从傅里叶变换到快速傅里叶变换的基本实现方法

快速傅立叶变换（FFT ）的实现一、实验目的1.了解FFT 的原理及算法；2.了解DSP 中FFT 的设计及编程方法；3.熟悉FFT 的调试方法；二、实验原理FFT 是一种高效实现离散付立叶变换的算法，把信号从时域变换到频域，在频域分析处理信息。

对于长度为N 的有限长序列x (n )，它的离散傅里叶变换为：(2/)j N nk N W e π-=，称为旋转因子，或蝶形因子。

在x (n )为复数序列的情况下，计算X (k )：对某个k 值，需要N 次复数乘法、(N -1)次复数加法；对所有N 个k 值，需要2N 次复数乘法和N (N -1)次复数加法。

对于N 相当大时（如1024）来说，直接计算它的DFT 所作的计算量是很大的，FFT 的基本思想在于： 利用2()j nk N N W e π-=的周期性即：k N k N N W W +=对称性：/2k k N N N W W +=-将原有的N 点序列分成两个较短的序列，这些序列的DFT 可以很简单的组合起来得到原序列的DFT 。

按时间抽取的FFT ——DIT FFT 信号流图如图5.1所示：图5.1 时间抽取的FFT —DIT FFT 信号流图FFT 算法主要分为以下四步。

第一步 输入数据的组合和位倒序∑=-=10)()(N n nk N W n x k X把输入序列作位倒序是为了在整个运算最后的输出中得到的序列是自然顺序。

第二步 实现N 点复数FFT第一级蝶形运算；第二级蝶形运算；第三级至log2N 级蝶形运算；FFT 运算中的旋转因子N W 是一个复数，可表示：为了实现旋转因子N W 的运算，在存储空间分别建立正弦表和余弦表，每个表对应从0度到180度，采用循环寻址来对正弦表和余弦表进行寻址。

第三步 功率谱的计算X (k )是由实部()R X k 和虚部()I X k 组成的复数：()()()R I X k X k jX k =+；计算功率谱时只需将FFT 变换好的数据，按照实部()R X k 和虚部()I X k 求它们的平方和，然后对平方和进行开平方运算。

快速傅里叶变换发展史快速傅立叶变换(FFT)个人日记2010-04-16 12:24:48 阅读163 评论0 字号：大中小订阅近十多年来数字信号处理技术同数字计算机、大规模集成电路等先进技术一样，有了突飞猛进的发展，日新月异，已经形成了一门具有强大生命力的技术科学。

由于它本身具有一系列的优点，所以能有效地促进各工程技术领域的技术改造和学科发展，应用领域也更加广泛、深入，越来越受到人们的重视。

在数字信号处理中，离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)是常用的变换方法，它在各种数字信号处理系统中扮演着重要的角色。

傅里叶变换已有一百多年的历史了，我们知道频域分析常常比时域分析更优越，不仅简单，且易于分析复杂信号。

但用较精确的数字方法，即DFT进行谱分析，在FFT出现以前是不切实际的。

这是因为DFT计算量太大。

直到1965年出现了DFT]运算的一种快速方法以后，情况才发生了根本的变化。

快速傅里叶变换〔Fast Fourier Transfonn,FFT〕并不是与离散傅里叶变换不同的另一种变换，而是为了减少DFT计算次数的一种快速有效的算法。

当时Garwin在自己的研究中极需要一个计算傅立叶变换的快速方法，而正在写有关傅里叶变换的文章，Tukey概括地对Garwin介绍了一种方法，它实质上就是后来著名的Cooley-Tukey算法。

在Garwin的迫切要求下，1963年，IBM公司的Cooley根据Tukey的想法编写了第一个FFT算法程序。

在FFT算法中，Tukey主要利用了旋转因子的周期性和对称性。

这两个性质使DFT运算中的某些项可以合并，使DFT运算尽量分解为更少点数的DFT运算。

因为DFT的运算量与Pow(N,2)成比例，所以如果将一个大点数的DFT分解为若干个小点数的DFT 的组合，将有效地减少运算量。

Cooley在计算机上实现该算法时，为节省存储空间和减少寻址时间，采用了3维标号映射方法和在算法内部的循环结构，这些结构和技巧对后来的FFT算法研究及实现同样产生了很大影响。

傅里叶级数到傅里叶变换的推导过程1傅里叶级数和傅里叶变换的概念傅里叶级数和傅里叶变换都是描述信号的频域特性的数学工具。

在介绍它们两个之间的关系之前，先介绍一下它们各自的概念。

傅里叶级数是指把一个周期信号表示为一系列不同频率的正弦波的叠加。

具体的说，如果一个周期为T的信号x(t)可以表示为如下的级数：$$x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(\frac{2\pi n}{T}t\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi n}{T}t\right)\right]$$其中，$a_0$是信号的平均值，$a_n$和$b_n$分别是信号在频率为$n/T$和$-n/T$处的振幅和相位。

