20172018学年度第二学期期末学业水平诊断高一数学参考答案

2017学年第二学期教学质量监测试卷高一数学本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 本次考试不允许使用计算器。

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的． 1.5sin 3π的值是(﹡).A. 12-B.2 C. 12 D. 2- 2. 不等式220x x --+>的解集是(﹡).A. (1,)+∞B. (,2)-∞-C. (2,1)-D. (,2)(1,)-∞-⋃+∞ 3. 已知角θ的终边经过点(4,3)P - ，则()cos πθ-的值是(﹡).A.45 B.45- C.35 D.35- 4. 在等差数列{}n a 中，22a =，34,a =则10a ＝(﹡).A. 18B. 16C. 14D. 12 5. 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于(﹡).A.2B. C.D.6. 对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是(﹡). A ．||||||a b a b ⋅≤B ．22()||a b a b +=+C ．||||||a b a b -≤-D ．()()22a b a b a b+⋅-=-7. 设123,,A A A 是平面上给定的3个不同点， 则使123MA MA MA ++=0成立的点M 的个数为(﹡).A. 0B. 1C. 2D. 3 8. 要得到函数2sin 2y x =的图象，只要将函数2sin(21)y x =+的图象(﹡).A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 9. 函数23sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(﹡).A ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增10. 已知等比数列{}n a 满足22463,21a a a a +=+=，则468a a a ++=(﹡).A ．21B ．42C ．63D ．8411. 要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(﹡).A. 80元B. 120元C. 160元D. 240元12. 在ABC ∆中，角A B C 、、所对边的长分别为a b c 、、，若222sin sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值为(﹡). A. 12-B. 12C. 2D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上. 13. 若向量=a 与(k =b 共线，则k 的值为 ＊ ．14. 已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是 ＊ ．15. 设实数,x y 满足2,1,2x y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤y 则z x y =-+的最大值是 ＊ ．16. 函数()sin 1f x x x =-在区间[0,2]π上所有零点的和等于 ＊ ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||=b a 与b 的夹角为θ.(Ⅰ)若a ∥b ，求⋅a b ； (Ⅱ)若a -b 与a 垂直，求θ.18. (本小题满分12分)在等差数列{}n a 中，已知35a =，6919a a +=．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设23n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．19. (本小题满分12分)用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(Ⅰ)请将上表数据补充完整，填写在答题卡表中相应位置上．．．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；(Ⅱ)求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.20. （本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c,sin cos a B A =． (Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若2b =，ABC ∆的面积为2，求a ．21. (本小题满分12分)如图，在ABC ∆中，已知0135,6,BAC AB AC ∠=== (Ⅰ)求cos B ；(Ⅱ)若点D 在BC 边上，且ABD BAD ∠=∠，求CD 的长．BDAC22. （本小题满分12分）数列{}n a 满足111,(1)(1),N n n a na n a n n n *+==+++∈. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ；(Ⅱ)设2n nb =，求数列{}n b 的前n 项和n S .2017-2018学年第二学期期末教学质量监测高一数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题二、填空题13. 1 14. (0,1) 15. 2 16.73π 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分） 解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ………………………2分 ∴cos 1θ=±， ……………………………………………3分 ∴|||cos 1cos θθ==a b =|a b ……………5分(Ⅱ)∵a -b 与a 垂直，∴(a -b )·a ＝0， ………………7分 即2||10θ-⋅-=a a b =， ……………………8分∴cos θ＝22. ………………………………………………9分 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°. ………………………………10分 18. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,………………………1分由已知得()()11125,5819.a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ ……………………3分解得13,1.a d =⎧⎨=⎩…………………………………………………4分所以()112na a n d n =+-=+. ……………………………5分(Ⅱ)由（I ）可得3nn b n =+, ………………………………6分所以12310b b b b ++++……2310(31)(32)(33)(310)=++++++++…… …………7分()2310(3333)12310=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+………9分103(13)(110)10132-+⨯=+- …………………………………11分111335522=⨯+-. …………………………………………12分 19. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)根据表中已知数据，可得,sin 325362=32A ππωφππωφπ⎧⋅+=⎪⎪⎪⋅+=⎨⎪⎪⎪⎩…………………2分 (没有列以上方程组，但能正确写出π3,2,6A ωϕ===-不扣分.)解得π3,2,6A ωϕ===-. ………………………………………………3分函数表达式为π()3sin(2)6f x x =-.………………………………………3分数据补全如下表：(填对表中 (Ⅱ)02x π≤≤，52666x πππ∴-≤-≤.…………………………8分 由正弦函数的性质， 当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值3. …………………9分当266x ππ-=-，即0x =时，3(0)2f =-，………………………10分当5266x ππ-=，即2x π=时，3()22f π=， ………………………11分()f x ∴的最小值为32-. ………………………………………………12分因此，()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 上最大值是3，最小值是32-.