12-4 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。试求达到临界状态时相应的力P 等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？
N B
B C
N B A
B C
C D
解：（1）各杆的临界力
2
2
2
..2
2
2cr BD cr EI EI P P a
a
ππ=
=
=
外
（2）求各杆的轴力与P 的关系。
由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，AB BC CD DA N N
N N ===。研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。
第一种情况：
C:)02450CB CB X P N cos N =→
--=→=-
∑ 压杆
B:()02450BD BC BD BC Y N N cos N P =
→--=→==∑
拉杆 令2
,.2
=
C B cr C B cr EI N P P P a
a
π=-
==
?外第二种情况： )C B P N =
拉杆 ()-BD BC N P ==压杆
2
2
.2
2
-==
22BD BC cr BD EI EI N P P P a
a
ππ===
?
12-6 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。试求该木柱的临界力.
解：（1）计算柔度：
①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。
0.57101.04xz xz y
l i μλ??=
=
=
②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。
27242.490.200xy xy z
l
i μλ??=
=
=
③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
m ax(.)242.49xz xy λλλ==
（2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr 2
2
2
11
2(0.110)
(0.1200.200)40.28242.49
cr cr E P A A
πσλ
π=?=
???=
??=N kN
12-7铰接结构ABC 由具有相同截面和材料的细长杆组成。若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起破坏。试确定荷载P 为最大时的θ角。（2
0π
θ<
<）
解：（1）研究B 结点求两杆轴力与P 的关系：
设两杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力， B 结点受力如图所示。列平衡方程
sin 0sin ()cos 0cos ()
0BC BC BA BA X P N N P P N N P Y θθθθ?=+==-???→→???
+==-=????∑∑
压杆压杆
（2）求两细长压杆的临界荷载 设AB 长度为a ，则BC
长为 2
2
2
,,2
2
2
,3cr cr AB cr BC EI EI EI P P P l
a
a
πππ=
→=
=
（3）当两压杆的轴力同时到达各自临界力时，P 为最大值
22
2,2
2222
,22=cos 3sin cos 1==3tan 18.43cos =sin 33sin cr AB BA cr BC BA EI EI
P N P P a a a a EI EI P N P P a a ππθθθθθθππθθ??==-=????→→→=????==-=????
12-10 图示压杆，材料为Q235钢，横截面有四种形式，其面积均为23102.3mm ?，试计算其临界力.
(c)
解：（1）矩形：
①计算柔度：2
3
6
3
2 3.21010
3.210
0.04b b --=??=?→=
0.530.53129.9xz xz y
l i μλ???=
=
=
=
129.9>123xz λ=
矩形截面压杆属于细长压杆，采用欧拉公式计算其临界力 ②计算其临界力 2
211
3
2
2
2103,210
N 374.34kN 129.9
cr E P A ππλ
-??=
?=
??=
（2）正方形截面：
①计算柔度：2
3
6
3
3.21010
3.210
0.057a a --=??=?→=
0.530.5391.86xz xz y
l i μλ???=
=
=
=
6091.86<123xz λ<=
正方形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力
6
3
()(304 1.1291.86)10 3.210
N 643.57kN cr cr P A a b A σλ-=?=-?=-????=
（3）圆形截面： ①计算柔度：
2
36
3
3.21010
3.210
0.0644d
d π
--=??=?→=
0.530.5394.000.0644
4
xz xz y
l d i μλ???=
=
=
=
6094<123xz λ<=
圆形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力
6
3
()(304 1.1294)10 3.210
N 635.9kN cr cr P A a b A σλ-=?=-?=-????=
（3）圆环形截面： ①计算柔度：
2
2
2236
3
(1)(10.7) 3.21010
3.210
0.0894m 4
4
D D D π
π
α---=
-=??=?→=
0.530.5354.99xz xz y
l i μλ???=
=
=
=
54.99<60xz λ=
圆环形截面压杆属于粗短杆，临界应力为屈服极限 ②计算其临界力
()()6
3
23510
3.210N 752kN cr cr s P A A σσ-=?=?=???=
12-16 图示结构中，横梁AB 由14号工字钢制成，材料许用应力[]160M Pa σ=，CD 杆为Q235轧制钢管，2636d D ==mm,mm 。试对结构进行强度与稳定校核。
N 图（k N ）
+
24
M 图（k m ）
12
-
解:（1）求反力：取ABC 杆为研究对象，受力如图所示。
()0sin 45122033.941kN A
DC DC m
N N =→-+?=→==∑
F
（2）内力分析：ABC 杆的AC 段发生拉弯组合变形，CB 段发生弯曲；CD 杆为轴向压缩杆件。内力图如图
所示。
（3）对压杆进行稳定性校核。 ①求压杆的柔度 127.39l
i
μλ=
=
=
②Q235轧制钢管为a 类杆件，查表求折减系数
(0.44
50.451)(0.451)
(128127)(127.39127
44866φφ-÷-=-÷-→= ③采用稳定实用计算法，校核压杆的稳定性
3
222410
136.64M Pa []160M Pa 260.448660.0361-436N
Pa A
σπ
φ?=
=≤=?
??
????
?（）
故，压杆的稳定性足够。
（4）对梁ABC 进行强度计算
梁的C 的左截面为拉弯组合变形的危险面，其上距中性轴最远的上边缘点位危险点。
查表可知14号工字钢的2
3
21.516cm
,
102cm z A W ==。则梁的最大拉应力为：
3
3
m ax m ax 4
6
2410
1210Pa 11.154117.647M Pa 128.8M Pa 21.51610
10210
z
M N A
W σ--??=
+
=
+
=+=??
