数乘向量

向量的加法OB+OA=OC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=的反向量为0向量的减法AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.当λ＞0时,λa与a同方向；向量的数乘当λ＜0时,λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b ∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.。

高中数学数乘向量教案
教学目标：
1. 理解数乘向量的概念。

2. 掌握数乘向量的运算法则。

3. 能够应用数乘向量解决实际问题。

教学重点：
1. 数乘向量的定义和性质。

2. 数乘向量的运算法则。

教学难点：
1. 能够熟练地进行数乘向量的运算。

2. 能够灵活运用数乘向量解决实际问题。

教学准备：
1. 教学资料：教材、讲义、习题集等。

2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪等。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过引入向量的概念，引出数乘向量的定义，并提出学习数乘向量的目的和意义。

二、讲解（15分钟）
1. 数乘向量的定义和性质。

2. 数乘向量的运算法则。

三、示范（10分钟）
教师通过示范例题，演示如何进行数乘向量的运算，并让学生跟着一起做练习。

四、练习（15分钟）
学生进行课堂练习，巩固数乘向量的运算方法，解决相关问题。

五、拓展（10分钟）
教师通过拓展练习，帮助学生深入理解数乘向量的应用，并激发学生的学习兴趣。

六、总结（5分钟）
教师对本节课的重点内容进行总结，并强调数乘向量的重要性和实际应用。

七、作业布置（5分钟）
布置相应作业，激发学生的学习兴趣，巩固今天所学知识。

教学反思：通过这节课的教学，学生能够初步掌握数乘向量的概念和运算法则，并能够灵
活运用解决问题。

同时，通过拓展练习，能够启发学生的思维，提高他们的数学应用能力。

向量与数的乘法一、向量与数的乘法设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为,0)1(>λa λ与a 同向，||||a a λλ=,0)2(=λ0 =a λ,0)3(<λa λ与a 反向，||||||a a ⋅=λλa a 2a-数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：)()(a a λμμλ=a)(λμ=（2）分配律：a a a μλμλ+=+)(ba b a λλλ+=+)(.0a b a b a λλ=≠，使一的实数分必要条件是：存在唯的充平行于，那末向量设向量定理两个向量的平行关系证充分性显然；必要性a ‖b 设,=a b λ 取取正值，同向时与当λa b 取负值，反向时与当λa b .=a λb 即有.同向与此时a λb a λa λ =且a a b =.=b .的唯一性λ，设a λb =，又设a μb =两式相减，得，0=)( a μλ，即0=a μλ ，0≠a ，故0=μλ.=μλ即按照向量与数的乘积的规定，||a a a e =.||a a e a =上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.用表示与非零向量同方向的单位向量。

a e a例1 化简⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-53215a b b b a 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-53215a b b b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+--+-=551251)31(.252b a --=例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证AM MC =BM MD =AD =AM +MD MC =+BM BC=AD 与平行且相等,BC 结论得证.∴A B C DMa b三、小结向量与数的乘法（注意数乘后的方向）。

2．2.3 向量数乘运算及其几何意义知识点一 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎨⎧ 当λ>0时，与a 方向相同；当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二 向量数乘的运算律(1)λ(μa )＝(λμ)a ；(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .知识点三 向量共线定理(1)向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .规律总结：1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a |a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．4．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则A ，P ，B 三点共线⇔m ＋n ＝1.概念理解：1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( )2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( )3．若λa ＝0，则a ＝0.( )类型一 向量的线性运算向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．1、3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ＝________.2、若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______.3、计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a .类型二 向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．1、已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线． (2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．2、已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________．命题角度2 利用向量共线求参数值1、已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值．2、设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？类型三 用已知向量表示其他向量1、在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC → C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB →2、如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.练习：1．下列各式计算正确的有( )(1)(－7)6a ＝－42a ； (2)7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； (3)a －2b ＋a ＋2b ＝2a ； (4)4(2a ＋b )＝8a ＋4b .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( )A.12AM → B.AM → C ．2AM → D.MA →3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝ 。

2023向量数乘运算及其几何意义contents •向量数乘运算的基本概念•向量数乘运算的几何意义•向量数乘运算在物理中的应用•向量数乘运算在数学中的拓展应用•向量数乘运算的实践应用案例目录01向量数乘运算的基本概念向量的定义零向量零向量记作0，是一个长度为0的向量，其所有分量都是0。

向量的模向量v的模记作|v|，定义为v的分量值的平方和的平方根。

向量的分量一个n维向量v可以表示为一个有序数组v = [v1, v2, ..., vn]，其中每个vi称为向量v的分量。

010203•向量数乘的定义：对于一个标量a和一个向量v，a数乘v的结果是一个向量，其每个分量是v的分量乘以a。

即，如果v = [v1, v2, ..., vn]，则av = [av1, av2, ..., avn]。

向量数乘的定义1向量数乘的运算性质23a(v + w) = av + aw，其中a是标量，v和w是向量。

标量与向量的数乘满足分配律a(bw) = (ab)vw，其中a和b是标量，v和w是向量。

向量数乘满足结合律av = (ab)v，其中a和b是标量，v是向量。

向量数乘满足交换律02向量数乘运算的几何意义向量的方向向量的方向与数乘的顺序有关向量数乘运算的结果与数乘的顺序有关，不同的顺序可能得到不同的结果。

例如，对于两个向量a和b，如果先对a进行数乘，再对结果进行加法运算，得到的结果与先进行加法运算，再对结果进行数乘是不同的。

数乘可以改变向量的方向如果一个向量与一个正数相乘，那么它的方向将与原向量相同；如果与一个负数相乘，那么它的方向将与原向量相反。

例如，对于两个向量a和b，如果a与正数k相乘，那么a的方向将与k的方向相同；如果a与负数k相乘，那么a的方向将与k的方向相反。

如果一个向量与一个正数相乘，那么它的长度将变为原向量的k倍；如果与一个负数相乘，那么它的长度将变为原向量的k分之一。

例如，对于两个向量a和b，如果a与正数k相乘，那么a的长度将变为原向量的k倍；如果a与负数k相乘，那么a的长度将变为原向量的k分之一。