平行线的性质及平移(提高)巩固练习

平行线及其判定1、基础知识(1）在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b 平行，则记作______．（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．(3）平行公理是：.（4)平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则______．(5）两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：①两条直线被第三条直线所截，如果______,那么这两条直线平行,这个判定方法1可简述为：______，两直线平行．②两条直线被第三条直线所截，如果__ _，那么，这个判定方法2可简述为： ______，______．③两条直线被第三条直线所截，如果_ _____那么______，这个判定方法3可简述为：2、已知：如图,请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么_____.(_______，_______)(2)如果∠2＝∠5，那么________。

(______，________）（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么_____。

（________，______）(4）如果∠5＝∠3，那么_______。

（_______，________）(5）如果∠4＋∠6＝180°，那么______.(_______,_____）(6）如果∠6＝∠3，那么________。

(________，_________)3、已知:如图,请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．（1)∵∠B＝∠3（已知),∴______∥______。

（______，______)（2)∵∠1＝∠D(已知），∴______∥______.（______，______）（3)∵∠2＝∠A（已知)，∴______∥______.（______，______）(4）∵∠B＋∠BCE＝180°(已知),∴______∥______。

《平移》提高训练一、选择题1．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为18，阴影部分三角形的面积为8．若AA'=1，则A'D等于（）A．3B．2C．32D．232．如图，将△ABC沿着由点B到点C的方向平移到△DEF，已知AB=7，BC=6，EC=4，那么平移的距离为（）A．1B．2C．3D．63．如图，若△DEF是由△ABC平移后得到的，已知点A、D之间的距离为1，CE=2，则BC=（）A．3B．1C．2D．不确定4．如图，将直线11沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．125°B．55°C．90°D．50°则四边形ABFD的周长等于（）A．17 cm B．18 cm C．19 cm D．20 cm二、填空题6．如图，图中是重叠的两个直角三角形．现将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=9cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为cm2．7．如图，将△ABE向右平移3cm得到△DCF，如果△ABE的周长是12cm，那么四边形ABFD的周长是cm．8．如图，将△ABC沿射线BC方向平移到△AˊBˊCˊ的位置．若BCˊ=17，BˊC=5，则BBˊ的长为．9．已知△ABC，AB=3cm，将△ABC沿着AB方向平移得到△A′B′C′，已知A′B=lcm，则CC′=cm．10cm，则四边形ABFD的周长等于．三、解答题11．在平面直角坐标系中，△ABC的三个项点的位置如图所示，现将△ABC沿AAˊ的方向平移，使得点A移至图中的点Aˊ的位置．（1）在直角坐标系中，画出平移后所得△AˊBˊCˊ（其中B′、Cˊ分别是B、C的对应点）（2）（1）中所得的点B′，C′的坐标分别是．12．如图，将△ABC沿直线BC向右平移到△A1B1C1的位置，延长AC、A1B1相交于点D．（1）求证：∠A=∠D；（2）请写出图中3条不同类型的正确结论．13．如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=4cm，AC=3cm．将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3cm，得到△DEF．（1）四边形ABDF是什么四边形？（2）求阴影部分的面积？14．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点A（3，2），（4，﹣3），C（1，﹣2），请按下列要求操作：（1）请在图中画出△ABC；（2）将△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标．15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格中，三角形ABC 的三个均在格点上，将三角形ABC向左平移3个单位长度、再向下平移2个单位长度得到三角形DEF．（1）画出平移后的三角形DEF；（2）若点A向左平移n个单位长度在三角形DEF的内部，请直接写出所有符合条件的整数n的值．《平移》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为18，阴影部分三角形的面积为8．若AA'=1，则A'D等于（）A．3B．2C．32D．23【分析】由S△ABC =18、S△A′EF=8且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=4，S△ABD=S△ABC=9，根据△DA′E∽△DAB知（）2=，据此求解可得．【解答】解：如图，∵S△ABC =18、S△A′EF=8，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE =S△A′EF=4，S△ABD=S△ABC=9，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则（）2=，即（）2=，解得A′D=2（负值舍去），故选：B．【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．2．如图，将△ABC沿着由点B到点C的方向平移到△DEF，已知AB=7，BC=6，EC=4，那么平移的距离为（）A．1B．2C．3D．6【分析】观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，易得平移的距离=BE=6﹣4=2，进而可得答案．【解答】解：根据平移的性质，易得平移的距离=BE=6﹣4=2，故选：B．【点评】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点．3．如图，若△DEF是由△ABC平移后得到的，已知点A、D之间的距离为1，CE=2，则BC=（）A．3B．1C．2D．不确定【分析】根据平移的性质，结合图形可直接求解．【解答】解：观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，根据对应点所连的线段平行且相等，得BE=AD=1．所以BC=BE+CE=1+2=3，故选：A．【点评】本题利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．4．如图，将直线11沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．125°B．55°C．90°D．50°【分析】利用平行线的性质即可解决问题；【解答】解：∵l1∥l2，∴∠2=∠1，∵∠1=55°，∴∠2=55°，故选：B．【点评】本题考查平移变换，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF．若△ABC的周长为15cm，则四边形ABFD的周长等于（）A．17 cm B．18 cm C．19 cm D．20 cm【分析】根据平移的性质可得DF=AC，再求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长加上AD与CF，然后计算即可得解．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，∴DF=AC，AD=CF=2cm，∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD=△ABC的周长+AD+CF=15+2+2=19cm．故选：C．【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，确定出四边形的周长与△ABC的周长的关系是解题的关键．二、填空题6．如图，图中是重叠的两个直角三角形．现将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=9cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为30 cm2．【分析】根据平移的性质可得到相等的边与角，再根据S△ABC ﹣S△HEC=S△DEF﹣S△HEC，即S阴影=S梯形ABEH，利用梯形面积公式即可得到答案．【解答】解：由平移可得△ABC≌△DEF，∴S△ABC =S△DEF，∴S△ABC ﹣S△HEC=S△DEF﹣S△HEC，即S阴影=S梯形ABEH，S梯形ABEH=BE（HE+AB）=×4×（9+9﹣3）=30（cm2）．故答案为：30．【点评】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．7．如图，将△ABE向右平移3cm得到△DCF，如果△ABE的周长是12cm，那么四边形ABFD的周长是18cm．【分析】根据平移的性质可得DF=AE，然后判断出四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．【解答】解：∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，∴EF=AD=3cm，AE=DF．∵△ABE的周长为12cm，∴AB+BE+AE=12cm．∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=AB+BE+AE+EF+AD=12+3+3=18cm．故答案为18．【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．8．如图，将△ABC沿射线BC方向平移到△AˊBˊCˊ的位置．若BCˊ=17，BˊC=5，则BBˊ的长为6．【分析】根据已知的对应点找到对应线段和平移的距离，结合平移的性质：对应点所连的线段平行且相等进行解答．【解答】解：根据题意可知，△ABC平移的距离是线段BB′的长．∵BCˊ=17，BˊC=5，∴BB′=．即△ABC平移的距离是6，故答案为：6【点评】此题考查平移的性质，解决本题的关键是理解连接对应点的线段的长度为两个图形平移的距离．9．已知△ABC，AB=3cm，将△ABC沿着AB方向平移得到△A′B′C′，已知A′B=lcm，则CC′=2cm．【分析】直接利用平移的性质得出AA′=CC′，进而得出答案．【解答】解：连接CC′，∵将△ABC沿着AB方向平移得到△A′B′C′，∴AA′=CC′，∵AB=3cm，A′B=lcm，∴AA′=CC′=2cm．故答案为：2．【点评】此题主要考查了平移的性质，正确得出AA′=CC′是解题关键．10．如图，将△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，若△ABC的周长等于10cm，则四边形ABFD的周长等于12cm．【分析】根据平移的性质可得AD=CF=1，AC=DF，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，∴AD=CF=1，AC=DF，∴四边形ABFD的周长=AB+（BC+CF）+DF+AD=AB+BC+AC+AD+CF，∵△ABC的周长=10，∴AB+BC+AC=10，∴四边形ABFD的周长=10+1+1=12cm．故答案为：12cm，【点评】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．三、解答题11．在平面直角坐标系中，△ABC的三个项点的位置如图所示，现将△ABC沿AAˊ的方向平移，使得点A移至图中的点Aˊ的位置．（1）在直角坐标系中，画出平移后所得△AˊBˊCˊ（其中B′、Cˊ分别是B、C的对应点）（2）（1）中所得的点B′，C′的坐标分别是B′（5，3），C′（8，4）．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；（2）根据点的位置写出坐标即可；【解答】解：（1）△AˊBˊCˊ如图所示；（2）B′（5，3），C′（8，4），故答案为：B′（5，3），C′（8，4）．【点评】本题考查作图﹣平移变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．如图，将△ABC沿直线BC向右平移到△A1B1C1的位置，延长AC、A1B1相交于点D．（1）求证：∠A=∠D；（2）请写出图中3条不同类型的正确结论．【分析】（1）根据平移的性质得到AB ∥A 1D ，利用平行线的性质得到∠A=∠D 即可；（2）结合题意写出线段平行、相等及角相等的有关结论即可．【解答】证：（1）由平移性质，得∠B=∠A 1B 1C 1．又∵∠A 1B 1C 1=∠BB 1D ．∴∠B=∠BB 1D ，∴AB ∥A 1D ，∴∠A=∠D ；（2）三条不同类型的正确结论是：①AD ∥A 1C 1；②BB 1=CC 1；③∠A=∠A 1．【点评】本题考查了平移的性质，解题的关键是了解平移前后两个图形之间的关系，难度不大．13．如图，在△ABC 中，AB=6cm ，BC=4cm ，AC=3cm ．将△ABC 沿着与AB 垂直的方向向上平移3cm ，得到△DEF ．（1）四边形ABDF 是什么四边形？（2）求阴影部分的面积？【分析】（1）依据四边形ABDF 是平行四边形，∠ABD=90°，即可得出四边形ABDF 是矩形；（2）依据S △ABC =S △FDE ，即可得到阴影部分的面积=矩形ABDF 的面积=6×3=18cm 2．【解答】解：（1）由平移可得，DF=AB ，DF ∥AB ，∴四边形ABDF 是平行四边形，又由平移的方向可得，∠ABD=90°，∴四边形ABDF 是矩形；（2）由平移可得，△ABC≌△FDE，BD=3cm，∴S△ABC =S△FDE，∴阴影部分的面积=矩形ABDF的面积=6×3=18cm2．【点评】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．14．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点A（3，2），（4，﹣3），C（1，﹣2），请按下列要求操作：（1）请在图中画出△ABC；（2）将△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标．【分析】（1）结合直角坐标系，可找到三点的位置，顺次连接即可得出△ABC．（2）将各点分别向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，然后顺次连接即可得到△A1B1C1，结合直角坐标系可得出三点坐标．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：结合图形可得：A1（﹣2，6），B1（﹣1，1），C1（﹣4，2）．【点评】此题考查了平移作图及直角坐标系的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握平移的特点，找到各点在直角坐标系的位置，难度一般．15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格中，三角形ABC 的三个均在格点上，将三角形ABC向左平移3个单位长度、再向下平移2个单位长度得到三角形DEF．（1）画出平移后的三角形DEF；（2）若点A向左平移n个单位长度在三角形DEF的内部，请直接写出所有符合条件的整数n的值．【分析】（1）根据平移的定义作出三顶点分别平移得到对应点，再顺次连接可得；（2）根据所作图形可得．【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；（2）由图知，n=3或4．【点评】本题考查了利用平移变换作图，准确找出对应点的位置是解题的关键，熟悉网格结构对解题也很关键．。

平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。

知识总结归纳一. 同位角、内错角、同旁内角（1） 这三种角讲的只是位置关系，而不是大小关系（2） 这三种角都是两条直线被第三条直线所截的情况下，不共点的成对出现的两个角之间的位置关系，并不是任何情况下都可以提及它们（3） 三线八角：两条直线被第三条直线所截形成的八个角中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角． 二. 平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 三. 平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 四. 两直线平行的性质和判定（1） 同位角相等两直线平行 （2） 内错角相等两直线平行 （3） 两直线平行 五. 其它判定方法：垂直于同一条直线的两直线平行典型例题一. 基本概念【例1】 如图，试判断1∠与2∠，1∠与7∠，1∠与BAD ∠，2∠与9∠，2∠与6∠，5∠与8∠各对角的位置关系．【例2】 如图，已知//////AB CD EF GH ，//AE DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上，设与α∠相等的角的个CEA DF12 3456 7 8 9BA HGFD EB C【例3】 如图，////AD EG BC ，//AC EF ，则图中与1∠相等的角（不含1∠）有多少个？若150∠=o ，求A H G∠的度数．【例4】 如图，FAD ∠，DAC ∠，CAB ∠，BCA ∠，ACE ∠和B ∠中，同位角有____________，内错角有______________，同旁内角有______________．二. 基础训练【例5】 如图，已知//AB CD ，且40B ∠=o ,70D ∠=o ，求DEB ∠的度数．【例6】 如图所示，//AE BD ，132∠=∠，225∠=o ，求C ∠．BCADFEA CEDB2 1AEDCB1HGED CB A F【例7】 如图，已知//AE BD ，1130∠=o ，230∠=o ，求C ∠的度数．【例8】 如图，长方形ABCD 的顶点B 在直线m 上，求α∠的度数．【例9】 如图，已知////FC AB DE ，::2:3:4D B α∠∠=，求α、D ∠、B ∠的度数．【例10】 如图，已知12BFM ∠=∠+∠，求证：//AB CD ．DCB EA21 lmCBDADBCC FEC DBA GME 1 2 F【例11】 如图，直线AB 与CD 平行，EF 平分BFG ∠，EG 平分DGF ∠，求证：90E ∠=o ．【例12】 如图，已知CB AB ⊥，CE 平分BCD ∠，DE 平分CDA ∠，90EDC ECD ∠+∠=o ，求证：DA AB ⊥．三. 探索与证明【例13】 （1）如图所示，若12//AA BA ，求证：121A A B ∠+∠=∠．（2）如图所示，若121A A B ∠+∠=∠，求证：12//AA BA ．【例14】 已知：如图，////AB EF CD ，EG 平分BEF ∠，192B BED D ∠∠+∠=o ＋，24B D ∠-∠=o ，求GEF∠的度数．ABA B EC DGFGDCB AEFEDCBA【例16】 如图，//AB EF ，90C ∠=o ，试探究B D E ∠∠∠、、之间的数量关系．【例17】 如图，直线//l m ，将含有45o 角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上，若125∠=o ，求2∠的度数．【例18】 如图，已知CD AB //，BF 平分ABE ∠，且//BF DE ，则ABE ∠和D ∠有什么关系？【例19】 已知：如图，//AB CD ，求证：B D F E G ∠+∠+∠=∠+∠．AGFEBCBA12A BC DFEADBCEFA EDCB【例20】 如图，两直线AB ，CD 平行，求123456∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数．思维飞跃【例21】 如图所示．已知CD 平分ACB ∠，且//DE AC ，//CD EF ．求证：EF 平分DEB ∠．【例22】 如图，E 是DF 上一点，B 是AC 上一点，12∠=∠，C D ∠=∠，求证：A F ∠=∠【例23】 如图，180ABE DEB ∠+∠=o ，12∠=∠，求证：F G ∠=∠E FGHABCD123 4 56ACBF23 DE 1GABC 1 2DEFOAFDECB【例24】 如图，已知//AB CD ，14EAF EAB ∠=∠，14ECF ECD ∠=∠．求证：34AFC AEC ∠=∠．【例25】 如图，直线//AB CD ，30EFA ∠=o ，ο90=∠FGH ，30HMN ∠=o ，50CNP ∠=o ，求GNM ∠的大小．作业ABCD 是长方形，且174∠=o ，求2∠的度数．2. 如图，D 、G 是ABC ∆边上的任意两点，//DE BC ，//GH DC ，则图中相等的角共有多少对？ABHGEDCA BC DFEHP ABCDEFGMN2 13. 如图，直线AB 与CD 平行，1(370)x ∠=+o ,2(522)x ∠=+o ，求3∠．4. 如图，已知//AB CD ，求A C AEC ∠+∠+∠的度数．5. 如图，//AB CD ，120ABE ∠=o ，35DCE ∠=o ，求BEC ∠的度数．6. 已知：如图，//DE AB ，求证：AED A B ∠=∠+∠7. 如图，//CD BE ，则231∠+∠-∠的度数等于多少？DCEB A1 32DCBADCEBA AC BD E EB DCA 2 13图1FE DC BA1、如图, AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①∠BOE＝70°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF。

