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第十章 卡方检验

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卡方检验的原理和步骤

卡方检验的原理和步骤

卡方检验的原理和步骤卡方检验（Chi-squared test）是一种用于统计学中的假设检验方法，主要用于检验两个或更多个分类变量之间是否存在相关性。

它的原理和步骤可以概括如下：原理：卡方检验是基于卡方统计量的方法，卡方统计量是通过计算实际观察值与期望理论值之间的差异来判断变量间是否存在相关性。

具体来说，卡方统计量是通过计算每个观察值与对应期望值之间的差异平方的总和来衡量的。

如果差异较小，说明实际观察值与期望值之间较为接近，两个变量间可能不存在相关性；如果差异较大，则说明实际观察值与期望值之间存在较大差异，两个变量间可能存在相关性。

步骤：1.建立假设：在进行卡方检验之前，需要明确两个变量之间的假设。

通常有两种假设：原假设（H0）和备择假设（Ha）。

原假设是指两个变量之间没有相关性，备择假设是指两个变量之间存在相关性。

2.构建列联表：列联表（Contingency table）是用来统计两个或多个分类变量的交叉频次分布的表格。

在卡方检验中，我们需要根据实际观察数据构建列联表。

3.计算期望值：在卡方检验中，我们需要计算期望理论值。

期望理论值是指如果两个变量之间不存在相关性，那么我们可以根据边际总计与变量间的分布来计算出的预期频次。

一般情况下，期望理论值可以通过边际总计和整体频率来计算。

4.计算卡方统计量：在有了观察值和期望理论值后，我们可以通过计算卡方统计量来判断两个变量之间是否存在相关性。

卡方统计量的计算公式为：χ2=∑((O-E)^2/E)，其中χ2为卡方统计量，O为观察值，E为期望理论值。

计算出卡方统计量后，可以根据自由度去查找对应的临界值。

5.决策：根据卡方统计量的计算结果，我们可以通过比较卡方统计量与对应自由度的临界值来进行决策。

如果卡方统计量小于临界值，则接受原假设，即认为两个变量之间没有相关性；如果卡方统计量大于临界值，则拒绝原假设，即认为两个变量之间存在相关性。

6.结论：最后，根据决策结果，我们可以得出结论，即两个变量之间是否存在相关性。

《卡方检验正式》课件

《卡方检验正式》课件

卡方检验的结果可以直接解释为实际意义 ，例如，如果卡方值较大，则说明观察频 数与期望频数存在显著差异。
缺点
对数据要求高
卡方检验要求数据量较大，且各分类的期望频数不能太小，否则可能 导致结果不准确。
对离群值敏感
卡方检验对离群值比较敏感，离群值可能会对结果产生较大的影响。
无法处理缺失值
卡方检验无法处理含有缺失值的数据，如果数据中存在缺失值，需要 进行适当的处理。
案例二：市场研究中的卡方检验
总结词
市场研究中，卡方检验用于评估不同市 场细分或产品特征与消费者行为之间的 关联。
VS
详细描述
在市场研究中，卡方检验可以帮助研究者 了解消费者对不同品牌、产品或服务的偏 好。例如，通过比较不同年龄段消费者对 某品牌的选择比例，企业可以更好地制定 市场策略和产品定位。
案例三：社会调查中的卡方检验
小，表示两者之间的差异越小。通常根据卡方值的概率水平来判断差异
是否具有统计学显著性。
02
卡方检验的步骤
建立假设
假设1
观察频数与期望频数无显著差异
假设2
观察频数与期望频数有显著差异
收集数据
从样本数据中获取观察频数 确定期望频数，可以使用理论值或预期频数
制作交叉表
将收集到的数据整理成二维表格形式，行和列分别表示分类变量
卡方检验的基本思想
01
基于假设检验原理
卡方检验基于假设检验的原理，通过构建原假设和备择假设，利用观测
频数与期望频数的差异来评估原假设是否成立。
02
比较实际观测频数与期望频数
卡方检验的核心是比较实际观测频数与期望频数，通过卡方值的大小来
评估两者之间的差异程度。
03