傅里叶级数中出现的每一个正弦波都被称为信号的一个频率分量或者傅里叶系数。

傅里叶变换是一种将信号转换到频域的方法。

它的基本思想是把一个非周期信号表示为无数个不同频率的正弦波的叠加。

具体的说，如果一个信号x(t)的傅里叶变换为$X(j\omega)$，则：$$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$$其中，$j$是虚数单位，$\omega$是频率。

傅里叶变换中的$X(j\omega)$表示信号在频率为$\omega$处的振幅和相位，也被称为信号的频谱。

2傅里叶级数和傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换的关系可以用极限的概念来描述。

具体的说，傅里叶变换可以看作是傅里叶级数在频率连续、周期趋于无穷的情况下的一种极限表达形式。

为了更好地理解这个关系，我们可以先从傅里叶级数开始推导。

假设一个周期为T的信号x(t)的傅里叶系数为$a_n$和$b_n$，则有：$$a_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)\cos\left(\frac{2\pi n}{T}t\right)dt,\quad b_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)\sin\left(\frac{2\pin}{T}t\right)dt$$将傅里叶级数中的$a_n$和$b_n$代入，可以得到：$$x(t)=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=-N}^{N}\left[\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(\tau)e^{-j\frac{2\pin}{T}\tau}d\tau\right]e^{j\frac{2\pi n}{T}t}$$这个式子就是傅里叶级数的频域表达形式，其中的求和符号表示对所有不同的$n$值求和，而求和的范围在$-N$到$N$之间。

快速傅里叶变换原理快速傅里叶变换，这听起来是不是就很有科技感？就像那种在科幻电影里才能听到的神秘术语。

其实啊，它并没有那么难以理解，只要听我慢慢道来。

咱们先说说傅里叶变换是啥。

你看啊，生活中有各种各样的声音、图像啥的。

就好比一群小朋友在操场上玩耍，每个小朋友都有自己的活动轨迹和动作，特别杂乱无章。

而傅里叶变换呢，就像是一个超级魔法，能把这些看似杂乱的东西分解成一个个简单的“小元素”。

对于声音来说，就是把复杂的声波分解成不同频率的简单声波；对于图像呢，就是把复杂的图像信号分解成不同频率的信号。

这就好像把一群小朋友按照他们的某种特征，比如按照跑步速度或者跳绳个数分成一个个小组一样，一下子就变得有条理多了。

那快速傅里叶变换又是怎么回事呢？这就像是给傅里叶变换这个魔法加了个加速器。

原本傅里叶变换要做很多很多复杂的计算，就像你要数清操场上每个小朋友在每一秒做了什么动作，那得花老长时间了。

快速傅里叶变换就聪明多了，它利用了一些数学上的小技巧，就像找到了一条捷径。

比如说，你要从家去学校，正常走大路可能要绕好几个弯，花费很长时间，但是你发现了一条小路，直接就能到学校，快速傅里叶变换就是找到了这个计算的“小路”。

从数学的角度来讲，它主要是利用了复数和离散的概念。

复数这个东西啊，就像是给数字加上了一个神秘的翅膀。

你知道实数吧，就像我们平常数的1、2、3，那复数呢，就像是给这些实数找了个小伙伴，让它们变得更强大。

离散呢，就好比把连续的东西分成一段一段的。

就像把一根长长的面条切成一段一段的小段，这样就更容易处理了。

快速傅里叶变换就是在这个离散的、复数的世界里，巧妙地进行计算，快速地把复杂的信号分解成简单的频率成分。

快速傅里叶变换在很多地方都超级有用。

比如说在音乐处理上。

你有没有想过，当你在听歌的时候，那些均衡器可以调整高音、低音啥的，这背后就有快速傅里叶变换的功劳。

它就像一个音乐大师的小助手，把音乐里不同频率的声音分出来，这样你就可以根据自己的喜好来调整了。

快速傅里叶变换FFT原理及源程序快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的算法。

在信号处理、图像处理、通信等领域中广泛应用。

它的原理基于傅里叶变换的线性性质和周期性质，通过分治的思想将傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算的效率。

下面是FFT算法的一种实现：1.假设需要计算N点离散傅里叶变换（DFT），将N分解为N=N1*N2，其中N1和N2都是正整数。

这里采用的分解方法是使得N1为2的幂次，N2为能被2整除的数。

2.将原始序列x[n]的下标按照奇偶分为两组，分别得到x1[n]和x2[n]。

3.对x1[n]和x2[n]分别进行N1点的DFT计算，得到X1[k]和X2[k]。

4. 根据蝴蝶（Butterfly）算法，将得到的X1[k]和X2[k]重新组合成X[k]，具体操作如下：- 对于每一个k，X[k] = X1[k] + W_Nk * X2[k]，其中W_Nk是旋转因子，满足W_Nk = exp(-i * 2 * π * k / N)，i是虚数单位，π是圆周率。