.《平行线的性质》练习题1．如图，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（）A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行2．如图，AB∥CD，那么（）A．∠1=∠4 B．∠1=∠3 C．∠2=∠3 D．∠1=∠53．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180° C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°4．如图，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（）A．30° B．60° C．90° D．120°6. 下列说法中，错误的是（）A.在同一平面内，直线a∥b，若c与a相交，则b与c也相交B.直线a与b相交，c与a相交，则b∥cC.直线a∥b，b∥c,则a∥cD.直线AB与CD平行，则AB上所有点都在CD同侧7．下列语句中不是命题的有（）（1）两点之间，直线最短；（2）不许大声讲话；（3）连接A、B两点；（4）花儿在春天开放． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．下列命题中，正确的是（）A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； B．相等的角是对顶角；C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等； D．和为180°的两个角叫做邻补角。

9. 下列说法中，正确的个数是（）①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是0或1或2或3；④在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；⑤过两条相交直线外一点A，能作一直线m与这两条直线都平行；⑥在同一平面内不相交的两条射线必平行。

A．1个 B．2个C．3个 D．4个10．如图，已知AB∥CD，直线L分别交AB、CD•于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是（）A．60° B．70° C．80° D．90°11. 已知：如图，AB∥DE，∠E=65°，则∠B+∠C•的度数是（）A．135° B．115° C．65° D．35°12．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定13．如图，AB∥EF，BC∥DE，则∠E+∠B的度数为________．14. 如图所示：EF在同一平面内，直线l1与l2满足下列条件，写出其对应的位置关系：（1）l1与l2没有公共点，则l1与l 2 ；（2）l1与l2有且只有一个公共点，则l1与l2；（3）l1与l2有两个公共点，则l1与l 2 。

图1c ba 87654321图2FEDC B21A 图354321ba图4DCBA 54321图5F E D C BA4321图61FE DCBA 平行线的判定及性质一、知识提要1. 平行线的判定① 位角相等，两直线平行。

② 错角相等，两直线平行。

③ 旁内角互补，两直线平行。

2. 平行线的性质：① 直线平行，同位角相等。

② 两直线平行，内错角相等。

③ 两直线平行，同旁内角互补。

二、精讲精练1. 如图1，直线a 、b 都与直线c 相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°.其中能判断a //b 的条件是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．①②③④2. 如图2，AB ⊥BD 于B ，CD ⊥BD 于D ，∠1＋∠2＝180°，则CD 与EF 的关系是 .3. 如图3，能判断直线a //b 的条件是 .（任写一条）4. 如图4，如果∠ ＝∠ ，可得AD //BC ，你的根据是 .5. 如图5，∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＝100°，则当∠4＝ 时，AB //EF .6. 如图6，若∠1＝ ，那么AB //EF ，若∠1＝ ，那么DF //AC ，若∠DEC + ＝180°，那么DE //BC ．7. 如图7，AB //CD ，BC //DE ，则∠B +∠D 的值为 .E D C BA 图7图8ED C B A 1234图9图11图12图10E F DCBA3214321l 2l 1图13D H AG CFE B1图14E D CBA321FEDCB A18. 如图8，已知AD //BC ，∠B ＝30°，DB 平分∠ADE ，则∠DEC 为 .9. 如图9，∠1=82°，∠2＝98°，∠3=80°，则∠4＝ 度. 10. 如图10，已知∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数等于 ．11. 如图11，l 1//l 2，∠1＝105°，∠2＝40°，则∠3＝ .12. 如图12，AD //BC ，AB //CD ，E 在CB 的延长线上，EF 经过点A ，∠C ＝50°，∠F AD ＝60°，则∠EAB ＝ .13. 如图13，DH //EG //BC ，且DC //EF ，那么图中和∠1相等的角的个数是 个.14. 阅读理解1） 如图14，如果∠1=∠2，那么根据 ，可得 // ．2） 如果∠DAB +∠ABC =180°，那么根据 ，可得 // ．3） 当 // 时，根据 ，可得∠C +∠ABC =180°；4） 当 // 时，根据 ，可得∠3=∠C ．15. 完成推理填空：如图，已知∠A ＝∠F ，∠C ＝∠D ，求证：BD //CE . 证明：∵∠A ＝∠F （已知）FEDCBA321H FED CBA NM A E BCFD∴AC //DF （ ） ∴∠D ＝∠ （ ） 又∵∠C ＝∠D （已知）， ∴∠1＝∠C （等量代换）∴BD //CE （ ）.16. 如图，已知直线AB 和直线CD 被直线EF 所截，交点分别为E 、F ，∠AEF ＝∠EFD .（1）直线AB 和直线CD 平行吗？为什么？（2）若EM 是∠AEF 的平分线，FN 是∠EFD 的平分线，则EM 与FN 平行吗？为什么？17. 如图，已知∠B =25°，∠BCD =45°，∠CDE =30°，∠E =10°，求证：AB //EF ．18. 已知，如图，∠1＝∠ACB ，∠2＝∠3，FH ⊥AB 于H ，问CD 与AB 有什么关系？说明理由.l 1l 2110°60°α图3图23y °x °30°1234A BCDE F 图1123ABCDEF图5A BCDE 图4三、测试提高【板块一】平行线的判定1. 如图1，∠1＝∠A ，则下列结论一定成立的是（ ）A ．AB //FD B ．ED //AC C ．∠B ＝∠1D ．∠3＝∠1【板块二】平行线的性质2. 如图2，直线a 与直线b 互相平行，则x y 的值是( )A ．30B ．20C ．50D ．60 3. 如图3，直线l 1//l 2，则∠α=（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130° 4. 如图4，AB //CD ，∠BAE =120°，∠DCE =30°，则∠AEC =（ ）A ．90°B ．150°C ．75°D ．60°【板块三】综合练习5. 如图5，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ，∠1＝∠3．下列正确的结论有（ ）个．①DE //BF ；②AB //CD ；③∠1=∠2；④∠A =∠C . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4四、课后作业1. 若∠1与∠2是同位角，且∠1=60°，则∠2是（ ） A .60°B .120°C .120°或60°D .不能确定FE DCB A图4图1nm21GFED C B A321图3FEDCBA2. 两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线（ ）A .互相重合B .互相平行C .互相垂直D .相交3. 如图1，若m ∥n ，∠1=105°，则∠2= .4. 如图2，直线AB ∥CD ，若∠2是∠1的2倍，则∠2的度数是（ ）A .60°B .90°C .120°D .150°图1 图2 图3 5. 如图3，EF ∥AD ，∠1=∠2，∠BAC =70°.将求∠AGD 的过程填写完整：因为EF ∥AD ，所以∠2= .又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3.所以AB ∥ .所以∠BAC + =180°.又因为∠BAC =70°，所以∠AGD = ． 6. 如图4，已知DE ∥BC ，DF 、BE 分别平分∠ADE 和∠ABC 求证：∠FDE =∠DEB .证明： ∵DE ∥BC∴∠ADE = （ ）∵DF 、BE 分别平分∠ADE 、∠ABC∴∠ADF =12 ∴∠ABE =12 （ ）∴∠ADF =∠ABE （ ） ∴ ∥ ( ) ∴∠FDE =∠ （ ）7. 如图，AB ∥CD ，∠B =40°，∠E =30°，求∠D 的度数.DCBA 2121E D CBAHG C B A F E D218. 如图，已知DE ∥BC ，∠1=∠2，求证：∠B =∠C ．9. 已知：如图∠1=∠2，∠C =∠D ，请问∠A 与∠F 相等吗？试说明理由．。

专题05 基础巩固 + 技能提升【基础巩固】1．（2020·无锡市月考）一条船在灯塔的北偏东30°方向，那么灯塔在船的什么方向（ ） A ．南偏西30°B ．西偏南40°C ．南偏西60°D ．北偏东30°2．把“不相等的角不是对顶角”改写成“如果…，那么…”的形式是_________，是____（填“真”“假”）命题．3．（2020·上海市月考）如图，AEFC 是折线，AB //CD ，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所满足的关系式为_______________.4．（太原月考）如图所示，点D ，E 分别在BA ，BC 上，ADF a ∠=︒，ABC β∠=︒，ABC γ∠=︒，//DF EG ，则a ，β，γ之间满足的关系式是______．5．（2020·宁波市期中）如图，//EF AD ，//AD BC ，CE 平分BCF ∠，120DAC ∠=︒，20ACF ∠=︒，FEC ∠为______°．6．（2020·濮阳市期中）一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，//AB CF ，90F ACB ∠=∠=︒，则DBC ∠的度数为______．7.（2020·辽宁沈阳市期中）若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠B＝_____度．8．（2020·忠县月考）如图,在长方形草地内修建了宽为2米的道路,则草地面积为_______米2．9．（2020·浙江杭州市模拟）如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要______米．10．（2020·黑龙江哈尔滨市期中）如图，将ABC沿水平方向向右平移到DEF的位置，CE ，则BF的长为______．已知点A、点D之间的距离为5，711．（2020·甘肃临夏市期末）如图，已知AB，CD，EF互相平行，且∠ABE＝70°，∠ECD ＝150°，则∠BEC＝________°.12．图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．（1）如图，EF//CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．小丽添加的条件：∠B +∠BDG ＝180°． 请你帮小丽将下面的证明过程补充完整． 证明：∵EF //CD （已知） ∴∠BEF ＝ （ ） ∵∠B +∠BDG ＝180°（已知） ∴BC // （ ） ∴∠CDG ＝ （ ） ∴∠BEF ＝∠CDG （等量代换）（2）拓展：如图，请你从三个选项①DG //BC ，②DG 平分∠ADC ，③∠B ＝∠BCD 中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． ①条件： ，结论： （填序号）． ②证明： ．13．（2019·郑州外国语期中）探究：如图1直线AB 、BC 、AC 两两相交，交点分别为点A 、B 、C ，点D 在线段AB 上过点D 作//DE BC 交AC 于点E ，过点E 作//EF AB 交BC 于点F ．若50ABC ∠=︒，求∠DEF 的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式） 解：//DE BC ，DEF ∴∠=_________________.（_________________）//EF AB ，∴_____________ABC =∠．（_________________）DEF ABC ∴∠=∠．（等量代换） 50ABC ∠=︒， DEF ∴∠=___________.应用：如图2，直线AB 、BC 、AC 两两相交，交点分别为点A 、B 、C ，点D 在线段AB 的延长线上，过点D 作//DE BC 交AC 于点E ，过点E 作//EF AB 交BC 于点F ．若65ABC ∠=︒，则DEF ∠=_________.14．（2020·武汉市期末）完成下列推理过程如图，M 、F 两点在直线 CD 上，AB ∥CD ，CB ∥DE ，BM 、DN 分别是∠ABC 、∠ EDF 的平分线，求证：BM ∥DN ．证明：∵BM 、DN 分别是∠ABC 、∠EDF 的平分线 ∠1=12∠ABC ，∠3=_________（角平分线定义） ∵AB ∥CD∴∠1=∠2，∠ABC =________（ ） ∵CB ∥DE∴∠BCD =________（ ） ∴∠2=________（ ） ∴BM ∥DN （ ）15．（2020·浙江杭州市模拟）如图所示，直线MN 分别与直线,AC DG 是好点B 、F ，且12∠=∠，ABF ∠的平分线BE 交直线DG 于点E ，BFG ∠的平分线FC 交直线AC 于点C ．（1）请判断直线AC 与DG 的位置关系，并说明理由. （2）请判断直线BE 与CF 的位置关系，并说明理由. （3）若35C ∠=︒，求BED ∠的度数.16．（2020·新乡市期中）如图，已知，AB //CD ，EF 交AB ，CD 于G 、H ，GM 、HN 分别平分∠AGF ，∠EHD ．试说明GM //HN ．17．（2020·广西南宁市期末）如图，CD AB ⊥于D ，点F 是BC 上任意一点，FE AB ⊥于E ，且12∠=∠，380∠=︒．证明：//BC DG18．（2020·江苏苏州市期中）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B ＝∠DEF ，求证：DE ∥BC ．请将下面的推理过程补充完整． 证明：∵∠1+∠2＝180（已知） ∠2＝∠3（ 对顶角相等 ） ∴∠1+∠3＝180°∴AB ∥EF （ ）， ∴∠B ＝∠EFC （ ） ∵∠B ＝∠DEF （ ）， ∴∠DEF ＝ （ ） ∴DE ∥BC （ ）19．（2020·黑龙江佳木斯市期末）如图（1）所示，//AB EF ，说明： （1） BCF B F ∠∠∠=+；（2）当点 C 在直线 BF?的右侧时，如图()2所示，若//AB EF ，则BCF?∠与 B ∠，F ∠的关系如何？请说明理由【技能提升】1．如图，已知//a b ，14=70∠+∠︒，23=20∠-∠︒，则1∠=____________2．（2020·上海市月考）如图，AB //CD ，则图中132∠+∠-∠=_______________°；3．（2020·宁波市期中）如图，//AB EF ，设90C ∠=︒，那么x ，y ，z 的关系式______．4．（2020·宁波江北期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图方式叠放在一起（其中，60A ︒∠=，30D ︒∠=；45E B ︒∠=∠=），当90ACE ︒∠<且点E 在直线AC 的上方，使ACD △的一边与三角形ECB 的某一边平行时，写出ACE ∠的所有可能的值____．5．（2020·濮阳市月考）如图，将Rt △ABC 沿CB 的方向平移BE 距离后得到Rt △DEF ，已知AG =2，BE =4，DE =8，则阴影部分的面积是______．6．（2019·甘肃庆阳市期中）如图，如果AB ∥EF ，EF ∥CD ，下列各式正确的是（ ）A ．∠1+∠2−∠3=90°B ．∠1−∠2+∠3=90°C ．∠1+∠2+∠3=90°D ．∠2+∠3−∠1=180°7．（2020·上海闵行期末）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF AB ⊥，CD AB ⊥，G 是AC 边上一点（不与A 、C 重合）， 小明说：“如果还知道CDG BFE ∠=∠，则能得到AGD ACB ∠=∠”；小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由AGD ACB ∠=∠，可得到CDG BFE ∠=∠”； 小刚说：“∠AGD 一定大于∠ACD ”小颖说：“如果联结GF ，则GF 一定平行于AB ”； 他们四人中，有几个人的说法是正确的？（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2020·山西大同市月考）庚子年初，突如其来的疫情，给我们的生活按下了“暂停键”，春季开学延期．我市各学校积极响应教育局“停课不停学”的号召，实行线上教学.王老师发现他的电脑桌支架形状正好与他最近所讲授的数学知识有关，于是，数学课上王老师提出如下问题：如图是电脑桌支架的截面示意图，已知//,AB DC AE 平分,BAD CD ∠与AE 相交于点,F CFE E ∠=∠．请你用所学知识证明：//AD BC ．9．（2020·大同市月考）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA 垂直于地面AE ，垂足为点A ，CD 平行宇地面AE ，若150BCD ∠=︒，则120ABC ∠=︒．请你完成下面的推理过程．证明：过点B 作直线//BM AE ，180MBA BAE ∴∠+∠=︒．（_________________） //CD AE ，//CD ∴_________________．（_________________） 180CBM BCD ∴∠+∠=，180********CBM BCD ∴∠=-∠=-︒=︒，BA AE ⊥，90BAE ∴∠=︒（_________________）， 1801809090MBA BAE ∴∠=︒-∠=︒-=， 3090120ABC CBM MBA ∴∠=∠+∠=+︒=．10．（2019·洛阳市期中）问题情境（1）如图1，已知//AB CD ，125PBA ︒∠=，155PCD ︒∠=，求BPC ∠的度数．佩佩同学的思路：过点P 作PG//AB ，进而//PG CD ，由平行线的性质来求BPC ∠，求得BPC ∠=________． 问题迁移（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，90ACB ︒∠=，//DF CG ，AB 与FD 相交于点E ，有一动点P 在边BC 上运动，连接PE ，PA ，记PED α∠=∠，PAC β∠=∠．①如图2，当点P 在C ，D 两点之间运动时，请直接写出AOE ∠与α∠，β∠之间的数量关系；②如图3，当点P 在B ，D 两点之间运动时，APE ∠与α∠，β∠之间有何数量关系？请判断并说明理由；拓展延伸（3）当点P 在C ，D 两点之间运动时，若PED ∠，PAC ∠的角平分线EN ，AN 相交于点N ，请直接写出ANE ∠与α∠，β∠之间的数量关系．11．（2020·达州市期中）已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．12．（2019·保定市期中）已知：如图，AB∥CD，∠B=70°，∠BCE=20°，∠CEF=130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由．解：_______，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD，(_____)∵∠B=70°，∴∠BCD=70°，(______)∵∠BCE=20°，∴∠ECD=50°，∵∠CEF=130°，∴_______+_______=180°，∴EF∥______，(______)∴AB∥EF．(______)∠=∠，13．（2020·河北唐山市期末）如图，点B、E分别在直线AC和DF上，若AGB EHF ∠=∠，可以得到A FC D∠=∠．请完成下面说理过程中的各项“填空”∠=∠（已知）理由：∵AGB EHF∠=（对顶角相等）AGB∠=∠（理由）∴EHF DGF∴//EC（理由：）=∠（两直线平行，同位角相同）∴DBA∠=∠，又∵C D∠=（等量代换）∴DBA∴//DF（内错角相等，两直线平行）∠=∠（理由：）∴A F14．阅读下面材料：判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角．请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”是假命题．（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）15．（2020·定兴县期末）小红同学在做作业时，遇到这样一道几何题：已知：AB∥CD∥EF，∠A＝110°，∠ACE＝100°，过点E作EH⊥EF,垂足为E，交CD于H 点．（1）依据题意，补全图形；（2）求∠CEH的度数．小明想了许久对于求∠CEH的度数没有思路，就去请教好朋友小丽，小丽给了他如图2所示的提示：请问小丽的提示中理由①是；提示中②是：度；提示中③是：度；提示中④是： ，理由⑤是 ． 提示中⑥是 度；16．（2020·陕西省西安市月考）下列各图中的MA 1与NA n 平行．（1）图①中的∠A 1+∠A 2= 度，图②中的∠A 1+∠A 2+∠A 3= 度，图③中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4= 度，图④中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4+∠A 5= 度，…， 第⑩个图中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A 10= 度 （2）第n 个图中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A n = ．17．（2020·洛阳市期中）已知：如图1，12180︒∠+∠=，∠=∠AEF HLN ．（1）判断图中平行的直线，并给予证明；（2）如图2，2∠=∠PMQ QMB ，2∠=∠PNQ QND ，请判断P ∠与Q ∠的数量关系，并证明．18．（2020·山东烟台市期中）完成下列推理，并填写完理由 已知，如图，∠BAE +∠AED =180°，∠M =∠N ，∠=∠试说明：12解：∵∠BAE＋∠AED＝180º（已知）∴∥（）∴∠BAE＝（两直线平行,内错角相等）又∵∠M＝∠N（已知）∴∥（）∴∠NAE＝（）∴∠BAE－∠NAE＝－（）即∠1＝∠219．（2020·佛山市月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）问题情境2如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；（2）如图5中，∠ABM＝13∠ABF，∠CDM＝13∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝．。