………………12分 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为sin cos a B A =，所以由正弦定理，得sin sin cos A B B A =，………………………………2分又sin 0B ≠，从而tan A =……………………………4分由于0A π<<，所以3A π=.…………………………………6分（Ⅱ）因为2b =，ABC ∆所以12sin 232c π⨯⋅=， …………………………………8分 所以3c =. ……………………………………………………9分由余弦定理，得2222cos 7a b c bc A =+-=，……………11分所以a =…………………………………………………12分21. (本小题满分12分)解:由余弦定理得，中2222cos BC AC AB AC AB BAC =+-⋅∠, ……………1分220626cos1351836(36)90,=+-⨯⨯=+--= ………………2分所以BC =……………………………………………………………………3分又由正弦定理得,sin sin10AC BAC B BC ∠=== ………………………5分由题设知00045,B <<cos 10B ∴=== ……………7分 解法一：在ABD ∆中，ABD BAD ∠=∠，01802ADB B ∴∠=-， …………8分 由正弦定理得，sin sin sin =sin sin(2)sin 2AB B AB B AB BAD ADB B Bπ==∠-……………………10分6sin 32sin cos cos B B B B=== ……………………………………………………11分所以CD BC BD BC AD =-=-== ………………………12分 解法二：在ACD ∆中，ABD BAD ∠=∠，2ADC B ∴∠=，…………………8分 由正弦定理得，()0sin 45sin =sin sin 2AC B AC ACD AD ADC B-∠=∠ ……………………10分 ()00sin 45cos cos 45sin sin 2AC B B B-=……………………………………………11分22+==12分22.（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 解法一：由已知得()111,n n n a a n n N n*++=++∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅* 把2n =代入()*式，得2122a a =+，而11,a =所以24a =，………1分 把3n =代入()*式，得39a =，…………………………………………2分 把4n =代入()*式，得416a =， ………………………………………3分……………猜想：()211n a n -=-. ……………………………………………………4分把1n a -代入()*式，得2n a n =. …………………………………………6分（本题猜想之后应用数学归纳法证明.把()211n a n -=-代入()*式，得2n a n =这一步等价于数学归纳法证明中的“递推”，没有“递推”这一步，第(Ⅰ)问最多给4分） 解法二：由已知可得111n na a n n+=++， …………………………………2分 即111+-=+n na a n n，………………………………………………………3分 所以⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a n 是以111=a 为首项，1为公差的等差数列.…………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)得，()111=+-⋅=na n n n，………………………………5分所以2=n a n ， …………………………………………………………6分 从而2nn b n =⋅. ………………………………………………………7分1231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ①………8分()23412122232122n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-+⋅. ②………9分①—②得，2341222222n n n S n +-=+++++-⋅………………10分()111212222212n n n n n n +++-=-⋅=-⋅--. …………………………11分所以()111222122n n n nS n n +++=⋅-+=-+. ……………………12分。

2017—2018学年度第二学期教学质量检查 高一数学参考答案及评分标准二、填空题(每小题5分,满分20分)13.52 14．7； 15．0.95； 16．5三、解答题 17．（本小题满分10分）解:（1） 与2+a b 垂直，得2+0a a b ⋅=（） 即22+=0a a b ……………………2分即10120k -+= ……………………3分解得92k =-． ……………………4分 （2）依题意，10102521||||cos =⨯+-==b a b a θ， ……………………6分因为[0,]θπ∈ s i n 10θ∴==……………………7分 sin tan 3cos θθθ∴== ……………………8分 54110121cos 22cos 2-=-⨯=-=∴θθ ……………………10分18．（本小题满分l2分）解: (1)由题意：第2组的人数：7050.07n =⨯⨯，得到：=200n ， 故该组织有200人.……………………3分(2)第3组的人数为0.3200=60⨯， 第4组的人数为0.2200=40⨯，第5组的人数为0.1200=20⨯. ∵第3，4，5组共有120名志愿者，∴利用分层抽样的方法在120名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：606=3120⨯；第4组：406=2120⨯；第5组：206=1120⨯. ……………………5分 记第3组的3名志愿者为1A ，2A ，3A ，第4组的2名志愿者为1B ，2B ， 第5组的1名志愿者为C .则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：()12A A ，，()13A A ，，()11A B ，，()12A B ，，()1A C ，，()23A A ，，()21A B ，,()22A B ，,()2A C ，,()31A B ，,()32A B ，,()3A C ，,()12B B ，,()1B C ，,()2B C ，， 共有15种.……………………8分其中第3组的3名志愿者为1A ，2A ，3A ，至少有一名志愿者被抽中的有：()12A A ，，()13A A ，，()11A B ，，()12A B ，，()1A C ，，()23A A ，，()21A B ，,()22A B ，,()2A C ，,()31A B ，,()32A B ，,()3A C ， 共有12种.……………………10分则第3组的为至少有一名志愿者被抽中的概率为541512==P . ……………………12分 [用间接法求解亦可以给满分] 19. （本小题满分l2分） 解：（1）66880838490+++++=q y ，又80y =，75=∴q . ……………………3分（2）4567891362x +++++==， ……………………4分2133050680241327162b ∧-⨯⨯∴==-⎛⎫- ⎪⎝⎭……………………6分 ()138041062a ∧∴=--⨯= ……………………7分 4106y x ∧∴=-+ ……………………8分（3）4106y x ∧=-+1111410690,909001y x y y ∧∧∴=-+=-=-=<，所以()()11,4,90x y =是“理想数据”；2222410686,=868421y x y y ∧∧=-+=--=>，所以()()22,5,84x y =不是“理想数据”;3333410682,838211y x y y ∧∧=-+=-=-==，所以()()33,6,83x y =是“理想数据”.所以所求的“理想数据”为)90,4( ，)83,6(. ……………………12分20. （本小题满分l2分）解: （1）()2ππ2sin 1cos 242f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin22sin 213x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭， ……………………4分∴函数()f x 最小正周期为22T ππ== ……………………5分 (2)ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ππ2π2,363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， ……………………7分∴π1sin 2[,1]32x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ∴π2sin 2[1,2]3x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ……………………10分 ∴()[2,3]f x ∈……………………11分 ∴函数()f x 的值域是[2,3]……………………12分21. （本小题满分l2分）（1）解：设点(),Q x y 、()00,P x y .