故，ABC 梁的的强度足够。
12-17 图示两端铰支格构式压杆，由四根Q235钢的70×70×6的角钢组成，按设计规范属于b 类截面，杆长l =5m,受轴向压力P =400kN ，材料的强度设计值f =215MPa,试求压杆横截面的边长a 。
400k
解：（1）查表70×70×6角钢的
2
4
08.16cm
,
37.77cm
,
1.95cm z A I Z ===
（2）压杆由四根Q235钢的组成设计规范属于b 类截面。 （2）由稳定条件可知： 3
11-46
140010
0.57048.161021510
P A f
φφ?≥
=→≥????（）
1(0.5750.568)(0.570.568)(9798)(98)0.44866λφ-÷-=-÷-→=
b 类截面，查表可知197.71λ≤ （3）压杆两端铰支μ=1 1111
1
15
97.71005117m l
i
i i μλ?=
=≤→≥.
15117cm 13.185cm i a ≥→≥.
因等边角钢边长为70mm ，取=14cm a ，便于安装施工。 补充：
12-1：图示压杆，材料为A 3钢，MPa 3
10210?=E 。在在平面内，两端铰支，出平面内两端固定8.0=μ。计算此压杆的临界力P cr 。
习题12-3图
解：（1）计算柔度：
①当压杆在在平面内xoy 内失稳，为z 中性轴。
60.8612
080.021=?=
?=
z
xy xy i l
μλ
②当压杆在出平面内xoz 内失稳，为y 中性轴。
56.13812
04.028.0=?=
?=
y
xz xz i l
μλ
③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
56
.138).max(==xy xz λλλ
（2）A 3钢的56.138100<=P λ，故采用欧拉公式计算P lj 2
2
2
3
6
2
(2101010)
(0.0800.040)345.46138.56
cr cr E P A A
πσλ
π=?=
????=
??=N kN
12-2解：（1
kN N N m
CD CD A
487.170)5.135.4(7.9sin 0)(=→=++?+-→=∑αF
（2）求压杆的柔度
40
67.9312
10
100cos /5.113
=??=
=
-αμλi
l
（3）由压杆的柔度查表求折减系数
344.0)10067.93()10090()3.0()3.037.0(=→-÷-=-÷-??
（4）采用稳定实用计算法，校核压杆的稳定性
M P a M P a Pa A
N
10][08.51
.0344.010487.172
3=≤=??=
σ?
故，压杆的稳定性足够。
12-3 分析：折半法，一般初设φ=0.5。
q=50kN/m
q=50kN/m
C
B A
解:（1）求反力：取BC 杆为研究对象，受力如图所示。
kN N N F m B B C 33.21302
14.2502
2.30)(2
=→=?
?+?-
→=∑
（2）μ=1，设φ=0.5,则
m d P
A d
2222.010
115.01033.213]
[4
16
31121
=→???=
≥
=σ?π
取10555.04
222
.0222.011===→=μm i m d
故 500555
.0771
.211
1≈?==
i l μλ
查法得：767.0'
1=?
(2) '1
? 与φ1相差甚远,折中取半。取：65.02
767
.05.02
'
1
12=+=
+=???
m d P
A d
1949.010
1165.010
33.213]
[4
26
32222
=→???=
≥
=σ?π
取104875.04
1949
.01949.022===→
=μm i m d
572
2≈=
i l μλ
cr
P d =20cm
再查表采用内插法7.0)0767668.0(:)767.0()5060(:)5057('
2'2=→--=--??
(3) '2
?与 2? 还相差那么远，再折中。取：68.02
7
.06502
'
2
23=+?=
+=???
m d P
A d
190.010
1168.010
33.213]
[4
36
3332
3
≥→???=
≥
=σ?π
取10475.04
190
.0190.033===→
=μm i m d
33.583
3==
i l
μλ
再查表采用内插法68.0)0767668.0(:)767.0()5060(:)5033.58('
3'2=→--=--??
故取m d 190.0=，可满足稳定要求。
例12-2：图示木柱，[σ]=10MPa 。1）当5P =0kN
时，校核强度。2）求[P ]
解：（1）校核稳定性： 1）求柔度
120
05
.06
1
,
54
===
===
i
l
cm d i μλμ
2）查表可得： 2
30000.208120
?=
=
3）校核:
][65.72.04208.010
5023
σπ?<=??
?
?????=
MPa A
P
故，安全稳定。 （2）确定[P ]
kN 35.65)1010()2.0(208.0][6
2
4
=????=?≤πσ?A P
注意：如果，λ 不是整数，则采用内插法
比如123λ=，对应的折减系数为：
(130120):(123120)(0.1780.208):(0.208)0.199??--=--→=
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π=。 ?