平行线 例1 翻折 1、如图，把一张长方形纸带沿着直线GF 折叠，∠CGF=30°，则∠1的度数是的度数是．2、如图，生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠2=100°，那么∠1的度数为 ．例2 旋转 1、将一副直角三角尺ABC 和CDE 按如图方式放置，其中直角顶点C 重合，∠D=45°，∠A=30°．将三角形CDE 绕点C 旋转，若DE ∥BC ，则直线AB 与直线CE 的较大的夹角∠1的大小为的大小为 度．度．例3 平行线的性质1、已知，直线AB ∥DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．（1）如图1，点P 在直线AB 、CD 之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC ．（2）如图2，点P 在直线AB 、CD 之间，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系，并说明理由．之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P 落在CD 外，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，∠AKC 与∠APC 有何数量关系？并说明理由．量关系？并说明理由． 1AED B C2、如图，两直线AB 、CD 平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ．3、已知直线AB ∥CD ． （1）如图1，直接写出∠BME 、∠E 、∠END 的数量关系为的数量关系为 ； （2）如图2，∠BME 与∠CNE 的角平分线所在的直线相交于点P ，试探究∠P 与∠E 之间的数量关系，并证明你的结论；系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE ，∠CDN=∠NDE ，直线MB 、ND 交于点F ，则= ．例4 平移1、如图1所示，已知BC ∥OA ，∠B=∠A=120°（1）说明OB ∥AC 成立的理由．成立的理由． （2）如图2所示，若点E ，F 在BC 上，且∠FOC=∠AOC ，OE 平分∠BOF ，求∠EOC 的度数．的度数． （3）在（2）的条件下，若左右平移AC ，如图3所示，那么∠OCB ：∠OFB 的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA 时，求∠OCA 的度数．的度数．2、如图，已知AM ∥BN ，∠A=60°．点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC 、BD 分别平分∠ABP 和∠PBN ，分别交射线AM 于点C ，D ．（1）求∠CBD 的度数；的度数； （2）当点P 运动时，∠APB 与∠ADB 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P 运动到使∠ACB=∠ABD 时，∠ABC 的度数是的度数是．例5 作图—应用1、（1）如图1，一个牧童从P 点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，在一条河的两岸有A ，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD 表示．试问：桥CD 建在何处，才能使A 到B 的路程最短呢？请在图中画出桥CD 的位置．的位置．2、如图，平面上有直线a 及直线a 外的三点A 、B 、P ．（1）过点P 画一条直线m ，使得m ∥a ；（2）过B 作BH ⊥直线m ，并延长BH 至B ′，使得BB ′为直线a 、m 之间的距离；之间的距离；（3）若直线a 、m 表示一条河的两岸，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直），使得从村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．【巩固练习】【巩固练习】1、如图，AB ∥DE ，∠ABC 的角平分线BP 和∠CDE 的角平分线DK 的反向延长线交于点P 且∠P ﹣2∠C=57°，则∠C 等于（等于（ ）A ．24°B ．34°C ．26°D ．22° 图2图1P BA题图第2题图题图第1题图2、如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（ ）A．76° B．78° C．80° D．82°3、在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类的位置关系是（ ）推，则l1和l8的位置关系是（A．平行．平行或垂直 D．无法确定．无法确定 ．平行 B．垂直．垂直 C．平行或垂直4、如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值，其中结论正确的有（为定值，其中结论正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第5题图题图第4题图题图5、如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（等于（ ）A．180° B．360° C．540° D．720°6、如图所示，AB∥EF，∠B=35°，∠E=25°，则∠C+∠D的值为的值为 ．第9题图题图题图第8题图第7题图题图7、如图所示，AB∥CD，∠E=35°，∠C=20°，则∠EAB的度数为的度数为 ．8、如图，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B﹣∠D=24°，则∠GEF= ．9、已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点，与B，C不重合，过D分别作DF∥AC交AB所的度数是．在直接于F，DE∥AB交AC所在直线于E．若∠A=80°，则∠FDE的度数是10、如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG ⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．的数量关系．11、已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．；（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系之间的数量关系（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．的度数．12、如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．之间的一点．之间的数量关系，并证明你的结论；（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC 沿DE 翻折交AF 于点G 得图3，若∠AGD 的余角等于2∠E 的补角，求∠BAE 的大小．的大小．13、已知：如图，BC ∥OA ，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB ∥AC ．（注意证明过程要写依据）．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E 、F 在BC 上，且满足∠FOC=∠AOC ，并且OE 平分∠BOF ．（ⅰ）求∠EOC 的度数；的度数； （ⅱ）求∠OCB ：∠OFB 的比值；的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA ．此时∠OCA 度数等于度数等于 ．（在横线上填上答案即可）．（在横线上填上答案即可）14、已知直线AB ∥CD ．（1）如图1，直接写出∠ABE ，∠CDE 和∠BED 之间的数量关系是之间的数量关系是 ． （2）如图2，BF ，DF 分别平分∠ABE ，∠CDE ，那么∠BFD 和∠BED 有怎样的数量关系？请说明理由．理由．（3）如图3，点E 在直线BD 的右侧，BF ，DF 仍平分∠ABE ，∠CDE ，请直接写出∠BFD 和∠BED 的数量关系的数量关系．。

相交线与平行线动点提高题知识点：1、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。

②内错角相等，两直线平行。

③同旁内角互补，两直线平行。

2、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

3、平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。

4、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。

②对应点的线段平行且相等。

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。

对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

>>>>>>>>>>>典型例题<<<<<<<<<【例1】（1）如图（1），EF⊥GF，垂足为F，∠AEF=150°，∠DGF=60°．试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．（2）如图（2），AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=147°，∠C=______．（直接给出答案）（3）如图（3），CD∥BE，则∠2+∠3-∠1=______．（直接给出答案）（4）如图（4），AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：BE∥CF．【例2】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，求证：∠BPD=∠B-∠D；（2）将点P移到AB、CD内部，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？不必说明理由；（3）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论；（4）在图4中，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n×90°，则n=______．【例3】如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。

