结构力学第八章-位移法

第8章 位移法习 题一、判断题：1、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。

（ ）2、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。

（ ） 4、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。

（ ）5、图示结构，当支座B 发生沉降∆时，支座B 处梁截面的转角大小为12./∆l ，方向为顺时针方向，设EI =常数。

（ ）6、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。

（ ）2θθC7、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是-θ/2 。

（ ）8、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql EI 324/。

（ ）q9、结 构 按 位 移 法 计 算 时 ， 其 典 型 方 程 的 数 目 与 结 点 位 移 数 目 相 等 。

（ ） 10、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。

（ ） 11、超 静 定 结 构 中 杆 端 弯 矩 只 取 决 于 杆 端 位 移 。

（ ） 12、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。

2θθC二、填空题：13、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。

（1） （2） （3）（4） （5） （6）EIEIEIEI 2EI EI EIEIEA EA ab EI=EI=EI=24442第13题14、位移法可解超静定结构、静定结构，位移法典型方程体现了_______条件。

15、图示梁A 截面的角位移φA = ____________。

（杆长l，荷载作用在中点）16、图示结构，M AB = __________。

17、图示刚架，各杆线刚度i 相同，不计轴向变形，用位移法求得 M AD = ，M BA =___________。

Di i i A4518、图示结构M BA 的值为_____________,________________侧受拉。

结构力学第8章位移法位移法是结构力学中一种常用的分析方法。

它基于结构物由刚性构件组成的假设，通过计算结构在外力作用下产生的位移和变形，进而推导出结构的反力和应力分布。

位移法的基本思想是将结构的局部位移组合成整体位移，通过建立位移和反力之间的关系，解决结构的力学问题。

位移法的分析步骤通常包括以下几个方面：1.建立结构的整体位移函数。

位移函数是位移法分析的基础，通过解结构的运动方程建立结构的位移与自由度之间的关系。

2.应用边界条件。

根据边界条件，确定结构的支座的位移和转角值。

支座的位移和转角值可以由结构的约束条件和外力产生的位移计算得出。

3.构建位移方程组。

将结构的整体位移函数带入到结构的平衡方程中，得到位移方程组。

位移方程组是未知反力系数的线性方程组。

4.解位移方程组。

通过解位移方程组，求解未知反力系数。

可以使用高斯消元法、克拉默法则或矩阵方法等解方程的方法求解。

5.求解反力和应力分布。

通过已知的位移和未知的反力系数，可以计算出结构的反力和应力分布。

这些反力和应力分布可以进一步用于结构的设计和评估。

位移法的优点是适用范围广泛，适合复杂结构的分析。

它可以处理线性和非线性的结构，包括静力学和动力学的分析。

同时，位移法具有较高的精度和准确度，在结构的分析和设计中得到广泛应用。

然而，位移法也存在一些限制。

首先，位移法假设结构是刚性的，忽略了结构的变形和位移过程中的非线性效应。

其次，位移法需要建立适当的位移函数，对于复杂结构来说，这是一个复杂和困难的任务。

此外，位移法在处理大变形和非线性结构时可能会遭遇困难。

综上所述，位移法是结构力学中一种重要的分析方法。

它通过计算结构的位移和变形，推导出结构的反力和应力分布，为结构的设计和评估提供基础。

然而，位移法也存在一些限制，需要在具体的分析问题中谨慎应用。

第8章 位移法（知识点小结）一、杆端内力正负号规定（图8-1）杆端弯矩AB M 、BA M ：以绕杆端顺时针为正，逆时针为负；对结点或支座而言，截面弯矩以逆时针为正。

杆端剪力SAB F 、SBA F ：以绕微段隔离体顺时针转动者为正，反之为负。

结点转角（杆端转角）A θ、B θ：顺时针转动为正。

两端垂直杆轴的相对线位移AB ∆：以使杆件顺时针转动为正，反之为负。

图8-1 杆端内力及杆端位移的正负号规定二、等截面直杆的转角位移方程—位移法计算的基础1、由杆端位移求杆端力——形常数考虑三种不同情况：两端固定直杆、一端固定另一端铰支的直杆及一端固定另一端滑动支承的直杆。

由杆端位移求杆端内力的公式（刚度方程），如表8-1所示，这里/i EI l =。

由杆端位移求出杆端弯矩后，杆端剪力可由平衡条件求出。

表8-1中，杆端内力是根据图示方向的位移方向求得的，当计算某一结构时，应根据其杆件所受的实际位移方向，判断其杆端内力的正负号及受拉侧。

2、由荷载求固定内力——载常数对三种等截面直杆，在荷载作用、温度改变作用下的杆端弯矩和剪力，称为固端弯矩和固端剪力（载常数）。

常见荷载作用下的载常数可查表所得。

3、等截面直杆的转角位移方程对等截面直杆，既有已知荷载作用，又有已知的杆端位移，可根据叠加原理，写出其杆端力的一般表达式，这即为等截面直杆的转角位移方程。

三、位移法的基本未知量包括独立的结点角位移和独立的结点线位移。

独立的结点角位移数目等于刚结点（包括组合结点、弹性抗转弹簧）的数目。

结点线位移的数目可通过增设支杆法（或铰化体系法）来确定。

铰化体系法就是将原结构中所有刚结点和固定支座均改为铰结点形成铰接体系，此铰接体系的自由度数就是原结构的独立结点线位移数。

然后分析该铰接体系的几何组成：如果它是几何不变的，说明结构无结点线位移；相反，如果铰接体系是几何可变的，再看最少需要增设几根附加支杆才能确保体系成为几何不变，或者说使此铰接体系成为几何不变而需添加的最少支杆数就等于原结构的独立结点线位移数目。