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动） 解：压杆能承受的临界压力为：2 2).(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆， 它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ \ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2).2(l EI P cr π=
3-9 压杆稳定性实验 工程实际中，失稳破坏往往是突然发生的，危害性很大，因此充分认识压杆的失稳现象，测定压杆的临界载荷，具有十分重要的工程意义。 一、试验目的 1．测定两端铰支细长压杆的临界载荷F cr ，并与理论值进行比较，验证欧拉公式。 2．观察两端铰支细长压杆的失稳现象。 二、设备和仪器 1．力学实验台； 2．百分表（或电阻应变仪）； 3．游标卡尺、钢板尺。 三、试样 弹簧钢（60Si 2Mn ）制成的矩形截面细长杆，经过热处理。两端制成刀刃，以便安装在试验台的V 形支座内。 四、实验原理 对于轴向受压的理想细长直杆，按小变形理论其临界载荷可由欧拉公式求得： 2 cr 2() EI F L πμ= (3-32) 式中：E 为材料的弹性模量，I 为压杆横截面的最小惯性矩，l 为压杆的长度；μ为长度系数，对于二端铰支情况，μ=1。 当载荷小于F cr 时，压杆保持直线形状的平衡，即使有横向干扰力使压杆微小弯曲，在撤除干扰力以后压杆仍能回复直线形状，是稳定平衡。 当载荷等于F cr 时，压杆处于临界状态，可在微弯情况下 保持平衡。 如以压力F 为纵坐标，压杆中点挠度w 为横坐标。按小变形理论绘出的F -w 图形可由二段折线OA 和AB 来描述，如图3-32所示。 而实际压杆由于不可避免地存在初始曲率，或载荷可能有微小偏心以及材料不均匀等原因，在加载初始就出现微小挠度，开始时其挠度w 增加较慢，但随着载荷增加，挠度也 不断增加，当载荷接近临界载荷时，挠度急速增加，其F -w 曲线如图3-32中OCD 所示。实际曲线OCD 与理论曲线之间 的偏离，表征初始曲率、偏心以及材料不均匀等因素的影响， 这种影响愈大，偏离也愈大。显然，实际曲线的水平渐进线即代表压杆的临界载荷F cr 。 工程上的压杆都在小挠度下工作，过大的挠度会产生塑性变形或断裂。仅有部分材料制成的细长杆能承受较大的挠度使载荷稍高于cr F (图3-32中虚线DE 所示)。 实验测定临界载荷，可用百分表测杆中点处挠度w ，如图3-33a 所示。绘制F -w 曲线，作F -w 曲线的水平渐近线就得到临界载荷F cr 。 当采用百分表测量杆中点挠度时，由于压杆的弯曲方向不能预知，应预压一定量程，以给杆向左、右弯曲留有测量余地。
第十二章 压杆的稳定性 12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量200E GPa =，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。（1）圆截面，25, 1.0d mm l m ==；（2）矩形截面，240h b mm ==， 1.0;l m =（3）16号工字钢， 2.0l m =。 解：结构为两端铰支，则有22 1,0,lj EI P l πμ== (1)圆截面杆，4 34 932(0.025),2001037.61037.664 (1.0)64 lj d I P kN ππ?== ??=?=? (2)矩形截面杆， 323123493 2 2020401040,20010531053121212(1.0) lj bh I mm P N kN π-???==?=??=?=? (3)16号工字查型钢表知 284 932 113010200 1130,1046110461(2.0) lj I cm P N kN π-???== ?=?= 题12-1图 题12-2图 12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。杆长为l ，在临界力lj p 作用下杆失稳时有可能在xy 平面内维持微弯曲状态下的平衡。杆横截面积对z 轴的惯性矩为I ，试推导其临界压力lj p 的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。
解：()()M x v ρδ=-，结合 ()EIv M x ''=设2 k EI ρ = ，则有微分方程： 2 2 V k v k δ''+= 通解为sin cos v A kx B kx δ=++ 边界条件：0,0,x v ==则0B δ+=，解出B δ=- 0,0x v '==（转角为零），0A k ?=，解出0A = 解得挠曲线方程为：(1cos )v kx δ=- 因为v 在x l =处为δ，则cos 0kl δ?=，由于0δ≠，可得：cos 0,2 kl kl π == （最小值） 而2 k EI ρ = ，得22 (2)lj EI P l π= 注：由cos 0kl =，本有02 kl n π π=+ >，计算可见0n =（2 kl π = 时），对应的P 值 是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。 12-3 某钢材，230,274p s MPa MPa σσ==，200E GPa =，338 1.22lj σλ=-，试计算p λ和s λ值，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。 解：92.6,52.5,s P s a b σλλ-=== =式中338, 1.22a b == s σσs p 50 题12-3图 12-4图示压杆的横截面为矩形，80,40,h mm b mm ==杆长2l m =，材料为优质碳钢， 210E GPa =。两端约束示意图为：在正视图（a ）的平面内相当于铰支；在俯视图（b ） 的平面内为弹性固定，并采用0.6μ=。试求此杆的临界应力lj P 。
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π=。
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为：2 2).(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆， 它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2) .2(l EI P cr π= ？为什么？并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。