点P 在圆C 上，∴2200(3)(5)4x y -+-=. ① ……………………1分又PA 中点为点Q∴002121x x y y =+⎧⎨=+⎩ ………………… 3分 可得021x x =-，021y y =-代入①得22(2)(3)1x y -+-=∴点Q 的轨迹方程为22(2)(3)1x y -+-= …………………… 4分 （2）假设存在直线l ，使得6=∙OM ，设()11,M x y ，()22,N x y ，由222(2)(3)1y kx x y =+⎧⎨-+-=⎩ 得22(1)(24)40k x k x +-++= …………………… 6分因为直线与Q 的轨迹交于两点所以22=(24)16(1)0k k ∆+-+> 得403k <<② …………………… 7分 且121222244,11k x x x x k k++==++ …………………… 8分又212121212(1)2()4OM ON x x y y k x x k x x +=+∙++=+222424(1)24=1011k k k k k +=+⨯+⨯+++ …………………… 9分∴2410k k +-=解得2k =-± …………………… 10分因为2k =--②， …………………… 11分 所以存在直线l：(22y x =-++，使得=10OM ON ∙ ……………………12分22. （本小题满分l2分）解：（1）当1=a 时，1cos sin cos sin )(-++-=x x x x x f ，令x x t cos sin +=，则]2,2[-∈t ，21cos sin 2-=t x x ，22)1(21121)(--=-+--=t t t t g ， 当1=t 时，0)(max =t g ，当2-=t 时，223)(min --=t g ， 所以)(x f 的值域为]0,223[--……………………4分 （2）1)cos (sin cos sin )(-++-=x x a x x x f ，令sin cos t x x =+，则当3[0,]4x π∈时，t ∈，21sin cos 2t x x -=， 2221111()1()2222t h t at t a a -=-+-=--++， …………………… 5分 )(x f 在3[0,]4π内有且只有一个零点等价于()h t 在[0,1){2}内有且只有一个零点，)2,1[无零点.因为1≥a ， ……………………6分 ∴()h t 在[0,1)内为增函数，①若()h t 在[0,1)内有且只有一个零点，)2,1[无零点，故只需10(1)01(0)0020302a h h h ⎧⎪->⎧>⎪⎪-⎪≤⇒≤⎨⎨⎪⎪>⎩->得423>a ；……………………10分②若2为()h t 的零点，)2,1[内无零点，则0232=-a ，得423=a ， 经检验，423=a 不符合题意. 综上，423>a . ……………………12分。

2017~2018学年度第二学期期末考试高一数学试题一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 过两点(2,1),(3,1)A B -的直线的斜率为____▲_____.2. 若2214x x +，则y 的最小值为____▲_____. 3. 已知直线m 的倾斜角为3π，直线:0l kx y -=，若//l m ，则实数k 的值为____▲_____. 4. 在等差数列{}n a 中，373,5a a ==，则公差d =____▲_____.5. 已知正四棱锥底面正方形边长为2，体积为43，则此整死棱锥的侧棱长为____▲_____.6. 在ABC sin cos B b A =，则角A 的大小为____▲_____.7. 已知空间两平面,αβ和两直线,l m ，则下列命题中正确命题的序号为____▲_____.（1）//,l l αβαβ⊥⇒⊥； （2）,//l m l m αα⊥⊥⇒；（3）,//l l αβαβ⊥⇒⊥； （4）//,l m l m αα⊥⇒⊥.8. 若直线l 与直线210x y -+=垂直，且与圆224210x y x y ++-+=相切，则直线l 的方程为____▲_____.9. 已知数列{}n a 的通项公式为12n n a n -=⋅，前n 项和为n S ，则n S =____▲_____.10. 若关于x 的不等式(1)(3)x x m +-<的解集为(0,)n ，则实数n 的值为____▲_____.11. 已知圆22:()(1)1M x m y -++=与圆N 关于直线:30l x y -+=对称，且圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值为2，则实数m 的值为___▲____.12. 已知,,,a b c d 为正实数，若123,,a b c成等差数列，,,a db c 成等比数列，则d 的最小值为____▲_____.二、解答题（本大题共8小题，共100分）13.（本小题满分10分）已知直线:240l x y -+=在x 轴上的截距为m ，在y 轴上的截距为n .（1）求实数,m n 的值； （2）求点(,)m n 到直线l 的距离.14.（本小题满分10分）在数列{}n a 中，122,4a a ==，数列{}n a 的前n 项和2n n S A B =⋅+（,A B 为常数）.（1）求实数,A B 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式.15.（本小题满分12分）已知0,0x y >>，且24x y +=.（1）求xy 的最大值及相应的,x y 的值； （2）93x y+的最小值及相应的,x y 的值.16.（本小题满分12分）已知实数,x y 满足1050550x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≤≥，记点所对应的平面区域为D .（1）在平面直角坐标系xOy 中画出区域D（用阴影部分标出），并求区域D 的面积S ；（2）试判断点3(4,)5是否在区域D 内，并说明理由.17.（本小题满分13分）已知三棱锥A BCD -中，E 是底面正BCD 边 CD 的中点，,M N 分别为,AB AE 的中点.（1）求证：//MN 平面BCD ；（2）若AE ⊥平面BCD ，求证：BE ⊥平面ACD .18.（本小题满分13分）如图，圆C 的圆心在x 轴上，且过点(7,0),(5,2).（1）求圆C 的方程；（2）直线:40l x y --=与x 轴交于点A ，点D 为直线l 上位于第一象限内的一点，以AD 为直径的圆与圆C 相交于点,M N .若直线AM 的斜率为2-，求D 点坐标.19.（本小题满分14分）如图，在ABC 中，,,123ABC ACB BC ππ∠=∠==.P 是ABC 内一点，且2BPC π∠=. （1）若6ABP π∠=，求线段AP 的长度； （2）若23ABP π∠=，求ABP 的面积.20.（本小题满分16分）已知数列{},{}n n a b 满足1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）若数列{}n a 是首项为正数，公比为(1)q q >的等比数列.①求证：数列{}n b 为等比数列；②若14n n T b +≤对任意*n N ∈恒成立，求q 的值.（2）已知{}n a 为递增数列，即*1()n n a a n N +>∈.若对任意*n N ∈，数列{}n a 中都存在一项m a 使得1n m n b a a +=-，求证：数列{}n a 为等差数列.2017~2018学年度第二学期期末考试高一数学试题参考答案11.【解析】圆心(,1)m --关于直线30x y -+=的对称点为(4,3)m --，由题意，得12211MN PQ r r =++=++=2(4)2m =-=，∴2m =或6.12.【解析】∵123,,a b c 成等差数列，∴41343134c a c a b a c b ac b ac++=+⇒=⇒=， 又∵,,a db c成等比数列，∴222()ac db ac d d b b=⇒=⇒==， 又∵已知,,,a b c d为正实数，∴d === 当且仅当3c a =时，等号成立.20.【解析】（1）①数列{}n a 是公比为(1)q q >的等比数列及1n n n b a a +=-，得0n b ≠， ∵121111n n n n n n n n n nb a a a q a q q b a a a a ++++++--===--（为定值），∴数列{}n b 为等比数列. ②1112111(1)44(2)11n n n n n b q T b b q q q q+--+-⇒⇒--≤≤≤对*n N ∀∈恒成立， 当12q <<或2q >时，若21log 1(2)q n q >+-时，12(1)1n q q -->，与12(2)1n q q --≤对*n N ∀∈恒成立矛盾，当2q =时，12(1)01n q q --=≤对*n N ∀∈恒成立，∴2q =.（2）∵数列{}n a 中都存在一项m a 使得1n m n b a a +=-，即121m n n n n n a b a a a a +++=+=-+， 而{}n a 为递增数列，则212n m n n n n a a a a a a +++<=-+<，∴211n n n n a a a a +++-+=， 即211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列.。