5.3.1《平行线的性质》重难点题型专项练习考查题型一 两直线平行同位角相等的应用典例1．（2022秋·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a b ∥，2110Ð=°，则1Ð的度数为（ ）A ．70°B ．75°C ．80°D ．85°【答案】A【分析】由a b ∥，根据两直线平行，同位角相等，即可求得3Ð的度数，又由邻补角的定义即可求得1Ð的度数．【详解】解：如图：∵a b ∥，2110Ð=°，∴32110Ð=Ð=°，∵13180Ð+Ð=°，∴170=°∠．故选：A ．【点睛】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质，正确运用数形结合思想．变式1-1．（2022·四川德阳·模拟预测）如图，直线//a b ，将三角尺的直角顶点放在直线b 上，如果260Ð=°，那么1Ð的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】A【分析】根据平行线的性质求出3Ð，由平角性质可知1180390ÐÐ=°--°即可得出结论．【详解】如图：//a b Q ，2360\Ð=Ð=°，1180903180906030\Ð=°-°-Ð=°-°-°=°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质推理是解题的关键．变式1-2．（2022·宁夏固原·校考模拟预测）如图，把一个三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果123Ð=°，那么2Ð的大小为（ ）A ．23°B ．46°C ．57°D ．67°【答案】D【分析】根据余角的定义求出3Ð，再根据两直线平行，同位角相等可得23ÐÐ=．【详解】解：∵123Ð=°，∴3902367°°Ð=-=°，∵直尺的两边互相平行，∴2367Ð=Ð=°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．变式1-3．（2022秋·陕西西安·七年级校考期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若165Ð=°，则2Ð的大小是（ ）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°【答案】B【分析】由30°三角尺可知360Ð=°，由平角可求4Ð，再根据平行线的性质可知24ÐÐ=．【详解】解：如图：由30°三角尺可知360Ð=°，∵1+3+4180ÐÐÐ=°，∴418013180656055Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，由平行线的性质可知2455Ð=Ð=°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质及直角三角形的性质，充分运用三角板和直尺的几何特征是解题的关键．考查题型二 两直线平行内错角相等的应用典例2．（2021·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，直线12l l ∥，直角三角板的直角顶点C 在直线1l 上，一锐角顶点B 在直线2l 上，若135Ð=°，则2Ð的度数是（ ）A ．65°B ．55°C ．45°D ．35°【答案】B【分析】先根据角的和差求出3Ð的度数，然后根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，135Ð=°Q ，90ACB Ð=°，390155\Ð=°-Ð=°，又12l l ∥，2355\Ð=Ð=°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．变式2-1．如图，AB CD P ，40B Ð=°，则ECD Ð的度数为（ ）A ．160°B ．140°C ．50°D ．40°【答案】B【分析】利用平行线的性质先求解DCB Ð，再利用邻补角的性质求解ECD Ð即可．【详解】解：∵AB CD P ，40B Ð=°，∴40DCB B Ð=Ð=°，∴180140ECD DCB Ð=°-Ð=°，故选B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．变式2-2．（2022·河南洛阳·统考一模）如图，ACD Ð是ABC V 的外角，AB CE ∥，80BAC Ð=°，35DCE Ð=°，则ACB Ð的度数为（ ）A ．55°B ．65°C ．75°D ．85°【答案】B【分析】由80AB CE BAC Ð=°，∥可得80ACE Ð=°，进而即可求ACB Ð；【详解】∵80AB CE BAC Ð=°，∥,∴80BAC ACE Ð=Ð=°，∵35DCE Ð=°，∴()18065ACB ACE DCE Ð=°-Ð+Ð=°．故选：B.【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”定理是解题的关键．变式2-3．如图，直线AB ，CD 被直线DE 所截，AB CD ∥，140Ð=°，则D Ð的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．140°【答案】B【分析】根据两直线平行内错角相等可得出答案．【详解】解：∵AB CD ∥，140Ð=°，∴140D Ð=Ð=°，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解本题的关键．考查题型三 两直线平行同旁内角互补的应用典例3．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知直线AB CD ∥，130GEF Ð=°，135EFH Ð=°，则12Ð+Ð的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．65°D ．85°【答案】D【分析】由130GEF Ð=°，135EFH Ð=°可得1324265°Ð+Ð+Ð+Ð=，由AB CD P 得34180Ð+Ð=°，进而可求出12Ð+Ð的度数．【详解】解：如下图所示，∵130GEF Ð=°，∴13130°Ð+Ð=，∵135EFH Ð=°，∴24135°Ð+Ð=，∴1324265°Ð+Ð+Ð+Ð=∵AB CD P ，∴34180Ð+Ð=°，∴121324(34)26518085°Ðа+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð-+Ð=°=-，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．变式3-1．如图，已知直线a b ∥，把三角板的直角顶点放在直线b 上．若140Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°【答案】B【分析】根据互余计算出3904050Ð=°-°=°，再根据平行线的性质由a b ∥得到21803130Ð=°-Ð=°．【详解】解：∵1+3=90Ðа，∴3904050Ð=°-°=°，∵a b ∥，∴23180Ð+Ð=°．∴218050130°°=Ð=-°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．变式3-2．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）如图，AB CD P ，170=°∠，则2Ð=（ ）A ．70°B ．80°C ．110°D ．120°【答案】C【分析】先利用对顶角相等，再利用两直线平行，同旁内角互补得出答案．【详解】解：170Ð=°Q ，3170\Ð=Ð=°，//AB CD Q ，2180318070110\Ð=°-Ð=°-°=°．故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握性质是解答题的关键．变式3-3．如图，AC BD ∥，AE 平分BAC Ð交BD 于点E ，若166а＝，则2Ð= （ ）A ．123°B ．128°C ．132°D ．142°【答案】A【分析】如图：根据平角的定义及角平分线的性质求得3Ð的度数，再根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图：∵166Ð=°，∴180118066114BAC Ð=°-Ð=°-°=°，∵AE 平分BACÐ∴1131145722BAC °°Ð=Ð=´=，∵AC BD ∥，∴23180Ð+Ð=°，∴2180318057123Ð=°-Ð=°-°=°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质是解答本题的关键．考查题型四 根据平行线的性质探究角的关系典例4．（2022秋·重庆铜梁·七年级校考期中）如图，已知AB DE ∥，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为__________________ .【答案】2170Ð=Ð+°【分析】过点C 作CF AB ∥，则CF AB DE ∥∥，根据平行线的性质可得角之间的关系，从而∠1与∠2的数量关系即可求解.【详解】解：过点C 作CF AB ∥，如图：则CF AB DE ∥∥，∴1BCF Ð=Ð，2180DCF Ð+Ð=°，∵110BCD Ð=°，∴1101101DCF BCF Ð=°-Ð=°-Ð，∴11012180°-Ð+Ð=°，∴2170Ð=Ð+°.故答案为：2170Ð=Ð+°.【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是作出平行线，利用平行线的性质得出角之间的关系.变式4-1．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）如图，已知AB CD ∥，CE BF ∥，则B C Ð+Ð= ______ ．【答案】180°##180度【分析】根据两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补，得到EHB C Ð=Ð，180EHB B Ð+Ð=°，等量代换即可求得B C Ð+Ð的值．【详解】解：如图，设AB 与CE 交于点H ，∵AB CD ∥，CE BF ∥，∴EHB C Ð=Ð，180EHB B Ð+Ð=°，∴180B C Ð+Ð=°．故答案为：180°．【点睛】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用．变式4-2．（2022秋·内蒙古乌海·七年级校考期中）如图，AB ∥EF ，则∠A ，∠C ，∠E 满足的数量关系是______．【答案】360A C E Ð+Ð+Ð=°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．【详解】如下图所示，过点C 作//CD AB ，∵//CD AB ，∴180A ACD Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），∵//AB EF ，//CD AB ，∴//CD EF ，∴180E DCE Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），∴360A ACD E DCE Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴360A ACE E Ð+Ð+Ð=°，∴在原图中360A C E Ð+Ð+Ð=°，故答案为：360A C E Ð+Ð+Ð=°．【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．变式4-3．（2022秋·山东青岛·七年级统考期末）如图，直线AB//CD ，∠AEM ＝2∠MEN ，∠CFM ＝2∠MFN ，则∠M 和∠N 的数量关系是________．【答案】∠EMF=23∠ENF【分析】利用平行线的性质以及已知条件解决问题即可．【详解】解：过点M 作MJ ∥AB ，过点N 作NK ∥AB ．∵AB ∥CD ，∴MJ ∥AB ∥CD ，NK ∥AB ∥CD ，∴∠EMJ=∠AEM ，∠FMJ=∠CFM ，∠ENK=∠AEN ，∠FNK=∠CFN ，∴∠EMF=∠AEM+∠CFM ，∠ENF=∠AEN+∠CFN ，∵∠AEM=2∠MEN ，∠CFM=2∠MFN ，∴∠AEM+∠CFM=23（∠AEN+∠CFN ），即∠EMF=23∠ENF ．故答案为：∠EMF=23∠ENF ．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．考查题型五 利用平行线的性质求角的度数典例5．（2022秋·北京西城·七年级期中）如图，若AB CD ∥，EF 与AB ，CD 分别相交于点E ，F ，EP EF ^，EFD Ð平分线与EP 相交于点P ，20BEP Ð=°，则PFD Ð=__________°．【答案】35°【分析】由题可求出BEF Ð，然后根据两直线平行，同旁内角互补可知DFE Ð，根据角平分线的定义可得到结果．【详解】∵EP EF ^，∴90PEF Ð=°，∵20BEP Ð=°，∴110BEF PEF BEP Ð=Ð+Ð=°，∵AB CD P ，∴18070EFD BEF Ð=°-Ð=°，∵FP 平分EFD Ð，∴1352PFD EFD Ð=Ð=°．【点睛】本题考查了平行线的性质与角平分线的定义，以及三角形的内角和定理，注意数形结合思想是解题关键．变式5-1．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，已知AB EF ∥，BC DE ∥，若70B Ð=°，则E Ð=________°．【答案】110【分析】先根据“两直线平行，内错角相等”得出BGE Ð，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案．【详解】如图所示．∵AB EF ∥，∴70B B G E Ð=Ð=°.∵BC DF ∥，∴180BGE E Ð+Ð=°，∴180110E B G E Ð=°-Ð=°．故答案为：110．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，灵活选择平行线的性质是解题的关键．变式5-2．如图，AB CD ∥，若40A Ð=°，26C Ð=°，则∠E=______．【答案】66°##66度【分析】如图所示，过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥，根据两直线平行内错角相等分别求出4026AEF CEF =°=°∠，∠，则66AEC AEF CEF =+=°∠∠∠．【详解】解：如图所示，过点E 作EF AB ∥，∵EF AB AB CD ∥，∥，∴AB CD EF ∥∥，∴4026AEF A CEF C ==°==°∠∠，∠∠，∴66AEC AEF CEF =+=°∠∠∠，故答案为：66°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出4026AEF CEF =°=°∠，∠是解题的关键．变式5-3．将一块长方形纸折成如图的形状，若已知1=110а，则2Ð=____°．【答案】55【分析】根据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到2Ð的度数．【详解】解：如图所示：∵AB CD P ，∴1==110ACD Ðа，∵由折叠可知122ECD ACD Ð=Ð=Ð，∴2=55а，故答案为：55．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键．考查题型六 平行线的判定与性质的综合应用典例6．（2022秋·陕西渭南·七年级统考期中）如图，已知点B 、C 在线段AD 的异侧，连接、AB CD ，点E 、F 分别是线段、AB CD 上的点，连接CE BF 、，分别与AD 交于点G ，H ，且AEG AGE Ð=Ð，C DGC Ð=Ð．(1)求证：AB CD ∥；(2)若180AGE AHF °Ð+Ð=，求证：B C Ð=Ð；(3)在（2）的条件下，若117BFC C Ð=Ð，求AHB Ð的度数．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)70°【分析】（1）只需要证明AEG C Ð=Ð即可证明AB CD ∥；（2）先证明HGE AHF =∠∠得到BF CE P 则B AEG =∠∠，再由AEG C Ð=Ð即可证明B C Ð=Ð；（3）根据平行线的性质得到180BFC C Ð+Ð=°，AHB DGC Ð=Ð，再结合已知条件求出C Ð的度数即可得到答案．【详解】（1）证明：∵AEG AGE Ð=Ð，C DGC Ð=Ð，AGE DGC Ð=Ð，∴AEG C Ð=Ð，∴AB CD ∥；（2）证明：∵180180AGE HGE AGE AHF +=°+=°∠∠，∠∠，∴HGE AHF =∠∠，∴BF CE P ，∴B AEG =∠∠，又∵AEG C Ð=Ð，∴B C Ð=Ð；（3）解：由（2）得BF CE P ，∴180BFC C Ð+Ð=°，AHB DGC Ð=Ð，又∵117BFC C Ð=Ð，∴111807C C +=°∠∠，∴70C Ð=°，∴70AHB DGC C ===°∠∠∠．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．变式6-1．（2022秋·广东东莞·七年级统考期中）如图，点B ，C 在线段AD 的异侧，点E ，F 分别是线段AB ，CD 上的点，已知12Ð=Ð，3C Ð=Ð．(1)求证：AB CD ∥；(2)若24180Ð+Ð=°，求证：180BFC C Ð+Ð=°；(3)在（2）的条件下，若3021BFC Ð-°=Ð，求B Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)50B Ð=°【分析】（1）已知12Ð=Ð，所以32Ð=Ð，又因为3C Ð=Ð，可以得出1CÐ=Ð即可判定AB CD ∥；（2）已知23ÐÐ=，24180Ð+Ð=°，可以得出//BF EC ，即可得出180BFC C Ð+Ð=°；（3）由（1）（2）可知AB CD ∥，//BF EC ，可以得出1C Ð=Ð，180BFC C Ð+Ð=°；可以得出30212BFC C Ð-°=Ð=Ð，可以得出C Ð，又因为1C B Ð=Ð=Ð，即可求出B Ð的度数．【详解】（1）证明：12Ð=ÐQ ，3C Ð=Ð，23ÐÐ=，1C \Ð=Ð，//AB CD \；（2）证明：24180Ð+Ð=°Q ，23ÐÐ=，34180\Ð+Ð=°，//BF EC \，180BFC C \Ð+Ð=°；（3）180BFC C Ð+Ð=°Q ，30212BFC C Ð-°=Ð=ÐQ ，230BFC C \Ð=Ð+°，230180C C \Ð+°+Ð=°，50C \Ð=°，130BFC \Ð=°，//AB CD Q ，180B BFC \Ð+Ð=°，50B \Ð=°．【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．变式6-2．如图，已知12AB CD Ð=Ð∥，．(1)求证：EF NP ∥；(2)若FH 平分EFG Ð，交CD 于点H ，交NP 于点O ，且14010FHG Ð=°Ð=°，，求FGD Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)60°【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换得出1BNP Ð=Ð，即可判定EF NP ∥；（2）过点F 作FM AB ∥，根据平行公理得出AB FM CD ∥∥，根据平行线的性质及角平分线定义得到50GFH EFH Ð=Ð=°，根据三角形外角性质求解即可．【详解】（1）证明：∵AB CD ∥，50GFH EFH Ð=Ð=°∴2BNP Ð=Ð，∵12Ð=Ð，∴1BNP Ð=Ð，∴EF NP ∥；（2）解：如图，过点F 作FM AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB FM CD ∥∥，∴14010EFM HFM FHG Ð=Ð=°Ð=Ð=°，，∴50EFH EFM HFM Ð=Ð+Ð=°，∵FH 平分EFG Ð，∴50GFH EFH Ð=Ð=°，∴60FGD GHF HFG Ð=Ð+Ð=°．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．变式6-3．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）如图，在ABC V 中，AGF ABC ÐÐ=，12180Ð+Ð=°．(1)求证：DE BF ∥；(2)若DE AC ^，2140Ð=°，求AFG Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】（1）由于AGF ABC ÐÐ=，可判断GF BC ∥，则1CBF ÐÐ=，由12180Ð+Ð=°得出2180CBF ÐÐ+=°判断出BF DE ∥；（2）由BF DE ∥，BF AC ^得到DE AC ^，由2140Ð=°得出140Ð=°，得出AFG Ð的度数．【详解】（1）解：BF DE ∥，理由如下：AGF ABC ÐÐ=Q ，GF \BC ∥，1CBF ÐÐ\=，12180Ð+Ð=°Q ，2180CBF ÐÐ\+=°，BF \DE ∥；（2）解：BF Q DE ∥，BF AC ^，DE AC \^，12180Ð+Ð=°Q ，2140Ð=°，140Ð\=°，904050AFG Ð\=°-°=°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．。

(完整版)平行线的判定定理和性质定理练习题平行线的判定定理和性质定理［一]、平行线的判定一、填空1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ; 若∠2=∠E,则 ∥ ；若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ．2．若a⊥c，b⊥c,则a b ．3．如图２，写出一个能判定直线a ∥b 的条件： ． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ )． 5．如图３,若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ .6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ; 内错角有 ；同旁内角有 ． 7．如图５，填空并在括号中填理由：（1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ ( ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ );(3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ）8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件: ．9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来： ． 10．如图８，推理填空:(1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）；（2）∵∠2 =∠ （已知), ∴AC∥ED( ）； (3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD( ）；（4）∵∠2 +∠ = 180°(已知)， ∴AC∥ED（ ）； 二、解答下列各题11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB,求证：ED∥CF．ACB41 23 5图４ab c d 123 图３A B C ED 1 2 3 图１ 图２43 2 1 5ab1 2 3A F C DB E图８EBAF D C图９ADCBO图５图６5 1 243 l 1 l 2图７54 32 1 A DC B12．如图10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°,写出图中平行的直线,并说明理由．13．如图11，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。

