东北三省三校2014届高三第二次联合模拟考试 数学文

2014年黑龙江省某校高考数学三模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 设复数z =(1−i)2（i 是虚数单位），则z ¯的虚部是（ ） A 2i B −2i C 2 D −22. 已知cosα=−13，α是第三象限角，则tanα=( )A 2√2B −2√2C √24 D −√243. 已知条件p:a <0，条件q:a 2>a ，则￢p 是￢q 的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S6S 3=9，则公比q =( )A 12B ±12C 2D ±25. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)离心率为3，直线y =2与双曲线C 的两个交点间的距离为√6，则双曲线C 的方程是（ ） A 2x 2−y 2=1 B x 2−y 28=1 Cx 25−y 210=1 D4x 25−y 210=16. 王明早晨在6:30∼7:00之间离开家去上学，送奶员在早上6:45∼7:15之把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为（ ） A 18B 14C 78D 587. 如图是“二分法”解方程的流程图．在①∼④处应填写的内容分别是（ ）A f(a)f(m)<0；a =m ；是；否B f(b)f(m)<0；b =m ；是；否 C f(b)f(m)<0；m =b ；是；否 D f(b)f(m)<0；b =m ；否；是8. 设x ，y ∈R ，a >0，且|x|+|y|≤a ，2x +y +1最大值小于2，则实数a 的取值范围为（ ）A (0, 1)B (0, 12) C [12, 1) D (0, 1]9. 已知△ABC 中，BC =2，∠A =π3，则|AB →+AC →|的最大值（ ） A√213 B 2√213C 2√3D 4√3 10.Rt △ABC 中CA =CB =√2，M 为AB 的中点，将△ABC 沿CM 折叠，使A ，B 之间的距离为1，则三棱锥M −ABC 外接球的表面积为( ) A16π3B 4πC 3πD 7π311. 已知A ，B 是抛物线y 2=4x 上异于顶点O 的两个点，直线OA 与直线OB 的斜率之积为定值−4，△AOF ，△BOF 的面积为S 1，S 2，则S 12+S 22的最小值为（ ） A 8 B 6 C 4 D 212. 函数f(x)={2x 3+3x 2，x ≤0axex，x >0在[−2, 2]上的最大值为1，则实数a 的取值范围是（ ） A [0, +∞) B [0, e] C (−∞, 0] D (−∞, e]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13. 过点P(3, 4)作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为________．14. 某几何体的三视图如图所示(x =1)，则该几何体的体积为________．15. 利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下列说法正确的是：________①相关系数r 满足|r|≤1，而且|r|越接近1，变量间的相关程度越大，|r|越接近0，变量间的相关程度越小；②可以用R 2来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，R 2越小，模型的拟合效果越好； ③如果残差点比较均匀地落在含有x 轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样的带状区域越窄，回归方程的预报精度越高；④不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值． 16. 数列{a n }的通项为a n =(−1)n (2n −1)⋅cosnπ2+1前n 项和为S n ，则S 60=________．三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知向量n →=(√3sin x4, −1)，n →=(cos x4, cos 2x4)，记f(x)=m →⋅n →，（1）求f(x)的值域和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a−c)cosB=bcosC，若f(A)=−12，a=2，求△ABC的面积．18. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF // DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角的正切值为√22．（1）求证：直线AC // 平面EFB；（2）求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．19. 某校随机抽取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩，统计后获得成绩数据的茎叶图（以十位数字为茎，个位数字为叶），如图所示：（1）分别计算两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均成绩更好；（2）从这两组数据中分别抽取一个数据，求其中至少有一个是满分的概率；（3）规定：客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，从甲班的十个数据中任意抽取两个，求两个都是“优秀客观卷”的概率．20. 已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C方程为x2a2+y2b2=1，椭圆上的点到焦点距离最大值为3，离心率e=12．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B为椭圆上的点，△AOB面积为√3，求证：|OA|2+|OB|2为定值．21. 已知f(x)=axe kx−1，g(x)=lnx+kx．（1）求g(x)的单调区间；（2）当k=1时，f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，假设两圆O1和O2交于A、B，⊙O1的弦BC交⊙O2于E，⊙O2的弦BD交⊙O1于F，证明：（1）若∠DBA =∠CBA ，则DF =CE ； （2）若DF =CE ，则∠DBA =∠CBA ．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 已知直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2+t （t 为参数），在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C 的极坐标方程分别为ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6 （1）求直线l 与圆C 的直角坐标方程；（2）设A(−1, 2)，P ，Q 为直线l 与圆C 的两个交点，求|PA|+|AQ|．【选修4-5：不等式选讲】 24. 设函数f(x)=|x −a|．（1）当a =2时，解不等式f(x)≥4−|x −1|；（2）若f(x)≤1的解集为{x|0≤x ≤2}，1m +12n =a(m >0, n >0)．求证：m +2n ≥4．2014年黑龙江省某校高考数学三模试卷（文科）答案1. C2. A3. B4. C5. B6. A7. B8. B9. C 10. D 11. D 12. D 13. 3 14. 1615. ①③④ 16. 12017. 解：（1）由题意可得f(x)=m →⋅n →=√3sin x4cos x4−cos 2x4=√32sin x 2−1+cos x22=sin(x2−π6)−12， 故函数的值域为[−32, 12]．令 2kπ−π2≤x 2−π6≤2kπ+π2，k ∈z ，求得 4kπ−2π3≤x ≤4kπ+4π3，k ∈z ，故函数的单调递增区间为[4kπ−2π3, 4kπ+4π3]，k ∈z ．（2）在△ABC 中，∵ (2a −c)cosB =bcosC ，由正弦定理可得 2sinAcosB −sinCcosB =sinBcosC ，即 2sinAcosB =sinA ，∴ cosB =12，B =π3．∵ f(A)=sin(A 2−π6)−12=−12，∴ sin(A 2−π6)=0，∴ A 2−π6=0，∴ A =π3，∴ C =π−A −B =π3，∴ A =B =C ，∴ △ABC 为等边三角形，再根据a =2，可得△ABC 的面积S =12×2×2sin π3=√3． 18. （1）证明：设AC ，BD 交于O ，取EB 中点M ，连结FM ，MO ， 在△BDE 中，OM = // 12DE ，FA = // 12DE ，∴ OM = // FA ，∴ 四边形FAOM 是平行四边形，∴ FG // AO ，又AO 不包含平面EFB ，FG ⊂平面EFB ， ∴ 直线AC // 平面EFB ．（2）解：∵ ED ⊥平面ABCD ， ∴ BD 是BE 在面ABCD 上的射影，∴ ∠EBD 是直线BE 与平面BCD 所成的角，tan∠EBD =EDBD =ED 2√2=√22，解得ED =2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意知A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)， B(2, 2, 0)，E(0, 0, 2)，∴ AC →=(−2,2,0)，AB →=(0,2,0)，AE →=(−2,0,2)， 设平面ABE 的法向量n →=(x,y,z)，则{n →⋅AE →=−2x +2z =0˙，取x =1，得n →=(1,0,1)， 设直线AC 与平面ABE 所成角为θ， sinθ=|cos <AC →，n →>|=√8×√2=12． ∴ 直线AC 与平面ABE 所成角的正弦值为12．19. 