集合之间的关系与运算

集合之间关系　

上海市嘉定区第二中学（２０１８０２）　

在近代数学中，集合是非常基础并且应用非常广泛　的，是研究数学问题的基本工具．集合思想已成为现代　数学的理论基础，与高中数学的许多内容有着广泛的联　系．　对于比较复杂的集合，在判断它们之间的关系时，　要开动脑筋，从多种方面进行分析和比较．本文通过对　几个相对比较复杂的例题的分析来说明如何将复杂的　问题转为简单的集合与集合之间关系．　【例１】　已知两个集合Ａ一｛ａｌａ＝２ｋ￣一号，ｋＥＺ｝，　ｌ　Ｊ　Ｂ一｛ｐｌ卢一（２　＋１）兀＋号，ｎＥＺ｝，则Ａ和Ｂ的关系是　

（　）．　Ａ．Ａ　Ｂ　Ｂ．Ａ　Ｂ　Ｃ．Ａ—Ｂ　Ｄ．ＢＧＡ　解法一（赋值法）令ｋ＝０，±１，±２，分别对集合Ａ和　Ｂ的元素进行部分的列举，通过观察，可以得到Ａ—Ｂ，　即答案为Ｃ．　

解法二（数形结合方法）经过分析，Ａ表示与角一告　

终边重合的角的集合，集合　Ｂ—　

Ｊｐｔ／￣＝２Ｙ／Ｔｔ＂＋　，　∈ｚ）表示与角　终边重合的角的集　Ｉ　．Ｊ　合，而一要与　终边相同，都表示坐标平面上　轴的负　

半轴，所以集合Ａ和集合Ｂ相等．　解法三（从代表元素入手）集合Ｂ中代表元素　一　

（２竹＋１）　＋罟－＝２ｎ　＋　一２（　＋１）　一罟，ｎＥ　Ｚ．通过比　

较化归为判断｛ｚｆｚ一是，ｋＥｚ｝与｛ｚ｛　一挖＋１，ｒｔＥｚ｝之　间的关系．因为　ＥＺ，所以，２＋１∈ｚ，因此ｋ与　＋１都　代表整数，所以Ａ＝Ｂ．　说明：对这种直接考察集合之间关系的题目，一般　会考虑到先将题目中的两个条件化简再比较，数形结合　和从代表元素入手的方法往往会起到事半功倍的效果．　建议在解这类题目时要先审清题目，尽量使用比较简洁　的方法或自己比较擅长的方法．　

【例２１　求方程　一　的解集．　

解：本题等价于解方程组　（ｃｏｓｘ￣０，①　ｓｉｎｘ＝ｆｉ：０，②　ｌ　ｓｉｎ２ｚ．ｓｉｎｘ—ｃ。ｓ２ｚ．ｃ。舛．（　所以，本题的解就是求方程①、②、③的交集．　一复习指津　Ｚｌ１０ＮＧｘＩＪＥ　ＪＩＡ０１　ＪＥ　ＣＡＮＫＡＯ　

课时1 集合与集合之间的关系（第一课时）

一、高考考纲要求

1．理解交集、并集的概念.

2．理解补集的概念，了解全集的意义.

3．会用交集、并集、补集正确地表示一些简单的集合.

二、高考考点回顾

1．集合的概念

（1）集合的概念：我们把研究对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 (简称为集).

（2）集合的分类：根据集合中元素的多少，可以分为三类：有限集、无限集、空集.

（3）元素与集合之间的关系：若a是集合A的元素，记作 ；若b不是集合A的元素，记作 ；

（4）元素的特征：① 、② 、③ .

（5）常用数集及其记法：自然数集，记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.

2．集合有三种表示方法：

3．集合之间的关系：

（1）对于两个集合A和B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的 ，记作 或 .

（2）如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫做集合B的 ，记作 或 .

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称集合A等于集合B，记作 ；

简单性质：①AA；②A；③若AB，BC，则AC.

4．空集

空集是指 的集合，它是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集.记作.