《创新型力学实验》 压杆稳定临界载荷测定综合实验 一、实验目的 1. 熟悉动态应变仪的使用方法； 2. 掌握振动信号的测量方法； 3. 测量受压细长杆件失稳时的临界力； 4. 讨论不同杆端约束条件对临界力的影响； 5. 将材料力学方法与振动法测量结果进行比较，讨论两种方法的优缺点； 6. 计算临界力，验证欧拉公式，并分析产生误差的原因。 二、实验仪器设备 动态信号分析仪、压杆稳定综合实验装置、电阻应变片、电涡流传感器、力锤、力传感器读数器、电涡流读数器 矩形截面钢制细长杆件（弹性模量E=180GPa ） 三、实验原理 细长杆作垂直轴线方向的振动时，其主要变形形式是弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动，简称梁的振动。如果梁是直梁，而且具有对称面，振动中梁的轴线始终在对称面内。忽略剪切变形和截面绕中心轴转动的影响，即所谓的欧拉梁。它作横向振动时的偏微分方程为： ()()()()()t x q t t x y x A x t x y x EI x ,,,222222=???+?? ????????ρ (4-6) EI(x)为弯曲刚度(E 为纵向弹性模量，I(x)为截面惯性矩)，()x ρ为密度，A(x)为截面积，q(x,t)为分布干扰力，y(x,t)为挠度。若梁为均质、等截面时，截面积A(x)、弯曲刚度EI(x)、密度()x ρ均为与x 无关的常量，因此，式(4-6)可写成： ()()()()t x q t t x y x A x t x y EI ,,,2 244=???+??ρ (4-7) 如果梁在两端轴向力T 0的作用下自由振动，其振动的偏微分方程为： ()()()0,,,222202222 =???+??-?? ????????t t x y A x t x y T x t x y EI x ρ (4-8)
压杆稳定性实验 潘哲鑫2012011680 祝世杰2012010407 一.实验分析 对于立柱材料而言，损坏往往不是来源于直接受压的损坏，而大都来自于杆件失稳导致的折断或者倾倒。因此研究杆件在受压情况下的失稳特性就非常有意义。 在本实验中，我们使用的是环氧树脂杆，弹性模量59.2E GPa =，500MPa σ=???? 通过测量可知，杆的有效长度为，8412mm L cm d ==直径 实验一：双端铰支的情况下 临界载荷22(KL)K EI P π=其中K=1，故可算得，临界842.9K P N = 考虑杆件达到其许应力的最大值， K K P P A W δσ+=???? 则 3d ())42 K k P W W A P πδσ=-=????其中（ 则算得，9.86cm δ= 因此我们根据上述计算结果，进行了实验，为了防止实验材料被破坏，我们仅仅加载到最大横向位移的0.8倍。 可以观察到，当加载的力值迅速升高至临界载荷后，再继续向下加载，杆件上的力并不会变大，取而代之的是杆件向铰支允许的方向的的弯曲。 实验二：一端铰支，一段固支的情况下 临界载荷22(KL)K EI P π=其中K=0.7，故可算得，临界1720.1K P N = 同理可计算得，达到杆件的最大拉伸应力时， 4.78cm δ=，于是在实验中，我们加载到约3cm 处停止。 在第二次实验中，我们遇到一个问题，即当杆件开始弯曲时，由于可能杆件安装时的偏心误差，它弯曲的方向并不是我们希望测量的方向，因此，在弯曲过程中，为了能使其向我
们偏好的方向弯曲，我主动给它提供了一个水平方向的扰动的力，从而使得其改变弯曲的方向。 但这也导致了在我们实验的曲线上加载阶段，并不是完全和理论相符，而一定程度上小于本应该出现的值。而某种程度上，呈现出线性的关系。 不过可以解释为，由于我的外加力的作用，阻碍了杆件通过弯曲来抵抗载荷，因此，杆件此时纵向的形变完全来自于由于轴向应力产生的应变，满足胡克定律，故一定程度上呈现出线性的状态。 二．工程问题中的屈曲 1.欧拉公式的适用范围 本实验中我们的进行的压杆稳定性实验的工件是长细比很大的实心杆件，经过实验发现工件失稳的临界载荷和用欧拉公式计算的值比较接近，但还是有一定的误差。所以对于实际的工程问题，仅仅用欧拉公式指导设计是不够的。首先欧拉公式的导出建立在如下假设之上：○1杆件只发生了小挠度变形 ○2材料只发生了弹性变形 ○3杆件所加的外载荷没有任何偏心 ○4杆件没有任何初始缺陷 对于前两条，在一般情况下是合理的假设，因为如果前两条不能满足的情况下，我们可以认为杆件已经发生了屈曲或者失稳，但是后两条在实际工程中就不得不考虑了。经查阅资料发现，根据大量的实验和工程经验，在设计时一般都以下面的曲线为指导： 首先杆件非常粗短的时候，破坏方式并不是失稳，而是直接被压坏，也就是临界载荷等于屈服强度。杆件长细比很大时，欧拉公式与试验值符合地较好，而对于中等长细比的杆件，其
压杆稳定 1. 图示结构，AB 为刚性杆，其它杆均为直径10 mm d =的细长圆杆，弹性模量200 GPa E =, 屈服极限s 360 MPa σ=，试求此结构的破坏载荷F 值。 解：1 2.37 m, sin 26 H α??== ???, 0.169()Cy Dy F F F =-=↓, N1N4N2N30.507F F F F F ==-=-= 由杆1，4，N11s 0.507F F A σ==，s 155.8 kN 0.507 A F σ= = 由杆2，3，2N2cr 2π0.673 kN EI F F l ===, cr 2 1.33 kN 0.507 F F == 结构破坏载荷 1.33 kN F = 2. 图示桁架由5根圆截面杆组成。已知各杆直径均为30 mm d =， 1 m l =。各杆的弹性模量均为200 GPa E =，p 100λ=，061λ=，直线经验公式系数304 MPa a =， 1.12 MPa b =，许用应力[]160 MPa σ=，并规定稳定安全因数st []3n =，试求此结构的许可载荷[]F 。 解：由平衡条件可知杆1，2，3，4受压，其轴力为 N1N2N3N4N F F F F F ===== 杆5受拉，其轴力为N5F F = 按杆5的强度条件： N5 [], []113 kN F F A A σσ≤≤= 按杆1，2，3，4的稳定条件 p 133λλ=> 由欧拉公式 cr 78.48 kN F = cr st N []F n F ≥ 37.1 kN F ≤ ， []37.1 kN F = 3. 钢杆和铜杆截面、长度均相同，都是细长杆。将两杆的两端分别用铰链并联，如图，此时两杆都不受力。试计算当温度升高多少度时，将会导致结构失稳？已知杆长 2 m l =，横截面积220 cm A =，惯性矩440 cm z I =；钢的弹性模量s 200 GPa E =，铜的弹性模量c 100 GPa E =，钢的线膨胀系数6s 12.510α-=?℃-1，铜的线膨系数6c 16.510α-=?℃-1。 m
