基本初等函数的导数公式的推导过程

5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数素养目标学科素养1.能根据导数的定义推导常用函数的导数． 2．掌握基本初等函数的导数公式．(重点) 3．利用基本初等函数的导数公式解决有关问题．(难点)1.数学抽象； 2．逻辑推理； 3．数学运算情境导学高铁是目前非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s 关于时间t 的函数为s ＝f (t )，求它的瞬时速度，即f (t )的导数．根据导数的定义，运算比较复杂，是否有更好的求导方法呢？1．几个常用函数的导数 函数 用定义法求导数y ＝f (x )＝cy ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0c －c Δx＝0 y ＝f (x )＝xy ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )－x Δx＝1 y ＝f (x )＝x 2y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2xy ＝f (x )＝x 3y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2y ＝f (x )＝1xy ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2 y ＝f (x )＝xy ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx －x Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx ＋x ＝12x判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若f (x )＝2，则f ′(x )＝2.( ) × 提示：f ′(x )＝0.(2)若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x 2.( ) × 提示：f ′(x )＝2x .(3)若f (x )＝x －1，则f ′(x )＝－1x 2.(√)2．基本初等函数的导数公式(1)若f (x )＝c (c 是常数)，则f ′(x )＝0；(2)若f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)，则f ′(x )＝αx α－1； (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ；(5)若f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝a x ln_a ； 特别地，f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ；(6)若f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1x ln a ；特别地，f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( ) × 提示：∵sin π3＝32(常数)，∴⎝⎛⎭⎫sin π3′＝0. (2)(2x )′＝x 2x －1.( ) × 提示：(2x )′＝2x ln2. (3)(ln x )′＝1x.(√)1．函数f (x )＝0的导数是(A) A ．0 B ．1 C ．不存在D ．不确定2．若函数f (x )＝x ，则f ′(2)＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．不存在B 解析：f ′(x )＝1，∴f ′(2)＝1.3．若函数f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )在x ＝12处的切线斜率为( )A ．0B ．1C ．12D ．不存在B 解析：∵f ′(x )＝2x ，∴k ＝f ′⎝⎛⎭⎫12＝2×12＝1. 4．若函数y ＝10x ，则y ′|x ＝1等于( ) A ．110B ．10C ．10ln 10D ．110ln 10C 解析：∵y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 5．给出下列命题： ①若y ＝ln 2，则y ′＝12；②若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③若y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2； ④若y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C 解析：对于①，y ′＝0，故①错；对于②，∵y ′＝－2x 3，∴y ′|x ＝3＝－227，故②正确；显然③④正确，故选C ．【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝7x ；(5)y ＝log 5x .解：(1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25.(4)y ′＝(7x )′＝7x ln 7. (5)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解，公式法最简捷．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．比如对带根号的函数，一般先将其转化为分数指数幂，再利用公式(x α)′＝αx α－1进行求导．3．要特别注意“1x与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．若g (x )＝log 3x, 则g ′(x )＝1x ln 3.【例2】已知质点的运动方程是s ＝sin t . (1)求质点在t ＝π3时的速度；(2)求质点运动的加速度．解：(1)∵v (t )＝s ′(t )＝cos t ， ∴v ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＝12， 即质点在t ＝π3时的速度为12.(2)∵v (t )＝cos t ，∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t .1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的步骤：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．1．求函数f (x )＝13x在(1,1)处的导数．解：∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x 4，∴f ′(1)＝－1331＝－13.2．求函数f (x )＝cos x 在⎝⎛⎭⎫π4，22处的导数．解：∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＝－22.探究题1 求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．解：因为f (x )＝cos x ， 所以f ′(x )＝－sin x .则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12的切线斜率为 f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－sin π3＝－32， 所以所求直线的斜率为233，所求直线方程为y －12＝233⎝⎛⎭⎫x －π3， 即y ＝233x －239π＋12.探究题2 分别求双曲线y ＝1x 与抛物线y ＝x 2的交点处的切线方程．解：易求得双曲线y ＝1x与抛物线y ＝x 2的交点为(1,1)．双曲线y ＝1x 在交点处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝－1，故切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y－2＝0.抛物线y ＝x 2在交点处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的切线的斜率，即对应函数在该点处的导数． (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．已知函数y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝________. 1e解析：设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝1x ，∴k ＝1x 0，∴y ＝1x 0·x .又点(x 0，y 0)在曲线y ＝ln x 上，∴y 0＝ln x 0，∴ln x 0＝x 0x 0，∴x 0＝e ，∴k ＝1e.1．函数y ＝x 2在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C 解析：易得y ′＝2x ，故函数y ＝x 2在x ＝1处的导数是2×1＝2.故选C ． 2．已知f (x )＝ln x ，则f ′⎝⎛⎭⎫1e 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．eD ．1eC 解析：由f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x.所以f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝11e ＝e.故选C ． 3．函数f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝6，则x 0＝( ) A ． 2 B ．－ 2 C ．±1D ．±2D 解析：∵f ′(x )＝3x 2，∴3x 20＝6，∴x 0＝±2.故选D ． 4．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若f (x )＝0，则f ′(x )＝0 B ．若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝sin x C ．若f (x )＝1x ，则f ′(x )＝－1x 2D ．