江苏专用高考数学二轮复习专题一第2讲函数的概念图象与性质学案文苏教版

第二节函数的单调性与最值．函数的单调性 ()单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数()的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当＜时，都有()＜()，那么就说函数()在区间上是单调增函数当＜时，都有()＞()，那么就说函数()在区间上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数＝()在区间上是增函数或减函数，那么就说函数＝()在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做函数＝()的单调区间．．函数的最值 前提 设函数＝()的定义域为，如果存在实数满足 条件 ①对于任意的∈，都有()≤； ②存在∈，使得()＝①对于任意∈，都有()≥； ②存在∈，使得()＝结论 为函数＝()的最大值为函数＝()的最小值[小题体验]．(·常州一中月考)()＝＋的单调递增区间为． 答案：[－，＋∞)．若函数()＝在区间[，]上的最大值与最小值的和为，则＝.解析：由()＝的图象知，()＝在(，＋∞)上是减函数，因为[，]⊆(，＋∞)， 所以()＝在[，]上也是减函数， 所以()＝()＝，()＝()＝， 所以＋＝，所以＝. 答案：．函数()是在区间(－)上的增函数，则＝(＋)的一个递增区间是．解析：由－＜＋＜，得－＜＜－，故＝(＋)的递增区间为(－，－)．答案：(－，－)．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数()在区间(－)上是减函数，在()上是减函数，但在(－)∪()上却不一定是减函数，如函数()＝.．两函数()，()在∈(，)上都是增(减)函数，则()＋()也为增(减)函数，但()·()，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏]．(·海安期中)函数()＝的单调递减区间为．答案：和．已知函数()＝(－－)，则该函数的单调递增区间为．解析：由题意知－－＞，则＞或＜－，令＝－－，则其图象的对称轴为＝，所以＝－－的单调递增区间为(，＋∞)．单调递减区间为(－∞，－)，由复合函数的单调性知()的单调递增区间为(，＋∞)．答案：(，＋∞)函数单调性的判断)[题组练透]．讨论函数()＝在∈(－)上的单调性．解：设－＜＜＜，则()－()＝－＝.因为－＜＜＜，所以－＞，＋＞，(－)(－)＞，所以()－()＞，即()＞()，故函数()在(－)上为减函数．．已知函数()＝＋(∈)，判断函数()的单调性，并用单调性的定义证明．解：()在(－∞，)，(，＋∞)上均为减函数，证明如下：函数()的定义域为(－∞，)∪(，＋∞)，在定义域内任取，，使＜＜，则()－()＝－＝.因为＜＜，所以＜，＞＞，所以－＜－＞－＞，从而()－()＜，即()＜()，所以()在(，＋∞)上为减函数，同理可证()在(－∞，)上为减函数．[谨记通法]．定义法判断函数单调性的步骤取值．导数法判断函数单调性的步骤求函数的单调区间)[典例引领]求下列函数的单调区间：()＝－＋＋；()＝(－＋)．解：()由于＝(\\(－＋＋，≥，,－－＋，＜，))即＝(\\(－－＋，≥，,－＋＋，＜.))画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－]和[]，单调递减区间为[－]和[，＋∞)．()令＝－＋，则原函数可以看作＝与＝－＋的复合函数．令＝－＋＞，则＜或＞.所以函数＝(－＋)的定义域为(－∞，)∪(，＋∞)．又＝－＋的对称轴＝，且开口向上．所以＝－＋在(－∞，)上是单调减函数，在(，＋∞)上是单调增函数．而＝在(，＋∞)上是单调减函数，所以＝(－＋)的单调递减区间为(，＋∞)，单调递增区间为(－∞，)．[由题悟法]确定函数的单调区间的种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]．函数()＝(－)的单调递增区间为．解析：令＝－＞，解得＜－或＞，故函数()的定义域为{＜－或＞}，且()＝.利用二次函数的性质可得，＝－在定义域{＜－或＞}内的单调递增区间为(，＋∞)，所以函数()的单调递增区间为(，＋∞)．答案：(，＋∞)．函数＝的单调递增区间为．解析：令＝－＋＝－.因为＝－在上单调递减，函数＝在上单调递减．所以＝在上单调递增．答案：函数单调性的应用)[锁定考向]高考对函数单调性的考查多以填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有：()求函数的值域或最值；()比较数值的大小；()利用单调性解函数不等式；()利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值．(·启东中学检测)设∈，若函数()＝－－＋在∈[]上的最大值与最小值之差为，则＝.解析：令＝－，∈[]，则′＝－.由′＞，得＜＜；由′＜，得＜＜，所以＝－在()上单调递减，在()上单调递增，所以当∈[]时，＝－的值域为[－]，＝－－的值域为[－－－]．①当＝时，()＝，()＝，不符合题意；②当≥时，()＝(－)＝＋，()＝()＝－，()－()＝，不符合题意；③当＜＜时，()＝(－)＝＋，()＝，()－()＝＋＝，解得＝，符合题意；④当－＜＜时，()＝()＝－，()＝，()－()＝－＝，解得＝－，符合题意；⑤当≤－时， ()＝－，()＝－－，()－()＝，不符合题意．综上可得，＝±.答案：±角度二：比较数值的大小．设函数()定义在实数集上，它的图象关于直线＝对称，且当≥时，()＝－，则，，的大小关系为(用“＜”号表示)．解析：由题设知，()的图象关于直线＝对称，当＜时，()单调递减，当≥时，()单调递增，所以＝＝＝，又＜＜＜，所以＞＞，即＞＞.答案：＜＜角度三：利用单调性解函数不等式．设函数()＝(\\(，＜，，≥.))若(＋)≥(－)，则实数的取值范围是．解析：易知函数()在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵(＋)≥(－)，∴＋≥－，解得≤.故实数的取值范围是(－∞，]．答案：(－∞，]．定义在上的奇函数＝()在(，＋∞)上递增，且＝，求不等式()＞的解集．解：∵＝()是定义在上的奇函数，且＝()在(，＋∞)上递增．∴＝()在(－∞，)上也是增函数，又＝，知＝－＝.故原不等式()＞可化为()＞或＜()＜，∴＞或－＜＜，解得＜＜或＜＜.∴原不等式的解集为错误!.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值．(·南通调研)已知函数()＝(\\(，＜，,－＋，≥))(＞，且≠)满足对任意≠，都有＜成立，则实数的取值范围是．解析：由题意知()为减函数，所以(\\(＜＜，－＜，－＋，))解得＜≤.答案：[通法在握]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略()求函数最值(五种常用方法)()比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图象法求解．()解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．()利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[，]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[提醒] ①若函数在区间[，]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[演练冲关]．(·连云港调研)若函数()＝(\\(－＋，≤，,－－，＞))是在上的减函数，则的取值范围是．解析：由题意得(\\(－＜，－＋≥－，))解得－≤＜.答案：[－)．函数()＝－＋(＞)在上的值域为，则＝，＝.解析：因为()＝－＋(＞)在上是增函数，所以＝，()＝.即(\\(－＋＝()，,－()＋＝，))解得＝，＝.答案：．已知函数()＝(＋)－，则使得(＋)＞(－)成立的的取值范围是．解析：由(－)＝()可得函数()是定义域上的偶函数，且＞时函数()单调递增，则不等式等价于(＋)＞(－)，即＋＞－，两边平方化简得－－＜，解得－＜＜.答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·如皋中学月考)函数()＝－＋的增区间是．解析：因为函数()＝－＋＝(－)＋＝(－)＋，所以函数()＝－＋的增区间是[，＋∞)．答案：[，＋∞)．函数＝－(≥)的最大值为．解析：令＝，则≥，所以＝－＝－＋，结合图象知，当＝，即＝时，＝.答案：．(·徐州质检)函数()＝－(＋)在区间[－]上的最大值为．解析：因为＝和＝－(＋)都是[－]上的减函数，所以＝－(＋)是在区间[－]上的减函数，所以最大值为(－)＝.答案：．已知偶函数()在区间[，＋∞)上单调递减，则满足(－)＜()的的取值范围是．解析：因为偶函数()在区间[，＋∞)上单调递减，且(－)＜()，所以－＞，即＜－或＞.答案：(－∞，－)∪(，＋∞)．若函数()＝－＋与()＝(＋)－在区间[]上都是减函数，则的取值范围是．解析：因为()＝－＋＝－(－)＋在[]上是减函数，所以≤.又()＝(＋)－在[]上是减函数．所以＋＞，所以＞.综上可知＜≤.答案：(]．(·海门中学高三检测)已知函数()＝(\\(－＋，＜，，≥，))满足对任意＜，都有()＜()成立，那么实数的取值范围是．解析：∵函数()满足对任意＜，都有()＜()成立，∴函数()在定义域上是增函数，则满足(\\(－＞，＞，－＋≤，))即(\\(＜，＞，≥()，))解得≤＜.答案：二保高考，全练题型做到高考达标．设函数()＝在区间(－，＋∞)上是增函数，则的取值范围是．解析：()＝＝－，因为函数()在区间(－，＋∞)上是增函数．所以(\\(－＞，,－≤－，))解得≥.答案：[，＋∞)．(·江阴高三检测)设＞且≠，函数()＝－在[]上是单调增函数，则实数的取值范围为．解析：∵＞且≠，函数()＝－＝·(－)在[]上是单调增函数，∴当＞时，＝·(－)在[]上是单调增函数，且＞，满足()是增函数；当＜＜时，要使()在[]上是单调增函数，只需(\\(＜＜，≥()，＜()，))解得≤＜.综上可得，＞或≤＜.答案：∪(，＋∞)．对于任意实数，，定义{，}＝(\\(，≤，，＞.))设函数()＝－＋，()＝，则函数()＝{()，()}的最大值是．解析：依题意，()＝(\\(，＜≤，,－＋，＞.))当＜≤时，()＝是增函数，当＞时，()＝－＋是减函数，所以()在＝时，取得最大值()＝.答案：．(·徐州一模)已知函数＝()和＝()的图象关于轴对称，当函数＝()和＝()在区间[，]上同时递增或者同时递减时，把区间[，]叫做函数＝()的“不动区间”，若区间[]为函数()＝－的“不动区间”，则实数的取值范围是．解析：因为函数＝()与＝()的图象关于轴对称，所以()＝(－)＝－－.因为区间[]为函数()＝－的“不动区间”，所以函数()＝－和函数()＝－－在[]上单调性相同，因为＝－和函数＝－－的单调性相反，所以(－)(－－)≤在[]上恒成立，即－≤≤在[]上恒成立，解得≤≤.答案：．(·金陵中学月考)定义在[－]上的函数()满足(－)[()－()]＞，≠，且(－)＞(－)，则实数的取值范围为．解析：函数()满足(－)[()－()]＞，≠，所以函数在[－]上单调递增，所以(\\(－≤－≤，,－≤－≤，－＜－.))所以(\\(－≤≤，≤≤，＜或＞，))所以≤＜.答案：[)．设偶函数()的定义域为，当∈[，＋∞)时，()是增函数，则(－)，(π)，(－)的大小关系为(用“＜”表示)．解析：因为()是偶函数，所以(－)＝()，(－)＝()．又因为函数()在[，＋∞)上是增函数，所以(π)＞()＞()，所以(－)＜(－)＜(π)．答案：(－)＜(－)＜(π)．(·苏州高三暑假测试)已知函数()＝＋(＞)，当∈[]时，函数()的值域为，若⊆[]，则的值等于．解析：因为⊆[]，所以≤()≤对任意的∈[]恒成立，所以(\\(≤－，≥－))对任意的∈[]恒成立，当∈[]时，函数＝－在[]上单调递增，所以－∈[]，函数＝－在[]上也单调递增，所以－∈[]，所以(\\(≤，≥，))即的值等于.答案：．若函数()＝(＞，≠)在[－]上的最大值为，最小值为，且函数()＝(－)在[，＋∞)上是增函数，则＝.解析：函数()在[，＋∞)上为增函数，则－＞，即＜.若＞，则函数()在[－]上的最小值为＝，最大值为＝，解得＝，＝，与＜矛盾；当＜＜时，函数()在[－]上的最小值为＝，最大值为－＝，解得＝，＝.所以＝.答案：．已知函数()＝－.()求证：函数＝()在(，＋∞)上是增函数；()若()＜在(，＋∞)上恒成立，求实数的取值范围．解：()证明：当∈(，＋∞)时，()＝－，设＜＜，则＞，－＞，()－()＝－＝－＝＞，所以()在(，＋∞)上是增函数．()由题意－＜在(，＋∞)上恒成立，设()＝＋，则＜()在(，＋∞)上恒成立．任取，∈(，＋∞)且＜，()－()＝(－).因为＜＜，所以－＜，＞，所以－＞，所以()＜()，所以()在(，＋∞)上单调递增．故≤()，即≤，所以实数的取值范围是(－∞，]．．(·江阴期中)设函数()＝是定义在(－)上的奇函数，且＝.()求函数()的解析式；()用单调性定义证明()在(－)上是增函数；()解不等式(－)＋()＜()．解：()因为()＝是定义在(－)上的奇函数，所以()＝＝，所以()＝，而＝＝，解得＝，所以()＝，∈(－)．()证明：任取，∈(－)且＜，则()－()＝－＝.因为＜，所以－＜，又因为，∈(－)，所以－＞，所以()－()＜，即()＜()，所以函数()在(－)上是增函数．()由题意，不等式(－)＋()＜()可化为(－)＋()＜，即()＜－(－)，因为()是定义在(－)上的奇函数，所以()＜(－)，所以(\\(－＜＜，,－＜－＜，＜－，))解得＜＜且≠，所以该不等式的解集为∪.三上台阶，自主选做志在冲刺名校．()是定义在(，＋∞)上的单调增函数，满足()＝()＋()，()＝，当()＋(－)≤时，的取值范围是．解析：因为()＝()＋()＝，所以由()＋(－)≤，可得[(－)]≤()，因为()是定义在(，＋∞)上的增函数，所以有(\\(＞，－＞，－，))解得＜≤.答案：(]．已知定义在区间(，＋∞)上的函数()满足＝()－()，且当＞时，()＜.()证明：()为单调递减函数；()若()＝－，求()在[]上的最小值．解：()证明：任取，∈(，＋∞)，且＞，则＞，由于当＞时，()＜，所以＜，即()－()＜，因此()＜()，所以函数()在区间(，＋∞)上是单调递减函数．()因为()在(，＋∞)上是单调递减函数，所以()在[]上的最小值为()．由＝()－()得，＝()－()，而()＝－，所以()＝－.所以()在[]上的最小值为－.。

