第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinx

cosx＝

tanx.2.能利用单位圆中的对称性推导出π

2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公

式.

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：□1sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：sinα

cosα＝tanα(α≠π

2＋kπ，k∈Z).

2.三角函数的诱导公式公式角正弦余弦正切口诀

一2kπ＋

α(k∈Z)sinαcosαtanα

奇变偶不

变，符号

看象限二π＋α□2－sinα□3－cosα□4tanα

三－α□5－sinα□6cosα□7－tanα

四π－α□8sinα□9－cosα□10－tanα

五π

2－α□11cosα□12sinα－

六π

2＋α□13cosα□14－sinα－

常用结论

1.同角三角函数关系式的常用变形

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；

sinα＝tanα·cosα.

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π

2的奇数倍和偶数倍，变

与不变指函数名称的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若α，β为锐角，都有sin2α＋cos2β＝1.()

(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()

(3)若α∈R，则tanα＝sinα

cosα恒成立.()

(4)若sin(kπ－α)＝1

3(k∈Z)，则sinα＝1

3.()

答案：(1)×(2)×(3)×(4)×

2.回源教材

(1)已知sin(7π

2＋α)＝3

5，那么cosα＝()

A.－4

5B.－3

5

C.3

5D.4

5

解析：B因为sin(7π

2＋α)＝－cosα＝3

5，

所以cosα＝－3

5.

(2)已知α是第三象限角，sinα＝－3

5，则tanα＝()

A.－3

4B.3

4

C.－4

3D.4

3

解析：B由题意得cosα＝－4

5，故tanα＝sinα

cosα＝3

4.

(3)化简cos（α－π

2）

sin（5

2π＋α）·cos(2π－α)的结果为.

解析：原式＝sinα

cosα·cosα＝sinα.

答案：sinα同角三角函数的基本关系

“知一求二”问题

例1(2023·全国乙卷)若θ∈(0，π

2)，tanθ＝1

2，则sinθ－cosθ＝.

解析：因为θ∈(0，π

2)，则sinθ＞0，cosθ＞0，

又tanθ＝sinθ

cosθ＝1

2，

则cosθ＝2sinθ，

且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，

解得sinθ

＝5

5或sinθ

＝－5

5(舍去)，

所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ

＝－sinθ

＝－5

5.

答案：

－5

5

sinα，cosα的齐次式问题

例2(2024·咸阳模拟)已知方程sinα＋2cosα＝0，则cos2α－sinαcosα＝

()

A.－4

5B.3

5

C.－3

5D.4

5

解析：B方程sinα＋2cosα＝0，

化简得tanα＝－2，

则cos2α－sinαcosα＝cos2α－sinαcosα

1＝cos2α－sinαcosα

sin2α＋cos2α，

分子分母同时除以cos2α可得，cos2α－sinαcosα

sin2α＋cos2α＝1－tanα

tan2α＋1，

将tanα＝－2代入可得cos2α－sinαcosα＝1－tanα

tan2α＋1＝1－（－2）

（－2）2＋1＝3

5.故选B.

“sinα±cosα，sinαcosα”之间的关系应用

例3(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝1

5，则下列结论正确的是()

A.sinθ＝4

5B.cosθ＝－3

5

C.tanθ＝－3

4D.sinθ－cosθ＝7

5

解析：ABD由题意知sinθ＋cosθ＝1

5，

∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝1

25，

∴2sinθcosθ＝－24

25<0，

∵θ∈(0，π)，∴π

20，

∴sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ

＝1－（－24

25）＝49

25＝7

5，

∴sinθ＝4

5，cosθ＝－3

5.

∴tanθ＝－4

3，∴ABD正确.

反思感悟

同角三角函数关系式的应用方法

(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinα

cosα＝tan

α(α≠π

2＋kπ，k∈Z)可实现角α的弦切互化.

(2)当分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式时，往往转化为关于tanα

的式子求解.

(3)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cos

α这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.