解：（1）甲、乙两组数据的平均数分别为51.5，49，甲班的客观题平均成绩更好．（2）设从甲班数据中取1个数据，至少有1个满分为事件A ， 从乙班数据中取1个数据，至少有1个满分为事件B ， 则P(A)=210=15，P(B)=110，则从这两组数据中分别抽取一个数据，至少有一个是满分的概率是P(AB)=15⋅110=150．（3）设从甲班数据中任取2个数据，两个都是优秀客观卷为事件C甲班10个数据中任意抽取两个有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45种情况 甲班10个数据中任意抽取两个都是优秀客观卷有5+4+3+2+1=15种情况 则P(C)=1545=13． 20. 解：（1）由题意可得{a +c =3c a=12，解得{a =2c =1， ∴ b 2=3，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线AB 斜率不存在时，S △AOB =√3=|x 1y 1|⇒x 12y 12=3⇒y 123=1x 12，代入x 124+y 123=1，得x 12=2，则y 12=32，∴ |OA|2+|OB|2=x 12+y 12+x 22+y 22=2(x 12+y 12)=7； ②当直线AB 斜率存在时，设直线AB:y =kx +m ，与x 24+y 23=1联立得，(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=48(4k 2−m 2+3)>0，由韦达定理得，{x 1+x 2=−8km4k 2+3x 1x 2=4m 2−124k 2+3， 原点O 到直线AB 的距离d =√1+k 2，|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(−8km 4k 2+3)2−4⋅4m 2−124k 2+3=4k 2+3˙，则S △AOB =√3=12√1+k 2|x 1−x 2|√1+k2，代入整理得14=(4k 2+3)−m 2(4k 2+3)2⋅m 2，化简得2m 2=3+4k 2，∴ |OA|2+|OB|2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+(3−34x 12)+x 22+(3−34x 22)=14(x 12+x 22)+6=14[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+6=14[(−8km 4k 2+3)2−2⋅4m 2−124k 2+3]+6 =2⋅4k 2m 2−3m 2+12k 2+9(4k 2+3)2+6=2⋅(4k 2−3)m 2+12k 2+9(4k 2+3)2+6=2⋅(4k 2−3)⋅4k 2+32+12k 2+9(4k 2+3)2+6=7．综上，|OA|2+|OB|2=7（定值）． 21. 解：（1）∵ g(x)=lnx +kx ， ∴ g′(x)=1x +k…当k ≥0时，g ′(x)>0在(0, +∞)恒成立，则 (0, +∞)是g(x)的增区间 … 当k <0时，由g′(x)>0⇒1x >−k ⇒0<x <−1k ， 则 (0,−1k )是g(x)的单调递增区间； 由g′(x)<0⇒1x<−k ⇒x >−1k，则(−1k，+∞)是g(x)的单调递减区间 …（2）若f(x)≥g(x)恒成立，即axe x −1≥lnx +x ，则a ≥lnx+x+1xe x恒成立 …设ℎ(x)=lnx+x+1xe x，ℎ′(x)=(1+x)e x −(xe x +e x )(lnx+x+1)(xe x )2=(1+x)e x (−lnx−x)(xe x )2…令ℎ′(x)>0，则−lnx −x >0，令u(x)=−lnx −x ，则u′(x)=−1x −1<0，即u(x)=−lnx −x 在(0, +∞)为减函数，且u(1)=−1<0，u(1e)=1−1e>0，故∃t ∈(0, 1)使u(t)=−lnt −t =0，…8分∴ 当x ∈(0, t)时，u(x)>0，即ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, t)上递增， 当x ∈(t, +∞)时，u(x)<0，即ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(t, +∞)上递减， ∴ 当x =t 时，ℎ(x)取最大值ℎ(t)=lnt+t+1te t=1te t =1t⋅1t=1，…10分∴ a ≥1...12分22. 证明：连接AC ，AD ，AE ，AF ，则∵ ADEB 是圆内接四边形， ∴ ∠AEC =∠D ， 同理∠C =∠AFD ，从而∠DAF =∠CAF(1)∵ ∠DBA =∠CBA ， ∴ AD =AE ，AF =AC ， ∴ △ADF ≅△AEC ， ∴ DF =CE ；（2）∵ DF =CE ， ∴ △ADF ≅△AEC ， ∴ AD =AE ，∴ ∠DBA =∠CBA ．23. 解：（1）直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2+t （t 为参数），消去t 可得x −y +3=0；圆C 的极坐标方程分别为ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6=4ρsinθ−4ρcosθ−6，∴ x 2+y 2=4y −4x −6，即(x +2)2+(y −2)2=2； （2）易知A 在直线l 上，|PA|+|AQ|=|PQ| 圆心C 到直线l 的距离d =√2=√2，圆C 半径R =√2，∴ (12|PQ|)2+d 2=R 2，解得|PQ|=√6…24. （1）解：当a =2时，不等式f(x)≥4−|x −1|即为|x −2|≥4−|x −1|， ①当x ≤1时，原不等式化为2−x ≥4+(x −1)， 得x ≤−12， 故x ≤−12；②当1<x <2时，原不等式化为2−x ≥4−(x −1)， 得2≥5，故1<x <2不是原不等式的解； ③当x ≥2时，原不等式化为x −2≥4−(x −1)， 得x ≥72， 故x ≥72．综合①②③知，原不等式的解集为(−∞,−12]∪[72,+∞)． （2）证明：由f(x)≤1得|x −a|≤1， 从而−1+a ≤x ≤1+a ．∵ f(x)≤1的解集为{x|0≤x ≤2}， ∴ {−1+a =0，1+a =2，得a =1，∴ 1m +12n =a =1． 又m >0，n >0， ∴ m +2n =(m +2n)(1m +12n)=2+(2n m +m 2n) ≥2+2√2nm ⋅m2n =4， 当且仅当2n m=m 2n，即m =2n ，等号成立． 此时，联立1m +12n =1， 得{m =2，n =1，则m +2n =4，故m +2n ≥4，得证．。

二模文科数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112答案 A D C B B A D B A DC C13．22333(1)124n n n +++⋅⋅⋅+= 14．3π 15．3 16．①②④17．（Ⅰ）解：当1=n 时，111151,4=+∴=-a S a ………2分又1151,51++=+=+ n n n n a S a S115,n n n a a a ++∴-= ………4分114n na a +=-即∴数列{}n a 是首项为114=-a ，公比为14=-q 的等比数列，∴1(4=-n n a ………6分 （Ⅱ）n b nn -=-=)41(log 4， ………8分所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++ ………10分 11111(1)()()22311n n T n n n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥++⎣⎦………12分18．（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是0.050×2=0.1 ………3分 （Ⅱ）设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A ，由题意可知，分别抽取3个，2个，1个。

………6分 不妨设第三组抽到的是123,,A A A ；第四组抽到的是12,B B ；第五组抽到的是1C ，所含基本事件总数为：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121323111211212221313231,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A C A B A B A C A B A B A C {}{}{}121121,,,,,B B B C B C………10分所以31()155P A == ………12分 19．（Ⅰ）证明:连结MO1111////A M MA MO AC AO OC MO BMD A C BMD AC BMD =⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面 ………4分（Ⅱ）设过1C 作1C H ⊥平面11BDD B 于H ，11BD AA BD AC BD A AC ⊥⊥⊥,得面于是1BD A O ⊥1111116022cos 60ABCDBAD AO AC AB AA AO AC AO ABCD A AC AO BD ⎫⎫⎫⎪⎪∠=⇒==⎬⎪⎪⎪⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪∠=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⊥⎪⎭ 平面 ………8分又因为平面//ABCD 平面1111A B C D ，所以点B 到平面1111A B C D 的距离等于点1A 到平面ABCD 的距离13AO = ………10分111111111111132232322B BCD C BB D V V A O C H C H --=⇔⋅⋅⨯=⋅⋅⨯⨯⇒= ………12分20．