2021年高考数学一轮复习专题二函数的概念及其基本性质苏教版【解析】∵，∴∴．【答案】．【技巧点拨】（1）求类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，则必须依据条件准确地确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．专题热点集训1 函数的概念及其表示（时间：10分钟）1．（xx·江西卷）函数的定义域为．2．（常州市·xx届一模）函数的定义域为．3．（苏州市·xx届一模）已知函数的定义域是，则实数的值为．4．（泰州市·xx届一模）函数的定义域为．5．（常州市xx届一模）已知函数，则函数的值域为．6．（xx·浙江卷）设函数，若，则＝_________．参考答案与解析1．【答案】∵∴或，故．2．【答案】．3．【答案】．4．【答案】．5．【答案】．【解析】由题可得y=f（x－1）=|2x－1－2|，x∈（0，3），结合对应的图象可知当x=2时，取得最小值为0，而f（3）=|23－1－2|=2，故对应函数的值域为[0，2）．【易错警示】注意函数图象的数形结合应用，这里综合指数函数的图象以及绝对值的含义，同时涉及给定的区间，以及函数在取得最值时的条件等，否则容易出错．6．【答案】设，则．若，则，此时不成立．若，由得，，即，解得或，即或．若，则，此时不成立．或，即，解得．若，由得，，此时无解．由得，，此时无解，综上：，故为：．◇考点2 函数的单调性、奇偶性、周期性【基础知识梳理】1．函数单调性的证明方法：(1)定义法：设，那么上是增函数；上是减函数.步骤：①. 格式：解：设且，则：=…(2)导数法：设函数在某个区间内可导，若②，则为增函数；若③，则为减函数.2．函数的奇偶性(1)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有④，那么就称函数为⑤.偶函数图象关于轴对称.（2）一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有⑥，那么就称函数为⑦.奇函数图象关于原点对称.3．函数的周期性周期函数的最小周期必须满足下列两个条件：(1)当取定义域内的每一个值时，都有；（2）是不为零的最小正数．【参考答案】①取值—作差—变形—定号—判断；②；③；④；⑤偶函数；⑥；⑦奇函数．【核心考点讲练】题型一：函数的单调性【典例1】（1）（镇江市xx届一模）若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为．【答案】．【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思维．【解析】当x<0时，－x>0，则f（x）=－f（－x）=－（－x）ln（－x）=xln（－x），则f （x）=，当x>0时，f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=，则当0<x<时，f′（x）<0；当x>时，f′（x）>0，则函数f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，当x=时取得极小值f（）=－>－e，结合函数f（x）是R上的奇函数，作出图象如下，由以上分析知不等式f（x）<－e在（0，+∞）上无解，而当x<0时，由于f（－e）=－elne=－e，则不等式f（x）<－e= f（－e），可得x<－e．（2）(xx·郑州模拟)函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是13，则a＋b＝________.【答案】6.【解析】易知f(x)在[a，b]上为减函数，∴1(=11216 1114()313f aaa a bbf bb⎧=⎧⎪=⎧⎪⎪-⇒⇒⇒+=⎨⎨⎨==⎩⎪⎪=⎩⎪-⎩）.【技巧点拔】函数单调性应用问题的常见类型有：(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．题型二：函数的奇偶性【典例2】（xx·新课标全国卷Ⅰ）设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【解析】设，则，∵是奇函数，是偶函数，∴，为奇函数，选C．【答案】C．【技巧点拔】（1）判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数是非奇非偶函数．若对称，再进一步判断是否满足或．“函数定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的必要但不充分条件．（2）若函数是奇（偶）函数，则对定义域内的每一个，均有（）,而不能说存在使（）．题型三：函数的周期性【典例3】（xx·安徽文）若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式，则【解析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可由题易知2941373735sin 46464616616f f f f f fπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=--=-+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】．【技巧点拔】充分利用函数的奇偶性以及函数的周期性化简，注意代入分段函数计算的准确性．专题热点集训2 函数的单调性、奇偶性、周期性（时间：10分钟）1．（xx·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是_____．2．（xx·福建卷）已知函数则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．是增函数C．是周期函数D．的值域为3．（泰州市xx届一模）已知函数是奇函数，则．4．（淮、宿、连、徐四市xx届一模）已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为_____．5．（南通市xx届一模）已知是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为．6．（南京市、盐城市xx届一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，函数．如果对于，，使得，则实数的取值范围是．7．（xx·安徽卷）设函数满足当时，，则．8．（xx·四川卷）设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则．参考答案与解析1．【答案】∵是偶函数，∴，又∵在单调递减，∴，解之：．2．【答案】由解析式可知当时，为周期函数，当时，，为二次函数的一部分，故不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当时，函数的值域为，当时，函数的值域为值域为，故函数的值域为，故正确．故选D．3．【答案】．4．【答案】．5．【答案】．6．【答案】．7．【答案】2317171111155sin sin sin 66666266 f f f fπππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．8．【答案】∵是定义在上的周期为2的函数∴，故答案为：1．xx届江苏省高三一、二、三模数学试题1．（常州市xx届一模）函数的定义域为．【答案】．2．（泰州市xx届一模）函数的定义域为．【答案】．3．（苏锡常镇市xx届调研一）函数的定义域为．【答案】【命题立意】本题考查了函数定义域.【解析】依题意得，，解得.4．（泰州市xx届二模）已知函数的定义域为，值域为，则实数的取值集合为．【答案】．【命题立意】本题考查了函数的定义域，值域，恒成立的问题．【解析】问题可以转化为对于定义域为，恒成立，且值域为，故，解得a=1．5．（苏州市xx届一模）已知函数的定义域是，则实数的值为．【答案】．6.（徐州、连云港、宿迁市xx届三模）设函数，则的值为 .【答案】－2【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数值的求解．【解析】由于f（－1）=4－1=，故f（f（－1））=f（）=log2=－2．7．（扬州市xx届一模）设函数，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是＿＿＿＿【答案】（－∞，－1]∪[2，+∞）．【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数的解析式与函数的值域．【解析】由于f（x）的值域为R，则知22+a≤2+a2，整理有a2－a－2≥0，解得a≤－1或a ≥2．8．（常州市xx届一模）已知函数，则函数的值域为．【答案】9．（淮、宿、连、徐四市xx届一模）已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为_____．【答案】．10．（南通市xx届一模）已知是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为．【答案】．11．（镇江市xx届一模）若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为．【答案】．【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思维．【解析】当x<0时，－x>0，则f（x）=－f（－x）=－（－x）ln（－x）=xln（－x），则f （x）=，当x>0时，f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=，则当0<x<时，f′（x）<0；当x>时，f′（x）>0，则函数f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，当x=时取得极小值f（）=－>－e，结合函数f（x）是R上的奇函数，作出图象如下，由以上分析知不等式f（x）<－e在（0，+∞）上无解，而当x<0时，由于f（－e）=－elne=－e，则不等式f（x）<－e= f（－e），可得x<－e．12．（南京市、盐城市xx届二模）已知知函数，，则不等式的解集是．【答案】(1，2)【命题立意】本题旨在考查函数的性质及解不等式．【解析】由，当x<0时为增函数，∴，解得1＜x＜2．13．（淮、宿、连、徐四市xx届一模）已知函数，则不等式的解集为______．【答案】．【命题立意】本题旨在考查分段函数的解析式，不等式的解法．【解析】当x≥0时，f（f（x））=f（－x2）=（－x2）2+2（－x2）=x4－2x2≤3，解得0≤x≤；当－2<x<0时，f（f（x））=f（x2+2x）=（x2+2x）2+2（x2+2x）≤3，解得－2<x<0；当x≤－2时，f（f（x））=f（x2+2x）=－（x2+2x）2≤3，解得x≤－2；综上所述可得x≤．【举一反三】涉及分段函数的问题，其处理的原理就是进行分类讨论，这也是解决问题的关键．14．（南京市、盐城市xx届一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，函数．如果对于，，使得，则实数的取值范围是．【答案】．【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，函数的解析式以及函数最值之间的关系．【解析】由于f （x ）是定义在[－2，2]上的奇函数，则有f （0）=0，而当x ∈（0，2]时，f （x ）=2x－1∈（0，3]，则当x ∈[－2，2]时，f （x ）∈[－3，3]，若对于，，使得，则等价于g （x ）max ≥3且g （x ）min ≤－3，而g （x ）=x 2－2x+m=（x －1）2+m －1，x ∈[－2，2]，则有g （x ）max =g （－2）=8+m 且g （x ）min =g （1）=m －1，则满足8+m ≥3且m －1≤－3，解得m ≥－5且m ≤－2，故－5≤m ≤－2．15．（泰州市xx 届一模）已知函数是奇函数，则 ．【答案】．16．（泰州市xx 届二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．【答案】【命题立意】本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值范围的问题，属于基础题 【解析】根据题意可得：()()()()()()2222()(2)2x x a x a f x x x a x a x x a ⎧--≥⎪=--=⎨--<⎪⎩，∴,函数在区间上单调递增等价于在区间上成立，当时，要满足在区间上成立，即是要保证在区间上成立，令，等价于，解得，同理，当时，在区间上成立，等价于，解得，综上：实数的取值范围是．17．（南京市xx 届三模）已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为 ．【答案】(0，1)∪{2}【命题立意】本题旨在考查二次函数的图象与性质，分类讨论．【解析】由于f （x ）＝x 2－2x ＋a =（x －1）2+a －1，而f （0）=a ，f （x ）min =f （1）=a －1，由a +（a －1）=0可得a =12，当0<a <12时，此时a －1<－a ，那么t 的最大值g （a ）<1，即0<g （a ）<1；当a ≥12时，此时a －1≥－a ，那么t 的最大值g （a ）=2；综合可知函数g (a )的值域为（0，1）∪{2}．江苏五年高考真题1．（xx·江苏）设函数f(x)=x(e x+ae-x),(x∈R)是偶函数，则实数a=_______．【答案】－1．【解析】由偶函数f(-x)=f(x) x(e x+ae-x)=－x(e-x+ae x) x(e x+e-x)(1+a)=0 a=－1．2．（xx·江苏）已知函数,则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范围是_______．【答案】(－1,2－1)．【解析】设t=1－x2，当x<－1时，t<0，2x<－2；f(1－x2)=1，f(2x)=1 f(1－x2)= f(2x)；当x>1时，t<0，2x>2，f(1－x2)=1，f(2x)=(2x)2+1>5，显然不满足f(1－x2)>f(2x)；当－1x<0时，t0，2x<0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+11，f(2x)=1，f(1－x2)>f(2x) (x －1)；当0x1时，t0，2x0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+11，f(2x)=(2x)2+1，由f(1－x2)>f(2x) (1－x2)2+1>(2x)2+1x4－6x2+1>00x<2－1综上，x(－1,2－1)．3．（2011·江苏）2、函数的单调增区间是__________．【答案】．4．（2011·江苏）11、已知实数，函数，若，则a的值为________【答案】．【解析】考察函数性质，含参的分类讨论，中档题。

【真题感悟】1.已知函数，若，则实数的取值范围为__________．【答案】(-2，1)点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．2．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 【答案】1(0,)2a ∈【解析】作出函数21()22f x x x =-+,[)0,3x ∈的图象，可见1(0)2f =，10个零点，即函数()y f x =与直线y a =在[]3,4-上有10个公共点， 由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()22f x x x =-+, [)0,3x ∈的公共点数为4，则有1(0,)2a ∈．学*科网3．已知函数()22,0{313,0x x f x x x ≤=--+>，若存在唯一的整数x ，使得()0f x a x->成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[]0,2 []3,8⋃点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.【考向分析】函数是高考数学的重点内容之一，基本初等函数的图象与性质是函数的基石，应用函数的三大特性(单调性、奇偶性、周期性)是高考命题的切入点．函数的图象及变换是高考热点，应用函数知识解决其他问题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力．数形结合、分类讨论等方法构成了函数应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性.【典例导引】（一）函数的奇偶性和单调性例 1.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈恒有()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f 的值为__________.【答案】43【解析】利用对数的性质可知： 23log 124<<， 则： ()()22223log 12log 12log 16log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，而： 231log 04-<<，故： ()24log 3222344log 12log log 2433f f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.变式1 已知偶函数 f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则使得 f (x )＞f (2x －1)成立的 x 的取值范围是________．【答案】13＜x ＜1.【解析】由f (x )为偶函数，f (x )＞f (2x －1)可化为f (|x |)＞f (|2x －1|)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以|x |＞|2x －1|.解得13＜x ＜1.变式2 已知函数f (x )为定义在[2－a,3]上的偶函数，在[0,3]上单调递减，并且f ⎝⎛⎭⎫－m 2－a5＞f (－m 2＋2m －2)，则实数m 的取值范围是________． 【答案】1122m -<≤（二）分段函数【答案】1,82156⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】根据题意，得到()f x 的图象如下：又()y f x m x =-恰有10个不同零点，即()y f x =与y m x =的图象有10个交点，根据偶函数的特点，则在0x >的图象中，有5个交点，如图中红色直线和蓝色直线就是两种极限情况。