5．有限集的子集、真子集的个数

若集合A中含有n个元素的集合，则集合A有 个子集（其中 个真子集）. 课时1 集合与集合之间的关系（第二课时）

三、课前检测

1．已知集合{,,}Sabc中的三个元素是ABC的三边长，那么ABC一定不是（ ）

§1.2集合之间的关系与运算

学习目标

1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集

合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类

比发现新结论的能力。

2、了解空集的含义，掌握并能使用Venn图(文氏图)

表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能

力，树立数形结合的思想。

3 、理解两个集合的并集与交集的含义，掌握求两个

集合的并集与交集的方法，感受集合作为一种语言，

在表示数学内容是的简洁和准确，进一步提高类比

的能力。

新课导入

1、观察和比较下列各组集合，说说它们之间的关系

（共性）：

（1）A={1，2，3} ，B={1，2，3，4，5}

（2）A=N ，B=Q ；

（3）A是××中学高一年级全体女生组成的集合,

B是××中学高一年级全体学生组成的集合。

概念

空集是任何集合的子集；

任何一个集合是它本身的子集； 定义1：对于两个集合A与B，如果集合A的任何．．

一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的

子集，记作:AB或BA（读作：A包含于B或B

包含A )

概念

定义2：对于两个集合A与B，如果AB且BA，

那么叫做集合A等于集合B，记作A=B（读作集合A

等于集合B）；

定义3：对于两个集合A与B，如果A B，并且B中

至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做B的真子

集，记作：或，读作A真包含于B或B真

包含A.BAAB

集合图示

AB

A

BAB

AB

Z

NR

Q

1,2,3

01,2,

0.1,0.2,

2,NRQZNN1.写出数集N、R、N+、Z、Q 的包含关系：

、x、y、z、,xy、,xz、,yz 2.写出集合{x,y,z}的所有真子集

3.已知集合M={1,3,5,7,9},写出符合下列条件的M的子集：

(1)以集合M中的所有质数为元素；

解：{3，5，7}

(2)以集合M中所有能被3整除的数为元素；

解：{3，9}

(3)以集合M中所有能被2整除的数为元素。

解：

4、设集合

é小

丫出`

土不

关

系l

不吸ō

价小?上ù丫

间

的止孟个火ù

节上宁

合之卜占ù几通

宁币丫

数集·

店甲占十上

不`

与分士

下不上杏份性

小了

集合小丫卫

资甲上

个土

歌

小

数口

T-L币e

女甲上盆.

浅

谈去

丫吕

六火个占

ù`

作为

一个

小学数学

教师,

所教

的数

学内容

虽然

只限

于有理数集

合,

但一

定要拿握实数集

百的概念,

正

确认识

小数

集合与

分数集

合之间

的关系,这样才能正

确地进

行教学。

中

央教育科学研

究所

小学实

验课本第五册

P

90

一Pgi之

中,

把分母是10n

(n

任N)

的分数·

称为

十进分数,

从而

引进小数。

这样,

使得有

些教师错误

地认

为

小数集

合被包含在分数集合

之

内,

小

数只

是分母为

10”

任N

)的

一种特

珠的分

数。

我们应

当认识

到小数有三种:

第一

种是有

痕小数,

第二种是无限循环小数,

第三种是无

限不

循环小数。

有

限小数与无限循

环小数

集合

就

是分数集

合,

属于有理数集;

无限不循环的

小数是

无理数集

合。

所以,

分数集

合包含在小

数

集合之内。

无限不循环的小数

分为两

类:一类是根式

无理

数,

一类是非根式无理

数

即超越数。

如

训百、

训

了、

粼了、

刀丁等就是

根式无理

数。

如圆

周率:

就是“

个

著名的超越数,自然对

数篡霭

聋

咒霆瓢黑二咒

豁蒙犷

关的

瓢

黑篡

黔缪卿有

例2。

设

1q

t

Sn

二a+

aq+a

q+

…且

+a

qn一1,

求

极限

扮.

5“

解.

5二

=a

(1一

q盯

)

1一

q。

因

劣

:=n

盆绪的S。

·o

({q

!

所以

a

1

一q

二

例3二化循环小数。.

a,

a:…`

为分数。

解:

,

得据

例这里,

a=

巴进亡生乙

10“q律1

了F.

2-

0。

aia:…a

nala

:…多且

二……,

10“一

_

,,

一生一

10皿

底e=lim

n`卜O,1、

、l

十石zn=2.

