5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 教学设计

北师大版七年级上册5.3应用一元一次方程——水箱变高了课程设计一、教学目标1.知识目标1.了解一元一次方程的基本概念；2.能掌握应用一元一次方程解决实际问题的方法；3.能够理解水箱变高的原理，掌握相关计算方法。

2.能力目标1.能够运用所学知识解决实际问题；2.能够培养分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点1.一元一次方程的基本概念；2.应用一元一次方程解决实际问题的方法。

三、教学难点1.能够理解水箱变高的原理；2.掌握相关计算方法。

四、课前准备1.教师准备讲义、钢尺、铅笔等教学用品；2.学生准备好课本及学习笔记。

五、教学方法1.讲授法；2.解题法。

六、教学过程Step 1 教师引入1.教师通过举例解释一元一次方程的基本概念；2.通过讲解水箱的变化，引出应用一元一次方程解决实际问题。

Step 2 教师讲解1.教师介绍水箱变高的原理，并引导学生用题目中提供的数据建立数学模型；2.教师通过讲解应用一元一次方程的方法帮助学生求解。

Step 3 学生练习1.学生独立完成练习题；2.学生根据自己的思路和答案，对照教师提供的参考答案。

Step 4 教师提高1.教师解释练习题的解题过程，帮助学生理解其中的数学方法和思想；2.教师指导学生在实际生活中运用所学知识解决问题。

七、作业布置1.学生独立完成书本上“应用一元一次方程解决实际问题”一节中的习题；2.要求学生在作业本上注明题号，并写出解题过程和答案。

八、教学反思本堂课通过引出实际问题的方式，较好地激发了学生学习的兴趣，让学生能够比较轻松、简单地掌握一元一次方程的基本概念和应用方法。

需要注意的是，在练习时可以引导学生先思考、后问问题、后解答，这样能够更好地培养学生分析问题和解决问题的能力。

周长一定的长方形,长和宽的悬殊越小时,它的面积就越大。

一个班级、一个社会,如果人与人之间越平等,越和谐,那么整个群体的力量就越大。

5.3应用一元一次方程——水箱变高了学案【教学目标】1、分析简单问题中的数量关系，建立方程解决问题。

2、通过具体问题的解决体会利用方程解决问题的关键是寻找。

【例题解析】例1、某居民楼顶有一个底面积和高均为4米的圆柱形储水箱。

现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有的储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4米减少到3.2米。

那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4米变为多少米？（跟踪练习）把一块长、宽、高分别为5cm 、3cm 、3cm 的长方体石块浸入半径为4cm 的盛有水的圆柱形杯中，水面将升高多少？（水不外溢，保留π）例2：一根长为10米的铁丝围成一个长方形.（1）若该长方形的长比宽多1.4米.此时长方形的长和宽各为多少米？（2）若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米?它围成的长方形的面积与（1）中所围成长方形相比，面积有什么变化？（3）若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少?它围成的长方形的面积与（2）中相比，又有什么变化？发现：【合作探究】1、 小明家打算靠墙（墙长14m ）修建一个长方形的养鸡场（靠墙一边作为长），另三边用35m长的竹篱笆围成，小明的爸爸打算让鸡场的长比宽多2m ，小明的妈妈打算让鸡场的长比宽多5m ，你认为他们谁的设计合理？按照这种设计鸡场的面积是多少？2.如图所示，地面上钉着一个用彩绳围成的直角三角形，如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么所钉长方形的长和宽各是多少？面积是多少？小结：1、运用一元一次方程解应用题的步骤： 2、长方形的周长一定时， 面积最大。

作业：课堂精练，改编合作探究1（选做：测土豆体积）。

北师大版数学七年级 5.3应用一元一次方程——水箱变高了教学设计课题 5.3应用一元一次方程——水箱变高了单元第五单元学科数学年级七学习目标1．通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力．2．借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题3. 通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力．4. 通过对实际问题的探讨，使学生在独立思考的过程中，进一步体会数学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望．重点寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化．难点寻找图形问题中的等量关系，建立方程．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课1、教师出示课件：教师以“橡皮泥的变化”为情境引入：思考：1. 放在手里的橡皮泥在手压前和手压后有何变化？你发现了其中的相等关系吗？1、变胖了，变矮了.（即高度和底面半径发生了改变.)2、手压前后体积不变,重重不变通过思考问题，引入本课：应用一元一次方程——水箱变高了。

