转化与化归思想方法

化归与转化的思想方法随着教育事业的发展，数学教育改革的逐步深入，尤其是在数学新课程标准中十分注重培养学生的思想方法，培养学生应用数学解决问题的能力。

化归作为重要的数学思想方法，在数学教育中加强对化归思想的教育已成为十分重要的工作，这里，我仅就化归思想的核心及其在生活中的作用等问题作一些初步探讨。

一、历史背景化归与转化的思想简介匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的.有人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做?”对此，某人回答说:“在壶中灌上水，点燃煤气.再把壶放在煤气灶上.”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道:“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说:“点燃煤气，再把水壶放上去.”但是更让人出乎意料的答案出现了。

数学家会回答：“把水倒掉，方法同上。

”一个有趣的笑话精辟的道出化归的方法的精髓。

二、化归与转化的含义在历史上曾经有不少数学家从各种不同的角度对化归方法作过论述。

例如，笛卡尔曾经提出如下的“万能方法”：①把任何问题都化归为数学问题；②把任何数学问题都化归为代数问题；③把任何代数问题都化归方程式的求解。

由于求解方程的问题被认为是已经能解决的（或者说，是比较容易解决的），因此笛卡尔认为利用这样的方法可解决各类型的问题。

显然他的这一结论并不正确，所谓的“万能方法”也根本不存在，笛卡尔所给出的这一模式毕竟可视为化归方法的一个具体运用，从而产生过具有重要意义的成果。

事实上，笛卡尔创立解析几何学，正是这种重要成果的生动体现。

化归法的一般模式，其形式如下图[4]：转换未知问题（复杂）已知问题（简单）已知理论、方法、技巧解答解答化归与转化就是将待解决或未解决的问题，通过转化归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容易解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决。

数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。

通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。

转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。

下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。

首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。

它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。

等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。

一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。

在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。

其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。

代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。

代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。

代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。

几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。

几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。

几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。

最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。

枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。

枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。

然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。

综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。

例谈转化与化归的思想方法
例谈转化与化归的思想方法是一种理论，旨在将事物归结为不同
的元素，并以此来理解它们之间的关系和内在联系。

其中，例谈转化
是指从一般的概念出发而不断深入讨论的过程，以达到更广泛的认识。

而化归则是从一般到特殊、从特殊到一般的一种思考方法。

首先，例谈转化以具体例子入手，比如数学中的实例，可以以此
作为我们学习概念的基础，进一步深入探讨，由具体到抽象，最终把
它提升到一般的概念，从而得到更加宏观的认识。

其次，化归的方法也可以帮助我们理解事物，从而使我们对复杂
的概念有更清晰的认识。

化归可以划分为从一般到特殊和从特殊到一
般的思考方法。

从一般到特殊的方法我们可以通过聚焦特定领域，把
抽象的概念引入具体的实例，以便更深入地理解。

而从特殊到一般的
思考方法则与前者相反，在这种方法中，我们可以根据特定的实例，
把具体的概念引入抽象的概念，从而掌握概念的宏观结构。

例谈转化与化归的思想方法在各种学科和领域都有应用，可以帮
助我们理解事物，从而更好地推动知识的发展。

首先，例谈转化可以
帮助我们理解抽象的概念，从实例出发，深入探讨，归纳出更宏观的
概念。

而化归则可以帮助我们理解复杂的概念，从一般到特殊，从特
殊到一般，把具体的概念理解为抽象的概念，从而更好地掌握它们之
间的联系。

数学思想方法专题专题四：转化与化归思想化归思想方法：在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段或方法将问题通过变换使之转化，进而达到使问题解决的一种方法。

在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化为一个新问题，通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的。

转化思想方法：是实现问题的规范化、模式化以便应用已知的理论、方法和技巧，达到问题的解决。

转化与化归的原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）直观化原则；（4）正难则反原则。

常见的转化方法：（1）直接转化法；（2）换元法；（3）数形结合法；（4）等价转化法；（5）特殊化方法；（6）构造法； （7）坐标法；（8）类比法； （9）参数法； （10）补集法。