专题二 函数的概念及其基本性质【命题趋势探秘】【高频考点聚焦】◇考点1 函数的概念及其表示【基础知识梳理】 1．函数的概念：设A 、B 是① 的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有② 确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2．函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的③；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的④．3．函数的三要素是：⑤ 、 、 .如果两个函数的定义域⑥ ，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.4．函数的三种表示方法：⑦ 、 、 .5．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的⑧，其值域等于各段函数的值域的⑨，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【参考答案】①非空；② 惟一；③定义域；④值域；⑤定义域、对应关系、值域；⑥相同；⑦ 解析法、图象法、列表法；⑧并集；⑨并集．【核心考点讲练】题型一：函数的定义域【典例1】（1）（2014·某某卷）函数()f x =的定义域为 .【解析】要使函数有意义，则()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>． 【答案】2x > 或102x <>． 【技巧点拨】求出使分式、根式有意义的x 的取值X 围即可．（1）函数的定义域应使每个含有自变量的式子有意义．（2）若()f x 的定义域为[],a b ，求()()f g x 的定义域，即解不等式()a g x b ≤≤；若()()f g x 的定义域为[],a b ，求()f x 的定义域，即求()g x 在[],a b 上的值域．（2）（某某市2015届一模）设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f （x ）的值域为R ，是实数a 的取值X 围是＿＿＿＿【答案】(][)12-∞-+∞，，．【解析】由于f （x ）的值域为R ，则知22+a ≤2+a 2，整理有a 2－a －2≥0，解得a ≤－1或a ≥2．【技巧点拨】本题旨在考查分段函数，函数的解析式与函数的值域．根据条件借助于图象可得22+a ≤2+a 2，解一元二次不等式求解． 【典例2】（2014·某某卷）已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a .【解析】∵[(1)]1f f -=，∴()()1[(1)]2f f f ---==()222f a =⋅=41a =∴14a =． 【答案】14． 【技巧点拨】（1）求()()f g x 类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，则必须依据条件准确地确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值X 围．专题热点集训1 函数的概念及其表示（时间：10分钟）1．（2014·某某卷）函数()()2ln f x x x =-的定义域为．2．（某某市·2015届一模）函数()22()log 6f x x =-的定义域为．3．（某某市·2015届一模）已知函数()lg(1)2x a f x =-的定义域是1(,)2+∞，则实数a 的值为．4．（某某市·2015届一模）函数()f x =的定义域为．5．（某某市2015届一模）已知函数()22x f x =-()()1,2x ∈-，则函数(1)y f x =-的值域为．6．（2014·某某卷）设函数2222, 0(), 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若(())2f f a =，则a ＝_________． 参考答案与解析1．【答案】∵20,x x ->∴x 1>或0x <，故()(),01,-∞+∞．2．【答案】((),6,-∞+∞． 3．【答案】2．4．【答案】[2,)+∞．5．【答案】[)0,2．【解析】由题可得y=f （x －1）=|2x －1－2|，x ∈（0，3），结合对应的图象可知当x=2时，取得最小值为0，而f （3）=|23－1－2|=2，故对应函数的值域为[0，2）．【易错警示】注意函数图象的数形结合应用，这里综合指数函数的图象以及绝对值的含义，同时涉及给定的区间，以及函数在取得最值时的条件等，否则容易出错．6．【答案】设()t f a =，则()2f t =．若0t >，则()22f t t =-=，此时不成立．若0t ≤，由()2f t =得，2222t t ++=，即220t t +=，解得0t =或2t =-，即()0f a =或()2f a =-．若0a >，则()20f a a =-=，此时不成立．或()22f a a =-=-，即22a =，解得a =0a ≤，由()0f a =得，2220a a ++=，此时无解．由()2f a =-得，2240a a ++=，此时无解，综上：a =．◇考点2 函数的单调性、奇偶性、周期性【基础知识梳理】1．函数单调性的证明方法：(1)定义法：设∀2121],,[x x b a x x <∈、，那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数；],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.步骤：① . 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…(2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若② ，则)(x f 为增函数；若③ ，则)(x f 为减函数.2．函数的奇偶性(1)一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有④ ，那么就称函数()x f 为⑤ .偶函数图象关于y 轴对称.（2）一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有⑥ ，那么就称函数()x f 为⑦ .奇函数图象关于原点对称.3．函数的周期性周期函数()f x 的最小周期T 必须满足下列两个条件：(1)当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=；（2）T 是不为零的最小正数．【参考答案】①取值—作差—变形—定号—判断；②0)(>'x f ；③0)(<'x f ；④()()x f x f =-；⑤偶函数；⑥()()x f x f -=-；⑦奇函数．【核心考点讲练】 题型一：函数的单调性 【典例1】（1）（某某市2015届一模）若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e x f -<)(的解集为．【答案】()e -∞-,．【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思维．【解析】当x<0时，－x>0，则f （x ）=－f （－x ）=－（－x ）ln （－x ）=xln （－x ），则f（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0),ln(0,00,ln x x x x x x x ，当x>0时，f ′（x ）=lnx+1，令f ′（x ）=0，解得x=e 1，则当0<x<e 1时，f ′（x ）<0；当x>e 1时，f ′（x ）>0，则函数f （x ）在（0，e1）上递减，在（e 1，+∞）上递增，当x=e 1时取得极小值f （e 1）=－e 1>－e ，结合函数f （x ）是R 上的奇函数，作出图象如下，由以上分析知不等式f （x ）<－e 在（0，+∞）上无解，而当x<0时，由于f （－e ）=－elne=－e ，则不等式f （x ）<－e= f （－e ），可得x<－e ．（2）(2014·某某模拟)函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.【答案】6.【解析】易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴1(=112161114()313f a a a a b b f b b ⎧=⎧⎪=⎧⎪⎪-⇒⇒⇒+=⎨⎨⎨==⎩⎪⎪=⎩⎪-⎩）.【技巧点拔】函数单调性应用问题的常见类型有：(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．题型二：函数的奇偶性【典例2】（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x ()g x 是偶函数B ．()f x ()g x 是奇函数C ．()f x ()g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数 【解析】设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C ．【答案】C ．【技巧点拔】（1）判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数是非奇非偶函数．若对称，再进一步判断是否满足()()f x f x -=或()()f x f x -=-．“函数定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的必要但不充分条件． （2）若函数是奇（偶）函数，则对定义域内的每一个x ，均有()()f x f x -=-（()()f x f x -=）,而不能说存在0x 使()()00f x f x -=-（()()00f x f x -=）． 题型三：函数的周期性【典例3】（2014·某某文）若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f【解析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可由题易知2941373735sin 46464616616f f f f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=--=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【答案】516．【技巧点拔】充分利用函数的奇偶性以及函数的周期性化简，注意代入分段函数计算的准确性．专题热点集训2 函数的单调性、奇偶性、周期性（时间：10分钟）1．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =．若()10f x ->，则x 的取值X 围是_____．2．（2014·某某卷）已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A ．()x f 是偶函数B ．()x f 是增函数C ．()x f 是周期函数D ．()x f 的值域为[)+∞-,1 3．（某某市2015届一模）已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x x α⎧+≥=⎨-++<⎩是奇函数，则sin α=． 4．（淮、宿、连、徐四市2015届一模）已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x <时2()log (2)f x x =-，则(0)(2)f f +的值为_____．5．（某某市2015届一模）已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式()()20f x x f -<的解集为．6．（某某市、某某市2015届一模）已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+． 如果对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值X 围是．7．（2014·某某卷）设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf ． 8．（2014·某某卷）设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f =． 参考答案与解析1．【答案】∵()f x 是偶函数，∴(1)0(1)0(2)f x f x f ->⇔->=，又∵()f x 在[0,)+∞单调递减，∴12x -<，解之：13x -<<．2．【答案】由解析式可知当0x ≤时，()cos f x x =为周期函数，当0x >时，()21f x x =+，为二次函数的一部分，故()f x 不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A 、B 、C ，对于D ，当0x ≤时，函数的值域为[]1,1-，当0x >时，函数的值域为值域为()1,+∞，故函数()f x 的值域为[)1,-+∞，故正确．故选D ．3．【答案】1-．4．【答案】2-．5．【答案】()1,0．6．【答案】[5,2]--．7．【答案】2317171111155sin sin sin 66666266f f f f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12=． 8．【答案】∵()f x 是定义在R 上的周期为2的函数∴2311()()4()21222f f =-=-⨯-+=，故答案为：1．2015届某某省高三一、二、三模数学试题1．（某某市2015届一模）函数()22()log 6f x x =-的定义域为．【答案】((),6,-∞+∞．2．（某某市2015届一模）函数()f x =的定义域为．【答案】[2,)+∞． 3．（苏锡常镇市2015届调研一）函数2ln(2)y x =-的定义域为．【答案】((),2,-∞+∞ 【命题立意】本题考查了函数定义域.【解析】依题意得，220x ->，解得((),2,x ∈-∞+∞. 4．（某某市2015届二模）已知函数a x x y +-=22的定义域为R ，值域为),0[+∞，则实数a 的取值集合为．【答案】{1}．【命题立意】本题考查了函数的定义域，值域，恒成立的问题．【解析】问题可以转化为对于定义域为R ，220x x a -+≥恒成立，且值域为),0[+∞，故440a ∆=-=，解得a=1．5．（某某市2015届一模）已知函数()lg(1)2xa f x =-的定义域是1(,)2+∞，则实数a 的值为． 【答案】2． 6.（某某、某某、宿迁市2015届三模）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,4,0,log )(2x x x x f x ，则))1((-f f 的值为. 【答案】－2【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数值的求解．【解析】由于f （－1）=4－1=41，故f （f （－1））=f （41）=log 241=－2． 7．（某某市2015届一模）设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f （x ）的值域为R ，是实数a 的取值X 围是＿＿＿＿【答案】（－∞，－1]∪[2，+∞）．【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数的解析式与函数的值域．【解析】由于f （x ）的值域为R ，则知22+a ≤2+a 2，整理有a 2－a －2≥0，解得a ≤－1或a ≥2．8．（某某市2015届一模）已知函数()22x f x =-()()1,2x ∈-，则函数(1)y f x =-的值域为．【答案】[)0,29．（淮、宿、连、徐四市2015届一模）已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x <时2()log (2)f x x =-，则(0)(2)f f +的值为_____．【答案】2-．10．（某某市2015届一模）已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式()()20f x x f -<的解集为．【答案】()1,0．11．（某某市2015届一模）若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e x f -<)(的解集为． 【答案】()e -∞-,．【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思维．【解析】当x<0时，－x>0，则f （x ）=－f （－x ）=－（－x ）ln （－x ）=xln （－x ），则f（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0),ln(0,00,ln x x x x x x x ，当x>0时，f ′（x ）=lnx+1，令f ′（x ）=0，解得x=e 1，则当0<x<e 1时，f ′（x ）<0；当x>e 1时，f ′（x ）>0，则函数f （x ）在（0，e 1）上递减，在（e 1，+∞）上递增，当x=e 1时取得极小值f （e 1）=－e1>－e ，结合函数f （x ）是R 上的奇函数，作出图象如下，由以上分析知不等式f （x ）<－e 在（0，+∞）上无解，而当x<0时，由于f （－e ）=－elne=－e ，则不等式f （x ）<－e= f （－e ），可得x<－e ．