第十章卡方检验

第十章卡方检验

2 检验的基本公式，
表，确定其差异是否显著。（常用的方法）
其关键步骤是计算理论次数与确定自由度。 （1）将实际次数分布的统计量代入所选的理论分布函数方程，求各分组 区间的理论频率，然后乘以总数得各分组区间的理论次数；
16 （2）将分组的数目减去计算理论次数时所用统计量的数目即自由度。
[例10-5] 表10-2所列资料是 552 名中学生的身高次数分布，问这些学生的 身高分布是否符合正态分布？
3、去除样本法； 4、使用校正公式。
7
第二节
察次数分布与某理论次数是否有差别。
配合度检验
配合度检验（goodness of fit test）主要用于检验单一变量的实际观
它检验的内容仅涉及一个因素多项分类的计数资料，是一种单因素检验 （one-way test）。
一、配合度检验的问题
（一）统计假设
2、根据各组的理论次数与实际次数计算
2 值，得 2 3.905
3、确定自由度。本题共分 11 组，在计算理论次数时，对最高组和最低
组两极端次数进行了合并，合并后为 9 组。在计算理论次数的过程中共用到
平均数、标准差、总数 3 个统计量，故本题的自由度 df=9-3=6 。 4、查
2 表，得 02.05 12.6， 02.01 16.8
表10-2
身高 分组 169 ~ 166 ~ 163 ~ 160 ~ 157 ~ 154 ~ 151 ~ 148 ~ Xe 170 167 164 161 158 155 152 149 fo 2 7 22 57 110 124 112 80
书中数字错！
552 名学生身高的理论次数分布及卡方检验
x 15.38 12.38 9.38 6.38 3.38 0.38 -2.62 -5.62 Z 3.03 2.44 1.85 1.26 0.67 0.07 -0.52 -1.11 y 0.0040 0.0203 0.0720 0.1840 0.3187 0.3979 0.3484 0.2154 p 0.0023 0.0120 0.0426 0.1088 0.1885 0.2354 0.2061 0.1274 fe 1 7 24 60 104 130 114 70

《卡方检验》课件

《卡方检验》课件

制作交叉表
确定交叉表的行列变量
根据研究目的和内容，选择合适的行列变量，构建交叉表。
制作交叉表
将分组后的数据按照行列变量制作成交叉表，以便于进行卡 方检验。
计算理论频数
确定期望频数
根据交叉表中的数据，结合各组 的概率计算期望频数。
计算理论频数
根据期望频数和实际频数计算理 论频数，为后续的卡方检验提供 依据。
计算卡方值
计算卡方值
使用卡方检验的公式计算卡方值，该 值反映了实际频数与理论频数的差异 程度。
自由度的确定
在计算卡方值时，需要确定自由度， 自由度通常为行数与列数的减一。
显著性水平的确定
选择显著性水平
显著性水平是衡量卡方值是否显著的指标，通常选择0.05或0.01作为显著性水 平。
判断显著性
根据卡方值和自由度，结合显著性水平判断卡方检验的结果是否显著，从而得 出结论。
3.84、6.63等），可以确定观测频数与期望频数之间的差异是否具有统
计学显著性。
02
卡方检验的步骤
收集数据
确定研究目的
制定调查问卷或收集程序
在开始收集数据之前，需要明确研究 的目的和假设，以便有针对性地收集 相关数据。
根据研究目的和内容，制定合适的调 查问卷或建立数据收集程序，确保数 据的完整性和准确性。
详细描述
例如，在市场调研中，我们可以通过卡方检验来分析不同年龄段、性别、职业等 人群对于某产品的态度或购买意愿是否有显著差异，从而为产品定位和营销策略 提供依据。
实际案例二：医学研究中的应用
总结词
在医学研究中，卡方检验常用于病例 对照研究和队列研究中的分类变量关 联性分析。
详细描述
例如，在病例对照研究中，我们可以 通过卡方检验来比较病例组和对照组 在某些基因型、生活方式或暴露因素 上的分布是否有统计学差异，从而探 讨病因或危险因素。