（Ⅰ）设(,)P x y2(1)18y x y =++⇒= ………4分（Ⅱ）设直线AB ：y kx b =+，1122(,),(,)A x y B x y将直线AB 代入到28x y =中得2880x kx b --=，所以12128,8x x k x x b +==-………6分 又因为2221212121281664x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=- 4b ⇒= (1)0分 所以恒过定点(0,4) ………12分21． （Ⅰ）''(),()21b f x g x ax x==- 则''(1)(1)01(1)(1)1g f a g f b ===⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩………3分 （Ⅱ）设()2()()()ln 0u x g x f x x x x x =-=-->()()'211()x x u x x+-=………4分 令'()01u x x =⇒=x()0,11()1,+∞'()u x-+()u x极小所以，()()10u x u ≥= 即()()g x f x ≥ ………7分 (Ⅲ)设()2()()()ln (1,)bh x f x g x x b x xx e =--=-∈，2'2()b x h x x -=，令'()0h x x =⇒=>分所以，原问题()ln 1022b b h x h ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭极大 ………10分又因为()()()()11,bbbh h eb e b e =-=-+设()xt x e x =-（()2,x e ∈+∞）'()10x t x e =->所以()t x 在()2,e +∞上单调递增，()()(2)00xbt x t e e x h e>>∴>∴<所以有两个交点 ………12分22． （Ⅰ）2//AB CD PAB AQCAQC ACB ACB CQAPA O PAB ACB AQ O QAC CBA AC ABAC AB CQ CQ AC⇒∠=∠⎫⎫⇒∠=∠⎬⎪⇒⇒∠=∠⎬⎭⎪⇒∠=∠⎭⇒=⇒=⋅ 为切线为切线 ………5分（Ⅱ）//113622,AB CD BP AP AB AP PC PQ QC QC PC AQ BP AB ⎫⎫⎪⎪⇒===⎬⎪=⇒==⎬⎪⎭⎪⎪==⎭AP 为O切线212AP PB PC QA ⇒=⋅=⇒=又因为AQ 为O切线2AQ QC QD QD ⇒=⋅⇒= ………10分 23．（Ⅰ）221:22C x y +=，:4l x += ………5分（Ⅱ）设),sin Qθθ，则点Q 到直线l的距离d ==≥ ………8分当且仅当242k ππθπ+=+，即24k πθπ=+（k Z ∈）时取等 ………10分24．解：（Ⅰ）由柯西不等式得，2222222()(111)()3a b c a b c ++≤++++=∴a b c ≤++≤所以a b c ++的取值范围是[ ………5分（Ⅱ）同理，2222222()[111]()3a b c a b c -+≤+-+++=（） ………7分 若不等式2|1|1()x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立， 则311≥++-x x ，解集为33(,][,)22-∞-⋃+∞………10分。

2014年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U=Z，A={-1，0，1，2}，B={x|x2=x}，则A∩∁U B为（）A.{-1，2}B.{-1，0}C.{0，1}D.{1，2}【答案】A【解析】解：由题设解得B={0，1}，C U B={x∈Z|x≠0且x≠1}，∴A∩C U B={-1，2}，故选AB为二次方程的解集，首先解出，再根据交集、补集意义直接求解．本题考查集合的基本运算，属容易题．2.设i为虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：由i2=-1，得i3=i2•i=-i，从而=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为，，此点位于第四象限，故选D．可先利用i2计算i3，再将分式的分子、分母分别乘以1+i，使分母“实数化”，除法问题通过乘法来解决，复数便化为代数形式，可知其对应的点所在象限．1．高考对复数的考查内容包括复数的概念与计算，要求不高，一般是容易题．2．记住以下常用结论可以加快计算速度：（1）i2=-1，i3=-i，i4=1；（2）设z=a+bi（a，b∈R），则（a+bi）（a-bi）=a2+b2．3.若=（-1，3），=（x+1，-4），且（+）∥，则实数x为（）A.3B.C.-3D.-【答案】B【解析】解：∵=（-1，3），=（x+1，-4），∴，，，，由（+）∥，得-4x-（-1）×（x+1）=0，解得：．故选：B．由向量的坐标加法运算求得的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解x平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2-a2b1=0．是基础题．4.在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=18，a18+a19+a20=78，则此数列前20项的和等于（）A.160B.180C.200D.320【答案】D【解析】解：等差数列{a n}中，∵a1+a2+a3=18，a18+a19+a20=78，∴a1+a2+a3+a18+a19+a20=3（a1+a20）=18+78=96，∴a1+a20=32，∴此数列前20项的和S20=（a1+a20）=10×32=320．故选D．由已知条件利用等差数列的通项公式推导出a1+a20=32，由此能求出此数列前20项的和．本题考查等差数列的前20项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的基本性质的灵活运用．5.如果执行所示的程序框图，那么输出的S为（）A.96B.768C.1536D.768【答案】B【解析】解：当i=2时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=4，i=4；当i=4时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=16，i=6；当i=6时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=96，i=8；当i=8时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=768，i=10；当i=10时，不满足继续循环的条件，故输出的S值为768．故选：B由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方6.已知a，b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列命题：①若α∩β=a，β∩γ=b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=a，b在β内，a⊥b，则b⊥α；④若a在α内，b在α内，l⊥a，l⊥b，则l⊥α．其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】解：①如图，若平面ABCD∩平面ABFE=AB，平面ABFE∩平面CDEF=EF，AB∥EF，但平面ABCD与平面CDEF不平行．所以①错误．②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则a，b所在的平面γ满足γ∥α，γ∥β，所以必有α∥β成立，所以②正确．③根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，α∩β=a，b在β内，a⊥b，则b⊥α，所以③正确．④根据线面垂直的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线时，结论才成立，所以④错误．故正确的是②③，故选C．①利用面面平行的判定定理进行判断．②利用面面平行的判定定理判断．③利用面面垂直和线面垂直的定义判断．④利用线面垂直判定定理判断．本题主要考查空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的性质和判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理即可．7.在等比数列{a n}中，a1=2，前n项和为S n，若数列{a n+1}也是等比数列，则S n等于（）A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1【答案】C【解析】解：因数列{a n}为等比，则a n=2q n-1，因数列{a n+1}也是等比数列，则（a n+1+1）2=（a n+1）（a n+2+1）∴a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n+a n+2∴a n+a n+2=2a n+1∴a n（1+q2-2q）=0∴q=1即a n=2，所以s n=2n，故选C．根据数列{a n}为等比可设出a n的通项公式，因数列{a n+1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出s n．本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力．8.一动圆过点A（0，1），圆心在抛物线y=x2上，且恒与定直线相切，则直线l的方程为（）A.x=1B.x=C.y=-D.y=-1【答案】D【解析】解：根据抛物线方程可知抛物线焦点为（0，1），∴定点A为抛物线的焦点，要使圆过点A（0，1）且与定直线l相切，需圆心到定点的距离与定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，定直线正是抛物线的准线，准线方程为y=-1故答案为：y=-1．要使圆过点A（0，1）且与定直线l相切，需圆心到定点的距离与定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，定直线正是抛物线的准线．