集合之间的关系

第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。

3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。

知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。

{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。

jh03_1.2集合之间的关系——集合的相等与包含课题名称 1.2集合之间的关系——集合的相等与包含课时 2 课型新授一教学目标知识与技能：1.理解两个集合相等的概念，会判断两个集合是否相等.2.正确理解子集和真子集的概念，并能正确判断集合之间的包含关系.3.会求给定集合的子集、真子集.过程与方法：1.从问题入手，在实例中让学生理解集合相等的概念，借助于情境教学都会学生判别集合相等.2.借助于家庭成员构成的集合，使概念的引入更加自然，从而形成子集和真子集的概念.情感态度与价值观：1.两个集合相等的概念告诉我们看问题不能看表象，要提示问题的实质.2.子集的概念使我们明确了一个道理：任何事物存在着某种联系，包含关系是其中的一种，有助于我们更好认识和掌握事物的发展规律.二教学重点与难点教学重点：1.两个集合相等；子集、真子集的概念.2.注意集合与元素，集合与集合关系的符号的区别.教学难点：子集与真子集的区别与联系.三教学方法本课教学可以用类比法和启发式结合的教学方法. 四教学手段利用多媒体课件jh03、黑板等.五教学过程【新课导入】1. 考察下列两组集合，观察它们的元素有何关系.(1) 集合P ={1,2}与集合Q ={}2320x x x -+=；(2) 集合P ={x ︱x 为非负整数}与自然数集N . 答：(1) 在第一组集合中，Q ={}2320x x x -+=={1,2}，它与集合P 的元素完全相同；(2) 在第二组集合中，因为集合P ={x ︱x 为非负整数}={0，1，2，3，……}，它与自然数集的元素也 完全相同.可见，相等是集合之间的一种重要关系.2. 再来看看小亮的家庭，他家的成员有爷爷、奶奶、 爸爸、妈妈、姐姐和小亮. 若姐姐和小亮构成一个集 合P ，全家成员构成一个集合Q ， 显然集合P 中的元素都属于集合Q ，那么P 与Q 有怎样的关系呢?很明显，集合P 中的元素也是集合Q 中的元素，也就是集合Q 可以包含集合P .可见，包含也是集合之间的一种重要关系.【双基讲解】1.集合的相等一般地，如果集合A 和集合B 所含的元素完全相同，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A =B ，读作“集合A 等于集合B ”.如果集合A ={1,3,5,7}， 集合B ={3,5,1,7}，那么A 与B 相等吗?2.集合的包含------子集一般地，对于两个集合A 和B ，如果集合A 中的任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A ⊆B 或B ⊇A ，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”.在小亮家庭里，明显可以看出：P ⊆Q .3. 集合的包含------真子集 一般地，对于两个集合A 和集合B ，如果A ⊆B 并且B 中至少有一个元素不属于A ，,那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作AB , 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”. 在小亮家庭里，P Q 也是成立的.4.文氏图（Ve nn Di A gr A m ）用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图(Venn diagram.).AB 可以表示为【示范例题】例1 已知集合A ={x|x ≤5，x 是正偶数}，集合B ={A ,2}，且 A =B ，求A 的值.解 集合A ={x|x ≤5，x 是正偶数}={2,4}.A =B ，∴A = 4 .例2 已知集合S ={2x ，x+y }与集合T ={2，1}相等 ， 求x ，y 的值.分析：因为集合中的元素，前后顺序交换，仍是这个集合，所以这里必须列出两个二元一次方程组.解 由S = T ，可知 221x x y =⎧⎨+=⎩ 或 212x x y =⎧⎨+=⎩解方程组，得 10x y =⎧⎨=⎩ 或 1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【巩固练习】1. 判断下列两个集合是否相等，并说明理由.(1) 集合A ={}2210x x x ++=和集合B ={}210x x -=；(2) 集合A ={1，2，3，4，6，12}和集合B ={x ∣x 为12的因数}.2. 已知集合A ={0，3}，集合B ={2x-y ，2y-x }，且A =B ，求x ，y 的值.3. 已知集合S ={2x+y ，x-y }与集合T ={3，0}相等，求x ，y 的值.【示范例题】 例3 试判断下列各组的两个集合是否具有包含关系，并用符号表示.(1) 集合E ={2，4，6，…}与集合D ={}2,n n k k =∈；(2) 集合A ={…，-4，-2，0，2，4，…}与集合B ={}2,n n k k =∈. 解 (1) 集合E 是正偶数集，而集合D ={}2,n n k k =∈={0，2，4，6，…}是非负偶数集， 0∉E ，但0∈D ，E D ⊆所以.(2) 集合A 是偶数集，对于A 中的任何一个偶数A ，都可以表示成A =21k ，1k ∈Z .可见，必有，a B ∈，所以A B ⊆.对于集合B 中的任何一个元素n ，因为2,n k k =∈，故n 必为偶数，于是B A ⊆.说明：一般地，对于集合A 和B ，如果A B ⊆，同时A B ⊇，那么集合A 和B 是相等的，即A =B .【巩固练习】1. 判断下列结论是否正确，并说明理由.（1）对任何集合A ，必有AA ； （2）若AB ，A A ，则必有A B ； （3）若A B ，BC ，则A C .2. 用符号“⊆”或“⊇”把下列每两个集合连接起来.(1) A ={}21,n n k k =+∈与B ={…，-3，-1，0，1，3，…}(1) C ={}21,n n k k =+∈与B ={…，-3，-1，1，3，…} (3) A 是所有水果组成的集合，B 是油桃、黄桃、蟠桃组成的集合，C 是所有桃子组成的集合.【示范例题】例4 试写出4的正因数的集合A 的所有子集和真子集.解4的正因数是1，2，4 ， ∴ A ={1，2，4} .∴A 的子集是 φ， {1}，{2}，{4}，{1,2}，{1,4}，{2,4}，{1，2，4}， ∴A 的子集是 φ， {1}，{2}，{4}，{1,2}，{1,4}，{2,4} .例5 已知集合A ={1}，集合B ={}210x x -=，试用文氏图表示集合A 与B 的关系. 解 210x -=， 1x ∴=± . ∴ B ={1，-1}.A ={1} ，A B .【巩固练习】1. 用真包含符号“”或“”把数集N ，Z ，Q ，R 连接起来.2. 已知区间[1,2] ，（1，2），[1，2)，试用符号表示它们之间的包含关系.3. 已知集合A ={}2230x x x --=和集合B ={}10x x +=，试用文氏图表示集合A 与B 的关系. 六 课堂小结1.集合的相等的概念；2.集合的包含 —— 子集的概念；3.集合的包含 —— 真子集的概念；4.文氏图表示集合的关系 .七 布置作业由老师根据学生的具体情况灵活布置八 教学后记根据上课的具体情况，由老师书写教案编制人： 王冬波。