若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1xACD 解析：对A ，f (x )为常数，显然成立；对B ，f ′(x )＝－sin x ，故B 错误；对C ，D ，显然都成立．故选ACD ． 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x 3； (2)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ； (3)y ＝(3)x .解：(1)y ′＝(x 32)′＝32x .(2)∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(3)y ′＝[(3)x ]′＝(3)x ln 3＝12(3)x ln 3.1．由定义求出的常用函数的导数可作为公式直接使用． 2．熟记基本初等函数的导数公式．3．注意区别f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)及f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的导数：(a x )′＝a x ln a ，(log a x )′＝1x ln a.课时分层作业(十四) 基本初等函数的导数 (60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 几个常用函数的导数公式的应用1．(5分)已知f (x )＝x α(α∈Q *)，若f ′(1)＝14，则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14D 解析：∵f (x )＝x α， ∴f ′(x )＝αx α－1， ∴f ′(1)＝α＝14.2．(5分)给出下列结论： ①若f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x 4；②若f (x )＝3x ，则f ′(x )＝133x ；③若f (x )＝3，则f ′(1)＝0. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．03．(5分)(多选)在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．⎝⎛⎭⎫－2，－12 D ．⎝⎛⎭⎫－12，－2 AB 解析：切线的斜率k ＝tan 34π＝－1，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1，又f ′(x )＝－1x 2，∴－1x 20＝－1，∴x 0＝1或－1，∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选AB ．4.(5分)已知抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点的坐标为________．(0，－a 2) 解析：显然点(a ，a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点，∵y ′＝2x ，∴直线l 的方程为y －a 2＝2a (x －a )．令x ＝0，得y ＝－a 2，∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0，－a 2)． 知识点2 基本初等函数的导数5．(5分)若函数f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．π2C 解析：∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－sin π2＝－1. 6．(5分)已知函数f (x )＝2－x ，则f ′(x )＝( ) A ．－⎝⎛⎭⎫12x ln 2 B ．⎝⎛⎭⎫12x ln 2 C ．⎝⎛⎭⎫12x log 2e D ．⎝⎛⎭⎫12x 1ln 2A 解析：∵f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ， ∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. 7．(5分)给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3； ③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x； ④⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x. 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B 解析：因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误．sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误.⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x 3，所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝＝12x x，所以④正确. 8.(5分)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝3x 的切线，则k 的值为________．eln 3 解析：设切点为(x 0，y 0)．因为y ′＝3x ln 3，①所以k ＝3x 0ln 3，所以y ＝3x 0ln 3·x .又因为(x 0，y 0)在曲线y ＝3x 上，所以3x 0ln 3·x 0＝3x 0，②所以x 0＝1ln 3＝log 3e. 所以k ＝eln 3.9.(5分)已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________.1 解析：因为f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x且x >0， f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x＝1，即2x 2－x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)．故x ＝1. 10.(5分)直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝________. ln 2－1 解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝ln x 0.∵y ′＝(ln x )′＝1x， ∴1x 0＝12， ∴x 0＝2，y 0＝ln 2.由ln 2＝12×2＋b ，得b ＝ln 2－1. 能力提升练能力考点 适度提升11．(5分)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 020(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos xC 解析：f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝(－cos x )′＝sin x ，所以4为最小正周期，故f 2 020(x )＝f 4(x )＝cos x .A ．64B ．32C ．16D ．813.(5分)点P 是f (x )＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是________． 328 解析：与直线y ＝x －1平行的f (x )＝x 2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最小．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0＝1，∴x 0＝12，y 0＝14.即P ⎝⎛⎭⎫12，14到直线y ＝x －1的距离最短． ∴d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－112＋12＝328.14.(5分)下列结论正确的有________．①若f (x )＝x 4，则f ′(2)＝32；②若f (x )＝1x，则f ′(2)＝－22； ③若f (x )＝1x 2·x，则f ′(1)＝－52； ④若f (x )＝x －5，则f ′(－1)＝－5.①③④ 解析：对于①，f ′(x )＝4x 3，f ′(2)＝4×23＝32，正确；15.(5分)曲线f (x )＝ln x 在点M (e ，1)处的切线的斜率是______，切线方程为________．1e x －e y ＝0 解析：∵f ′(x )＝(ln x )′＝1x， ∴f ′(e)＝1e.∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0. 16.(5分)已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________.1 解析：因为f ′(x )＝0，g ′(x )＝1x(x >0)， 所以2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝2x －1x＝1， 解得x ＝1或x ＝－12. 因为x ＞0，所以x ＝1.17.(10分)求下列函数的导数．(1)y ＝1x4； (2)y ＝x x ；(3)y ＝2sin x 2cos x 2. 解：(1)∵y ＝1x 4＝x －4，∴y ′＝－4x －5＝－4x5.(3)∵y ＝2sin x 2cos x 2＝sin x ， ∴y ′＝cos x .18.(10分)已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点．(1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程；(2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点．过P 点的切线的斜率k 1＝－2，过Q 点的切线的斜率k 2＝4，过P 点的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0，过Q 点的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1， 设切点坐标为M (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.。