715251828

一aa

丁:

…an

IOn

一1

也是

一个著名

的超越数。

我们可以随

意写

出一个根式无理数(如

粼丽),也

可随意

写出

一个非根式无理数,如:

171

22833444

455555…

作为

一个

小学教师,

我们应当懂

得有关证

明一个

不尽根为无理数

的方法,

以

下举一个

例

以

供参考。

例1。

求

证侧

丽为无理数。

补

证明:

采

用反证法。

假设斌丽

第一章 集 合

1.2 集合之间的关系和运算

1.2.1 集合之间的关系

一、教学目标

1. 知识与技能

（1）理解集合之间的包含与相等的含义;

（2）能识别给定集合的自己

（3）能用韦恩图表达集合之间的关系

2. 过程与方法

（1）通过复习元素与集合之间的关系，对照实数的相等于不相等的关系，联系元素与集合之间的从属关系，探究集合之间的包含与相等关系

（2）初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力

3. 情感、态度与价值观

（1）了解集合的包含、相等关系的含义，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义

（2）探索直观图示对理解抽象概念的作用

二、教学重点、难点

（1）重点是子集的概念

（2）难点是元素与子集、属于与包含之间的区别

三、教学过程

1.复习回顾

回顾上节课的学习内容，提问学生集合都有什么表示方法，元素与集合的关系。

2.引入

元素与元素，元素与集合的关系阐述，引出集合与集合的关系

（元素与集合是两个级别的东西，比如人与班级，人从属于班级里。以前讨论数与数的比较，上节课讨论了元素与集合的关系，今天讨论集合与集合的关系）

例子：

（1）}3,1{A，}6,5,3,1{B

（2）C={x| x是长方形}，D={x| x是平行四边形}

（3）}0)2)(1(|{xxxE，}2,1{F

（4）},50|{NxxxG，}4,3,2,1{H

（5）}4,3,1{S，}6,5,3,1{T

（6）}3|{xxM，}2|{xxN

（1）—（4）前面的集合的元素都在后面的集合里，引出子集

3.子集

子集：集合A中的元素都在集合B中，集合A称为B的子集，记作BA或AB

“A包含于B”或“B包含A”。

P中存在元素不在Q中，则P不包含于Q或Q不包含P，记作QP或Q P

骐骥教育 中小学课外辅导专家

骐骥教育网址 1 骐骥教育·教务管理部 集合之间的关系和运算

课 题 集合之间的关系和运算

教学目标

1、 复习巩固集合的相关概念，会用列举法、描述法表示集合；

2、 理解集合的相等、包含关系及其关系符号，掌握子集的概念；

3、 掌握集合的“交、并、补”运算，会求几个集合的交集、并集及已知集合的补集；

重点、难点

1、集合的意义及其属性，集合的关系及其运算；

2、根据集合之间的运算关系求所含字母的值或范围；

考点及考试要求

1、理解集合的意义，掌握集合的表示方法；

2、掌握子集的概念及“交、并、补”运算；

教学内容

一、集合的相关概念

1、集合：能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。

集合中的各个对象叫做这个集合的元素。

若a是集合A的元素，记作aA。

2、集合的属性：1）确定性； 2）互异性； 3）无序性。

3、有限集、无限集、空集（不含任何元素的集合，记作。空集是有限集。）

4、常见的数集：

（1）自然数集：N， ,2,1,0N

（2）正整数集：N， ,3,2,1*N

（3）整数集：Z, ，，，210Z

（4）有理数集： Q

（5）实数集： R

5、集合符号的使用。

【注】正确表示一个集合：1) 符号书写规范。如2{|1,}AyyxxR，2{(,)|1,}BxyyxxR是完全不同的两个集合。

2) 合理选择表示方法。

§1.2 集合之间的关系（7-8）

【教学目标】

知识目标：

（1）掌握子集、真子集的概念；

（2）掌握两个集合相等的概念；

（3）会判断集合之间的关系.

能力目标：

通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.