一、实验目的：1、观察压杆的失稳现象； 2、测定两端铰支压杆的临界压力； 3、观察改变支座约束对压杆临界压力的影响。 二、设备及装置： 1. 带有力传感和显示器的简易加载装置或万能电子试验机； 2. 数字应变仪； 3. 大量程百分表及支架； 4. 游标卡尺及卷尺； 5. 试样，压杆试样为由弹簧钢制成的细长杆，截面为矩形，两端加工成带有小 圆弧的刀刃。在试样中点的左右两端各贴仪枚应变片。 6. 支座，支座为浅V 性压杆变形时两端可绕Z 轴转动，故可作为铰支架。 三、实验原理和方法： 1、理论计算：理想压杆，当压力P 小于临界压力cr P 时，压杆的直线平衡是稳定的。这时压力P 与中点挠度δ的关系相当于右图中的直线OA 。当压力到达临界压力cr P 时，压杆的直线平衡变为不稳定，它可能转为曲线平衡。按照小挠度理论，P 与δ的关系相当于图中水平线AB 。两端铰支细长杆的临界压力由欧拉公式计算 2cr 2 P EI l π= ，其中I 为 横截面对z 轴的惯性矩。 2、实测时：实际压杆难免有初弯曲，材料不均匀和压力偏心等缺陷，由于这些缺陷，在P 远小于cr P 时，压杆已经出现弯曲。开始，δ很不明显，且增长缓慢，如图中的OCD 段。随着P 逐步接近cr P ，δ将急剧增大。只有弹性很好的细长杆才可以承受大挠度，压力才可能略微超过cr P ，实测时，在压杆两侧各贴一应变片，测定P-ε曲线，对前后应变ε取增量 ε?，当ε?大于上一个的ε?的2倍时即认为此时的压力为临界压力。 3、加载分两个阶段，在理论值cr P 的70%~80%之前，可采取大等级加载，载荷超过cr P 的80%以后，载荷增量应取得小些。在整个实验过程中，加载要保持均匀、平稳、缓慢。
第十一章 压杆稳定 是非判断题 1 压杆失稳的主要原因是由于外界干扰力的影响。（ ） 2 同种材料制成的压杆，其柔度愈大愈容易失稳。（ ） 3 细长压杆受轴向压力作用，当轴向压力大于临界压力时，细长压杆不可能保持平衡。（ ） 4 若压杆的实际应力小于欧拉公式计算的临界应力，则压杆不失稳（ ） 5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（ ） 6 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，则其临界力也必定相同。（ ） 7 若细长杆的横截面面积减小，则临界压力的值必然随之增大。（ ） 8 压杆的临界应力必然随柔度系数值的增大而减小。（ ） 9 对于轴向受压杆来说，由于横截面上的正应力均匀分布，因此不必考虑横截面的合理形状问题。 （ ） 填空题 10 在一般情况下，稳定安全系数比强度安全系数要大，这是因为实际压杆总是不可避免地存在 以及 等不利因素的影响。 11 按临界应力总图，1λλ≥的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；1 2λλλ≤≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；2λλ≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 。 12 理想压杆的条件是① ；② ；③ 。 13 压杆有局部削弱时，因局部削弱对杆件整体变形的影响 ；所以在计算临界压力时，都采 用 的横截面面积A 和惯性矩I 。 14 图示两端铰支压杆的截面为矩形，当其失稳时临界压力F cr = ，挠曲线位于 平 面内。 z C 题15图 15 图示桁架，AB 和BC 为两根细长杆，若EI 1＞EI 2，则结构的临界载荷F cr = 。 16 对于不同柔度的塑性材料压杆，其最大临界应力将不超过材料的 。 17 提高压杆稳定性的措施有 ， ，以及 和 。 18 细长杆的临界力与材料的 有关，为提高低碳钢压杆的稳定性，改用高强度钢不经济， 原因时 。 19 b 为细长杆，结构承载能力将 。 B P
第九章 压杆稳定 姓名 班级 学号 一、 填空和选择 1．理想均匀直杆与轴向力F=F cr 时处于直线平衡状态，当其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ ） A 弯曲变形消失，恢复直线形状； B 弯曲变形减小，不能恢复直线形状； C 微弯变形状态不变； D 弯曲变形继续增大 2. 压杆的柔度集中地反映了压杆的（ ）对临界应力的影响 A 长度、约束条件、截面形状和尺寸； B 材料、长度和约束条件； C 材料、约束条件、截面形状和尺寸； D 材料、长度、截面形状和尺寸 3．两端铰支圆截面细长压杆，在某一截面上开一个小孔，关于小孔对杆承载能力的影响，以下论述正确的是（ ） A 对强度和稳定承载能力都有较大消弱； B 对强度有较大消弱，对稳定承载能力消弱极微 C 对强度无消弱，对稳定承载能力有较大消弱； D 对强度和稳定承载能力都不会消弱 4．细长杆在图示约束情况下，其长度因素μ的大小在（ ）范围内。 (A) μ>2； (B) 2>μ>； (C) >μ>； (D) μ<。 题 4 图 题5 图 5. 上端自由、下端固定的压杆，横截面为80*80*5号等边角钢，失稳时截面会绕轴 弯曲。 (A) z 或y 轴； (B)zc 或yc 轴； (C) y0轴； (D) z0轴。 6. 图示为支撑情况不同的圆截面细长杆，各杆的直径和材料相同， 的柔度最大，数值为 ； 的柔度最小，数值为 ； 的临界力最大，数值为 ； 的临界力最小，数值为 ； 7. 两根细长压杆的长度、横截面面积、约束状态以及材料均相同，若横截面形状分为正方 形和圆形，则截面形状为 的柔度大，截面形状为 的临界力大。 8. 下列关于压杆临界应力cr σ的结论中，（ ）是正确的。 A 细长杆的cr σ与杆的材料无关； B 中长杆的cr σ与杆的柔度无关 C 中长杆的cr σ与杆的材料无关； D 短粗杆的cr σ与杆的柔度无关
压杆稳定实验 姓名： 学号: 班级: 同组者: 一.实验目得 1．观察压杆失稳现象； 2．通过实验确定临界载荷Fｃｒ,并与理论结果比较； 3．自主设计实验步骤，进行实验结果处理与撰写实验报告。 二.实验设备与仪器 1．压杆失稳试验装置； 2．电阻应变仪； 三.实验试件 板条材料6５Mn弹簧钢，调质热处理,达到,,弹性模量、