导数的计算【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。

2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。

3. 能熟练运用四则运算的求导法则，4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．【要点梳理】知识点一：基本初等函数的导数公式（1）()f x C =（C 为常数），'()0f x = （2）()nf x x =（n 为有理数），1'()n f x n x -=⋅（3）()sin f x x =，'()cos f x x = （4）()cos f x x =，'()sin f x x =- （5）()xf x e =，'()xf x e =（6）()xf x a =，'()ln xf x a a =⋅（7）()ln f x x =，1'()f x x = （8）()log a f x x =，1'()log a f x e x =。

要点诠释：1．常数函数的导数为0，即C ＇=0（C 为常数）．其几何意义是曲线()f x C =（C 为常数）在任意点处的切线平行于x 轴．2．有理数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的（n －1）次幂的乘积，即1()'nn x nx-=（n ∈Q ）．特别地211'x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，=。

3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x ）＇=cos x ．4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x ）＇=－sin x ．5．指数函数的导数：()'ln xxa a a =，()'xxe e =． 6．对数函数的导数：1(log )'log a a x e x =，1(ln )'x x=． 有时也把1(log )'log a a x e x = 记作：1(log )'ln a x x a=以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．知识点二：函数的和、差、积、商的导数运算法则：（1）和差的导数：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=± （2）积的导数：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+（3）商的导数：2()'()()()'()[]'()[()]f x f xg x f x g x g x g x ⋅-⋅=（()0g x ≠） 要点诠释：1. 上述法则也可以简记为：（ⅰ）和（或差）的导数：()'''u v u v ±=±， 推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．（ⅱ）积的导数：()'''u v u v uv ⋅=+， 特别地：()''cu cu =（c 为常数）．（ⅲ）商的导数：2'''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠⎪⎝⎭， 两函数商的求导法则的特例 2()'()()()'()'(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦， 当()1f x =时，2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦． 这是一个函数倒数的求导法则．2．两函数积与商求导公式的说明（1）类比：()'''uv u v uv =+，2'''u u v uv v v -⎛⎫=⎪⎝⎭（v ≠0），注意差异，加以区分． （2）注意：'''u u v v ⎛⎫≠⎪⎝⎭且2'''u u v uv v v +⎛⎫≠ ⎪⎝⎭（v ≠0）． 3．求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．知识点三：复合函数的求导法则 1．复合函数的概念对于函数[()]y f x ϕ=，令()u x ϕ=，则()y f u =是中间变量u 的函数，()u x ϕ=是自变量x 的函数，则函数[()]y f x ϕ=是自变量x 的复合函数．要点诠释： 常把()u x ϕ=称为“内层”， ()y f u =称为“外层” 。