集合间的基本关系知识点总结一、子集、真子集、集合相等二、空集1、定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.2、性质：空集是任何集合的子集.三、子集个数与元素个数的关系设有限集合A 有n （n 属于*N ）个元素，则其子集的个数是n 2，真子集的个数是12-n ，非空子集的个数是12-n ，非空真子集的个数是22-n .一、知识辨析1、} 3 ,2 ,1 {1⊆...........................................（ ）2、φ和{φ}表示的意义相同...............................（ ）3、} )1 ,0( {} 0 ,1 {} 1 ,0 {==..................................（ ）4、任何集合都有子集和真子集.............................（ ）5、若a ∈A ，则}{a ⫋A.....................................（ ）6、如果集合A B ⊆，那么若元素a 不属于A ，则必不属于B.....（ ） 二、选择1、已知集合} | {是菱形x x A =，} | {是正方形x x B =，} | {是平行四边形x x C =，那么A ，B ，C 之间的关系是 （ ）A.C B A ⊆⊆B.C A B ⊆⊆C.A ⫋B ⊆CD.C B A ⊆=2、给出下列四个关系式：①R ∈3；②Z ∈Q ；③0∈φ；④φ⊆} 0 {.其中正确的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.43、能正确表示集合} 20| {≤≤∈=x R x M 和集合} 0x -| {2=∈=x R x N 关系的Venn 图是 （ ）A B C D4、已知集合} ,2| {Z k k x x A ∈==，} ,4| {Z k k x x B ∈==，则A 与B 之间的关系是（ ） A.A=B B.B ⊇A C.A ⫋B D.B ⫋A5、已知集合} 03| {*＜-∈=x N x A ，则满足条件A B ⊆的集合B 的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.86、已知集合} 2 ,1 ,0 {⊆A ，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为 （ ） A.6 B.5 C.4 D.37、集合} , {y x 的子集个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.48、在下列选项中，能正确表示集合} 2 ,0 ,2 {-=A 和集合} 02| {2=+=x x x B 关系的是 （ ） A.A=B B.B A ⊇ C.B A ⊆ D.B A =φ 9、集合} 1 ,2 {-=A ，} 1 ,m {2--=m B ，且A=B ，则实数m=（ ） A.2 B.-1 C.2或-1 D.410、已知集合} 0y ,0y |y)(x, {＞＜x x M +=，} 0y ,0|),( {＜＜x y x P =，那么 （ ） A.P ⫋M B.M ⫋P C.M=P D.M ≠P11、下列四个关系：①} , {} , {a b b a ⊆；②φ=} 0 {；③} 0 {∈φ；④} 0 {0∈.其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.412、已知φ⫋} 0x | {2=+-a x x ，则实数a 的取值范围是 （ ） A.41＜a B.41≤a C.41≥a D.41＞a 13、设集合} 1 1, {-=A ，集合} 02| {2=+-=b ax x x B ，若B ≠φ，A B ⊆，则有序实数对（a,b ）不能是（ ）A.（-1,1）B.（-1,0）C.（0，-1）D.（1,1） 三、填空14、已知集合} 3, 1, {m A -=，} 4 3, {=B ，若A B ⊆，则实数m= .15、已知集合} ,02| {2R a a ax ax x A ∈=++=，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为 .16、设a ，b ∈R ，集合} ,0 {} 1 , {b a a +=，则a b -= . 四、解决问题17、已知集合} 4 1| {＞或＜x x x A -=，} 3a 2| {+≤≤=x a x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18、已知} 01)1(3| {22=-+++=a x a x x A ，} 0 {=B ，若B A ⊆，求a 的取值范围.19、若集合} 06| {2=-+=x x x M ，} 0))(2(| {=--=a x x x N ，且M N ⊆，求实数a 的值. 提升题 一、选择题1、下面各选项中，两个集合相等的是 （ ）A.} ) 2 ,1 ( {=M ,} ) 1 ,2 ( {=NB.} 2 ,1 {=M ，} ) 2 ,1 ( {=NC.M=φ，} {φ=ND.} 012| {2=+-=x x x M ，} 1 {=N 2、下列关系中正确的是（ ）A .} 1 ,0 {1∈ B.} 1 ,0 {1∉ C.} 1 ,0 {1⊆ D.} 1 ,0 {} 1 {∉ 3、已知集合} 02| {2＜-+∈=x x Z x A ，则集合A 的一个真子集为 （ ） A.} 02| {＜＜x x - B.} 20| {＜＜x x C.} 0 { D.} {φ 4、集合} 1 ,0 1, {-=A ，A 的子集中含有元素0的子集共有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个5、若P M ⊆，Q M ⊆，} 2 1, ,0 {=P ，} 4 2, ,0 {=Q ，则满足上述条件的集合M 的个数是（ ） A.1 B.2 C.4 D.86、集合} , 3| {N n x x M n ∈==，集合} , 3| {N n n x x N ∈==，则集合M 与集合N 的关系为（ ） A.N M ⊆ B.M N ⊆ C.N M = D.M ⊈N 且N ⊈M7、若A x ∈，A x ∈1，则称A 是伙伴关系集合.集合} 3 ,2 ,31,21 ,0 ,1 {-=M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A.31 B.7 C.3 D.18、已知集合} , 0| {N y a y y A ∈≤=＜，} , 032| {2N x x x x B ∈≤--=，若A ⫋B ，则满足条件的正整数a 所构成集合的子集的个数为（ ） A.2 B.4 C .8 D.16 二、填空9、方程0822=--x x 的解集为A ，方程02=-ax 的解集为B ，若A B ⊆，则实数a 的取值集合为 .10、已知集合} 44 ,4 ,3| {-=m y A ，集合} ,3| {2m y B =，若A B ⊆，则实数m= . 三、解决问题11、已知} 52| {≤≤-=x x A ，} 121| {-≤≤+=m x m x B ，A B ⊆，求m 的取值范围.。

