数学集合的概念运算

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课前案

1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征： 、 、 ．

(2)元素与集合的关系是 或 关系，用符号 或 表示．

(3)集合的表示法： 、 、 ．

(4)常见数集的记法

集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

符号

2.集合间的基本关系

表示

关系

文字语言 符号语言 记法

基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素 x∈A⇒

x∈B A B或

B A

真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，且存在x0∈B，x0∉A AB

或B A

相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，

B⊆A A＝B

空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 任意x，x∉∅，∅⊆A ∅

3.集合的基本运算

集合的并集 集合的交集 集合的补集

图形

语言

符号

语言 A∪B＝

A∩B＝

∁UA＝

4.集合的运算性质

(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．

(4)∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)； ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．

课中案

一、目标导引 1

[疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )

(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )

(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )

(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立． ( )

(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )

[教材衍化]

1．(必修1P12A组T3改编)若集合P＝{x∈N|x≤2 021}，a＝22，则( )

A．a∈P B．{a}∈P C．{a}⊆P D．a∉P

2．(必修1P11例9改编)已知U＝{α|0°<α<180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________．

3．(必修1P44A组T5改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．

[易错纠偏]

(1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．

1．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________．

2．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁RA)∪B＝________．

3．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．

二典型例题

集合的含义

(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( )

A．1 B．3 C．6 D．9

(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )

A．92 B．98 C．0 D．0或98

(3)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a＝________． 1

与集合中的元素有关问题的求解步骤

1．(2020·温州八校联考)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为( )

A．1或－1 B．1或3 C．－1或3 D．1，－1或3

2．已知集合A＝{x|x∈Z，且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为________．

集合的基本关系

(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

1．(变条件)在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？

2．(变条件)若将本例(2)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？

1

1．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )

A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP

2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．

3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

集合的基本运算(高频考点)

集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：

(1)求集合间的交、并、补运算； (2)已知集合的运算结果求参数．

角度一 求集合间的交、并、补运算

2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA=( )A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}

(2)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1

角度二 已知集合的运算结果求参数

(1) 设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

A．－12 C．a≥－1 D．a>－1

(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )

A．{1，－3} B．{1，0 }C．{1，3} D．{1，5}

(1)集合运算的常用方法

①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．

②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．

②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．

[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．

1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )

A．[2，3] B．(－2，3] C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)

2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2，3}，则m＝________．

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核心素养系列 数学抽象——集合的新定义问题

定义集合的商集运算为AB＝{x|x＝mn，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x＝k2－1，k∈A}，则集合BA∪B中的元素个数为 ( )

A．6 B．7 C．8 D．9

解决集合新定义问题的方法

(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．

(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为________．

课后案

[A组]

1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

2．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A＝{}x|ex≤1，B＝{}x|ln x≤0，则A∪B＝( )

A．(－∞，1] B．(0，1] C．[1，e] D．(0，e]

3．已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩(∁UB)＝{1，3，5}，则B＝( )

A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{0，2，4，6} D．{x∈Z|0≤x≤6}

4．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )

A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}

5．已知全集为R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )

A．{x|2

6．已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )

A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3) C．(0，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)

7．设U＝{x∈N*|x＜9}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则(∁UA)∩B＝( )

A．{1，2，3} B．{4，5，6} C．{6，7，8} D．{4，5，6，7，8}

8．设集合A＝5，ba，a－b，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝( )

A．{－1，2，3，5} B．{－1，2，3} C．{5，－1，2} D．{2，3，5}

9．已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2，3，5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为( ) A．147 B．140 C．130 D．117