2017~2018学年度第二学期期末抽测高一数学参考答案与评分标准一、填空题1．14 2． 3．350 4．23 5．4 6．7 7．50 8．3109．52 10．2- 11．23π 12．9 13．(,1]-∞- 14．4033 二、解答题15．（1）直线l的斜率为tan 30︒=，…………………………………………………1分 所以直线l的方程为1y x -=-，即y x =．……………………4分 （2）因为m l ⊥，所以直线m的斜率为 ……………………………………7分所以直线m的方程为1y x -=40y +-=．……………10分（3）因为n ∥l ，所以直线n， ………………………………………12分 所以直线n的方程为3y x -=-，即0x =．…………14分 16．（1）因为(,)2απ∈π，3sin 5α=，所以4cos 5α=-，…2分 所以sin()sin cos cos sin 44αααπππ+=+ 34()55=+-． ………………………………6分 （2）由（1）可知，3sin 35tan 4cos 45ααα===--， ……………………………………8分所以2232()2tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯-===----， …………………………………11分 所以241tan 2tan 1774tan(2)244311tan 2tan 1()147αααπ-++π+===-π---⨯．……………………14分 17．（1sin 1sin A A ==， …………………………………………2分 即tan C =，…………………………………………………………………4分 因为(0,)C ∈π，所以6C π=．…………………………………………………6分 （2）由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，即2243cosb b π=+-，即210b b +-=， ……………………………10分 解得b =或b =， ………………………………………12分所以ABC △的面积11sin 226S ab C π===．……14分 18．（1）当2a =-时，不等式()0f x >即2430x x ++<，即(1)(3)0x x ++<，所以31x -<<-，………………………………………3分 故不等式()0f x >的解集为(3,1)--．…………………………………………4分（2）由题意知，24620ax ax a +--≤对任意的x ∈R 恒成立，所以20,164(62)0,a a a a <⎧⎨++⎩≤ …………………………………………………6分解得10a -<≤，故a 的取值范围为[1,0)-．…………………………………8分（3）由题意知，不等式2()54f x x x a >+-即2(1)(45)460a x a x a -+-+->，即[(1)23](2)0a x a x -+-+>的解集中恰含有两个小于2-的整数．…………10分 若1a ≥，则解集中含有无数多个整数，不符合题意； 所以1a <，则3201a a -<-，且3221a a -≠--． …………………………………12分 所以不等式的解集为32(,2)1a a ---，其中所含的两个整数应为3-，4-， 所以32541a a --<--≤，…………………………………………………………14分 即32541a a --<--≤，解得1223a <≤． 综上所述，a 的取值范围为12(,]23．……………………………………………16分 19．设ADF α∠=，BDF β∠=，则tan AF DF α=，tan BF DFβ=，tan tan()θαβ=-． （1）因为100a x ==，所以100tan 1100α==，501tan 1002β==， 所以tan tan tan 1tan tan αβθαβ-=+111213112-==+⨯．…………………………………4分 （2）因为100a =，所以100tan x α=，50tan xβ=， 所以210050tan tan 50tan 1tan tan 50001x x x x x xαβθαβ--===+++⋅………………………6分505000x x ==+ 当且仅当5000x x=，即60x =>时，取“=”．答：当无人机离大楼的水平距离为θ最大．…………………10分（3）因为200tan a x α-=，150tan a x β-=，所以2200150tan tan 501tan 2001501tan tan (200)(150)31a a x x x a a x a a x xαβθαβ----====--++--+⋅， 即22150350200150x x a a -+=-+⨯．………………………………………12分 因为50100a ≤≤，所以2500035020015015000a a -+⨯≤≤，所以2500015015000x x -+≤≤，解得50100x ≤≤， …………………14分 又因为60x ≥，所以60100x ≤≤．答：无人机D 与大楼的水平距离x 的取值范围[60,100]．………………………16分20．（1）当1n =时，12112a a a S ==，又11a =，所以22a =； ………………………1分 当2n ≥时，1112n n n n n n n a a a a a S S +---=-=，即112()n n n n a a a a +-=-． 因为0n a >，所以112n n a a +--=，……………………………………………4分 所以{}n a 的奇数项成以1为首项，2为公差的等差数列，偶数项成以2为首项，2为公差的等差数列．因此当21n k =-，*k ∈N 时，211(1)221k a k k -=+-⨯=-；当2n k =，*k ∈N 时，22(1)22k a k k =+-⨯=．即数列{}n a 的通项公式为n a n =．……………………………………………6分（2）由（1）知，n a n =，所以2n n b n =⋅．则1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，23121222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⋅，所以23122222n n n T n +-=++++-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-…………………8分 1(1)22n n +=--，所以1(1)22n n T n +=-+．………………………………………………………10分（3）因为6n ≥时，1(1)()32n m m n -<+，所以111(1)32n n n m m m m n ==-<+∑∑， 即121431()()()()33332n n n n n m m n n n n n n =++++++<++++∑． 而23111(1)1111112211122222212n n m n n m =-=++++==-<-∑， 所以(2)(1)43(3)(3)n a n n n n n n n n n a ++++++<+=+．所以当6n ≥时，34(2)(3)n a n n n n n a ++++=+无解．…………………14分 当1n =时，34<；当2n =时，222345+=；3n =时，33333456++=； 当4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，不符合；当5n =时，5555534567++++为奇数，而58为偶数，不符合．综上可知，满足条件的n的所有值为2，3．………………………………16分。