电桥图: 四．实验步骤 １、测板条长L,宽B，厚H；
2、拧螺母加压力,为防粘片开胶，压头下移最大1ｍm,对3中安装状态，各实验两遍,用百分表测压头得位移，用应变仪测压力与纯弯应变,画曲线，定失稳压力,算相对理论值得误差. 五.数据处理 压条尺寸:， 1、两端固支 压条长度:L=430mm、 （1）数据列表: 19 ３２１4８１ 709 4 —1０5 -259 —４ ２７ －4 ７1 -474 —47 5 － 478 －4 ８０ —48 １ -482 ８５６2 38 ８５ 6 3８ ６４ 3872 曲线为: 由图线可得失稳压力、
理论失稳压力为： 相对误差: 2、一端铰支,另一端固定 压条长度:L=4６4ｍm、: （1）数据列表: １４ 9 3３5 523 ６62 ７72 865 9６１ 1 —９9 -14８-171 -180 —178 -１89 -１9 ３ -19６－199 -2０0 8 61６ 曲线为: 由图线可得失稳压力P=16１４N、
理论失稳压力为： 相对误差： 3、两端铰支 压条长度：L=４98ｍｍ、 （１)数据列表: ５５27 58８667 752 83９921 -４8 -7２—83 -９０－96 -9８－98 -99 －99 －１０0 ４78６8 ８１6 曲线为： 由图线可得失稳压力Ｐ＝8１4Ｎ、
压杆稳定实验 一、实验目的： 1、观察压杆的失稳现象 2、测定两端铰支压杆的临界压力 二、实验原理和方法： 1、理论计算：理想压杆，当压力P 小临界压力cr P 时，压杆的直线平衡是稳定的。当压力到达临界压力cr P 时，压杆的直线平衡变为不稳定，它可能转为曲线平衡。两端铰支细长杆的临界压力由欧拉公式计算 ，其中I 为横截面对z 轴的惯性矩。 2、实测时：实际压杆难免有初弯曲，材料不均匀和压力偏心等缺陷，由于这些缺陷，在P 远小于cr P 时，压杆已经出现弯曲。开始，δ很不明显，且增长缓慢。随着P 逐步接近cr P ， δ将急剧增大。只有弹性很好的细长杆才可以承受大挠度，压力才可能略微超过cr P ，实测 时，在压杆两侧各贴一应变片，测定P-ε曲线，当施加压力增量很小而变形突增时即可得出临界压力。 三、实验结果： 1、理论计算 参数记录：b=15.30mm, h=1.80mm, l=391mm, E=210GPa 由欧拉公式计算得出临界压力的理论值为：100.81N 2、实验数据记录： 力-应变曲线图
四、实验结果分析： 数据处理得到以下“力-应变曲线图”。通过曲线可以发现临界压应力为81N左右。其结果小于根据公式计算得出的理论值。 分析实测值小于理论值的原因有： 1、该试件已被使用多次，由于疲劳效应，更容易产生变形。 2、两端V形支座的底线不在压杆的同一纵向对称平面内，则有一扭矩产生，会使得压杆更容易失稳，故实测临界压力降低。 3、有可能是V形支座的底线不在压杆的同一纵向对称平面内，也有可能是材料的不均匀程度较大，压力偏心现象严重，导致临界压力实测值远低于理论值。
页脚内容1 压杆稳定习题 压杆部分 填空题 01长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将b 改为h 后仍为细长压杆，临界力cr P 是原来的多少倍？有四种答案： (A) 2倍；(B)4倍；(C)8倍；(D)16倍； 正确答案是_____________________。 02图示结构二杆材料和截面形状和尺寸相同，均为细长压杆，若在平面内失稳而破坏。那么结构的临界载荷沿何方位作用时，其值最小？有四种答案： （A ） o 0=θ ； （B ）o 90=θ； （C ） o 30=θ； （D ）使二杆同时进入临界状态的θ值； 03三种不同截面形状的细长压杆如图所示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主轴转动。（a ）______； （b ）__________；（c ）_________________。 04图示材料相同，直径相等的细长压杆中，杆能承受压力最大；杆能承受压力最小。
页脚内容2 05图示两桁架中各杆材料和截面均相同，设设1P 和2P 分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则有四个答案： (A)21P P =；(B)21P P <；(C)21P P >；(D)不能断定1P 和2P 的关系。 正确答案是___________________。 06．两端铰支的正方形截面压杆，当失稳时，截面将绕哪个轴转动，有四种答案： （A ）绕y 轴弯曲；(B)绕z 1轴弯曲；(C)绕z 轴弯曲；(D)可绕过形心C 的任何轴弯曲； 正确答案是________________。 07．由图示压杆的坐标系及挠曲线形状，其弯曲方程有四种答案： (A))()(y P x M cr +?=； (B))()(y P x M cr +?-=； (C))()(?-=y P x M cr ； (D))()(y P x M cr -?=； 正方形截面杆，横截面边长a 和杆长l 成比例，它的长细比有四种答案：
第十三章 压杆稳定 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。 1.2 临界压力 细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。 1.3 稳定计算 为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算： st cr n F F n ≥= －稳定条件 2 重点与难点及解析方法 2.1临界压力 临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。 2.2稳定计算 压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。 利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。 稳定计算要求掌握安全系数法。 解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据 柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。 3典型问题解析 3.1 临界压力