学生思考橡皮泥的变化？交流、讨论、总结。

从而引入应用一元一次方程——水箱变高了。

教师以“橡皮泥的变化”为载体，激发学生的学习兴趣,让让学生初步体会“形积变化”问题，同时简单地感受、分析出不变量与变量间的等量关系.把学生引入探究新解法的情境中,自然地引入本节课的课题——应用一元一次方程——水箱变高了.讲授新课2、出示课件教师引导学生探索水箱容积不变，高度如何变化？某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。

现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。

那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米?想一想：什么发生了变化？什么没有发生变化？等量关系：旧水箱的容积＝新水箱的容积解：设水箱的高变为 xm，填写下表：根据等量关系，列出方程：π×22×4 = π×1.62x 让学生自己通过观察,分析、交流、辩证、归纳，然后老师讲解，师生交流，总结应用一元一次方程——水箱变高了.1.通过学生的观察、对比、分析和讨论，师生共同探究应用一元一次方程——水箱变高了，既可以培养学生观察、思考、分析、总结、归纳能力，又培养了学生的语言表达能力，体会到的形之间的变与不变的关系，量之间的等量关系抽象成数学问题，利用前几节学的解方程方法解决实际问题.引导学生通过填表，找到等量关系，正确列出方程.同时还可以解方程得 x=6.25因此，高变成了6.25 厘米等体积变形做一做：用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.(1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各是多少？等量关系：（长+宽）× 2=周长解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m. 根据题意，得(x+1.4 +x) ×2 =10解得 x =1.81.8+1.4=3.2此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.(2)若该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+0.8）m.根据题意，得(x+0.8 +x) ×2 =10解得 x=2.12.1+0.8=2.9此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9 ×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2).此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－5.76=0.33(m2).(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？解：设正方形的边长为xm.根据题意，得(x +x) ×2 =10解得 x=2.5正方形的边长为2.5m正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（m2）教师引导学生总结:当周长不变时，围成正方形面积最大.3、出示课件试一试：例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．解析: 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r ＋2(π－2)]m.根据题意，得2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.所以铁丝的长为2πr＝8π(m)．所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)，正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)．因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，所以圆的面积大．答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．师生共同总结：注意事项(1)形状、面积发生了变化，而周长没变；(2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．学习兴趣，调动了学生学习的积极性，一方面巩固学生对所学知识的掌握，另一方面充分利用情境，有助于学生发散思维能力的培养.课堂练习1.要锻造一个半径为5 cm，高为8 cm的圆柱毛坯，应截取半径为4 cm的圆钢的高度为( A ) A．12.5 cm B．13 cm C．13.5 cm D．14 cm 2.如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一条宽为8 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，则原正方形的边长是( B )A．20 cm B．24 cm。