2017学年第二学期教学质量监测试卷高一数学本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 本次考试不允许使用计算器。

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的． 1.的值是(﹡). 5sin3πA. C.D. 12-122. 不等式的解集是(﹡).220x x --+>A. B. C. D. (1,)+∞(,2)-∞-(2,1)-(,2)(1,)-∞-⋃+∞3. 已知角θ的终边经过点 ，则的值是(﹡).(4,3)P -()cos πθ-A.B. C.D.4545-3535-4. 在等差数列{}n a 中，22a =，则＝(﹡).34,a =10a A. B.C. D. 181614125. 若，且，则的值等于(﹡). 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭21sin cos 24αα+=tan α6. 对任意向量，下列关系式中不恒成立的是(﹡).,a bA ．B ．||||||a b a b ⋅≤ 22()||a b a b +=+C ．D ．||||||a b a b -≤-()()22a b a b a b+⋅-=- 7. 设是平面上给定的个不同点， 则使成立的点的个123,,A A A 3123MA MA MA ++=0M 数为(﹡). A.B.C.D. 01238. 要得到函数的图象，只要将函数的图象(﹡). 2sin 2y x =2sin(21)y x =+A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位 11C ．向左平移个单位 D ．向右平移个单位12129. 函数(﹡).23sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．在区间上单调递增B ．在区间上单调递减7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．在区间上单调递减D ．在区间上单调递增,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10. 已知等比数列满足，则(﹡).{}n a 22463,21a a a a +=+=468a a a ++=A ． B ．C ．D ．2142638411.要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方34m 1m 米元，侧面造价是每平方米元，则该容器的最低总造价是(﹡). 2010A. 元B. 元C. 元D. 元8012016024012. 在中，角所对边的长分别为，若，ABC ∆A B C 、、a b c 、、222sin sin 2sin A B C +=则的最小值为(﹡). cos C A. B.12-12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 把答案填在答题卡上.13.若向量与共线，则的值为　＊ ．=a (k =b k 14. 已知关于x 的不等式在上恒成立，则实数a 的取值范围是　＊ ．220x ax a -+>R 15. 设实数满足则的最大值是　＊ ．,x y 2,1,2x y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤yz x y =-+16. 函数在区间上所有零点的和等于　＊ ．()sin 1f x x x =+-[0,2]π三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知平面向量，满足，，与的夹角为θ.a b ||1=a ||=b a b (Ⅰ)若∥，求；a b ⋅a b (Ⅱ)若-与垂直，求θ.a b a 18. (本小题满分12分)在等差数列{}n a 中，已知，．35a =6919a a +=(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．23n a nb n -=+19. (本小题满分12分)用“五点法”画函数在某一个周期内的图象π()sin()(0,||2f x A x ωϕωϕ=+><时，列表并填入了部分数据，如下表：(Ⅰ)请将上表数据补充完整，填写在答题卡表中相应位置上，并直接写出函数的解()f x 析式；(Ⅱ)求在上的最大值和最小值.()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦20. （本小题满分12分）的内角所对的边分别为，，,．ABC ∆,,A B C a bc sin cos a B A =(Ⅰ)求；A (Ⅱ)若，．2b =ABC ∆a21. (本小题满分12分)如图，在中，已知ABC ∆0135,6,BAC AB AC ∠===(Ⅰ)求；cos B (Ⅱ)若点在边上，且求的长．D BC ABD BAD ∠=∠，CD BDAC22. （本小题满分12分）数列满足.{}n a 111,(1)(1),N n n a na n a n n n *+==+++∈(Ⅰ)求数列的通项公式；{}n a n a (Ⅱ)设，求数列的前项和.2n nb ={}n b n n S 2017-2018学年第二学期期末教学质量监测高一数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题题号123456789101112答案DCBAD CBDABCB二、填空题13.14.15.16.1(0,1)273π三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）解：(1)∵∥，∴θ＝0°或180°， ...........................2分a b ∴， ...................................................3分cos 1θ=±∴. (5)分|||cos 1cos θθ== a b =|a b (Ⅱ)∵-与垂直，∴(-)·＝0， ………………7分a b a a b a 即， ……………………8分2||10θ-⋅=a a b =∴cos θ＝. ………………………………………………9分22又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°. ………………………………10分18. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)设等差数列的公差为,………………………1分{}n a d 由已知得 ……………………3分()()11125,5819.a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩解得 …………………………………………………4分13,1.a d =⎧⎨=⎩所以. ……………………………5分()112na a n d n =+-=+(Ⅱ)由（I ）可得, ………………………………6分3n n b n =+所以12310b b b b ++++………………7分2310(31)(32)(33)(310)=++++++++……………9分()2310(3333)12310=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ …………………………………11分103(13)(110)10132-+⨯=+-. …………………………………………12分111335522=⨯+-19. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)根据表中已知数据，可得…………………2分,sin 325362=32A ππωφππωφπ⎧⋅+=⎪⎪⎪⋅+=⎨⎪⎪⎪⎩(没有列以上方程组，但能正确写出不扣分.)π3,2,6A ωϕ===-解得. ………………………………………………3分π3,2,6A ωϕ===-函数表达式为.………………………………………3分π()3sin(2)6f x x =-数据补全如下表：(填对表中 (Ⅱ) ，.…………………………8分02x π≤≤52666x πππ∴-≤-≤由正弦函数的性质，当，即时，取得最大值3. …………………9分262x ππ-=3x π=()f x 当，即时，，………………………10分266x ππ-=-0x =3(0)2f =-当，即时，， ………………………11分5266x ππ-=2x π=3()22f π=的最小值为. ………………………………………………12分()f x ∴32-因此，在 上最大值是3，最小值是.………………12分()f x 02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，32-20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为，所以由正弦定理，sin cos a B A =得，………………………………2分sinsin cos A B B A =又，从而，………………………………4分sin 0B ≠tan A =由于，所以.