1.5平移的性质同步提升训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•启东市期中）下列生活现象中，属于平移的是（）A．升降电梯的上下移动B．荡秋千运动C．把打开的课本合上D．钟摆的摆动【分析】根据平移的性质，即可解答．【解答】解：A、升降电梯的运动，属于平移现象，故A符合题意；B、荡秋千运动，不属于平移现象，故B不符合题意；C、把打开的课本合上，不属于平移现象，故B不符合题意；D、钟摆的摆动，不属于平移现象，故D不符合题意；故选：A．2．（2022春•船营区校级期末）下列的四个图形，能由如图平移得到的是（）A．B．C．D．【分析】根据平移的意义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．【解答】解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是B．故选：B．3．（2022春•萧山区期中）下列语句中正确的有（）个①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等；③垂直于同一直线的两直线平行；④△ABC平移到△A′B′C′，则对应点的连线段AA′、BB′、CC′平行且相等．A．0B．1C．2D．3【分析】根据平行公理对①进行判断；根据平行线的性质对②进行判断；根据平行线的判定对③进行判断；根据平移的性质对④进行判断．【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以①错误；如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补，所以②错误；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，所以③错误；△ABC平移到△A′B′C′，则对应点的连线段AA′、BB′、CC′平行（或共线）且相等，所以④错误．故选：A．4．（2022春•兰州期末）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A、D两点之间的距离为1，CE＝2，则BF 的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据平移的性质，对应点连接的线段相等，求得BE和CF的长，再结合图形可直接求解．【解答】解：观察图形可知：将△ABC沿BC方向平移到△DEF，根据对应点连接的线段平行且相等，得BE＝CF＝AD＝1．∴BF＝BE+EC+CF＝4．故选：D．5．（2022春•萧山区期中）如图，将周长为16的△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．12B．16C．20D．24【分析】根据平移的性质得到AC＝DF，AD＝CF＝2，根据三角形的周长公式、四边形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：由平移的性质可知，AC＝DF，AD＝CF＝2，∵△ABC的周长为16，∴AB+BC+AC＝16，∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+FD+AD＝AB+BC+CF+DF+AD＝16+2+2＝20，故选：C．6．（2022春•社旗县期末）如图，将△ABC沿着某一方向平移一定的距离得到△DEF，则下列结论：①AD＝CF；②AC∥DF；③∠ABC＝∠DFE；④∠DAE＝∠AEB．其中正确的是（）A．仅①②B．仅①②④C．仅①②③D．①②③④【分析】根据平移的性质，对应点的连线互相平行且相等，平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各小题分析判断即可得解．【解答】解：∵△ABC沿着某一方向平移一定的距离得到△DEF，∴①AD∥CF，正确；②AC＝DF，正确；③∠ABC＝∠DEF，故原命题错误；④∠DAE＝∠AEB，正确．所以，正确的有①②④．故选：B．7．（2022春•迁安市期末）如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CE，则下面的结论①AC∥BE；②∠ACB＝∠BED；③BD＝AB；④∠CBE＝∠BEC；⑤CE＝BD；正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据平移的性质得到结论．【解答】解：∵将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，∴AC∥BE，故①正确；△ACB≌△BED，AB＝CE＝BD，故③⑤正确；∴∠ACB＝∠BED，度②正确；∵将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，∴BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，故④错误；故选：C．8．（2022春•墨玉县期末）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5．将三角形ABC 沿直线BC平移1.5个单位得到三角形DEF，连接AE，有下列结论：①三角形DEF是直角三角形；②AD∥BE；③DE⊥AC；④四边形ABFD的周长是15；⑤三角形DEF的面积是6．其中正确的结论有（）A．①②④B．②③④C．①②④⑤D．①②③④⑤【分析】直接根据平移的性质可对①②进行判断；根据平移的性质得∠EDF＝90°，AC∥DF，可得DE⊥AC，则可对③进行判断；根据平移的性质得AD＝CF＝1.5，AC＝DF＝4，则可计算出四边形ABFD的周长．从而对④进行判断；根据三角形面积公式计算即可对⑤进行判断．【解答】解：∵将三角形ABC沿直线BC平移1.5个单位得到三角形DEF，∴△ABC≌△DEF，∠EDF＝∠BAC＝90°，AD∥BE，AC∥DF，AC＝DF＝4，AD＝BE＝CF＝1.5，DE＝AB＝3，①②正确；∵∠EDF＝90°，AC∥DF，∴DE⊥AC，③正确；四边形ABFD的周长＝BC+CF+DF+AD+AB＝5+1.5+4+1.5+3＝15，④正确；三角形DEF的面积＝DE•DF＝×3×4＝6，⑤正确．故选：D．9．（2022秋•南溪区期中）小芳和小亮在手工课上各自制作楼梯模型，如图，则他们所用的周长（）A．亮亮的长B．小芳的长C．一样长D．不确定【分析】利用平移的性质，进行计算即可解答．【解答】解：由平移得：小芳制作楼梯模型的周长＝2×（5+8）＝2×13＝26（cm），小亮制作楼梯模型的周长＝2×（5+8）＝2×13＝26（cm），所以，他们所用的周长一样长，故选：C．10．（2022•景宁县模拟）如图，将Rt△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置，DE交BC于点G．若DC＝2AD，AB＝6，BC＝9，则图中阴影部分的面积等于（）A．18B．15C．13.5D．12【分析】根据平移的性质得出∠DEF＝∠ABC＝90°，EF＝BC＝9，DE＝AB＝6，DE∥AB，再求出CG＝6，GE ＝DE﹣DG＝2，然后根据梯形面积公式计算即可．【解答】解：∵将Rt△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置，∴∠DEF＝∠ABC＝90°，EF＝BC＝9，DE＝AB＝6，DE∥AB，∴＝＝＝，∴＝＝，∴DG＝4，CG＝6，∴GE＝DE﹣DG＝6﹣4＝2，∴梯形EGCF的面积＝（CG+EF）•GE＝（6+9）×2＝15．∴图中阴影部分的面积＝15．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•宽城区校级期末）如图，△ABC沿BC方向平移得到△DEF．若BF＝13，EF＝9，则EC的长是5．【分析】根据△ABC沿BC方向平移得到△DEF求出BC，从而可求出BE，即可求得EC．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，∴BC＝EF＝9，∵BF＝13，∴BE＝BF﹣EF＝13﹣9＝4，∴EC＝BC﹣BE＝9﹣4＝5，故答案为：5．12．（2022春•浚县期末）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF．连接AD，则四边形ABFD的周长为12．【分析】根据平移的性质可得DF＝AC、AD＝CF＝2，然后求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长与AD、CF的和，再求解即可．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF，∴DF＝AC，AD＝CF＝2，∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+DF+AD＝AB+BC+CF+AC+AD＝△ABC的周长+AD+CF＝8+2+2＝12．故答案为：12．13．（2022春•庆云县期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将△ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，CH＝2cm，EF＝4cm，下列结论：①BH∥EF；②AD＝BE；③BD＝HF；④∠C＝∠BHD，以上结论正确的有①②④（填序号）．【分析】根据平移的性质、平行线的性质判断即可．【解答】解：由平移的性质可知，BH∥EF，AB＝DE，AC∥DF，故①结论正确；∵AB＝DE，∴AB﹣BD＝DE﹣BD，即AD＝BE，故②结论正确；∵BE＜HF，∴AD＜HF，故③结论错误；∵AC∥DF，∴∠C＝∠BHD，故④结论正确；故答案为：①②④．14．（2022春•孝义市期末）如图是一块长方形的场地ABCD，AB＝18m，AD＝11m，从A，B两处入口的小路的宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪面积为160平方米．【分析】根据平移的性质可得，草坪部分可看作是长为（18﹣2）米，宽为（11﹣1）米的矩形，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：（18﹣2）×（11﹣1）＝16×10＝160（平方米），∴草坪面积为160平方米，故答案为：160．15．（2022春•平远县期末）如图，将Rt△ABC沿AB方向平移2cm得到Rt△DEF，CH＝2cm，EF＝4cm．下列结论：①BH∥EF；②AD＝BE；③∠C＝∠BHD；④阴影部分的面积为6cm2．正确的有①②③④．（填序号）【分析】根据平移的性质一一判断即可．【解答】解：∵将Rt△ABC沿AB方向平移2cm得到Rt△DEF，CH＝2cm，EF＝4cm，∴Rt△ABC≌Rt△DEF，BE＝2cm，BC＝EF＝4cm，AB＝DE，BC∥EF，AC∥DF，∴BH∥EF，∠C＝∠BHD，①③正确；∴AB﹣DB＝DE﹣DB，∴AD＝BE，②正确；∵BC＝4cm，CH＝2cm，∴BH＝BC﹣CH＝2cm，阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣△DBH的面积＝△DEF的面积﹣△DBH的面积＝梯形BEFH的面积＝（BH+EF）•BE＝×（2+4）×2＝6（cm2）．④正确；故答案为：①②③④．16．（2022春•会宁县期末）如图，直角三角形ABC的周长为2022，在其内部有5个小直角三角形，则这5个小直角三角形周长的和是2022．【分析】根据平移的性质可得这5个小直角三角形的直角边的和等于AC+BC，这5个小直角三角形斜边的和等于AB，因此可得这5个小直角三角形周长的和是AC+BC+AB，即为2022．【解答】解：如图，由平移的性质可知，AE1+D1E2+D2E3+D3E4+D4E5＝AC，D1E1+D2E2+D3E3+D4E4+BE5＝BC，AD1+D1D2+D2D3+D3D4+D4B＝AB，又∵AC+BC+AB＝2022，∴这5个小直角三角形周长的和是2022，故答案为：2022．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2021秋•寿阳县月考）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的一半．已知BC＝2，求△ABC平移的距离．【分析】移动的距离可以视为FC或BE的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以BC：EC＝：1，推出EC＝，所以BE＝2﹣．【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥EG，∴△ABC∽△GEC，∴＝（）2＝，∴BC：EC＝：1，∵BC＝2，∴EC＝，∴△ABC平移的距离为：BE＝2﹣．18．如图，△DEF是△ABC平移所得，观察图形：（1）点A的对应点是D，点B的对应点是E，点C的对应点是E；（2）线段AD，BE，CF叫做对应点间的连线，这三条线段之间有什么关系呢？【分析】（1）根据平移的性质可知，点A的对应点是D，点B的对应点是E，点C的对应点是F；（2）根据平移的性质，连接各组对应点的线段平行且相等即可解答．【解答】解：（1）点A的对应点是D，点B的对应点是E，点C的对应点是F，故答案为：D、E、F；（2）根据平移的性质，连接各组对应点的线段平行且相等，所以线段AD，BE，CF的关系为：AD＝BE＝CF．19．（2022春•思明区校级期中）如图，△ABC中，BC＝4cm，将△ABC以0.2cm/s的速度沿BC所在直线向右平移，所得图形对应为△DEF，设运动时间为t秒．（1）若∠ADE＝60°，求∠B的度数？（2）当t为何值时，EC＝1cm？【分析】（1）先根据平移的性质得到∠B＝∠DEF，AD∥BF，再根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE＝60°，从而得到∠B的度数；（2）根据平移的性质得到BE＝0.2tcm，再利用BC＝4得到0.2t+1＝4或024+1，然后分别解方程即可．【解答】解：（1）∵△ABC沿BC所在直线向右平移，所得图形对应为△DEF，∴∠B＝∠DEF，AD∥BF，∵AD∥BF，∴∠DEF＝∠ADE＝60°，∴∠B＝60°；（2）∵△ABC以0.2cm/s的速度沿BC所在直线向右平移，所得图形对应为△DEF，∴BE＝0.2tcm，当E点在线段BC上，∵BE+CE＝BC，∴0.2t+1＝4，解得t＝15，当E点在BC的延长线上时，∵BE＝BC+CE，∴0.2t＝4+1，解得t＝25，，综上所述，当t＝15或25时，EC＝1cm．20．（2022春•顺德区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿射线BC平移到△DCE的位置，连接AD、BD，BD与AC交于点O．（1）判断△BDE的形状，说明理由；（2）写出四种不同类型的结论．【分析】（1）根据平移的性质、矩形的判定定理得到平行四边形ABCD为矩形，根据矩形的对角线相等证明结论；（2）根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、平移的性质写出结论．【解答】解：（1）△BDE是等腰三角形，理由如下：由平移的性质可知，AB∥CD，AB＝CD，AC＝DE，∴四边形ABCD为平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，∴BD＝DE，∴△BDE是等腰三角形；（2）结论1，四边形ABCD为矩形；结论2，四边形ACED为平行四边形；结论3，△ABC≌△DCE；结论4，BC＝CE．21．（2022春•集美区期末）如图，平面内点A，B沿同一方向，平移相同距离分别得到点C，D，连接AB，BC，延长AC到点E，连接BE，DE，BC恰好平分∠ABE．（1）若∠ACB＝100°，∠CBE＝40°，求∠EBD的度数；（2）若∠AED＝∠ABC+∠EBD，求证：BC∥DE．【分析】（1）根据平移的性质得到AC∥BD，根据平行线的性质得到∠CBD＝∠ACB＝100°，计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠ABC＝∠EBC，根据平行线的判定定理证明结论．【解答】（1）解：由平移的性质可知：AC∥BD，∴∠CBD＝∠ACB＝100°，∵∠CBE＝40°，∴∠EBD＝∠CBD﹣∠CBE＝100°﹣40°＝60°；（2）证明：∵BC平分∠ABE，∴∠ABC＝∠EBC，∵∠AED＝∠ABC+∠EBD，∴∠AED＝∠EBC+∠EBD＝∠CBD，∵∠CBD＝∠ACB，∴∠AED＝∠ACB，∴BC∥DE．22．（2022春•岳麓区校级期末）如图①，已知AB∥CD，∠A＝∠D＝100°．（1）请你说明：AC∥BD；（2）如图②，若点E、F在AB上，且∠FCB＝∠DCB，CE平分∠ACF，求∠ECB的度数；（3）在（2）的条件下，若左右平行移动BD，如图③，则∠CBA：∠CF A的值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出这个比值．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠A+∠C＝180°，得到∠D+∠C＝180°，根据平行线的判定定理证明结论；（2）根据角平分线的定义、结合图形计算，得到答案；（3）根据平移的性质、平行线的性质以及角平分线定义计算即可．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝∠D，∴∠D+∠C＝180°，∴AC∥BD；（2）解：∵∠D+∠ACD＝180°，∠D＝100°，∴∠ACD＝80°．∵CE平分∠ACF，∴∠ACE＝∠ECF，∵∠FCB＝∠BCD，∴∠ECB＝∠ECF+∠FCB＝（∠ACF+∠FCD）＝∠ACD＝40°；（3）解：∠CBA：∠CF A的值不发生变化，∵AB∥CD，∴∠FBC＝∠DCB，∵∠FCB＝∠DCB，∴∠FCB＝∠FBC，∵∠FCB+∠FBC+∠CFB＝180°，∠CF A+∠CFB＝180°，∴∠CF A＝∠FCB+∠FBC＝2∠CBA，∴∠CBA：∠CF A＝1：2．23．（2021春•衢江区校级期末）如图，射线AM∥BN，连结AB，∠A＝108°，将线段AB向右平移，分别交射线AM、射线BN于点C、D，连结BC，在AC上取点F，使得∠FBC＝∠CBD，作∠ABF的角平分线交AC于点E．（1）求∠EBC的度数；（2）在平移AB过程中，请判断∠AFB和∠FCB的数量关系，并说明理由；（3）在平移AB过程中，是否存在某种情况，使∠AEB＝∠BCD？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【分析】（1）由射线AM∥BN，利用平行线的性质可得∠A+∠ABN＝180°，即可求出∠ABN，由∠FBC＝∠CBD，AE平分∠ABF即可求解；（2）根据线段AB向右平移，由AM∥BN，∠FBC＝∠CBD可得∠FCB＝∠CBD＝∠FBC，再根据三角形外角性质即可求解；（3）由平移性质可得AB∥CD，由平行线性质可求∠ACD，再设出∠FCB，表示出∠CBD，∠FBC，再由∠EBC ＝36°可表示出∠AEB，根据∠BCD使得∠AEB＝∠BCD，可列出方程求解．【解答】解：（1）∵射线AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°，∵∠A＝108°，∴∠ABN＝72°，∵∠FBC＝∠CBD，AE平分∠ABF，∴∠ABE＝∠EBF＝∠ABF，∠FBC＝∠CBD＝∠FBD，∴∠EBC＝∠EBF+∠FBC＝∠ABF+∠FBD＝36°；（2）∵线段AB向右平移，AM∥BN，∠FBC＝∠CBD，∴∠FCB＝∠CBD＝∠FBC，∴∠AFB＝∠FBC+∠FCB＝2∠FCB，∴∠AFB＝2∠FCB；（3）存在，∠AEB＝∠BCD＝54°，理由如下：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠A＝180°，∵∠A＝108°，∴∠ACD＝72°，设∠FCB＝∠CBD＝∠FBC＝x，∵∠EBC＝36°，∴∠AEB＝∠EBC+∠CBD＝36°+x，∵∠BCD＝∠ACD﹣∠FCB＝72°﹣x，当∠AEB＝∠BCD，即36°+x＝72°﹣x，解得：x＝18°，∴∠AEB＝∠BCD＝54°。