-对于每一个k，X[k+N/2]=X1[k]-W_Nk*X2[k]。

5.重复步骤2至4，直到计算完成。

最终得到的X[k]就是原始序列x[n]的N点DFT。

下面是一个简单的FFT的源程序（使用Python实现）：```pythonimport cmathdef fft(x):N = len(x)if N == 1:return xeven = fft(x[0::2])odd = fft(x[1::2])X=[0]*Nfor k in range(N // 2):W_Nk = cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / N) X[k] = even[k] + W_Nk * odd[k]X[k + N // 2] = even[k] - W_Nk * odd[k] return X#测试示例x=[0,1,2,3,4,5,6,7]X = fft(x)print(X)```。

FFT 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform) 是一种用于快速计算傅里叶变换的算法，是在傅里叶变换的基础上发展而来的。

FFT 算法被广泛应用于数字信号处理、图像处理、声音处理、卷积操作、解析几何等领域，它的高效性和实时性使得它成为了当今计算机科学领域不可或缺的一部分。

一、傅里叶变换简介傅里叶变换是将一个时域信号转换为频域信号的过程，其公式如下：$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$其中，$f(t)$ 表示时域信号，$F(\omega)$ 表示频域信号，$\omega$ 表示角频率。

傅里叶变换可以分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种。

连续傅里叶变换仅适用于连续信号，而离散傅里叶变换适用于离散信号。

二、离散傅里叶变换离散傅里叶变换是一种将离散信号变换为频域信号的方法，其公式如下：$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn},k=0,1,...,N-1$其中，$x_n(n=0,1,...,N-1)$ 表示原始离散信号，$X_k(k=0,1,...,N-1)$ 表示变换后的频域信号。

但是，使用该公式直接计算离散傅里叶变换的时间复杂度为$O(N^2)$，计算效率低下。

三、FFT 快速傅里叶变换FFT 快速傅里叶变换是一种基于DFT 离散傅里叶变换的高效算法，它的时间复杂度可以达到$O(NlogN)$，较之直接计算DFT 的时间复杂度要低得多。

FFT 算法的基本思想是将 DFT 分治成多个较小的 DFT，并利用其重复性降低运算次数。

1.蝴蝶运算蝴蝶运算是 FFT 算法的基本运算，通过它可以将 DFT 的计算复杂度降低为 $O(N)$。

蝴蝶运算的实质是将两个相邻点之间的信号进行乘法和加法运算，其公式如下：$X_k=X_{k1}+W_{N}^kX_{k2},X_{k+N/2}=X_{k1}-W_{N}^kX_{k2}$其中，$X_{k1}$ 表示 $X_k$ 中偶数项，$X_{k2}$ 表示 $X_k$ 中奇数项，$W_N$ 是DFT 的核函数。

快速傅里叶变换FFT算法及其应用_————快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的算法，广泛应用于信号处理、图像处理、语音识别、音频压缩等领域。

它的优点是能够大幅度减少计算量，提高算法的运行速度。

FFT算法的核心思想是将复杂度为O(n^2)的DFT（离散傅里叶变换）转化为复杂度为O(nlogn)的运算。

它通过利用分治的思想，将一个规模为n的DFT分解为多个规模为n/2的子问题，然后再将子问题进一步分解，最终得到一系列规模为1的问题，即基本DFT。

然后通过计算每个基本DFT的结果，再经过一系列合并操作，得到最终的DFT结果。

FFT算法的步骤如下：1.将输入的序列进行位逆序排列。

通过位逆序排列可以将基本DFT的计算顺序优化成一定的规律，方便后续的计算。

2.对序列进行迭代式的分解和合并操作。

首先将序列拆分成两个长度为n/2的子序列，然后对子序列进行递归的FFT计算，再将两个子序列合并为一个序列的DFT结果。

3.重复以上步骤，直到计算得到最终的DFT结果。

FFT算法的应用非常广泛。

以下是一些常见的应用场景：1.信号处理：FFT算法在信号处理中广泛应用于频谱分析、滤波器设计、波形合成等方面。

它可以将信号从时间域转化到频域，方便分析信号的频谱特性。

2.图像处理：在图像处理中，FFT算法常用于图像增强、去噪、边缘检测等方面。

通过将图像转换到频域，可以更好地处理图像中的频域信息。

3.音频压缩：FFT算法在音频压缩中起到了至关重要的作用。

通过将音频信号转换到频域，可以将音频信号中的冗余信息去除，以达到音频压缩的目的。

4.语音识别：在语音识别中，FFT算法用于提取语音信号的频谱特征，以便进行语音识别算法的进一步处理。

5.通信系统：FFT算法在OFDM（正交频分复用）通信系统中得到了广泛的应用。

通过将信号转换到频域，可以减小不同子载波之间的干扰，提高通信系统的容量和可靠性。