集合与集合的4种关系在集合论中，集合之间可以有不同类型的关系。

这些关系可以用来描述集合的交集、并集、补集以及包含关系。

下面将依次介绍这4种关系。

1. 交集（Intersection）两个集合的交集表示它们所共有的元素集合。

用符号表示为A∩B。

例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={2,3}。

2. 并集（Union）两个集合的并集表示它们所有的元素集合。

用符号表示为A∪B。

例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。

3. 补集（Complement）对于一个给定的全集U和一个集合A，A在U中的补集表示U中所有不属于A的元素的集合。

用符号表示为Ac。

例如，如果全集为U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，则A的补集为Ac={1,4,5}。

4. 包含关系（Inclusion）集合A包含于集合B表示A中的所有元素都属于B。

用符号表示为AB。

例如，A={1,2}，B={1,2,3}，则AB。

另外，还有两个有关集合的关系：相等关系和真包含关系。

相等关系（Equality）两个集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。

用符号表示为A=B。

例如，A={1,2,3}，B={3,2,1}，则A=B。

真包含关系（Proper Inclusion）集合A真包含于集合B，当且仅当A包含于B并且A不等于B。

用符号表示为AB。

例如，A={1,2}，B={1,2,3}，则AB。

注意，这里的“”符号不同于“”，它表示的是真包含关系。

在实际应用中，理解和使用集合及其关系是很重要的。

例如，在数据库中，可以使用集合的关系来描述表间的关联；在数据分析中，可以使用交集和并集等集合运算来计算数据的交叉和联合等等。

集合的基本关系及运算要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集.记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、集合的运算 1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作：UU A A={x|x U x A}∈∉；即且；补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A 是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A 表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ）．4.集合基本运算的一些结论：A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，， A A B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅， 若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立 若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一：集合间的关系例1. 请判断①0{0} ；②{}R R ∈；③{}∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0∅=；⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧∅{}0，正确的有哪些？【变式1】用适当的符号填空：(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1}； (2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2-1}； (3){x||x|>1} {x|x>1}；(4){(x ，y)|-2≤x ≤2} {(x ，y)|-1<x ≤2}．例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【变式1】已知{},a b A⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有 个.【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M有（ ）A. 16个B. 15个C. 7个D. 6个【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值.例3. 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅ 例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【变式1】设a ，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( )类型二：集合的运算例5. （1）已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2+2x+8，x ∈R }，则M ∩N 等于( )．A. ∅B. RC. {-1，9}D. {y|-1≤y ≤9} （2）设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M ∩N={1}，则M ∪N 为( )． A. {1，2，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3} 【变式1】设A 、B 分别是一元二次方程2x 2+px+q=0与6x 2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A ∩B={21}，求A ∪B.【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B.例6. 设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.类型三：集合运算综合应用例7．已知全集A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}. （1）若A ∩B ≠∅，求实数 a 的取值范围； （2）若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；（3）若A ∩B ≠∅且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）例8. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈. （1）若A B B =，求a 的值； （2）若A B B =，求a 的值.【变式1】已知集合{}{}222,|120A B x x ax a =-=++-=，若A B B =,求实数a 的取值范围.课后练习一、选择题1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则UA B =（ ）A ．{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x >2．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）3．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B B ． B A C ． A B B = D ． A B A = 5．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅二、填空题7．用适当的符号填空：（1）m {},m n ；（2）{}m {},m n ；（3）∅ {},m n . 8. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则C 的非空子集的个数为 .9．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________． 10．设集合{32}A x x =-≤≤，{2121}B x k x k =-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 .11．已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________. 三、解答题12．已知集合{}{}1,2,1,2,3,4,5A B ==，若A M B ⊆，请写出满足上述条件得集合M .13．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围.14．已知集合{}{}22|20,|0A x x px B x x x q =+-==-+=，且{}2,0,1A B =-,求实数,p q 的值．15．设全集U R=，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0,N n x x n =-+=方程有实数根()U C M N 求.巩固训练一、选择题1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ） A 、BA B 、AB C 、A=B D 、A ∩B=∅2. 集合M={y| y=x 2-1, x ∈R}， N={x| y=23x -}，则M ∩N 等于（ ） A 、{(-2, 1), (2, 1)} B 、{}|03x x ≤≤ C 、{}|13x x -≤≤ D 、∅3．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B B ． B A C ． A B B = D ． A B A =5．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅二、填空题 7．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则___________,__________==b a . 8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.9．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = . 10．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = .11．设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-，那么()()U U C M C N 等于________________.12．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S ⋅⋅⋅都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i i S a b =，{},j j j S a b =（{},,1,2,3,,i j i j k ≠∈⋅⋅⋅），都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（{}min ,x y 表示两个数,x y 中的较小者）则k 的最大值是 .三、解答题13．设222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B =，求实数a 的取值范围.14．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U C A B =∅，求m 的值.15．设1234,,,a a a a N +∈，集合{}{}222212341234,,,,,,,A a a a a B a a a a ==.满足以下两个条件：（1）{}1414,,10;A B a a a a =+=（2）集合A B 中的所有元素的和为124，其中1234a a a a <<<. 求1234,,,a a a a 的值.。

