江西省2019年中考数学复习第3单元第13课时反比例函数教案

第三单元函数及其图像第13课时反比例函数教学目标【考试目标】1.了解反比例函数的意义，根据已知条件确定反比例函数的表达式；会用待定系数法求函数的表达式；2.会画反比例函数的图象，根据反比例函数的图象性质和解析表达式理解其性质；【教学重点】1.了解反比例函数的概念，以及反比例函数解析式的变形.2.掌握反比例函数的图象与性质.3.掌握用待定系数法求反比例函数的解析式.4.熟悉反比例函数与其他几何图形结合.教学过程一、体系图引入，引发思考二、引入真题，深化理解【例1】（2019年锦州）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax-a 与反比例函数 （a ≠0）的图象可能是 （C ）【解析】此题中a 的符号不确定，所以要进行分类讨论才能解决此题.当a ＞0时，一次函数y=ax-a 图象必过一、三象限，反比例函数 在一、三象限内，故可以排除A 选项.∵a ＞0，∴-a ＜0，∴一次函数y=ax-a 图象与y 轴交点在原点下方，所以B 不符合题意，C 符合题意.当a ＜0时，一次函数y=ax-a 图象必过二、四象限，反比例函数 图象也在二、四象限，并且-a ＞0，所以一次函数y=ax-a图象与y 轴交点在原点上方，所以D 选项不符合题意，故选择C 选项.【考点】考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，利用分类讨论的思想便于解题.【例2】（2019年龙东地区）已知反比例函数 ，当1＜x ＜3时，y 的最小整数值是 （A ）A.3B.4C.5D.6【解析】∵6＞0，∴该反比例函数在1＜x ＜3单调递减，此时y 的范围为2＜y ＜6.∴y 的最小整数值是3.故选择A.【考点】考查了反比例函数的增减性.掌握了反比例函数的增减性，此题不难解出.【例3】（2019年通辽）如图，点A 和点B 都在反比例函数 的图象上，且线段AB 过原点，过点A 作x 轴的垂线段，垂足为C ，P 是线段OB 上的动点，连接CP.设△ACP 的面积为S ，则下列说法正确的是（D ） A.S ＞2 B.S ＞4 C.2＜S ＜4 D.2≤S≤4a y x =ay x=a y x=6y x=4y x=【解析】根据题目可知，S=S △AOC +S △COP ，2S △AOC =k=4，∴S △AOC =2.当点P 在原点O 时，S min =2. 当点P 运动到点B 时，S 最大，此时求出S △COP 的面积即可求出S max .因为点A 、B 均在反比例函数的图像 上，且线段AB 过原点，根据反比例函数图象的对称性，可以得到A 、B 两点关于原点对称，所以A 、B 两点纵坐标的绝对值相等，△AOC 与△BOC 可以看作是以OC 为底，不难看出这两个三角形同底等高，，面积相等，∴S max =2+2=4.∴选择D 选项. 【考点】考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的对称性，三角形的面积公式.【例4】【例4】（2019年安徽）如图，一次函数y=kx+b 的图象分别与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A （4,3），与y 轴负半轴交于点B ，且OA=OB. （1）求函数y=kx+b 和 的表达式；（2）已知点C （0,5），试在该一次函数图象上确定一点M ，使得MB=MC ，求此时点M 的坐标.【解析】把点A （4,3）代入函数 得：a=12， ∴ .∵OA=OB ，∴OB=5，∴点B 的坐标为（0，-5）.把B （0，-5），A （4,3）代入y=kx+b 得： 解得 . ∴y=2x-5.（2）∵点M 在一次函数y=2x-5上，设点M 坐标为（x ，2x-5）， ∵MB=MC，∴解得：x=2.5，∴点M 的坐标为（2.5,0）.【考点】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，考查了点到点的距离等.【例5】（2019年重庆）在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b （a ≠0）的图形与反比例函数 （k ≠0）的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点，与y 轴交于C 点，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ，OH=3， 点B 的坐标为（m ，-2）.（1）求△AOH的周长； （2）求反比例函数和一次函数的解析式.【解析】（1）由OH=3， ，得AH=4. 即A （-4,3）.根据勾股定理得： △AOH 的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12.ay x=22345OA =+=25k b =⎧⎨=-⎩543b k b =-⎧⎨+=⎩()()2222255255x x x x +-+=+--4tan 3AOH ∠=225,AO OH AH =+=a y x =a y x=12y x=k y x=4tan 3AOH ∠=ky x=（2）将A 点坐标代入 （k ≠0），得k=-4×3=-12， 反比例函数的解析式为 ；当y=-2时， ，解得x=6，即B （6，-2）. 将A 、B 点坐标代入y=ax+b ，得解得一次函数的解析式为【考点】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用待定系数法是解决此题的关键.三、师生互动，总结知识先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业布置作业：同步导练 教学反思同学们对本节内容理解很好，但是对于那些反比例函数与其他知识结合的综合性问题略有欠缺，希望大家下课后能多加练习，巩固知识，提升自己.1,21a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩43,62a b a b -+=⎧⎨+=-⎩11.2y x =-+12y x=-122x-=-2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题 1．计算：1124--的结果是（ ） A ．1B ．C ．0D ．-12．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）A.3：4B.9：16C.9：1D.3：13．