第9章压杆稳定(12)案例

第 1 页/共 2 页9-5 未失稳失，轴向压缩 T F L L ∆=∆TEA F TL L EAFL L l l T F αα=⇒=∆=∆， 临界状态 kN 3.109)5.0(22cr ==L EIF π由cr F F =得，温升C EALEI T l ︒==2.29422απ 9-8 由铰B 平衡，22BC AB F F F +=，ABBC F F =θtan F 最大时，AB F 与BC F 均达到临界值2222)sin ()cos (βπβπAC EI F AC EI F BC AB ==， )arctan(cot cot tan 22βθβθ==⇒， 9-10 柔度临界值 p2p σπλE = （1）5.72p =λ，（2）8.65p =λ，（3）6.73p =λ 9-12 AB 与BC 均为两力杆，由铰B 平衡可得 F F BC 75=（压） 柔度 m m 320m 5.215.216=====i l i l，，，其中μμλ 稳定因素 06.028002==λϕ稳定许用应力 MPa 6.0][][st ==σϕσ st ][MPa 58.0σσ<==AF BC ，满意稳定性条件。

9-15 组合压杆的临界力cr F 为杆BC 与AB 临界力的最小值柔度临界值 1002==PP E σπλ P ACAC P BC BC i AC i BC λλλλ>=====1047.0100，大柔度杆，由欧拉公式N 1094.0)7.0(N 1004.1622622⨯==⨯==AC EIF BC EIF AC BC ππ，N 1094.06cr ⨯==⇒AC F F许用压力 kN 376][stcr ==n F F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛======kN 416MPa 8.82][MPa 1.207BC kN 376MPa 6.76][MPa 4.191AC st cr st cr F F ，，：，，：σσσσ 9-17 杆AC ，强度许用应力 MPa 118][st ==n σσ 最大弯矩 26132bh W F M B ==， 最大应力 kN 6.95][41][2max =≤⇒≤=bh F W M B σσσ 杆CD ，柔度P iCD λλ>==200，大柔度杆 由欧拉公式 MPa 3.4922cr ==λπσE 稳定许用应力 MPa 4.16][st cr st ==n σσ 压力 F F CD 31=应力 kN 5.15][3][st st =≤⇒≤=A F AF CD σσσ 结构的许可荷载 kN 5.15][=F。

第九章压杆稳定§9-1 压杆稳定的基本概念在前面的一些章节中，已经讨论了构件在静力平衡状态下的应力、应变以及强度和刚度的设计问题。

构件除了强度和刚度不足而引起失效外，有时由于不能保持其原有的平衡状态而失效，这种失效形式称为丧失稳定性。

考察图9-1所示的等直杆AB，若A端固定，B端作用沿轴线方向的载荷p。

实验表明，若外力p较小时，杆件保持在直线形状的平衡，微小的外界扰动将使杆件发生轻微的弯曲，干扰力解除后，杆件仍恢复直线形状，即外界的干扰不能改变其原有的铅垂平衡状态，压杆的直线平衡是稳定的；若外力p慢慢地增加到某一数值并且超过这一数值时，任何微小的外界扰动将使杆件AB发生弯曲，干扰力解除后，杆件处于弯曲状态下的平衡，不能恢复原图9-1有的直线平衡状态，杆件原有的直线平衡状态是不稳定的。

若外力P继续增大，杆件将因过大的弯曲变形而突然折断。

杆件维持直线稳定平衡的最大外力称为临界压力，记为P cr。

压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为丧失稳定，简称“失稳”。

工程上，一般的细长压杆，由于轴向载荷的偏心或杆件的初曲率，往往因这种屈曲而导致失效的。

因此压杆的“失稳”也称为“屈曲”。

机械中有许多细长压杆，如螺旋千斤顶的螺杆（图9-2a），内燃机气阀门的挺杆（图9-2b）等。

还有，桁架结构中的抗压杆、建筑物中的柱等都是压杆。

这类构件除了要有足够的强度外，还必须有足够的稳定性，才能正常工作。

(a)(b)图9-2除了压杆的失稳形式外，一些细长或薄壁的构件也存在静力平衡的稳定性问题。

例如，细长圆杆的纯扭转，薄壁矩形截面梁的横力弯曲以及承受均布压力的薄壁圆环等，都有可能丧失原有的平衡状态而失效。

图9-3给出了几种构件失稳的示意图，图中虚线分别表示其丧失原有平衡形式后新的平衡状态。

(a)(b)(c)图9-3承受轴向压力的细长压杆的平衡，在什么条件下是稳定的，什么条件下是不稳定的；怎样才能保证压杆正常、可靠地工作等等问题，统称为“稳定问题”。