平行线的性质专项练习60题（有答案）题（有答案）1．如图，AB∥CD，证明：∠A=∠C+∠P．2．如图，已知AB∥ED，∠1=35°，∠2=80°，求∠ACD的度数．的度数．3．已知：如图所示，直线AD∥BC，AD平分∠CAE，求证：∠B=∠C．4．已知∠E=∠F，AD∥EF，问：AD是∠BAC平分线吗？为什么？平分线吗？为什么？5．如图所示，AB∥CD，∠3：∠2=3：2，求∠1的度数．的度数．6．如图，直线AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，求证：EG⊥FG．7．如图所示，AB∥DF，DE∥BC，∠1=65°，求∠2，∠3的度数，并说明理由．的度数，并说明理由．8．已知AB∥CD，FE⊥AB交AB于G点，∠GEH=138°，求∠EHD的度数．的度数．9．如图，AD∥BC，∠B=25°，∠C=30°，求∠EAC的度数．的度数．10．如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，求∠BCD度数．度数．11．如图，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°，说明AE⊥CE．13．如图，DE∥BC，∠D：∠DBC=2：1，∠1=∠2，求∠DEB的度数．的度数．14．已知：如图AB∥CD，EF⊥AB于E，FH交CD于H，∠CHG=130度．求∠EFH度数．度数．15．已知：如图，AC∥BD，∠A=∠D，求证：∠E=∠F．16．已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．求证：∠EGF=90°．17．如图，已知AB⊥AC，垂足为A，AD∥BC，且∠1=30°，试求∠2与∠B的度数．的度数．18．如图所示，AB∥CD，若∠B=45°，∠D=20°，求∠1的度数．的度数．19．如图，△ABC中，角平分线BO与CO的相交点O，OE∥AB，OF∥AC，△OEF的周长=10，求BC的长．的长．20．如图，若AB∥CD，∠C=60°，求∠A+∠E的度数．的度数．21．如图所示，已知AB∥CD，BC∥DE，若∠B=55°，求∠D的度数．的度数．22．如图所示，已知∠ACB=60°，∠ABC=50°，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，EF经过点O且平行于BC，求∠BOC的度数．的度数．23．已知：如图所示，AB∥CD，∠B=120°，CA平分∠BCD．求证：∠1=30°．24．如图，AB∥CD，∠A=40°，∠C=65°，求∠E的度数．的度数．25．如图所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．的度数．26．如图，点A在直线MN上，且MN∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C=180°．27．已知：如图，OP平分∠AOB，MN∥OB．求证：∠1=∠3．28．如图所示，AB∥CD，∠1=55°，∠D=∠C，求出∠D，∠C，∠B的度数．的度数．29．已知，如图，AD∥BC，∠1=∠2，∠A=120°，且BD⊥CD，求∠C的度数．的度数．30．如图，已知直线AB ∥CD ，直线m 与AB 、CD 相交于点E 、F ，EG 平分∠FEB ，∠EFG=50°，求∠FEG 的度数．数．31．如图，已知CD ∥AB ，OE 平分∠BOD ，∠D=52°，求∠BOE 的度数．的度数．32．如图所示，直线l 1∥l 2，∠A=90°，∠ABF=25°，求∠ACE 的度数．的度数．33．如图，AB ∥CD ，∠1=45°，∠D=∠C ，求∠D 、∠C 、∠B 的度数．的度数．34．如图，CD ∥AB ，CD ∥EF ，∠A=105°，∠ACE=51°，求∠E 的度数．的度数．35．如图：a ∥b ，∠1=122°，∠3=50°，求∠2和∠4的度数．的度数．36．如图，已知AB ∥CD ，∠1=50°，BD 平分∠ADC ，求∠A 的度数．的度数．37．已知，如图所示，DE∥BC，BE平分∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∠AED=72°，求∠CEB的度数．的度数．38．如图，若AB∥EF，∠C=90°，求x+y﹣z度数．度数．39．如图，已知AB∥DE，∠B=70°，CM平分∠DCB，CM⊥CN，垂足为C，求∠NCE的度数．的度数．40．如图，DE∥AB，∠1=∠2，那么∠A=∠3吗？说明理由．吗？说明理由．41．如图，已知DB∥FG∥EC，∠ABD=84°，∠ACE=60°，AP是∠BAC的平分线．求∠P AG的度数．的度数．43．已知：如图，直线l1∥l2，AB⊥l1垂足为O，BC与l2相交于点D，∠1=43°，求∠2的度数．的度数．44．如图，直线AB∥MN，分别交直线EF于点C、D，∠BCD、∠CDN的角平分线交于点G，求∠CGD的度数．45．如图所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．46．如图AE∥BD，∠CBD=57°，∠AEF=125°，求∠C的度数，并说明理由．的度数，并说明理由．47．已知：如图，△ABC中，点D在AC的延长线上，CE是∠DCB的角平分线，且CE∥AB．求证：∠A=∠B．48．如图，∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E，BE交CD于F，∠1+∠2=90°，试问：直线AB、CD在位置上在数量上有什么关系？有什么关系？∠2与∠3在数量上有什么关系？49．如图，已知直线AB∥CD，直线GH分别与直线AB、CD交于点E、G，直线CF交直线GH于点F，已知∠CFG=30°，的度数．∠HEB=50°，求∠FCG的度数．50．如图，AB∥CD，BC∥ED，求：∠B+∠D的度数．的度数．51．如图，已知AB∥CD，∠B=∠DCE，求证：CD平分∠BCE．52．如图，已知AB∥CD，∠B=40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．的度数．53．如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于D，DE∥AC交AB于E，请说明，请说明AE=BE．54．如图所示，AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=55°，求∠BED的度数．的度数．55．如图，CD⊥AB，DE∥AC，EF⊥AB，EF平分∠BED，求证：CD平分∠ACB．56．如图，△ABC中，EB平分∠ABC，EC平分△ABC的外角∠ACG，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，求证：DB﹣CF=DF．57．已知：如图所示，AB∥CD，EF平分∠GFD，GF交AB于M，∠GMA=52°，求∠BEF的度数．的度数．59．如图，已知DE ∥AB ，DF ∥AC ，∠EDF=85°，∠BDF=63°． （1）∠A 的度数；的度数；（2）∠A+∠B+∠C 的度数．的度数．60．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，∠EFD=56°，求∠EGD 的度数．的度数．参考答案：1．∵AB ∥CD ， ∴∠A=∠PED ，（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） 又∠PED 为△PCE 的外角，的外角， ∴∠P+∠C=∠PED ， ∴∠P+∠C=∠A ．2．解法一：过C 点作CF ∥AB ，则∠1=∠ACF=35°（两直线平行，内错角相等）， ∵AB ∥ED ，CF ∥AB （已知），∴CF ∥ED （平行于同一直线的两直线平行）（平行于同一直线的两直线平行）∴∠FCD=180°﹣∠2=180°﹣80°=100°（两直线平行，同旁内角内角互补）旁内角内角互补）∴∠ACD=∠ACF+∠FCD=35°+100°=135°； 解法二：延长DC 交AB 于F ∵AB ∥ED （已知），∴∠BFC=∠2=80°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ACF=∠BFC ﹣∠1=80°﹣35°=45°（三角形一个外角等于它不相邻的两个内角的和）（三角形一个外角等于它不相邻的两个内角的和） ∴∠ACD=180°﹣∠ACF=180°﹣45°=135°（1平角=180°）．解法三：延长AC 、ED 交于F ∵AB ∥ED ，∴∠DFC=∠1=35°∵∠CDF=180°﹣∠2=180°﹣80°=100° ∴∠ACD=∠CDF+∠DFC=100°+35°=135°．3．∵AD ∥BC ，∴∠C=∠CAD ，∠B=∠DAE ， 又∵AD 平分∠CAE ， ∴∠CAD=∠DAE ， 即∠C=∠B ．4．∵AD ∥EF （已知）（已知）∴∠BAD=∠E （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） ∠DAC=∠F （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） ∵∠E=∠F （已知）（已知）∴∠BAD=∠DAC （等量代换）（等量代换） ∴AD 是∠BAC 的平分线．的平分线． 5．设∠3=3x ，∠2=2x ，由∠3+∠2=180°，可得3x+2x=180°， ∴x=36°，∴∠2=2x=72°； ∵AB ∥CD ， ∴∠1=∠2=72°6．∵AB ∥CD ，∴∠BEF+∠EFD=180°，∵EG 平分∠BEF ，FG 平分∠DFE ， ∴∠1=∠BEF ，∠2=∠EFD ，∴∠1+∠2=（∠BEF+∠EFD ）=×180°=90°， 在△EFG 中，中，∠G=180°﹣∠1﹣∠2=90°， ∴EG ⊥FG ．7．∵DE ∥BC ， ∴∠1+∠2=180°， 又∵∠1=65°， ∴∠2=115°； ∵AB ∥DF ，∴∠3=∠2=115°．8．如图，过点E 作EP ∥AB ， 而AB ∥CD ，则EP ∥CD ， ∴∠FEP=∠FGB ，∵EF ⊥AB ， ∴∠FGB=90°， ∵∠GEH=138°，∴∠PEH=138°﹣90°=48° ∵EP ∥CD ，∴∠EHD=180°﹣∠PEH=132°9．∵AD ∥BC ，∴∠EAD=∠B=25°， ∠DAC=∠C=30°，∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=25°+30°=55°． 10．∵AB ∥CD ，∴∠ACD=180°﹣65°=115°， ∵AC ⊥BC ，∴∠BCD=115°﹣90°=25°． 11．过点E 作EF ∥AB ， ∴∠AEF=∠BAE=45°， ∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ，∴∠FEC=∠DCE=45°，∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°， ∴AE ⊥CE．12．∵AB ∥CD ，∠ABC=55°， ∴∠BCD=∠ABC=55°， ∵EF ∥CD ，∴∠ECD+∠CEF=180°， ∵∠CEF=150°，∴∠ECD=180°﹣∠CEF=180°﹣150°=30°， ∴∠BCE=∠BCD ﹣∠ECD =55°﹣30°=25°， ∴∠BCE 的度数为25°． 13．设∠1为x ， ∵∠1=∠2， ∴∠2=x ，∴∠DBC=∠1+∠2=2x ， ∵∠D ：∠DBC=2：1， ∴∠D=2×2x=4x ， ∵DE ∥BC ，∴∠D+∠DBC=180°， 即2x+4x=180°， 解得x=30°， ∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠1=30°． 14．∵EF ⊥AB 于E ，MN ∥AB ∴EF ⊥MN即∠EFM=90°． ∵MN ∥CD∴∠NFH=∠GHD=180°﹣130°=50°∴∠EFH=∠EFM+∠NFH=90°+50°=140°．15．∵AC ∥BD ， ∴∠1=∠2． 又∵∠A=∠D ，∠A+∠1+∠E=180°，∠D+∠2+∠F=180°， ∴∠E=∠F ．16．∵HG ∥AB （已知），∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）， 又∵HG ∥CD （已知），∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）， ∵AB ∥CD （已知），∴∠BEF+∠EFD=180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵EG 平分∠BEF （已知）， ∴∠1=∠BEF （角平分线的定义）， 又∵FG 平分∠EFD （已知）， ∴∠2=∠EFD （角平分线的定义）， ∴∠1+∠2=（∠BEF+∠EFD ）， ∴∠1+∠2=90°，∴∠3+∠4=90°（等量代换）（等量代换） 即∠EGF=90° 17．∵AD ∥BC ， ∴∠2=∠1=30°， ∵AB ⊥AC ，∴∠B=90°﹣∠2=60°．18．过E 作EF ∥AB ， ∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD ， ∴∠B=∠BEF=45°， ∠DEF=∠D=20°，∴∠1=∠BEF+∠DEF=45°+20°=65°．19．∵OB ，OC 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，的平分线， ∴∠1=∠2，∠4=∠5， ∵OE ∥AB ，OF ∥AC ，∴∠1=∠3，∠4=∠6， ∴BE=OE ，OF=FC ，∴BC=BE+EF+FC=OF+OE+EF ， ∵△OEF 的周长=10， ∴BC=10．20．∵AB ∥CD ，∠C=60°， ∴∠EFB=∠C=60°； ∵∠EFB=∠A+∠E ， ∴∠A+∠E=60°．21．∵AB ∥CD ， ∴∠C=∠B ． ∵∠B=55°， ∴∠C=55°． ∵BC ∥DE ，∴∠C+∠D=180°，即∠D=180°﹣∠C=180°﹣55°=125°． 22．∵EF ∥BC ，∴∠EOB=∠OBC ，∠FOC=∠OCB ， ∵BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ， ∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°，∠OCB=∠ACB=×60°=30°．∴∠EOB=25°，∠FOC=30°．又∵∠EOB+∠BOC+∠FOC=180°，∴∠BOC=180°﹣∠EOB ﹣∠FOC=180°﹣25°﹣30°=125° 23．∵AB ∥CD ， ∴∠B+∠BCD=180°， ∵∠B=120°， ∴∠BCD=60°；又∵CA 平分∠BCD ， ∴∠2=30°， ∵AB ∥CD ， ∴∠1=∠2=30°24．∵AB ∥CD ， ∴∠EFB=∠C=65°， ∵∠EFB=∠A+∠E ，∴∠E=∠EFB ﹣∠A=65°﹣40°=25°．25．∵CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB=40°， ∴∠DCB=∠ACD=20°， 又DE ∥BC ，∴∠EDC=∠DCB=20°，在△BCD 中，∵∠B=70°， ∴∠BDC=90°．∴∠EDC 和∠BDC 的度数分别为20°、90° 26．∵MN ∥BC ，∴∠B=∠MAB ，∠C=∠NAC ， ∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°27．∵OP 平分∠AOB ，（已知）（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义）（角平分线定义） ∵MN ∥OB （已知）（已知）∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） ∴∠1=∠3（等量代换）． 28．∵AB ∥CD ， ∴∠D=∠1=55°， ∵∠C=∠D ， ∴∠C=55°；∵AB ∥CD ，∴∠B+∠C=180°，∴∠B=180°﹣∠C=180°﹣55°=125°． 29．∵AD ∥BC ，∴∠ABC=180°﹣∠A=60°，∠ADB=∠2， ∵∠1=∠2，∴∠1=∠ADB=∠2=30°， ∵BD ⊥CD ， ∴∠BDC=90°，∠C=180°﹣（30°+90°）=60°， 故∠C 的度数为60°．30．∵AB ∥CD （已知）（已知）∴∠EFG+∠FEB=180°（两直线平行，同旁内角互补）（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠EFG=50°（已知）（已知）∴∠FEB=130°（等式的性质）（等式的性质） ∵EG 平分∠FEB （已知）（已知） ∴∠FEG=∠FEB=65°（角平分线的定义）． 31．∵CD ∥AB ， ∴∠BOD=∠D=52°； ∵OE 平分∠BOD ， ∴∠BOE=26° 32．如答图所示，．如答图所示， ∵L 1∥L 2，∴∠ECB+∠CBF=180°．∴∠ECA+∠ACB+∠CBA+∠ABF=180°．∵∠A=90°，∴∠ACB+∠CBA=90°．又∠ABF=25°，∴∠ECA=180°﹣90°﹣25°=65°33．∠D=∠C=45°，∠B=135°．理由：∵AB∥CD，∴∠D=∠1=45°（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）（两直线平行，同旁内角互补）∵∠D=∠C=45°，∴∠B=180°﹣∠C=180°﹣45°=135°．34．∵CD∥AB，∴∠A+∠ACD=180°，又∵CD∥EF，∴∠E=∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=75°﹣51°=24°． 35．∵a∥b，∠1=122°，∴∠2=∠5=180°﹣∠1=180°﹣122°=58°；∵a∥b，∠3=50°，∴∠3=∠6=50°；又∵∠6=∠4，∴∠4=50°．36．∵BD平分∠ADC，∴∠CDB=∠1=50°，∠ADC=100°，又AB∥CD，∴∠ADC+∠A=180°，∴∠A=80°．37．∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=72°，∵BE平分∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EBC=∠ABC=×72°=36°，在△BEC中，∠CEB=180°﹣72°﹣36°=72°38．如图，过点C、D分别作CM、DN平行于AB、EF， 则x=∠5，4=∠3，1=∠z，又∠1+∠3=y，∠4+5=90°，即x+∠4=90°，又∠4=∠3=y﹣∠1=y﹣z，∴x+y﹣z=90°39．∵AB∥DE，∠B=70°， ∴∠DCB=180°﹣∠B=180°﹣70°=110°，∠BCE=∠B=70°，∵CM平分∠DCB，∴∠BCM=∠DCB=×110°=55°，∵CM⊥CN，垂足为C，∴∠BCN=90°﹣∠BCM=90°﹣55°=35°，∴∠NCE=∠BCE﹣∠BCN=70°﹣35°=35°．40．∠A=∠3．理由如下：．理由如下：∵DE∥AB，∴∠1=∠A，∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠A=∠341．∵DB∥FG∥EC，∴∠BAG=∠ABD=84°，∠GAC=∠ACE=60°；∴∠BAC=∠BAG+∠GAC=144°，∵AP是∠BAC的平分线，的平分线，∴∠P AC=∠BAC=72°，∴∠P AG=∠P AC﹣∠GAC=72°﹣60°=12°42．过E作EF平行于AB，则EF∥CD，∵AB∥EF，∴∠A=∠AEF=∠1，∵CD∥EF，∴∠C=∠FEC=∠2，∵∠BED=180°，∴∠1+∠AEF+∠FEC+∠2=180°，即∠AEF+∠CEF=°=90°．43．解法一：延长AB交l2于点E．∵AB⊥l1，l1∥l2，∴AB⊥l2．∵∠2是△BED的外角，∴∠2=90°+∠1=90°+43°=133°．解法二：过点B作BF∥l1，利用平行线的性质求出∠2的度数．的度数．∵l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠ABF=180°﹣90°=90°，∠FBC=∠1=43°，∴∠2=∠ABF+∠FBC=90°+43°=133°．44．∵AB ∥MN （已知）（已知）∴∠BCD+∠CDN=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵CG 、DG 是角平分线是角平分线 ∴∠1=∠BCD ，∠2=∠CDN （角平分线定义）（角平分线定义） ∴∠1+∠2=90°∵∠1+∠2+∠CGD=180°（三角形内角和等于180°） ∴∠CGD=90°45．由题意得：∠BEC=80°，∠BED=100°， ∠BEF=∠BEC=40°，∴∠BEG=90°﹣∠BEF=50°， ∠DEG=∠BED ﹣50°=50°． ∴∠BEG 和∠DEG 都为50° 46．∵∠AEF=125， ∴∠CEA=55°∵AE ∥BD ，∠CDB=∠CEA=55°， 在△BCD 中，∵∠CBD=57°， ∴∠C=68°．47．∵CE 是∠DCB 的角平分线，的角平分线， ∴∠1=∠2． ∵CE ∥AB ，∴∠1=∠A ，∠2=∠B ， ∴∠A=∠B ．48．AB ∥CD ，∠2+∠3=90°． 理由如下：理由如下：∵BE 、DE 分别平分∠ABD 、∠CDB ， ∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2． ∵∠2+∠1=90°，∴∠ABD+∠CDB=180°， ∴AB ∥CD ．∴∠3=∠ABF ．∵∠1=∠ABF ，∠2+∠1=90°． ∴∠2+∠3=90°．49．由题意可知，AB ∥CD ，∠HEB=50°， ∴∠FGD=50°， 又∵∠CFG=30°， ∴∠FCG=20°50．∵AB ∥CD ，BC ∥ED ， ∴∠B=∠C ，∠C+∠D=180°， ∴∠B+∠D=180°． 51．∵AB ∥CD （已知），∴∠B=∠BCD （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） 又∵∠B=∠DCE （已知）， ∴∠BCD=∠DCE （等量代换）（等量代换） 即CD 平分∠BCE ．52．∵AB ∥CD ，∠B=40°，∴∠BCE=180°﹣∠B=180°﹣40°=140°， ∵CN 是∠BCE 的平分线，的平分线， ∴∠BCN=∠BCE=×140°=70°， ∵CM ⊥CN ， ∴∠BCM=20°53．∵DE ∥AC ， ∴∠ADE=∠CAD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，的平分线， ∴∠EAD=∠CAD ， ∴∠ADE=∠EAD ，∴AE=DE ， ∵BD ⊥AD ，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°， ∴∠ABD=∠BDE ， ∴BE=DE ， ∴AE=BE ．54．如图所示，过点E ，F 分别作EG ∥AB ，FH ∥AB ． ∵EG ∥AB ，FH ∥AB ， ∴∠5=∠ABE ，∠3=∠1； 又∵AB ∥CD ，∴EG ∥CD ，FH ∥CD ，∴∠6=∠CDE ，∠4=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=55°． ∵BF 平分∠ABE ，DF 平分∠CDE ， ∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×55°=110°．55．∵CD ⊥AB ，EF ⊥AB ， ∴CD ∥EF ，∴∠BCD=∠BEF，∠DEF=∠CDE；∵DE∥AC，∴∠ACD=∠CDE，∴∠ACD=∠DEF；∵EF平分∠BED，∴∠DEF=∠BEF，∴∠ACD=∠BCD，即CD平分∠ACB56．∵EB平分∠ABC，EC平分∠ACG，∴∠DBE=∠CBE，∠FCE=∠GCE，∵DF∥BC，∴∠DEB=∠CBE，∠FEC=∠GCE，∴∠DEB=∠DBE，∠FEC=∠FCE，∴DB=DE，FE=FC，∵DE﹣EF=DF，∴DB﹣CF=DF57．∵AB∥CD，（已知）（已知）∴∠GFC=∠GMA．（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）∵∠GMA=52°，（已知）（已知）∴∠GFC=52°．（等量代换）（等量代换）∵CD是直线，（已知）（已知）∴∠GFC+∠GFD=180°．（邻补角定义）（邻补角定义）∴∠GFD=180°﹣52°=128°．（等式性质）（等式性质）∵EF平分∠GFD，（已知）（已知）∴∠EFD=∠GFD=64°．（角平分线定义）（角平分线定义）∵AB∥CD，（已知）（已知）∴∠BEF+∠EFD=180°．（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠BEF=180°﹣64°=116°．（等式性质）（等式性质）答：∠BEF=116°58．∵∠BAP+∠APD=180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2（已知），∴∠FP A=∠EAP，∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行）．∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）．59．（1）∵DF∥AC，∴∠EDF=∠DEC=85°．∵DE∥AB，∴∠A=∠DEC=85°．（2）∵DF∥AC，DE∥AB，∴∠EDC=∠B，∠BDF=∠C，又∠A=∠EDF，∴∠A+∠B+∠C=∠EDF+∠EDC+∠BDF=180°． 60．∵AB∥CD，∠EFD=56°，∴∠BEF=180°﹣∠EFD=124°；∵∠1=∠2， ∴∠1=∠BEF=62°；∵∠EGD=∠1+∠EFD， ∴∠EGD=118°。

