第二讲,同角三角函数的基本关系与诱导公式

角度 sin α，cos α 的齐次式问题 [例 2] 已知tatnanα－α 1＝－1，求下列各式的值． (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα； (2)sin2 α＋sin αcos α＋2.
解：由已知得 tan α＝12. (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaann αα－ ＋31＝－53.
D．±2
5 5
所以 cos α＝－23，
则 α 为第二或第三象限角，
所以 sin α＝±
1－cos2
α＝±
5 3.
5
所以
tan
α＝csions
αα＝±－323
＝±
5 2.
答案：C
6．sin 2 490°＝________；cos－523π＝________．
解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12. cos－523π＝cos 523π＝cos16π＋π＋π3＝cosπ＋π3＝ －cos π3＝－12. 答案：－12 －12
(2)sin2 α＋sin αcos α＋2＝sins2inα2＋α＋sincoαsc2oαs α＋2＝
tan2 α＋tan tan2 α＋1
α＋2＝121222＋ ＋121＋2＝153.
角度 sin α±cos α 与 sin αcos α 关系的应用
[例 3] 已知 x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝15.
1．已知 a∈(0，π)，且 cos α＝－153，则 sinπ2－α· tan α＝( )
由 x∈(－π，0)，知 sin x<0，又 sin x＋cos x>0，
所以 cos x>0，所以 sin x－cos x<0，

所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二 诱导公式及其应用 考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦 sin α
－sin α
－α －sin α
π－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —

第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin 2x ＋cos 2x ＝1 . (2)商数关系： sin xcos x ＝tan x .知识点二 三角函数的诱导公式重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x·cos x，tan 2x ＋1＝1cos 2x，(sinx ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α(k∈Z)中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·π2＋α(k∈Z)所在的象限．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin (kπ－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( × )[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k 为奇数和偶数时，sin α的值不同．题组二 走进教材2．(必修4P 22B 组T3改编)已知tan α＝12，则sin α－cos α3sin α＋2cos α＝( A )A ．－17B ．17C ．－7D ．7[解析] sin α－cos α3sin α＋2cos α＝tan α－13tan α＋2＝12－13×12＋2＝－17.故选A.3．(必修4P 22B 组T2改编)化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－co s α1＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2得( A )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α[解析] 原式＝cos α1－sin α2cos 2α＋sin α1－cos α2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．(必修4P 29B 组T2改编)若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ 12 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝ 12 . [解析] 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝12.题组三 走向高考5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D.另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝3，∴选D.6．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )A.125B ．－125C ．512D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79，故选A.考点突破·互动探究考点一 同角三角函数的基本关系式——师生共研 例1 (1)已知α为第三象限角，cos α＝－817，则tan α＝( D )A ．－815B ．815C ．－158D ．158(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 －5 .(3)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 －3 .[解析] (1)因为α是第三象限角，cos α＝－817，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517，故tan α＝sin αcos α＝158.选D.(2)由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. (3)由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－c os α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.名师点拨(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α； sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α. 〔变式训练1〕(1)若α是第二象限角，tan α＝－512，则sin α＝( C )A.15 B ．－15C ．513D ．－513(2)已知α是第二象限角，化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝ 23. (3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 31010 .[解析] (1)∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－125sin α2＝1，∴sin α＝±513.又α为第二象限角，∴sin α＝513，故选C.(2)解法一：原式＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝sin 2α1＋cos 2α－sin 2αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α3cos 2α＝23. 解法二：∵1－cos 4α－sin 4α＝1－(cos 2α＋sin 2α)2＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α， ∴原式＝2sin 2αcos 2α1－cos 2α＋sin 2αcos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α ＝2sin 2αcos 2α1－cos 4α－sin 4α＋cos 2αsin 2α ＝2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α＝23. (3)由tan α＝2得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 考点二 诱导公式及其应用——多维探究 角度1 利用诱导公式化简三角函数式例2 (1)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝ －1sin α .(2)化简1－2sin 10°sin 100°cos 80°－1－sin 2170°＝ －1 . [解析] (1)原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α. (2)∵cos 10°>sin10°，∴原式＝1－2sin 10°cos 10°sin 10°－cos 10°＝sin 210°－2sin 10°cos 10°＋cos 210°sin 10°－cos 10°＝|sin 10°－cos 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°－cos 10°－sin 10°＝－1.角度2 “换元法”的应用例3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是 0 .[解析] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 名师点拨(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，互补关系有π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.①化简f(α)；②若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值． (2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ －74 ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 34 .[解析] (1)①f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.②因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三角限的角， 所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f(α)＝265.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， 因为α为钝角， 所以34π<π4＋α<54π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34.名师讲坛·素养提升sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝ －125. [解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系为(sin x ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x ，(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ，(sin x ＋cos x)2＋(sin x －cos x)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值． 〔变式训练3〕(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C ) A.75 B ．725 C ．257D ．2425(2)若1sin α＋1cos α＝3，则s in αcos α＝( A )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1 [解析] (1)解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C. 解法二：由解法一知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C.(2)由1sin α＋1cos α＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcosα＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A.。

答案：4
课堂互动讲练
考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时， 首先根据题意选准公式再用，一般是负 变正、大变小的思想．
在使用诱导公式时，α可为任意角， 并不一定要为锐角，只不过是在运用的 过程中把它“看作”是锐角而已．“奇 变偶不变，符号看象限”同样适用于正 切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．
cos2x－1 sin2x＝
cos2x＋sin2x cos2x－sin2x
，想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：联立方程：
sinx＋cosx＝15， sin2x＋cos2x＝1.
① 2分
②
①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx
＝215，
∴2sinxcosx＝－2245.4 分 ∵－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0. ∴sinx－cosx＝－ sin2x－2sinxcosx＋cos2x
三基能力强化
5．已知scions2θθ＋＋14＝2，那么(cosθ ＋ 3)(sinθ＋1)的值为________．
解析：∵scions2θθ＋＋14＝2，∴sin2θ＋4＝ 2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得 cosθ＝ 1 或 cosθ＝－3(舍去)，由 cosθ＝1 得 sinθ ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
规律方法总结
公式中 k·π2＋α 的整数 k 来讲的．“象
限”指在 k·π2＋α 中，将 α 看作锐角时 k·π2＋
α
所在的象限，如将
cos(32π＋α)写成
π cos(3·2