卡方检验

卡方检验
10.4802
统计决断

双向表的自由度: df=(r -1)(c -1) 查χ2值表，当 df =(3-1)(3-1)=4 时
(24)0.05 9.49
(24)0.01 13.3
9.49 ＜χ2= 10.48 ＜ 13.3，则 0.05 > P > 0.01 结论：学生是否愿意报考师范大学与 家庭经济状况有显著关系。
1 ：2 ：1 ？
解：1.提出假设 H0：健康状况好、中、差的人数比例是1：2：1 H1：健康状况好、中、差的人数比例不是1：2：1 2选择检验统计量并计算 对点计数据进行差异检验,可选择χ2检验
（3）计算理论次数
fo
fe
13.5 27.0 13.5
54
好 中 差
总 和
15 23 16
54
4、计算卡方值
5、比较决策 查χ2值表，当 df =k -1=2 时
(22)0.05 5.99
χ2= 1.22 ＜ 5.99，则 P > 0.05
结论：理论频数与实际频数差异不显著,表明该 校老年教师健康状况的人数比例是1：2：1。
χ2的连续性校正
例3：历年优秀学生干部中男女比例为2：8，
今年优秀学生干部中有3个男生，7个女生。 问今年优秀学生干部的性别比例与往年是否 有显著差异？
六、四格表的χ2检验
如果r×c表的χ2检验所作的结论为差异
显著，这并不意味着各组之间的差异都 显著。如果需要进一步知道哪些组差异 显著，哪些组差异不显著，还需进行四 格表的χ2检验。
1、四格表的含义
四格表是只有两行、两列的双向表。也就
是有两个变量，每一个变量各被分为两类
的双向表
变量Ⅰ 变 量 Ⅱ 合计 A C A+C B D B+D 合计 A+B C+D N=A+B+C+D

卫生统计学：第10章 卡方检验

卫生统计学：第10章 卡方检验

T
bc
式中，a, d 为两法观察结果一致的两种情况， b, c为两法观察结果不一致的两种情况。
配对卡方检验公式使用条件：
b+c＞40, 2 (b c)2 , 1
bc
b+c≤40,
2 c
( b c 1)2 bc
,
=1
1、建立检验假设并确定检验水准 H0： π1=π2 ，即两种检测方法阳性率相同 H1 ：π1≠π2 ，即两种检测方法阳性率不同 α=0.05 2、计算检验统计量
T
2
(ad bc)2n
(ab)(ac)(bd)(cd)
2 分布是一连续型分布，而四格表资料属 离散型分布，由此计算得的 2 统计量的抽样分 布亦呈离散性质。为改善 2 统计量分布的连续
性，则进行连续性校正。
(四)四格表资料检验的校正公式
2 c
( A T 0.5)2 T
(| ad - bc | - n)2 n
2 n(
A2 1) nR nC
(行数 1)(列数 1)
2 2.37, 2 4.11,
0.05 , 3
0.25 , 3
2 2.595 P,3 0.25 p0.5
行×列表χ2检验时的注意事项
1、行×列表中各理论频数不应小于1，并且1≤T＜5 的格子数不宜超过总格子数的1/5，若发生上述情况， 可采用下述方法： （1）增大样本含量以增加理论频数。 （2）根据专业知识，考虑删去理论频数太小的行或 列，将理论频数过小的格子所在的行或列与性质相近 的邻行或列中的实际频数合并。 （3）改用双向无序R×C 表资料的Fisher确切概率法。
资料类型？ 设计方案？ 统计方法是否正确？ 结论是否正确？
1、建立检验假设并确定检验水准 H0： π1=π2= π3，即三种药物治疗的有效率相同 H1 ：π1≠π2 ≠ π3 ，即三种药物治疗的有效率不全相同 α=0.05