本题考查抛物线的定义，考查抛物线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A.①②B.①③C.②④D.③④【答案】C【解析】解：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABA1和平面BCC1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为②．若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图会是④．其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了，故选C本题可把正方体沿着某条棱展开到一个平面成为一个矩形，连接此时的对角线AC1即为所求最短路线．本题考查空间几何体的展开图与三视图，是一道基础题．10.函数f（x）=cos2x+sinx，那么下列命题中假命题的是（）A.f（x）在[-π，0]上恰有一个零点B.f（x）既不是奇函数也不是偶函数C.f（x）是周期函数D.f（x）在区间（，）上是增函数【答案】A【解析】解：∵由f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=0，得sinx=，∴f（x）在[-π，0]上恰有2个零点，即A是假命题；∵f（x）=cos2x+sinx，∴f（-x）=cos2x-sinx，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，即B是真命题；∵f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-（sinx-）2+，∴f（x）是周期函数，即C是真命题；∵f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-（sinx-）2+，∴f（x）在（，）上是增函数，即D是真命题．故选：A．由f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=0得f（x）在[-π，0]上恰有2个零点；由f（x）=cos2x+sinx，得f（-x）=cos2x-sinx，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，由f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-（sinx-）2+，得f（x）是周期函数，f（x）在（，）上是增函数．本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要注意三角函数性质的灵活运用．11.在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2-c2=2b，=3，则b等于（）A.3B.4C.6D.7【答案】B【解析】解：===3，即sin A cos C=3cos A sin C，利用正弦定理化简得：a•cos C=3c•cos A，即a•=3c•，整理得：4a2-4c2=2b2，即a2-c2=b2，代入已知等式a2-c2=2b得：2b=b2，解得：b=4或b=0（舍去），则b=4．故选：B．已知第二个等式利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后利用正弦、余弦定理化简，得到a2-c2=b2，代入第一个等式即可求出b的值．此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．12.对实数a和b，定义运算“*”：a*b=，，＞，设函数f（x）=（x2+1）*（x+2），若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数C的取值范围是（）A.（2，4）∪（5，+∞） B.（1，2]∪（4，5]C.（-∞，1）∪（4，5]D.[1，2]【答案】B【解析】解：当（x2+1）-（x+2）≤1时，f（x）=x2+1，（-1≤x≤2），当（x2+1）-（x+2）＞1时，f（x）=x+2，（x＞2或x＜-1），函数y=f（x）＞或＜的图象如图所示：由图象得：1＜c≤2，4＜c≤5时，函数y=f（x）与y=C的图象有2个交点，即函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点；故答案选：B．化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=C的图象有2个交点，结合图象求得结果．本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.幂函数y=f（x）的图象经过点（-2，），则满足f（x）=27的x的值是______ ．【答案】【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵过点，，∴=（-2）α，解得α=-3，∴f（x）=x-3，∴f（x）=27=x-3，解得x=．故答案为：．先设出幂函数的解析式，把点，代入求出α的值，再把27代入解析式求出x的值．本题考查了幂函数的解析式的求法，即利用待定系数法进行求解，属于基础题．14.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为______ ．【答案】x+2y-5=0【解析】解：C点满足=α+β且α+β=1，由共线向量定理可知，A、B、C三点共线．∴C点的轨迹是直线AB又A（3，1）、B（-1，3），∴直线AB的方程为：整理得x+2y-5=0故C点的轨迹方程为x+2y-5=0故答案为x+2y-5=0．通过点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，知点C在直线AB上，利用两点式方程，求出直线AB的方程即求出点C的轨迹方程．考查平面向量中三点共线的充要条件及知两点求直线的方程，是向量与解析几何综合运用的一道比较基本的题，难度较小，知识性较强．15.双曲线-=1（a＞0，b＞0），双曲线l的渐近线与抛物线y2=8x的准线的一个交点纵坐标为-1，则双曲线的离心率为______ ．【答案】【解析】解：∵抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为，双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y2=8x的准线的一个交点纵坐标为-1，∴点（-2，-1）在上，∴a=2b，∴，∴，故答案为：．分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，由已知条件推导出b=2a，由此能求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线和双曲线的简单性质．16.在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为______ ．【答案】【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a∈[0，1]，∴f'（x）=1.5x2+a≥0，∴f（x）是增函数若在[-1，1]有且仅有一个零点，则f（-1）•f（1）≤0∴（-0.5-a-b）（0.5+a-b）≤0，即（0.5+a+b）（0.5+a-b）≥0a看作自变量x，b看作函数y，由线性规划内容知全部事件的面积为1×1=1，满足条件的面积为∴概率为=，故答案为：由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=x3+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．三、解答题(本大题共8小题，共70.0分)17.已知f（x）=2sin（x-）cos（x-）+2cos2（x-）（Ⅰ）求f（x）的最大值及取到最大值时相应的x的集合；（Ⅱ）若函数y=f（x）-m在区间[0，]上恰好有两个零点，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x-）cos（x-）+2cos2（x-）=sin（2x-）+cos（2x-）+=2sin（2x-）+∴函数的最大值为2+，当2x-=2kπ+（k∈Z），即x=kπ+（k∈Z）时取最大值，∴取到最大值时相应的x的集合为{x|x=kπ+，（k∈Z）}（Ⅱ）依（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x-）+当x∈[0，]时，2x-∈[-，]，要使函数y=f（x）-m有两个零点即直线与函数的图象有两个交点，依草图可知f（）≤m＜f（x）max即-1≤m＜+2．【解析】（Ⅰ）先对函数解析式进行化简，进而根据三角函数的性质求得函数的最大值及此时x 的范围．（Ⅱ）根据x的范围，画出f（x）的图象，利用数形结合方法求得答案．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．注意对数形结合思想的灵活运用．18.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，动点F在CE上，无论点F运动到何处时，总有BF⊥AE．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三校锥的D-ACE体积．【答案】（I）证明：∵点F运动到何处时，总有BF⊥AE，∴AE⊥平面BCE，∵AE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCE；（II）作AB的中点G，连结EG，由（I）知AE⊥平面BCE，∵BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE，∵AE=BE，∴EG⊥AB，EG=AB=1∵平面ABCD⊥平面ABE，EG⊂平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，∴GE⊥平面ABCD，∴V D-ACE=V E-ADC=•AE•S△ADC=×1××2×2=．