苏教版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平行线的性质及平移（提高）知识讲解【学习目标】1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；3．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点三、图形的平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移．要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，各组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.要点诠释：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图形顺次连接对应点．【典型例题】类型一、平行线的性质1.如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数.【答案与解析】解：作PM∥AB，交AC于点M，如图：∵AB∥CD∴∠CAB+∠ACD=180°∵PA平分∠CAB，PC平分∠ACD∴∠1+∠4=90°∵AB∥PM∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠2+∠3=90°∴∠APC=90°【总结升华】平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来体现，在求角度的过程中，如果能够适时运用平行线的性质，将会使问题的解决显得简便快捷．举一反三：【变式】（2016•重庆模拟）如图，已知AB⊥GH，CD⊥GH，直线CD，EF，GH相交于一点O，若∠1=42°，则∠2等于（）A．130°B．138°C．140°D．142°【答案】B解：如图：∵AB⊥GH，CD⊥GH，∴∠GMB=∠GOD=90°，∴AB∥CD，∴∠BPF=∠1=42°，∴∠2=180°﹣∠BPF=180°﹣42°=138°，故选B．类型二、两平行线间的距离2.下面两条平行线之间的三个图形，图的面积最大，图的面积最小．【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小.【答案】图3，图2【解析】解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2=4.5；5＞4.5＞4；所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.举一反三：【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是厘米.【答案】35类型三、图形的平移3.如图所示，①、②两图中，哪个图形中的一个三角形可以经过另一个三角形平移得到?【答案与解析】解：图①DE和AC平行，但不相等，DE和BC相等，但不平行，不符合平移的特征，无论怎样平移其中一个三角形也得不到另一个三角形．图②符合平移的特征，三角形PQR沿射线PM方向移动PM长即可得到三角形MNO．所以，图②中一个三角形可以经过另一个三角形平移得到．【总结升华】平移变换的实质是图形沿直线运动，它的形状、大小都不发生变化，否则就不是平移变换．举一反三：【变式】下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是(填写序号)．（1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）摇动的大绳；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）．【答案】（2）（6）．解：（1）摆动的钟摆，方向发生改变，不属于平移；（2）在笔直的公路上行驶的汽车沿直线运动，属于平移；（3）随风摆动的旗帜，形状发生改变，不属于平移；（4）摇动的大绳，方向发生改变，不属于平移；（5）汽车玻璃上雨刷的运动，方向发生改变，不属于平移；（6）从楼顶自由落下的球沿直线运动，属于平移．∴可以看成平移的是（2）（6）．4.（2015春•天津期末）某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为．【思路点拨】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案．【答案】200m．【解析】解：∵荷塘中小桥的总长为100米，∴荷塘周长为：2×100=200（m）故答案为：200m．【总结升华】此题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和是解题关键．举一反三：【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为()A．600m2B．551m2C．550m2D．500m2【答案】B类型四、平行的性质与判定综合应用5.(湖南模拟)如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．【答案与解析】解：三个论断分别可以组成①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①三种不同情形的命题，选择其中任何一个即可．以①②⇒③为例，说明如下已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，∠B＝∠E，AB∥DE，试说明BC∥EF．理由叙述：因为AB∥DE，所以∠B＝∠CKD．又因为∠B＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF．【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果，再判断其是否正确．【平行线的性质及命题403103 平行线的性质练习1】举一反三：【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝ .【答案】115°6.如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点.（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝；（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N 与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的结论；（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的结论.【答案与解析】解：（1）75°；（2）结论：∠AMP1+∠P1 P2N＝∠MP1 P2+∠P2ND证明：如图，分别过P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB.又∵AB∥CD，∴∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND.∴∠AMP1+∠P1 P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1 P2+∠P2ND.（3）∠BMP1+∠P1 P2P3+∠P3 ND＝∠MP1 P2+∠P2 P3N.【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决.举一反三：【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是()A．120°B．130°C．140°D．150°【答案】D。