第十章卡方检验

19
第二节 单向表的卡方(χ2)检验
二、一个自由度的χ2检验
检验的步骤：
（2）计算χ2值
本例df=1，两组的理论频数均为ft=38>5。
2

f0 ft 2
ft
表10.4 喜欢与不喜欢体育人数的χ2值计算表
f0 ft f0-ft (f0-ft)2 (f0-ft)2/ ft
喜欢 50 38 12 144 3.79 不喜欢 26 38 -12 144 3.79
f0 ft 2
求χ2=5.202
ft
29
第二节 单向表的卡方(χ2)检验
三、频数分布正态性的χ2检验 检验的步骤： （3）统计决断 正态性χ2检验的自由度df=K-3。K是合并后保留下来的组数。 df=7-3=4。 自由度df=K-3的原因： 1单向表的χ2检验受到∑(f0-ft)=0一个因子的限制。 2应用Z=(X-X)/ σX的公式计算理论频数时，运用了X和 σX两
12 16 4
3.5
12.25 12.25/16=0.77
非团员 8 4 4
3.5
12.25
12.25/4=3.06
总和 20 20
χ2=3.83
25
第二节 单向表的卡方(χ2)检验
二、一个自由度的χ2检验 2、某组理论频数ft<5的情况 检验的步骤： （3）统计决断 根据df=1，查χ2值表，χ2(1)0.05=3.84， 由于χ2=3.83<3.84=χ2(1)0.05，则P>0.05， 于是保留H0而拒绝H1。 其结论为：该校共青团员的比率与全区没有显著性差异。
4
第一节 卡方(χ2)及其分布
比率和比率之差的假设检验，是对二项分布数据的假设检验。 ——处理一个因素分成两类， ——或者两个因素，每个因素都分为两类的资料。 ——最多只能同时比较两组比率的差异。

卡方检验与列联表

生物统计学·卡方检验与列联表
适合性检验
1. 零假设与备择假设 H0：实际观察次数之比符合9:3:3:1的理论比例。 HA：实际观察次数之比不符合9:3:3:1的理论比例。
2. 选择计算公式 由于本例的属性类别分类数 k=4， 自由 度df = k-1 = 4-1 = 3 > 1，故利用(1)式计算X2。
生物统计学 第10讲 卡方检验与列联表
2012.10
生物统计学·卡方检验与列联表
内容
卡方检验(Chi Squared Test, 2 Test) •2检验基本概念
• 适合性检验 • 独立性检验
- 列联表 (Contingency Table) - 2×2列联表 - R×C列联表
*总体 2检验 * 两两比较 2检验

n 1 S2
2
n 1 S 2
2
~
2 n 1
生物统计学·卡方检验与列联表
2分布
随自由度的增大， 曲线由偏斜渐趋于对称。df≥30
时， 2分布近似正态分布
生物统计学·卡方检验与列联表
2检验基本概念
计数资料2 检验的基本思想： 首先假设观察频数(O)与期望频数(E)没有差别，而X2 值表 示观察值与理论值的偏差程度。当n较大时，X2 统计量近似服 从n-1个自由度的2 分布。
多个因子属性类别数的不同而构成R×C列联表. 而适合性检验 只按某一因子的属性类别将如性别、表现型等次数资料归组。 2. 适合性检验按已知的属性分类理论或学说计算理论次数。独立 性检验在计算理论次数时没有现成的理论或学说可资利用，理 论次数是在两因子相互独立的假设下进行计算。 3. 在适合性检验中确定自由度时，只有一个约束条件：各理论次 数之和等于各实际次数之和，自由度为属性类别数减1; 独立性 检验的自由度为(R-1)(C-1)