把a•1a-的根号外的a 移到根号内得（ ） A.aB.﹣aC.﹣a -D.a -4．我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是( )A.515B.346C.1314D.845．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同．设二、三月份利润的月增长率x ，那么x 满足的方程为（ ） A ．10（1+x ）2＝42 B ．10+10（1+x ）2＝42C ．10+10（1+x ）+10（1+2x ）＝42D ．10+10（1+x ）+10（1+x ）2＝426．如图，是由一个长方体和一个圆锥体组成，则该几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.7．如图，AB 是O e 的直径，C ，D 分别是O e 上的两点，OC OD ⊥，2AC cm =，2BD cm =，则O e 的半径是（ ）A ．3cmB ．2cmC ．5cmD ．3cm8．一组数据2，3，8，6，x 的唯一众数是x ，其中x 是不等式组26070x x ->⎧⎨-<⎩的解，则这组数据的中位数是（ ） A ．3B ．5C ．6D ．89．如图，在ABC ∆中，30ABC ∠=︒，10AB =，那么以A 为圆心、6为半径的⊙A 与直线BC 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定10．如图，∠ACB ＝60°，半径为3的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为（ ）A ．3B ．3C ．6πD 311．如图，AB ＝12，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为边在A 的同侧作等边△ACP 和等边△CBQ ，连接PQ ，则PQ 的最小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．612．如图，点A是反比例函数y=-kx图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，交反比例函数2yx=-的图象于点B，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则k的值为( )A．8 B．﹣4 C．5 D．﹣8 二、填空题13．如果关于x的不等式ax＞2的解集为x＜2a，写出一个满足条件的a=__．14．分解因式：x3﹣xy2= ．15．如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB的正切值为______．16．如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，这个事件的概率是______．17．已知174a2+10b2+19c2﹣4ab＝13a﹣2bc﹣19，则a﹣2b+c＝_____．18．如图，△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别时OA，OB，OC的中点，若△DEF 的周长是2，则△ABC的周长是_____．三、解答题19．已知二次函数y ＝x 2﹣（k+1）x+14k 2+1与x 轴有交点． （1）求k 的取值范围；（2）方程x 2﹣（k+1）x+14k 2+1＝0有两个实数根，分别为x 1，x 2，且方程x 12+x 22+15＝6x 1x 2，求k 的值，并写出y ＝x 2﹣（k+1）x+14k 2+1的代数解析式．20．如图，直线y ＝x+b 与双曲线y ＝kx（k 为常数，k≠0）在第一象限内交于点A （1，2），且与x 轴、y轴分别交于B ，C 两点． （1）求直线和双曲线的解析式；（2）点P 在x 轴上，且△BCP 的面积等于2，求P 点的坐标．21．用A4纸在某眷印社复印文件，复印页数不超过20时，每页收费1元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.4元，在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.8元，当复印的张数超过20页时，请问答以下问题．（1）复印张数为多少页时，某眷印社与某图书馆的收费相同？ （2）如何选择更省钱？22．计算：()11820196cos603π-⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭o .23．计算：()()028+32tan 451π---︒+-24．在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，AD 与CE 交于点F ，AB ＝CF ． (1)如图1，求证：DF ＝DB ；(2)如图2，若AF ＝2DF ，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请写出图中所有度数与3∠FAE 的度数相等的角．25．如图，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 外，∠BAD 的平分线与⊙O 交于点C ，连接BC 、CD ，且∠D ＝90°． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若∠DCA ＝60°，BC ＝3，求»AB 的长．【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C A D D C C A B DA二、填空题 13．-114．x （x+y ）（x-y ）15．75 16．5717．-14. 18．4 三、解答题 19．（1）32k ≥；（2）k 的值是4，y ＝x 2﹣5x+5． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到关于k 的不等式，从而可以得到k 的取值范围；（2）根据题意和根据系数的关系，可以求得k 的值，进而可以写出y ＝x 2﹣（k+1）x+14k 2+1的代数解析式． 