专题5.20 相交线与平行线（常考考点专题)（巩固篇）（专项练习）一、单选题【考点一】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼对顶角✮✮邻补角1．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列说法中，正确的是( )A ．相等的两个角是对顶角B ．有一条公共边的两个角是邻补角C ．有公共顶点的两个角是对顶角D ．一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角是邻补角【考点二】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼垂直✮✮垂线段3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE AB ⊥于点O ，OF 平分AOE ∠，12530'∠=︒，则下列结论中不正确的是（ ）A ．13∠=∠B ．245∠=︒C ．AOD ∠与1∠互为补角D ．1∠的余角等于6530'︒ 4．下列说法中，正确的是（ ）A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离B．平面内，互相垂直的两条直线不一定相交C．直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cmD．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线【考点三】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼同位角✮✮内错角✮✮同旁内角5．如图，下列判断中正确的个数是（）（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，同位角共有（）对．A．6B．5C．8D．7【考点四】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼点与直线距离✮✮平行线之间距离7．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4，b与c 的距离为1，则a与c的距离为（）A．3或4B．5C．3或5D．4或58．如图所示，∠BAC＝90°，AD∠BC，则下列结论中，正确的个数为（）∠AB∠AC；∠AD与AC互相垂直；∠点C到AB的垂线段是线段AB；∠点A到BC的距离是线段AD的长度；∠线段AB的长度是点B到AC的距离；∠AD+BD＞AB．A．2个B．3个C．4个D．5个【考点五】相交线与平行线➽➼➵作图➻➼垂线画法✮✮平行线画法9．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是()A．B．C．D．10．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB l⊥于点B，90∠=︒，APC则下列结论：∠线段AP是点A到直线PC的距离；∠线段BP的长是点P到直线l的距离；∠PA，PB，PC三条线段中，PB最短；∠线段PC的长是点P到直线l的距离．其中正确的是（）A．∠∠B．∠∠∠C．∠∠D．∠∠∠∠【考点六】相交线与平行线➽➼➵作图➻➼平移11．下面所说的“平移”，是指只沿方格的格线（即左右或上下）运动，并将图中的任一条线段平移一格称为“1步”．通过平移，使得图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要移动的步数是（）A．7步B．8步C．9步D．10步12．如图所示，下列关于∠ABC与∠A′B′C′的说法不正确的是（）A．将∠ABC先向右平移4格，再向上平移1格后可得到∠A′B′C′B．将∠ABC先向上平移1格，再向右平移4格后可得到∠A′B′C′C．将∠A′B′C′先向下平移1格，再向左平移4格后可得到∠ABCD．将∠A′B′C′向左平移6格后就可得到∠ABC【考点七】相交线与平行线➽➼➵公理➻➼垂线段公理✮✮平行线公理13．如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（）A．从大变小B．从小变大C．从小变大再变小D．从大变小再变大14．下列说法中是真命题正确的个数有（）个（1）若a∥b，b∥d，则a∥d；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个15．在下列说法中，正确的有（ ）个．∠过一点有且只有一条直线与已知直线平行；∠已知α∠、∠β的两边分别平行，那么αβ∠=∠；∠垂直于同一条直线的两条直线平行；∠从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．A ．3B ．2C ．1D ．016．如图，有下列条件：∠12∠=∠；∠34180∠+∠=︒；∠56180∠+∠=︒；∠23∠∠=．其中，能判断直线a b ∥的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个17．如图，在下列给出的条件中，不能判定DE BC ∥的是（ ）A ．12∠=∠B ．3=4∠∠C ．5C =∠∠D ．180B BDE ∠+∠=︒ 18．如图，要得到AB CD ，只需要添加一个条件，这个条件不可以是（ ）A ．180D BAD =∠+∠B ．180B BCD ∠+∠=C ．24∠∠=D ．13∠=∠19．如图，45,AOB CD OB ∠=︒∥交OA 于E ，则AEC ∠的度数为（ ）A ．130︒B ．135︒C ．140︒D ．145︒20．如图，∠BAC =40°，AD 平分∠BAC ，BD ∠AC ，则∠D 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【考点十】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质➻➼探究角的关系21．如图，AD ∠BC ，DE AB ∥，则∠CDE 与∠BAD 的关系是（ ）A ．互为余角B ．互为补角C ．相等D ．不能确定22．如图，若AB ∠CD ，则α、β、γ之间的关系为（ ）A ．α+β+γ=360°B ．α﹣β+γ=180°C ．α+β﹣γ=180°D ．α+β+γ=180°【考点十一】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质➻➼求角的大小23．一张长方形纸条按如图所示折叠，EF 是折痕，若∠EFB =35°，则：∠∠GEF =35°；∠∠EGB =70°；∠∠AEG =110°；∠CFC '∠=70°．以上结论正确的有（ ）A ．∠ ∠ ∠ ∠B ．∠ ∠ ∠C ．∠ ∠ ∠D ．∠ ∠24．如图，AB //CD ，∠1＝13∠ABF ，CE 平分∠DCF ，设∠ABE ＝∠1，∠E ＝∠2，∠F ＝∠3，则∠1、∠2、∠3的数量关系是（ ）A ．∠1+2∠2+∠3＝360°B ．2∠2+∠3—∠1＝360°C ．∠1+2∠2—∠3＝90°D ．3∠1+∠2+∠3＝360°【考点十二】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼求角的大小 25．如图，已知A ADE ∠=∠，若54EDC C ∠=∠，则C ∠=（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒26．如图，AB //CD ，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG ＝20°，则∠HFD 的度数为（ ）A ．20°B ．70°C ．45°D ．35°【考点十三】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼证明 27．如图，下列判断中错误的是（ ）A ．∠A +∠ADC = 180° 所以AB ∥CDB ．∠l=∠2，所以AD ∥BC C ．AB ∥CD ，所以∠ABC +∠C = 180° D ．AD ∥BC ，所以∠3=∠428．如图，AE ∥CF ，∠ACF 的平分线交AE 于点B ，G 是CF 上的一点，∠GBE 的平分线交CF 于点D ，且BD ∠BC ，下列结论：∠BC 平分∠ABG ；∠AC ∥BG ；∠与∠DBE 互余的角有2个；∠若∠A =α，则∠BDF =180°−2α．其中正确的有（ ）A ．∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠【考点十四】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼应用29．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（ ）A ．第一次右拐50︒，第二次左拐130︒B ．第一次左拐50︒，第二次右拐50︒C ．第一次左拐50︒，第二次左拐50︒D ．第一次右拐50︒，第二次右拐50︒ 30．如图a 是长方形纸带，26DEF ∠=︒，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的CFE ∠的度数是（ ）A ．102°B ．112°C ．120°D ．128°【考点十五】定理、命题与证明➽➼➵命题的真假✮✮逆命题31．以下命题的逆命题为真命题的是（ ）A ．若a b >，则22a b >B ．对顶角相等C ．直角三角形两锐角互余D ．若a b =，则22a b =32．命题“如果x y =，那么22x y =”的逆命题是（ ）A ．如果x y ≠，那么22x y ≠B ．如果x y =，那么22x y ≠C ．如果22x y =，那么x y =D ．如果22x y ≠，那么x y ≠【考点十六】定理、命题与证明➽➼➵命题与证明✮✮互逆定理33．有下列描述：∠过点 A 作直线 AF // BC ；∠连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；∠两直线平行，同旁内角互补；∠垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（ ）A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个34．下列定理中，没有逆定理的是（ ）A ．两直线平行，同旁内角互补；B ．两个全等三角形的对应角相等C ．直角三角形的两个锐角互余；D ．两内角相等的三角形是等腰三角形【考点十七】平移➽➼➵性质35．如图，将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置，连接CD 、CE ，若△ACD 的面积为6，则△BCE 的面积为（ ）A ．5B ．6C ．10D ．336．如图，在直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，将三角形ABC 沿直线BC 向右平移2cm 得到三角形DEF ，连接AE ，有以下结论：∠BE AD ∥；∠B ADE ∠=∠；∠DE AC ⊥；∠BE AD =，其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点十八】平移➽➼➵应用37．如图是从一块边长为50cm的正方形材料中裁出的垫片，现测得FG＝9cm，则这块垫片的周长为（）A．182cm B．191cm C．209cm D．218cm38．如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形ABC沿着BC方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形DEF，其中AB＝8，BE＝5，DH＝3，则下列结论正确的有（）∠AC∠DF；∠HE＝5；∠CF＝5；∠四边形DHCF的面积为32.5．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题【考点一】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼对顶角✮✮邻补角39．如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝80°，∠2＝2∠3，则∠4＝_____．40．如图，直线AB与CD相交于点O，∠1＝∠2，若∠AOE＝138°，则∠COE的度数为_____度．【考点二】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼垂直✮✮垂线段41．如图：∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则点A到直线BC的距离是线段_____的长度．42．已知在同一个平面内，一个角的度数是70°，另一个角的两边分别与它的两边垂直，则另一个角的度数是___________．【考点三】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼同位角✮✮内错角✮✮同旁内角43．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a b c+-的值是____________44．如图，∠1和∠3是直线______ 和______ 被直线______ 所截而成的______ 角；图中与∠2是同旁内角的角有______ 个．【考点四】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼点与直线距离✮✮平行线之间距离45．如图所示，已知90ACB ∠=︒，若3cm BC =，4cm AC =，5cm AB =，则点A 到BC 的距离是______，点C 到AB 的距离是______．46．如图，直线AB //CD ，GH 平分∠CGF ，GI 平分∠DGF ，且HG ＝15cm ，GI ＝20cm ，HI ＝25cm ，则直线AB 与直线CD 之间的距离是_____cm ．【考点五】相交线与平行线➽➼➵作图➻➼垂线画法✮✮平行线画法47．已知直线 AB ，CB ， l 在同一平面内，若 AB ∠ l ，垂足为 B ，CB ∠ l ，垂足也为 B ，则符合题意的图形可以是如图中的图___(填甲或乙)， 你选择的依据是_____（写出你学过的一条公理）.48．如图，AD BC ∥，E 是线段AD 上任意一点，BE 与AC 相交于点O ，若ABC ∆的面积是5，EOC ∆的面积是1，则BOC ∆的面积是______．【考点六】相交线与平行线➽➼➵作图➻➼平移49．如图，在正方形网格中，线段A′B′可以看作是线段AB经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由线段AB得到线段A′B′的过程______50．如图，如果把∠ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，则线段A′B与线段AC的位置关系是_______________.【考点七】相交线与平行线➽➼➵公理➻➼垂线段公理✮✮平行线公理51．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．52．下列说法正确的有（填序号）：_____．∠同位角相等；∠在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；∠在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c；∠在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．【考点八】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定53．如图，不添加辅助线，请写出一个能判定AB ∥CD 的条件__54．在同一平面内有2022条直线122022,a a a ，如果12a a ⊥，2a ∥3a ，34a a ⊥，4a ∥5a ……那么1a 与2022a 的位置关系是_____________．55．将一块三角板ABC （∠BAC =90°，∠ABC =30°）按如图方式放置，使A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，对于给出的五个条件：∠∠1=25.5°，∠2=55°30'；∠∠1+∠2=90°；∠∠2=2∠1；∠∠ACB =∠1+∠3；∠∠ABC =∠2-∠1．能判断直线m ∥n 的有__．（填序号）56．如图，a 、b 、c 三根木棒钉在一起，170,2100∠=︒∠=︒，现将木棒a 、b 同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a ，b 平行．【考点九】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质57．如图，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，若150∠=︒，则AEG ∠= ______ ．58．如图，已知BC DE ∥，BF 平分∠ABC ，DC 平分∠ADE ，则下列结论中：∠ACB E ∠=∠；∠180FBD CDE ∠+∠=︒；∠BFD BCD ∠=∠；∠ABF BCD ∠=∠．正确的有( )（填序号）【考点十】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质➻➼探究角的关系59．若∠A 与∠B 的两边分别平行，且∠A 比∠B 的2倍少18°，则∠A 的度数是__________． 60．∠如图1，AB ∥CD ，则∠A +∠E +∠C ＝180°；∠如图2，AB ∥CD ，则∠E ＝∠A +∠C ；∠如图3，若AB ∥EF ，则∠x =180°-∠α-∠γ+∠β；∠如图4，AB ∥CD ，则∠A ＝∠C +∠P ．以上结论正确的是_____．【考点十一】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质➻➼求角的大小61．如图，已知2375AB CD PAQ BAQ PCD QCD P ∠=∠∠=∠∠=︒∥，，，，则AQC ∠=___________．62．有一条长方形纸带，按如图方式折叠，形成的锐角α∠的度数为______．【考点十二】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼求角的大小63．如图，已知∠1=72°，∠4=110°，∠3=70°，则∠2=____________．64．如图，直线MN 分别与直线AB ，CD 相交于点E ，F ，EG 平分∠BEF ，交直线CD 于点G ，若∠MFD ＝∠BEF ＝56°，射线GP ∠EG 于点G ，则∠PGF ＝____________________．【考点十三】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼证明65．一副直角三角板中，60A ∠=︒，30D ∠=︒，45E B ∠=∠=︒，现将直角顶点C 按照如图方式叠放，点E 在直线AC 上方，且0180ACE ︒<∠<︒，能使三角形ADC 有一条边与EB 平行的所有ACE ∠的度数的和为_______．66．如图，AB BC ⊥于点B ，DC BC ⊥于点C ，连接AD ，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，点F 为CD 延长线上一点，连接AF ，BAF EDF ∠=∠，下列结论：∠180BAD ADC ∠+∠=︒；∠AF DE ∥；∠DAF F ∠=∠．正确的有______．（填序号）【考点十四】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼应用67．《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点A 和点C 的两盏激光灯控制．如图，光线AB 与灯带AC 的夹角40A ∠=︒，当光线CB '与灯带AC 的夹角ACB '∠=______时，CB AB '∥．68．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4的度数为_____．【考点十五】定理、命题与证明➽➼➵命题的真假✮✮逆命题69．命题“若33a b ->-，则a b <”的逆命题是________．70．已知：在同一平面内，三条直线a ，b ，c ．下列四个命题为真命题的是_____________．（填写所有真命题的序号）∠如果a ∥b ，a c ⊥，那么b c ⊥； ∠如果b a ⊥，c a ⊥，那么b c ⊥；∠如果a ∥b ，c ∥b ，那么a ∥c ； ∠如果b a ⊥，c a ⊥，那么b ∥c ．【考点十六】定理、命题与证明➽➼➵命题与证明✮✮互逆定理71．用推理的方法判断为正确的命题叫做 ．72．请写出一个存在逆定理的定理：______．【考点十七】平移➽➼➵性质73．如图，将ABC ∆沿AC 所在的直线平移到DEF ∆的位置，若图中10AC =，3DC =，则CF =____．74．如图，338∠=︒，直线b 平移后得到直线a ，则12∠+∠=_________︒．【考点十八】平移➽➼➵应用75．在一块长m a ，宽102m 的草坪上修筑宽2m 的小路（如图），则种草地面的面积是______2m ．76．如图，长8米宽6米的草坪上有一条弯折的小路（小路进出口的宽度相等，且每段小路均为平行四边形），小路进出口的宽度均为1米，则绿地的面积为__平方米．三、解答题77．如图，已知O为直线AC上一点，过点O向直线AC上引三条射线,,OB OD OE，且OD平分AOB∠．(1)若OE平分BOC∠，求DOE∠的度数；(2)若13BOE EOC∠=∠，50DOE∠=，求EOC∠的度数．78．如图，直线CD 、EF 交于点O ，OA ，OB 分别平分COE ∠和DOE ∠，已知1290∠+∠=︒，且2:32:5∠∠=．(1) 求BOF ∠的度数；(2) 试说明AB CD ∥的理由．79．请在括号内完成证明过程和填写上推理依据． 如图，已知12180∠+∠=︒，DEF A ∠=∠，试判断ACB ∠与DEB ∠的大小关系，并说明理由．解：ACB DEB ∠=∠，理由如下：∠12180∠+∠=︒2180BDC ∠+∠=︒（ ）∠（ ）BDC =∠（ ）∠（ ）EF ∥（ ） ∠DEF ∠=（ ）∠DEF A∠=∠∠（）A=∠（）∠DE AC∥（）∠ACB DEB∠=∠（）80．已知AB CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．(1)如图1，若GM⊥ GN，求∠AMG+∠CNG的度数；(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=32°，求∠MGN+∠MPN的度数；(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=105°，求∠AME的度数？参考答案1．C【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可．解：A 、∠1与∠2的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意；B 、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意；C 、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；D 、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意．故选：C ．【点拨】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义，正确判断．2．D解：A 选项,因为对顶角是一个角的两边分别是另一个角的反向延伸线,这两个角是对顶角两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做互为对顶角.两条直线相交,构成两对对顶角.互为对顶角的两个角相等.但相等的两个角不一定是对顶角,所以A 选项错误,B 选项, 因为邻补角是有一条公共边,且一个角的一边是另一个角一边的反向延长线组成的2个角, 有一条公共边,但是没有保证另一条边在一条直线上那么就不一定是邻补角,所以B 选项错误,C 选项, ,因为对顶角是一个角的两边分别是另一个角的反向延伸线,这两个角是对顶角两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做互为对顶角,所以C 选项错误,D 选项,一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角是邻补角,所以D 选项正确,故选D.3．D【分析】根据垂线的性质，角平分线的定义及对顶角、邻补角的性质，逐一判断． 解：∠13∠∠、为对顶角，∠13∠=∠，故选项A 正确；∠OE AB ⊥，∠90AOE ∠=︒，∠OF 平分AOE ∠，∠245∠=︒，故选项B 正确；∠1180AOD ∠+∠=︒，∠AOD ∠与1∠互为补角，故选项C 正确；∠12530'∠=︒，9016430'︒-∠=︒，∠1∠的余角等于6430'︒，故选项D 错误；故选：D ．【点拨】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，解题的关键熟练掌握角平分线的定义和垂线的性质．4．C【分析】根据点到直线距离的定义分析，可判断选项A 和C ；根据相交线的定义分析，可判断选项B ，根据垂线的定义分析，可判断选项D ，从而完成求解．解：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，即选项A 错误；在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，即选项B 错误；直线AB 外一点P 与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm ，则点P 到直线AB 的距离是7cm ，即选项C 正确；在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，即选项D 错误；故选：C ．【点拨】本题考查了点和直线的知识；解题的关键是熟练掌握点到直线距离、相交线、垂线的性质，从而完成求解．5．C【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．解：（1）∠A 与∠1是同位角，正确，符合题意；（2）∠A 与∠B 是同旁内角．正确，符合题意；（3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意；（4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意．故选：C ．【点拨】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．6．A【分析】根据同位角的概念解答即可．解：同位角有6对，∠4与∠7，∠3与∠8，∠1与∠7，∠5与∠6，∠2与∠9，∠1与∠3，故选：A．【点拨】此题考查同位角，关键是根据同位角解答．7．C【分析】分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解．解：当直线c在a、b之间时，∠a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∠a与c的距离=4−1=3(cm)；当直线c不在a、b之间时，∠a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∠a与c的距离=4+1=5(cm)，综上所述，a与c的距离为5cm或3cm.故选C.【点拨】此题考查平行线的性质，解题关键在于分类讨论两种情况.8．C【分析】根据点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系，可得答案．解：由∠BAC＝90°，AD∠BC，得AB∠AC，故∠正确；AD与AC不垂直，故∠错误；点C到AB的垂线段是线段AC的长，故∠错误；点A到BC的距离是线段AD的长度，故∠正确；线段AB的长度是点B到AC的距离，故∠正确；AD+BD＞AB，故∠正确；故选：C．【点拨】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系是解题关键．9．A【分析】满足两个条件：∠经过点B．∠垂直AC；由此即可判断.解：根据垂线段的定义可知，图∠线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，故选A．【点拨】本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．A【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．解：∠线段AP是点A到直线PC的距离，错误；∠线段BP的长是点P到直线l的距离，正确；∠PA，PB，PC三条线段中，PB最短，正确；∠线段PC的长是点P到直线l的距离，错误，故选：A．【点拨】此题主要考查了垂线的两条性质：∠从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．∠从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．11．B【分析】根据图示和平移的性质，注意正确的计数，查清方格的个数，从而求出步数.解：所画图形如下图所示:其中移动方案为: AB向下移动2格，EF向右1格再向.上2格，CD向左3格，共应8格.共走了8步.故选B.【点拨】本题考查图形的平移变换，注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连线应该互相平行，另外使平移后成为三角形.12．D解：根据平移变换的概念及平移的性质进行判断．13．C【分析】根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，据此即可解答．解：根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，⊥与点E，交弧BC于点G，如图：过点A作AE l∴，AB=AG=AC，AD AF AE=>BD CF EG，<∴-=--，即=<AB AD AC AF AG AE故系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是从小变大再变小，故选：C．【点拨】本题考查了垂线段最短，圆的相关概念，理解垂线段的性质是解决本题的关键．14．B【分析】根据平行线的定义与判定、垂线的性质、平行公理对各小题分析判断后即可得解．解：（1）若a b，b d，则a d，故此说法正确；（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此说法错误；（3）在同一平面内，两条直线不相交就平行，故此说法错误；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此说法正确．故选：B．【点拨】此题主要考查了平行公理，平行线的性质定义，垂线的性质，关键是熟练掌握课本内容．15．D【分析】利用平行公理，平行线的性质定理，点到直线的距离的定义逐项判断即可．解：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，因此∠错误；α∠、∠β的两边分别平行时，αβ∠=∠或180αβ∠+∠=︒，因此∠错误；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，因此∠错误；从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故∠错误； 故选：D ．【点拨】本题考查平行公理，平行线的性质定理，点到直线的距离的定义等，解题的关键是熟练掌握上述基本知识，不要漏掉前置条件．16．B【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论． 解：∠由∠1＝∠2，可得a b ；∠由∠3＋∠4＝180°，可得a b ；∠由∠5＋∠6＝180°，∠3＋∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a b ；∠由∠2＝∠3，不能得到a b ；故能判断直线a b 的有3个，故选：B ．【点拨】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．17．B【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．解：因为12∠=∠，所以DE BC ∥，故A 不符合题意；因为3=4∠∠，不能判断DE BC ∥，故B 符合题意；因为5C =∠∠，所以DE BC ∥，故C 不符合题意；因为180B BDE ∠+∠=︒，所以DE BC ∥，故D 不符合题意；故选B ．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．18．D【分析】根据A 、B 中条件结合“同旁内角互补，两直线平行”可以得出AB //CD ，根据C 中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AB //CD ，而根据D 中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AD //BC ．由此即可得出结论．解：A 、∠D +∠BAD ＝180°，∠AB //CD （同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；B 、∠∠B +∠BCD ＝180°，∠AB //CD （同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；C 、∠2＝∠4，∠AB //CD （内错角相等，两直线平行），不符合题意；D 、∠∠1＝∠3，∠AD //BC （内错角相等，两直线平行），符合题意；故选D ．【点拨】本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据四个选项给定的条件结合平行线的性质找出平行的直线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等或互补的角找出平行的两直线是关键．19．B【分析】由∥45,CD OB AOB ∠=︒，根据平行线的性质得到45AED ∠=︒，根据平角的意义即可求出答案．解：∥45,CD OB AOB ∠=︒，45AOB AED ∴∠=∠=︒， 180AEC AED ∠+∠=︒，18045135AEC ∴∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的性质、邻补角的意义，解题的关键是求出AED ∠的度数．20．A【分析】由角平分线的定义和平行线的性质结合即可求解.解：∠AD 平分∠BAC ，∠BAC =40°，∠∠CAD =12BAC ∠=20°， ∠BD ∠AC ，∠∠D=∠CAD =20°.故选：A【点拨】此题考查角平分线的定义和平行线的性质，掌握相应的性质是解答此题的关键.21．A【分析】先根据垂直的定义可得90CDE ADE ∠+∠=︒，再根据平行线的性质可得BAD ADE ∠=∠，然后根据余角的定义即可得．解：AD BC ⊥，90CDE ADE ADC ∴∠+∠=∠=︒，DE AB ∥，BAD ADE ∴∠=∠，90CDE BAD ∴∠+∠=︒，则CDE ∠与BAD ∠的关系是互为余角，故选：A ．【点拨】本题考查了垂直、平行线的性质、余角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．22．C【分析】过E 作EF ∥AB ∥CD ，由平行线的质可得∠α+∠AEF =180°，∠ECD =∠γ，由∠β=∠AEF +∠FED 即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．解：过点E 作EF ∥AB ，∠∠α+∠AEF =180°，∠AB ∥CD ，∠EF ∥CD ，∠∠FEC =∠ECD ，∠∠β=∠AEF +∠FED ，又∠γ=∠ECD ，∠∠α+∠β-∠γ=180°．故选：C ．【点拨】本题考查了平行线的性质，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．23．A【分析】先根据平行线的性质可得DEF ∠的度数，根据折叠的性质可得GEF ∠，进而可得,DEG AEG ∠∠，即可判断∠ ∠ ；再利用平行线的性质可得EGB ∠、EFC ∠的度数，即可判断∠ ；再根据折叠的性质可得EFC '∠的度数，进而可得CFC '∠的度数，即可判断∠解：∠ 四边形ABCD 是长方形∠AD BC ∥35DEF EFB ∴∠=∠=︒由折叠的性质可得35GEF DEF ∠=∠=︒故 ∠ 正确35270DEG ∴∠=︒⨯=︒18070110AEG ∴∠=︒-︒=︒ 故 ∠ 正确AD BC ∥70EGB DEG ∴∠=∠=︒故 ∠ 正确又180********EFC EFB ∠=︒-∠=︒-︒=︒由折叠的性质可得：145EFC EFC '∠=∠=︒360145270CFC '∠=︒-︒⨯=︒故 ∠ 正确故选：A【点拨】本题主要考查平行线的性质和折叠的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质和折叠的性质．24．A。

平行线的性质知识点及练习题1、平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补。

几何符号语言：∵AB ∥CD∴∠1＝∠2〔两直线平行，内错角相等〕∵AB ∥CD ∴∠3＝∠2〔两直线平行，同位角相等〕∵AB ∥CD ∴∠4＋∠2＝180°〔两直线平行，同旁内角互补〕2、两条平行线的距离如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，那么称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。

注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，那么垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离。

3、命题：⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

⑵命题的组成每个命题都是题设、结论两局部组成。

题设是事项；结论是由事项推出的事项。

命题常写成“如果……，那么……〞的形式。

具有这种形式的命题中，用“如果〞开场的局部是题设，用“那么〞开场的局部是结论。

有些命题，没有写成“如果……，那么……〞的形式，题设和结论不明显。

对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……〞的形式。

注意：命题的题设〔条件〕局部，有时也可用“……〞或者“假设……〞等形式表述；命题的结论局部，有时也可用“求证……〞或“那么……〞等形式表述。

4、平行线的性质与判定①平行线的性质与判定是互逆的关系两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补。

其中，由角的相等或互补〔数量关系〕的条件，得到两条直线平行〔位置关系〕这是平行线的判定；由平行线〔位置关系〕得到有关角相等或互补〔数量关系〕的结论是平行线的性质。

典型例题：∠1＝∠B ，求证：∠2＝∠C证明：∵∠1＝∠B 〔〕∴DE ∥BC 〔同位角相等，两直线平行〕 ∴∠2＝∠C 〔两直线平行，同位角相等〕注意，在了DE ∥BC ，不需要再写一次了，得到了DE ∥BC ，这可以把它当作条件来用了典型例题：如图，AB ∥DF ，DE ∥BC ，∠1＝65°求∠2、∠3的度数A B C DEF 1 2 3 4 A EG B C FH D A D F BE C 1 2 3解答：∵DE ∥BC 〔〕∴∠2＝∠1＝65°〔两直线平行，内错角相等〕∵AB ∥DF 〔〕∴AB ∥DF 〔〕∴∠3＋∠2＝180°〔两直线平行，同旁内角互补〕∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°平行线的性质练习题一、选择题:(每题3分,共12分)1、如图1所示,AB ∥CD,那么与∠1相等的角(∠1除外)共有( ) D C B A 1ED C BA O F E D C BA (1) (2) (3) 〔4〕2、如图2所示,DE ∥BC,CD 是∠ACB 的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,•那么∠BDC 等于( )°°°°3、以下说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;•③内错角相等,两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是( )A.①B.②和③C.④D.①和④4、如图3所示,CD ∥AB,OE 平分∠AOD,OF ⊥OE,∠D=50°,那么∠BOF 为( )°°°°二、填空题:(每题3分,共12分)5、如图4所示，n m //，∠2=50°，那么∠1= °，∠3= °，∠4= °6、把命题“邻补角的平分线互相垂直〞改写成“如果……，那么……。