第十章 卡方检验


率，也有理论概率，如二项分布、正态分布等。
二、配合度检验的应用
（一）检验无差假说
无差假说，是指各项分类的实计数之间没有差异， 也就是假设各项分类之间的机会相等，或概率相 等，因此理论次数完全按概率相等的条件计算。 即：
1 理论次数=总数× 分类项数
例10-1：随机抽取60名学生，询问他们在高中是 否需要文理分科，赞成分科的39人，反对分科的 21人，问他们对分科的意见是否有显著差异？ (p298)
去除样本法
使用校正公式
第二节 配合度检验
配合度检验（goodness of fit test）主要用于 检验单一变量的实际观察次数分布与某理论次数
是否有差别。由于它检验的内容仅涉及一个因素
多项分类的计数资料，故可以说是一种单因素检 验（One-way test)。
一、配合度检验的一般问题
（一）统计假设 统计假设如下：
有的人因此用t检验检验两者的差异，这样做行吗？
第一节
2

2
检验的原理
一、 检验的假设
（一）分类相互排斥，互不包容
检验中的分类必须相互排斥，这样每一
2
个观测值就会被划分到一个类别或另一个类别 之中。此外，分类必须互不包容，这样，就不 会出现某一观测值同时划分到更多的类别当中 去的情况。
（二）观测值相互独立
3）统计决策
查 值表，当df 1时，
2 2 2 0.05
3.84，
2 0.01
6.63 ，
算得 值在两者之间，所以， p 0.05或 0.01

2 0.05
2 2 0.01
答：可以推论说，学生 们对高中文理分科的态 度 有显著差异，做这一结 论犯错误的概率在 .05至 0 0.01之间。

第十 章 卡方检验


1.2967
0.4338 0.0960
步骤四
2
fo fe 2 2.3293
fe

自由度 = （R-1）×（C-1）=（2-1）×（4-1）= 3 α = 0.05，查表得：χ²α (3) = 7.815 由于 χ² < χ²α (3)，所以我们不能拒绝虚无假设，即认为四个专业的 学生对宿舍管理改革的赞成是一致的，调查数据中的差异是由于抽样 的随机性造成的。
Ho：阅读习惯与学历没有关系
Ha：阅读习惯与学历有关系

我们需要利用 χ² 检验来进行独立性检验，这时候需要计算 χ² 统 计量，而 χ² 统计量是根据观察值和期望值计算得出来的。 因而，首先，我们需要计算期望值。根据列联表中任一单元格频数的 RT CT RT CT 期望值公式来求期望值：f e n n n n 其中，RT 是给定单元格所在行的合计；CT 是给定单元格所在列的 合计；n 为观察值的总个数，即样本容量。


只有列数，行数均相同时，我们才可以进行比较，而且要采用同种系 数才具有可比性。





克拉默 V 系数

φ 系数没有上限，克拉默 (Gramer) 以 φ 系数为基础提出了 V 相 关系数。其计算公式为：
V
n minR 1, C 1
2

其中，min [ (R-1), (C-1) ] 表示取 (R-1) 和 (C-1) 中较小的一个； V 的取值范围 0 ~ 1；
fe
28.8 34.04 10.75 16.46 19.7 23.29 10.75 11.26
（ fo - fe）
9.2 5.96 0.25 - 10.46 1.3 - 1.29 - 1.75 1.74
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本章教学目的：
推断：
两个总体率或构成比之间有无差别
多个总体率或构成比之间有无差别
两个分类变量之间有无关联性
频数分布拟合优度的检验
检验的基本思想
2
处理组 甲 乙 合 计
发生数
未发生数
合计 a+b c+d n
a c a+c
b d b+d
四格表资料的基本形式
基本思想：可通过 检验的基本公式 来理解。
Chi-Square =57.252
第一节 2× 2表 检验
2
目的：推断两个总体率（构成比）是 否有差别 （和u检验等价）
资料：两样本的两分类个体数排列成四 格表资料
四格表资料检验的专用公式
2
(ad bc) n (a b)(a c)(b d )(c d )
2
分布是一连续型分布，而四格
2 连续性校正仅用于 1 的四格表资料，当 2
时，一般不作校正。
四格表资料检验的校正公式