基本初等函数的导数公式推导过程、幂函数f x Q* ）的导数公式推导过程命题若 f X x （ C*），则 f推导过程f x x f x limx 0x x x lim0xX0 11 2C x C x x C x lim0xX0 11 2 22C x x C x x C x x L C x lim0xXC1 x 1 x C2 x 2 x2 L C x limx 01 1 2lim C x C xx 0C1x 11x所以原命题得证.、正弦函数f x sinx的导数公式推导过程sin x limx 0 x sin x推导过程f xsin xcos x cosxsin x sin x lim x 0cosxsin x sin xcos x sin x lim x 0cosxsin x sinx cos x 1所以f lim cos x 0cosx sinx 1 2sin 2丄2lim x 0 2sin * x cosxcos-^2 22sin xsin2」2l l m0 2sin」cosxcos-^ sinxsin」2 2 2l l m0x 2sin cos2l l m0 cosx sin 20 时，sin2 2，所以此时x sin -2三、余弦函数f x cosx的导数公式推导过程cos x lim x 0x cosx l I m 0 l i m 0 2sin宁 x sin cosx 2 x . cos sinx 2l i m 0 2sin »sinx sin - 2l i m o sinsin xsin x四、指数函数 a * x ( a >0,且a 1)的导数公式推导过程推导过程f xf x x limx 0cosxcos x sinxsin x cosx limx 0cosxcos x cosx sinxsin x limx 0 cosx cos x 1 sinxsin x2sin 2丄cosx 2sin 丄 sin xcos-^ 2 2 2lim x 0 cosx 1 2sin 2—1 sinx 21，则 a x t 1，即x log a.且当x 0时，aU mt lOg a t 1lim t 01^lOg a t 1U m1 lOg a t 1「若 f x a x( a >0,且 a 1)，贝U f x a x lna .f x x limx 0xx x x a a limx 0 xx x x a a a limx 0limx I0 .所以原极限可以表示为:1又因为lim t 1 e,所以t 01log a ex ln a a -lne a x ln a五、对数函数f x log a x ( a >0，且a 1 , x >0)的导数公式推导过程命题1 若 fx log a x ( a >0,且 a 1, x >0 )，贝U f x ----------------------------------x l n a 推导过程 f xf x x f x limx 0lim log a 1t 0x1又因为呵1 t ： e ，所以1 , 1 lne 1lo g a e lim x 0log a X x xlog a x1 x xlim log a x 0x x1 1 x xlim xlog a x 0 x x x1 x x x lim — log ax 0 x x x1 x ,x x lim logx 0x x x x1 x x X lim log a x 0x xx1 x Xlim log a 1x 0 x x令t x 且当 x 0 时，t xf x0 •所以原极限可以表示为:x x ln a xln a 所以原命题得证.limx 0limx 0。

求导公式∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙①几个基本初等函数求导公式(C)'=0，(x^a)'=ax^(a-1)，(a^x)'=(a^x)lna，a＞0，a≠1；(e^x)'=e^x[log<a>x]'=1/[xlna]，a＞0，a≠1；(lnx)'=1/x (sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(tanx)'=(secx)^2(cotx)'=-(cscx)^2(arcsinx)'=1/√(1-x^2)(arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)②四则运算公式(u+v)'=u'+v'(u-v)'=u'-v'(uv)'=u'v+uv'(u/v)'=(u'v-uv')/v^2③复合函数求导法则公式y=f(t),t=g(x)，dy/dx=f'(t)*g'(x)④参数方程确定函数求导公式x=f(t),y=g(t)，dy/dx=g'(t)/f'(t)⑤反函数求导公式y=f(x)与x=g(y)互为反函数，则f'(x)*g'(y)=1⑥高阶导数公式f^<n+1>(x)=[f^<n>(x)]'⑦变上限积分函数求导公式[∫<a,x>f(t)dt]'=f(x)还有一元隐函数求导问题，其求导有公式，但牵涉到多元函数问题，偏导，或者偏导数雅可比。

★★★愚见没有越详细越好了的提法★★★双曲函数sinhx,coshx,tanhx（早年曾经不规范地写成shx,chx,thx现在早就纠正了）反双曲函数arsinhx,arcoshx,artanhx…………初等函数是无穷无尽的。

基本初等函数求导公式(1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a xx ln )(=' (10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln =',(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的与、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则(1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 就是常数)(3) v u v u uv '+'=')((4) 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ,则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导,且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =,而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导,则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =g或()()y f u x ϕ'''=g２、 双曲函数与反双曲函数的导数、双曲函数与反双曲函数都就是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式与求导法则求出.可以推出下表列出的公式:在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念,并且指出了不经过显化直接由方程),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。