12．（某某市、某某市2015届二模）已知知函数1()||1x f x x +=+，x R ∈，则不等式2(2)(34)f x x f x -<-的解集是．【答案】(1，2)【命题立意】本题旨在考查函数的性质及解不等式．【解析】由1,01()2||11,01x x f x x x x >⎧+⎪==⎨+--<⎪-⎩，当x<0时1()||1x f x x +=+为增函数，∴2223434020x x x x x x ⎧-<-⎪-<⎨⎪-<⎩，解得1＜x ＜2． 13．（淮、宿、连、徐四市2015届一模）已知函数 ()22020x x f x x xx ⎧-≥=⎨+<⎩，则不等式(())3f f x ≤的解集为______．【答案】(-∞．【命题立意】本题旨在考查分段函数的解析式，不等式的解法．【解析】当x ≥0时，f （f （x ））=f （－x 2）=（－x 2）2+2（－x 2）=x 4－2x 2≤3，解得0≤x ≤3；当－2<x<0时，f （f （x ））=f （x 2+2x ）=（x 2+2x ）2+2（x 2+2x ）≤3，解得－2<x<0；当x ≤－2时，f （f （x ））=f （x 2+2x ）=－（x 2+2x ）2≤3，解得x ≤－2；综上所述可得x ≤3．【举一反三】涉及分段函数的问题，其处理的原理就是进行分类讨论，这也是解决问题的关键．14．（某某市、某某市2015届一模）已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+． 如果对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值X 围是．【答案】[5,2]--．【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，函数的解析式以及函数最值之间的关系． 【解析】由于f （x ）是定义在[－2，2]上的奇函数，则有f （0）=0，而当x ∈（0，2]时，f （x ）=2x－1∈（0，3]，则当x ∈[－2，2]时，f （x ）∈[－3，3]，若对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则等价于g （x ）max ≥3且g （x ）min ≤－3，而g （x ）=x 2－2x+m=（x －1）2+m －1，x ∈[－2，2]，则有g （x ）max =g （－2）=8+m 且g （x ）min =g （1）=m －1，则满足8+m ≥3且m －1≤－3，解得m ≥－5且m ≤－2，故－5≤m ≤－2．15．（某某市2015届一模）已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x x α⎧+≥=⎨-++<⎩是奇函数，则sin α=．【答案】1-．16．（某某市2015届二模）若函数2()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增，则实数a的取值X 围是． 【答案】(,2][5,)-∞+∞【命题立意】本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值X 围的问题，属于基础题【解析】根据题意可得：()()()()()()2222()(2)2x x a x a f x x x a x a x x a ⎧--≥⎪=--=⎨--<⎪⎩，∴()()()()()()2322()2322x x a x a f x x x a x a ---≥⎧⎪'=⎨--++<⎪⎩,函数2()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增等价于()0f x '≥在区间[2,4]上成立，当x a ≥时，要满足()0f x '≥在区间[2,4]上成立，即是要保证3220x a --≥在区间[2,4]上成立，令()322g x x a =--，等价于()20g ≥，解得2a ≤，同理，当x a <时，3220x a -++≥在区间[2,4]上成立，等价于()40g ≥，解得5a ≥，综上：实数a 的取值X 围是(,2][5,)-∞+∞．17．（某某市2015届三模）已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为． 【答案】(0，1)∪{2}【命题立意】本题旨在考查二次函数的图象与性质，分类讨论．【解析】由于f （x ）＝x 2－2x ＋a =（x －1）2+a －1，而f （0）=a ，f （x ）min =f （1）=a －1，由a +（a －1）=0可得a =12，当0<a <12时，此时a －1<－a ，那么t 的最大值g （a ）<1，即0<g（a ）<1；当a ≥12时，此时a －1≥－a ，那么t 的最大值g （a ）=2；综合可知函数g (a )的值域为（0，1）∪{2}．某某五年高考真题1．（2010·某某）设函数f(x)=x(e x+ae -x),(x ∈R )是偶函数，则实数a=_______． 【答案】－1．【解析】由偶函数⇒f(-x)=f(x) ⇒x(e x+ae -x)=－x(e -x+ae x) ⇒x(e x+e -x)(1+a)=0 x R ∈⇒a=－1．2．（2010·某某）已知函数()21,01,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式f(1－x 2)>f(2x)的x 的X围是_______．【答案】(－1,2－1)．【解析】设t=1－x 2，当x<－1时，t<0，2x<－2；f(1－x 2)=1，f(2x)=1⇒ f(1－x 2)= f(2x)； 当x>1时，t<0，2x>2，f(1－x 2)=1，f(2x)=(2x)2+1>5，显然不满足f(1－x 2)>f(2x)；当－1≤x<0时，t ≥0，2x<0，所以f(1－x 2)=(1－x 2)2+1≥1，f(2x)=1，⇒f(1－x 2)>f(2x) (x ≠－1)；当0≤x ≤1时，t ≥0，2x ≥0，所以f(1－x 2)=(1－x 2)2+1≥1，f(2x)=(2x)2+1，由f(1－x 2)>f(2x)⇒ (1－x 2)2+1>(2x)2+1⇒x 4－6x 2+1>0⇒0≤x<2－1综上，x ∈(－1,2－1)． 3．（2011·某某）2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________． 【答案】+∞1（－，）2． 4．（2011·某某）11、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________ 【答案】34a =-． 【解析】考察函数性质，含参的分类讨论，中档题。

第1讲 函数的图象、性质及应用热点一 函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.例1 (1)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________． (2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．跟踪演练1 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对于任意x ∈R ，恒有f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝2x －1，则f (2 017)＝________.(2)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是________．热点二 基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2015·山东改编)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________．(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练3 (1)(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是下列中的________．(2)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x ∈(－∞，0)时，不等式f (x )＋xf ′(x )<0恒成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2f (ln 2)，c ＝－2f (－2)，则a ，b ，c 的大小关系是________.热点三 函数的零点1．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．例1 (1)(2015·黄冈中学期中)函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在区间为________．①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,10)．(2)已知函数f (x )＝e x ＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝ln x －1的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________________________________________________________．思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．跟踪演练1 (1)函数f (x )＝x 2－2x 在x ∈R 上的零点的个数是________．(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为________．热点四 函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例2 (1)对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是________． (2)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是______________________． 思维升华 (1)f (x )＝g (x )根的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；(2)关于x 的方程f (x )－m ＝0有解，m 的范围就是函数y ＝f (x )的值域．跟踪演练2 (1)(2015·连云港模拟)若函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点，则实数m 的取值范围是________．(2)(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．1、（2018江苏高考）函数2()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ．2、（2017江苏高考）设f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，⎩⎨⎧∉∈=Dx x D x x x f ,,)(2，其中集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==*,1|N n n n x x D ，则方程0lg )(=-x x f 的解的个数是3、（2016江苏高考）函数y =的定义域是 ▲ .4、（南京市2018高三9月学情调研）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是 ▲ ．5、（南京市2018高三第三次（5月）模拟）若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2＜x ≤3，则f (a+1)的值为▲________．6、（前黄高级中学、姜堰中学等五校2018高三上第一次学情监测）已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8x f x =，则19()3f -的值为 ▲ ． 7、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为．8、（苏锡常镇2018高三5月调研（二模））已知函数1(|3|1),0()2ln ,0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩ ，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值为． 9、（苏州市2018高三上期初调研）已知函数()22f x x abx a b =+++.若()04f =，则()1f 的最大值是．10、（无锡市2018高三上期中考试）若函数()()1,03,0x x f x f x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则()5f =.11、（徐州市2018高三上期中考试）已知函数()e +1e x x f x -=-（e 为自然对数的底数），若2(21)42)(f x f x +->-，则实数x 的取值范围为 ▲ ．12、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2018高三第三次调研）函数2lg(43)y x x =--的定义域为▲．13、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）已知函数 f (x ) x 2kx 4 对任意的 x 1,3，不等式 f (x ) 0 恒成立，则实数 k 的最大值为 14、（2018江苏高考）函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为 ▲ ．15、（2016江苏高考）设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是 ▲ . 16、（南京市2018高三9月学情调研）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，x ≤0，－3|x －1|＋3，x ＞0．若存在唯一的整数x ，使得f (x )－ax＞0成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．17、（南京市2018高三第三次（5月）模拟）已知a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数． 若存在b ∈[－3e ，－e 2]，使得函数f (x )＝e x－ax －b 在[1，3]上存在零点，则a 的取值范围为▲________．18、（前黄高级中学、姜堰中学等五校2018高三上第一次学情监测）已知函数()ln (e )+f x x a x b =+-，其中e 为自然对数的底数，若不等式()0f x ≤恒成立，则ba的最大值为 ▲ ．19、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为．20、（苏州市2018高三上期初调研）已知函数()()0af x x a x=+>，当[]1,3x ∈时，函数()f x的值域为A ，若[]8,16A ⊆，则a 的值是．21、（无锡市2018高三上期中考试）已知函数()11212xf x =-+，则()()2110f a f a ++->的解为. 22、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2018高三第三次调研）已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩， ，，的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是▲．23、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）已知k 为常数，函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+=0ln 0,12)(x x x x x x f ，若关于x 的方程2)(+=kx x f 有且只有4个不同的解，则实数k 的取值集合为24、（苏州市2017届高三上学期期中调研）已知函数()33()x xf x λλ-=+⋅∈R（1）若()f x 为奇函数，求λ的值和此时不等式()1f x >的解集； （2）若不等式()6f x ≤对[0,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围．25、已知a R ∈，函数()||f x x x a =-。