mm .h A I i min 55113 2===mm .a A I i 31632===例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm 2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm 、(2)、a=56.5mm 、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm 。若已知材料的E =200GPa ，σs =235MPa ，σcr =304－1.12λ，λp =100，λs =61.4，试计算各杆的临界荷载。 [解] 压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。 (1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm 时 λ＞ λP 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力 (2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm 时 所以 9.12910 55.113 5.031=??==-i l μλkN 37521 21=?=?=A E A F cr cr λπ σ 0.7d 图13－1
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ
第九章压杆稳定 姓名班级学号 一、填空和选择 1．理想均匀直杆与轴向力F=F cr时处于直线平衡状态，当其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（） A 弯曲变形消失，恢复直线形状； B 弯曲变形减小，不能恢复直线形状； C 微弯变形状态不变； D 弯曲变形继续增大 2. 压杆的柔度集中地反映了压杆的（）对临界应力的影响 A 长度、约束条件、截面形状和尺寸； B 材料、长度和约束条件； C 材料、约束条件、截面形状和尺寸； D 材料、长度、截面形状和尺寸 3．两端铰支圆截面细长压杆，在某一截面上开一个小孔，关于小孔对杆承载能力的影响，以下论述正确的是（） A 对强度和稳定承载能力都有较大消弱； B 对强度有较大消弱，对稳定承载能力消弱极微 C 对强度无消弱，对稳定承载能力有较大消弱； D 对强度和稳定承载能力都不会消弱4．细长杆在图示约束情况下，其长度因素μ的大小在（）范围内。 (A) μ>2；(B) 2>μ>0.7；(C) 0.7>μ>0.5；(D) μ<0.7。 题4 图题5 图 5. 上端自由、下端固定的压杆，横截面为80*80*5号等边角钢，失稳时截面会绕轴弯曲。 (A) z或y轴；(B)zc或yc轴； (C) y0轴；(D) z0轴。 6. 图示为支撑情况不同的圆截面细长杆，各杆的直径和材料相同，的柔度最大，数值为；的柔度最小，数值为；的临界力最大，数值为；的临界力最小，数值为； 7. 两根细长压杆的长度、横截面面积、约束状态以及材料均相同，若横截面形状分为正方形和圆形，则截面形状为的柔度大，截面形状为的临界力大。 的结论中，（）是正确的。 8. 下列关于压杆临界应力 cr
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力 P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后 发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状 ； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力 P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态， 此时若解除压力 P ，则压杆的微 弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 A ） 对临界应力的影响。 ； 试判断哪一根最容易失稳。答案： （ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长 1m ，直径 50mm 。其柔度 为 ( C ) A.60 ； B.66.7 ； C.80 ； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下， 压杆采用图 （ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量 E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量 E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量 E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ E B 、λ≤ E P s C 、λ≥ E D 、λ≥ E P s B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状
12-4 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。试求达到临界状态时相应的力P 等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？ N B B C N B A B C C D 解：（1）各杆的临界力 2 2 2 ..2 2 2cr BD cr EI EI P P a a ππ= = = 外 （2）求各杆的轴力与P 的关系。 由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，AB BC CD DA N N N N ===。研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。 第一种情况： C:)02450CB CB X P N cos N =→ --=→=- ∑ 压杆 B:()02450BD BC BD BC Y N N cos N P = →--=→==∑ 拉杆 令2 ,.2 = C B cr C B cr EI N P P P a a π=- == ?外第二种情况： )C B P N = 拉杆 ()-BD BC N P ==压杆 2 2 .2 2 -== 22BD BC cr BD EI EI N P P P a a ππ=== ? 12-6 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。试求该木柱的临界力.