…………………………………6分0A π<<3A π=（Ⅱ）因为，2b =ABC ∆所以， …………………………………8分12sin 23c π⨯⋅=所以. ……………………………………………………9分3c =由余弦定理，得，……………11分2222cos 7a b c bc A =+-=所以…………………………………………………12分a =21. (本小题满分12分)解:由余弦定理得，中, ……………1分2222cos BC AC AB AC AB BAC =+-⋅∠………………2分220626cos1351836(36)90,=+-⨯⨯=+--=所以……………………………………………………………………3分BC =又由正弦定理得, ………………………5分sin sinAC BAC B BC ∠===由题设知 ……………7分00045,B <<cos B ∴===解法一：在中， …………8分ABD ∆ABD BAD ∠=∠ ，01802ADB B ∴∠=-，由正弦定理得，……………………10分sin sin sin =sin sin(2)sin 2AB B AB B AB BAD ADB B Bπ==∠-……………………………………………………11分6sin 32sin cos cos B B B B===所以 ………………………12分CD BC BD BC AD =-=-==解法二：在中， …………………8分ACD ∆ABD BAD ∠=∠ ，2ADC B ∴∠=，由正弦定理得， ……………………10分()0sin 45sin =sin sin 2AC B AC ACD AD ADC B-∠=∠……………………………………………11分()00sin 45cos cos 45sin sin 2AC B B B-= (12)分==22.（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 解法一：由已知得()111,n n n a a n n N n*++=++∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅*把代入式，得，而所以，………1分2n =()*2122a a =+11,a =24a =把代入式，得，…………………………………………2分3n =()*39a =把代入式，得， ………………………………………3分4n =()*416a =……………猜想：. ……………………………………………………4分()211n a n -=-把代入式，得. …………………………………………6分1n a -()*2n a n =（本题猜想之后应用数学归纳法证明.把代入式，得这一步等价()211n a n -=-()*2n a n =于数学归纳法证明中的“递推”，没有“递推”这一步，第(Ⅰ)问最多给4分）解法二：由已知可得， …………………………………2分111n na a n n+=++即，………………………………………………………3分111+-=+n na a n n所以是以为首项，为公差的等差数列.…………………4分⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a n 111=a 1(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，………………………………5分()111=+-⋅=na n n n所以， …………………………………………………………6分2=n a n 从而. ………………………………………………………7分2n nb n =⋅①………8分1231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ . ②………9分()23412122232122n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-+⋅ ①—②得，………………10分2341222222n n nS n +-=+++++-⋅ . …………………………11分()111212222212n n n n n n +++-=-⋅=-⋅--所以. ……………………12分()111222122n n n nS n n +++=⋅-+=-+。

南京市2017－2018学年度第二学期期末学情调研高一数学参考答案及评分标准 2018.06说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．π4 2．3 3． 2x －y ＋2＝0 4．4295．4 6．{x |0≤x ＜2}或[0，2) 7．223π 8．π6 9．2410．x ＋2y －3＝0 11．①③ 12．10(2＋2) 13．1271714．4 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（本小题满分14分）解：（1）因为直线l ：x ＋my －2m ＝0 (m ≠0) 的斜率为－1，所以 －1m＝－1， …………………… 4分 解得 m ＝1． …………………… 6分（仅有答案“m ＝1”而无过程，则本小题6分只得2分）（2）因为直线l 的方程为 x ＋my －2m ＝0 (m ≠0)，所以l 与两坐标轴的交点分别 (2m ，0)，(0，2)． …………………… 10分因为l 与坐标轴围成的三角形的面积为2，所以 12×2×|2m |＝2， …………………… 12分 解得 m ＝1或m ＝－1． …………………… 14分（少绝对值，则扣2分）16．（本小题满分14分）证明：（1）因为侧面BCC 1B 1是菱形， N 是BC 1与B 1C 的交点，所以N 是B 1C 的中点． …………………… 2分 （直接写“N 是B 1C 的中点”而无理由，则此2分得0分）又 M 是AB 1的中点，所以 MN ∥AC ． …………………… 4分因为 MN ⊄ 平面ACC 1A 1，AC ⊂ 平面ACC 1A 1，（不写“MN ⊄ 平面ACC 1A 1”，则此2分得0分）所以 MN ∥平面ACC 1A 1． …………………… 6分（2）因为 侧面ACC 1A 1是矩形，所以 AC ⊥CC 1．又 AC ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ，CC 1，B 1C ⊂ 平面BCC 1B 1，所以 AC ⊥平面BCC 1B 1． …………………… 9分 （不写“因为侧面ACC 1A 1是矩形”，则此3分得2分）（很简单的内容，但不写则问题很严重）因为 BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以AC ⊥BC 1． …………………… 11分 因为 侧面BCC 1B 1是菱形，所以 BC 1⊥B 1C ．（不写“因为侧面BCC 1B 1是菱形”，则此3分得2分）因为 AC ∩B 1C ＝C ，AC ，B 1C ⊂平面AB 1C ，所以BC 1⊥平面AB 1C ． …………………… 14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为 AD ⊥BC ，所以△ABD 为直角三角形．又因为 AB ＝2，AD ＝2，所以 BD ＝2，从而 ∠BAD ＝π4， tan ∠BAD ＝1． …………………… 2分 又DC ＝2BD ＝22，所以 tan ∠DAC ＝DC AD＝2． …………………… 4分 所以 tan ∠BAC ＝ tan(∠BAD ＋∠DAC )＝tan ∠BAD ＋tan ∠DAC 1－tan ∠BAD ·tan ∠DAC ＝ 1＋21－2＝－3． …………………… 6分（2）设BD ＝x ．因为AB ＝2，AD ＝2，cos B ＝34， 由余弦定理得 AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，故 2＝4＋x 2－2×2×x ×34，即 x 2－3x ＋2＝0， 解得 x ＝1或x ＝2． …………………… 10分当x ＝1时，BC ＝3，从而 AC 2＝4＋9－2×2×3×34＝4，即 AC ＝2； 当x ＝2时，BC ＝6，从而AC 2＝4＋36－2×2×6×34＝22，即AC ＝22． 所以 线段AC 的长度为2或22． …………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）当 b ＝－1 时，f (x )＝x 2＋ax ＋1．因为 函数f (x )有零点，即方程 x 2＋ax ＋1＝0 有解，所以 △＝a 2－4≥0，解得 a ≥2或a ≤－2，即 a ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． ……………………… 3分（2）当b ＝1－a 时，不等式 f (x )≤0 即为 (x ＋1)[x －(1－a )]≤0．