第二节集合间的基本关系学习目标1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集2、在具体情境中，了解空集的含义知识框架1、子集定义：如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：BA⊆（或B⊇Ａ）A⊆有两种可能B（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B 或B⊇/A2、真子集如果集合BA⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则称集合A是集合B 的真子集如果A⊆B,且A≠B，那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真包含于B3、集合相等元素相同则两集合相等，如果A⊆B同时B⊆A，那么A=B4、空集不含有任何元素的集合叫做空集，记为∅规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

5、集合的性质①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C③如果A B且B C，那么A C④有n个元素的集合，有2n个子集，1n个真子集2-随堂练习1、设{},62,8|=≤=a x x P 则下列关系中正确的是（ ）A.P a ⊆B.P a ∉C.{}P a ⊆D.{}P a ∈2、集合{}3,2,1=M 的真子集的个数是（ ）A.6B.7C.8D.93、设集合{}{},,|),(,,|22R x x y y x Q R x x y y P ∈==∈==则P 与Q 的关系是A.Q P ⊆B.Q P ⊇C.Q P =D.以上都不正确4、已知集合A {},7,3,2且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有A.3个B.4个C.5个D.6个5、已知集合{},12,3,1--=m A 集合{},,32m B =若,A B ⊆则.________=m6、设集合{}{},1212|,23|+≤≤-=≤≤-=k x k x B x x A 且,B A ⊇则实数k 的取值范围是.____________7、已知集合{}{},,01|,0158|2A B ax x B x x x A ⊆=-==+-=求实数a 的不同取值组成的集合.8、已知集合{}{},0))(1(|,31|=--=≤≤=a x x x B x x A（1）当集合B 是A 的子集时，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a 使得B A =成立？。

集合间的关系什么是集合间的关系？集合间的关系指的是两个或多个集合之间的关系。

在数学中，集合间的关系是一种可以描述不同集合之间联系的方式。

它可以用来表示集合间的相互影响，或者说集合间的特征性质的抽象概念。

一般来说，集合间的关系可以有四种：包含关系、相等关系、并集关系和交集关系。

1、包含关系(Containment Relationship)是指一个集合A包含另一个集合B时就形成了包含关系，即A⊂B。

如果A=B，则称两个集合相等。

此外，如果A⊂B，而B⊂A，则A=B。

2、相等关系(Equality Relationship)，当两个集合的元素完全相同时，则这两个集合就成为相等关系。

即A=B。

3、并集关系(Union Relationship)，当两个集合中的元素都可以找到时，则称两个集合形成并集关系，即A∪B。

4、交集关系(Intersection Relationship)，当两个集合中的元素都具有相同的特征时，则称两个集合形成交集关系，即A∩B。

上述四种关系是集合间关系的基本形式，但实际上，集合间的关系可以根据不同情况而发生变化。

例如，可以把集合A看作是集合B的子集，此时A⊆B，也就是A的元素都可以在B中找到。

也可以把集合A看作是集合B的超集，此时A⊇B，也就是B的元素都可以在A中找到。

此外，集合间的关系还可以根据不同的集合进行划分，例如有序集合、无序集合、离散集合、连续集合等。

最后，除了上述四种基本关系外，还有一些更复杂的关系，如偏序关系、拓扑关系、伴随关系、概率关系等。

它们可以用来描述两个或多个集合之间的更复杂的关系。

综上所述，集合间的关系可以用来描述不同集合之间的相互影响，或者说集合间的特征性质的抽象概念。

它可以有四种基本关系：包含关系、相等关系、并集关系和交集关系。

此外，还有一些更复杂的关系，如偏序关系、拓扑关系、伴随关系、概率关系等。

集合间的基本关系1.子集： 对于两个集合,A B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为 集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.规定：∅是任意集合的子集.A ⊇B 或B ⊆A ．B 可能有三种情况，B= Ø，A =B ，B ≠⊂A ．不可漏掉空集和自身！如果：A ⊇B ，B ⊇C ，有：A ⊇C ．集合具有包含传递性．2.真子集：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ）.∅是任意非空集合的真子集. 3.相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），此时，集合A与集合中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B .4.Venn 图：在数学上，我们经常用平面上封闭的曲线的内部表示集合，这种图称为Veen 图。

