同角三角函数的基本关系与诱导公式

全国名校高考数学复习优质学案汇编（理科，附详解）

同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．

(2)商数关系：tan α＝sin αcos α．

[提醒] 基本关系式的变形

sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α，(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos

α.

2．六组诱导公式

组数 一 二

三 四 五 六

角 α＋2kπ(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α

正弦 sin α －sin__α －sin α sin α cos__α cos α

余弦 cos α －cos α cos__α －cos α sin α －sin__α

正切 tan α tan α －tan α －tan__α

口诀 函数名不变

符号看象限 函数名改变

符号看象限

简记口诀：把角统一表示为kπ2±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，符号看象限．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.( )

(2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )

(4)若cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，则cos θ＝13.( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)×

已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )

A．－1213 B．－513 全国名校高考数学复习优质学案汇编（理科，附详解）

C.513 D.213

解析：选A.因为α是第二象限角，所以cos α＜0，可排除选项C，D，又sin2α＋cos2α＝1，所以排除选项B.

若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )

A．－2 B．2

C．±2 D.12

解析：选B.tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.

sin 2 490°＝________；cos－523π＝________．

解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)

＝－sin 30°＝－12.

cos－523π＝cos16π＋π＋π3＝cos(π＋π3)

＝－cos π3＝－12.

答案：－12 －12

化简cosα－π2sin52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．

解析：原式＝cosπ2－αsin2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α)

＝sin αsinπ2＋α·(－sin α)·cos α

＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin2α.

答案：－sin2α 全国名校高考数学复习优质学案汇编（理科，附详解）

同角三角函数的基本关系式(高频考点)

同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度：

(1)知弦求弦；

(2)知弦求切；

(3)知切求弦．

[典例引领]

角度一 知弦求弦

(1)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )

A．－429 B．－229

C.229 D.429

(2)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0，π4)，则sin θ－cos θ的值为(

)

A.23 B.13

C．－23 D．－13

【解析】 (1)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－223，所以sin 2α＝2sin

αcos α＝2×13×－223＝－429.

(2)(sin θ＋cos θ)2＝169，所以1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sin θ

【答案】

(1)A (2)C

角度二 知弦求切

(方程思想)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ. 全国名校高考数学复习优质学案汇编（理科，附详解）

【解】 法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，

所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.

由根与系数的关系知，sin θ，cos θ是方程x2－713x－60169＝0的两根，所以x1＝1213，x2＝－513.

又sin θcos θ＝－60169＜0，所以sin θ＞0，cos θ＜0，所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.

法二：同法一得，sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝－60169.

齐次化切得，tan θtan2θ＋1＝－60169，即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0.

解得tan θ＝－125，或tan θ＝－512.

由sin θ＋cos θ＝713＞0，sin θcos θ＝－60169＜0，θ∈（0，π），得θ∈π2，3π4，所以tan θ＝－125.

角度三 知切求弦

(优质试题·高考全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos2α＋2sin 2α＝( )

A.6425 B.4825

C．1 D.1625

【解析】 法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos2α＋sin2α＝1，得sin α＝35，cos α＝45或sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425.

法二：cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋4sin αcos αcos2α＋sin2α＝1＋4tan α1＋tan2α＝1＋31＋916＝6425.

【答案】

A

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同角三角函数基本关系式的应用技巧

(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解．如例1-1.

(2)知弦求切：常通过平方关系sin2α＋cos2α＝1及商数关系tan α＝sin αcos α结合诱导公式进行求解．如例1-2.

(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平方关系求解．若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，如asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋bctan α＋d；asin2α＋bcos2α＋csin αcos α＝asin2α＋bcos2α＋csin αcos αsin2α＋cos2α

＝atan2α＋b＋ctan αtan2α＋1.如例1-3.

[通关练习]

1．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________．

解析：因为α是第二象限的角，

所以sin α＞0，cos α＜0，由tan α＝－12，

得cos α＝－2sin α，代入sin2α＋cos2α＝1中，

得5sin2α＝1，所以sin α＝55，cos α＝－255.

答案：－255

2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，求sin α＋cos α的值．

解：由tan α＝－13，

得sin α＝－13cos α，

将其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1， 全国名校高考数学复习优质学案汇编（理科，附详解）

所以cos2α＝910，易知cos α＜0，

所以cos α＝－31010，sin α＝1010，

故sin α＋cos α＝－105.

诱导公式的应用

[典例引领]

(1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则sin3π2＋θ＋2cos（π－θ）sinπ2－θ－sin（π－θ）等于(

)

A．－32 B.32

C．0 D.23

(2)已知cosπ6－θ＝a，则cos5π6＋θ＋sin2π3－θ的值是________．

【解析】 (1)由题可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos

θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.

(2)因为cos5π6＋θ＝cosπ－π6－θ

＝－cosπ6－θ＝－a.

sin2π3－θ＝sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，

所以cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝0.

【答案】 (1)B (2)0

1．若本例(1)的条件3x－y＝0改为4x＋3y＝0，则cosπ2＋θ－sin（－π－θ）cos11π2－θ＋sin9π2＋θ＝________．

解析：由题可知tan θ＝－43，