第九章压杆稳定习题解之迟辟智美创作[习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状a情况下.解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关.因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是（c）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠a）的微分方程分歧.临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两真个支领情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关.因此，[习题9-2]图示各杆资料和截面均相同，试问杆能接受的压力哪根最年夜，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？解：由这公式可知，对资料和截面相同的压杆，它们能接受的压力与原压相的相系数.（a（b（c（d（e（f故图e f.[习题9-3]图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上.试问两杆的临界力是否均为2.螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于解：临界力与压杆两真个支领情况有关.因为(a)的下支座分歧于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式分歧.(b)可是，(a)为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素因此，不能用.为了考察（a）情况下的临界力，我们无妨设下支座（B解得：用试算法得：2.这与弹性支座的转动刚度C有关，C.螺旋千斤顶的底座与空中不是刚性连接，即不是固定的.它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止.当轴向压力不是很年夜，或空中较滑时，底座与空中之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很年夜，或空中很粗拙时，底座与空中之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端.因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适.出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、.譬如，设因此，校核丝杆稳定性时，把它看作下端固平安，而是偏于危险.[习题9-4].[解]：设压杆向右弯曲.压杆处于临界状态时，两真个竖向end 的意思.若取下截离体为研究对象，.上述微分方程的通解为：.(a)把A 、B 的值代入（a ）得：鸿沟条件：③L x =；0=v ：)cos 1(0kL P M cr e -=， 0cos 1=-kL ④0=x 0'=v ：kL k P M cr e sin 0⋅=0sin =kL以上两式均要求：πn kL 2=，,......)3,1,0(=n其最小解是：π2=kL ，或L k π2=.故有：EI P L k cr ==222)5.0(π，因此：22)5.0(L EIP cr π=.[习题9-5]长m 5的10号工字钢，在温度为C 00时装置在两个固定支座之间，这时杆不受力.已知钢的线膨胀系数107)(10125--⨯=C l α，GPa E 210=.试问当温度升高至几多度时，杆将丧失稳定性？解：[习题9-6]两根直径为d 的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示.试根据杆真个约束条件，分析在总压力F 作用下，立柱可能发生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F 之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力cr P 的算式.解：在总压力F 作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：（a ）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：（b ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面. （c ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳故面外失稳时cr P 最小：243128l Ed P cr π=.[习题9-7]图示结构ABCD 由三根直径均为d 的圆截面钢杆组成，在B 点铰支，而在A 点和C 点固定，D 为铰接点，π10=d l .若结构由于杆件在平面ABCD 内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D 处的荷载F 的临界值.解：杆DB 为两端铰支，杆DA 及DC 为一端铰支一端固定，选取.此结构为超静定结构，当杆DB 失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD 及DC 也失稳时整个结构才丧失承载能力，故[习题9-8]图示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样资料的细长杆所组成.若由于杆件在平面ABC 内失稳而引起毁坏，试确定荷载F 为最年夜时的θ角（假设20πθ<<）.解：要使设计合理，必使AB 杆与BC 杆同时失稳，即：[习题9-9]下端固定、上端铰支、长m l 4=的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.已知杆的资料为Q235钢，强度许用应力MPa 170][=σ，试求压杆的许可荷载.解：查型钢表得：[习题9-10]如果杆分别由下列资料制成：（1）比例极限MPa P 220=σ，弹性模量GPa E 190=的钢；（2）MPa P 490=σ，GPa E 215=，含镍3.5%的镍钢；（3）MPa P 20=σ，GPa E 11=的松木.试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度. 解：（1）（2）（3）[习题9-11]两端铰支、强度品级为TC13的木柱，截面为150mm ×150mm 的正方形，长度m l 5.3=，强度许用应力MPa 10][=σ.试求木柱的许可荷载.解：由公式（9-12a ）：[习题9-12]图示结构由钢曲杆AB 和强度品级为TC13的木杆BC 组成.已知结构所有的连接均为铰连接，在B 点处接受竖直荷载kN F 3.1=，木材的强度许用应力MPa 10][=σ.试校核BC杆的稳定性.解：把BC 杆切断，代之以轴力N ，则由公式（9—12b ）得：因为st ][σσ<，所以压杆BC 稳定.[习题9-13]一支柱由4根mm mm mm 68080⨯⨯的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.支柱的两端为铰支，柱长m l 6=，压力为kN 450.若资料为Q235钢，强度许用应力MPa 170][=σ，试求支柱横截面边长a 的尺寸.解：A（查表：，） ，查表得：m 4=mm[习题9-14]某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，资料为Q235钢，MPa 170][=σ.若按两端铰支考虑，试求杆所能接受的许可压力.解：由型钢表查得角钢： 得查表：故[习题9-15]图示结构中，BC 为圆截面杆，其直径mm d 80=；AC 边长mm a 70=的正方形截面杆.已知该结构的约束情况为A 端固定，B 、C 为球形铰.两杆的资料均为Q235钢，弹性模量GPa E 210=，可各自自力发生弯曲互不影响.若结构的稳定平安系数5.2=st n ，试求所能接受的许可压力.解：BC 段为两端铰支，1=μAB 杆为一端固定，一端铰支，7.0=μ故kN F 376][=[习题9-16]图示一简单托架，其撑杆AB为圆截面木杆，强度品级为TC15.若架上受集度为的均布荷载作用，AB 两端为柱形铰，资料的强度许用应力，试求撑杆所需的直径d .解：取m m -以上部份为分离体，由，有设，m 则求出的与所设基秘闻符，故撑杆直径选用m.[习题9-17]图示结构中杆AC 与CD 均由Q235钢制成，C ，D 两处均为球铰.已知mm ，mm ，mm ；，，；强度平安因数，稳定平安因数.试确定该结构的许可荷载.解：（1）杆CD 受压力3FF CD = 梁BC 中最年夜弯矩32F M B =（2）梁BC 中（3）杆CD（Q235钢的)100=P λ =（由梁力矩平衡得）故，由（2）、（3）可知，kN F 5.15][=[习题9-18] 图示结构中，钢梁AB 及立柱CD 分别由16号工字钢和连成一体的两根mm mm mm 56363⨯⨯角钢组成，杆CD 符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.均布荷载集度m kN q /48=.梁及柱的资料均为Q235钢，MPa 170][=σ，GPa E 210=.试验算梁和立柱是否平安.解：（1）求过剩约束力CD F把CD 杆去失落，代之以约束反力CD F .由变形协调条件可知，查型钢表得：16（2）梁的强度校核（↑）AC令CBx 0 1 2 3 4 M 0.000 14.119 12.817 -22.367 12.817 14.119 0.000所以符合正应力强度条件，即平安.（3）立桩的稳定性校核所以压杆会失稳.不服安.。