【详解】解：（1）∵二次函数y ＝x 2﹣（k+1）x+14k 2+1与x 轴有交点， ∴△＝221[(k 1)]41k 14⎛⎫-+-⨯⨯+⎪⎝⎭≥0，解得32k≥，所以，k的取值范围是32k≥；（2）∵方程x2﹣（k+1）x+14k2+1＝0有两个实数根，分别为x1，x2，∴x1+x2＝k+1，x1x2＝14k2+1，∵x12+x22+15＝6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2+15＝6x1x2，∴（k+1）2﹣2（14k2+1）+15＝6×（14k2+1），解得，k＝4或k＝﹣2（舍去），∴y＝x2﹣5x+5，所以，k的值是4，y＝x2﹣（k+1）x+14k2+1的代数解析式是y＝x2﹣5x+5．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、根的判别式、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．20．（1）y＝2x；y＝x+1；（2）P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．【解析】【分析】（1）把A（1，2）代入双曲线以及直线y＝x+b，分别可得k，b的值；（2）先根据直线解析式得到BO＝CO＝1，再根据△BCP的面积等于2，即可得到P的坐标．【详解】解：（1）把A（1，2）代入双曲线y＝kx，可得k＝2，∴双曲线的解析式为y＝2x；把A（1，2）代入直线y＝x+b，可得b＝1，∴直线的解析式为y＝x+1；（2）设P点的坐标为（x，0），在y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1；令x＝0，则y＝1，∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO＝1＝CO，∵△BCP的面积等于2，∴12BP×CO＝2，即12|x﹣（﹣1）|×1＝2，解得x＝3或﹣5，∴P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式．21．（1）复印张数为30页时，某眷印社与某图书馆的收费相同；（2）当复印张数大于0小于30页时，选某图书馆；当复印张数为30页时，两店一样；当复印张数大于30页时，选某眷印社．【解析】【分析】（1）复印张数超过20页时，某眷印社收费为：20+0.4（x-20），某图书馆收费为：0.8x'，两者相等列方程求解．（2）求某眷印社收费大于某图书馆的x值，再比较说明．【详解】解：（1）设复印张数为x页，（x＞20），列方程得：20+0.4（x﹣20）＝0.8x解得：x＝30答：复印张数为30页时，某眷印社与某图书馆的收费相同．（2）20+0.4（x﹣20）＞0.8x解得：x＜30答：当复印张数大于0小于30页时，选某图书馆；当复印张数为30页时，两店一样；当复印张数大于30页时，选某眷印社．【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，是一次方程和不等式综合运用的常考题型，找出其中的数量关系列出方程与不等式是解答本题的关键．22．2+1【解析】【分析】分别根据算术平方根、零指数幂，负整数指数幂运算法则以及特殊角三角函数值代入进行运算求值即可. 【详解】原式1=22+1+362+12-⨯=【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、零指数幂，负整数指数幂运算法则是解题关键. 23．22【解析】【分析】原式利用算术平方根的意义，零指数、负整数指数幂法则以及特殊角三角函数值进行化简、计算即可得到结果.【详解】原式=22+1-2+1=22【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.24．(1)证明见解析；(2)∠CAB，∠ABC，∠DFC，∠AFE与3∠FAE的度数相等，理由见解析.【解析】【分析】（1）由余角的性质可得∠DAB=∠DCE，由“AAS”可证△ADB≌△CDF，可得DF=BD；（2）由等腰三角形的性质可求∠DFB=∠DBF=45°，即可求∠ABD=∠DBF+∠ABF=67.5°，由全等三角形的性质可得∠CAB=∠DCF=∠ABD=∠AFE=67.5°=3∠FAE．【详解】(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB∴∠B+∠DAB＝90°，∠B+∠DCE＝90°∴∠DAB＝∠DCE，且∠ADB＝∠ADC＝90°，CF＝AB∴△ADB≌△CDF(AAS)∴DF＝BD(2)∠CAB，∠ABC，∠DFC，∠AFE与3∠FAE的度数相等，理由如下：如图：连接BF，∵DF＝DB，∠ADB＝90°∴∠DFB＝∠DBF＝45°，BF2DF，且AF2DF∴AF＝BF∴∠FAE＝∠FBE∴∠DFB＝2∠FAE＝2∠ABF＝45°∴∠FAE＝∠FBE＝22.5°∴∠ABD＝∠DBF+∠ABF＝67.5°∴∠ABD＝3∠FAE∵△ADB≌△CDF∴∠DCF＝∠ABD＝∠AFE＝67.5°＝3∠FAE，AD＝CD∴∠DAC＝∠DCA＝45°∴∠CAB＝67.5°＝3∠FAE【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．25．（1）见解析；（2）π【解析】【分析】（1）连接OC，只需证明∠OCD＝90°即可；（2）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，即可求得∠OCB＝60°，得到△OBC是等边三角形，可求得半径为3，弧BC的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可．【详解】解：（1）证明：连接OC，∵AC是∠BAD的平分线，∴∠CAD＝∠BAC，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AD，∴∠OCD＝∠D＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACD＝60°，∴∠OCA＝30°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝3，∠COB＝60°，∴¶AB的长：603180ππ⋅=．【点睛】此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用．一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。