……………………… 5分①当 a ＜2 时，不等式的解集为[－1，1－a ]；②当 a ＝2 时，不等式的解集为{－1}；③当 a ＞2 时，不等式的解集为[1－a ，－1]． ……………………… 9分（3）因为 a ，b 均为正数，所以 f (x )＝x 2＋ax －b 在区间 [1，＋∞) 单调递增，从而 函数 f (x ) 在区间 [1，＋∞)上的最小值为 f (1)．因为 f (x )≥0 对于任意x ∈[1，＋∞)恒成立，因此f (1)≥0，故 a －b ＋1≥0，即 b ≤a ＋1． ……………………… 12分从而a ＋4b ≥a ＋4a ＋1＝(a ＋1)＋4a ＋1－1≥2(a ＋1)·4 a ＋1－1＝3． 又因为 a ＋4b ≤3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ＋1，a ＋1＝4a ＋1，解得a ＝1，b ＝2． ……………………… 16分 （只用相等的情形做出正确结果“a ＝1，b ＝2”，则此4分得1分）（即只给结果分）19．（本小题满分16分）解：（1）设养殖网箱的深度为 h 米．因为养殖网箱的体积为1200立方米，上底面的一边长为20米，上底面的另一边长为x 米， 所以 20xh ＝1200，即 xh ＝60． …………………… 2分因为网箱内部被隔成的三块长方体区域的体积相等，所以区域①和区域②的底面的长为10米，宽为23x 米，区域③的底面的长为20米，宽为13x 米． …………………… 5分因此 y ＝(3×20h ＋(2xh ＋23xh ))×200＋20x ×90 （有“3×20h ”，则得1分；有“2xh ＋23xh ”，则得1分；有“20x ”，则得1分；共3分） ＝(60h ＋160)×200＋1800x＝600(20h ＋3x )＋32000＝600 (20×60x＋3x )＋32000 ＝1800(x ＋400x)＋32000，x ＞0． …………………… 10分 （结果正确，5分）（不写定义域“x ＞0”、其它全对，则扣1分）（2）因为 x ＞0，所以 x ＋400x ≥2 x ·400x＝40， …………………… 13分 所以 y ≥104000，当且仅当 x ＝400x，即 x ＝20 时取等号． 所以 x ＝20 时，y 有最小值104000．答：当养殖网箱上底面的另一边长 x 为 20米时，制作网箱的总费用最少．………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）设等差数列{a n}的公差为d (d≠0)，等比数列{b n}的公比为q，则(1＋d)－1＝q，(1＋2d)－1＝q2，解得d＝2，q＝2，……………2分。

2017—2018学年度第二学期教学质量检查高一数学考生注意：本卷共三大题，22小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.参考公式：用最小二乘法求线性回归方程a x b yˆˆˆ+=的系数公式： ()()()∑∑∑∑====-⋅⋅-=---=n i i ni ii ni i ni i ixn x yx n yx x x y y x xb1221121ˆ，x b y aˆˆ-=. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑． 1.︒135sin 的值是（ ） A.22B.22-C.23-D.23 2.已知向量),4(),1,(x b x a ==ρρ，若5=⋅b a ρρ，则x 的值为（ ）A.1B.2C.1±D.53.若圆22240x y x y ++-=关于直线20x y a -+=对称，则a 的值为( ) A.3- B. 1- C. 0 D. 44.为了调查某班级的作业完成情况，将该班级的52名同学随机编号01～52，用系统抽样．．．．的方法抽取一个容量为4的样本，已知05、18、44号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是（ ） A.29 B.30 C.31 D.325.已知α是第四象限角，且tan 2α=-，则sin 2α=（ ） A.25-B. 25C.45-D. 456.要得到曲线3sin(2)5y x π=-，只需把函数3sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移5π个单位 B ．向右平移5π个单位 C ．向左平移10π个单位 D ．向右平移10π个单位7.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ） A ．1- B ．0 C ．21 D ．23-7第题图否2019?n <8.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =u r与 向量(1,2)n =r平行的概率为（ ）A.16B.14C.13D.129.过原点的直线l 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交所得的弦长为32，则直线l 的斜率为（ ）A. 2B. 1C.43 D.1210.如图，圆C 内切于扇形AOB ，3AOB π∠=，若在扇形AOB 内任取一点，则该点在圆C 外的概率为（ ） A ．14B.13C.23D.3411.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在42ππ（，）上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ． (0,2] B ．1(0,]2 C ．13[]22， D ．5[1]2， 12.设2,1OA OB ==u u u r u u u r ，0OA OB ⋅=u u u v u u u v ，OP OA OB λμ=+u u u v u u u v u u u v，且1=+μλ，则向量OA 在OP u u u v 上的投影的取值范围( ) A.]2,552(-B.]2,552(C. ]2,554(-D. ]2,554( 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13.在空间直角坐标系中，点)4,3,2(P 到y 轴的距离为________.14.已知,a b r u r 为单位向量，且,a b r r 所成角为3π，则2a b +r r 为_________.15.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某天阅读时间及人数的数据，结果用条形图表示（如右图），根据条形图可知 这50名学生在这天平均每人的课外阅读时间为 小时.16.已知sin 2cos y θθ=+，且θπ∈（0,），则当y 取得最大值时sin θ= .0.511.5220151050小时人数第15题图第10题图三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 17．(本小题10分)已知平面向量)2,1(=a ，),1(k -=．（1）当k 为何值时，向量a 与b a ρρ+2垂直；（2）当1=k 时，设向量与的夹角为θ，求θtan 及θ2cos 的值．18．(本小题12分)近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有70人.)（1）求该组织中志愿者人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，然后在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率.19．(本小题12分)某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据()(),1,2,6i i x y i =⋯，如表所示：已知80y =.（1）求表格中q 的值；（2）已知变量,x y 具有线性相关关系，试利用最小二乘法原理，求产品销量y 关于试销单价x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ ( 参考数据：662113050,271i i i i i x y x ====∑∑)；（3）用（2）中的回归方程得到与i x 对应的产品销量的估计值记为i yˆ)6,...,2,1(=i ， 当ˆ1i i y y -≤时，称(),i i x y 为一个“理想数据”.试确定销售单价分别为6,5,4时有哪些是“理想数据”.20.