§1.2 导数的计算第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学习目标 1.利用导数的定义推导常用的五个函数的导数公式，并归纳得出一般幂函数的导数公式.2.掌握基本初等函数的导数公式．知识点一 几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x思考 “若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0”，从几何意义怎样说明？ 答案 函数f (x )＝c 的图象上每一点处切线的斜率都是0. 知识点二 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x思考 求f ′(x 0)有哪些方法？ 答案 方法一 f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .方法二 先求导函数f ′(x )，然后代入求f ′(x 0)．1．若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( × )2．f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x 4.( √ )3．若f (x )＝5x ，则f ′(x )＝5x log 5e.( × ) 4．若f (x )＝3x ，则f ′(x )＝x ·3x －1.( × )一、利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (2)y ′＝1x ln 10.(3)∵y ＝x 2x＝32x ，∴y ′＝(32x )′＝3212x ＝32x .(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思感悟 利用公式求函数的导数：(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后再求导．跟踪训练1 (多选)下列运算不正确的是( ) A ．(x 5)′＝x 5ln 5 B ．(lg x )′＝1xC ．(π5)′＝5π4D ．(log 2x )′＝1x ln 2答案 ABC解析 对于A ，因为(x 5)′＝5x 4，所以A 错误；对于B ，因为(lg x )′＝1x ln 10，所以B 错误；对于C ，因为(π5)′＝0，所以C 错误；对于D ，因为(log 2x )′＝1x ln 2，所以D 正确．二、导数公式的应用例2 已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程． 解 ∵y ′＝1x ，∴k ＝y ′|x ＝e ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0. 延伸探究求曲线y ＝ln x 过点O (0,0)的切线方程． 解 ∵O (0,0)不在曲线y ＝ln x 上． ∴设切点Q (x 0，y 0)， 则切线的斜率k ＝1x 0.又切线的斜率k ＝y 0－0x 0－0＝ln x 0x 0，∴ln x 0x 0＝1x 0，即x 0＝e ， ∴Q (e,1)， ∴k ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.反思感悟 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．跟踪训练2 (1)函数y ＝－1x 在⎝⎛⎭⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4x ＋4 D ．y ＝2x －4答案 B解析 ∵y ′＝⎝⎛⎭⎫－1x ′＝x －2， ∴k ＝y ′|12x =＝⎝⎛⎭⎫12－2＝4，∴切线方程为y ＋2＝4⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝4x －4.(2)点P 是曲线y ＝－x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为( ) A ．1 B.728 C.528 D. 3答案 B解析 依题意知，点P 就是曲线y ＝－x 2上与直线y ＝x ＋2平行的切线的切点． 设点P 的坐标为(x 0，－x 20)， 因为y ′＝－2x ，所以曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝－2x 0. 因为该切线与直线y ＝x ＋2平行， 所以有－2x 0＝1，得x 0＝－12.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－14，这时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－12＋14＋22＝728.(3)以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点得切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]． ∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.1．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝3 答案 ACD解析 若y ＝1x＝12x -，则y ′＝－12112x --＝－1232x -＝－12x 3 .2．已知f (x )＝x ，则f ′(8)等于( ) A ．0 B ．2 2 C.28D ．－1 答案 C解析 f (x )＝x ，得f ′(x )＝1212x -，∴f ′(8)＝12×(8)12-＝28.3．已知函数f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4， ∴a ＝4.4．y ＝3x 4的导数为 ． 答案 y ′＝4313x解析 ∵y ＝3x 4＝43x ，∴y ′＝(43x )′＝4313x .5．已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝ . 答案 1e解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， 由题意得y ′|0x x ＝＝1x 0＝k ，①又y 0＝kx 0，② 而且y 0＝ln x 0，③由①②③可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e.1．知识清单：(1)几个常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式． 2．方法归纳：公式法，待定系数法． 3．常见误区：公式记混用错．1．(多选)下列各式不正确的是( ) A ．(2x )′＝2x log 2e B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2 C ．(cos x )′＝sin x D ．(x －5)′＝－5x －4答案 ACD解析 根据题意，依次分析选项：对于A ，(2x )′＝2x ln 2，A 错误；对于B ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，B 正确； 对于C ，(cos x )′＝－sin x ，C 错误；对于D ，(x －5)′＝－5x －6，D 错误． 2．若函数f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析 f ′(x )＝－sin x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＋cos π4＝0. 3．已知函数f (x )＝ax 2，且f ′(1)＝4，则a 的值为( ) A ．2 019 B ．2 015 C ．2 D. 2答案 C解析 f ′(x )＝2ax ，若f ′(1)＝4，即2a ＝4，解得a ＝2.4．(多选)已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－1，－1) B ．(1,1) C ．(2,8) D.⎝⎛⎭⎫－12，－18 答案 AB解析 y ′＝3x 2，因为k ＝3，所以3x 2＝3，所以x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523 B.110523 C.25523 D.110523 答案 B解析 ∵s ′＝1545t -.∴当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523. 6．下列各式中正确的是 ．①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(5x 2)′＝2535x ；④(cos x )′＝－sin x ；⑤(cos 2)′＝－sin 2. 答案 ①③④解析 根据导数公式①③④正确． ∵(x －1)′＝－x －2，(cos 2)′＝0. ∴②⑤错误．7．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是 ．答案 x ＋y －6＝0 解析 y ′＝－9x －2， 所以k ＝y ′|x ＝3＝－1，所以在点M (3,3)处的切线方程为y －3＝－(x －3)， 即x ＋y －6＝0.8．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 ． 答案 (1,1)解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1m 2 (m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．9．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以0e x＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 10．若曲线y ＝12x -在x ＝a 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求实数a 的值．解 ∵y ＝12x-，y ′＝－1232x -，∴曲线在点(a ，12a-)处的切线的斜率k ＝－1232a -，∴切线方程为y －12a-＝－1232a -(x －a )．令x ＝0，得y ＝3212a -；令y ＝0，得x ＝3a .故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×3a ·3212a -＝9412a ＝18，∴a ＝64.11．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2 答案 C解析 ∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 020(x )＝ . 答案 sin x解析由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次类推可得，f2 020(x)＝f4(x)＝sin x.13．已知在曲线y＝1x2上存在一点P，曲线在点P处的切线的倾斜角为135°，则点P的横坐标为．答案32解析设P(x0，y0)．∵y′＝(x－2)′＝－2x－3，tan 135°＝－1，∴－2x－30＝－1，∴x0＝32.14．函数f(x)的导数为f′(x)，若对于定义域内任意x1，x2(x1≠x2)有f(x1)－f(x2)x1－x2＝f′⎝⎛⎭⎫x1＋x22恒成立，则称f(x)为恒均变函数，给出下列函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝e x；④f(x)＝cos x.其中为恒均变函数的是．(填序号)答案①②解析对于①，f(x1)－f(x2)x1－x2＝1，f′(x)＝1，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝1，故①满足；对于②，f(x1)－f(x2)x1－x2＝x21－x22x1－x2＝x1＋x2，f′(x)＝2x，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝2×x1＋x22＝x1＋x2，故②满足；对于③，令x1＝0，x2＝1，∴f(x1)－f(x2)x1－x2＝1－e0－1＝e－1，f′(x)＝e x，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝f′⎝⎛⎭⎫12＝12e，故③不满足；对于④，令x1＝0，x2＝π2，∴f(x1)－f(x2)x1－x2＝1－00－π2＝－2π，f′(x)＝－sin x，f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝f′⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＝－22，故④不满足．15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是 ．答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y＝0，得x ＝a k 2， 又该切线与x 轴的交点坐标为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项为a 1＝16，公比为q ＝12的等比数列， ∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.16．已知抛物线y ＝x 2，求过点⎝⎛⎭⎫－12，－2且与抛物线相切的直线方程． 解 设直线的斜率为k ，直线与抛物线相切的切点坐标为(x 0，y 0)，则直线方程为y ＋2＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 因为y ′＝2x ，所以k ＝2x 0，又点(x 0，x 20)在切线上． 所以x 20＋2＝2x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12， 所以x 0＝1或x 0＝－2，当x 0＝1时，则y 0＝x 20＝1，k ＝2x 0＝2，直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0；当x 0＝－2时，则y 0＝x 20＝4，k ＝2x 0＝－4，直线方程为y －4＝－4(x ＋2)，即4x ＋y ＋4＝0.综上所述，直线方程为2x －y －1＝0或4x ＋y ＋4＝0.。