5.空集：Ø．注意，空集是集合，不是元素，不能和0元素混淆．空集是任何非空集合的真子集．所以有些集合，在无解或无意义时，满足空集的条件！6.记住以下结论：①有n 个元素的集合有n2个子集． ②有n 个元素的集合有n 2-1个真子集． 知识要点集合之间的关系③有n 个元素的集合有n2-1个非空子集． ④ 有n 个元素的集合有n 2-2个非空真子集． 集合的基本运算1. 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集， 记作A B （读作“A 并B ”），即{|,A B x x A =∈ 或}x B ∈．（1）包含全部A 、B 的元素，但不能重复．（2）部分元素属于A ，部分元素属于B ，也有同属于A 、B 的．（3）并集运算：A ∪B=B ∪A ；A ∪A=A ；A ∪Ø =A；若A ⊇B ，A ∪B=A ；若A ∪B=A ，A ⊇B ；A ∪B ⊇A ．2. 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈ 且}x B ∈．如果没有元素满足条件，则A ∩B= Ø．3. 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．4.补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作A 。

集合之间的基本关系知识点：1.“包含”关系—子集（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个A⊆（或B⊇Ａ）集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；注意：B（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)或若集合A⊆B，存在x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集。

③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n -1个真子集，2n -1个非空子集，2n -2个非空真子集.一、子集与真子集①包含关系的判断1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A解：“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.3．设集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x是不大于3的自然数}，A⊆C，B⊆C，则集合C 中元素最少有()A．2个B．4个C．5个D．6个解：A＝{－1,1}，B＝{0,1,2,3}，∵A⊆C，B⊆C，∴集合C中必含有A与B的所有元素－1,0,1,2,3，故C中至少有5个元素．11．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{矩形}，E＝{多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系是________．2.（一星）用适当的符号填空：⑴{1}___2-+={|320}x x x⑵{1,2}___2-+={|320}x x x⑶ {|2,}x x k k =∈N ___{|6,}x x ττ=∈N ⑷ ∅___2{R |20}x x ∈+=答案：（1）⊂；（2）=；（3）⊃；（4）=5.（一星）用适当的符号填空：{}()(){}|2,1,2____,|1x x x y y x =+≤ {|2x x ≤，⑶{}31|,_______|0x x x x x x x⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭R3.（一星）用适当的符号填空： ⑴ ___{0}∅ ⑵ 2___{(1,2)}⑶ 0___2{|250}x x x -+= ⑷ {3,5}____2{|8150}x x x -+= ⑸ {3,5}___N⑹ {|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z ⑺ {(2,3)}___{(3,2)}23.,___________.(1)3{3};(2)2{3};(3){1}{1,2,3}(4){1}{{1},{2},{1,2}}=≠∈∈（一星）以下表述中正确的有；答案：（2）（4）6.（二星）下列说法中，正确的是（ ） A ．任何一个集合必有两个子集； B ．若,A B =∅则,A B 中至少有一个为∅ C ．任何集合必有一个真子集； D ．若S 为全集，且,A B S =则A B S == 备注：空集、子集概念辨析1.判断下列两个集合之间的关系： （1）=A {}6,3,2,=B {}的约数是12x x ；（2）=A {}1,0，=B {}N y y x x ∈=+,122；（3）=A {}21<<-x x ，=B {}22<<-x x ； （4）=A (){}0,<xy y x ，=B (){}0,0,<>y x y x .2.指出下列各组集合之间的关系：（1）=A {}1,1-，=B ()()()(){}1,1,1,1,1,1,1,1----； （2）=A {}是等边三角形x x ，=B {}是等腰三角形x x ； （3）=M {}*,12N n n x x ∈-=，{}*,12N n n x x N ∈+==.7.{(,)||1||1|0}{(,)|10}_____.A x y x y B x y xy x y （三星）=-+-==--+=集合与集合的包含关系为答案：A B ⊂28.{|12,}{|_________.A x x a a a RB x y ==+-∈==（三星）设集合与集合的包含关系为答案：B A ⊂②空集的概念1.下列四个集合中，是空集的是( )A ．{0}B ．{x |x ＞8且x ＜5}C ．{x ∈N |x 2－1＝0}D ．{x |x ＞4}4.下列集合中是空集的是( )A ．{}332=+x x B ．(){}R y x x y y x ∈-=,,,2C ．{}02≥-xx D ．{}R x x xx ∈=+-,0123.给出下列命题：（1）空集没有子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若∅ÜA ，则≠A ∅.其中正确的个数是 个.1.（一星）下列四个命题：①Φ=｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集,其中正确的有（ ）B A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.（二星）若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ） A ．0X ⊆ B ．{}0X ∈ C ．X ∅∈ D ．{}0X ⊆φφφ∈∈==22.（一星）下列关系中正确的是().0.0{0}.0.{0}A B C D答案：B③找规律判断关系1111.|,,|,,6231|,.26n M x x m m Z N x x n Z p P x x p Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭（三星）指出下列集合之间的关系：答案：M N P ⊂=7．设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，求M 和N 关系.二、韦恩图9．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )解：由N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{－1,0}得，N M ，选B.12.（二星）设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）A BBA AB A BA ．B ．C ．D ．三、已知包含关系求参数范围 ①列举法相关6．集合B ＝{a ，b ，c }，C ＝{a ，b ，d }；集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C .则满足条件的集合A 的个数是( )A ．8B ．2C ．4D ．1解： ∵A ⊆B ，A ⊆C ，∴集合A 中的元素只能由a 或b 构成．∴这样的集合共有22＝4个．即：A ＝∅，或A ＝{a }，或A ＝{b }或A ＝{a ，b }．4.已知=A {}0822=--∈x x R x ，=B {}08222=--+-∈a a ax x R x ，B A ⊆,求实数a 的取值集合.5.已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且只有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．－1C ．0,1D ．－1,0,14．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵B ⊆A ，∴x 2∈A ，又x 2≠1∴x 2＝3或x 2＝x ，∴x ＝±3或x ＝0.故选C.6.已知集合{}m A ,1,4--=，集合{}5,4-=B ，若A B ⊆,则实数m = .②描述法相关9.（二星）设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若A B ，则a 的取值范围是______.17．已知A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}，当B ⊆A 时，求实数a 的取值范围．解：∵A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}＝{x |x <－a4}， ∵A ⊇B ，∴－a4≤－1，即a ≥4， 所以a 的取值范围是a ≥4.2110.{|||2},{|1},.2x A x x a B x A B a x -=-<=<⊆+（三星）设若，求实数的取值范围 答案：01a ≤≤1．已知集合M={x|﹣1＜x ＜2}，N={x|x ＜a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（ ）BA ．（2，+∞）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣1]2.已知集合=A {}21≤≤x x ，=B {}a x x ≤≤1 (1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围； (2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围； (3)若A ＝B ，求a 的取值范围．③端点的单独验证1.设集合{2135},{322}A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤，若集合A 是集合B 的真子集，求实数a 的取值范围。