2 c
( A T 0.5) T
2
n 2 (| ad - bc | - ) n 2 2 c = (a +b)(c + d )(a + c)(b+ d )
P151：例10-1
2
2
( AT ) , (行数-1)(列数 1) T
2
式中，A为实际频数（actual frequency）， T为理论频数（theoretical frequency）。
检验统计量 的吻合程度。
值反映了实际频数与理论频数
若检验假设 H0:π1=π2 成立，四个格子的实际频数 A 与 理论频数T 相差不应该很大，即统计量 2 不应该很大。
DF
Value
Prob
1 3.0922 0.0787 1 2.9330 0.0868 1 1.6871 0.1940 1 3.0250 0.0820 0.2593 0.2510 0.2593
WARNING: 50% of the cells have expected counts less than 5. Chi-Square may not be a valid test.
如果 值很大，即相对应的P 值很小，若 P ，则反过来 推断A与T相差太大，超出了抽样误差允许的范围，从而怀 疑 H0 的正确性 ， 继而拒绝 H0 ，接受其对立假设 H1 ，即 π1≠π2 。
2
2 ( A T ) 值的大小还取决于 由公式还可以看出： T 2 ( A T) 个数的多少（严格地说是自由度ν的大小）。由于各 T 2
Statistic Chi-Square Likelihood Ratio Chi-Square Continuity Adj. Chi-Square Mantel-Haenszel Chi-Square Phi Coefficient Contingency Coefficient Cramer's V
Fisher's Exact Test Cell (1,1) Frequency (F) Left-sided Pr <= F Right-sided Pr >= F 28 0.9852 0.0994
Table Probability (P) Two-sided Pr <= P
0.0845 0.1628
两相关样本率检验（McNemar检验）
配对四格表资料的 检验
2
P155：例10-4 ：
检验统计量为
(b c) , 1 bc
2 2

2 c
( b c 1) bc
2
, =1
注意：
本法一般用于样本含量不太大的资料。因
为它仅考虑了两法结果不一致的两种情况 (b, c)，
2
表资料属离散型分布，由此计算得的

2 统计量的抽样分布亦呈离散性质。为
改善 统计量分布的连续性，则进行
2
连续性校正。
四格表资料 检验公式选择条件：
2
公式；
n 40, T 5，不校正的理论或专用
， 校正公式 n 40, 1 T 5 ， 直接计算概率。 n 40 或 T 1
DF
Value
Prob
1 2.7384 0.0980 1 2.7481 0.0974 1 1.9455 0.1631 1 2.7184 0.0992 0.1414 0.1400 0.1414
Fisher's Exact Test Cell (1,1) Frequency (F) Left-sided Pr <= F Right-sided Pr >= F 68 0.9726 0.0816
样本率与总体率比较
例： • 全国高血压病调查结果：城市人口高血 压病患病率19.6%； • 某调查获得有高血压病家族史者358人， 其中高血压病者127人（P=35.47%） 问：有高血压病家族史者患病率是否高于 一般人群？
实际（A） 理论（T）
+ 合计 127 231 358 70.168 287.832 358
2
皆是正值，故自由度ν愈大， 值也会愈大；所以只有考虑 2 了自由度ν的影响， 值才能正确地反映实际频数 A和理论频 数T 的吻合程度。
检验的自由度取决于可以自由取值的格子 2 数目，而不是样本含量 n 。四格表资料只有 ，即在周边合计数固定的情 两行两列， =1 况下， 4 个基本数据当中只有一个可以自由 取值。
而未考虑样本含量n和两法结果一致的两种情况 (a, d) 。所以，当 n很大且 a 与 d的数值很大（即
两法的一致率较高）， b与 c的数值相对较小时， 即便是检验结果有统计学意义，其实际意义往
往也不大。第二节R ×C表 检验2行×列表资料
② 两个样本的构成比比较时，有2行C列，称 2×C表； ③ 多个样本的构成比比较，以及双向无序分类资 料关联性检验时，有行列，称为R ×C表。
Table Probability (P) Two-sided Pr <= P
0.0541 0.1217
• P153：例10-2
Statistic Chi-Square Likelihood Ratio Chi-Square Continuity Adj. Chi-Square Mantel-Haenszel Chi-Square Phi Coefficient Contingency Coefficient Cramer's V