5.3 应用一元一次方程——水箱变高了一.学生起点分析本节课涉及到图形问题，关键是让学生抓住形变过程中不变量，对于基本图形体积. 面积. 周长等公式，学生已在小学系统学习，如果遗忘或混淆，可做适当复习.二.教学任务分析本节学习列方程解应用题，其关键还是寻找实际问题中等量关系. 在实际生活中经常会遇到类似本节情境问题，最关键是抓住变化中不变量，从而设出未知数，根据等量关系列出方程. 教学时，应鼓励学生独立思考，发现等量关系. 特别是对例1，应让学生根据生活经验和原有基础分组独立完成，然后请各小组汇报: 四个小问题解答情况，最后组织学生展开讨论：解这道题关键是什么？从解这道题中你有哪些收获和体验？因此，本节教材处理策略是：展现问题情境——提出问题——分析数量关系和等量关系——列出方程，解方程——检验解得合理性.三.教学目标1. 借助立体及平面图形学会分析复杂问题中数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数解题思路，从而建立方程，解决实际问题.2. 通过分析图形问题中数量关系体会方程模型作用，进一步提高学生分析问题.解决问题.敢于提出问题能力.3. 通过对实际问题探讨，使学生在动手独立思考. 方程意识过程中，进一步体会数学应用价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生好奇心和主动学习欲望.四.教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：运用情境，解决问题；第三环节：操作实践，发现规律；第四环节：体验数学模型第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.环节一：创设情境，引入新课活动内容：情境1成语“朝三暮四”故事（附内容：从前有个叫狙公人养了一群猴子.每一天他都拿足够栗子给猴子吃，猴子高兴他也快乐.有一天他发现如果再这样喂猴子话，等不到下一个栗子收获季节，他和猴子都会饿死，于是他想了一个办法，并且把这个办法说给猴子听，当猴子听到只能早上吃四个，晚上吃三个栗子时候很是生气，呲牙咧嘴.没办法狙公只好说早上三个，晚上四个，没想到猴子一听高兴得直打筋斗.）问题1猴子为什么高兴了？这其中有什么数学奥秘吗？情境2：教师从讲台下拿出了两瓶矿泉水（容量一样，A短而宽，B长而窄）.问题2:请问大家哪瓶矿泉水多？为什么？教师拿出两个相同量杯，让学生把两瓶矿泉水分别倒进两个量杯中，结果全体同学都说一样多，没有说对同学，不好意思笑了.教师：不要紧张，现在还有一个机会证明自己.情境3：先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长”圆柱体，然后再让这个“瘦长”圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖圆柱，请思考下列几个问题：在你操作过程中，圆柱由“高”变“低”，圆柱底面直径变了没有? 圆柱高呢？在这个变化过程中，是否有不变量？是什么没变？活动目让学生在愉快地玩过程中体会等体积变化现象中蕴涵不变量.同时分析出不变量与变量间等量关系活动实际效果：学生能够感受到：两瓶形状不一样矿泉水体积是一样，手里橡皮泥在手压前和手压后发生了变化，变胖了，变矮了.即高度和底面半径发生了改变，但手压前后体积不变，重量不变.环节二：运用情景，解决问题活动内容：张师傅将一个底面直径为20厘米.高为9厘米“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为10厘米“瘦长”形圆柱.假设在张师傅锻压过程中圆柱体积保持不变，那么圆柱高变成了多少？（在这个环节中可安排两组同桌分别上黑板合作完成.并把思路分析给大家.可给每个四人小组发一张表格，让学生试着通过填写表格寻找等量关系.）活动目的：将上述环节中体会到形之间变与不变关系，量之间等量关系抽象成数学问题，利用前几节解方程方法解决实际问题.活动实际效果：学生解答过程布列方程很顺利，很多学生使用了下面表格来帮助分析.由实验操作环节知“锻压前体积=锻压后体积”，从而得出方程.解：设锻压后圆柱高为xcm,由题意nX （20）2X 9=nX （10）2X x, 2 2解之，得x=36.黑板上两组学生中有一组学生将n值取3.14 ,带入方程，教师应在此给予指导，不要早说，现在恰到好处！（1）此类题目中n值由等式基本性质就可以约去，无须带具体值；（2）若题目中n值约不掉，也要看题目中对近似数有什么要求，再确定n值取到什么精确程度.环节三：操作实践，发现规律活动内容：学生用预先准备好40厘米长铁丝，以小组作出不同形状长方形，通过测量边长，近似求出长方形面积，比较小组内四个同学计算结果，你发现了什么？活动目的：我们知道：学生自己亲手经历操作后感受会更深刻.所以设置此环节，让学生手.眼.脑几个感官并用，在操作中体会，在计算中验证，在变化中发现.这样能培养学生经过观察.分析.归纳.总结等数学学习活动中发现数学思想与数学方法，也同时让学生感悟复杂问题中道理就在我们玩过程中，就在我们生活中.活动实际效果：由学生实际操作得到近似值已反映出来一个很好规律.学生：由操作过程，同学们作出长方形形状有“胖”有“瘦”，反映到表中数据为：当长方形周长一定，它长逐渐变短，宽随之逐渐变长，面积在逐渐变大•当长与宽一样长时面积最大.过程感悟：不要怕完不成进度，这个过程进行完成后，学生对课本设置相关内容就剩下规范解题过程了，学生理解远比直接先讲教材例题效果要好多•（此处教师可用几何画板来完成）环节四：练一练，体验数学模型活动内容：课本例题例1：一根长为10米铁丝围成一个长方形.1. 若该长方形长比宽多1.4米.此时长方形长和宽各为多少米？2. 若该长方形长比宽多0.8米，此时长方形长和宽各为多少米？它围成长方形面积与（1）中所围成长方形相比，面积有什么变化？3. 若该长方形长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形边长是多少？它围成长方形面积与（2）中相比，又有什么变化？4. 如果把这根长为10米铁丝围成一个圆，这个圆半径是多少？面积是多少？请思考：解此例题关键是什么？通过此题你有哪些收获和体验？你能试着设计表格解决这个问题吗？活动实际效果：因为有了环节三铺垫，有效地分解难点，学生掌握很好. 完整解题过程留成课后作业.环节五：课堂小结1. 通过对“我变高了” 了解，我们知道“锻压前体积=锻压后体积”，“变形前周长等于变形后周长”是解决此类问题关键，其中也蕴涵了许多变与不变辩证思想. 2. 遇到较为复杂实际问题时，我们可以借助表格分析问题中等量关系，借此列出方程，并进行方程解检验.3. 学习中要善于将复杂问题简单化.生活化，再由实际背景抽象出数学模型，从而解决实际问题.环节六：布置作业1. P184随堂练习习题5.7 】2•思考：地面上钉着用一根彩绳围成直角三角形.如果将直角三& * 角形锐角顶点一个钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，C L_L 6 则所钉长方形长，宽各是多少？面积是多少？五.教学反思1. 创造性地使用教材.本节课引入新颖自然，通过两个实验（情景2为液态物体变化，情景3为固态物体变化），使学生对课题有了初步认识，并通过学生对实验观察，发现了在物体形状变化时不变量，从而为列方程找等量关系作了铺垫.环节2中表格发给每个小组，为增强小组讨论结果展示起到了较好作用.环节3中通过让学生自己设计表格为讨论得出起到辅助作用2. 相信学生并为学生提供充分展示自己机会本节课设计中，通过学生多次动手操作活动，引导学生进行探索，使学生确实是在旧知识基础上探求新内容，探索过程是没有难度任何学生都会动手操作，每个学生都有体会过程，都有感悟可能，这种形式让学生切身去体验问题情景，从而进一步帮助学生理解比较复杂问题，再把实际问题抽象成数学问题.3. 注意改进方面本节课由于构题新颖有趣，所以一开始就抓住了学生求知欲望，课堂气氛活跃，讨论问题积极主动.但由于学生发表自己想法较多，使得教学时间不能很好把握，导致课堂练习时间紧张，今后予以改进.。