【解析】（I）根据点F运动到何处时，总有BF⊥AE，推断出AE⊥平面BCE，进而根据面面垂直的判定定理推断出平面ADE⊥平面BCE；（II）作AB的中点G，连结EG，由（I）知AE⊥平面BCE，根据线面垂直的性质可知AE⊥BE，AE=BE，进而根据EG⊥AB，求得EG，根据面面垂直的性质可推断出GE⊥平面ABCD最后根据V D-ACE=V E-ADC求得三校锥的D-ACE体积．本题主要考查了线面垂直，面面垂直的判定定理的应用．判断面面垂直的重要一步就是先判断出线面垂直．19.某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以X（单位：盒，100≤X≤200）表示这个开学季内的市场需求量，Y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（Ⅰ）根据直方图估计这个丌学季内市场需求量X的平均数和众数；（Ⅱ）将Y表示为X的函数；（Ⅲ）根据直方图估计利润不少于4800元的概率．【答案】解：（Ⅰ）由频率直方图得到：需求量为110的频率=0.005×20=0.1，需求量为130的频率=0.01×20=0.2，需求量为150的频率=0.015×20=0.3，需求量为170的频率=0.0125×20=0.25，需求量为190的频率=0.0075×20=0.15，∴这个丌学季内市场需求量X的众数是150，这个丌学季内市场需求量X的平均数：=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．（Ⅱ）∵每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，∴当100≤x≤160时，y=50x-（160-x）•30=80x-4800，当160＜x≤200时，y=160×50=8000，∴y=．（Ⅲ）∵利润不少于4800元，∴80x-4800≥4800，解得x≥120，∴由（Ⅰ）知利润不少于4800元的概率p=1-0.1=0.9．【解析】（Ⅰ）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量X 的众数和平均数．（Ⅱ）由已知条件推导出当100≤x≤160时，y=50x-（160-x）•30=80x-4800，当160＜x≤200时，y=160×50=8000，由此能将Y表示为X的函数．（Ⅲ）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．20.平面直角坐标系x O y中，椭圆C：+=1（a＞b＞0），椭圆上、下顶点分别为B1，B2．椭圆上异于于B1，B2两点的任一点P满足直线PB1，PB2的斜率之积等于-，且椭圆的焦距为2，直线y=kx+2与椭圆交于不同两点S，T．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求证：直线B1S与直线B2T的交点在一条定直线上，并求出这条定直线．【答案】解：（I）由已知B1（0，b），B2（0，-b），∵椭圆的焦距为2，∴椭圆方程可化为：设P（x，y），则，∵直线PB1，PB2的斜率之积等于-，∴=-，∴椭圆方程为…（4分）（II），可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，△＞0，可得k2＞．设S（x1，y1），T（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=．取直线y=x+2与椭圆交于两点S（-，），T（-2，0）直线B1S：y=x+1，直线B2T：y=-x-1，两条直线的交点为Q1（-3，）取直线y=-x+2与椭圆交于两点S（，），T（2，0）直线B1S：y=-x+1，直线B2T：y=x-1，两条直线的交点为Q2（3，）若交点在一条直线上则此直线只能为l：y=．设直线直线B1S与直线l：y=交点为Q0（x0，y0），直线B2T与直线l：y=交点为Q0′（x0′，y0′），直线B1S：y=+1，B2T：y=-1，分别令y=，可得Q0（•，），Q0′（•，），∴x0-x0′=••-•=0∴点Q0（x0，y0）与Q0′（x0′，y0′）重合，∴交点在直线l：y=上…（12分）【解析】（Ⅰ）椭圆方程可化为：，设P（x，y），则，利用直线PB1，PB2的斜率之积等于-，可得=-，即可求C的方程；（Ⅱ）直线y=kx+2代入椭圆方程，取特殊直线，猜想出定直线，再证明结论即可．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21.己知函数f（x）=（nx-n+2）•e x（其中n∈N*）（Ⅰ）求f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅱ）若函数g（x）=（nx+2）（nx-15）（n∈N*），求n所能取到的最大正整数，使对任意x＞0，都有2f′（x）＞g（x）恒成立．【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）=（nx+2）e x，n＞0时，f′（x）=（nx+2）e x=n（x+）e x，f（x）在（-，+∞）上递增，∴f（x）在[0，2]上是增函数，此时f（x）max=f（2）=（n+2）•e2；（Ⅱ）由题设：函数g（x）=（nx+2）（nx-15），（n＞1，n∈N*），f′（x）=（nx+2）•e x，当x＞0时，若2f′（x）＞g（x）恒成立，即2（nx+2）•e x＞（nx+2）（nx-15），∴2e x＞（nx-15），设p（x）=2e x-（nx-15），当x＞0时，p（x）＞0（*）恒成立，∵p′（x）=2e x-n，故p（x）在（0，ln）上递减，在（ln，+∞）递增，故（*）⇔p（x）min=p（ln）=（n-nln+15）＞0，设h（x）=x-x（lnx-ln2）+15，则h′（x）=-ln，故h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，而h（2e2）=15=15-2e2＞0，且h（15）=15（lne2-ln）＜0，故存在x0∈（2e2，15）使h（x0）=0，且x∈[2，x0]时h（x）＞0，x∈（x0，+∞）时h（x）＜0，又∵h（1）=16-ln＞0，14＜2e2＜15，故所求的最大正整数n=14．【解析】（Ⅰ）先求出f′（x）=（nx+2）e x，n＞0时，f（x）在[0，2]上是增函数，从而综合得出f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅱ）由题设：函数g（x）=n2x2-13nx-30=（nx+2）（nx-15），（n＞1，n∈N*），得2（nx+2）•e x＞（nx+2）（nx-15），得当x＞0时，p（x）＞0（*）恒成立，从而p（x）=p（ln）=（n-nln+15）＞0，设h（x）=x-x（lnx-ln2）+15，故h（x）在（0，2）min递增，在（2，+∞）递减，故存在x0∈（2e2，15）使h（x0）=0，且x∈[2，x0]时h （x）＞0，x∈（x0，+∞）时h（x）＜0，故所求的最大正整数n=14．本题考查函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．22.如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【答案】证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴PA•PE=PD•PB（2分）又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴PA2=PC•PB（4分）由以上条件得PA•PD=PE•PC（5分）（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°∴AC是⊙O2的切线．（6分）由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE（8分）又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE∴AD=AE（10分）【解析】（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是⊙O2的切线，可得∠CAD=∠AED，由（1）知，可得∠CAD=∠ADE，从而可得∠AED=∠ADE，即可证得结论．本题考查圆的切线，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.在极坐标系中，O x为极点，点A（2，），B（2，）．（Ⅰ）求经过O，A，B的圆C的极坐标方程；（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆D的参数方程为（θ是参数，a为半径），若圆C与圆D相切，求半径a的值．【答案】解：（I）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，∴点O（0，0），A（0，2），B（2，2）；过O，A，B三点的圆C的普通方程是（x-1）2+（y-1）2=2，即x2-2x+y2-2y=0；化为极坐标方程是ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，即ρ=2cos（θ-）；（II）圆D的参数方程化为普通方程是（x+1）2+（y+1）2=a2；当圆C与圆D相切时，+a=2，或a-=2，∴a=，或a=3．【解析】（I）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求出过三点O，A，B的圆的普通方程，再化为极坐标方程；（II）把圆D的参数方程化为普通方程，求出圆心距|CD|，当圆C与圆D相切（内切或外切）时，求出a的值．本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时可以把参数方程和极坐标方程化为普通方程，再来解答问题，是基础题．24.已知函数f（x）=|x-a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．【答案】解：（1）∵f（x）≤m，∴|x-a|≤m，即a-m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f（x）=|x-2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x-2|+t≥|x|．当x≥2时，x-2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2-x+t≥x，即0，成立．当x＜0时，2-x+t≥-x，即t≥-2恒成立．综上不等式的解集为（-∞，]．【解析】（1）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（2）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，要求熟练掌握绝对值的化简技巧．。