1．1.2 集合间的基本关系一、子集1、定义：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含包含关系，称集合A 为集合B 的子集2、记法与读法：记作B A ⊆(或A B ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)3、结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.(2)对于集合A ，B ，C ，若A ⊆B ，且B ⊆C ，则C A ⊆4、对子集概念的理解(1)集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A 能推出x ∈B .例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A .此时记作A B 或B ⊉A .(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N ，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N ，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、集合相等的概念如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A =.2、对两集合相等的认识(1)若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A .这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A ⊆B ，但存在元素A x ∈，且B x ∈，我们称集合A 是集合B 的真子集2、记法与表示：3、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A .(2)若A 不是B 的子集，则A 一定不是B 的真子集.四、空集1、定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A ≠∅，则∅真包含A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}．题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是( B )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4题型二、有限集合子集的确定例2(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：{3}；集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}；集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合S共有7个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.[活学活用]1、已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2. (3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a } ∵A ⊆B ，如图所示， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．2、已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．(1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.(2)当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.(3)当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a ＝1或a ≤－1.课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是 ( B )A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C3．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析 ：∵B ⊆A ，B ＝{3,4}，A ＝{－1,3，m}∴m ∈A ，∴m ＝4.答案：44．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈N}的真子集的个数为________．解析：由题意得A ＝{0,1,2}，故集合A 有7个真子集．答案：75．已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)若A 是B 的真子集，即A B ，故a>2.(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2.(3)若A ＝B ，则必有a ＝2.课时跟踪检测(三) 集合间的基本关系一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A BD ．A B2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M PC．M＝P D．M P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．答 案课时跟踪检测(三)1．选D 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．2．选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .故选D.3．选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.4．选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0. ∴M ＝P .6．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴N M .答案：N M7．解析：由Venn 图可得AB ，CD B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.答案：{0,1，－1}9．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．10．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。

§1.2.1 集合之间的关系教材知识检索考点知识清单1.子集(1)定义：如果 ；那么集合A 叫做集合B 集合的子集。

(2)符号： ，读作： 。

2.真子集(1)定义：如．果集合A 是集合B 的子集，并且 那么集合A 叫做集合B 的真子集． (2>符号： ，读作： ． 3. 集合的相等(1)集合相等的定义：一般地，如果集合A 的 都是集合B 的元素，反过来，集合B 的 也都是集合强的元素，那么就说集合A 等于集合B ，记作____．(2)推论：如果 ，又 ，则A=B 反之．如果A=B ，则____且____． 4．韦恩图韦恩(Venn)图：通常用 表示一个集合，这个图形通常叫做韦恩图. 5．两个重要规定(1)空集是 的子集．(2)空集是 的真子集． 6．传递性根据子集、真子集的定义可以推知：(1)对于集合4、B 、C ，如果A ⊆ B ，B ⊆C ，则____．(2)对于集合A 、B 、C ，如果A ≠⊂B ，B ≠⊂C ，则 .要点核心解读1．准确理解子集、真子集的概念(1)空集是任何非空集合的真子集，即∅≠⊂A （A 是非空集合）； (2)任何集合都是它本身的 子集，即;A A ⊆(3)子集、真子集都有传递性，即若,,C B B A ⊆⊆则;C A ⊆⋅若A B B,≠⊂A ≠⊂则.C A ≠⊂2．集合相等的概念课本中是用B A ⊆“且A B ⊆则B A =”来定义集合相等的．其实，A 与B 非空且元素完全相同或时，都成立．课本中的定义实际上给出了一种证明两个集合相等的方法，即欲证,B A =只需证B A ⊆与A B ⊆都成立． 3．符号，，“⊆∈ ≠⊂” 的区分要注意区分，与“⊆∈⊆与≠⊂”“∈”表示元素与集合之间的从属关系，而“⊆”表示集合之间的包含关系，“⊆”与≠⊂均表示集合间的包含关系，但后者是前者“≠”情形时的包含关系。