结构力学——位移法结构力学，位移法结构力学是研究物体受到外力作用时的变形和应力分布规律的学科。

在结构力学中，位移法是一种常用的分析方法，用于解决结构受力变形问题。

位移法是建立在位移场的基础上，通过求解物体的位移场，再根据位移场得到应力场、应变场以及应力分布等信息，从而获得结构的受力变形情况。

位移法的基本原理是微分方程的解析方法。

在位移法中，首先需要确定结构的几何形状、边界条件和外力情况，然后通过应变能原理或变分原理等方法建立物体的弯曲方程或应变能方程。

接下来，在确定了适当的位移函数形式后，将其代入方程中，通过求解微分方程来得到物体的位移场。

在位移法中，常用的位移函数形式包括简单弯曲、直角坐标、梯形分段等。

根据结构问题的具体条件，选择合适的位移函数形式，是位移法分析的一个重要步骤。

在求解位移函数时，通常要满足边界条件和界面连续条件。

边界条件是指结构边界上位移和应力的已知条件，界面连续条件是指相邻物体的位移和应力在界面上连续的条件。

求解位移场后，可以根据位移场求出应变场。

应变场是位移场的导数，反映了物体各点的拉伸和压缩程度。

通过求解应变场，可以进一步求解应力场。

应力场是应变场的导数，反映了物体各点的强度和应力分布情况。

由于应力是物体受力的重要指标，因此通过求解应力场，可以分析出物体受力分布情况，评估结构的强度和稳定性。

位移法在结构力学中具有重要的应用价值。

通过求解位移场，可以全面了解结构受力变形情况，为结构的设计和施工提供依据。

位移法不仅能够分析简单的结构问题，还可以扩展应用到更复杂的结构问题中，如悬索桥、拱桥和空间柱等。

位移法不仅适用于线性问题，还可以应用于非线性问题，如大变形、大位移和材料非线性等。

总之，位移法是结构力学中一种常用的分析方法，通过求解物体的位移场，可以获得结构的应力和变形情况。

位移法不仅能够分析简单的结构问题，还可以应用于复杂的结构问题。

通过位移法的研究，可以更全面地了解结构的受力变形情况，为结构的设计和施工提供依据。

结构力学位移法结构力学是研究结构物的力学性能和变形规律的科学，位移法是结构力学中常用的一种分析方法。

它通过计算结构物各个节点的位移，进而求解出结构物的应力、应变等力学参数。

下面将详细介绍位移法的原理和应用。

一、位移法的原理位移法是一种基于力的平衡方程和位移的相关性质来计算结构物响应的方法。

它的基本原理是通过建立结构物的整体刚度方程，解这个方程得到各节点的位移，再根据位移计算出相应节点上的应力和应变。

在应用位移法时，首先需要确定结构物的受力状态，即施加在结构物上的外力和边界条件。

然后，根据结构物的几何约束条件和材料特性，建立结构物的整体刚度方程。

这个方程是一个描述结构物节点位移与受力关系的方程，通常表示为[K]{D}={F}，其中[K]是结构物的刚度矩阵，{D}是节点位移矩阵，{F}是节点受力矩阵。

解刚度方程可以得到节点位移矩阵{D}，再通过位移与应力或应变的关系，计算出各个节点上的应力和应变。

常用的位移与应力或应变的关系包括伯努利梁理论、平面假设等。

最后，根据应力或应变条件，判断结构物的安全性和稳定性。

二、位移法的应用位移法广泛应用于各种结构物的力学分析和设计中，特别是对于复杂结构和非线性问题的分析更具优势。

1.梁和框架的分析对于梁和框架结构，可以根据位移法计算出节点上的位移、弯矩、剪力和轴力等力学参数。

通过对结构物的力学性能的准确分析，可以进行合理的结构设计和优化。

2.刚架和刚构的计算在刚架和刚构的计算中，位移法可以用来求解节点刚度，从而得到结构物的受力分布和变形情况。

这对于评估结构物的稳定性和刚度有重要意义。

3.非线性问题的分析位移法还可以应用于非线性结构的分析，如软土地基的承载力计算、非线性材料的应力分析等。

在这些情况下，结构物的刚度和应力等参数会随着受力状态的变化而发生变化，需要通过迭代的方法来求解。

4.动力分析位移法也可以用于结构物的动力分析。

动力分析主要研究结构物在动态载荷下的响应和振动特性。

习 题8-1 试说出单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点。

8-2 试说出空间桁架和刚架单元刚度矩阵的阶数。

8-3 试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵。

(a)解：（a ）用后处理法计算 （1）结构标识（2）建立结点位移向量，结点力向量[]T44332211 θνθνθνθν=∆[]Ty M F M F M F M F F 4y43y32y211 =θ（3）计算单元刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2222322211211462661261226466126122EI 21 l l -l l l -l -l l -l l l l - l k k k k k ①①①①①⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222233332232223 33 6 3632336 362EI 21 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ②②②②②lll⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222234443343323 33 6 3632336 362EI 2 1 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ③③③③③（4）总刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=222222222234443343333322322222112112 3300003 6 3 6 000 03403003601236000 0 3632600 363186120000 26460 0 0 06126122EI 0 0 00 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1 l l -l l l - l - - l l -l l l l - l - - l l -l l -l l l l - -l -- l l -l l l l - l k k k k k k k k k k k k k ③③③③②②②②①①①①θ （5）建立结构刚度矩阵支座位移边界条件[][]00004311 θ θ θν=将总刚度矩阵中对应上述边界位移行列删除，得刚度结构矩阵。