【教学重点】 集合与集合间的关系及其相关符号表示．

【教学难点】 真子集的概念．

【教学设计】

（1）从复习上节课的学习内容入手，通过实际问题导入知识；

（2）通过实际问题引导学生认识真子集，突破难点；

（3）通过简单的实例，认识集合的相等关系；

（4）为学生们提供观察和操作的机会，加深对知识的理解与掌握．

教学过程

*复习知识 揭示课题

前面学习了集合的相关问题，试着回忆下面的知识点：

1．集合 由某些确定的对象组成的整体．

元素 组成集合的对象．

2．常用数集有哪些？用什么字母表示？

3．集合的表示法

(1)列举法：在花括号内，一一列举集合的元素；

(2)描述法：{代表元素|元素所具有的特征性质}．

4．元素与集合之间有属于或不属于的关系．

完成下面的问题：

用适当的符号 “”或“”填空：

(1) 0 ； (2) 0 N； (3) 3 R； (4) 0.5 Z；

(5) 1 {1,2,3}； (6) 2 {x|x<1}； （7）2 {x|x=2k+1, kZ}．

那么集合与集合之间又有什么关系呢？

*创设情景 兴趣导入

问题

1．设A表示我班全体学生的集合，B表示我班全体男学生的集合，那么，集合A与集合B之间存在什么关系呢？

2．设M={数学，语文，英语，计算机应用基础，体育与健康，物理，化学}， N ={数学，语文，英语，计算机应用基础，体育与健康}，那么集合M与集合N之间存在什么关系呢？

3．自然数集Z与整数集N之间存在什么关系呢？

归纳 当集合B的元素肯定是集合A的元素时称集合A包含集合B．两个集合之间的这种关系叫做包含关系．

第5-6课时

集合之间的关系（一）

【教学目标】

知识目标：

（1）掌握子集、真子集的概念；

（2）掌握两个集合相等的概念；

（3）会判断集合之间的关系.

能力目标：

通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.

【教学重点】

集合与集合间的关系及其相关符号表示．

【教学难点】

子集的概念．

【教学设计】

（1）从复习上节课的学习内容入手，通过实际问题导入知识；

（2）通过实际问题引导学生认识真子集，突破难点；

（3）通过简单的实例，认识集合的相等关系；

（4）为学生们提供观察和操作的机会，加深对知识的理解与掌握．

【课时安排】

2课时

【教学过程】

复习知识 揭示课题

前面学习了集合的相关问题，试着回忆下面的知识点：

1．集合 由某些确定的对象组成的整体，及元素组成集合的对象．

2．常用数集有哪些？用什么字母表示？

3．集合的表示法

(1)列举法：在花括号内，一一列举集合的元素；

(2)描述法：{代表元素|元素所具有的特征性质}．

4．元素与集合之间有属于或不属于的关系．

完成下面的问题：

第5-6课时

用适当的符号 “”或“”填空：

(1) 0 ； (2) 0 N； (3) 3 R； (4) 0.5 Z；

(5) 1 {1,2,3}； (6) 2 {x|x<1}； （7）2 {x|x=2k+1, kZ}．

那么集合与集合之间又有什么关系呢？

创设情景 兴趣导入

问题

1．设A表示我班全体学生的集合，B表示我班全体男学生的集合，那么，集合A与集合B之间存在什么关系呢？

元素与集合，集合与集合之间的关系

元素与集合之间的关系：Aa或Aa(其中，a是元素，A是集合），集合与集合之间的关系BA或BA（其中A与B是两个集合）。

BA学生容易混“”与“”的用法。在集合与集合之间用“”，在元素与集合之间用“”。而学生把“”与“”分不清，乱用。通过这次学习与平时自己的实践经验，所以就对于这个知识点我做了进一步思考，在此与大家分享。

原定义：给定一个集合A，任何一个对象a是不是这个集合的元素就确定了。若a在集合A中，就说a属于A，记作Aa。若a不在集合A中，就说a不属于A，记作Aa（元素与集合之间的关系）。

一般的，对于两集合，A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的的元素，即若Aa，则Ba，我们就说集合A包含于集合B或集合B包含集合A，记作BA（或AB），这时我们说集合A是集合B的子集。（集合与集合之间的关系）。

对于这些数学用语组成的很规范的定义，学生是很难理解的，我要更进一步对它们作解释，也可以举例子加以说明。从以上两个定义中可以发现画线的部分是重点，具体总结如下：

⑴“”与“”是个体与集体之间的关系，只能用在元素与集合之间，而不能用在集合与集合或元素与集合之间，就好像我们可以说某个同学不是某个班级的成员，但不可以说某个班不是某个班的成员，或某同学是不是某同学的成员一样。