回扣1 函数的图象与性质(1)求函数定义域的类型和相应方法①假设函数的解析式，那么函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ②假设f (x )的定义域为[a ，b ]，那么f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，那么f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域.(2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a ；③反比例函数y ＝kx(k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}. 2.函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，那么f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，那么f (x )为偶函数). (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，假设f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，那么f (x )是周期函数，T 是它的一个周期. 3.关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性①假设函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，那么f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期； ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，那么f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期；③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，那么f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期. (2)函数图象的对称性①假设函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )， 即f (x )＝f (2a －x )，那么f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②假设函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )， 即f (x )＝－f (2a －x )，那么f (x )的图象关于点(a,0)对称；③假设函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )， 那么函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称.函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质. ①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]， 那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数.②假设函数f (x )和g (x )都是减函数，那么在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；假设函数f (x )和g (x )都是增函数，那么在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f (g (x ))的单调性.(1)平移变换y ＝f (x )――――→h ＞0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――――→k ＞0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换y ＝f (x )――――→0<ω<1，伸ω＞1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――――→0<A <1，缩A ＞1，伸y ＝Af (x ). (3)对称变换y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x ).(1)定点：y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)恒过(0,1)点；y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)恒过(1,0)点.(2)单调性：当a ＞1时，y ＝a x在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增； 当0<a <1时，y ＝a x在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减.(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0,0)为f (x )的图象与x 轴的交点. (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：解方程f (x )＝0；②零点定理法：根据连续函数y ＝f (x )满足f (a )f (b )<0，判断函数在区间(a ，b )内存在零点； ③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.1.解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原那么.2.解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围.3.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪〞和“或〞连接，可用“及〞连接或用“，〞隔开.单调区间必须是“区间〞，而不能用集合或不等式代替.4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的单调性容易无视字母a 的取值讨论，无视a x ＞0；对数函数y ＝log a x (a＞0，且a ≠1)容易无视真数与底数的限制条件.x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进展准确互化.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x－4，x >0，那么f (f (1))＝________.答案 －2解析 f (f (1))＝f (21－4)＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2.f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间(－∞，1]上单调递减，那么a 的取值范围是________.答案 [1，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax ＋2＝x 2－2ax ＋a 2－a 2＋2＝(x －a )2－a 2＋2，∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，且在区间(－∞，1]上单调递减， ∴a 的取值范围是[1，＋∞).f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b )，x ≥0，ax (x ＋2)，x ＜0(a ，b ∈R )为奇函数，那么f (a ＋b )的值为________.答案 －1解析 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a (－1)(－1＋2)＝－1(1－b )，－2a (－2＋2)＝－2(2－b )，解得a ＝－1，ba ＝－1，b ＝2满足题设条件， 所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，那么实数a 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由题意得a ＞2x －2x2对1＜x ＜4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14＜1x ＜1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a ＞12.f (x )＝||x ＋2||x ，且满足f (a －1)＜f (2)，那么实数a 的取值范围是________.答案 (－1,3)解析 因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋2x是单调增函数，故由偶函数的性质及f (a －1)＜f (2)可得|a －1|＜2，即－2＜a －1＜2， 即－1＜a ＜3.R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且f (－3)＝2，那么f (2021)＝________. 答案 －2解析 由题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数是以4为周期的周期函数，所以f (2021)＝f (3)＝－f (－3)＝－2.f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，假设f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))成立，那么实数m 的取值范围是________________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2 解析 因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增. 故由f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2m ≤2，－2≤log 4(m ＋2)≤2，log 2m ＜log 4(m ＋2)，m ＞0，m ＋2＞0，故有⎩⎪⎨⎪⎧14≤m ≤4，116≤m ＋2≤16，m 2<m ＋2，m >0，m ＋2>0，解得14≤m <2.综上可知，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2.R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，那么f (log 220)＝__________. 答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)， 因为4＜log 220＜5，所以0＜log 220－4＜1， －1＜4－log 220＜0.又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－1.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7(a >0，且a ≠1)单调递增，那么实数a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3 解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7(a >0，且a ≠1)单调递增，所以1<a <3.又由题意得7(3－a )－3<a ，解得a >94，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3. f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，那么函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为__________. 答案 2解析 当x ＞2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数，当x ＞2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝3－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去).所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x ＜0，假设互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，那么x 1＋x 2＋x 3的取值范围是____________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6 解析 由题意可得函数f (x )的图象如下图，假设存在互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝k ，那么k ∈(－3,4)，不妨令x 1＜x 2＜x 3，那么x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，x 2＋x 3＝6，故x 1＋x 2＋x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6.R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )－2，当x ∈(0，2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ∈(0，1)，1x，x ∈[1，2]，假设当x ∈(0,4]时，t 2－7t2≤f (x )≤3－t 恒成立，那么实数t 的取值范围是______________.答案 [1,2]解析 当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2－x ，函数值满足－14≤f (x )<0，当x ∈[1,2]时，f (x )＝1x ，函数值满足12≤f (xx ∈(2,3)时，f (x )＝2f (x －2)－2＝2x 2－10x ＋10，函数值满足－52≤f (x )＜－2；当x ∈[3,4]时，f (x )＝2f (x －2)－2＝2x －2－2，函数值满足－1≤f (x )≤0. 综上，当x ∈(0,4]时，函数f (x )的最小值为－52，最大值为1.由t 2－7t 2≤f (x )≤3－t 恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧t 2－7t 2≤－52，3－t ≥1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤t ≤52，t ≤2，∴1≤t ≤2.。