4．“元素个数”与“子集个数”之间的关系 (1)列下表．①若},{a A =则其子集可以是},{,a ∅子集个数为2；②若},,{b a A =则其子集可以是},,{},{},{,b a b a ∅子集个数为4；③若},,,{c b a A =则其子集可以是},{},{},{,c b a ∅},,{},,{c a b a },,,{},,{c b a c b 子集个数为8；④若},,,,{d c b a A =则其子集可以是},{},{},{,c b a ∅},,{},{b a d },,{},,{da c a },,{},,{dbc b },,,{},,{c b ad c },,,{d b a },,,{},,,{d c b d c a },,,,{d c b a 子集个数为16.所以表格中依次填2、4、8、16. 综上所述，，集合中的元素个数每增加1个，其子集的个数变为原来的2倍， 其对应关系为： 元素个数 子集的数目1 221=2 21222=⨯3 32222=⨯4 43222=⨯(2)由(1)可以猜想：若集合中有n 个元素，其子集的个数应为n2个，其真子集的个数应为)12(-n 个．典例分类剖析考点1 求集合的子集或真子集[例1]已知集合M 满足},5,4,3,2,1{}3,2{⊆⊆M 求集合M ． [解析]，(1)当M 中舍有两个元素时，M 为};3,2{(2) 当M 中含有三个元紊时，M 为};5,3,2{},4,3,2{},1,3,2{(3)当M 中合有四个元素时 M 为},5,1,3,2{},4,1,3,2{};5,4,3,2{ (4)当M 中含有五个元素时：M 为}.5,4,1,3,2{所以满足条M 件集合M 为},1,3,2{},3,2{},4,3,2{},5,3,2{},4,1,3,2{},5,4,3,2{},5,1,3,2{},5,4,1,3,2{ 集合M 的个数为8．[点拨】 对于求集合的子集问题，一定要注意有两个集合比较特殊，即∅和集合本身．因此解决这类问题时.(1)要注意对符号h ⊆≠⊂的辨析．(2)合理使用分类讨论的思想，按集合元素的个数多少分类写出母题迁移 1．满足条件-⊆⊆=+22|{}01|{x x M x x }01=的M 为考点2 集合关系的判定[例2] 已知集合},,1|{2N a a x x M ∈+==集合==y y P |{},,222N b b b ∈++试问M 与P 相等吗？[解析] 设,P y ∈则1)12222++=++=b b b y （,,1,N a N b N b ∈∈+∴∈ 又 .,M p M y ⊆∈∴故 .1,1,0M x a ∈∴==时当而,,1)1(2222N b b b b y ∈++=++=,0≥∴b 即.2≥y,1P ∉∴故M 不是P 的子集．综上所述，.P M =/[点拨] 解答本题时，首先观察两个集合中函数式的结构特点．关键是要“变”（或“凑”）形式，即由”“222++b b 向+2a ”1的形式变化，再由Nb N a ∈∈,进行判断．母题迁移2．（2010年武汉调考题）已知集合{},)12(91A Z k k x x ∈+==},,9194|{z k k x xB ∈±==则集合A 、B 之间的关系为( )．A A .B ≠⊂ B B .A ≠⊂ B AC =. B AD =/. 考点3 集合相等问题[例3] 设集合,},,,{},,,1{2B A ab a a B b a A ===则a= =b , [解析] 由集合的相等关系，且均有元素a ，故有⎩⎨⎧==ab b a ,12或⎩⎨⎧==,,12a b ab 且.1,1=/=/b a .0,1=-=∴b a[答案]-10[点拨] (l ）两个集合的元素相 同.(2)注意集合内元素的互异性，为避免出错，常代回检验．母题迁移 3．已知三元素集合=-=B y x xy x A },,,{},|,|,0{y x 且,B A =求x 与y 的值，考点4 利用集合关系，求字母参数或取值范围[例4] 设},01|{},0158|{2=-==+-=ax x B x x x A 若,A B ⊆求实数a 组成的集合．[解析] ,A B ⊆即B 是A 的子集，只需求出A ，即可分类讨论解决． 由于,},5,3{A B A ⊆=(1)若;0,=∅=a B 则 (2)若,∅=/B 则,0=/a 这时有31,5131===a a a 即或或⋅=51a综上所述，由实数a 组成的集合为⋅}3,5,0{[点拨] 要解决本题，首先要搞清楚集合A 的元素是什么，然后根据,A B ⊆求a 的值．特别要注意讨论B 为⋅∅的情况，在A B ⊆中，含有∅=B 这种情况，解题时需注意，防止遗漏．在集会这一单元中含有丰富的分类讨论的内容，要增强分类讨论的意识，掌握分类的方法．母题迁移 4.(1)若集合 ==-+=B x x x A },06|{2},01|{=+mx x 且,A B ≠⊂求m 的值． (2)设集合+++==+=x a x x B x x x A )1(2|{},04|{22}.,012R a a ∈=-若,A B ⊆求实数a 的值．自主评价反馈考点知识清单1．(1)集合A 中任何一个元素都是集合B 的元素B A ⊆)2( A 包含于B2．(l)存在元素B x ∈且A x ∉B A ≠⊂)2(A 真包含于B3．(1)任何一个元素任何一个元素B A =B A ⊆)2( A B ⊆ B A ⊂ A B ⊂4．封闭图形5．(1)任何集合 (2)任何非空集合C A ⊂)1.(6 C A ≠⊂)2(母题迁移}1{}1,1{}1{.1或或或--∅2．C.0,,0.3A B A B ∈∴=∈∴ 集合A 为三元素集，,xy x =/∴.0=/∴x 又,0,,0=/∴∈∈y B y B 从而⋅==-y x y x ,0 这时，},|,|,0{},0,,{2x x B x x A ⋅==|,|2x x =∴则0=x （舍去）或1=x （舍去）或.1-=x经验证：1,1-=-=y x 是本题的解．4．(1)},2,3{}06|{2-==-+=x x x A自主评价反馈,A B ≠⊂当∅=B 时，0=m 适合题意；当∅=/B 时，方程01=+mx 的解为,1mx -= 则31-=-m 或,21=-m 31=∴m 或⋅-=21m综上可知，所求m 的值为⋅-2131,0R A B ⊆)2(可分为A B A B B =≠⊂∅=,,三种情况，而=A }.4,0{-当B A =时，},4,0{-=B 即 40-==x x 与是方程01)1(222=-+++a x a x 的两根，求得.1=a 当∅=B 时，方程01)1(222=-+++ a x a x 无解，由判别式.10)1(4)1(422-<⇒<--+=∆a a a当,A B ≠⊂且∅=/B 时．}0{=B 或},4{-=B 即方程01)1(222=-+++a x a x 有两个相等的实数根． 此时.10)1(4)1(422-=⇒=--+=∆a a a}0{=∴B 满足条件．综上所述，所求实数a 的取值为.11=-≤Ra a优化分层测试学业水平测试1. 