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-13、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。

在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。

六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分：1、回顾公式、寻找技巧2、自主探究、合作学习3、成果展示，汇报交流4、归纳总结，提升拓展5、反馈训练，巩固落实6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：简单复合函数的求导： 函数 其中和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。

4、归纳总结，提升拓展总结反思：1、先观察函数是由哪些子函数组成。

2、再观察有哪些运算法则。

3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员xx y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（)32sin(8π+=x y ）（)(x g u =xu x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx再进行拆分。

基本初等函数导数推导定义1：设函数 f(x) 在 x_{0} 附近有定义，对应自变量的改变量 \Delta x ，有函数的改变量 \Deltay=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) ，若极限 \underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\Delta y}{\Delta x} 存在，则称该极限为f(x) 在 x_{0}的导数，记作 f'(x_{0}) 。

引理1(导数公式1):常数函数的导数处处为零。

证明：设 f(x)=C 。

f'(x)=\underset{\Delta x \rightarrow0}\lim\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Deltax}=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{C-C}{\Delta x}= \underset{\Delta x \rightarrow0}\lim\frac{0}{\Delta x}=0引理2：部分三角函数和差化积公式\sin\alpha-\sin\beta=\sin(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin (\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})=(\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alp ha-\beta}{2}))-(\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}))=2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cos\alpha-\cos\beta=\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})=(\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}))-(\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alp ha-\beta}{2}))=-2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})引理3：部分等价无穷小（1） \sin x\sim x(x\rightarrow 0)（2） e^{x}-1\sim x(x\rightarrow0)（3） \ln(1+x)\sim x(x\rightarrow0)（1）的证明略去，（2）（3）的证明见以下文章：引理4：导数的四则运算，设 u(x) 和 v(x) 可导。