5.3应用一元一次方程——水箱变高了教学目标【知识与技能】通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题.【过程与方法】经历由实际问题抽象为方程模型的过程，进一步体会用方程解实际问题的一般思路和步骤.【情感态度价值观】结合本课教学特点，教育学生热爱学习，热爱生活，激发学生学习的兴趣.教学重难点【教学重点】分析图形问题中的数量关系，熟练地列方程解应用题.【教学难点】从实际问题中抽象出数学模型教学过程.课前准备课件教学过程一、情境导入，初步认识用同一根铁丝围成不同的图形，如三角形长方形、正方形、梯形、平行四边形等在这些图形中，什么发生了变化？什么不发生变化？【教学说明】学生很容易得出这些图形的变化，初步感受图形问题中的数量关系.二、思考探究，获取新知1.运用一元一次方程解决等体积变形问题问题1 教材第141页例题以上的内容.【教学说明】学生通过思考、分析，与同伴进行交流，完成表格，列出方程解决问题.体会列表法的重要作用.【归纳结论】列方程解应用题关键是找出问题中的等量关系.2.运用一元一次方程解决等周长变形问题问题2 教材第141页下方的例题.【教学说明】学生通过思考、分析与同伴进行交流，列出方程求解.【归纳结论】在问题2中，长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为：10×1/2=5(m).所以在解决问题的过程中，要紧紧抓住这个等量关系.3.运用一元一次方程解决等面积变形问题.问题3 已知一梯形的高为8cm，上底长为14cm，下底长比上底长的2倍少6cm，若把这个梯形改成与其面积相等的长方形，且长方形的长为24cm,求长方形的宽.【教学说明】学生思考、分析，与同伴交流，设未知数列出方程求解.【归纳结论】运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1）设未知数，（2）找等量关系式，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）写出答案.三、运用新知，深化理解1.已知内径为120mm的圆柱玻璃杯和内径为300mm，内高为32mm的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（）.A.150mmB.200mmC.250mmD.300mm2.一根绳子刚好可以围成一个边长为6cm的正方形，如果用这根绳子围成一个长8cm 的长方形，这个长方形的宽为_______cm，面积是_______cm2.3.如图所示，将一个底面直径为10cm，高为36cm的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20cm的“矮胖”形圆柱.假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么高变成了多少？第3题图第4题图4.墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如右图实线所示（单位：cm）.小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如右图虚线所示，小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米?【教学说明】学生自主完成，加深对新学知识的理解，检测对运用一元一次方程解决等积变形问题的掌握情况？对学生的疑惑教师应及时加以指导.完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时练习的课堂作业部分.【答案】1.B2.4323.设高度为xcm，由题意得：π×52×36=π×102x解得x=9所以高变成了9cm.4.设长方形的长为xcm，由题意得：2(x+10)=10×4+6×2解得x=16所以长方形的长为16cm,宽为10cm.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾运用一元一次方程解决等体积、等周长、等面积问题.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，积极与同伴交流，加深对新学知识的理解与运用.课后作业：1.布置作业：从教材“习题5.6”中选取.2.完成练习册中本课时的相应作业.教学反思：本节课从学生运用一元一次方程解决等体积，等周长\等面积问题，到掌握运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤,培养学生动手\动脑习惯，提高学生用所学知识解决实际问题的能力，激发学生的学习兴趣.良好的学习态度能够更好的提高学习能力。