热点探究课(一) 函数的图象与性质[命题解读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．热点1 函数图象的应用利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为________. 【导学号：62172064】⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 [画出函数f (x )的图象，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.][迁移探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，求实数k 的取值范围．[解] 由函数f (x )的图象(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值范围是k ＝0或k >1.[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，求实数k 的取值范围．[解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k |x |的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值范围为k ＝0或k ≥2.[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解． [对点训练1] (2017·镇江期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0＜x ＜2，x ＋22x，x ≥2，若0＜a ＜b ＜c ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abf c的范围是________．(1,2) [如图所示，∵0＜a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )， ∴－log 2a ＝log 2b ，即ab ＝1， 又由图可知12＜f (c )＜1，故1＜1f c＜2，∴ab f c ＝1f c∈(1,2)．] 热点2 函数性质的综合应用对函数性质的考查，以单调性、奇偶性和周期性为主，同时融合函数的零点问题，重在考查学生的等价转化能力及数形结合意识，难度中等．熟练掌握上述性质是解此类题的关键． ☞角度1 单调性与奇偶性结合(2016·天津高考改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.]☞角度2 奇偶性与周期性结合(2017·南通二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)，若当x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．7[由f(x＋2)＝f(x)可知，f(x)在[0，＋∞)上是周期为2的函数，又x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，且f(x)为偶函数，故f(x)在[－2,4]上的图象如图所示．由图可知y＝f(x)与y＝1有7个交点，故函数y＝f(x)－1在区间[－2,4]上有7个零点．]☞角度3 单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系为________．f(－25)＜f(80)＜f(11) [因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．][规律方法]函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．热点3 函数图象与性质的综合应用函数的零点、方程的根和函数图象的交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想是解答此类问题的关键所在．因此在处理此类问题时，务必要结合题设信息实现知识转化．以填空题压轴题据多，求解时务必细心．(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为______．4 [令h (x )＝f (x )＋g (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示．由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.][规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．[对点训练2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________.【导学号：62172065】(－∞，1) [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x ＞0的图象如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图象与函数f (x )＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．]热点探究训练(一)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·镇江期中)函数f (x )＝12－lg x 的定义域是________． (0，10] [由12－lg x ≥0得lg x ≤12，即0<x ≤10.]2．(2017·常州期末)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________.【导学号：62172066】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 [∵－x 2＋22≤22，且y ＝log 2x 在(0,22]上单调递增，故log 2x ≤log 222＝log 2232＝32.]3．(2017·如皋中学高三第一次月考)若函数f (x )＝x 2x＋me x－1(e 为自然对数的底数)是奇函数，则实数m 的值为________．1 [由f (－x )＝－f (x )得x 2－x ＋m e －x －1＝－x 2x＋me x－1， 即1＋m e x＝e x＋m ，故m ＝1.]4．若函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________.【导学号：62172067】－3 [令g (x )＝a sin 2x ＋b tan x ，则g (x )是奇函数，且最小正周期是π，由f (－3)＝g (－3)＋1＝5，得g (－3)＝4，则g (3)＝－g (－3)＝－4，则f (π＋3)＝g (π＋3)＋1＝g (3)＋1＝－4＋1＝－3.]5．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________．1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.]6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[－1,2) [由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x ＞a 时有一个解．由x ＝2，得a ＜2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， 由x ≤a ，得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．]7．(2017·南通第一次学情检测)已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤6的解集是________. 【导学号：62172068】[－2,4] [∵f (x )为R 上的偶函数， ∴当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝2－x－2， 即f (x )＝2－x －2. ∵f (x －1)≤6，∴当x －1≥0，即x ≥1时， 2x －1－2≤6，解得1≤x ≤4； 当x －1<0，即x <1时，21－x－2≤6，解得－2≤x <1.综上可知，f (x －1)≤6的解集为[－2,4]．]8．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]9．已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________． b ＞a ＞c [由函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，得函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0,1)时，f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝|log 2x |，且x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (4)，所以b ＞a ＞c .] 10．(2017·南京一模)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x＋m2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞1，f －x ，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 [由f (x )为R 上的奇函数可知，f (0)＝0，即1＋m ＝0，m ＝－1，∴f (x )＝2x－12x ，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－12x ，x ＞1，12x－2x，x ≤1.又当x ＞1时，g (x )为增函数， ∴g (x )＞g (1)＝2－12＝32，当x ≤1时，g (x )为减函数， ∴g (x )≥g (1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝－32. 要使g (x )－t ＝0有且只有一解，即函数y ＝g (x )与y ＝t 的图象只有一个交点(图略)，故－32≤t ≤32.]二、解答题11．(2017·镇江期中)已知函数f (x )＝log 2x4log 22x .(1)解不等式f (x )>0；(2)当x ∈[1,4]时，求f (x )的值域．[解] (1)函数f (x )＝log 2x4·log 22x ＝(log 2x －log 24)(log 22＋log 2x )＝(log 2x )2－log 2x －2，x ∈(0，＋∞)． 令f (x )＝(log 2x )2－log 2x －2>0， 则log 2x >2或log 2x <－1，故x >4或0<x <12.(2)若x ∈[1,4]，则0≤log 2x ≤2，f (x )＝(log 2x )2－log 2x －2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －122－94，当log 2x ＝12即x ＝2时，f (x )min ＝－94；当log 2x ＝2即x ＝4时，f (x )max ＝0.故f (x )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0. 12．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f (x )＝－2x＋m2x ＋1＋n (其中m ，n 为参数)．(1)当m ＝n ＝1时，证明：f (x )不是奇函数； (2)如果f (x )是奇函数，求实数m ，n 的值；(3)已知m >0，n >0，在(2)的条件下，求不等式f (f (x ))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0的解集． [解] 证明：(1)f (x )＝－2x＋12x ＋1＋1，∴f (1)＝－2＋122＋1＝－15，f (－1)＝－12＋12＝14，∵f (－1)≠－f (1)，∴f (x )不是奇函数． (2)由f (x )是奇函数得f (－x )＝－f (x )，即－2－x＋m 2－x ＋1＋n ＝－－2x＋m2x ＋1＋n 对定义域内任意实数x 都成立，化简整理得关于x 的恒等式(2m －n )·22x＋(2mn －4)·2x＋(2m －n )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝0，2mn －4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.(3)由题意得m ＝1，n ＝2，∴f (x )＝－2x＋12＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋22x ＋1，易判断f (x )在R 上递减，∵f (f (x ))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0， ∴f (f (x ))<－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，∴f (x )>－14，∴2x<3，∴x <log 23，即所求不等式的解集为(－∞，log 23)．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|fx ＋fx2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (lnx )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e＜x ＜e.]2．(2017·泰州中学高三摸底考试)对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．若f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋1e [由题意得lnx ＋x ＝kx 有两个不同的解，k ＝ln x x ＋1，则k ′＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e ，因此当0<x <e 时，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋1e ，当x >e 时，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ，从而要使ln x＋x ＝kx 有两个不同的解，需k ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋1e .] 3．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f＝2，f ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x . (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1)．∵x 2x －1＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1. 4．已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝a |x －1|.(1)若当x ∈R 时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求函数h (x )＝|f (x )|＋g (x )在区间[0,2]上的最大值．[解] (1)不等式f (x )≥g (x )对x ∈R 恒成立，即x 2－1≥a |x －1|(*)对x ∈R 恒成立． ①当x ＝1时，(*)显然成立，此时a ∈R ；②当x ≠1时，(*)可变形为a ≤x 2－1|x －1|，令φ(x )＝x 2－1|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1，－x ＋，x <1.因为当x >1时，φ(x )>2，当x <1时，φ(x )>－2， 所以φ(x )>－2，故此时a ≤－2.综合①②，得所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]． (2)h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ＋a ＋1，0≤x <1，0，x ＝1，x 2＋ax －a －1，1<x ≤2.①当－a2≤0，即a ≥0时， (－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (0)＝a ＋1， (x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3. 此时，h (x )max ＝a ＋3. ②当0<－a2≤1，即－2≤a <0时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋a ＋1，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3.此时h (x )max ＝a ＋3. ③当1<－a2≤2，即－4≤a <－2时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0，(x 2＋ax －a －1)max ＝max{h (1)，h (2)}＝max{0,3＋a }＝⎩⎪⎨⎪⎧0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2.此时h (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2.④当－a2>2，即a <－4时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0， (x 2＋ax －a －1)max ＝h (1)＝0. 此时h (x )max ＝0.11 综上：h (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a ，a ≥－3，0，a <－3.。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I 2.1 函数及其表示文1．