第2讲的基本公导数的定义提供了求导数的方法．但对于一些比较复杂的函数，求导数时不仅烦琐，而且需要相当的技巧．本节将给出所有基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，借助于这些法则和公式，就能比较方便地求出常见函数的导数．01基本初等函数的导数02求导法则03反函数的导数04可导与连续的关系常见函数都是由基本初等函数生成的，因此首先考虑基本初等函数的导数。

利用导数的定义，可以比较容易的得到它们的求导公式。

先回顾一下导数的定义通过上一节的例题，我们知道ꢀ例1ꢀ注ꢀ例2证明根据定义，ꢀ例3证明ꢀ例4思路对于分段函数的导数，在各区段内直接求导即可；在分界点处需要通过单侧导数确定导数的存在性。

数的导数解01基本初等函数的导数02求导法则03反函数的导数04可导与连续的关系初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的，前面已经求得基本初等函数的导数，如果能够建立起导数的运算与函数运算之间的关系，则会使计算简化很多。

下面推导几个主要的求导法则，借助这些法则以及上节得到的导数公式，可以求出一系列函数的导数公式，并在此基础上解决初等函数的求导问题．ꢀ定理2.3并不像极限的四则运算法则那么美好证明（1）根据导数的定义，（2）可导必连续（3）（1）和（差）的求导法则可以推广至有限个可导函数的情形，即（2）乘积的求导法则中注意：每次只对一个因子求导！这一求导法则也可以推广至有限个可导函数的连乘积，例如ꢀ例5解根据定理2.3，有练习ꢀ例6解ꢀ例7解=sec2ꢀ.ꢀ例8解01基本初等函数的导数02求导法则03反函数的导数04可导与连续的关系ꢀ定理2.4（反函数求导法则）需改写！即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

ꢀ例9证明ꢀ例10证明常见基本初等函数的导数表01基本初等函数的导数02求导法则03反函数的导数04可导与连续的关系在研究函数的变化率时，经常需要对复合函数进行求导。

为此有证明或由定理可知，复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．此法则又称为复合函数的链式求导法则．因此，在对复合函数求导时，首先需要熟练引入中间变量，把复合函数分解成一串简单的函数，再用链式法则求导，最后把中间变量用自变量的函数代替．ꢀ例11求下列函数的导数：解熟练掌握链式法则后,可以不必写出中间变量和中间过程。

数学 24个基本求导公式常见导数公式简介目录1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]2、f(x)=a的导数， f'(x)=0, a为常数3、f(x)=x^n的导数， f'(x)=nx^(n-1), n为正整数4、f(x)=x^a的导数， f'(x)=ax^(a-1), a为实数5、f(x)=a^x的导数， f'(x)=a^xlna, a>0且a不等于16、f(x)=e^x的导数， f'(x)=e^x7、f(x)=log_a x的导数， f'(x)=1/(xlna), a>0且a不等于18、f(x)=lnx的导数， f'(x)=1/x9、(sinx)'=cosx10、(cosx)'=-sinx11、(tanx)'=(secx)^212、(cotx)'=-(cscx)^213、(secx)'=secxtanx14、(cscx)'=-cscxcotx15、(arcsinx)'=1/根号(1-x^2)16、(arccosx)'=-1/根号(1-x^2)17、(arctanx)'=1/(1+x^2)18、(arccotx)'=-1/(1+x^2)19、(f+g)'=f'+g'20、(f-g)'=f'-g'21、(fg)'=f'g+fg'22、(f/g)'=(f'g-fg')/g^223、(1/f)'=-f'/f^224、(f^(-1)(x))'=1/f'(y)常见导数公式四个基本的导数公式可以分为三类。

第一类是导数的定义公式，即差商极限。

然后由这个公式推导出17个基本初等函数的求导公式，这就是第二类。

所有导数公式及运算法则基本初等函数的导数公式1 .C'=0(C为常数);2 .(Xn)'=nX(n-1) (n∈Q);3 .(sinX)'=cosX;4 .(cosX)'=-sinX;5 .(aX)'=aXIna (ln为自然对数)特别地，(ex)'=ex6 .(logaX)'=(1/X)logae=1/(Xlna) (a>0，且a≠1)特别地，(ln x)'=1/x7 .(tanX)'=1/(cosX)2=(secX)28 .(cotX)'=-1/(sinX)2=-(cscX)29 .(secX)'=tanX secX10.(cscX)'=-cotX cscX导数的四则运算法则：①(u±v)'=u'±v'②(uv)'=u'v+uv'③(u/v)'=(u'v-uv')/ v2④复合函数的导数[u(v)]'=[u'(v)]*v' (u(v)为复合函数f[g(x)])复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