2014年东北三省三校高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|﹣4≤x≤0}，则A∩∁R B=（）A．R B．{x∈R|X≠0}C．{x|0＜x≤2}D．∅2．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则复数z=（）A．2+4i B．2﹣4i C．4﹣2i D．4+2i3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+2＜0B．∃x∈R，x2﹣3x+2＞0C．∃x∈R，x2﹣3x+2≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+2≥04．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．21B．24C．28D．75．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx，②f（x）=cosx，③f（x）=，④f（x）=x2，则输出的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=x2 6．（5分）变量x，y满足约束条件，则x+3y最大值是（）A．2B．3C．4D．57．（5分）直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；则其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（5分）已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 9．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}且a，b，c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），以原点为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A，若此圆在A点处切线的斜率为，则双曲线C的离心率为（）A ．+1B ．C．2D ．12．（5分）已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若cos （）﹣sinα=，则sin （）=．14．（5分）正方形ABCD的边长为2，=2，=（），则=．15．（5分）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f （）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x ）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知全集=N ，集合P ={}，6，4，3，2，1Q={}1,2,3,5,9则()P C Q =A ．{}3,2,1B ．{}6,4C ．{}9,5D {}6,4,3,2,12．如果映射f ：A →B 满足集合B 中的任意一个元素在A 中都有原象，则称为“满射”．若集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，则从A 到B 的不同满射的个数为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．83．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f = A ．－2 B ．2 C ．5D ． 264．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为AC5．如果一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A、96 D 、806．已知命题p ：抛物线22x y =的准线方程为；命题q ：平面内两条直线的斜率相等是两条直线平行的充分不必要条件；则下列命题是真命题的是 A 、q p ∧ B 、()q p ⌝∧ C 、()()q p ⌝∧⌝ D 、q p ∨7．8．已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数，且)()('x f x f < 对于任意R x ∈恒成立，则A. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅>B. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅<C. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅>D. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅<9．已知数列54321,,,,a a a a a 的各项均不等于0和1，此数列前n 项的和为n S ，且满足)51(22≤≤-=n a a S n n n ，则满足条件的数列共有A. 2个B. 6个C. 8个D. 16个10．抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是A.7C. 6D. 511．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()f x =()cos2xg x π=，则集合{}|()()x f x g x =等于 A ．1|4,2x x k k z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．1|2,2x x k k z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．1|4,2x x k k z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭D ．{}|21,x x k k z =+∈12. 已知点)1,0(-A ，点B 在圆C ：2222=-+y y x 上运动，则直线AB 斜率的取值范围是 A.]33,33[-B. ),33[]33,(+∞⋃--∞ C. ]3,3[- D. ),3[]3,(+∞⋃--∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111634a a a +=-，则11S =。

哈尔滨市2014年第三中学第二次高考模拟考试数学（文）试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第1I 卷（非选择题）两部分，满分1 50分，考试时间120分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证弓‘码填。

与清楚； （2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，小得折替、小要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题EI 要求的．）1．已知全集U=Z ，集合A={一1，0，1，2}，B={x|x 2=x}，则A C U B 为A ．{一1，2）B ．{一1，0}C ．{0，1）D ．{1，2）2．设i 为虚数单位，则复数31i z i=-在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第_象限C ．第三象限D ．第四象限3．若a=（一1，3），b=（x+1，一4），且（a+b ）//b ，则实数x 为A ．3B ．13C ．一3D ．一134．在等差数列{n a }中，12318192018,78,a a a a a a ++=++=则此数列前20项的和等于A ．160B ．180C ．200D ．2205．如果执行右面的程序框图，那么输出的S 为 A ．96 B ．768C ．1 536D ．7686．已知a ，b ，l ，表示三条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，有下列四个命题：A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④7．等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为S n ，且若数列{1}n a +也是等比数列，则S n 等于A ．122n +-B ．3nC ．2nD ．3n —18．一动圆过点A （0，1），圆心在抛物线214y x =上，且恒与定直线，相切，则直线l 的方程为A ．x=1B ．132x =C ．132y =- D ．1y =-9．一只蚂蚁从正方体ABCD —A 1B 2C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 。