解：（1）计算柔度： ①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。 0.57101.04xz xz y l i μλ??= = = ②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。 27242.490.200xy xy z l i μλ??= = = ③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。 m ax(.)242.49xz xy λλλ== （2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr 2 2 2 11 2(0.110) (0.1200.200)40.28242.49 cr cr E P A A πσλ π=?= ???= ??=N kN 12-7铰接结构ABC 由具有相同截面和材料的细长杆组成。若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起破坏。试确定荷载P 为最大时的θ角。（2 0π θ< <） 解：（1）研究B 结点求两杆轴力与P 的关系：
压 杆 稳 定 基 本 概 念 题 一、选择题1. 如果细长压杆有局部削弱，削弱部分对压杆的影响有四种答案，正确的是（ ）。A ．对稳定性和强度都有影响 B ．对稳定性和强度都没有影响C ．对稳定性有影响，对强度没有影响 D ．对稳定性没有影响，对强度有影响 2. 图示长方形截面压杆，h ／b = 1／2；如果将b 改为h 后仍为细长杆，临 界力是原来的（ ）倍。cr P A ．2倍 B ．4倍 C ．8倍 D ．16倍 3. 细长压杆，若长度系数增加一倍， μ则临界压力的变化是（ ）。 题2图 cr P A ．增加一倍 B ．为原来的四倍 C ．为原来的四分之一 D ．为原来的二分之 一4. 图示四根压杆的材料、截面均相同，它们在纸面内失稳的先后次序是（ ）。 题4图 A ．（a ）、（b ）、（c ）、（d ） B ．（d ）、（a ）、（b ）、（c ） C ．（c ）、（d ）、（a ）、（b ） D ．（b ）、（c ）、（d ）、（a ） 5. 正方形截面杆，横截面边长a 和杆长l 成比例增加，它的长细比（ ）。 A ．成比例增加 B ．保持不变 C ．按变化 D ．按变化 2 ??? ??a l 2 ?? ? ??l a 6. 如图所示直杆，其材料相同，截面和长度相同，支承方式不同，在轴向压力下，他们的柔度是（ ）。 A ．大，小 B ．大，小 C ．大，小 D ．大，小 a λc λ b λd λb λ c λa λb λ
-46- 7. 若压杆在两个方向上的约束情况不同， 且＞。那么该压杆的合理截面应满足的 y μz μ条件是（ ）。A ． B ．＜z y I I =y I z I C ．＞ D ．y I z I y z λλ= 题6图 8. 两压杆为管状薄壁容器式的细长杆，管两端封闭，且为铰支承。(a )杆无内压，(b )杆有内压，其它条件相同。则两杆临界应力的关系是（ ）。 A ． B ．＞( )()b cr a cr σσ=( )a cr σ()b cr σC ．＜ D ．无法比较 ( )a cr σ()b cr σ 9. 两根细长杆，直径、约束均相同，但材料不同，且，则两杆临界应力的 212E E =关系是（ ）。 A ． B ． ( )()21cr cr σσ=( )()212cr cr σσ=C ． D ．( )()212 1 cr cr σσ=( )()213cr cr σσ=10. 由稳定条件，可求[P ]，当A 增加—倍时，则[P ]增加的规律有四种答案： ][σ?A P ≤A ．增加一倍 B ．增加二倍 C ．增加 倍 D ．与A 不成比例 2 1 二、判断题(正确的打“√”，错的打“×”) 1. 当压杆的中心压力P 大于临界压力时，杆原来的直线形式的平衡是 cr P 不稳定的平衡。( ) 2. 临界力只与压杆的长度及两端的支承情况有关。( ) cr P 3. 对于细长压杆，临界压力的值不应大于比例极限。( ) cr P p σ4. 压杆的柔度与压杆的长度、横截面的形状和尺寸以及两端的支承情况有关。（ λ） 5. 对压杆进行稳定计算时，公式中压杆的横截面面积A 应采用所谓的 “毛面积”。（ ）
压杆稳定小结 1、 压杆稳定的概念 稳定平衡是指干扰撤去后可恢复的原有平衡；反之则为不稳定平衡。 压杆稳定性是指压杆保持或恢复原有平衡状态的能力。 压杆的临界压力是指压杆由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受轴向压力的界限值，用cr F 来表示。 2、 细长中心受压直杆的临界力 在线弹性和小变形条件下，根据压杆的挠曲线近似微分方程，结合压杆的边界条件，可推导得到使压杆处于微弯状态平衡的最小压力值，即压杆的临界压力欧拉公式可写成统一的形式： 2 2 ) (l EI F cr μπ= 式中μ为长度因数。几种常见细长压杆的临界力可见，杆端约束越强，杆的长度因数越小。l μ为相当长度，可理解为压杆的挠曲线两个拐点之间的直线距离。 (d) (d)表13-1 (d) 表13-1
3、 压杆的临界应力总图 (1) 压杆的临界应力 压杆在临界力作用下，其横截面上的平均应力称为压杆的临界应力， cr cr F A σ= (2) 欧拉公式的适用范围 线弹性范围，()22cr cr p 22 F EI E A l A ππσσλμ===≤ 即 p λλ≥ = 时，欧拉公式才能适用。通常称p λλ≥的压杆为大柔度压杆或细长压杆。 (3) 压杆的柔度（或长细比） i l μλ= 是一无量纲的量。一般情况下，由于杆端约束(μ)或惯性半径(i )的不同，压杆在不同的纵向平面内具有不同的柔度值，压杆失稳首先发生在柔度最大的纵向平面内。
(4) 临界应力总图 压杆的临界应力随柔度λ变化的λσ-cr 图称为临界应力总图。 大柔度杆p λλ≥，临界应力低于比例极限，可按欧拉公式计算，2 2 λπσE cr = ； 中柔度杆p s λλλ≤≤，临界应力超过比例极限，可按经验公式计算，如直线公式： λσb a cr -=，其中a 、b 为与材料有关的常数。或钢结构设计中采用的抛物线公式，以及折减弹性模量理论进行计算； 小柔度杆s λλ≤(或b λ)，临界应力达极限应力：塑性材料s cr σσ=，脆性材料 cr b σσ=，属于强度问题。 其中，p p E σπλ2=，s s a b σλ-=为材料常数，仅与压杆的材料有关。 4、 压杆的稳定计算 （1） 压杆的稳定条件 采用稳定安全因数法，压杆的稳定条件为： []st st n n ≥ 或 []st st cr F n F F =≤ ][ 或 []st st cr n σσσ=≤][ 式中，[]st n 为规定的稳定安全因素。st n 为工作安全因数，由下式确定： 图13-12