5.3应用一元一次方程——水箱变高了教学设计教学目标1、知识与能力：借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题。

2、过程和方法：通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题。

3、情感态度价值观：进一步体会运用方程解决问题的关键是建立等量关系，认识方程模型的重要性。

一、情景引入内容：让学生来讲述曹冲称象的故事，发现其中蕴含的数学知识。

【设计意图】激发学生学习兴趣，让学生在熟悉的历史故事中感受数学，并找到其中的等量关系，也为后面的学习做好铺垫。

二、自主探究内容：探究1：请学生说出下列变化过程中的等量关系。

1、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形。

2、用一块橡皮泥先做成一个长方体，再把它改变成圆柱。

3、把一小杯的水倒入另一只大杯中。

(让学生观察，在变换的过程中，体会哪些量发生了变化，哪些量没有变化？并复习回顾三角形长方形周长以及长方体圆柱体的体积，教师对基础差的同学可适当引导)【设计意图】让学生通过3个变化过程，体会等长变化和等体积变化的现象中蕴涵的不变量。

在回答问题的过程中复习几何体的周长以及体积公式。

温习旧知识的同时，为后续用方程解决实际问题做好铺垫。

探究2：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由4m减少为3.2m.那么在容积不变的前提下,水箱的高度将由原来的4m增高为多少米？半径高体积旧水箱新水箱（让学生依据探究1的经验，在此情景中找到等量关系，引导学生通过列表法根据等量关系列出方程。

）【设计意图】让学生经历从实际问题中抽象数学知识的过程，激发学生的学习热情，渗透了列表建立方程模型的方法。

让学生通过分析图形问题中的数量关系，从而建立一元一次方程解决实际问题。

三、巩固训练问题1：两个圆柱体容器如图所示，它们的直径分别为8cm和4cm，高分别为10cm和39cm。