函数与映射(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y 组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法．3．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．常见函数定义域的求法2nf x，n∈N*1f x与[f (x )]0判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)映射是特殊的函数．( × )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )(6)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．( × )1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ＋x ，x ∉R ，其中i 是虚数单位，则f (f (1－i))＝________.答案 3解析 f (1－i)＝(1＋i)(1－i)＝2，f (f (1－i))＝f (2)＝1＋2＝3.2．函数f (x )＝12x2－1的定义域为______________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2x2－1>0，解得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．3．(2015·陕西)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))＝________.答案 12解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12. 4．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是________(填序号)．答案 ②解析 ①中函数定义域不是[－2,2]，③中图象不表示函数，④中函数值域不是[0,2]，故填②.5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①②解析 对于①，函数是映射，但映射不一定是函数；对于②，f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③，函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；对于④，函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x －x表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x －x的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应法则均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．(1)下列四组函数中，表示同一函数的是________．①y ＝x －1与y ＝x －2；②y ＝x －1与y ＝x －1x －1； ③y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2； ④y ＝lg x －2与y ＝lg x100.(2)下列所给图象是函数图象的个数为________．答案 (1)④ (2)2解析 (1)①中两函数对应法则不同；②、③中的函数定义域不同，④表示同一函数． (2)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．题型二 函数的定义域命题点1 求给定函数解析式的定义域 例2 (1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为__________．(2)函数f (x )＝x ＋x －1的定义域是______________．答案 (1)(－3,0] (2)(－1,1)∪(1，＋∞)解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3,0]．(2)要使函数f (x )＝x ＋x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x >－1，且x ≠1.命题点2 求抽象函数的定义域例 3 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f x ＋x －1的定义域是____________．(2)若函数f (x )的定义域为(0,1]，则函数f ⎝⎛⎭⎪⎫lg x 2＋x 2的定义域为________________________________________________________________________． 答案 (1)[0,1)∪(1,2 015] (2)[－5，－2)或(1,4]解析 (1)令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 016]，可知1≤t ≤2 016.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 016，解得0≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[0，2 015]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 015，x －1≠0，解得0≤x <1或1<x ≤2 015.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1，2 015]． (2)∵函数f (x )的定义域为(0,1]，∴0<lg x 2＋x2≤1，即1<x 2＋x2≤10，则1<x ≤4或－5≤x <－2.命题点3 已知定义域求参数范围例4 若函数f (x )的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f (x )的定义域为R ，所以22210＋－－x ax a≥对x ∈R 恒成立，即22022＋－，x ax a≥x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 思维升华 简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的范围一致．(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________． (2)函数y ＝x ＋－x 2－3x ＋4的定义域为_____________________________________． 答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得：12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型三 求函数解析式例5 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x)＝2f x x－1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________________.答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x ) (－1<x <1) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ， 得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．2．分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，13，x x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(2)(2015·山东改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是____________． 解析 (1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2，∴x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]． (2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.答案 (1)(－∞，8] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 温馨提醒 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解．(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．(3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论．[方法与技巧]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应法则是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解． [失误与防范]1．复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混． 2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．下列各组函数中，表示同一函数的是________． ①f (x )＝x ，g (x )＝(x )2； ②f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； ③f (x )＝x 2，g (x )＝|x |； ④f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x . 答案 ③解析 在①中，定义域不同，在②中，解析式不同，在④中，定义域不同． 2．已知函数f (x )＝11－x2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )＝______________. 答案 (－∞，1)解析 M ＝(－1,1)，N ＝(－1，＋∞)，故M ∪(∁R N )＝(－∞，1)．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x，x ≤0，则f (f (－2))的值为________． 答案 －2解析 ∵－2≤0，∴f (－2)＝10－2， ∴f (f (－2))＝f (10－2)＝lg 10－2＝－2.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0，则不等式x ＋x ·f (x )≤2的解集是__________．答案 {x |x ≤1} 解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋x 2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x －x 2≤2.解得0≤x ≤1或x <0.∴x ≤1. 5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是______________． 答案 f (x )＝－log 2x解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .6．已知函数f (x )＝log 21x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________. 答案 －78解析 由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1＝23， 解得a ＝－78.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x＝212-.故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22.8．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10．根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．解 当－3≤x <－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72； 当－1≤x <1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12； 当1≤x <2时，f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32x －72，－3≤x <－1，32x －12，－1≤x <1，1，1≤x <2.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,3)解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ， 所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数y ＝13的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3.综上所述，a 的取值范围是[0,3)．12．已知函数f (x )＝4x －12x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝________. 答案 4 028解析 ∵f (x )＝4x －12x －1＝x －＋12x －1＝2＋12x －1， f (1－x )＝2＋1－x －1＝2－12x －1， ∴f (x )＋f (1－x )＝4.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝4，…，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0072 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0082 015＝4， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015 ＝4×1 007＝4 028.13．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ]，(a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．答案 5解析 由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个．14．已知x ∈R ，定义：A (x )表示不小于x 的最小整数．如A (3)＝2，A (－0.4)＝0，A (－1.1)＝－1.若A (2x ＋1)＝3，则实数x 的取值范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 解析 由题中定义可知A (2x ＋1)＝3等价于2<2x ＋1≤3，解得12<x ≤1. 15．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．。