⑵“”与“”是集体与集体之间的关系，只能用在集合与集合之间，而不能用在元素与元素之间或元素与集合之间，就好像我们可以说某个班上男生使这个班级的一部分，而不可以说某个学生是某个学生的一部分，某个学生是谋得班的一部分一样。再例如，7,5,3,2,1A，9,7,5,3,1B，A1，B1,BA。1是A的元素，1是B的元素，而A不是B的一部分。

⑶对于任何元素a或集合A，关于Aa和Aa中，有且只有一个成立。例如，1是素数和1是偶数只有一个成立，不可能两个同时成立。

高一数学学案

第1页 共4页 1.2.1 集合之间的关系

制作人：马中明 审核：高一数学组 时间：2012-9-3 编号：11002

【学习目标】

1．掌握集合之间的关系（子集 、真子集、相等），会书写正确的相关符号.

2．正确区分子集和真子集的概念.

3．利用Venn图解决集合的问题.

【学习重点】

集合之间的关系（子集 、真子集、相等）.

【学习难点】

正确区分子集和真子集的概念及符号.

【课前预习】

1、自主学习P10～P13写成下列填空。

（1）维恩图

维恩图（Venn）图：通常用

表示一个集合，这个图形通常叫做维恩图。

（2）子集

自然语言 如果集合A中

元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集

符号语言 A B或B

A读作“ ”，或“ ”

Venn图

（3集合相等

（ⅰ）定义：如果 且 ，那么就说集合A与集合B相等。

（ⅱ）用符号表示为 。

（4）真子集

自然语言 如果集合A是B的子集，并且B中

，则称集合A是集合B的真子集。

符号语言 A B（或B A）读作“ ”，或“ ”

Venn图

（5）两个重要规定

（ⅰ）空集是 的子集。 （ⅱ）空集是 的真子集。

（6）传递性

据子集、真子集的定义可以推知

（ⅰ）对于集合A、B、C，如果B，ACB，则 。

（ⅱ）对于集合A、B、C，如果 ，则 。

高一数学学案

第2页 共4页 2、讨论探究：集合关系与其特征性质之间的关系

集合之间的关系与运算

一、知识回顾

1、集合间的关系：①子集：若集合A的元素都属于集合B，称A是B的子集，记为

。

②若AB，这个式子有两层意思，即 且

③相等

2、空集： ，记为

3、集合的运算：{|ABxU }，ABI{x| }

若U为全集，则集合A相对于U的补集，记为CUA=｛x| ｝

二、例题 ：

1、判断下列说法是否正确，对的打“√”错的打“×”

（1）{0}＝； （2）０；

（3）{0} （4）},{}{baa

2、设U={|xx是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则ABU ，ABI ，CUA= ，()UACBI

3、设集合A={|12}xx，集合B={|13}xx，

则ABU ，ABI ，RCA=

4、设S={|xx是平行四边形或梯形}，A={|xx是平行四边形}，B={|xx是菱形}，

C={|xx是矩形}，则BCI ，CSA=

5、若C=}12),{(yxyx，D=}54),{(yxyx，则C∩D=

6、若},6{},,3{NmmxxNNkkxxM,则NM,的关系为（ ）

A、NM B、NM C、MN D、NM

集合概念和非集合概念的区别逻辑学

摘要：

一、引言

1.逻辑学的重要性

2.集合概念与非集合概念的区分

二、集合概念

1.定义与特点

2.集合元素的性质

3.集合的运算与关系

三、非集合概念

1.定义与特点

2.非集合概念的分类

3.非集合概念的应用

四、集合概念与非集合概念的区别

1.内涵与外延的区别

2.确定性与不确定性的区别

3.集合与非集合的逻辑关系

五、逻辑应用与实践

1.集合与非集合在数学中的应用

2.集合与非集合在计算机科学中的应用

3.集合与非集合在其他学科中的应用 六、总结

1.集合概念与非集合概念的重要性

2.逻辑思维的培养与实践

正文：

一、引言

逻辑学作为一门研究思维规律的科学，对于我们的日常生活和工作具有重要意义。在逻辑学中，集合概念与非集合概念的区分是一个基本问题。本文将从集合概念和非集合概念的定义、特点、应用等方面进行详细阐述，以期帮助读者更好地理解这两种概念的区别和逻辑应用。