(本小题12分)设函数()2π2sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）请把函数)(x f 的表达式化成)2||,0,0()sin()(πϕωϕω<>>++=A b x A x f 的形式，并求)(x f 的最小正周期；（2）求函数)(x f 在]2,4[ππ∈x 时的值域．21.(本小题12分)在平面内，已知点(1,1)A ，圆C ：22(3)(5)4x y -+-=，点P 是圆C 上的一个动点，记线段PA 的中点为Q . （1）求点Q 的轨迹方程；（2）若直线:2l y kx =+与Q 的轨迹交于M N ，两点，是否存在直线l ，使得10OM ON •=u u u u r u u u r（O为坐标原点），若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22．(本小题12分)已知1≥a ，1)cos (sin cos sin )(-++-=x x a x x x f . （1）求当1=a 时，)(x f 的值域； （2）若函数)(x f 在3[0,]4π内有且只有一个零点，求a 的取值范围.2017—2018学年度第二学期教学质量检查 高一数学参考答案及评分标准二、填空题(每小题5分,满分20分)13.52 14．7； 15．0.95； 16．5三、解答题 17．（本小题满分10分）解:（1）Θ与2+a b r r 垂直，得2+0a a b ⋅=r r r（） 即22+=0a a b r r rg……………………2分 即10120k -+= ……………………3分解得92k =-． ……………………4分（2）依题意，10102521||||cos =⨯+-==b a θ， ……………………6分因为[0,]θπ∈ sin 10θ∴==……………………7分 sin tan 3cos θθθ∴== ……………………8分 54110121cos 22cos 2-=-⨯=-=∴θθ ……………………10分18．（本小题满分l2分）解: (1)由题意：第2组的人数：7050.07n =⨯⨯，得到：=200n ， 故该组织有200人.……………………3分(2)第3组的人数为0.3200=60⨯， 第4组的人数为0.2200=40⨯，第5组的人数为0.1200=20⨯. ∵第3，4，5组共有120名志愿者，∴利用分层抽样的方法在120名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：606=3120⨯；第4组：406=2120⨯；第5组：206=1120⨯. ……………………5分 记第3组的3名志愿者为1A ，2A ，3A ，第4组的2名志愿者为1B ，2B ， 第5组的1名志愿者为C .则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：()12A A ，，()13A A ，，()11A B ，，()12A B ，，()1A C ，，()23A A ，，()21A B ，,()22A B ，,()2A C ，,()31A B ，,()32A B ，,()3A C ，,()12B B ，,()1B C ，,()2B C ，， 共有15种.……………………8分其中第3组的3名志愿者为1A ，2A ，3A ，至少有一名志愿者被抽中的有：()12A A ，，()13A A ，，()11A B ，，()12A B ，，()1A C ，，()23A A ，，()21A B ，,()22A B ，,()2A C ，,()31A B ，,()32A B ，,()3A C ， 共有12种.……………………10分则第3组的为至少有一名志愿者被抽中的概率为124155P ==. ……………………12分 [用间接法求解亦可以给满分] 19. （本小题满分l2分） 解：（1）66880838490+++++=q y Θ，又80y =Q ，75=∴q . ……………………3分（2）4567891362x +++++==， ……………………4分2133050680241327162b ∧-⨯⨯∴==-⎛⎫- ⎪⎝⎭……………………6分 ()138041062a ∧∴=--⨯= ……………………7分 4106y x ∧∴=-+ ……………………8分（3）4106y x ∧=-+Q1111410690,909001y x y y ∧∧∴=-+=-=-=<，所以()()11,4,90x y =是“理想数据”；2222410686,=868421y x y y ∧∧=-+=--=>，所以()()22,5,84x y =不是“理想数据”; 3333410682,838211y x y y ∧∧=-+=-=-==，所以()()33,6,83x y =是“理想数据”.所以所求的“理想数据”为)90,4( ，)83,6(. ……………………12分20. （本小题满分l2分） 解: （1）()2ππ2sin 1cos 242f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin22sin 213x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭， ……………………4分∴函数()f x 最小正周期为22T ππ== ……………………5分 (2) ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q∴ππ2π2,363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， ……………………7分 ∴π1sin 2[,1]32x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ∴π2sin 2[1,2]3x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭……………………10分 ∴()[2,3]f x ∈……………………11分 ∴函数()f x 的值域是[2,3]……………………12分21. （本小题满分l2分）（1）解：设点(),Q x y 、()00,P x y .Q 点P 在圆C 上，∴2200(3)(5)4x y -+-=. ① ……………………1分又Q PA 中点为点Q∴002121x x y y =+⎧⎨=+⎩………………… 3分可得021x x =-，021y y =-代入①得22(2)(3)1x y -+-=∴点Q 的轨迹方程为22(2)(3)1x y -+-= …………………… 4分 （2）假设存在直线l ，使得6=•OM ，设()11,M x y ，()22,N x y ，由222(2)(3)1y kx x y =+⎧⎨-+-=⎩ 得22(1)(24)40k x k x +-++= …………………… 6分因为直线与Q 的轨迹交于两点所以22=(24)16(1)0k k ∆+-+> 得403k <<② …………………… 7分 且121222244,11k x x x x k k ++==++ …………………… 8分又212121212(1)2()4OM ON x x y y k x x k x x +=+•++=+u u u u r u u u r222424(1)24=1011k k k k k+=+⨯+⨯+++ …………………… 9分∴2410k k +-= 解得2k =-± …………………… 10分因为2k =--②， …………………… 11分所以存在直线l ：(22y x =-++，使得=10OM ON •u u u u r u u u r……………………12分22. （本小题满分l2分）解：（1）当1=a 时，1cos sin cos sin )(-++-=x x x x x f ，令x x t cos sin +=，则]2,2[-∈t ，21cos sin 2-=t x x ，22)1(21121)(--=-+--=t t t t g ， 当1=t 时，0)(max =t g ，当2-=t 时，223)(min --=t g ， 所以)(x f 的值域为]0,223[--……………………4分 （2）1)cos (sin cos sin )(-++-=x x a x x x f ，令sin cos t x x =+，则当3[0,]4x π∈时，t ∈，21sin cos 2t x x -=， 2221111()1()2222t h t at t a a -=-+-=--++， …………………… 5分)(x f 在3[0,]4π内有且只有一个零点等价于()h t 在[0,1)I 内有且只有一个零点，)2,1[无零点.因为1≥a ， ……………………6分 ∴()h t 在[0,1)内为增函数，①若()h t 在[0,1)内有且只有一个零点，)2,1[无零点，故只需10(1)01(0)0020302a h h h ⎧⎪->⎧>⎪⎪-⎪≤⇒≤⎨⎨⎪⎪>⎩->得423>a ；……………………10分 ②若2为()h t 的零点，)2,1[内无零点，则0232=-a ，得423=a ， 经检验，423=a 不符合题意. 综上，423>a . ……………………12分。