福建省莆田第六中学2016届高三第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
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2016届莆田六中高三毕业班第一次模拟考试数学（文科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）． 1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|41,}B x x n n Z ==-∈，则A B = （ ） A ．{1}- B ．{1} C ．{3} D ．{1,3}- 2．已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本，某中学共有学生2000 名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中男生比女生少6人，则该校共有男生（ ） A ．1030人 B ．1050人 C ．950人 D ．970人4．已知向量,a b 的夹角为60︒，且1a = ，a - ，则b = （ ）A B ．32 C ．52D ． 5．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：问日织几何？”一天的2倍，已知她5天共织布5尺，的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为（ A ．815 B ．1615 C ．20316．如图，网格纸上小正方形的边长为1该多面体的体积为（ ）A ．20B ．16C ．12D ． 87． 已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若2z x y =+，则z 的最大值为（ ） A ．4- B ．0 C ．2 D ．48．如右图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是（ ） A ．3?k > B ．4?k > C ．5?k > D ．6?k >9．将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移ϕ(0)ϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．8π B ．2π C ．34π D ．38π10．已知点12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4 CD11．设奇函数()f x 在R 上存在导数()f x '，且在(0,)+∞上2()f x x '<，若(1)()f m f m --≥331(1)3m m ⎡⎤--⎣⎦，则实数m 的取值范围为（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U12．同一平面内两两平行的三条直线1l 、2l 、3l （2l 夹在1l 与3l 之间），1l 与2l 的距离为a ，2l 与3l 的距离为b ，若1A l ∈、2B l ∈、3C l ∈，且2AB AB AC =⋅，则△ABC 面积的最小值为（ ）A ．222a b + B ．2a b+C ．ab D．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若832S =，则2562a a a ++=________．14．P 为抛物线24y x =上任意一点，P 在y 轴上的射影为Q ，点M （7，8），则||||PM PQ +的最小值为________．15．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，02,2,1,60PA AB AC BAC ===∠=，则该三棱锥的外接球的表面积为________．16．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22x x mf x =+，设(),1,()(),1,f x xg x f x x >⎧=⎨-≤⎩ 若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知函数22()cos 3sin cos 2f x x x x x =--+． （Ⅰ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （Ⅱ）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且sin(2)22cos()b A C A C a +==++， 求角B18．（本小题满分分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100[]50,60，[]60,70，[]70,80，[]80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[]50,60，[]90,100的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省90,100内的概率．级学科知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是060ABC ∠=的菱形，M 为PC 的中点． （Ⅰ）求证：PC AD ⊥；（Ⅱ）求点D 到平面PAM 的距离．20．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知00(,)R x y 是椭22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆2200:()()8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点,P Q ． （Ⅰ）若R 点在第一象限，且直线,OP OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （Ⅱ）若直线,OP OQ 的斜率存在，并记为12,k k ，求12k k 的值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln mx nf x x x-=-（,m n R ∈）． （Ⅰ）若函数()f x 在（2，(2)f ）处的切线与直线0x y -=平行，求实数n 的值； （Ⅱ）试讨论函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；（Ⅲ）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点12,x x （120)x x <<，求证：122x x +>． 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AC 为半圆O 的直径，D 为 BC的中点，弦AD 与BC 相交于点E ． （Ⅰ）求证：2AE AD CE CB AC ⋅+⋅=；（Ⅱ）过点D 作DF ⊥AB ，F 为垂足，求证：DF 为半圆O 的切线． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 过点(1,2)A --且倾斜角为4π，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos sin a θρθ=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程为；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于1M 、2M 两点，若12||||4AM AM ⋅=，求a 的值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|3|f x x =-．（Ⅰ）若不等式(1)()f x f x a -+<的解集为空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若||1a <，||3b <，且0a ≠，判断()||f ab a 与()b f a 的大小，并说明理由．18．解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯， …………2分20.0045010y ==⨯， …………4分0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=．…………6分（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90]内的学生有5人，记这5人分别为12345,,,,a a a a a ，分数在[90,100]内的学生有2人，记这2人分别为12,b b ，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：()()()()()()()()()()()1213141511122324252122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a b a b a a a a a a a b a b ()()()()()()()()()()34353132454142515212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b…………8分其中2名同学的分数恰有一人在[90,100]内的情况有10种，…………10分 ∴ 所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90,100]内的概率10P 21=………………12分 19．解：（Ⅰ）取AD 中点O ，连结,,OP OC AC ，由已知得,PAD ACD ∆∆均为正三角形，∴,OC AD OP AD ⊥⊥，…2分 又,OC OP O OC =⊂ 平面,POC OP ⊂平面POC ， ∴AD ⊥平面POC ，………………4分又PC ⊂平面POC ，∴PC AD ⊥ …………5分（Ⅱ）点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离， 由（Ⅰ）可知PO AD ⊥，∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，PO ⊂面PAD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P ABC -的体高．…………7分在Rt POC ∆中，PO OC PC ===在PAC ∆中2,PA AC PC ===边PC 上的高AM ==，∴PAC ∆的面积1122PAC S PC AM ∆===，………9分 设点D 到平面PAC 的距离为h ， 由D PAC P ACD V V --=得，1133PAC ACD S h S PO ∆∆= ，又224ACD S ∆==，解得5h =， ∴点D 到平面PAM…………12分 20．解：（Ⅰ）由已知得圆R的半径r = ∵直线,OP OQ 互相垂直，且和圆R 相切，∴4OR =，即220016x y += ① …………2分 又点R 在椭圆C 上，∴220012412x y += ② …………3分联立①②，解得00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………5分∴所求圆R的方程为：22((8x y -+-=． …………6分（Ⅱ）∵直线OP ：1y k x =和OQ ：2y k x =都与圆R 相切，=222010010(8)280x k x y k y --+-= ……8分同理得：222020020(8)280x k x y k y --+-=∴12,k k 是关于k 的方程2220000(8)280x k x y k y --+-=的两不等实数根由韦达定理得：20122088y k k x -=- ， …………10分∵点00(,)R x y 在椭圆C 上，∴220012412x y +=，即22001122y x =-，∴21220141282x k k x -==--． …………12分 22．证明：（Ⅰ）过E 作EG ⊥AC ，G 为垂足，又AC 为半圆O 的直径，∴090ABE AGE ∠=∠=，即A 、B 、E 、G 四点共圆，则CE CB CG CA ⋅=⋅， 同理可证C 、D 、E 、G 四点共圆，则CA CG CE CB ⋅=⋅， 则AE AD AG AC ⋅=⋅，∴2()AE AD CE CB AG AC CG CA AG CG AC AC ⋅+⋅=⋅+⋅=+=， 即2AE AD CE CB AC ⋅+⋅=； …………5分 （Ⅱ）延长CD 交AB 于点H ，∵D 为弧BC 的中点，∴CAD BAD ∠=∠，即CAD HAD ∠=∠， 又AD ⊥CD ，即AD ⊥CH ，∴D 为CH 的中点，又O 为AC 中点， 连接OD ，则OD ∥AH ，即OD ∥AB ，又DF ⊥AB ，∴OD ⊥DF ， 即DF 为半圆O 的切线． …………10分23．解：（Ⅰ）曲线C :2cos sin a θρθ=22sin cos a ρθρθ⇔= ∵cos ,sin x y ρθρθ==，∴曲线C 的直角坐标方程为：2y ax = …2分∵直线l 过点(1,2)A --且倾斜角为4π，∴直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数） …………5分 （Ⅱ）直线l 与曲线C 相交于12,M M 两点，设11AM t =，22AM t =，12t t ≠， （或设12,M M 两点对应的参数分别为12,t t ，12t t ≠）把l 的参数方程代入2y ax =，得24)2(4)0t a t a +++=，……7分22(4)8(4)0a a ∆=+-+>，即(4)0a a +>，4a ∴<-或0a >，由韦达定理得122(4)t t a ⋅=+，∴121212||||||||||AM AM t t t t ⋅=⋅=⋅∵12||||4AM AM ⋅=，∴|2(4)|4a +=|4|2a ⇔+=，…………9分 解得6a =-或2a =-，由0∆>，2a =-（不合舍去） 综上所述，6a =-． …………10分24．解：（Ⅰ）∵(1)()|4||3||43|1f x f x x x x x -+=-+--+-=≥， 不等式(1)()f x f x a -+<的解集为空集，则1a …即可，∴实数a 的取值范围是(1]-∞，. ………………5分 （Ⅱ） ()()||f ab b f a a >，证明：要证()()||f ab b f a a >， 只需证|3||3|ab b a ->-，即证22(3)(3)ab b a ->-， 又22(3)(3)ab b a ---222299a b a b =--+22(1)(9)a b =--∵||1||3a b <<，， ∴22(3)(3)0ab b a --->，所以原不等式成立. …………10分。