二、集合概念

1.定义与特点

集合概念是指具有某种性质的事物的总体。集合概念具有以下特点：

（1）确定性：集合中的元素是确定的，具有唯一性。

（2）互异性：集合中的元素是不同的，不存在重复。

（3）整体性：集合是一个整体，其元素之间存在某种联系。

2.集合元素的性质

集合元素具有以下性质：

（1）无序性：集合中的元素排列顺序不影响集合的定义。

（2）基数性：集合中的元素数量称为集合的基数。

（3）集合的运算与关系：集合之间可以进行并、交、补等运算，以及存在包含关系、相等关系等。

3.集合的运算与关系 集合的运算包括并集、交集、补集等，这些运算遵循一定的运算律。同时，集合之间存在包含关系（子集）、相等关系等。

三、非集合概念

1.定义与特点

非集合概念是指不具有集合特点的概念。非集合概念具有以下特点：

（1）内涵：非集合概念有明确的内涵，但外延不确定。

（2）不确定性：非集合概念的外延是不确定的，可能包含多个元素，也可能只有一个或没有元素。

集合的基本运算等价关系

集合是数学中一个基础且重要的概念。它是由一些确定的元素所组成的整体。在集合运算中，我们需要了解集合的基本运算，以及等价关系的定义和性质。

一、集合的基本运算

1.并集运算

集合的并集运算是指将两个或多个集合中的元素合并为一个集合。用符号“∪”表示。例如，对于集合A={1,2,3}和B={2,3,4}，它们的并集为A∪B={1,2,3,4}。

2.交集运算

集合的交集运算是指找出两个或多个集合中都含有的元素，构成一个新的集合。用符号“∩”表示。例如，对于集合A={1,2,3}和B={2,3,4}，它们的交集为A∩B={2,3}。

3.差集运算

集合的差集运算是指从一个集合中减去另一个集合中相同的元素，得到的新集合。用符号“-”表示。例如，对于集合A={1,2,3}和B={2,3,4}，它们的差集为A-B={1}。

4.补集运算 集合的补集运算是指在一个给定的全集中，减去一个集合中的元素而得到的剩余部分。例如，对于全集U={1,2,3,4,5}和集合A={2,3}，它的补集为A的补集为U-A={1,4,5}。

二、等价关系

等价关系是一种关系性质，在集合理论中具有重要的地位。它是指一个二元关系具有自反性、对称性和传递性三个性质。

1.自反性

一个二元关系R在集合A上是自反的，如果对于集合A中的任意元素x，都有xRx成立。其中R是定义在集合A上的二元关系，xRx表示元素x与自身存在该关系。例如，假设集合A={1,2,3}，则关系R={(1,1),(2,2),(3,3)}就是自反的。

2.对称性

一个二元关系R在集合A上是对称的，如果对于集合A中的任意元素x和y，只要xRy成立，则yRx也成立。例如，在集合A={1,2,3}中，关系R={(1,2),(2,1)}是对称的。

3.传递性

一个二元关系R在集合A上是传递的，如果对于集合A中的任意元素x、y和z，只要xRy成立且yRz成立，则xRz也成立。例如，在集合A={1,2,3}中，关系R={(1,2),(2,3),(1,3)}是传递的。

集合的关系与运算（优质课）教案

教学目标：

1、 掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。

2、 了解空集的含义与性质。

3、 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

4、 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

教学过程：

一、子集：

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何．．一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合B。

记作:ABBA或 ， 读作：A包含于B或B包含A。

特别提醒：1、“A是B的子集”的含义是：集合A的任何．．一个元素都是集合B的元素，即由xA，能推出xB。如：1,11,0,1,2；深圳人中国人。2、当“A不是B的子集”时，我们记作：“ABBA或”，读作：“A不包含于B，（或B不包含A）”。如：1,2,31,3,4,5。3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合A，它的任何一个元素都属于集合A本身，记作AA。4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合A，有A。5、在子集的定义中，不能理解为子集A是集合B中部分元素组成的集合。因为若A，则A中不含有任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集。