一、例题讲解1、（2007年江苏）在平面直角坐标系xO y 中，已知A B C ∆的顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆221259xy+=上，则sin sin sin A CB+=2、设12lo g 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ ） A 、a b c <<B 、c b a <<C 、c a b <<D 、b a c <<3、（2010年天津）如图，在A B C ∆中，A D A B ⊥，B C D =，1A D =，则AC AD ⋅= （ ）A 、B 2C 3D4、已知椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k ()0k >的直线与C 相交于A 、B 两点，若3A F F B =，则k =（ ）A 、1BCD 、25、如图，已知球O 的表面上四点A 、B 、C 、D ，D A ⊥平面A B C ，A B ⊥B C ，D A A B B C ===，则球O 的体积等于数学思想方法专题四：转化与化归思想练习1、（2006年辽宁）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cos α=2、已知224x y +=，则2x y +的取值范围是3、若存在过点()1,0的直线与曲线3y x =和21594y a x x =+-都相切，则a 等于A 、1-或25-64B 、1-或214C 、74-或25-64D 、74-或7。

转化与化归思想方法,就就是在研究与解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决得一种方法、一般总就是将复杂得问题通过变换转化为简单得问题,将难解得问题通过变换转化为容易求解得问题,将未解决得问题通过变换转化为已解决得问题、转化与化归思想在高考中占有十分重要得地位，数学问题得解决,总离不开转化与化归,如未知向已知得转化、新知识向旧知识得转化、复杂问题向简单问题得转化、不同数学问题之间得互相转化、实际问题向数学问题转化等、各种变换、具体解题方法都就是转化得手段,转化得思想方法渗透到所有得数学教学内容与解题过程中、1、转化与化归得原则(1)熟悉化原则:将陌生得问题转化为熟悉得问题,以利于我们运用熟知得知识、经验来解决、(２)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题, 通过对简单问题得解决，达到解决复杂问题得目得，或获得某种解题得启示与依据、(3)直观化原则:将比较抽象得问题化为比较直观得问题来解决、（4)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题得反面,设法从问题得反面去探讨,使问题获解、2、常见得转化与化归得方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化就是解决问题得有效策略,同时也就是成功得思维方式、常见得转化方法有:(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题、(2）换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂得函数、方程、不等式问题转化为易于解决得基本问题、(3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式（图形)关系,通过互相变换获得转化途径、（4）等价转化法:把原问题转化为一个易于解决得等价命题,达到化归得目得、(5)特殊化方法:把原问题得形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后得问题、结论适合原问题、随着国家经济得发展,科技得发达，人才得需求,中国教育得改革,数学新课标得出现,在对学生得知识与技能,数学思想及情感与态度等方面得要求，学生在数学得学习方法也应该要相应改变了,要满足社会得需要、化归与转化思想得实质就是揭示联系,实现转化、除极简单得数学问题外,每个数学问题得解决都就是通过转化为已知得问题实现得、从这个意义上讲,解决数学问题就就是从未知向已知转化得过程,同时在生活中许许多多得事情也需要往已知得方面转化,把事情简单化,这对以后学生得能力与德育方面有很大得帮助、化归与转化得思想就是解决数学问题得根本思想，解题得过程实际上就就是一步步转化得过程、数学中得转化比比皆就是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识得转化,命题之间得转化,数与形得转化,空间向平面得转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式得转化,函数与方程得转化等,都就是转化思想得体现、新得教学体制得出现, 化归与转化得思想将就是贯穿整个中学教学得一种主要得思想，所以在教学过程中要把这种思想溶入进去，让学生体会个中得精髓、关健词化归;转化；分析;联想１、化归与转化解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当得数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉得问题)，通过新问题得求解,达到解决原问题得目得,这一思想方法我们称之为“化归与转化得思想方法”、化归与转化思想得核心,就是以可变得观点对所要解决得问题进行变形,就就是在解决数学问题时，不就是对问题进行直接进攻,而就是采取迂回得战术,通过变形把要解决得问题,化归为某个已经解决得问题、从而求得原问题得解决、它得基本形式有:化未知为已知，化难为易,化繁为简，化曲为直等等、化归与转化得思想也不就是随时能用,或随便用得，它需要遵循一定得原则,从而达到转化得正确性，实现这种思想得作用、下面我就来谈谈我对这种方法得理解、2.