元,你知道每只小足球多少钱吗。

数字的整除性数字的整除性是数学中一个非常基础而重要的概念。

整除性是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。

在这篇文章中，我们将探讨数字的整除性及其相关性质。

了解整除性的概念和性质对于数学学习和解决实际问题都具有重要意义。

1. 整除性的定义整除性是数学中的基本概念之一。

对于两个整数a和b，如果存在一个整数c使得a = b * c，我们就称a能够被b整除，也可以表达为b是a的因数，而a是b的倍数。

例如，4能够被2整除，因为4 = 2 * 2。

2. 整除性的性质整除性具有一些重要的性质，这些性质为我们解决实际问题提供了方便。

2.1 传递性：如果a能够被b整除，而b能够被c整除，则a能够被c整除。

例如，如果4能够被2整除，2能够被1整除，那么4也能够被1整除。

2.2 唯一性：如果a能够被b整除，而a也能够被c整除，且b和c互质（最大公约数为1），则b能够被c整除。

例如，如果4能够被2整除，4也能够被3整除，而2和3互质，那么2能够被3整除。

2.3 整除与因数的关系：如果a能够被b整除，则b一定是a的因数。

例如，如果6能够被2整除，那么2是6的因数。

3. 整除的运用整除性在数学中广泛运用，并可以帮助我们解决实际问题。

3.1 判断整除性：通过判断一个数是否能够被另一个数整除，我们可以得出一些结论。

例如，如果一个数字的个位数为0、2、4、6、8中的任意一个，那么这个数一定能够被2整除。

3.2 最大公约数：整除性可以用来求解两个或多个数的最大公约数。

最大公约数是指两个或多个数中同时整除这些数的最大正整数。

例如，求解12和18的最大公约数，可以通过12能够被6整除，18能够被6整除，所以6是它们的最大公约数。

3.3 最小公倍数：整除性也可以用来求解两个或多个数的最小公倍数。

最小公倍数是指能够同时整除这些数的最小正整数。

例如，求解4和6的最小公倍数，可以通过4能够被2整除，6能够被2整除，所以2是它们的最小公倍数。

整除数的性质和规律一、整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。

二、整除规律⑴、能被1整除的数：任何数都能被1整除。

⑵、能被2整除的数：末位是0,2,4,6或8的数,都能被2整除。

⑶、能被5整除的数一个整数的末位是0或5,则这个整数能被5整除个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除，而且还能被10整除。

⑷、能被3或9整除的数：一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。

例如：判断3576，2549能不能被3整除3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）∴3576能被3整除。

2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）∴2549不能被3整除。

检验：2549÷3=849 (2)又如：判4212、5282能不能被9整除4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）∴4212能被9整除。

5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）∴5282不能被9整除。

用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。

如：判断7485能不能被9整除7+4+8+5=24→2+4=6各位数字继续相加从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。

最后得出的6，就是7485除以9的余数。

即：7485÷9=831 (6)能被9整除的数，一定能被3整除。

能被3整除的数，却不一定能被9整除。

⑸、能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。

①.首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。

数的整除特性我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。

因此，有下面的结论：1.末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。

偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。

2．末位数字为零的整数必被10整除。

这种数总可表为10k（其中k为整数）。

3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。

4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。

如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。

能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。

能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。

5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。

由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。

如判断765432是否能被8整除。

因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。

由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。

能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。

由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625，750，875。

6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。

小学数学中的数的整除性和能整除的规则在小学数学中，数的整除性和能整除的规则是一个重要的概念。

理解数的整除性和能整除的规则对于学生建立起数学思维，提高解决问题的能力具有重要意义。

本文将从整除性的定义、整除性的判断方法和能整除的规则三个方面来介绍小学数学中与整除性相关的知识。

一、整除性的定义整除性是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。

例如，2能够整除4，因为4÷2=2，没有余数；而3不能整除5，因为5÷3=1余2。

在数学中，如果一个数能够被另一个数整除，我们称之为后者是前者的倍数，前者是后者的约数。

二、整除性的判断方法在判断一个数能否被另一个数整除时，有以下几种常用的方法。

1. 直接整除法：将被除数除以除数，若没有余数则能整除。

例如，判断36能否被9整除，可以进行36÷9=4，没有余数，所以36能被9整除。

2. 因数分解法：将被除数和除数进行因数分解，若除数的因数都是被除数的因数，则能整除。

例如，判断180能否被12整除，可以将180和12同时进行因数分解，得到180=2×2×3×3×5，12=2×2×3，由于12的因数都是180的因数，所以180能被12整除。