导数是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。

2导数的求导法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。

基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

高阶导数的求法1．直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。

一般用来寻找解题方法。

2．高阶导数的运算法则：。

基本初等函数的导数公式的推导过程一、幂函数的导数公式：考虑函数y=x^n，其中n是实数。

为了求导数，我们可以使用极限的定义，即求函数在其中一点x0处的导数。

首先，我们将函数写成y=x*x*...*x(n个x相乘)的形式。

然后，我们计算x处的斜率，即函数在x0处两个极接近的点之间的变化率。

这个斜率可以通过求极限得到。

因此，对于y=x^n，我们可以使用极限计算导数：dy/dx = lim（h→0） [ (x0 + h)^n - x0^n ] / h利用二项式定理展开，并除以h，我们得到dy/dx = lim（h→0） [ C(n, 0) * (x0)^(n-0) * h^0 + C(n, 1) * (x0)^(n-1) * h^1 + C(n, 2) * (x0)^(n-2) * h^2 + ... + C(n, n) * (x0)^(n-n) * h^n ] / h化简上式，我们可以得到：dy/dx = n * x0^(n-1)所以，幂函数 y = x^n 在任意一点 x0 的导数为 dy/dx = n *x^(n-1)。

二、指数函数的导数公式：考虑函数y=a^x，其中a是一个正实数且a≠1、为了求导数，我们可以使用极限的定义，即求函数在其中一点x0处的导数。

首先，我们将函数写成 y = e^(x * ln(a)) 的形式。

然后，我们计算 x 处的斜率，即函数在 x0 处两个极接近的点之间的变化率。

这个斜率可以通过求极限得到。

因此，对于y=a^x，我们可以使用极限计算导数：dy/dx = lim（h→0） [ a^(x0 + h) - a^x0 ] / h利用指数的性质a^(b+c)=a^b*a^c，并除以h，我们得到dy/dx = lim（h→0） [ a^x0 * a^h - a^x0 ] / h化简上式，我们可以得到：dy/dx = a^x0 * lim（h→0） [ (a^h - 1) / h ]当 h 趋近于 0 时，我们可以使用极限公式 lim（h→0） [ (a^h - 1) / h ] = ln(a)。

求导数公式24个基本求导公式可以分成三类。

第一类是导数的定义公式，即差商的极限. 再用这个公式推出17个基本初等函数的求导公式，这就是第二类。

最后一类是导数的四则运算法则和复合函数的导数法则以及反函数的导数法则，利用这些公式就可以推出所有可导的初等函数的导数。

1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]. 即函数差与自变量差的商在自变量差趋于0时的极限，就是导数的定义。

其它所有基本求导公式都是由这个公式引出来的。

包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，一共有如下求导公式：2、f(x)=a的导数， f'(x)=0, a为常数. 即常数的导数等于0；这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。

就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。

可以根据幂函数的求导公式求得。

3、f(x)=x^n的导数， f'(x)=nx^(n-1), n为正整数. 即系数为1的单项式的导数，以指数为系数，指数减1为指数. 这是幂函数的指数为正整数的求导公式。

4、f(x)=x^a的导数， f'(x)=ax^(a-1), a为实数. 即幂函数的导数，以指数为系数，指数减1为指数.5、f(x)=a^x的导数， f'(x)=a^xlna, a>0且a不等于1. 即指数函数的导数等于原函数与底数的自然对数的积.6、f(x)=e^x的导数， f'(x)=e^x. 即以e为底数的指数函数的导数等于原函数.7、f(x)=log_a x的导数， f'(x)=1/(xlna), a>0且a 不等于1. 即对数函数的导数等于1/x与底数的自然对数的倒数的积.8、f(x)=lnx的导数， f'(x)=1/x. 即自然对数函数的导数等于1/x.9、(sinx)'=cosx. 即正弦的导数是余弦.10、(cosx)'=-sinx. 即余弦的导数是正弦的相反数.11、(tanx)'=(secx)^2. 即正切的导数是正割的平方.12、(cotx)'=-(cscx)^2. 即余切的导数是余割平方的相反数.13、(secx)'=secxtanx. 即正割的导数是正割和正切的积.14、(cscx)'=-cscxcotx. 即余割的导数是余割和余切的积的相反数.15、(arcsinx)'=1/根号(1-x^2).16、(arccosx)'=-1/根号(1-x^2).17、(arctanx)'=1/(1+x^2).18、(arccotx)'=-1/(1+x^2).最后是利用四则运算法则、复合函数求导法则以及反函数的求导法则，就可以实现求所有初等函数的导数。