训练1(1)若θ∈(π

2，π)，且满足6

tanθ－tanθ＝1，则sinθ＋cosθ＝()

A.10

5

B.5

5

C.

－5

5D.

－10

5

解析：A由6

tanθ－tanθ＝1得(tanθ－2)(tanθ＋3)＝0，∴tanθ＝－3或tanθ

＝2，∵θ∈(π

2，π)，∴tanθ<0，∴tanθ＝－3.

由tanθ＝sinθ

cosθ＝－3，

sin2θ＋cos2θ＝1及sinθ>0，cos

θ<0，得sinθ

＝310

10，cos

θ＝－10

10，∴sinθ＋cos

θ＝10

5.故选A.

(2)(2024·海口模拟)已知tanα＝2，则1－3cos2α

sin2α＝()

A.1

2B.1

4

C.2D.4

解析：A因为tanα＝2，所以1－3cos2α

sin2α＝sin2α－2cos2α

2sinαcosα＝tan2α－2

2tanα＝2

4＝1

2.

故选A.

(3)(多选)已知sinθcosθ＝1

2，π

2＜θ＜2π，则()

A.θ的终边在第三象限

B.sinθ＋cosθ＝2

C.sinθ－cosθ＝0

D.tanθ＝－1

解析：AC因为sinθcosθ＝1

2，π

2＜θ＜2π，

则θ为第三象限角，A正确；

由题意得sinθ＜0，cosθ＜0，B错误；

因为(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝0，

故sinθ－cosθ＝0，C正确；

结合选项C可知tanθ＝1，D错误.

诱导公式的应用

例4(1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()A.sin(3π－x)＝－sinx

B.sinπ－x

2＝－cosx

2

C.cos(5π

2＋3x)＝sin3x

D.cos(3π

2－2x)＝－sin2x

解析：Dsin(3π－x)＝sin(π－x)＝sinx，

sinπ－x

2＝sin(π

2－x

2)＝cosx

2，

cos(5π

2＋3x)＝cos(π

2＋3x)＝－sin3x，

cos(3π

2－2x)＝－sin2x.

(2)已知sin(π

3＋2α)＝2

3，则cos(π

6－2α)＝()

A.5

3B.－2

3

C.2

3D.

±53

解析：C∵sin(π

3＋2α)＝2

3，

∴cos(π

6－2α)＝cos[π

2－(π

3＋2α)]

＝sin(π

3＋2α)＝2

3.故选C.

反思感悟

1.诱导公式的应用步骤

任意负角的三角函数―――――→利用诱导公式

三或一任意正角的三角函数―――――→利用诱导公式一0～2π内的

角的三角函数―――――→利用诱导公式二

或四或五或六锐角三角函数.

2.诱导公式的两个应用

(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.

(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.训练2(1)已知cos(π

4＋α)＝4

5，则sin(π

4－α)的值为()

A.3

5B.－3

5

C.4

5D.－4

5

解析：C由cos(π

4＋α)＝4

5，得

sin(π

4－α)＝sin[π

2－(π

4＋α)]＝cos(π

4＋α)＝4

5.

(2)设f(α)＝2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）

1＋sin2α＋cos（3π

2＋α）－sin2（π

2＋α）(1＋2sinα≠0)，则f(－23π

6)＝.

解析：因为f(α)＝（－2sinα）（－cosα）＋cosα

1＋sin2α＋sinα－cos2α

＝2sinαcosα＋cosα

2sin2α＋sinα＝cosα（1＋2sinα）

sinα（1＋2sinα）＝1

tanα，

所以f(－23π

6)＝1

tan（－23π

6）

＝1

tan（－4π＋π

6）＝1

tanπ

6＝3.答案：3

同角关系与诱导公式的综合应用

例5已知f(α)＝

sin（α－3π）cos（2π－α）sin（－α＋3π

2）

cos（－π－α）sin（－π－α）.

(1)化简f(α)；(2)若α＝－31π

3，求f(α)的值；

(3)若cos(－α－π

2)＝1

5，α∈[π，3π

2]，求f(α)的值.