2014年某校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合P ={3, 4, 5}，Q ={6, 7}，定义P ∗Q ={(a, b)|a ∈P, b ∈Q}，则P ∗Q 的子集个数为（ ）A 7B 12C 32D 64 2. 已知复数a−2i i=b +i （a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则a −2b =( )A 1B 2C 3D 43. “p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A 6B 8C 10D 12 5. 已知数阵[a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33]中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若a 22=8，则这9个数的和为（ ） A 16 B 32 C 36 D 726. 如图所示的程序框图，它的输出结果是（ ）A 3B 4C 5D 67. 已知三个实数2，m ，8构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m +y 22=1的离心率为（ ）A √22 B √3 C √22或√3 D √22或√628. 若a ≥0，b ≥0，且当{x ≥0y ≥0x +y ≤1时，恒有ax +by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P(a, b)所形成的平面区域的面积是（ ） A 12B π4C 1D π29. 在平行四边形ABCD 中，AD =1，∠BAD =60∘，E 为CD 的中点．若AD →⋅BE →=12，则AB的长为（ ）A 12B 1C 32D 210. 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →=λFB →(λ>1)，则λ的值为（ ） A 5 B 4 C 43 D 5211. 已知函数f(x)对定义域R 内的任意x 都有f(x)＝f(4−x)，且当x ≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)，若2<a <4则（ ）A f(2a )<f(3)<f(log 2a)B f(3)<f(log 2a)<f(2a )C f(log 2a)<f(3)<f(2a )D f(log 2a)<f(2a )<f(3)12. 函数f(x)={1−|x −1|,x ∈[0,2]12f(x −2)，x ∈(2,+∞)，则下列说法中正确命题的个数是（ ）①函数y =f(x)−ln(x +1)有3个零点；②若x >0时，函数f(x)≤kx 恒成立，则实数k 的取值范围是[32, +∞)；③函数f(x)的极大值中一定存在最小值；④f(x)=2k f(x +2k)，(k ∈N)，对于一切x ∈[0, +∞)恒成立． A 1 B 2 C 3 D 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸的相应位置． 13. 若非零向量a →、b →，满足|a →|=|b →|，且(2a →+b →)⋅b →=0，则a →与b →的夹角大小为________． 14. 函数f(x)=sinx +cosx ，在各项均为正数的数列{a n }中对任意的n ∈N ∗都有f(a n +x)=f(a n −x)成立，则数列{a n }的通项公式可以为（写一个你认为正确的）________． 15. 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax +by =0与圆(x −2)2+y 2=2有公共点的概率为________．16. 已知四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AA 1=2，底面ABCD 的边长均大于2，且∠DAB =45∘，点P 在底面ABCD 内运动且在AB ，AD 上的射影分别为M ，N ，若|PA|=2，则三棱锥P −D 1MN 体积的最大值为________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，直l 1:ax +y +1=0与直线l 2：(b 2+c 2−bc)x +ay +4=0互相平行（其中a ≠4） （1）求角A 的值，（2）若B ∈[π2，2π3)，求sin 2A+C 2+cos2B 的取值范围．18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155, 160)，第二组[160, 165)，…，第八组[190, 195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率；（2）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm 以上（含180cm ）的人数； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x ，y ，事件E ={|x −y|≤5}，事件F ={|x −y|>15}，求P(E ∪F)．19. 如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD // BC ，AD =6，BC =4，AB =2，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF // AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．（1）当BE =1，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，且AP →=λPD →，使得CP // 平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；（2）设BE =x ，问当x 为何值时，三棱锥A −CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值． 20. 已知函数f(x)=e x ，若函数g(x)满足f(x)≥g(x)恒成立，则称g(x)为函数f(x)的下界函数．（1）若函数g(x)=kx 是f(x)的下界函数，求实数k 的取值范围；（2）证明：对任意的m ≤2，函数ℎ(x)=m +lnx 都是f(x)的下界函数．21. 已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P(−1, √22)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →+F 2M →=0→.(1)求椭圆的标准方程；(2)圆O 是以F 1F 2为直径的圆，一直线l:y =kx +m 与圆O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B ，当OA →⋅OB →=λ且满足23≤λ≤34时，求△OAB 的面积S 的取值范围．四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22. 选修4一1：几何证明选讲如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC // OD．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）如果AD=AB=2，求EB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2−2ρ(cosθ−2sinθ)+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为{5x=1−4t5y=18+3t（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；（2）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，求这两条切线所成角余弦的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24. 设函数f(x)＝|2x+1|−|x−4|．（1）求不等式f(x)>2的解集；（2）求函数f(x)的最小值．2014年某校高考数学二模试卷（文科）答案1. D2. C3. B4. D5. D6. C7. C8. C9. D10. B11. C12. B13. 120∘14. a n=(n−34)π(n∈Z)15. 71216. 13(√2−1)17. 解：（1）l1 // l2，得a2=b2+c2−bc(a≠4)即b2+c2−a2=bc…∴ cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12∵ A∈(0, π)，∴ A=π3．…（2）sin2A+C2+cos2B=cos2B2+2cos2B−1=cosB+12+2cos2B−1=2cos2B+12cosB−1 2=2(cosB+18)2−1732…∵ B∈[π2，2π3), ∴ cosB∈(−12，0]…∴ 2(cosB+18)2−1732∈[−1732,−14)…即sin2A+C2+cos2B的取值范围为[−1732，−14)…18. 解：（1）第六组的频率为450=0.08，所以第七组的频率为1−0.08−5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06；（2）身高在第一组[155, 160)的频率为0.008×5=0.04，身高在第二组[160, 165)的频率为0.016×5=0.08，身高在第三组[165, 170)的频率为0.04×5=0.2，身高在第四组[170, 175)的频率为0.04×5=0.2，由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5，0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170<m<175由0.04+0.08+0.2+(m−170)×0.04=0.5得m=174.5所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.008×5=0.18，所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为0.18×800=144人．