化归与转化得原则化归与转化思想得实质就是揭示联系,实现转化、转化有等价转化与非等价转化,等价转化得作用就不用说,而不等价转换，如果没明确得附加条件,那就失去它得价值了、所以化归与转化就需要遵循一定得原则:2、1熟悉化原则:将陌生得问题转化为熟悉得问题,以利于我们运用熟知得知识、经验与问题来解决、除了及少数得原始知识外，整个中学得数学知识得学习就就是在实现转化为旧得知识而得到得、例如:学二元一次方程就用化元法转化为一元一次方程;学一元二次方程用降幂法转化为一元一次方程;函数与方程之间得转化等等、2、2简单化原则:将复杂得问题化归为简单问题,通过对简单问题得解决,达到解决复杂问题得目得,或获得某种解题得启示与依据、这个原则大部分学生都知道,她们都会想把问题简单化,达到求解得过程、这个原则可以在无以记数得数学简便方法中体现出来、2、3与谐化原则：化归问题得条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示得与谐得形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们得思维规律、也就就是说整个转化得过程中,要符合思维规律,虽然思维可以多样化,可以无以为边得想象,但也要能被人接受并能理解、体现出现在国家倡导得与谐社会、2、4直观化原则:将比较抽象得问题转化为比较直观得问题来解决、这个主要在函数与图象得联系中体现出来、把某些枯燥乏味得代数问题转化为图形来解决，能直观得解决问题、２、5正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题得反面，设法从问题得反面去探求,使问题获解、反证法得应用把这个原则表现得淋漓尽致,学生能理解到其中得精髓可就是可以受用无穷得，包括在生活中得应用、2、6 现实化原则:所学所用所理解得道理要用于社会实践,同时要满足社会人才得需求、3.化归与转化得方法化归与转化得方法,在千变万化得题目中,方法也各不相同,也无以统计,这里就只讲解几中常用,学生也容易理解得、3、1 直接转化法：直接把新得知识转化为前续知识、这个在讲解新课得时候,尽量让学生去体会,让她们能自己解决新得问题,获取新得知识,接着把新得知识吸收,继续解决新得问题、３、2 构造法：这个就是个重要得方法,有不少题目,不能直接解决与转化,缺少了媒介，让不少学生无从下手,这时就需要构造一个数学情境，建立一个数学模型,把问题溶入进去,使问题简单化,直观化,从而达到求解得过程、3、3 数与形得转化：这个主要用于函数问题得解答与某些图型中得某些量得关系、数形结合就是数学学习得一种重要得思想、3、４换元法：这个重要就是把一些繁杂得，但又有重复性得题目简单化,更直观、这个主要用于方程得解答、3、5 相等与不相等之间得转化：这个主要用与不等式得证明与函数区间、3、６实际问题与数学理论得转化：理论联系实际得一种方法、也就是学生情感方面得培养、3、7 特殊与一般之间得转化：公式法解一元二次方程就就是把特殊得一般化了、同时也可以说把具体得抽象化了、3、8 数学各分支之间得转化：数学本来就就是一个连贯得整体,把各分支有机得联系起来,让人感到它得魄力、同时也能解决数学以外得我问题、５总结提炼数学新课标要求学生不仅要学会知识,还要能用所学得知识解决新问题,并能总结归纳,化为新得知识并接受,这样才能满足社会人才得需求、化归与转化就就是将待解决或未解决得问题,通过转化归结为一个已经能解决得问题,或者归结为一个比较容易解决得问题,或者归结为一个已为人们所熟知得具有既定解决方法与程序得问题,最终求得原问题得解决、懂得化归与转化得基本方向就是简单化、熟悉化、与谐化、化归与转化需要广泛与灵活得联想,联想得基础就是扎实得基础知识、基本技能与基本方法、熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能与基本方法就是转化得基础;丰富得联想、机敏细微得观察、比较、类比就是实现转化得桥梁;培养训练自己自觉得化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上得深刻理解与对典型习题得总结与提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间得本质联系、为了实施有效得化归,既可以变更问题得条件，也可以变更问题得结论，既可以变换问题得内部结构,又可以变换问题得外部形式，既可以从代数得角度去认识问题,又可以从几何得角度去解决问题、。