二、集合相等：

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何．．一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何．．一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

特别提醒：集合相等的定义实际上给出了我们判断或证明两个集合相等的办法，即欲证AB，只需证AB与BA都成立即可。

三、真子集：

对于两个集合A与B，如果BA，并且BA，我们就说集合A是集合B的真子集，

记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A

特别提醒：1、空集是任何非空集合的真子集。2、对集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC。3、两个集合A、B之间的关系：ABABBAABABABABAB且

集合与不等式的运算

在数学中，集合和不等式是两个重要的概念，并且它们之间存在一些运算规则。本文将介绍集合与不等式的运算，包括集合的交、并、差以及不等式的加减乘除等操作。

一、集合的运算

1. 集合的定义

集合是由一些特定对象组成的整体。这些对象可以是数字、字母、符号等。用大写字母表示集合，例如A、B、C等。

2. 集合的元素

集合中的每个对象称为集合的元素。用小写字母表示元素，例如a、b、c等。如果元素a属于集合A，则表示为a∈A；如果元素a不属于集合A，则表示为a∉A。

3. 集合的关系

两个集合之间可以存在三种关系：相等关系、包含关系和相离关系。

- 相等关系：如果两个集合的所有元素都相同，则称这两个集合相等。表示为A=B。

- 包含关系：如果集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A为集合B的子集，表示为A⊆B。 - 相离关系：如果集合A的元素没有任何一个属于集合B，并且集合B的元素没有任何一个属于集合A，则称集合A和集合B相离。

4. 集合的运算

集合之间可以进行交、并、差等运算。

- 交集：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，表示两个集合中共同的元素构成的集合。

- 并集：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，表示两个集合中所有元素组成的集合。

- 差集：集合A和集合B的差集，表示为A-B，表示属于A但不属于B的元素构成的集合。

二、不等式的运算

1. 不等式的定义

不等式是一种描述数之间大小关系的数学式子。常见的不等式有大于、小于、大于等于、小于等于等表示方式。

2. 不等式的解集

不等式的解集是满足不等式的所有实数的集合。用大括号{}表示，例如{x|x>1}表示大于1的实数集合。

3. 不等式的运算

不等式可以进行加减乘除等运算，但是需要注意一些规则。 - 加减运算：如果不等式两边同时加上（或减去）一个相同的数，不等号的方向不变。例如，对于不等式x>2，如果两边同时加上1，则变为x+1>3。

第二节 集合之间的关系及基本运算

【考纲要求】

1 理解符号,, ， ，,,UABABCA的含义，并能用这些符号表示集合与集合间的关系。

2 掌握集合的交、并、补集的运算。

【考点解析】

1 Venn图：用平面上封闭曲线的内部来表示一个集合。

注：（1）Venn图可以形象直观地表示集合间的关系。

（2）封闭曲线可以是椭圆、圆、矩形、正方形等。

2 集合之间的关系

（1）子集：若集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则集合A交集合B的子集，记作：AB或BA，读作：“A包含于B”或“B包含于A”。（如图所示）

注：①任何一个集合A都是它本身的子集，即AA

② 当集合A不是集合B的子集时，记作：AB或BA

读作：“A不包含于B”或“B不包含于A”

③ 空集是任何集合的子集.

（2）真子集：若集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则集合A是集合B的子集，记作：A B或B A，读作：“A真包含于B”或“B真包含于A”。（如图所示）

B A

A B

注：空集是任何非空集合的真子集

（3）集合相等：两个集合的元素完全相同，记作：A=B（如图所示）

（4）集合之间关系的性质

① 对于集合A、B、C，若,ABBC,则AC

②对于集合A、B、C，A B，B C，则A C

③ 若,,ABBA则A=B；反之，若A=B，则,,ABBA

3 集合的运算

（1）交集：给定两个集合A、B，由属于A且属于B的所有元素构成的集合，记作：AB，即{|}ABxxAxB且（若图所示）

交集的性质： ① ABBA ②AAA ③ A

④ 若AB，则ABA ⑤ 若ABA，则AB

（2）并集：给定两个集合A,B,由属于集合A或属于集合B的所有元素构成的集合，记作：AB，即{|}ABxxAxB或（如图所示）