（3）第六组[180, 185)的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组[190, 195]的人数为2人，设为A，B，则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15种情况，因事件E={|x−y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况，故P(E)=715．由于|x−y|max=195−180=15，所以事件F={|x−y|>15}是不可能事件，P(F)=0由于事件E和事件F是互斥事件，所以P(E∪F)=P(E)+P(F)=715．19. CP // 平面ABEF成立．（2）∵ 平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，∴ AF⊥平面EFDC，∵ BE=x，∴ AF=x，(0<x<4)，FD=6−x，故三棱锥A−CDF的体积V=13×12×2×(6−x)x=13[−(x−3)2+9]=−13(x−3)2+3，∴ x =3时，三棱锥A −CDF 的体积V 有最大值，最大值为3． 20. 解：（1）若g(x)=kx 为f(x)=e x 的下界函数，易知k <0不成立，而k =0必然成立． 当k >0时，若g(x)=kx 为f(x)=e x 的下界函数，则f(x)≥g(x)恒成立， 即e x −kx ≥0恒成立．令ϕ(x)=e x −kx ，则ϕ′(x)=e x −k ．易知函数ϕ(x)在(−∞, lnk)单调递减，在(lnk, +∞)上单调递增．由ϕ(x)≥0恒成立得ϕ(x)min =ϕ(lnk)=k −klnk ≥0，解得0<k ≤e ． 综上知0≤k ≤e ．（2）由（1）知函数G(x)=ex 是f(x)=e x 的下界函数，即f(x)≥G(x)恒成立． 由于 m ≤2，构造函数F(x)=ex −lnx −m(x >0)， 则 F′(x)=e −1x =ex−1x，易知F(x)min =F(1e )=2−m ≥0，即ℎ(x)=m +lnx 是G(x)=ex 的下界函数， 即G(x)≥ℎ(x)恒成立．所以f(x)≥G(x)≥ℎ(x)恒成立，即m ≤2时，ℎ(x)=m +lnx 是f(x)=e x 的下界函数． 21. 解：(1)∵ PM →+F 2M →=0→， ∴ 点M 是线段PF 2的中点， ∴ OM 是△PF 1F 2的中位线， 又OM ⊥F 1F 2， ∴ PF 1⊥F 1F 2，∴ {c =11a 2+12b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=2，b 2=1，c 2=1， ∴ 椭圆的标准方程为x 22+y 2=1． (2)∵ 圆O 与直线l 相切， ∴√k 2+1=1，即m 2=k 2+1，由{x 22+y 2=1y =kx +m，消去y ， 得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， ∵ 直线l 与椭圆交于两个不同点， ∴ Δ>0，∴ k 2>0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−21+2k 2，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m) =k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =m 2−2k 21+2k 2，OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=1+k 21+2k 2=λ，∵ 23≤λ≤34，∴ 23≤1+k 21+2k 2≤34，解得：12≤k 2≤1， S =S △AOB =12|AB|⋅1=12√1+k 2√(−4km 1+2k 2)2−42m 2−21+2k 2 =√2(k 4+k 2)4(k 4+k 2)+1，设μ=k 4+k 2，则34≤μ≤2，S =√2μ4μ+1=√24+1μ，μ∈[34，2]，∴ S 关于μ在[34,2]上单调递增， S(34)=√64，S(2)=23．∴√64≤S ≤23．22. （1）证：连接AC ，AB 是直径，则BC ⊥AC由BC // OD ⇒OD ⊥AC则OD 是AC 的中垂线⇒∠OCA =∠OAC ，∠DCA =∠DAC ，⇒∠OCD =∠OCA +∠DCA =∠OAC +∠DAC =∠DAO =90∘． ⇒OC ⊥DE ，所以DE 是圆O 的切线．（2） BC // OD ⇒∠CBA =∠DOA ，∠BCA =∠DAO ⇒△ABC ∽△AOD ⇒BC OA =AB OD ⇒BC =OA ⋅AB OD =1×2√5=2√55⇒BC OD =25⇒BE OE =25⇒BE OB =23 ⇒BE =2323. 解：（1）对于曲线C 1的方程为ρ2−2ρ(cosθ−2sinθ)+4=0，可化为直角坐标方程x 2+y 2−2x +4y +4=0，即(x −1)2+(y +2)2=1； 对于曲线C 2的参数方程为{5x =1−4t5y =18+3t（t 为参数），可化为普通方程3x +4y −15=0．（2）过圆心(1, −2)点作直线3x +4y −15=0的垂线，此时两切线成角θ最大，即余弦值最小．则由点到直线的距离公式可知，d =√32+42=4，则sin θ2=14，因此，cosθ=1−2sin 2θ2=78，因此两条切线所成角的余弦值的最小值是78．24. ①由{−x −5>2x <−12 ，解得x <−7； ②{3x −3>2−12≤x ≤4 ，解得53<x ≤4；③{x +5>2x >4，解得x >4；综上可知不等式的解集为{x|x <−7或x >53}．如图可知f(x)min =−92．。

2014年大连市高三第二次模拟考试数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1．C ；2．C ；3．B ；4．D ；5．C ；6．A ；7．C ；8．A ；9．B ；10．A ；11．D ；12．B二．填空题13． 4； 14．6； 15． 0.6； 16． 262-； 三．解答题 17题：32cos )Ⅰ(=A ,35sin =∴A ， 又A A C B C B 2sin 2sin 2)(2sin 2cos 222-=+++ ……………………………2分 954332352321cos sin 2cos 1-=⨯⨯--=--=A A A …………………6分 )Ⅱ(由A bc c b a cos 2222-+=,得：32342322322bc bc bc bc c b =⨯-≥⨯-+=，29≤∴bc ………..10分 4533549)32(129212=⨯=-⨯⨯≤∴∆ABC S ABC ∆∴面积最大值为453 …………12分 18．解： 设5件产品中，两件一等品为21a a 、，两件二等品为21b b 、，三等品为c .(Ⅰ)若取出后不放回，连续取两次，所取产品情况构成基本事件空间1Ω，则{}),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(21212221212111211c b c b b b c a b a b a c a b a b a a a =Ω………3分 共10个基本事件.设取出的两件产品中恰有一件一等品为事件A ，则事件A={}),)(,)(,)(,)(,)(,(2221212111c a b a b a c a b a b a 含有6个基本事件， 所以53106)(==A P …………..6分 (Ⅱ) 若取出后放回，连续取两次，所取产品情况构成基本事件空间2Ω,则{),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(21112221222121211121112a b a b c a b a b a a a a a c a b a b a a a a a =Ω }),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(212122212221212111c c b c b c a c a c c b b b b b a b a b c b b b b b共25个基本事件 ……………….. 8分设取出的两件产品属于不同等次为事件B ，则事件B={),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(21112221212111a b a b c a b a b a c a b a b a}),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(2121222121b c b c a c a c c b a b a b c b 共16个基本事件.所以2516)(=B P … …………………12分 19题：（Ⅰ）证明：因为E 是AD 的中点，FD FA =，所以AD FE ⊥因为侧面ABCD 是菱形， 60=∠BAD ，所以BD AB =，又因为E 是AD 的中点，所以AD BE ⊥，因为E BE FE =⋂，所以⊥AD 平面EFB …… ……………..4分（Ⅱ）证明：连接AC 交BD 于点O ，连结OQ .O 是AC 中点，Q 是FC 的中点， ∴OQ 为FAC ∆的中位线，∴ //OQ FA ⊄FA 平面BDQ ，BDQ 平面⊂OQ 所以FA BDQ 平面//… ………….8分（Ⅲ）设四棱锥BCDE F -,ABCD Q -的高分别为21,h h ，所以 =-BCDE F V 131h S BCDE ，231h S V ABCD ABCD Q =- 因为ABCD Q BCD E F V V --=2，且底面积ABCD BCDE S S 43= 所以3821=h h ，因为CQCF h h =21，所以38=CQ CF …… ……………………12分 20．解：（Ⅰ）∵24b =，∴2b =.∵e =28a =，∴221:184y x C +=。