专项强化练(二) 函数的概念与性质A 组——题型分类练题型一 函数的基本概念1．(2020-2021·无锡单元检测)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时，mx2＋4mx ＋3＝3满足题意；当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m <0，解得0<m <34.综上，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，342．已知函数f (x )的定义域为实数集R ，∀x ∈R ，f (x －90)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为________．解析：因为f (10)＝f (100－90)＝lg 100＝2，f (－100)＝f (－10－90)＝－(－10)＝10，所以f (10)－f (－100)＝2－10＝－8. 答案：－83．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________．解析：依题意得当x ≤1时，3x＝2，所以x ＝log 32； 当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32. 答案：log 324．下列函数中，满足f (2x )＝2f (x )的序号是________． ①f (x )＝|x |；②f (x )＝x －|x |； ③f (x )＝x ＋1；④f (x )＝－x .解析：对于①，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于②，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x <0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x <0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于③，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1≠2f (x )．对于④，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )．答案：①②④ [临门一脚]1．定义域、值域和对应关系是决定函数的三个要素，是一个整体，研究函数问题时务必“定义域优先”．2．分段函数是指在定义域内的不同部分上，有不同的解析表达式的函数，它的单调性不仅要考虑各个部分的单调性，还要注意各段交界处的函数值的大小关系，所以分段函数是函数的一个重要考点，应引起我们的高度重视．题型二 函数的单调性与最值1．已知函数f (x )＝log 5(x 2－3x －4)，则该函数的单调递增区间为________． 解析：由题意知x 2－3x －4>0，则x >4或x <－1， 令y ＝x 2－3x －4，则其图象的对称轴为x ＝32，∴y ＝x 2－3x －4的单调递增区间为(4，＋∞)．单调递减区间为(－∞，－1)，由复合函数的单调性知f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)． 答案：(4，＋∞)2．(2020-2021·姜堰中学模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若x ＞1，则f (x )＝x ＋1＞2，易知y ＝2|x －a |在(a ，＋∞)上递增，在(－∞，a )上递减，若a ＜1，则f (x )在x ＝a 处取得最小值，不符合题意； 若a ≥1，则要使f (x )在x ＝1处取得最小值， 只需2a －1≤2，解得a ≤2，∴1≤a ≤2.综上可得a 的取值范围是[1，2]． 答案：[1，2]3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意互异的实数x 1，x 2，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0成立，则使得不等式f (t 2－3)＋f (2t )<0成立的实数t 的取值范围为____________．解析：因为对任意互异的实数x 1，x 2，均有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0成立，所以函数f (x )在定义域R 上单调递减，又f (x )为奇函数，故不等式f (t 2－3)＋f (2t )<0可化为f (t 2－3)<f (－2t )，结合单调性可知，t 2－3>－2t ，即t 2＋2t －3>0，解得t <－3或t >1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞) [临门一脚]1．单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不等关系可以“正逆互推”，此时要注意定义域的限制．2．判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法．对于填空题，也可用一些命题，如两个增(减)函数的和函数仍为增(减)函数．3．函数的多个单调区间不能用“∪”相连．4．复合函数的单调性在转化时，不能忽视定义域的限制． 题型三 函数的奇偶性与周期性1．(2018·南京高三模拟)若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2<x ≤3，则f (a ＋1)的值为________． 解析：由f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，得f (0)＝f (3)，解得a ＝0，则f (a ＋1)＝f (1)＝2.答案：22．(2020-2021·镇江期初)已知函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，且对于任意x 1，x 2∈[0，1]，x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：由函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，知：f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，∴f [－(x －1)]＝f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，可知函数的周期为4，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫49，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫47.由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0，可知函数是区间[0，1]上的减函数，据此可得b ＞a ＞c .答案：b ＞a ＞c3．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：由题意知：a ≠0，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0，b ＝－2.所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a 2＝2.所以f (x )＝－2x 2＋2.答案：－2x 2＋24．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集为________．解析：若x ＜0，则－x ＞0，∵当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ， ∴当－x ＞0时，f (－x )＝x 2＋4x . ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )， 则f (x )＝－x 2－4x ，x ＜0，当x ＞0时，不等式f (x )＞x 等价为x 2－4x ＞x ， 即x 2－5x ＞0，得x ＞5或x ＜0，此时x ＞5， 当x ＜0时，不等式f (x )＞x 等价为－x 2－4x ＞x ， 即x 2＋5x ＜0，得－5＜x ＜0，当x ＝0时，不等式f (x )＞x 等价为0＞0不成立， 综上，不等式的解为x ＞5或－5＜x ＜0， 故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5，0)∪(5，＋∞) [临门一脚]1．函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，但定义域是否对称还是必要条件． 2．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．3．奇函数用f (0)＝0时要注意定义域是否有0，偶函数还可以用f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．B 组——高考提速练1．函数f (x )＝2x－4的定义域为________．解析：由2x－4≥0，即2x≥22，得x ≥2，所以函数的定义域为[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞) 2．函数f (x )＝2xx ＋1在[1，2]内的最大值和最小值分别是________． 解析：f (x )＝2（x ＋1）－2x ＋1＝2－2x ＋1，故f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，所以f (x )在[1，2]上的最大值为f (2)＝43，最小值为f (1)＝1.答案：4313．(2020-2021·南京三模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，f （x －2），x >0，则f (log 23)＝________．解析：因为0<log 23<2，所以f (log 23)＝f (log 23－2)＝2log 23－2＝2log 2322＝34.答案：344．(2020-2021·盐城三模)若函数f (x )＝lg(1＋x )＋lg(1＋ax )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )为偶函数，所以对定义域内的任意x ，都有f (－x )＝f (x )，所以lg(1＋x )＋lg(1＋ax )＝lg(1－x )＋lg(1－ax )，所以得(1＋x )(1＋ax )＝(1－x )(1－ax )，所以得(a ＋1)x ＝0，所以a ＝－1.答案：－15．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7. 答案：[7，＋∞)6．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]； 当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]． 故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]． 答案：[－4，6]7．(2020-2021·盐城中学模拟)设函数f (x )的定义域为D ，若f (x )满足条件：存在[a ，b ]⊆D (a ＜b )，使f (x )在[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]，则称为“优美函数”．若函数f (x )＝log 2(4x＋t )为“优美函数”，则t 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝log 2(4x＋t )是定义域上的增函数，∴由题意得，若函数为“优美函数”，则f (x )＝x 有两个不相等的实根，即log 2(4x ＋t )＝x ，整理得4x ＋t ＝2x ，∴(2x )2－2x＋t ＝0有两个不相等的实根．∵2x＞0，令λ＝2x(λ＞0)，∴λ2－λ＋t ＝0有两个不相等的正实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4t ＞0，t ＞0，解得0＜t ＜14，即t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，148．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x >0，0，x ＝0，2x －1，x <0，则不等式f (x 2－2)＋f (x )＜0的解集为__________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x >0，0，x ＝0，2x －1，x <0的图象如图所示，∴f (x )是定义域为R 的奇函数也是增函数，∴不等式f (x 2－2)＋f (x )＜0⇔ f (x 2－2)＜f (－x )⇔x 2－2＜－x ，解得－2＜x ＜1， ∴原不等式的解集为(－2，1)． 答案：(－2，1)9．(2020-2021·徐州中学模拟)已知函数f (x )＝a －x 2(1≤x ≤2)与g (x )＝x ＋2的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是________．解析：若函数f (x )＝a －x 2(1≤x ≤2)与g (x )＝x ＋2的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程a －x 2＝－(x ＋2)，即a ＝x 2－x －2在区间[1，2]上有解．令h (x )＝x 2－x －2，1≤x ≤2，由于h (x )＝x 2－x －2的图象是开口朝上且以直线x ＝12为对称轴的抛物线，故当x ＝1时，h (x )取得最小值－2，当x ＝2时，h (x )取得最大值0，故a ∈[－2，0]．答案：[－2，0]10．设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤M ，M ，f （x ）>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)＝________．解析：由题意得f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤－1或x ≥1，1，－1＜x ＜1，故f M (0)＝1. 答案：111．(2020-2021·扬州中学模拟)已知f (x ) 为定义在R 上的单调函数，对任意的x ∈R 都有f [f (x )－2x]＝6，则f (2)＝________.解析：设t ＝f (x )－2x，则f (t )＝6，且f (x )＝2x＋t ，令x ＝t ，则f (t )＝2t＋t ＝6，∵f (x )是单调函数，f (2)＝22＋2＝6，∴t ＝2，即f (x )＝2x ＋2，则f (2)＝4＋2＝6.答案：612．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．解析：法一：由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥0，2－x －2，x <0，则不等式f (x －1)≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2x －1－2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，2－x ＋1－2≤2，解得1≤x ≤3或－1≤x <1， 故不等式f (x －1)≤2的解集是[－1，3]．法二：当x ≥0时，f (x )＝2x－2在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2.又函数f (x )是偶函数，则f (x －1)≤2⇔f (|x －1|)≤f (2)⇔|x －1|≤2⇔－2≤x －1≤2，解得－1≤x ≤3，故不等式f (x －1)≤2的解集为[－1，3]．答案：[－1，3]13．已知函数f (x )＝x 2－2|x |＋4的定义域为[a ，b ]，其中a <b ，值域[3a ，3b ]，则满足条件的数组(a ，b )为____________．解析：因为f (x )＝x 2－2|x |＋4＝(|x |－1)2＋3≥3，所以3a ≥3⇒a ≥1，从而f (b )＝b2－2b ＋4＝3b ⇒b ＝1(舍去)或b ＝4；f (a )＝a 2－2a ＋4＝3a ⇒a ＝1或a ＝4(舍去)．即满足条件的数组(a ，b )为(1，4)．答案：(1，4)14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，－x ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，g (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －a ＋2(a >0)，若存在x 1，x 2∈[0，1]，使f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．解析：对于函数f (x )，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12， 从而当x ∈[0，1]时，函数f (x )的值域为D 1＝[0，1]． 对于函数g (x )，因为0≤x ≤1，0≤π6x ≤π6，0≤sin π6x ≤12，所以2－a ≤a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －a ＋2≤2－12a ，从而当x ∈[0，1]时，函数g (x )的值域为D 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－a ，2－12a (a >0)． 因为存在x 1，x 2∈[0，1]时，使f (x 1)＝g (x 2)， 所以D 1∩D 2≠∅.若D 1∩D 2＝∅，则2－12a <0或2－a >1，解之得0<a <1或a >4，所以当D 1∩D 2≠∅时，1≤a ≤4， 即实数a 的取值范围是[1，4]． 答案：[1，4]。