新高考数学大一轮复习专题：第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．方法一 特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．例1 (1)(2020·青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9B ．x 2＋y 2＝7 C ．x 2＋y 2＝5D ．x 2＋y 2＝4 答案 B 解析 因为椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12， 所以1a ＋1＝12，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2，所以两条切线的交点坐标为(2，3)，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋32＝7，所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C等于( )A.45B.15C.35D.25 思路分析 求cos A ＋cos C 1＋cos A cos C→考虑正三角形ABC 的情况 答案 A 解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝12＋121＋12×12＝45. 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.方法二 命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．例2 (1)由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2 思路分析 命题：存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0是假命题→任意x ∈R ，e |x －1|－m >0是真命题→m <e |x －1|恒成立→求m 的范围→求a答案 C解析 由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，e |x －1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．思路分析 g x 在t ，3上总不为单调函数→先看g x 在t ，3上单调的条件→补集法求m 的取值范围答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. 所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.方法三 函数、方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y ＝f (x )的图象性质可以确定方程f (x )＝0，不等式f (x )>0和f (x )<0的解集．例3 (2020·全国Ⅱ)若2x －2y <3－x －3－y ，则( )A ．ln(y －x ＋1)>0B ．ln(y －x ＋1)<0C ．ln|x －y |>0D ．ln|x －y |<0 答案 A解析 ∵2x －2y <3－x －3－y ，∴2x －3－x <2y －3－y. ∵y ＝2x －3－x ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上单调递增， ∴x <y ，∴y －x ＋1>1，∴ln(y －x ＋1)>ln1＝0.例4 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……) (1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 思路分析 g x 的极值→ln x <x －1→赋值叠加证明结论(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)， ∴g ′(x )＝1x－1(x >0)． 令g ′(x )>0，解得0<x <1；令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)．取t ＝1n(n ∈N *)时， 则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×43×…×n ＋1n ＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值值域问题，从而求出参变量的范围.。

化归与转化一、化归与转化其实所谓化归思想，一般就是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。

数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。

二、典型例题例1．）在平面直角坐标系xoy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+.求点M 的轨迹方程.[解析] 在求得曲线C 的方程)0,0(1422>>=+y x y x 后，将其转化为函数)10(122<<-=x x y 的图像来认识，通过导数得y '=－2x1－x 2设P(x 0,y 0)，因P 在C 上,有0<x 0<1, y 0=21－x 02 , y '|x=x0= －4x 0y 0,得切线AB 的方程为: y=－ 4x 0y 0 (x －x 0)+y 0。

于是得A(1x 0，0)和B(0，4y 0)，设M(x ，y)，由O M O A O B =+ 得：x=1x 0，y=4y 0，所以xx 10=，y y 40=，代入142020=+y x 得点M 的轨迹方程为: 1x 2 + 4y 2 =1 (x>1,y>2)。

[点评] 此题表面上为解析几何的试题，看似与函数无关，因此很容易想到用解析法确定椭圆切线方程的方法，这样就会陷入繁杂的计算之中，事实上，联想到函数切线的几何意义以后，将问题转化到函数的导数，问题得到了大大简化。