3. 整除规则：对于特定的除数，有一些整除规则可以帮助我们判断被除数是否能够整除。

例如，能被2整除的数一定是偶数，能被3整除的数各位上的数字和能被3整除，能被5整除的数个位数是0或5等。

三、能整除的规则在小学数学中，有一些常见的能整除的规则。

1. 2的整除规则：能被2整除的数一定是偶数。

偶数的个位数字一定是0、2、4、6或8，因为偶数是由2相加得到的，而2乘以这些数字都能得到偶数。

2. 3的整除规则：能被3整除的数各位上的数字和能被3整除。

例如，36的各位数字和为3+6=9，而9能被3整除，所以36能被3整除。

3. 4的整除规则：能被4整除的数的个位和十位数字组成的两位数能被4整除。

整除数的性质和规律一、整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。

二、整除规律⑴、能被1整除的数：任何数都能被1整除。

⑵、能被2整除的数：末位是0,2,4,6或8的数,都能被2整除。

⑶、能被5整除的数一个整数的末位是0或5,则这个整数能被5整除个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除，而且还能被10整除。

⑷、能被3或9整除的数：一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。

例如：判断3576，2549能不能被3整除3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）∴3576能被3整除。

2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）∴2549不能被3整除。

检验：2549÷3=849 (2)又如：判4212、5282能不能被9整除4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）∴4212能被9整除。

5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）∴5282不能被9整除。

用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。

如：判断7485能不能被9整除7+4+8+5=24→2+4=6各位数字继续相加从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。

最后得出的6，就是7485除以9的余数。

即：7485÷9=831 (6)能被9整除的数，一定能被3整除。

能被3整除的数，却不一定能被9整除。

⑸、能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。

①.首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。

数的整除性（一）1.能被2整除的书的特征：个位上的数字是0.2.4.6.8的整数，“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数，包括0的整数，必能被2整除；另一方面：能被2整除的数，其个位上的数字只能是偶数。

2.能被5整除的数的特征是：个位是0或53.能被3或9整除的数的特征是：各个数位数字之和能被3或9整除4.能被4或25整除的数的特征是：末两位数能被4或25整除例：1864=1800+64 因为100是4与25的倍数，所以1800是4和25的倍数。

又因为64能被4整除，数以1864能被4整除。

但因为64不能被25整除，所以1864不能被25整除。

5.能被8或125整除的数的特征是：末三位数能被8整除。

例：29375=29000+375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8和125的倍数。

又因为375能被125整除，所以29375能被125整除。

但因为375不能被8整除，所以8不能被29375整除。

6.能被11整除的数的特征是：这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差（大减小）是11的倍数例：判断123456789这九位数能否被11整除解：这个数的奇数位上的数字之和三个是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20。

因为25-20=5，有因为11不能被5整除，所以123456789不能被11整除再例如：判断13574能否是11的倍数？解：这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字和的差是：（4+5+1）—(7+3)=0因为0是任何整数的倍数，所以11能被0整除。

因此13574是11的倍数。

7.能被7（11或13 ）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差，（大减小）能被7（11或13 ）整除例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分成1059和282两个数，因为1059-282=777，由777能被7整除，所以1059282能被7整除，因此1059282是7的倍数再例如：判断3546725能否被3整除？解：把3546725分乘3456和725两个数。

数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。

整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。

性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。

性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。

性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。

性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。

性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。

性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。

性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。

性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。

性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。

性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。

性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。

性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。

性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。

性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。

数的整除检定1.被2整除特点：偶数；2.被3整除特点：每位数字相加的和是3的倍数;3.被4整除特点：末两位是4的倍数；4.被5整除特点：末位数字是0或5；5.被6整除特点：能同时被2和3整除;6.被8整除特点：末三位是8的倍数；7.被9整除特点：每位数字相加的和是9的倍数；8.被11整除特点：奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间的差是11的倍数；9.被25整除特点：末两位数是25的倍数；10.被7、11、13整除的特点：多位数的末三位与前面数字之差能否被7、11、13整除。

数的整除性质1.如果数a能被c整除，数b也能被c整除，那么它们的和（a+b）也能被c整除。

2.几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，则这几个数的积也能被这个数整除。

3.数a能被数b整除，数a也能被数c整除，如果b、c互质，那么数a能被数b与c的积（bc）整除。

余数和同余余数特性被除数（A）÷除数（B）=商（C）……余数（D），其中，余数总是小于除数，即：0≤余数（D）<除数（B）。

同余及其性质两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b(mod m)。

也就是说，如果a，b除以m的余数相同，就称a，b对于除数m 来说是同余的，且有a与b的差能被m整除。

（a，b，m均为自然数）1.两个数和的余数，同余与余数的和；两个数差的余数，同余与余数的差；两个数积的余数，同余与余数的积。

2.同余的重要性质同余的可传递性：若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m)；同余的反身性：a≡a(mod m)(a为任意自然数)；同余的对称性：若a≡b(mod m),则b≡a(mod m)；同余的可乘性: 若a≡b(mod m)，则ac≡bc(mod m)；若a≡b(mod m)，c≡d(mod m),则ac≡bd(mod m)。

同余的乘方性：若a≡b(mod m)，则a n≡b n(mod m)。