在下列所给的五个关系式：①};0{≠⊂∅,1,2{}2,1,2{=-②}2-};2,1{}1{;∈③};3{)}3,3{(=④}{∅⑤{}012=++=x x x 中正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个 D.3个2.若集合},1,{},,3,1{2x B x A ==且,A B ⊆则满足条件的实数x 的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43.若集合},21|{<<=x x A 集合},0|{2>=x x B 则A B ．4.若集合},0|{},2,1{2=++==b ax x x B A 若,B A =则=a =b .5.判定下列集合之间的关系，用适当的符号表示它们的关系． (1){}{x x b z n n x z x =∈=∈=,,2A 是偶数}； (x x A |{)2=是平行四边形}，x x B |{=是正方形}； (3){}{};,,,22R x x y R y B R y x y R x A ∈=∈=∈-=∈(4){x x A =是奇数}，}.,14|{z n n x R x B ∈±=∈=6. 设集合{x x A =是三角形},{x x B =是锐角三角形},{x x c =是正三角形},指出A 、B 、C 三者之间的关系，并用韦恩图表示.高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分）1．下列各式中，正确的个数是( )．};0{=∅① };0{⊆∅② };0{∈∅③ };0{0=④ };0{0∈⑤ };3,2,1{}1{∈⋅⑥ };3,2,1{}2,1{⊆⑦ }.,{},{b a b a ⊆⑧1.A2.B3.C4.D2．设集合,)12(|{},,)12(1{ππ-==∈+==k x x N z k k x x M },z k ∈则M 、N 之间的关系为( )．N M A ≠⊂. N M B ⊇. N M C ⊆. N M D =.3．已知集合},2,1{=P 那么满足P Q ⊆的集合Q 的个数是( )．4.A 3.B 2.C 1.D4．（2010年江西南昌调研测试题）集合A S },5,4,3,2,1,0{=是S 的一个子集，当A x ∈时，若A x ∉-1 且,1A x ∉+则称X 为A 的一个“孤立元素”，那么 S 中无“孤立元素”的含有4个元素的子集个数是( )．A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 5．（2007年全国高考题）设,,R b a ∈集合=+},,1{a b a },,,0{b ab则=-a b ( )． 1.A 1.-B 2.C 2.-D6．（2010年天津高考题）设=∈<-=B R x a x x A },,1|||{},,2|||{R x b x x ∈>-若,B A ⊆则实数a,b必满足( )．3||.≤+b a A 3||.≥+b a B 3||.≤-b a C 3||.≥-b a D7．已知a 为不等于零的实数，那么集合=M },01)1(2|{2R x x a x x ∈=++-的子集的个数为( )．A ．1B ．2C ．4D ．1或2或 48．（2008年四川高考题）集合A A },1,0,1{-=的子集中含有元素O 的子集共有( )． A ．2个 B.4个 C.6个 D.8个 二、填空题（5分x4=20分）9．设},123|),{(},23|),{(,=--=-=-=∈x y y x B x y y x A R y x 、则A 、B 的关系是 10.已知集合=∈+==⊂C z k k x x B B A },,214|{,},,418|{z k k x x ∈+=那么集合A 与C 的关系为11．设},0|{},21|{<-=<<=a x x B x x A 若B A ≠⊂则a 的取值范围是12.已知集合},12,3,1{--=m A 集合},,3{2m B =若,A B ⊆则实数m=三、解答题（10分×4 =40分）13．设数集},,1{},,2,1{2a a B a A -==若,B A ⊇求实数a 的值．14.已知集合},112|{.},43.|{4+≤≤-=≤≤-=m x m x B x x 且,A B ⊂求实数m 的取值范围．15．已知集合++-==+-=x m x x B x x x A )1(|{},023|{22}.0=m(1)若,A B ≠⊂求m 的值组成的集合P ； (2)若,A B ⊂求m 的值组成的集合Q ．16.已知集合|{},03|{2R x Q b x x R x P ∈==+-∈=}.0)43()1(22=-++x x x (1)若,∅=P 是否存在集合M ，使得?Q M P ⊆≠⊂求出这样的集合M;(2)P 是否能成为Q 的一个子集？若能，求出b 的取值或取值范围；若不能，说明理由．。

集合间的基本关系一、子集、空集等概念的教学：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =；（2）{}C =新华一中高一 班全体女生，{}D =新华一中高一 班全体学生；（3）{|}E x x =是两条边相等的三角形，{}F x x =是等腰三角形1．子集的定义：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。

记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B ⊆2. 集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ⊆⊆且，则A B =。

如（3）中的两集合E F =。

3. 真子集定义：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。

记作： A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）4. 空集定义：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅。

用适当的符号填空： ∅ {}0； 0 ∅； ∅ {}∅； {}0 {}∅重要结论：（1） 空集是任何集合的子集；（2） 空集是任何非空集合的真子集；（3） 任何一个集合是它本身的子集；（4） 对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆。

说明：1． 注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；2． 在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

三、例题讲解：例1．若集合{}{}260,10,A x x x B x mx =+-==+= B A ，求m 的值。